no euclideas

5/22/2018 No Euclideas

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Las o t ras ge o m e t ras

Pascual Lucas

Conferencia impartida el 17/02/99 en el curso

La Historia de las Matema t i c a s

y s u a p l i c a c i o n a l a d o c e n c i a e n En s en a n z a S e c u n d a ri a

Indice G eneral

1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 LA GE OM ET RIA DE EUCLIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 EL METODO AXIOM AT ICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 L OS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES . . . . . . . . . 10

2.3 EL POSTULADO DE LAS PARALELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 INTENTOS DE DEMOSTRACION DEL QUINTO POSTULADO . . . . . . . 16

2.5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 LA GE OM ET RIA HIPERBOLICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 BOLYAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 L OBACHEVSKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 A LGUNOS RESULTADOS HIPERBOLICOS . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 LA CO NS IS TENC IA DE LAGEOMETRIA HIPERBOLICA: MODELOS . . . . . 34

4.1 EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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4.2 UN MODELO DE POINCARE EN EL DISCO . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 UN MODELO DE POINCARE EN EL SEMIPLANO . . . . . . . . . . . . 39

4.4 EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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1. INTRODUCCION

Mucha gente desconoce que hace alrededor de un siglo y medio, aproximada-

mente, tuvo lugar una revolucion en el campo de la geometra que fue cientfica-

mente tan profunda como la revolucion de Copernico en astronoma y, en su

impacto, tan filosoficamente importante como la teora de la evolucion de Dar-

win. En palabras del gran geometra canadiense H.S.M. Coxeter:

El efecto d el d escub ri mi ent o d e la geometr a hi perb ol ica sobr e nuestr as ideas

de v erdad y realida d ha sid o tan profund o que d ifci lmente podemos im agi-

n a r l o t r a u m at ico que fue d escubr i r en que un a geometr a d ist in ta d e l a

eu cld ea er a pos ib le .

Antes de esto se pensaba que haba, y que de hecho realmente exista, solo

una geometra posible, y que cualquier descripcion del espacio contraria a la

exposicion euclidiana deba ser necesariamente incompatible y contradictoria.

Sin embargo, en nuestros das casi todo el mundo ha odo hablar, gracias a

la teora de la relatividad de Albert Einstein , de la geometra de los espacios

tiempo.

La geometra se libero y, desde entonces, los postulados geometricos se con-

virtieron, para los matematicos, en simples axiomas, de cuya verdad o falsedad

fsicas no haba que preocuparse. Solo haba que tener cuidado de elegir los

axiomas de forma que no se obtuviera contradiccion alguna, no importa lo ale-

jados que estuvieron estos postulados de nuestra percepcion o creencia.

En consecuencia, el espacio fsico era un concepto emprico deducido de ex-

periencias exteriores y anteriores, y los postulados o axiomas geometricos se

haban ideado con el objetivo de describir esta apariencia. Este punto de vista

contrastaba enormemente con la teora kantiana que dominaba la filosofa de

la epoca, segun la cual el espacio es un sistema de referencia que ya exista en

la mente humana, que los axiomas y postulados de la geometra euclidiana son

juicios a priori impuestos en la mente, sin los cuales no es posible hacer ningun

razonamiento compatible acerca del espacio.

As pues, la invencion de geometras no eucldeas invalidaban la filosofa kan-

tiana imperante, una creencia tradicional y habito de pensar durante muchos

siglos. Hasta ese momento, las matematicas se justificaban como un intento de

modelizar y explicar el mundo que nos rodeaba; a partir de esta epoca, la geome-

tra y las matematicas, como un todo, emergieron como una creacion arbitraria

de la mente humana, y no como una imposicion de nuestro mundo.

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La geometra eucldea es la geometra que todos hemos estudiado en el colegio

y en el instituto, la geometra que la mayora de nosotros utilizamos para visua-

lizar o modelizar nuestro universo fsico. Su origen hay que buscarlo en una

obra escrita por el matematico griego Euclides, los Elementos, escritos alrededor

del ano 300 A.C. La descripcion del universo fsico utilizando esta geometra fueextensamente utilizada porIs a a c Ne w t o n en el siglo XVII.

Las geometras que difieren de la eucldea han surgido de un estudio mas

profundo de la nocion de par a l el i smo. Consideremos el siguiente diagrama que

muestra dos rayos perpendiculares a un segmentoP Q:

-

-

P

Q

En geometra eucldea, la distancia perpendicular entre los rayos permanece

igual y constante a la distancia de P aQ, por mucho que nos alejemos de dichos

puntos. Sin embargo, a comienzos del siglo XVIII se imaginaron dos nuevas

geometras. En la geometra hiperbolica (del griego h yper bal l e in , exceder) la

distancia entre los rayos se incrementa conforme nos alejamos. Por el contrario,

en la geometra elptica (del griegoelleipen, acortar) la distancia decrece y even-

tualmente los rayos pueden llegar a encontrarse. Estas geometras no eucldeas

fueron posteriormente incorporadas a una teora mucho mas general iniciada

por C.F. Gauss y desarrollada por G.F.B. Riemann . Esta teora mas general fue

la que permitio a Einstein dar el soporte matematico necesario para sustentar

su teora fsica. En realidad, la teora de la relatividad especial de Einstein se

basa en la geometra del espacio-tiempo deH . M in k o w s k i .

En esta charla me voy a centrar en la geometra eucldea y en la geometra

hiperbolica, ya que esta puede entenderse perfectamente a partir de aquella,pues solo es necesario realizar un pequeno cambio en los axiomas de Eucli-

des. Por el contrario, la geometra elptica necesita del concepto topologico de

la no-orientabilidad (ya que en el plano elptico, todos los puntos que no estan

sobre una lnea, estan situados del mismo lado de esa lnea). As mismo, la geo-

metra riemanniana requiere un conocimiento profundo del calculo diferencial

e integral, no solo en espacios eucldeos, sino tambien en espacios abstractos

mas generales (las llamadas var iedades di ferenciables) y, por tanto, exceden el

tiempo permitido de exposicion y los objetivos que se persiguen.

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2. LA GE OME TRIA DE EUCLIDES

La palabra geometra proviene del griegogeometrein (de geo:tierra, y metrein:

medir); originalmente pues la geometra fue la ciencia que se ocupo de medir la

tierra. El historiador griego Herodoto (alrededor del siglo V A.C.) propone a los

egipcios como los creadores de la geometra, sin embargo otras civilizaciones an-

tiguas (como los babilonios, los hindus o los chinos) ya posean un conocimiento

geometrico importante.

La geometra antigua consista en un conjunto de reglas y procedimientos ob-

tenidos por experimentacion, observacion de analogas, adivinacion y momentos

de intuicion. Es decir, era una geometra practica o cientfica, ntimamente rela-

cionada con la medicion practica. Algunos ejemplos que justifican esta opinion

son los siguientes. Los babilonios de 2000 a 1600 A.C. consideraban que la

circunferencia era igual a tres veces su diametro (lo que equivale a decir que

= 3), valor que es tambien encontrado en diversos escritos romanos y chinos.

Los judos lo consideraban un numero sagrado, pues aparece en la Biblia, en el

libro de los Reyes I, 7:23

Y constru y o [Salom on] un ma r fu nd id o, d e form a cir cul ar, que m ed a d iez codos

de oril la a orilla y cinco codos d e alto: y un a lnea d e treinta codos lo rodea ba

por completo.

El mismo verso puede encontrarse en Cronicas II, 4:2. Aparece en un listado de

especificaciones para la construccion del gran templo de Salomon, construido

alrededor del ano 950 A.C. No es un valor muy ajustado, ya que los egipcios y los

mesopotamios ya utilizaban los valores 25/8=3.125 y

10 = 3.162. Los egipcios

tambien utilizaban una aproximacion adecuada ya que, segun el papiro Rhind,

datado alrededor del ano 1800 A.C., utilizaban la aproximacion (16/9)2 3.1604.

Los babilonios estaban familiarizados con las reglas generales para calcular

el area de un rectangulo, las areas de triangulos rectangulos e isosceles, el volu-

men de un paraleleppedo rectangular, el volumen de un prisma recto, etc. Sin

embargo, no siempre utilizaban formulas adecuadas. Por ejemplo, hay evidencia

suficiente para pensar que los babilonios antiguos utilizaban la formula

A=(a+c)(b+d)

4

para el area de un cuadrilatero cuyos lados consecutivos son a, b, c y d. Sin

embargo, conocan el teorema de Pitagoras alrededor del ano 2000 A.C., muchoantes de que el propio Pitagoras naciese.

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La principal aportacion de los griegos, desde Ta l e s d e Mi l e t o , fue el inte-

res por demostrar deductivamente las formulas y resultados, rechazando los

metodos de ensayo y error. Tales conoca los computos realizados por egipcios

y babilonios (unos correctos y otros erroneos) y, tratando de determinar cuales

eran correctos y cuales no, desarrollo la primera geometra logica conocida. Losgriegos insistieron en que deban obtenerse conclusiones geometricas a traves de

demostraciones logicas, de demostraciones, transformando la antigua geometra

emprica en una geometra axiomatica o matematica.

Nuestra fuente principal de informacion acerca de la geometra griega es la

obraS u m a r i o d e E u d e m o , de Proclo. Este libro contiene unas cuantas paginas

del libro I, Comenta r ios sobre Eucl ides, y es un esbozo muy breve del desarrollo

de la geometra griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides.

E u c l i d e s escribio numerosas obras, pero su reputacion se debe a sus Ele-

mentos. Evidentemente, este extraordinario tratado supero completamente y de

forma inmediata a todos los Elementos anteriores, y desde la aparicion de los

trece libros y durante los siglos que nos separan, su influencia se dejo sentir

a traves de miles de ediciones. El tratado es una recopilacion y ordenacion

sistematica de los trabajos anteriores, en una sucesion logica de 465 proposi-

ciones, acompanadas de axiomas, postulados y definiciones. Como prototipo del

metodo matematico moderno, su impacto e influencia sobre el desarrollo de las

matematicas ha sido enorme.

El metodo axiomatico utilizado por Euclides es, sin ninguna duda, el origen

de las matematicas puras. El metodo es puro en el sentido de pensamiento

puro: no se necesitan experimentos fsicos para verificar que los enunciados

son correctos, unicamente es necesario el razonamiento en las demostraciones.

