números complejos (2da parte)
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Plan de continuidad pedagógica- Matemática-6to A/B- Colegio José Hernández
Profesores: Lozano, Natalia Elizabeth; Paes Rodriguez, Oscar
Números Complejos (2da parte)
Modulo y argumento de un complejo:
El módulo de un complejo Z a bi es la longitud del vector posición, desde el origen hasta las
coordenadas del afijo.
Se designa entre barras z a bi y se calcula con el teorema de Pitágoras: 2 2Z a bi Z a b
El Argumento de un complejo Z a bi , es el ángulo que forma el eje X con el vector posición de Z.
Se calcula mediante la expresión:𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟹ (𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏
𝑎), se lee: arco tangente de b sobre a
Calcular el módulo y el argumento de 𝑍 = 3 + 2𝑖
Módulo
|𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2 = √32 + 22 = √13
Argumento (ángulo)
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2
3) en la calculadora apretar las teclas:
𝛼 = 33,69006753 este resultado está en forma
decimal, entonces apretamos la tecla
𝛼 = 33°41´24,24´´
Operaciones Básicas:
Suma y resta de números complejos: Para sumar dos números complejos tenemos que sumar
por separado las partes reales y las partes imaginarias.
Por ejemplo:
𝑧1 = 3 + 5𝑖; 𝑧2 = −1 + 2𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 3 + (−1) + (5 + 2)𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 7𝑖
Multiplicación: Para multiplicar Complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de
números Reales o expresiones algebraicas, teniendo en cuenta que 2 1i
Por ejemplo:
𝑧1 . 𝑧2 = (3 + 5𝑖). (−1 + 2𝑖)
𝑧1. 𝑧2 = 3 . (−1) + 3 . 2𝑖 + 5 . (−1) + 5𝑖 . 2𝑖
𝑧1. 𝑧2 = −3 + 6𝑖 − 5 + 10𝑖2
𝑧1. 𝑧2 = −8 + 6𝑖 + 10 . (−1)
𝑧1. 𝑧2 = −8 + 6𝑖 − 10
𝑧1 . 𝑧2 = −18 + 6𝑖
shift tan 23⁄
° ´ "
División: Para dividir un número complejo por otro número complejo, se debe multiplicar al numerador
y al denominador del cociente por el conjugado del denominador
Por ejemplo:
𝑧1
𝑧2=
3 + 5𝑖
−1 + 2𝑖
𝑧1
𝑧2=
(3 + 5𝑖). (−1 − 2𝑖)
(−1 + 2𝑖). (−1 − 2𝑖)
𝑧1
𝑧2=
3 . (−1) + 3 . (−2𝑖) + 5𝑖 . (−1) + 5𝑖 . (−2𝑖)
−1 . (−1) + (−1). (−2𝑖) + 2𝑖 . (−1) + 2𝑖 . (−2𝑖)
𝑧1
𝑧2=
−3 − 6𝑖 − 5𝑖 − 10 𝑖2
1 + 2𝑖 − 2𝑖 − 4𝑖2
𝑧1
𝑧2=
−3 − 11𝑖 − 10 . (−1)
1 − 4 . (−1)
𝑧1
𝑧2=
−3 − 11𝑖 + 10
1 + 4
𝑧1
𝑧2=
7 − 11𝑖
5
𝑧1
𝑧2=
7
5−
11
5𝑖
Potencias de la unidad imaginaria:
Teniendo en cuenta la definición de unidad imaginaria y a través de las propiedades de la potenciación, se
pueden hallar las potencias de i:
𝑖0 = 1
𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1
𝑖3 = 𝑖 . 𝑖2 = 𝑖 . (−1) = −1
𝑖4 = 𝑖2. 𝑖2 = (−1). (−1) = 1
𝑖5 = 𝑖4 . 𝑖 = 1 . 𝑖 = 𝑖 𝑖6 = 𝑖5. 𝑖1 = 𝑖 . 𝑖 = 𝑖2 = −1
𝑖7 = 𝑖6 . 𝑖 = (−1). 𝑖 = −1
Se observa que, las potencias de i se repiten periódicamente, y que los resultados posibles son:
1; 𝑖; −1 𝑦 − 𝑖
Podremos determinar que, si elevamos i a un número natural cualquiera, el resultado de esa potencia es
igual al resultado de elevar a i al resto de una división entre el exponente y 4.
