números racionales · para cada una de las siguientes figuras, escriba un número que represente...

Capítulo

Números Racionales

6

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Definición

Números Racionales

El conjunto de números Q, tal que

denominador

número de partes de

igual tamaño en que se

ha dividido el entero


numerador

número de partes

de igual tamaño

que hemos

seleccionado

Significado de una fracción

¿Qué parte del círculo está coloreada?

3

8 Cantidad total de partes iguales que forman el todo, en este caso, el círculo.

3

8se lee tres octavos.

Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

Cuando cuantificamos cantidadesmenores que el todo, dividimos enpartes equitativas.

Cantidad de partescoloreadas.

Numerador y denominador

A m se le llama numerador y al número n se le llamadenominador.

m

n

numerador

Si tenemos dos números naturales m y n


m

nse llama fracción de naturales.

denominador

Fracciones en palabrasCantidad de partes

equitativas en que se

divide el todoNombre de las partes

Dos Mitades o medios

Tres Tercios

Cuatro Cuartos

Cinco Quintos

Seis Sextos

Siete Séptimos

Ocho Octavos

Nueve Novenos

Diez Décimos

Once Onceavos

A partir de once se añade el sufijo “avos” a la palabra

correspondiente a la cantidad total de partes en que se divide el todo.

Ejemplo


Para cada una de las siguientes figuras, escriba un número que represente la parte de la región que está coloreada y la que no está coloreada.

5

6Cinco sextos

1

6Un sexto

2

5

Dos quintos

3

5

Tres quintos

Área coloreada Área nocoloreada

Significados de los números racionales

• Diferentes representaciones que se le pueden

atribuir a las fracciones

• Parte de un todo

• Una razón

• Un cociente

• Una medida

• Un operador

Parte de un todo

Ejemplos:


del círculo está pintado.3

8

3

12 del conjunto son manzanas verdes.

La relación entre cierta cantidad de partes de

un todo divido equitativamente y el total de las

partes.Modelo discreto(conjunto de objetos)

Modelo continuo (área)

Razón

Una razón es una relación entre dos cantidades.

– Tres de cada cinco dentistas prefieren la

pasta de dientes Sincaries.

30 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 : 1𝑔𝑎𝑙ó𝑛30

1

3 ∶ 5 3

5


Ejemplos:

– Un nuevo automóvil tiene un rendimiento

de 30 millas por galón.

Cociente


Representación de la operación de división.

El enunciado de división a ÷ b es

equivalente a

Ejemplo:

Si dividimos una manzana entre tres

personas en partes iguales, esto es 1 ÷ 3.

Cada una tendrá un tercio de manzana.

a b

1 ÷ 3 =13

Medida

Representación en la recta numérica y la

cuantificación de longitud.

Ejemplos:

La coordenada del punto A es .

1

3

La longitud entre -2 y A es .5

3


Operador

En la Aritmética, un operador es un símbolo que denota una o más operaciones que deben realizarse sobre uno o más operandos.

Ejemplo:

– La operación de multiplicación con fracciones.

(Significado: ¿Cuánto es una tercera parte de 2 enteros?)1 23


31 2

23

Definición

Fracción propia

Una fracción, , en la cual

Ejemplos:

Fracción impropia

Una fracción, , en la cual

Ejemplos:


y

, ,7

7

Considere las siguientes fracciones de enteros: b)

244


123

8 3

c)

d)

216

8a) 105

2

Enteros subconjunto de los

Racionales

Los enteros positivos y los negativos son números racionales.

Tomemos como numerador al 0. Por ejemplo, 0 0

No podemos usar a cero como denominador un número racional.


Enteros subconjunto de los Racionales

También el cero es un número racional.

𝑎

0no está definida, , incluyendo a 0

0

4

Resumen

Por lo tanto, este conjunto consiste

de:

Fracciones de naturales

Opuestos de las fracciones de

naturales

Enteros


El conjunto de los números racionalesconsiste de cocientes,

𝑎

𝑏,donde a y b son

enteros para b ≠ 0.

Modelo de la recta numérica

¿Cuáles números se han representado en la

siguiente recta numérica?


1

4

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son numeros que representan el

mismo punto sobre una recta numérica.


Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son numeros que ocupan la

misma área de un entero.


Manipulativos tangibles

Bloques de patrones

Piezas de rectángulos

Franjas de fracciones

Piezas de círculos1 CM

Barras de cuisenaire


Ejemplos


1. Si la barra anaranjada es el todo, ¿qué

parte representa una barra amarilla?

2. Si la barra verde representa el todo,

¿qué parte representan dos barras

rojas?

Ejemplo

Si representa del todo, dibuje una posible1

3

representación del todo.


Con un modelo de

conjuntos

Con un modelo de área

Ejemplo

Si la siguiente figura representa el todo,

¿qué parte representa un trapecio?


Ley fundamental de fracciones

Sea cualquier fracción y n natural, entonces

Ejemplo

Hallar el valor para x tal que

, por lo tanto x = 60


Simplificación de fracciones

Un número racional esta

• en su estado más simple

• en su forma mínima

• reducido completamente

si a y b no tienen un factor común mayor que 1.


Ejemplo

a.

c.

10

55=

12b. − =36

10

d.3𝑎

=𝑎𝑏

Escribir cada fracción en su forma más simple:


9

Igualdad de Fracciones

Demostrar que

42

12=

10

35=


Método 1: Simplificar ambas fracciones a su

estado más simple. Si reducen a

la misma fracción, son iguales


Método 2: Convertir ambas fracciones a fracciones

equivalentes con el mismo denominador usando el

mínimo común múltiplo.

Si las nuevas fracciones son iguales, las

originales eran equivalentes.

Demostrar que 6=

1520 50


, d 0 son iguales si yDos fracciones y

Demostrar que48

=4

108 9

𝟗 × 𝟒𝟖 = 𝟒𝟑𝟐

𝟏𝟎𝟖 × 𝟒 = 𝟒𝟑𝟐

Como los productos son iguales, las fracciones son

equivalentes.


sólo si ad = bc.

Ordenamiento de Números Racionales

Si a, b, c, y d son enteros donde b > 0 y d > 0,

entonces si y solo si ad > bc.

𝟒

𝟓

𝟏𝟏

𝟏𝟐

Ejemplo:

Densidad de los números racionales

Dado números racionales cualesquiera,𝑎 𝑦 𝑐 ,


𝑏 𝑑

existe otro número racional entre estos dos

números.

Ejemplo

Hallar dos fracciones entre

• Primero, determinamos dos fracciones

pero con denominadoresequivalentes a

mayores.

5𝑦

1.

12 2

5𝑦

1

12 2

𝟓=

?

𝟏𝟐 𝟒𝟖

𝟏=

?

𝟐 𝟒𝟖

𝟓=𝟐𝟎

𝟏𝟐 𝟒𝟖

𝟏=𝟐𝟒

𝟐 𝟒𝟖

𝟐𝟏,𝟐𝟐

,𝒚𝟐𝟑

𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝟓

𝒚𝟏

𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐


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