Los Elementosde Euclides son tambien puros en el sentido de que el tratado

no incluye aplicaciones practicas, a pesar de que la geometra de Euclides tiene

un numero enorme de aplicaciones en fsica e ingeniera. Segun la leyenda,

un estudiante que comenzaba a estudiar geometra pregunto a Euclides: Que

ganare aprendiendo estas cosas?, Euclides llamo a su esclavo y le dijo Dale

una moneda, porque debe obtener un beneficio de lo que aprende.

Sorprendentemente, como veremos mas tarde, las matematicas puras tienen

a menudo aplicaciones que sus creadores nunca imaginaron, de forma que las

inutiles matematicas puras terminan siendo muy utiles a la sociedad. En todo

caso, las investigaciones matematicas no aplicables siguen siendo valorables por

la sociedad, como la musica o el arte o como contribuciones al desarrollo de la

conciencia y el conocimiento humanos.

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2.1. EL METODO AXIOM AT IC O

Los matematicos podemos utilizar cualquier metodo o tecnica para encontrar

y descubrir teoremas: ensayo y error, estudio de casos especiales, adivinacion,

etc. El metodo axiomatico es el metodo que nos permite probar que tales resul-

tados son realmente correctos. Algunos de los resultados matematicos mas im-

portantes fueron enunciados originalmente con una demostracion incompleta,

teniendo que esperar anos, algunas veces, cientos de anos, para poder encontrar

una prueba correcta.

Por tanto, las demostraciones nos garantizan que los resultados son correc-

tos. A veces, incluso, nos proporcionan resultados mas generales. Por ejemplo,

los egipcios e hindues saban que si los lados de un triangulo tienen longitudes

3, 4 y 5, entonces se trata de un triangulo rectangulo. Los griegos demostraronque si las longitudes a, b yc de un triangulo satisfacen la ecuacion a2 +b2 =c2,

entonces el triangulo es rectangulo.

Que es el metodo axiomatico? Si yo deseara persuadirte mediante razona-

miento de que te creas el enunciado E1, podra mostrarte que el enunciadoE1 es

una consecuencia logica de otro enunciado E2 que tu ya aceptas. Sin embargo,

si no aceptas este enunciado, entonces debera probarte que es consecuencia

logica de otro enunciado E3 que s aceptas como verdadero. Podra tener que

repetir el razonamiento varias veces, hasta llegar a un enunciado ya aceptadoy que no requiriese una demostracion. Dicho enunciado jugara el papel de un

axi oma (o post ul ado). Sin embargo, si en mi razonamiento no encontrase un

enunciado que aceptases, entrara en un proceso de regresion infinita, pro-

porcionando una demostracion tras otra sin un final. Por tanto, existen dos

condiciones o requerimientos que debemos aceptar para poder decidir si una

demostracion es correcta:

CONDICION 1. La aceptacion de ciertos enunciados denominados axiomas o

postulados, que no requieren demostracion.

CONDICION 2. El acuerdo sobre como y cuando un enunciado es consecuencia

logica de otro, es decir, acuerdo sobre ciertas reglas de razona-

miento.

El monumental logro de Euclides fue proponer unos pocos y simples postu-

lados, enunciados que fueron aceptados sin ninguna justificacion, y deducir de

ellos 465 proposiciones, muchas de ellas complicadas y para nada intuitivas,

que significan todo el conocimiento geometrico de la epoca. Una de las razones

por la que los Elementos de Euclides es un trabajo tan bonito y maravilloso es

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la gran cantidad de resultados que han sido obtenidos a partir de unas pocas

premisas.

Antes de avanzar en nuestro planteamiento, no nos podemos olvidar de una

condicion basica y principal:

CONDICION 0. Entendimiento del significado que damos a las palabras y a los

smbolos, es decir, acuerdo sobre el lenguaje que utilizamos.

No hay ningun problema si todos usamos terminos familiares (para todos)

y los utilizamos de manera consistente. Sin embargo, si yo utilizo un termino

desconocido, o no habitual, estais en vuestro derecho (es mas, en vuestra sana

obligacion) de solicitar una definicion de este termino. Las definiciones no se

pueden proporcionar de forma arbitraria: deben estar sujetas a las reglas de

razonamiento a las que se refiere la Condicion 2. Por ejemplo, no podemos

definir el angulo recto como aquel que tiene 90o y entonces definir el angulo

de 90o como el angulo recto, ya que estamos violando la regla que impide el

razonamiento ci rcular .

Por otra parte, es evidente que no podemos definir todos los terminos que

utilicemos, ya que para definir un termino utilizamos a su vez otros terminos,

los cuales deben tambien ser definidos. Podemos ver que corremos el peligro de

caer en un proceso de regresion infinita.

Euclides intento definir todos los terminos geometricos que utilizo. As, de-

finio una lnea (recta) como aquella que tiene todos sus puntos en la misma

direccion. Esta definicion no es muy acertada, ya que para entenderla hay

que tener previamente la imagen de una lnea. Es mas conveniente considerar

lnea como un termino indefinido. De manera similar, Euclides definio el pun-

to como lo que no tiene parte o dimension, que tampoco es una definicion muy

informativa o util; como antes, parece adecuado considerar el punto como un

termino indefinido.

En, David Hilbert publico un tratado colosal, Grundlagen der Geometr ie

(Fun d a m en tos d e la Geom etr a ), que intentaba clarificar y completar las definicio-

nes y conceptos de Euclides, as como solventar algunos errores detectados en

las demostraciones de Euclides. Esta obra, en sus diversas revisiones mejora-

das, es en la actualidad clasica en su campo; ha hecho mas que cualquier otro

trabajo desde el descubrimiento de la geometra no eucldea para promover el

metodo moderno y para dar forma al caracter de gran parte de las matematicas

actuales. Hilbert propona cinco terminos primitivos o indefinidos:

p u n t o

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ln ea

sobre(como en dos puntos distintos estan sobre una unica recta)

entre(como en el puntoC estaentre los puntosA yB )

congruente (como en todos los angulos rectos son congruentes)

Para una mejor comprension, nos vamos a limitar a la geometra plana, de forma

que para nosotros, elp l a n o es el conjunto de todos los puntos y lneas, los cuales

estan sobre el plano.

En el lenguaje cotidiano existen los sinonimos, es decir, distintas palabras

que utilizamos para referirnos al mismo concepto. Aqu tambien podemos utili-

zarlos. Por ejemplo, en lugar de decir que el puntoP esta sobre la lneal puede

decirse que la lneal pasa por el puntoP. Si un puntoP esta sobre dos lneas

l ym, entonces decimos que las lneasl ym tienen el puntoPen com u n, o que

las lneas l y m in tersecan (o se cortan) en el punto P. El segundo termino,

lnea, es sinonimo de recta o lnea recta.

Existen otros terminos matematicos que usaremos y que deberan ser anadi-

dos a la lista anterior, ya que no desearemos definirlos; ahora los he omitido

porque no son terminos especficamente geometricos, sino lo que Euclides de-

nominaba nociones comunes.

La palabra conjunto es fundamental en todas las matematicas actuales, se

utiliza habitualmente en las escuelas y, sin ningun genero de dudas, todo el

mundo tiene una idea acerca de lo que es un conjunto. Podemos pensar en una

coleccion de objetos. En relacion con los conjuntos, debemos entender lo que

significa pertenecer a o ser un elemento de un conjunto; podemos utilizarlos

como en nuestra convencion de que todos los puntos y rectas pertenecen al

plano. Si todos los elementos de un conjuntoSson tambien elementos de otro

conjuntoT, diremos queS esta contenido en o es un subconjunto deT.

Otro termino crucial en la teora de conjuntos es la igualdad de conjuntos.

Decimos que los conjuntos S yT son iguales si todo elemento de Ses tambien

elemento deTy viceversa. Por ejemplo, el conjunto de todos los autores del libro

El Qui jote es igual al conjunto cuyo unico elemento es Miguel de Cervantes.

La palabra igual significa, o es sinonima de, identica. Sin embargo, Euclides

utilizaba la palabra i gual en un sentido diferente, como cuando dice que los

angulos base de un triangulo isosceles son iguales. Realmente, Euclides quera

decir que tenan igual numero de grados, no que fueran angulos identicos. Para

evitar la confusion, utilizaremos el termino primitivocongru ente, de forma quepodemos decir que los angulos base de un triangulo isosceles son congruentes.

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Utilizaremos el termino congruente en un sentido mas amplio que el habitual:

sera usado tanto para angulos como para segmentos.

2.2. L OS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES

Euclides baso su geometra en cinco hipotesis fundamentales, que el denomino

axi omas opost ul ados.

POSTULADO I. Para todo punto P y para todo punto Q distinto (no igual) de P,

existe una unica lneal que pasa porP yQ.

Informalmente, este enunciado es usualmente expresado diciendo que hay

una y solo una lnea que pasa por dos puntos distintos dados. Denotaremosesta lnea por

P Q.

Para enunciar el segundo postulado necesitamos una definicion.

DEFINICION. SeanAyB dos puntos. ElsegmentoAB es el conjunto formado por

los puntos A y B y por todos los puntos que estan sobre la lnea

AB y que estan entre A yB. Los dos puntosA yB se denominan

los extremos del segmento AB .

-

A

A

C B

C B

SegmentoAB

LneaAB

POSTULADO II. Para todo segmento AB y para todo segmento CD, existe un

unico punto E tal que B esta entre A y E y el segmento CDes congruente con el segmento B E.

A B E

C D

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Este postulado se expresa informalmente diciendo que cualquier segmento

AB puede extenderse mediante un segmento BEcongruente con un segmento

CDdado. Como es habitual, escribiremosC D=BEpara expresar el hecho quelos segmentos C D yB Eson congruentes.

Para enunciar el tercer postulado necesitamos introducir otra definicion.

DEFINICION. Sean dos puntos O y A. El conjunto de todos los puntos P tales

que el segmento OP es congruente con el segmento OA se llama

la circunferencia con centro O, y cada uno de los segmentosOP se

llama un r a d i o de la circunferencia.

POSTULADO III. Para todo puntoO y para todo puntoA distinto deO, existe una

circunferencia de centroO y radioOA.

