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GUÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Academia de Matemáticas y Física I.C.

1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales en ordinarias y en derivadas parciales.

a) 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) b)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2= 0 c)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣

d) 𝑥3𝑦′′′ − 5𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ + 3𝑦 = 0 e) 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝑢

𝜕𝑡2

2. Determine el orden y grado de las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación.

a) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑘𝑥 = 𝑒−𝑥 c) (

𝑑𝑥

𝑑𝑡)3

−𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥ln𝑥

d) (𝑑3𝑦

𝑑𝑥3)2

− 4(𝑑2𝑦

𝑑𝑥2)4

− 5𝑥𝑦 = cos 𝑥 e) 𝑦(5) − 7𝑦(4) + 3𝑦′′′ + 4𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0

3. Para las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación, clasifíquelas en lineales y no

lineales.

a) 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 4𝑦2 = 0 b) 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2− 2

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 5𝑥 = cos 𝑡

c) 𝑦(5) + 2𝑦(4) − 5𝑦′′′ + 8𝑦′′ − 3𝑦′ + 4𝑦 = 0 d) (𝑑3𝑦

𝑑𝑥3)4

+ (𝑑2𝑦

𝑑𝑥2)2

− 3𝑦 = 𝑥

e) 𝑦′′′ − 4𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑒𝑦 = sen 𝑥 f) 3𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑒𝑥

4. Determine si la función proporcionada es solución de la ecuación diferencial dada.

a) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑥2ln(𝑥) b) 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− y = 𝑥2𝑒𝑥; 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 , 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒.

c) 𝑦′′′ − 2𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 = 𝑐𝑡𝑒𝑠.

d) 𝑥3𝑦′′′ + 𝑥2𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥−1 + 𝑐3𝑥

2, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 = 𝑐𝑡𝑒𝑠.

5. Compruebe si la función explícita dada es solución de la ecuación diferencial de primer orden

señalada.

a) (𝑑𝑦

𝑑𝑥)2

− 4𝑦 = 4; 𝑦 = 𝑥2 − 1 b) sec 𝜃𝑑𝑟

𝑑𝜃− 1 = 0; 𝑟 = sin 𝜃

c) 𝑥2𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 4𝑥3; 𝑦 = −𝑥2 + 𝑐𝑥−2, 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒. d) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

6𝑥𝑦

𝑥2+1; 𝑦 = (𝑥2 + 1)3

e) 𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑦

𝑥= −

4

𝑥√𝑥2+4; 𝑦 = 𝑐𝑥 + √𝑥2 + 4, 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒.


6. Verifique si la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial de primer orden

mostrada. Considere a 𝑐 como una constante.

a) 3𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0; 𝑥 + 𝑐√𝑦 = 0 b) (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥𝑦 = 0; 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑐𝑦

c) (𝑥𝑦2 − 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0; 𝑥2𝑦2 − (𝑥2 + 𝑦2) = 𝑐 d) 1+𝑟′

𝜃𝑟′+𝑟=

1

𝜃+

1

𝑟; 𝑟 + 𝜃 = 𝑐𝑟𝜃

e) 2𝑦′

2𝑥−𝑦′=

𝑦

𝑥2−𝑦; 𝑦2 + 𝑐𝑦 = 𝑐𝑥2

7. Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separables.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥2

𝑦(1+𝑥3) b) 3𝑟 cos 𝜃𝑑𝑟 −

sec𝜃

𝑟𝑑𝜃 = 0 c) 𝑦𝑑𝑦 = 4𝑥√𝑦2 + 1𝑑𝑥; 𝑦(0) = 1

d) sin 𝑥 (𝑒−𝑦 + 1)𝑑𝑥 − (1 + cos 𝑥)𝑑𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1 e) (1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

8. Compruebe que las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación son homogéneas y

determine su solución.

a) (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 b) 2𝜃2𝑟𝑑𝜃 = (3𝜃3 + 𝑟3)𝑑𝑟 = 0 c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+

𝑥2

𝑦2+ 1

d) (𝑦 + 𝑥 cot (𝑦

𝑥))𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 d) 𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑦√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦; 𝑦(0) = 1

9. Aplique el cambio de variable apropiado para reducir las ecuaciones diferenciales abajo

mostradas a una de variables separables y así obtener su solución.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2 +√𝑦 − 2𝑥 + 3 b)

