new matem matemática superior aplicadaática superior aplicada · 2017. 9. 9. · 20/11/2009...
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Matemática Superior Aplicada
Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz
Auxiliares de Cátedra:
Dr. Juan Ignacio Manasaldi ([email protected])
Ing. Amalia Rueda: ([email protected])
mailto:[email protected]
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02/10/2020 Matemática Superior Aplicada - UTN - FRRo 2
• Utiliza una aproximación lineal para obtener una
dirección de descenso de f(x).
• Dirección de descenso: El vector d es una dirección
de descenso de una función f(x) si existe un δ > 0
tal que:
y
f ( x d ) f ( x ) (0, )
0
f x + d f xlim 0
Optimización Multidimensional No RestringidaMétodo del Gradiente
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02/10/2020 Matemática Superior Aplicada - UTN - FRRo 3
• La búsqueda se realiza lo largo de la dirección d,
minimizando el límite citado anteriormente.
• Si f(x) es diferenciable en x con gradiente no nulo
la dirección de descenso con mayor pendiente es:
f ( x )d
f ( x )
Optimización Multidimensional No RestringidaMétodo del Gradiente
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02/10/2020 Matemática Superior Aplicada - UTN - FRRo 4
Método del GradienteAlgoritmo
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EjemploProblema: Minimizar (x1 – 2)
4 + (x1 – 2x2)2 , punto de inicio: (0.00, 3.00).
4 2
1 2 1 1 2, 2 2f x x x x x
3
1 1 1 2
1 2
2
4 2 2 2
4 2
f
x x x xf
f x x
x
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02/10/2020 Matemática Superior Aplicada - UTN - FRRo 6
Ejemplo
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02/10/2020 Matemática Superior Aplicada - UTN - FRRo 7
x=[0.5,0.5];
delta=1;
h=1e-5;
n=length(x);
while delta>1e-4,
for i=1:n
ep=zeros(size(x));
ep(i)=h;
gradf(i)=(fex(x+ep)-fex(x-ep))/2/h;
end
direc=-gradf/norm(gradf);
clear alpha f
alpha(1)=0.1;
alpha(2)=0.2;
alpha(3)=0.3;
f(1)=fex(x+alpha(1)*direc);
f(2)=fex(x+alpha(2)*direc);
f(3)=fex(x+alpha(3)*direc);
i=3;
while abs(alpha(i)-alpha(i-1))>1e-6 ft=f(i-2:i)'; at=alpha(i-2:i)'; a=[ones(3,1),at,at.^2]; coeff=a\ft; i=i+1; alpha(i)=-coeff(2)/2/coeff(3); f(i)=fex(x+alpha(i)*direc);
end x=x+alpha(i)*direc; delta=abs(alpha(i));end
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0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
21
1.5
2
2.5
3
3.5
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2 2
1
1( ) exp 1
4
xf x x
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Optimización Multidimensional – Método Simplex
2
2 2
1
1( ) exp 1
4
xf x x
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Función de Rosenbrock ‘banana’ :
Optimización Multidimensional – Método Simplex
2 22
1 2 2 1 1, 100 1f x x x x x
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Función de Himmelblau: 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2, 11 7f x x x x x x
Optimización Multidimensional – Método Simplex