O A

P

Crculo con centro O y radio OA

Realmente, y puesto que estamos utilizando el lenguaje de la teora de conjun-

tos, este postulado es innecesario; como consecuencia de la teora de conjuntos,

el conjunto de los puntos P tales que OP= OA existe. Sin embargo, Euclidestena en mente, al proponer este postulado, dibujar dicha circunferencia, por

lo que el postulado nos esta diciendo que es posible construir dicha circunfe-

rencia (por ejemplo con un compas). De manera similar, en el postulado II se

nos dice que es posible extender el segmento AB, por ejemplo utilizando una

regla. No obstante, la presentacion que estamos haciendo es mas pura que la

de Euclides, en el sentido de que se elimina toda referencia a los dibujos.

Sin embargo, es un problema matematico fascinante determinar que cons-

trucciones geometricas son posible utilizando unicamente regla y compas. No

fue hasta el siglo XIXen que pudo probarse que ciertas construcciones clasicas

(como la triseccion de un angulo arbitrario, la cuadratura del crculo o la du-

plicacion del cubo) eran imposibles utilizando solo la regla y el compas. Pierre

Want ze l demostro lo anterior trasladando el problema geometrico a un problema

algebraico: probo que las construcciones con regla y compas correspondan con

las soluciones de ciertas ecuaciones algebraicas obtenidas unicamente median-

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te suma, diferencia, multiplicacion, division y extraccion de races cuadradas.

As por ejemplo, la triseccion de un angulo arbitrario es imposible porque en su

resolucion aparecen races cubicas.

DEFINICION. El rayo

AB es el siguiente conjunto de puntos sobre la lnea

AB:aquellos puntos que pertenecen al segmento AB y todos los puntos

Ctales queB esta entreA yC. Se dice que el rayo

AB emana deA

y es parte de la lnea

AB.

1

AB

C

Rayo

AB

DEFINICION. Los rayos

AB y

AC son opuestossi son distintos, emanan del mis-

mo puntoA y son parte de la misma lnea

AB=

AC.

-

AB C

Rayos opuestos

DEFINICION. U n angulo con vertice A es un punto A junto con dos rayos no

opuestos

AB y

AC (llamados las caras del angulo) que emanan del

puntoA.

q

*

A

B

C

Angulo con vertice A

Este angulo sera denotado por A, BACo CAB.

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DEFINICION. Si dos angulo BAD y CAD tienen una cara comun

AD, y las

otras dos caras

ABy

ACson rayos opuestos, se dice que los angulos

son suplementar ios.

-

AB C

D

Angulos suplementarios

DEFINICION. Un angulo

BAD se dice que es un an gulo rectosi tiene un angulosuplementario con el que es congruente.

-

AB C

6

D

Angulos rectos

Observemos como ha sido posible definir el concepto de angulo recto sin hacer

referencia a los grados, utilizando solamente el termino primitivo de congruen-

cia de angulos. Posteriormente veremos como se puede introducir el concepto de

grado, aunque seguramente lo consideremos innecesario, ya que todos tenemos

una idea bastante precisa.

POSTULADO IV. Todos los angulos rectos son congruentes entre s.

Este postulado expresa una cierta clase de homogeneidad: por muy alejados

y separados que esten dos angulos rectos, siempre tendran el mismo tamano.

El postulado proporciona, por tanto, un metodo estandar para medir angulos.

Por el contrario, no existe una forma estandar de medir longitudes en la geome-

tra eucldea. Las unidades de longitud (un codo, un pie, un metro, etc.) son

elegidas arbitrariamente. Una de las propiedades mas destacables de la geo-

metra hiperbolica, que describiremos mas adelante, es que admite una manera

estandar de medir, es decir, existe una unidad de longitud natural.

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2.3. EL POSTULADO DE LAS PARALELAS

Los primeros cuatro postulados de Euclides siempre fueron aceptados por los

matematicos. El quinto postulado, o postulado de las paralelas, fue desde el

principio fuente de controversias, que se extendieron en el tiempo hasta el siglo

XI X. De hecho, los intentos por proponer nuevos postulados alternativos fueron

el germen del nacimiento de las nuevas geometras.

Enunciaremos el quinto postulado en una formulacion distinta de la original,

tal y como fue expuesto por Euclides en sus Elementos. La razon es que el

enunciado es mucho mas simple y comprensible a primera vista, aunque es

equivalente. La version que presentamos es quizas la mas popular, y se debe al

fsico y matematico escoces J o h n Pl a y f a i r (), aunque esta alternativa

ya haba sido avanzada por Proclo en el siglo V. Una de las definiciones masimportantes de nuestro acercamiento a la geometra eucldea es la siguiente.

DEFINICION. Dos lnea l ym son par a l el as si no se cortan, es decir, si no existe

ningun punto que este sobre las dos lnea. Denotaremos este hecho

porl||m.

Observemos que no se ha dicho que las lneas son equidistantes, es decir, que

la distancia entre las lneas es siempre la misma. Seguramente, si hiciesemos

un dibujo de dos lneas paralelas obtendramos esa impresion; por eso es con-

veniente evitar en lo posible la realizacion de dibujos para las demostraciones

rigurosas, ya que nos pueden inducir a utilizar propiedades que no han sido

previamente deducidas, y que no estan en las definiciones establecidas. Por otra

parte, y como consecuencia de este razonamiento, tampoco sera conveniente

que ahora pensase que las lneas paralelas no son equidistantes. Debemos limi-

tarnos a utilizar lo definido y lo demostrado, y evitar los juicios de valor.

POSTULADO V. Para toda lnea l y para todo puntoPque no esta sobre l, existe

una unica lneam a traves dePque es paralela al.

-

-

P

l

m

Las lneas l ymson paralelas

Existen otros muchos enunciados equivalentes al postulado anterior. Algu-

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nas otras alternativas que han sido propuestas o tacitamente utilizadas durante

anos son las siguientes:

(1) Existe un par de rectas en que todos los puntos de una se encuentran a la

misma distancia de la otra.

(2) Existe un par de triangulos no congruentes semejantes.

(3) Si en un cuadrilatero un par de lados opuestos son iguales y los angulos

adyacentes al tercer lado son rectos, entonces los otros dos angulos tam-

bien son rectos.

(4) Si en un cuadrilatero tres angulos son rectos, entonces el cuarto tambien

es recto.

(5) Existe al menos un triangulo en el que la suma de sus tres angulos es igual

a dos rectos.

(6) Por un punto situado dentro de un angulo menor que 60o puede siempre

trazarse una recta que corte a ambos lados del angulo.

(7) Una circunferencia puede hacerse pasar por tres puntos no colineales cua-

lesquiera.

(8) No hay lmite superior al area de un triangulo.

Por que debe ser el quinto postulado tan controvertido? Puede parecer un

enunciado obvio, quizas porque estamos habituados a pensar en terminos eu-

cldeos. Sin embargo, si consideramos los axiomas de la geometra como abs-

tracciones, podemos encontrar diferencia entre este postulado y los demas. Los

dos primeros postulados son abstracciones de nuestra experiencia dibujando

con una regla, mientras que nuestra experiencia con el compas motiva el tercer

postulado. El cuarto postulado, quizas mas extrano, tambien surge de nuestra

experiencia con el transportador de angulos (donde la suma de angulos suple-

mentarios es 180o).

El quinto postulado es diferente porque no puede ser comprobado emprica-

mente, ya que solo podemos dibujar segmentos (lneas finitas) y no las lneas

en su totalidad. Si prolongamos dos lneas y se cortan, podemos afirmar que no

son paralelas; sin embargo, si los segmentos no se cortan, podemos prolongarlos

mas y mas, pero si no encontramos un punto de corte, nunca estaremos seguros

de que dicho punto de corte no existe. El unico recurso es demostrar el parale-

lismo utilizando un razonamiento indirecto, por medio de criterios distintos de

la propia definicion.

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2.4. INTENTOS DE DEMOSTRACION DEL QUINTO POSTULADO

Los intentos por deducir el postulado de las paralelas como un teorema a partir

de los restantes, tuvo ocupados a los geometras por mas de dos mil anos, culmi-

nando, como veremos, en algunos de los desarrollos de mas largo alcance de las

matematicas modernas. Muchas demostraciones del postulado fueron ofreci-

das, pero con la misma velocidad, mas o menos tarde, se descubra que cada

una de ellas se basaba en una suposicion tacita equivalente al propio postulado,

violando la regla logica que impide el razonamiento circular. Veamos algunos

intentos, fallidos naturalmente.

2 .4 .1 . PROCLO

Uno de los intentos conocidos mas antiguos se debe a Proclo. Su razonamiento

fue el siguiente.

-

-

Y

j

P

Q

X

l

m

Y

Z

n

Sean dos lneas paralelas l ym y supongamos que la lnean corta am en P.

Vamos a demostrar quen corta tambien al. SeaQ el punto de corte del con la

perpendicular que pasa porP. Si n coincide con

P Q entonces n corta a l en Q.

En otro caso, existe un rayo

P Y den entre

P Qy una rayo

P Xdem. TomemosX

como el punto de interseccion entre la rectam y su perpendicular por el puntoY. Conforme el puntoY se va alejando de P, el segmento XY va aumentando

indefinidamente de longitud, de forma que eventualmente sera mas grande que

el segmento P Q. Por tanto, Y debe quedar en la otra cara de l, y por tanto n

corta al.

En el parrafo anterior esta la clave del razonamiento de Proclo, ya que en-

vuelve los conceptos de movimiento y continuidad. Todos los pasos de la de-

mostracion son correctos, pero la conclusion no es cierta. La respuesta es que

una sucesion estrictamente creciente de terminos positivos puede estar acotadasuperiormente. Por ejemplo,an= n/(n+ 1).

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El error puede entenderse mejor si analizamos el paso previo a la conclusion.

Podemos decir que (1) los puntos X, Y y Z son colineales, y (2) los segmentos

XZ y P Q son congruentes. Por tanto, cuando XZ sea mas grande que P Q,

entoncesX Y sera tambien mas grande queX Z, por lo que el punto Y estara en

el otro lado del. La conclusion se sigue de (1) y (2). El gran problema es que lasafirmaciones (1) y (2) no se han justificado adecuadamente.