𝑑𝑟

𝑑𝜃=

1−𝜃−𝑟

𝜃+𝑟; 𝑟(−1) = 1 c) 𝑦′ = sen(𝑥 + 𝑦)

d) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑏

𝑎+ 𝑒𝑎𝑦−𝑏𝑥+𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 e)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥+𝑦−2

𝑥−𝑦 f) (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 − (2𝑥 + 3𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0

10. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden son exactas y, si es así,

halle su solución.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥+4

1−3𝑦 b) (1 + 𝑧2)𝑑𝑡 + (2𝑡𝑧 + 4𝑧)𝑑𝑧 = 0

c) Calcule el valor de 𝑘 para que sea exacta: (𝑥 + 𝑦)2𝑑𝑥 + (𝑘𝑥𝑦 + 𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 y obtenga su

solución sujeta a la condición inicial 𝑦(1) = 1.

d) (sen 𝑦 − 𝑦 sen 𝑥)𝑑𝑥 + (cos 𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0


e) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥+𝑦2 sen𝑥−𝑦3

3𝑥𝑦2+2𝑦cos𝑥 f) (𝑒𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (2 + 𝑥 + 𝑦𝑒𝑦)𝑑𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1

11. Compruebe que las ecuaciones diferenciales de primer orden proporcionadas abajo no son

exactas, obtenga un factor integrante y halle su solución.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥𝑦

2𝑥2+3𝑦; 𝑦(0) = 2 b) 𝑧(𝑡 + 𝑧 + 1)𝑑𝑡 + (𝑡 + 2𝑧)𝑑𝑧 = 0

c) 3𝜃2𝑟𝑑𝜃 + (2𝜃3 + 4𝑟2)𝑑𝑟 = 0 d) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥ln𝑦𝑑𝑦 = 0

e) pruebe que 𝜇 = 𝑥𝑦 es un factor integrante de: (−𝑥𝑦 sin 𝑥 + 2𝑦 cos 𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑦 = 0 y

calcule su solución.

12. Calcule la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

a) 𝑥2𝑦′ + 𝑥𝑦 = 1 b) (𝑥 sen 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 c) 𝑑𝑟

𝑑𝜃+ 3𝜃2𝑟 = 𝜃2

d) 𝑡2𝑑𝑧

𝑑𝑡+ 𝑡(𝑡 + 2)𝑧 = 𝑒𝑡 e)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑦 + 𝑥(𝑒3𝑥 − 𝑒2𝑥); 𝑦(0) = 2

f) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = {

1𝑠𝑖0 ≤ 𝑥 ≤ 30𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥 > 3

; 𝑦(0) = 0 g) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 4𝑥, 𝑦(0) = 3𝑐𝑜𝑛𝑝(𝑥) = {

2𝑠𝑖0 ≤ 𝑥 ≤ 1

−2

𝑥𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥 > 1

13. Halle la solución de las ecuaciones diferenciales de Bernoulli mostradas a continuación.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦2 b) 𝑥𝑑𝑦 − (1 + 𝑥 − 𝑥𝑦)𝑦𝑑𝑥 = 0 c) √𝑦𝑦′ +√𝑦3 = 1; 𝑦(0) = 4

d) 2𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝑧

𝑡−

𝑡

𝑧2; 𝑧(0) = 1 e) 3(1 + 𝑥2)𝑦′ = 2𝑥𝑦(𝑦3 − 1)

14. Las siguientes ecuaciones diferenciales son de Ricatti, obtenga su solución.

a) 𝑦′ = −2 − 𝑦 + 𝑦2; 𝑦1 = 2 b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

𝑥= 𝑦2 −

2

𝑥2; 𝑦1 =

2

𝑥

c) 𝑦′ = 𝑒2𝑥 + (1 + 2𝑒𝑥)𝑦 + 𝑦2; 𝑦1 = −𝑒𝑥 d) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 +

𝑦

𝑥− 2𝑦2; 𝑦1 = 𝑥

e) 𝑦′ = sec2𝑥 − (tan 𝑥)𝑦 + 𝑦2

15. Resuelva las ecuaciones diferenciales de Clairaut proporcionadas a continuación.

a) 𝑦 = 𝑥𝑦′ + (𝑦′)3 b) 𝑦 = (4 + 𝑥)𝑦′ + (𝑦′)2 c) 𝑦 − 𝑥𝑦′ = 1 − ln(𝑦′)

d) 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑒𝑦′ e) 𝑦 − 𝑥𝑦′ − sen 𝑦′ = 0


16. Determine la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1+𝑦2

2𝑥𝑦+4𝑦 b) (𝑦 + 𝑒−𝑥)𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 c) 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0

d) −2 + 𝑥3𝑦 + (𝑥4 + 6𝑥3𝑦)𝑦′ = 0 e) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−3𝑥2

3𝑥3+5𝑦2 f) (𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

17. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez

proporcional al número de ellas presentes en dicho instante. Si inicialmente hay 100 bacterias

y después de 4 horas hay 150 de ellas, ¿cuántas habrá en 20 horas? ¿En qué tiempo habrá

1000?