En símbolos:
𝑖𝑛 = 𝑖𝑟 (sabiendo que r es el resto de resolver n:4)
Por ejemplo:
𝑖35 = 𝑖3 = −1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 35 = 8 . 4 + 3
𝑖72 = 𝑖0 = 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 72 = 18 . 4 + 0
En el siguiente link encontrarán un video explicativo de potencias de i:
https://www.youtube.com/watch?v=jf5zEJlcqWw
Formas de expresar un complejo:
Además de las formas binómica y cartesiana, un número complejo puede expresarse en forma polar y
trigonométrica.
Forma Polar: Z Z
Forma Trigonométrica: . .Z Z Cos i Sen
Ejemplo:
Forma binómica: 𝑍 = 4 + 3𝑖
Forma vectorial o cartesiana: 𝑍 = (4; 3) sin la letra 𝑖
Para las siguientes dos formas precisamos saber el módulo y el argumento del complejo
Módulo |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2
|𝑍| = √42 + 32 = √25 = 5
Argumento 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏
𝑎)
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (3
4)
𝛼 = 36.86989765
𝛼 = 36°52´11,63´´ una vez que tenemos estos dos datos procedemos a expresar al complejo en las otras dos formas que faltan
Forma polar:536°52´11,63´´
Forma trigonométrica: 5. [cos(36°52´11,63´´) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(36°52´11,63´´)]
ACTIVIDAD 001 Link de apoyo:
https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk; https://www.youtube.com/watch?v=dhqYIyCD7rQ
Dados los s iguientes números complejos…
...calcular:
a. 1 10Z Z b. 9 2 4Z Z Z c. 5 1Z Z
d. 3 4.Z Z f. 8 3 4Z Z Z i.
3 5
1. 5.
5Z Z
ACTIVIDAD 002 Link de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=C_VQmF6sc08;
https://www.youtube.com/watch?v=NEVNJ3ryQ7U
Resuelva los s iguientes productos notables.
i2Z1
i210Z2
523 3Z i )5(Z
4 5 1 10Z i
i612Z6
i2Z7
i15Z8 i26Z
9 i311Z
10
a. 2 13 . 2 13i i b.
22 6i
c.2
15
2i
d. 3
2 i e. 2 4 2 4
.3 7 3 7
i i
f. 3
3 2i
ACTIVIDAD 003 Link de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU
Resolver las s iguientes divis iones.
a.
i24
i24
b.
i23
i2
c.
i5
i7 d.
2 3
2 3
i
i
e. 10 2
1
i
i
f.
12
2 3i
i
g.
5 32 2
4 6i
i
h.
i24
i21
21
ACTIVIDAD 004
Resolver las s iguientes potencias de i. a. 𝑖37 = b. 𝑖126 = c. 𝑖47 = d. 𝑖841 = e. 𝑖18 = f. 𝑖25 = g. 𝑖44 =
ACTIVIDAD 005
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a.
i22
)i35).(i26( b. 2(3 2 ) 3
(6 )2
ii i
i
c.
i1
)5i8(ii
1 129
2
d.
22350
i32
)i2i3(
e.
i).i21(
)i1).(i6( f.
22 )i3()i2()i1(
)i3(
g. 2 2
2 2
i i
i i
h.
1 34 2 5 (1 )i i i
ACTIVIDAD 006
Hallar el módulo de cada uno de los siguientes números complejos.
Z i 1 12 5 Z i 2 3 Z i 3 4 2
Z i 4 2 5 Z i 5 8 2 Z i 6
1 3
6 3
ACTIVIDAD 007
Hallar la expresión polar y trigonométrica de cada uno de los s iguientes complejos...
4A i 1B i 1 3C i
6D 2 2E i 4 2 3F i
50 2 50 2G i 3H i 100J
FECHA DE ENTREGA
6to A: Actividades 4 y 5, viernes 17/04. Actividades 6 y 7, Viernes 24/04
Consultas: [email protected]
6to B: Actividades 1 a 4 (inclusive) viernes 17/04. Actividades 5 a 7, viernes 24/04.
Consultas: [email protected] Código de Classroom: cdvzgtc