Este analisis de la demostracion de la prueba de Proclo ilustra la necesidad

de tener sumo cuidado cuando pensamos en lneas paralelas. Probablemente,

cuando hablamos de lneas paralelas nos imaginamos los railes de una va, con

las traviesas perpendiculares a ambos railes y todas ellas de igual longitud. Sin

embargo, sin el postulado de las paralelas solo podemos decir, usando la defini-

cion, que dos lneas paralelas no tienen ningun punto en comun. No podemos

afirmar que son siempre equidistantes ni siquiera que tienen una perpendicularcomun.

2 .4 .2 . SAC CH ER I

No fue hastacuando la primera investigacion cientfica del postulado de las

paralelas fue publicada. En dicho ano, G i r o l a m o S a c c h e r i (-) publico

una pequena obra titulada Eucl ides ab omni noevo vindicatus (Eucl ides l iberado

d e t o d a f a l l a ) . Saccheri demostro facilmente, como lo puede hacer un alumnoaventajado de secundaria, que si en un cuadrilatero ABCD, los angulos A y

B son rectos, y los lados AD y BC son iguales, entonces los lados D y C son

iguales.

A B

CD

= =

Cuadrilatero de Saccheri

En consecuencia tenemos tres posibilidades: los angulosD yCson iguales y

agudos, iguales y rectos, o iguales y obtusos. Estas tres hipotesis fueron deno-

minadas por Saccheri la hipotesis del angulo agudo, la hipotesis del angulo recto

y la hipotesis del angulo obtuso. Su objetivo era utilizar el metodo de reduccion

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al absurdo para descartar las hipotesis de los angulos agudo y obtuso. Sacche-

ri elimino facilmente la hipotesis del angulo obtuso, pero no pudo destruir la

hipotesis del angulo agudo. Despues de obtener concienzudamente muchos de

los teoremas hoy clasicos de la geometra no eucldea, Saccheri obtuvo incorrec-

tamente una contradiccion no convincente. En palabras de Saccheri:

La hip o tesis del angulo agudo es absolutamente fa lsa, ya que es r epugnante

a l a n a tu ra leza d e la ln ea r ecta .

Saccheri se comporto como el hombre que descubre un diamante extraordina-

rio y, incapaz de creerselo, anuncia que es cristal. Aunque el no lo reconocio,

Saccheri descubrio la geometra no eucldea.

2 .4 .3 . L AM BE R T

El matematico aleman J o h a n n H e i n r i c h L a m b e r t () escribio, treinta

anos despues de la publicacion de Saccheri, una investigacion semejante titu-

lada Die Theori e d er Par al lellin ien (La teora d e la s pa ra lela s) que, inexplicable-

mente, no se publico hasta once anos despues de su muerte. Lambert eligio un

cuadrilatero que contena tres angulos rectos (la mitad de un cuadrilatero de

Saccheri) como su figura, y considero las tres posibles hipotesis para el cuarto

angulo: agudo, recto u obtuso.

A B

CD

Cuadrilatero de Lambert

Como Saccheri, Lambert dedujo numerosos resultados de geometra no eu-

cldea a partir de la hipotesis del angulo agudo, pero a diferencia de Sacche-

ri, nunca dijo que haba encontrado una contradiccion. Demostro que en las

tres hipotesis, la suma de los angulos de un triangulo es menor, igual o mayor

que dos angulos rectos, respectivamente, y que el defecto o exceso (segun la

hipotesis) es proporcional al area del triangulo. Elimino la hipotesis del anguloobtuvo de la misma forma que Saccheri, pero sus conclusiones sobre la hipotesis

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del angulo agudo fueron indefinidas e insatisfactorias, lo que fue el motivo de

que este trabajo no fuera publicado en vida del autor.

2 .4 .4 . L EGENDRE

El frances Adrien Marie Legendre () fue uno de los mejores matemati-

cos de su epoca, contribuyendo con importantes descubrimientos en muchas

ramas de las matematicas. Tan obsesionado estuvo intentando encontrar una

demostracion, que durante 29 anos estuvo publicando una demostracion tras

otra en las diferentes ediciones de su libro El ement s de Geom etrie (Elementos de

geom et r a ). No obstante, Legendre es mejor conocido por el metodo de mnimos

cuadrados en estadstica, la ley de reciprocidad en teora de numeros y los po-

linomios de Legendre en las ecuaciones diferenciales. El estilo simple y directode sus demostraciones, que se difundio mucho debido a su aparicion en sus

Elementos, y su enorme prestigio en el mundo de las matematicas, genero un

entusiasta interes popular en el problema del postulado de las paralelas. Anali-

cemos uno de sus intentos.

-

-

I

l

m

n

A Q

B

R

P

R

SeaP un punto que no esta sobre la lnea l. Tracemos la perpendicularP Q

de P a l, y seam la recta perpendicular aP Q que pasa por P. Entonces m esparalela al, ya que tienen una perpendicular comun. Sean cualquier otra recta

que pasa por P, distinta de m y de P Q. Debemos probar que n corta a l. Sea

P R un rayo de n entre

P Q y un rayo de m emanando deP. Existe un punto R

en la cara opuesta de

P Q donde esta R tal que QP R= QP R. Entonces elpunto Q esta en el interior de

RP R. Como la lnea l pasa a traves del punto

Q, interior a

RP R,l debe cortar una de las caras del angulo. Si l corta la cara

P R, entoncesl corta an. Supongamos quel corta la cara

P R en el puntoA. Sea

B el unico punto en la cara

P R tal que P A

=P B. Entonces M P QA

= M P QB; en

consecuencia,

P QB es un angulo recto, de forma que B esta en l (y en n).

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Como comprobar que la demostracion es correcta? Habra que justificar

cada paso, definiendo todos los terminos con sumo cuidado. Por ejemplo, ha-

bra que definir que se entiende por lneas perpendiculares, pues si no, como

se puede justificar que l ym son paralelas unicamente porque tienen una per-

pendicular comun? Quizas habra que demostrar esto como un resultado in-dependiente. Tendramos que justificar el criterio de congruencia de triangulos

utilizado al final. Habra que definir que se entiende por el interior de un angulo,

y probar que una lnea a traves del interior de un angulo debe cortar a una de

sus caras. En todos estos pasos habra que estar seguros, ademas, de que solo

se usan los primero cuatro postulados, y no el quinto o alguna de las formula-

ciones equivalentes.

2.5. CONCLUSIONES

No nos debe extranar que no se pudiese obtener una contradiccion de la hipote-

sis del angulo agudo, ya que como veremos a continuacion, posteriormente se

demostro que la geometra desarrollada con esta hipotesis es tan consistente y

compatible como la eucldea; es mas, si la geometra hiperbolica (que es como se

denomina a la geometra obtenida con la hipotesis mencionada) tuviese alguna

contradiccion y fuese inconsistente, tambien lo sera la geometra eucldea. En

consecuencia, el postulado de las paralelas es independiente del resto de los

postulados y, por tanto, no puede deducirse de ellos.

Los primeros en sospechar esta posibilidad fueron los matematicosKarl Frie-

d ri c h Ga u s s (-), J a n o s B o ly a i (-) y Ni c o l a i Iv a n o v i t c h Lo -

b a c h e v s k i (-). El planteamiento del problema que hicieron estos ma-

tematicos iba en la lnea de J o h n Pla y f a ir, considerando tres posibilidades: por

un punto que no este en una recta pueden trazarse m a s d e u n a , o uni cament e

u n a, on i n g u n a paralela a otra dada, hipotesis que son equivalentes a las hipote-

sis de los angulos agudo, recto y obtuso, respectivamente. El desarrollo de la

primera hipotesis condujo a estos matematicos al descubrimiento de la geome-tra no eucldea.

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3. LA GE OME TRIA HIPERBOLICA

Que es la geometra no eucldea? Tecnicamente hablando, podemos decir que

cualquier geometra distinta de la geometra de Euclides, y ciertamente pueden

ponerse muchos ejemplos de tales geometras. Sin embargo, nosotros vamos a

restringirnos a la geometra descubierta por Gauss, Bolyai y Lobachevski, de-

nominada geom et r a h ip er b olica. Esta es, por definicion, la geometra que se

obtiene al reemplazar, en la geometra eucldea, el quinto postulado por su ne-

gacion, que denominaremos el axioma hiperbolico.

AXIOM A HI PE RBOLICO. Existe una lneal y un puntoP, que no esta sobrel, tales

que hay al menos dos rectas distintas que pasan porP y

son paralelas al.

3.1. BOLYAI

J a n o s B o l y a i (-) fue educado para el ejercito, llegando a ser oficial del

cuerpo de ingenieros militares del ejercito hungaro. Su padre Wolfgang paso

una gran parte de su vida tratando de demostrar el postulado de las paralelas,

y sabiendo que su hijo Janos estaba tambien preocupado por ese problema,

intento en vano disuadirle:

Por amor de Dios, te r uego que aband ones. T emele m a s q u e a l a s p a s i o n es

sensuales, porque e l t a m b i en ocupa r a tod o tu t iempo, y te pr ivar a d e l a s a l u d ,

de la paz mental , y de la fe l icidad en la v ida.

Janos continuo trabajando y en llego a la conclusion que haba llegado

Lobachevski unos pocos anos antes. Cuando anuncio privadamente sus descu-

brimientos en geometra no eucldea, su padre le escribio:

Me parece aconsejable, si has obtenido una solucion al problema , que, por dos

r azones, su publ icaci on debe ser acelerada: en pr imer lugar, porque las ideas

pasan f aci lmente de un o a otro, que las pu ede publicar; en segund o lugar, por-

que parece ser que muchas cosas t ienen una epoca en la cua l son descubiertas

en mu chos lugar es s imul t aneamente, igual que las v io letas sur gen por todas

par tes en pr imaver a.

Janos Bolyai publico sus descubrimientos en un apendice de 26 paginas en un

libro de su padre, Tentamen (). Su padre envio una copia del libro a su

amigo Gauss, indiscutiblemente el matematico mas famoso de la epoca. Wolf-gang fue amigo ntimo de Gauss durante 35anos, desde cuando ambos eran

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estudiantes en Gotinga. Despues del regreso a Hungra de Wolfgang, mantuvo

con Gauss una correspondencia ntima, y cuando el propio Wolfgang envio a

Gauss su propio intento de probar el postulado de las paralelas, Gauss le indico

delicadamente el fatal error.