18. Un cultivo de bacterias enfermas crece, en un instante cualquiera, con una rapidez que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número presente en dicho instante. Si inicialmente había 90 bacterias y después de 2 días hay 160, ¿en cuántos días habrá 360?

19. Se sabe que la masa de una sustancia radiactiva disminuye, en un instante cualquiera, de

manera proporcional a la cantidad de masa presente en dicho instante. En un trozo de

madera quemada se encontró que el 85.5% de carbono 14 se había desintegrado. Sabiendo

que la vida media del carbono 14 es de 5600 años, halle la edad de la madera.

20. Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la formación de la

Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio 𝑈238 (cuya vida media es de

4.51 × 109 años, pero no plomo, producto final de la desintegración de 𝑈238. Si la proporción

actual de los átomos de 𝑈238 al plomo en ese cuerpo mineral es de 0.9, ¿Cuándo ocurrió el cataclismo?

21. Suponga que la masa de una sustancia decrece a una tasa que es inversamente proporcional

a la cantidad presente. Si inicialmente había 120 gramos y 80 gramos están presentes después de 2 días, ¿en qué tiempo habrá 10 gramos de la sustancia?

22. La carga eléctrica en una superficie esférica escapa con una rapidez proporcional a la carga

eléctrica instantánea. Inicialmente, la carga es de 5 Coulomb y en 20 minutos se escapa un tercio. ¿En qué tiempo quedará 1 Coulomb?

23. Interés compuesto continuo significa que el aumento de dinero, en un cierto tiempo, es

proporcional al dinero presente en dicho momento. Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó en una cuenta de ahorros $5000 bajo un interés compuesto continuo al 8% anual. Se dejó que se acumularan los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en el decimoctavo cumpleaños del niño?

24. Según la Ley de Lambert, la rapidez con que es absorbida la intensidad I de un rayo de luz

incidente sobre una capa de material traslúcido es proporcional a I(x) donde x es el espesor

de la capa. Si a una profundidad de 3m la luz del Sol que cae verticalmente sobre el agua del

océano, se reduce a la mitad de su intensidad inicial I0, ¿a qué profundidad se reducirá su

intensidad a una cuarta parte de I0? ¿Qué intensidad tendrá a 2m de profundidad?


25. Después de administrar un medicamento su concentración 𝐶(𝑡) en el cuerpo disminuye, en un

instante cualquiera, de manera proporcional a la concentración presente en dicho instante. Si

a una persona se le administra cierto medicamento y en 10 horas su concentración disminuye

al 50%, calcule: a) la concentración al cabo de 15 horas, b) el tiempo para el cual el

medicamento alcance el 12% de su valor original. (Observación: la concentración del

medicamento al momento de aplicarse es del 100%).

26. Cierta información dudosa relativa a los efectos de la feniltiourea en el consumo de agua comenzó a extenderse un día en una ciudad de 100000 habitantes. Después de una semana 10000 personas habían oído el rumor. Suponga que la razón de aumento del número de las que han oído el rumor es proporcional al de las que todavía no lo han oído. ¿Cuánto tiempo pasará para que la mitad de la población de la ciudad se entere de esa información?

27. Una barra metálica se extrae de un horno que está a 1000ºC y se pone a enfriar en un lugar

cuya temperatura se mantiene constante a 30ºC. Después de 10 horas su temperatura

disminuyó a 200ºC. a) ¿cuál fue su temperatura al cabo de 20 horas? b) ¿Cuánto tardará en

alcanzar 31ºC?

28. Un vino blanco a temperatura ambiente de 70º F se refrigera en hielo (32º F). Si transcurren 15 minutos para que el vino se enfríe a 60º F, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de 56º F?