Figura 1: Retrato de Bolyai que aparece en un sello del Servicio de Correos

Hungaro en el centenario de su muerte.

Janos tena trece anos cuando ya dominaba el calculo diferencial e integral.

Su padre le escribio a Gauss dandole cuenta de los prodigios de su hijo e in-

tentando que Gauss lo acogiese en su casa como aprendiz de matematicas. Sin

embargo, Gauss nunca le contesto, quizas porque ya tena suficientes proble-mas con su propio hijo Eugene, que se haba marchado de casa. Quince anos

despues, cuando Wolfgang le envio el Tenta men, Janos esperaba que Gauss hi-

ciera publico este descubrimiento. Por tanto, se puede imaginar la decepcion

que Janos tuvo que sentir cuando leyo la siguiente carta de Gauss a su padre:

Si comienzo d ic iendo que n unca a labar e e l t r a bajo, te quedar as sor pr endido

de m oment o; pero no pued o hacer otr a cosa. Ala ba r el tr ab ajo s era a lab ar me

a m mi sm o, ya qu e el conteni d o del tra ba jo, el cam ino qu e tu h ijo ha seguid o,

los r esul tados que ha obtenido, coinciden casi exactamente con mis pr opias

m e d i t a ci on e s , q u e h a n o cu p a d o m i m e n t e en l os u l t imos t r e inta a n os . M e

encuentro sorprendido en extremo.

M i i n t en c i on er a, en r e lacion con mi pr opio t r abajo, del cual se ha publ icado

mu y poco, no ha cerlo p ub lico du ra nte m i vid a. La ma y ora n o tiene la lucid ez

para entender nu estras conclusiones y s olo he encontrad o unos pocos que han

recibido con inter es lo que les h e contad o. Par a compr ender estas cosas, u no

debe tener un a percepci on entusias ta de lo que es necesario, y en este punto la

m a y or a est an ba sta nt e conf un d id os. Por otra pa rt e, ten a in ten ci on d e escribir

un ar tculo,de form a que las id eas no se p erdiesen conmigo.

De modo que estoy gra tam ente sorprendid o de no hacer este esfuerzo, y estoyencantad o de que sea e l h i jo de mi v ie jo amigo quien m e haya suplanta do d e

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un modo tan sor pr endente.

A pesar de la ultima frase de Gauss, Janos quedo totalmente decepcionado y

desilusionado con la respuesta del gran matematico; incluso imagino que su

padre haba informado secretamente a Gauss de sus resultados y que Gauss

trataba ahora de apropiarse de ellos. Como hombre de temperamento fuerte,

que haba participado y vencido en trece duelos consecutivos, Janos cayo en

una profunda depresion mental y nunca mas volvio a publicar sus resultados.

En , escribe:

E n m i o p in i on, y como estoy per suadid o, en la opin ion d e los que juzguen s in

prejuicios, todas las razones esgrimidas por Gauss para explicar por qu e n u n -

ca p u b l i c o nada en su v ida sobr e este tema son insuficientes; por que en la

ciencia, como en la vida dia r ia, es necesario clar ificar la s cosas d e inter es ge-

n er a l qu e t od a va es t an am bigu as , a scomo d esperta r, a crecenta r y promover

e l sent ido per dido de la ver dad . Ay !, par a gr an d etr imento de la hu man idad ,

s olo unos pocos t ienen aptitudes para las matem at icas; por ta l m ot ivo Gauss,

para ser coherente, d ebera ha ber m an tenido un a gran part e d e su gran tra-

bajo para smismo. Es un hecho que,entre los m atem aticos,e incluso entre

per sonas c elebres, existen, d esafortuna da mente, mu cha gente sup erficial, pe-

r o esto no es una r az on para que un hombre sensible escriba solamente cosas

superficiales y m ediocres, dejan do que la ciencia entre en u n estado let argico.

T al suposic ion no es na tur al , por lo que consider o c ier tamente in cor r ecto que

Gauss, en lugar de r econocer honesta y definit ivamente e l gr an t r abajo del A p endice y del Tentamen, y en lugar de expresar su gran alegra e in ter es

y t r a t a r d e p r e p a r a r u n a a p r op i a d a r ece pc i on p a r a l a b u e n a ca u s a , e v i ta n d o

todo esto, e l descansa contento con p iadosos deseos y quejas acer ca de la

ausencia de una c iv i l izaci on adecuada. Cier tamente, no es esta la act i tud que

l lamam os v ida, t r abajo y m erito.

Bolyai estaba frecuentemente aquejado de fiebres, lo que le impeda trabajar,

y en comenzo a recibir una pension del ejercito. Aunque nunca publico

mas que las escasas paginas del Apendice del Tentamen de su padre, dejo es-

critas mas de 20.000 paginas de manuscritos de trabajos matematicos. Estos

manuscritos se encuentran en la biblioteca Bolyai-Teleki en Tirgu-Mures.

3.2. GAUSS

Karl-Friedrich Gauss (-) nacio en Gotinga el 30 de abril. Sin ayuda de

ningun tipo, Gauss aprendio a calcular antes de hablar. A los tres anos corrigio

un error en la paga de los obreros de su padre, y por s solo estudio y profun-dizo la aritmetica. A los ocho anos mostro un genio precoz con ocasion de un

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problema propuesto por su profesor de la escuela elemental: encontrar la suma

de los cien primeros numeros naturales. Gauss sumo casi instantaneamente

los enteros al darse cuenta que eran 50 parejas de numeros que sumaban 101.

El profesor tuvo la sabidura de procurarle libros de aritmetica para que Gauss

prosiguiera su aprendizaje.

A los once anos Gauss conocio a Martin Bartels , entonces profesor ayudante

de la escuela y mas tarde profesor de Lovachevski. Bartels hablo de el al duque

de Brunswick, quien lo llevo a estudiar a sus expensas al Brunswick Collegium

Carolinum. En la academia Gauss descubrio la ley de Bode, el teorema del bino-

mio y la media aritmetico-geometrica, as como la ley de reciprocidad cuadratica

y el teorema de los numeros primos. EnGauss dejo Brunswick y se marcho

a la Universidad de Gotinga. El profesor de Gauss era Kaestner, a quien Gauss

ridiculizaba frecuentemente. Su unico amigo conocido entre los estudiantes fueFarkas Bolyai, a quien conocio en y con quien mantuvo correspondencia

durante muchos anos.

En marzo de obtiene la construccion del polgono de 17 lados por me-

dio de la regla y el compas, y desde ese da consigna la primera anotacion en

su celebre diario matematico en el que durante dieciocho anos inscribira 146

enunciados matematicos breves de los resultados de sus trabajos. Este diario

no fue encontrado hasta, y su contenido fue publicado por primera vez por

Felix Klein en .

En , Gauss vuelve a Brunswick para continuar all sus trabajos en so-

litario. Al ano siguiente obtiene el doctorado por la Universidad de Helmsted

bajo la direccion de J o h a n n Fr i e d r i c h Pf a f f . Su tesis de doctorado contiene

una demostracion del teor ema f un da ment al del algebra, es decir, que toda ecua-

cion polinomica p(x) = 0 con coeficientes reales o imaginarios posee al menos

una raz. En , Gauss escribe y publica su gran tratado tituladoDisquisi t io-

nes ar i tmet icae, en el que presenta un resumen de los trabajos aislados de sus

predecesores, da soluciones a las cuestiones mas difciles, formula conceptos y

cuestiones que indicaran, al menos durante un siglo, las lneas maestras de la

investigacion en teora de numeros.

En junio de , Zach, un astronomo a quien Gauss haba conocido dos o

tres anos antes, publica las posiciones orbitales de Ceres, un nuevo pequeno

planeta que haba sido descubierto por el observador italiano Giuseppe Piazzi

en enero. Desafortunadamente, Piazzi solo pudo observar nueve grados de su

orbita antes de que desapareciera detras del Sol. Zach publico diversas predic-

ciones de su posicion, incluyendo una de Gauss que difera bastante del resto.

Cuando Ceres fue redescubierto por Zach en diciembre, estaba exactamente

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Figura 2: Gauss en

donde Gauss haba predicho. Aunque Gauss no descubrio sus metodos en esa

epoca, utilizo una teora orbital de los planetas fundamentada en la elipse y

recurrio a metodos numericos basados en el metodo de mnimos cuadrados. Es-

ta hazano coincide con el comienzo de sus investigaciones astronomicas, que

absorveran una buena parte de sus energas durante casi veinte anos.

En Gauss es nombrado profesor de astronoma y director del observa-

torio de Gotinga, donde permanecio el resto de su vida. Sus trabajos de astro-

noma le llevaron a publicar suTheoria motus corporum coelest ium in s ect ionibus

conicis solem ambient ium (), en el cual Gauss desarrolla sistematicamente

su metodo del calculo orbital. En nace su tercer hijo, que sobrevive corto

tiempo, y de las secuelas de este nacimiento muere su mujer, con la que se haba

casado en. Estos dos acontecimientos sumieron a Gauss en una profunda

soledad que nunca fue capaz de superar.

Durante los primeros anos en Gotinga, Gauss realiza estudios y lleva a cabo

investigaciones en diversos frentes, a la vez que redacta numerosas memorias:

Disquisi t iones generales ci rca ser iem infinitam, un primer estudio riguroso de

las series y la introduccion de las funciones hipergeometricas (); Met hodus

nova i nt egr al i um val or es p er appr oxi mat i onem i nveni end i , una contribucion im-

portante a la aproximacion de las integrales y B est i mmung der Genaui gkei t der

Beobachtungen, uno de los primeros analisis de los estimadores estadsticos

(); trabajos en astronoma, inspirados por su estudio del planeta Palas y

una memoria notable sobre la determinacion de la atraccion de un planeta a su

orbita,Theoria a t t ract ionis corporum spha eroidicorum el l ipt icorum homogeneorum

met hodus nova t r act at a.

En Gauss gano el Premio de la Universidad de Copenhagen con suTheo-

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Figura 3: Gauss en

r ia at t ract ionis. . ., junto con la idea de aplicar una superficie en otra de tal forma

que ambas sean similar localmente. Este trabajo fue publicado en y dio ori-

gen a su publicacion U nt er suchungen uber Gegenst a n d e d e r H oheren Geod as i e

( y ). El trabajo T heor ia combi na t i oni s obser vat i onum er r or i bus mi ni mi s

obnoxiae (), junto con su suplemento de, se dedico a la estadstica ma-

tematica, en particular al metodo de los mnimos cuadrados.

La publicacion, en, de su Disquisit iones circa generales superficies curvas

supone una contribucion definitiva de la geometra diferencial de superficies en

el espacio de tres dimensiones, constituyendo esencialmente la primera etapa

en el desarrollo de la geometra de Riemann. Gauss emprende un estudio de las

superficies, demostrando, en particular, que si dos superficies son isometricas

el producto de los dos radios de curvatura principales es el mismo en dos puntos

correspondientes (teorema egregium).

En su memoria de , Gauss trata tambien el problema de determinar las

geodesicas sobre las superficies. Gauss consigue demostrar un celebre teorema

sobre la curvatura de un triangulo cuyos lados son geodesicas. Determina que

la curvatura total de un triangulo geodesico de ladosabc viene dada por Kds= a+b+c

Sus trabajos en geometra diferencial demuestran que el estudio de la geometra

de una superficie puede hacerse concentrandonos esencialmente en la superficie

misma. As, las lneas rectas sobre la superficie son las geodesicas y, por

consiguiente, la geometra de la superficie es no eucldea.

Durante los primeros anos Gotinga, Gauss haba estudiado la posibilidad

de la existencia de una geometra no eucldea. Convencido de la ineficacia de

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las diversas tentativas anteriores para demostrar el postulado de las paralelas,

Gauss acepta cada vez mas la idea de que debe abandonar los caminos trillados y

elaborar una nueva geometra. A partir dedesarrolla esta nueva geometra,

llamada sucesivamente antieucldea, geometra astral y, por fin, geometra no

eucldea. En escribe un ensayo sobre las lneas paralelas, y en una cartadirigida a H.K. Schumaker le dice:

Despu es de haber medi tad o dur a nte casi cuar enta a nos s in escr ib i r nad a d or s

me he tomado la molest ia a l m enos d e poner por escr i to a lgunas de m is ideas,

con el fin de que n o desap arezcan conmigo.

Este mismo, Gauss conoce los trabajos de J a n o s B o l y a i , a traves de un libro

que le enva su padre, y en una carta dirigida a este, le comunica sus propios

trabajos sobre el tema y reivindica la propiedad de sus descubrimientos:

Si d igo que soy incapaz de e logiar este estudio, quiz as le extr a n e . Pe ro n o

puede ser d e otra ma nera, porque el lo equivald r a a ala bar mis propios tra -

bajos. En efecto, el enfoque preconizado por vuestro hi jo y los resultados que

h a o bt en i d o co in c id e n ca s i en t e ra m e n t e c on l a s i d e a s q u e h a n o cu p a d o m i

esp ri tu d esd e ha ce 30 o 35 a n o s . N o te n go l a i n t en c i o n d e p u b l i c a r e s t a s

medi taciones dur ante mi v ida, per o he decid ido escr ib i r las par a que puedan

conserva rse. E s, en consecuencia , una sorpr esa agra d ab le para m ah orra rm e

este tra ba jo, y me llena de a legra el pen sam iento d e que es precisa men te el

h i jo de mi am igo de s iempr e e l que me ha suplanta do d e for ma tan notable. . .

En , Wilhe lm Webe r llega a Gotinga como profesor de fsica, ocupando

el puesto de Tobias Mayer. Gauss haba conocido a Weber en y apoyo este

nombramiento. Gauss haba trabajado en fsica antes de, publicandoUber

e i n neues al l gemei nes Gr undgeset z der Mechani k y Pr incipia general ia theoriae

figur ae fluid orum in sta tu aequ il ibri i w hich d iscuss ed forces of att ra ction. Estos

trabajos estaban basados en la teora del potencial de Gauss, de gran importan-

cia en sus investigaciones en fsica. Gauss pensaba que su teora del potencial

y su metodo de los mnimos cuadrados proporcionaban una relacion vital entrela ciencia y la naturaleza.

En , Gauss y Weber comenzaron a estudiar la teora del magtesimo te-

rrestre, despues de que A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t intentase obtener la ayuda

de Gauss para construir una red de puntos de observacion magneticos alrededor

de la Tierra. Gauss se intereso por este tema, y publico tres importantes traba-

jos: I nt ensi t as v i s m agnet i cae t er r est r i s ad mensur am absol ut am r evocat a (),

A l l gemei ne T heor ie des E r dma gneti smus () yA l l gemei ne Lehr s at ze i n B ezie-

hun g au f d i e i m ver kehr t en V er h a l t n i sse des Quad r at s d er E nt f er n ung w i r kendenA nzi ehun gs- und A bst ossungsk r af t e ().

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Figura 4: Gauss en

En , Weber fue forzado a abandonar Gontinga cuando se vio envuelto en

una disputa poltica, y desde entonces la actividad de Gauss decrecio. Aunque

parece ser que siguio trabajando con asiduidad, no se animaba a publicar los

resultados que obtena. Algunas veces se sintio muy complacido por los avances

realizados por otros matematicos, especialmente por E is e n s t e i n y L o v a c h e v s -

k y .

Despues de, el estado de su corazon se deterioro rapidamente y debio re-

ducir considerablemente sus actividades. EnGauss aprobo la tesis doctoral

de Riemann sobre los fundamentos del analisis complejo y en asiste feliz a

la leccion inaugural de Riemann en Gotinga. Su salud se deterioro lentamente y

murio en la cama el 23 de febrero de.

Figura 5: Gauss en su madurez

Dos de los ultimos estudiantes de doctorado de Gauss fueron Moritz Cantor

y D e d e k i n d, que describio a su tutor con las siguientes palabras:

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. . . usu alm ente se sentaba en una actitud confortab le, con la mir ad a ba ja, l ige-

ram ente inm ovil y con las manos sobre su regazo. Hablaba bastante l ibremen-

te, con mu cha cla rid ad , de form a sim ple y l lan a: pero cuan do qu era d estaca r

un nu evo pu nt o d e vis ta. . . entonces l evan tab a su cabeza , se volv a ha cia al-

guien de los que estaban sentados a su lado y lo mir aba fijamente, con o jos

penetr antes, mientr as dur aba su a locucion. Si p roced a a rea liza r un a expl i-

cacion acer ca de los p r incip ios de d esar r ol lo de u nas f or mulas matem at icas,

entonces se levan ta ba y , con u na postu ra mu y erguid a, escrib a en u na piza -

r r a detr a s d e el con su pa r t icu lar y esmer ada escr i tur a: s iempr e pr ocur aba

escr ib i r or denada mente par a ut i l izar e l menor espacio.

3.3. L OBACHEVSKI

N i c o l a i I v a n o v i c h L o b a c h e v s k i (-), fue hijo de un gobernador oficialque murio cuando Lobachevski solo tena 7 anos. Alumno de J o h a n n M a r t i n

Bertels (-), fue amigo y correspondiente de Gauss, y llego a ser profesor

de la Universidad de Kazan a la edad de veintiun anos. De a fue rector

de esa universidad, donde permanecio, como profesor y administrador, hasta el

final de sus das, a pesar del hecho de que la escasa apreciacion de su trabajo le

entristecio en sus ultimos anos. Lobachevski recibio una gran formacion en las

ideas geometricas, donde las fronteras y las direcciones de investigacion eran

controvertidas.

Los revolucionarios puntos de vistas de Lobachevski no son fruto de una re-

pentina inspiracion. En un esbozo de geometra que elaboro en , probable-

mente para usar en clase, Lobachevski deca en relacion con el postulado de la

paralelas que no se haba descubierto ninguna demostracion rigurosas de esta

verdad. Aparentemente, por esa epoca Lobachevski no exclua la posibilidad de

que una prueba pudiera todava ser descubierta.

En sometio a juicio de sus colegas un primer resumen de su nueva

geometra, que el llamaba geometra imaginaria, cuyo fundamento reposaba

en el rechazo del postulado de las paralelas y en la hipotesis de que la suma

de los angulos de un triangulo es menor que dos rectos. Lobachevski establecio

los principios de esta nueva geometra en dos memorias publicadas en la revista

cientfica de Kazan y en una tercera publicacion en el J ou r n a l f u r M a t h e m a t i k

entre y . Su trabajo de atrajo poco la atencion cuando aparecio,

fundamentalmente porque aparecio en ruso, y los rusos que lo leyeron fueron

muy crticos con el.

Lobacheski cambio abiertamente la doctrina kantiana de que el espacio es

una intuicion subjetiva. En escriba:

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Figura 6: Grabado de Lobachevski (alrededor de)

El poco exi to de los in tentos r eal izados d esde Eucl ides m e han hecho sospe-

char que la ver dad no est a contenida s o lo en los datos, y que par a estable-

cer la es necesar io la ay uda de exper imentos, por e jemplo, las obser vaciones

ast ron omicas, como se realiza en otras leyes de la naturaleza.

Deseoso de dar a conocer mejor su geometra y difundirla entre los geometras

occidentales, escribio G eom etr ie im a gin a ir e (Geom etr a im a gin a ri a ), que aparecio

en la revista de Crelle en , y la otra en aleman, cuyo ttulo es Geometrische

Untersuchu ngen sur Theorie d er Paral lel inien (Invest igaciones geom etr icas sobre

la teor a d e la s pa ra lela s), publicada en . Gauss comprendio y aprecio la

nueva geometra de Lobachevski pero, una vez mas, no le dio publicamente su

aprobacion. Estas es una de las razones por las que la nueva geometra se fue

conociendo muy lentamente. Lobachevski intento de nuevo dar a conocer sus

investigaciones geometricas publicando una nueva exposicion de su geometra

con el ttulo Pa n g eom etrie, o compendio de geometra fundada en un teora ge-

neral de las paralelas (), cuando estaba completamente ciego.

Gauss, Bolyai y Lobachevski se dieron cuenta de que el postulado de las pa-

ralelas no poda ser demostrado a partir de los axiomas de la geometra eucldea,

y que era pues logicamente concebible adoptar una proposicion contradictoria y

desarrollar una nueva geometra consecuente y coherente naturalmente a partir

de esos axiomas. El contenido tecnico presentado por los co-inventores de esta

nueva geometra es practicamente el mismo, y esta perfectamente desarrollado

en la memoria de Lobachevski del ano.