29. Un objeto con masa de 100 Kg., inicialmente en reposo, se deja caer al agua desde un barco,

y se sumerge. Mientras la gravedad atrae al objeto hacia abajo, una fuerza de empuje igual a 1/40 del peso del objeto lo empuja hacia arriba. Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto, con constante de proporcionalidad igual a 10 Kg/seg, encontrar la ecuación del movimiento del objeto. ¿Cuántos segundos transcurrirán para que la velocidad del objeto sea de 7 m/seg?

30. Un hombre salta en paracaídas desde el reposo a una gran altura. La masa combinada del

hombre y del paracaídas es de 80 kilogramos. Sea v(t) su velocidad t segundos después de empezar a caer. Durante los primeros 10 segundos la resistencia del aire es −15v(t). Después, al abrirse el paracaídas la resistencia es −240v(t). Considerando al hombre y al paracaídas como una masa puntual, y suponiendo que las únicas fuerzas que actúan en el movimiento son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia al movimiento ejercida por el aire, determinar la velocidad v(t) en cualquier instante t. En particular determine v(10) y v(20).

31. Un generador con una fem de 10 cos 5𝑡 se conecta en serie con una resistencia de 5 ohms y un inductor de 1 Henry. Si el interruptor se cierra al tiempo 𝑡 = 0 establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en función del tiempo.

32. Una mujer de 30 años de edad aceptó un puesto directivo con un salario inicial de 30000

dólares anuales. Su salario 𝑆(𝑡) aumenta en forma exponencial, siendo 𝑆(𝑡) = 30𝑒𝑡20 miles de

dólares después de 𝑡 años. Entre tanto, el 12% de su salario es depositado continuamente en una cuenta de retiro, que acumula intereses a una tasa anual del 6%. Si A(t) es la cantidad de dinero en la cuenta de retiro después de t años, calcule la cantidad de dinero disponible para su retiro a la edad de 70 años.


33. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (𝑥, 𝑦) de una curva es 1 +𝑦

𝑥. Si la curva

pasa por el punto (1,1) halle su ecuación. 34. Hallar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque semiesférico de radio 1 m lleno de agua si

ésta sale por un orificio circular de 0.1 m de radio que hay en el fondo del tanque.

35. Calcular las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. Considere a c como

una constante.

a) 𝑦 = 𝑒𝑐𝑥 b) 𝑦 = 𝑐𝑒−𝑥 c) 𝑦2 = 𝑐𝑥3 d) 𝑦 =𝑥

1+𝑐𝑥

36. Verifica si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial proporcionada.

a) 𝑦1 = 𝑒3𝑥, 𝑦2 = 𝑒−3𝑥; 𝑦′′ − 9𝑦 = 0 b) 𝑦1 = 𝑥−1, 𝑦2 = 𝑥−2; 𝑥2𝑦′′ + 4𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 0

c) 𝑦1 = 𝑒2𝑥, 𝑦2 = 𝑥𝑒2𝑥; 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0 d) 𝑦1 = 𝑥, 𝑦2 = 𝑥ln𝑥; 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

e) 𝑦1 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 , 𝑦2 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 ; 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = 0 37. Calcule el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones. ¿Son conjuntos linealmente

independientes?

a) {𝑒𝑚𝑥, 𝑒𝑛𝑥}𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚. 𝑛 ∈ ℤ,𝑚 ≠ 𝑛 b) {1 − 𝑥, 2 + 𝑥2, 1 + 𝑥 + 𝑥2}

c) {sen 𝑥 , cos 𝑥 , cos 2𝑥} d) {𝑒−𝑥 cos 𝑥 , 𝑒−𝑥 sen 𝑥}

e) {𝑒−𝑎𝑥2

2 , 𝑒−𝑎𝑥2

2 ∫ 𝑒𝑎𝑡2

2 𝑑𝑡𝑥

0} , 𝑎 ∈ ℝ+

38. Para las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación, halle su segunda solución a

partir de que se conoce la primera.

a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 16𝑦 = 0;𝑦1 = cos 4𝑥 b) 𝑦′′ − 25𝑦 = 0; 𝑦1 = 𝑒5𝑥

c) 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 0; 𝑦1 = 𝑒3𝑥 d) 𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0; 𝑦1 = ln 𝑥

e) 𝑥𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ + 9𝑦 = 0; 𝑦1 = 𝑥2 f) (1 − 𝑥2)𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ = 0; 𝑦1 = 1