Despues de haber hecho una breve exposicion de sus investigaciones ante-

riores, Lobachevski establece una lista de 15 teoremas de geometra cuya com-

prension juzga esencial antes de abordar la hipotesis que rechaza el postulado

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de las paralelas de Euclides. A continuacion afirma que todas las rectas del

plano que salen de un mismo punto pueden dividirse, con respecto a una rec-

ta dada BC, del mismo plano, en dos clases: las rectas que cortan a BCy las

que no la cortan. En esta segunda clase existen dos rectas que constituyen la

frontera entre las dos clases, y que se llaman rectas paralelas. Lobachevskimuestra que una recta conserva la caracterstica de paralelismo para todos sus

puntos y que la suma de los tres angulos de un triangulo no puede exceder dos

rectos. Despues anade otros teoremas, entre los que se puede citar el siguiente:

Para todo angulo dado existe una rectap tal que(p) =.

Lobachevski pasa a continuacion a la geometra esferica, demostrando diver-

sos teoremas relativos a los triangulos esfericos, a su superficie, e introduce en

particular la nocion de lnea frontera como un crculo de radio infinito.

Figura 7: Grabado de Lobachevski (alrededor de)

Lobachevski ha sido denominado el gran emancipador por E.T. Bell, segun

el cual el nombre de Lobachevski debera ser tan familiar a cualquierescolar

como lo son Miguel Angel o Napoleon. Desafortunadamente, Lobachevski no

fue muy apreciado en vida, hasta el punto que en fue expulsado de la

Universidad de Kazan.

No sera hasta la muerte de Gauss en , cuando su correspondencia fue

publicada, que la comunidad matematica comenzara a considerar seriamente

las ideas no eucldeas. Incluso en Lewis Carroll haca chistes sobre la

geometra no eucldea. Algunos de los mejores matematicos (Beltrami , Rie-

m a n n , Klein , Po i n c a re ) extendieron y clarificaron las ideas de Lobachevski,

aplicandolas a otras ramas de las matematicas. En , el matematico italia-

no Beltrami resolvio definitivamente el problema del axioma de las paralelas,

al probar que no era posible ninguna demostracion del mismo. Demostro que

la geometra no eucldea era tan consistente como la geometra eucldea, de tal

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forma que una de ellas no poda existir sin la otra.

3.4. A LGUNOS RESULTADOS HIPERBOLICOS

En esta seccion vamos a enunciar algunos resultados que pueden probarse en

la geometra hiperbolica, aunque nosotros no vamos a proporcionar ninguna

demostracion.

PROPOSICION . Existe un triangulo cuyos angulos suman menos de 180o

TEOREMA. No existen los rectangulos y en todos los triangulos se satisface que

la suma de sus angulos es menor que 180o.

COROLARIO. En todos los cuadrilateros se satisface que la suma de sus angulos

es menor que 360o.

TEOREMA. Si dos triangulos son similares entonces son congruentes.

En otras palabras, el resultado anterior no dice que en la geometra hi-

perbolica es imposible escalar un triangulo (haciendolo mas grande o mas pe-

queno) sin deformarlo. En consecuencia, no pueden existir las maquinas foto-

graficas en un mundo hiperbolico.

TEOREMA. Sil yl son dos lneas paralelas distintas, entonces cualquier conjun-

to de puntos del equidistantes del tiene a lo mas dos elementos.

El teorema nos dice que no puede haber mas de dos puntos en l que si-

multaneamente sean equidistantes de l. Se puede presentar una de las dos

situaciones siguientes:

- -

9

:

I

A

A

CB

DB

C A B D A B l

l

l

l

TEOREMA. Si l y l son lneas paralelas para las cuales existe un par de puntos

A yB sobre l equidistantes de l, entonces l y l tienen un segmento

perpendicular comun, que ademas es el segmento mas corto entre l

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yl.

TEOREMA. Si dos lneas l y l tienen un segmento perpendicular comun M M,

entonces dichas lneas son paralelas, y el segmento M M es unico.

Ademas, si A yB son puntos en l tales que Mes el punto medio delsegmentoAB , entoncesA yB equidistan del.

TEOREMA. Para toda lnea l y todo puntoPque no esta sobre l, seaQ el punto

sobre l tal que P Q es el segmento perpendicular a l. Entonces exis-

ten dos unicos rayos

P X y

P X, situados en caras opuestas de la

lnea

P Q, que no cortan a l y tienen la propiedad siguiente: un rayo

emanando deP corta a l si y solo si esta entre

P X y

P X. Ademas,

estos rayos lmite estan situados simetricamente alrededor de

P Q, en

el sentido que

XP Q= X

P Q.

-

= ~

P

X X

Ql

Hemos visto que en la geometra hiperbolica existen dos tipos de lneas para-

lelas a una lnea l. El primer tipo consiste en lneas paralelas m que tienen una

perpendicular comun: mdiverge del en ambas lados de la perpendicular comun.

El segundo tipo consiste en paralelas m que se aproximan asintoticamente a l

segun una direccion (y, por tanto, contiene un rayo paralelo lmite) y que diver -

gen segun la direccion contraria. En este segundo caso, las lneas paralelas l y

m no tienen una perpendicular comun.

TEOREMA. Seam una lnea paralela a l que no contiene un rayo lmite paralelo(en ninguna de las dos direcciones). Entonces existe una perpendicu-

lar comun am yl (que ademas es unica).

Los resultados que acabamos de presentar no pretenden ser una coleccion

exhaustiva de teoremas de la geometra hiperbolica, si no solo poner de mani-

fiesto el extrano universo que se genera con dicha geometra. No obstante, no

debemos pensar que la geometra hiperbolica esta muy lejos de ser cierta o ver-

dadera; en la proxima seccion veremos que con una adecuada definicion de los

terminos primitivos, la geometra hiperbolica puede ser considerada una parte

de la geometra eucldea.

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4. LA CON SI ST ENC IA DE LA GEOMETRIA HIPERBOLICA: MO-

DELOS

En la seccion precedente hemos introducido la geometra hiperbolica y hemospresentado, sin demostracion, algunos de los resultados o teoremas de esta

nueva geometra, que deben sonar extranos para alguien acostumbrado a la

geometra eucldea (presumiblemente, todos nosotros). Incluso aunque las de-

mostraciones que pueden hacerse sean rigurosas, siempre nos quedara la duda

o la sospecha de que, en el fondo, esta geometra es falsa. Pero, pensemos

en las consecuencias que tendra la falsedad o inconsistencia de la geometra

hiperbolica.

Supongamos que supongo que cuando tiro una piedra, esta cae hacia arri-

ba. Entonces puede tirar muchas piedras y, salvo un imposible, descubriremos

que nuestra hipotesis es falsa. Ahora bien, que tipo de experimento podemos

realizar para comprobar que la geometra hiperbolica es inconsistente? En otras

palabras, hay alguna manera de probar que el postulado hiperbolico es falso?

O por el contrario, puedo comprobar, de alguna forma, que es verdadero?

El primer paso que debemos dar es aclarar completamente los terminos que

estamos utilizando. Que significan los puntos, las lneas, las lneas pa-

ralelas, etc.? Podramos pensar, en un primer momento, en los puntos y las

lneas rectas que todos podemos dibujar con un lapiz y una regla. Pero, tra-

ta la geometra de los puntos y las lneas que podemos pintar? La geometra

aplicada (ingeniera), posiblemente s; pero la geometra pura trata con puntos

y lneas ideales, es decir, con conceptos, y no con objetos. De manera que los

unicos experimentos que podemos realizar con estos conceptos, son experimen-

tos en nuestra pensamiento. En consecuencia, la pregunta debe plantearse en

los siguientes terminos: puedo imaginar una geometra no eucldea? Los me-

tafsicos, que as se llamaban los seguidores de I m m a n u e l K a n t , el filosofo mas

importante del siglo XVIII, decan que no, que el espacio eucldeo es inherente a

la estructura de nuestra mente, y en consecuencia cualquier geometra no eu-

cldea es inconcebible. En este sentido, Gauss , Bolyai y Lo b a c h e v s k i crearon

un nuevo y extrano universo.

Los matematicos rechazamos muchas ideas por varios motivos, bien porque

conduzcan a contradicciones, bien porque no conduzcan a resultados brillantes

y de interes. Conduce la geometra hiperbolica a alguna contradiccion? S a c -

c h e r i pensaba que s, y trato de probarlo, aunque sin exito. Pero aun as nos

puede asaltar una duda, es posible que Saccheri no fuera lo suficientemente

inteligente para encontrar la contradiccion, y que un buen da, alguien brillante

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y genial encuentre el fallo?

Por otro lado, como sabemos que la geometra eucldea es consistente? Es-

ta pregunta nunca tuvo interes antes del descubrimiento de las geometras no

eucldeas, ya que se pensaba que la unica geometra posible era la eucldea, yque esta era consistente. Sorprendentemente, si nosotros hacemos explcita la

suposicion de que la geometra eucldea es consistente, entonces es posible dar

una demostracion de la consistencia de la geometra eucldea. Consideremos el

siguiente resultado

MET ATEOREMA1 . Si la geometra eucldea es consistentes, entonces tambien lo

es la geometra hiperbolica.

A partir del MetaTeorema anterior, es posible deducir la siguiente consecuen-

cia.

COROLARIO. Si la geometra eucldea es consistente, entonces no se puede en-

contrar una demostracion ni de la verdad ni de la falsedad del pos-

tulado de las paralelas a partir del resto de los postulados; es decir,

el postulado de las paralelas es independiente del resto de postula-

dos.

Supongamos que existe una demostracion del postulado de las paralelas. En-

tonces la geometra hiperbolica sera inconsistente, ya que contradice un resul-tado verdadero. Pero por el MetaTeorema 1, la geometra eucldea debe ser in-

consistente. Por tanto, no podemos encontrar una demostracion. Por otra parte,

la consistencia de la geometra de Euclides garantiza que lo contrario tampoco

puede ser cierto, lo que finaliza la demostracion del corolario.

Por tanto, los 2000 anos que los matematicos se pasaron intentando demos-

trar el postulado de las paralelas fueron en vano. Era una tarea imposible, como

trisecar un angulo arbitrario o cuadrar el crculo con la unica ayuda de la regla

y el compas. Naturalmente, estas afirmaciones son consecuencia de nuestrasuposicion de que la geometra eucldea es consistente. Saccheri, Legendre, Bol-

yai, y tantos otros, intentaron demostrar el quinto postulado a partir del resto,

con el loable objetivo de fortalecer y engrandecer la geometra eucldea, y no se

dieron cuenta de que en su intento estaban destruyendola.

Para probar el MetaTeorema 1, debemos preguntarnos que entendemos por

lnea en la geometra hiperbolica, o por el plano hiperbolico. Una respuesta

honrada sera reconocer que no sabemos la respuesta, ya que se trata de una

entelequia, de una abstraccion. En realidad, una lnea hiperbolica es un con-

cepto abstracto e indefinido que nos recuerda a las lneas eucldeas, excepto

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en que no cumplen el quinto postulado. Por tanto, como podemos visualizar

la geometra hiperbolica, cuando nuestra vision y nuestra educacion (nuestros

sentidos) es eucldea?

La cuestion de visualizar la geometra hiperbolica debe pues entendersecomo encontrar objetos eucldeos que representen objetos hiperbolicos, es de-

cir, que debemos encontrar un modelo eucldeo que represente la geometra

eucldea.

4.1. EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN

Consideremos una circunferenciaen el plano, de centro un puntoO y de radio

OR. Entonces el interior dees el conjunto de puntos Xtales queOX < OR.

OX

R

Los puntos del interior derepresentan, en este modelo, los puntos del plano

hiperbolico.

Una cuerda de es un segmento AB uniendo dos puntos A y B que estan

en . Definimos la cuerda abierta, y la denotamos por A)(B,como la cuerda

AB sin los puntos extremos A yB. En el modelo de Beltrami-Klein, abreviada-

mente, modelo de Klein, las cuerdas abiertas representan las lneas del plano

hiperbolico. La relacion esta sobre tiene la misma interpretacion que en la

geometra eucldea: un punto P esta en la lnea hiperbolica A)(B si, y solo si,

esta en la lnea

AB y se encuentra entre A y B. La relacion hiperbolica en-

tre tambien se interpreta como la misma relacion en la geometra eucldea. Lainterpretacion de la congruencia requiere un poco mas de trabajo y esfuerzo.

La siguiente figura justifica inmediatamente que el axioma hiperbolico se sa-

tisface:

P

m

n

l

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Observamos que las dos cuerdasm yn pasan por el puntoPy ambas son pa-

ralelas a la cuerdal, pues no tienen puntos en comun (recordemos que el plano

hiperbolico se circunscribe al interior de la circunferencia). El hecho de que los

segmentos, cuando se prolongan en el plano eucldeo se cortan, es irrelevante.

Una vez que todos los terminos primitivos han sido rigurosamente interpretados(a nosotros nos falta la congruencia), entonces debemos interpretar los axiomas

de la geometra. Por ejemplo, el primer axioma de incidencia de Klein:

AXIOM A I1. Dados dos puntos distintos en el interior de la circunferencia, exis-

te una unica cuerda abiertal detal queA yB estan sobrel.

Este axioma es un teorema de la geometra eucldea. Una vez que todos

los axiomas de la geometra hiperbolica han sido interpretados como resultados

y teoremas de la geometra eucldea, cualquier prueba de contradiccion en la

geometra hiperbolica se podra trasladar inmediatamente a una contradiccion

en la geometra eucldea. De nuestro convencimiento en la consistencia de la

geometra eucldea, se deduce que tal prueba de contradiccion no puede existir.

En consecuencia, si la geometra eucldea es consistente, entonces tambien lo

es la geometra hiperbolica.

4.2. UN MODELO DE POINCARE EN EL DISCO

El modelo de H e n ri Po i n c a re del disco tambien representa los puntos del plano

hiperbolico como los puntos del interior de una circunferencia, pero las lneas

se presentan de forma bien distinta.

Todas las cuerdas que pasan por el centroO de la circunferencia (es decir, los

diametros abiertos de) representan lneas. Las otras lneas son arcos abiertos

de circunferencias que intersecan ortogonalmente a, en el sentido eucldeo del

termino ortogonal.

Ol

m

Para ser mas precisos, sea una circunferencia ortogonal a . Entonces la

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interseccion decon el interior dedefine un arco abiertom, que por definicion

representa una lnea en el modelo de Poincare. En consecuencia, una lnea de

Poincare, una P-lnea, es o bien un diametro abierto o bien un arco abierto m

ortogonal a, como se indica en la figura anterior.

Como se interpretan las otras relaciones indefinidas de la geometra? Un

punto interior a esta sobre una P-lnea si esta sobre ella en el sentido eu-

cldeo. De manera analoga, la relacion entre tiene el mismo significado que en

el caso eucldeo.

La interpretacion de la congruencia tiene dos partes diferenciadas: la difcil

(la relativa a la congruencia de segmentos) y la facil (la que se refiere a la con-

gruencia de angulos). Esta ultima tiene el mismo significado que en el caso

eucldeo, lo que supone la principal ventaja de este modelo respecto del modelo

de Klein.

De manera totalmente analoga a como se ha hecho con el modelo de Klein,

es posible trasladar, a traves de este modelo, todos los axiomas de la geometra

hiperbolica a teorema de la geometra eucldea. En consecuencia, el modelo

de Poincare nos proporciona una nueva demostracion de que si la geometra

eucldea es consistente, entonces tambien lo es la geometra hiperbolica.

Veamos a continuacion algunas figuras que ilustran algunos de los resultados

mas caractersticos de la geometra hiperbolica, que presentamos en la seccionanterior.

O lA B

P

La figura anterior ilustra los rayos lmite paralelos. Como lnea l hemos es-

cogido el diametro abierto A)(B; los rayos son los arcos circulares que cortan

la recta

AB en A yB y son tangentes a dicha lnea en esos puntos. Puede ob-

servarse que estos rayos se aproximan asintoticamente al conforme nos vamos

acercando a los puntosA yB .

La siguiente figura ilustra dos P-lneas con una perpendicular comun. El

dibujo muestra quem diverge del por ambos lados de la perpendicular comun.

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O l

P m

Finalmente, la siguiente figura ilustra un cuadrilatero de Lambert, donde

puede comprobarse que el cuarto angulo es agudo.

O l

Cuadrilatero de Lambert

Anadiendole su imagen reflejada en un espejo puede obtenerse un cuadrila-

tero de Saccheri.

O

Cuadrilatero de Saccheri

4.3. UN MODELO DE POINCARE EN EL SEMIPLANO

Poincare fue capaz de disenar otro modelo para la geometra hiperbolica, donde

el plano hiperbolico se identifica con los puntos de un semiplano determinado

por una lnea eucldea fija. Para fijar las ideas, y si utilizamos coordenadas

cartesianas, es usual considerar con plano hiperbolico el siguiente conjunto:

H={(x, y) :y >0}

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Las lneas hiperbolicas, en este modelo, pueden ser de dos tipos:

(1) rayos emanando de puntos situados sobre el ejex y perpendiculares a dicho

eje;

(2) semicircunferencias en el semiplano superior con centro un punto en el eje

x,

Las relaciones de incidencia y entre tienen la misma interpretacion que en

la geometra eucldea. En este modelo, los angulos se miden de la misma manera

que en el caso eucldeo, lo cual se indica diciendo que este modelo es conforme

al eucldeo, o bien que ambos modelos son conformes.

4.4. EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS

Ya hemos descrito, aunque sea muy brevemente, tres modelos distintos para la

geometra hiperbolica. Quizas estemos sorprendidos, ya que no solo hemos sido

capaces de encontrar mundos donde la geometra es hiperbolica, y no eucldea,

sino que hemos propuesto tres modelos. Uno puede sentir que dichos modelos

son distintos, por las diferencias entre las definiciones de lneas, incidencia, y

demas terminos y relaciones primitivas. Pero, realmente, son diferentes los

modelos?

Vamos a demostrar (quizas sera mas adecuado decir, insinuar o esbozar)

que los tres modelos son isomorfos, en el sentido matematico de que existe una

correspondencia biyectiva entre cada dos modelos que preserva los terminos y

relaciones primitivas (puntos, lneas, sobre, entre y congruente).

4 .4 .1 . EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE KLEIN Y EL DISCO DE POINCARE

Consideremos el plano como el planoXY dentro del espacio eucldeo tridimen-

sional y sea una esfera, del mismo radio que el disco de Klein, que sea tangente

al plano en el origen.

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Proyectamos ortogonalmente el modelo de Klein en el hemisferio sur de la es-

fera. Mediante esta proyeccion, las cuerdas del disco se transforman en arcos de

circunferencias ortogonales al ecuador de la esfera. A continuacion proyectamos

estereograficamente desde el polo norte de la esfera en el plano original. Tras la

proyeccion, el ecuador de la esfera se transforma en una circunferencia de radio

mayor que la circunferencia original del modelo de Klein, y el hemisferio sur se

transforma en el interior de dicha circunferencia. Si el disco original represen-

ta el modelo de Klein, entonces el disco resultante de las dos transformaciones

anteriores representa el modelo de Poincare.

4 .4 .2 . EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE POINCARE

Para poder visualizar una transformacion de un modelo en otro, debemos identi-

ficar el plano eucldeo con el plano complejo, de forma que un punto del plano es

un numero complejoz = a+ib. Podemos definir la siguiente aplicacion : DHdada por

(z) =i z+izi

Entonces dicha correspondencia transforma los terminos y relaciones primiti-

vas del modelo de Poincare en el disco en los correspondientes del modelo del

semiplano de Poincare.

4 .4 .3 . CONCLUSION

En realidad, puede probarse que todos los posibles modelos de la geometra hi-

perbolica (es decir, los que hemos expuesto y cualquier otro que nosotros u otros

puedan concebir) son isomorfos entre s, es decir, los axiomas de la geometra

hiperbolica son categoricos.

La afirmacion anterior tambien es cierta para la geometra eucldea, y puede

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probarse introduciendo coordenadas cartesianas en el plano. Del mismo modo,

la naturaleza categorica de la geometra hiperbolica puede probarse introdu-

ciendo las coordenadas de Beltrami en el plano hiperbolico (y para ello debemos

introducir primeramente

no euclideas

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