39. Determine la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes y homogéneas.

a) 4𝑦′′ − 𝑦 = 0 b) 9𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 6

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 0 c)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0

d) 𝑦′′ + 4𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1 e) 4𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 3𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 5

f) 𝑦′′ − 8𝑦′ + 17𝑦 = 0; 𝑦(0) = 4, 𝑦′(0) = −1 g) 𝑦′′ + 𝑦 = 0; 𝑦 (𝜋

3) = 0, 𝑦′ (

𝜋

3) = 2

40. Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con

coeficientes constantes y homogéneas mostradas a continuación.

a) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 5

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 9𝑦 = 0 b) 𝑦′′′ + 3𝑦′′ + 3𝑦′ + 𝑦 = 0

c) 6𝑦(4) + 11𝑦′′′ − 6𝑦′′ − 9𝑦′ − 2𝑦 = 0 d) 2𝑦(5) − 7𝑦(4) + 12𝑦′′′ + 8𝑦′′ = 0

e) 𝑑5𝑦

𝑑𝑥5+ 5

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4− 2

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 10

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0

41. Obtenga la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y homogénea asociada a la

familia de curvas n-paramétricas descrita por la función indicada.

a) 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 cos 𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 sen 𝑥 b) 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒𝑥

c) 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥 + 𝑐4𝑒

−2𝑥 d) 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑒𝑥 + 𝑐4𝑒

𝑥 cos 2𝑥 + 𝑐5𝑒𝑥 sen 2𝑥

e) 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥 + 𝑐4𝑥𝑒

2𝑥 + 𝑐5𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑐6𝑒

𝑥 sen 𝑥 42. Aplique el método de los coeficientes indeterminados para hallar la solución de las siguientes

ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

a) 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑥 + 6 b) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2−

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 12𝑦 = 𝑒4𝑥 c) 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥 + 5

d) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 4𝑦 = 4 cos 𝑥 + 3 sin 𝑥 − 8 e) 𝑦′′ + 5𝑦′ − 6𝑦 = 10𝑒2𝑥; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1

f) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = sen 𝑥 𝑒𝑥 g) 𝑦′′′ − 4𝑦′′ + 5𝑦′ − 2𝑦 = −4 + 5𝑥 − 𝑥2

h) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 3

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2−

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑦 = 3𝑒2𝑥


43. En las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas emplee el método de variación de parámetros para determinar su solución.

a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 𝑦 = 6𝑒2𝑥; 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 0 b)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦 = sec 𝑥 c)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 4𝑦 =

𝑒2𝑥

𝑥

d) 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 =1

1+𝑒𝑥 e) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒−𝑥 ln 𝑥 f) 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

g) 𝑦′′′ − 2𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 12𝑒−2𝑥 h) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 3

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2−

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑦 = 3𝑒2𝑥

44. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler homogéneas.

a) 𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 12𝑦 = 0 b) 4𝑥2𝑦′′ + 8𝑥𝑦′ − 3𝑦 = 0 c) 9𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ − 8𝑦 = 0

d) 𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 7𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 25𝑦 = 0 e) 𝑥2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

f) 𝑥4𝑦(4) + 3𝑥3𝑦′′′ − 𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0

g) 2𝑥5𝑦(5) + 15𝑥4𝑦(4) + 16𝑥3𝑦′′′ − 10𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0 45. Determine la solución de las ecuaciones de Cauchy-Euler no homogéneas mostradas abajo,

aplicando el método de variación de parámetros.

a) 𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 3𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 𝑥4 b) 4𝑥2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 4𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑦 = 8𝑥4 3⁄ c) 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 4𝑥ln𝑥

d) 𝑥3𝑦′′′ + 2𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 5𝑥3 e) 𝑥4𝑦(4) + 5𝑥3𝑦′′′ − 3𝑥2𝑦′′ − 6𝑥𝑦′ + 6𝑦 = −3𝑥2 46. Un peso de 32 lb estira un resorte en 2 pies. Determine la amplitud y el período del

movimiento si el peso se suelta desde un punto que está 1 pie sobre la posición de equilibrio, con una velocidad inicial dirigida hacia arriba de 2 pies/s. ¿cuántas oscilaciones completas

habrá realizado el peso después de 4𝜋 segundos? 47. Una masa de 1 kg se sujeta a un resorte cuya constante de restitución es de 16 N/m y el

sistema completo se sumerge en un líquido que comunica una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 10 veces su velocidad instantánea. Determine la ecuación de movimiento si el peso se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está 1 m debajo de la posición de equilibrio.

48. Un peso de 16 lb estira un resorte en 8/3 pies. Inicialmente el peso parte del reposo desde un

punto que está 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior se realiza en un medio que opone una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 0.5 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si el peso es impulsado por una

fuerza exterior igual a 𝑓(𝑡) = 10 cos 3𝑡.


49. al sujetar una masa de 1 slug a un resorte, éste se estira en 2 pies y luego queda en reposo en la

posición de equilibrio. A partir de 𝑡 = 0, una fuerza exterior igual a 𝑓(𝑡) = 8 sen4𝑡 se aplica al sistema.

Encontrar la ecuación de movimiento si el medio que rodea al sistema opone una fuerza de

amortiguación numéricamente igual a 8 veces su velocidad instantánea.

50. En un circuito RLC en serie tiene 𝐿 = 0.5𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦, 𝑅 = 100𝑂ℎ𝑚𝑠, 𝐶 = 00.1𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑦𝐸(𝑡) = 150𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠.

Determine la carga eléctrica instantánea en el capacitor para 𝑡 > 0 si la carga y la corriente iniciales

son cero.

51. Calcule la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales, aplicando el método de las series de

potencias alrededor del punto ordinario 𝑥0 = 0.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦 = 0 b) 𝑦′ + 𝑥3𝑦 = 0 c)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 4𝑦 = 0 d) 𝑦′′ − 𝑥𝑦 = 0

e) (1 + 𝑥2)𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 10𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 20𝑦 = 0 f) (𝑥 − 1)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 0 g) 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 0

52. Aplique el método de Frobenius para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales, mostradas

abajo, en el punto singular regular 𝑥0 = 0.

a) 2𝑥𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 0 b) 2𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 0 c) 8𝑥𝑦′′ + 𝑦′ + 2𝑦 = 0

d) 𝑥(𝑥 − 2)𝑦′′ + 𝑦′ − 2𝑦 = 0 e) 𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = 0 f) 𝑥𝑦′′ + 𝑦 = 0

53. Emplee el método de los operadores diferenciales para obtener la solución de los sistemas de

ecuaciones diferenciales lineales mostradas a continuación.

a)

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑥 = 0

b) 𝑥′ − 𝑥 + 2𝑦 = 0

𝑦′ + 2𝑥 − 𝑦 = 0 c)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥 − 𝑦

d) 𝑥′ = 2𝑦 + 𝑒𝑡

𝑦′ = 8𝑥 − 𝑡

e) 𝑥′′ + 5𝑥 + 𝑦′ = 0

𝑥′ + 𝑦′ + 𝑥 − 4𝑦 = 0 f)

𝑥′′ − 4𝑦 = 𝑒𝑡

𝑦′′ − 4𝑥 = −𝑒𝑡 g)

𝑥′ + 𝑥 − 𝑧 = 0𝑦′ + 𝑦 − 𝑧 = 0

𝑧′ + 𝑥 − 𝑦 = 0

54. Determine la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, aplicando el

método de la matriz exponencial.

a)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥 + 3𝑦

b) �̅�′ = (0 28 0

) �̅� c) 𝑑�̅�

𝑑𝑡= (

6 −15 4

) �̅�; �̅�(0) = (−28)


d) �̅�′ = (2 4−1 6

) �̅�; �̅�(0) = (−16) e)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥 + 𝑦 − 𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑥 − 𝑦 + 𝑧

f) �̅�′ = (2 4 4−1 −2 0−1 0 −2

) �̅�

55. Aplique la definición para determinar la transformada de las funciones mostradas a continuación.

a) 𝑓(𝑡) = 𝑡2 b) 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡 c) 𝑓(𝑡) = cosh𝑏𝑡 d) 𝑓(𝑡) = sin 𝑘𝑡

56. Use las propiedades y fórmulas correspondientes para hallar la transformada de Laplace de las

funciones abajo indicadas.

a) 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡 + 𝑒−𝑡)2 b) 𝑓(𝑡) = (𝑡2 − 2𝑡 + 3)𝑒−2𝑡 c) 𝑓(𝑡) = 𝑒3𝑡 sinh 𝑡

d) 𝑓(𝑡) = 𝑡2 sen 2𝑡 + 3𝑡 cos 𝑡 e) 𝑓(𝑡) = 𝑡2𝑒−𝑡 sen 𝑡 f) 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 1)𝑢(𝑡 − 1)

g) 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒𝑇 cos 𝑇𝑑𝑇𝑡

0 h) 𝑓(𝑡) = 𝑡 ∫ 𝑇𝑒𝑇𝑑𝑇

𝑡

0 i) 𝑓(𝑡) = ∫ sen𝑇 cos(𝑡 − 𝑇)𝑑𝑇

𝑡

0

j) 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒2𝑇 sin(𝑡 − 𝑇)𝑑𝑇𝑡

0

57. Halle la transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas.

a)

b)


c)

d) 𝑓(𝑡) = |sen 𝑡|

58. Calcule la transformada inversa de Laplace.

a) 𝐹(𝑠) =1

(𝑠−1)(𝑠+2) b) 𝐹(𝑠) =

4

𝑠+

6

𝑠2−

1

𝑠+8 c) 𝐹(𝑠) =

10𝑠+1

𝑠2−2𝑠 d) 𝐹(𝑠) =

2𝑠−6

𝑠2+9

e) 𝐹(𝑠) =𝑠+1

𝑠2−4𝑠 f) 𝐹(𝑠) =

𝑠−1

𝑠2(𝑠2+1) g) 𝐹(𝑠) =

𝑠2+𝑠+1

(𝑠−3)2(𝑠−1)2 h) 𝐹(𝑠) =

𝑠+4

𝑠2+6𝑠+2

i) 𝐹(𝑠) =𝑒3𝑠

𝑠2+9 j) 𝐹(𝑠) =

𝑒4𝑠

𝑠4

59. Para las siguientes funciones aplique las propiedades correspondientes para obtener la transformada

inversa de Laplace.

a) 𝐹(𝑠) = ln (𝑠−3

𝑠+1) b) 𝐹(𝑠) =

𝜋

2− tan−1 (

𝑠

2) c) 𝐹(𝑠) = ln (

𝑠2+1

𝑠2+4) d) 𝐹(𝑠) =

1

𝑠− cot−1 (

4

𝑠)


60. Aplique el método de la trasformada de Laplace para determinar la solución de las siguientes

ecuaciones diferenciales.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑡; 𝑦(0) = −1 b)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦 = 𝑒−4𝑡; 𝑦(0) = 2

c) 𝑦′′ + 5𝑦′ + 4𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0 d) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 4𝑦 = 1; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1

e) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦 = sen 𝑡 ; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0 f) 𝑦′′ − 4𝑦 + 4𝑦 = 𝑡3𝑒2𝑡; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0

61. Para las siguientes ecuaciones integro diferenciales use el método de la transformada de Laplace para

obtener su solución.

a) 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 1 − sen 𝑡 − ∫ 𝑦(𝑇)𝑑𝑇; 𝑦(0) = 0

𝑡

0 b) 𝑥′(𝑡) + ∫ 𝑥(𝑇)𝑑𝑇 = 𝑡2 + 2; 𝑥(0) = 1

𝑡

0

c) 𝑦′(𝑡) + 6𝑦(𝑡) + 9 ∫ 𝑦(𝑇)𝑑𝑇; 𝑦(0) = 0𝑡

0 d) 𝑥′(𝑡) = 𝑡 + ∫ 𝑥(𝑡 − 𝑇) cos 𝑇 𝑑𝑇; 𝑥(0) = 4

𝑡

0

62. Resuelva los sistemas de ecuaciones diferenciales mostrados a continuación, empleando el método de

la transformada de Laplace.

a)

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 2𝑥 + 6𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑥 − 𝑦 = 0

𝑥(0) = 3, 𝑦(0) = −1

b)

𝑥′ = 3 − 𝑥 − 𝑦

𝑦′ = 𝑦 − 2𝑥

𝑥(0) = 1, 𝑦(0) = 1 c)

𝑥′′ + 𝑥 + 𝑦 = 0

𝑦′ + 𝑥 + 𝑦 = 0

𝑥(0) = 1, 𝑥′(0) = −1, 𝑦(0) = 0

d)

𝑥′′ + 𝑦 = 1

𝑦′′ + 𝑥 = 𝑡

𝑥(0) = 1, 𝑥′(0) = 1, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 0 e)

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 𝑦 = 𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑥 = 2𝑡

𝑥(0) = 0, 𝑦(0) = 1

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