negociacion
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TEMA 3: JUEGOS DE
NEGOCIACI
ON
|||||||||||||||{
-
INTRODUCCI
ON A LOS JUEGOS COOPERATIVOS
DE REGATEO (O DE NEGOCIACI
ON)
Este tema fue iniciado por J. Nash en un trabajo de 1950
1
.
La teora axiomatica de los juegos de regateo es una disciplina
matematica que estudia el problema de la negociacion entre dos o
mas partes estudiando las propiedades matematicas (tambien lla-
madas axiomas) de aplicaciones que asignan un cierto resultado
a cada \juego de regateo" en cierta clase de juegos de regateo.
Tales aplicaciones se denominan soluciones de regateo.
Un juego de regateo es un conjunto de resultados que repre-
sentan las utilidades alcanzables por los agentes implicados, junto
con un cierto resultado de desacuerdo. La interpretacion de todo
esto es que este ultimo resultado es la conclusion de la nego-
ciacion cuando los agentes no son capaces de llegar a un acuerdo
unanime sobre otro posible resultado.
La metodologa axiomatica se concentra o resume en esta frase
de J. Nash (1950):
\One formulates desirable properties for these solutions, and
then tries to characterize a solution or a class of solutions by its
properties".
Una formulacion mas general se puede obtener si se contempla
la posibilidad de que subcoaliciones de jugadores puedan lo-
grar acuerdos por s mismos. En este caso, estamos tratando con
los denominados juegos cooperativos con utilidad no transferible.
Este tipo de juegos han sido tambien estudiados desde un punto
de vista axiomatico. Un caso particular son los denominados
juegos con utilidad transferible.
1
John Nash, \The bargaining problem". Econometrica 18, (1950). 155{162.
2
-
Todos estos juegos son juegos cooperativos. La principal dife-
rencia entre estos y los denominados no cooperativos es que en
los primeros es posible establecer acuerdos vinculantes mientras
que en los segundos no.
Metodologicamente, en los juegos cooperativos se aplica fun-
damentalmente el procedimiento axiomatico. En los juegos no
cooperativos, la descripcion de los mismos se hace a traves de los
movimientos y estrategias de los jugadores y la investigacion se
centra en la busqueda de conceptos de equilibrio, el mas impor-
tante de los cuales es debido tambien a Nash (1951)
2
.
TEOR
IA DE JUEGOS: teora matematica que se ocupa de los
modelos de situaciones conictivas y de cooperacion.
JUEGOS COOPERATIVOS
{ JUEGOS DE REGATEO
{ JUEGOS CONUTILIDAD TRANSFERIBLE (JUEGOS
TU)
{ JUEGOS CONUTILIDAD NO TRANSFERIBLE (JUE-
GOS NTU)
JUEGOS NO COOPERATIVOS
Tenemos que decir, no obstante, que los dos enfoques, coope-
rativo y no cooperativo pueden, e incluso deben, ser combinados.
La conexion entre la Teora de Juegos Cooperativos y la Teora
de Juegos No Cooperativos ha sido motivo de reexion y debate,
practicamente desde los orgenes de esta disciplina.
2
John Nash, \Non-cooperative games". Annals of Mathematics (2) 54, (1951). 286{295.
3
-
Dado un juego no cooperativa, Von Neumann y Morgenstern,
en 1944 construyen un juego cooperativo, basado en el valor de
un juego matricial, que describe para cada coalicion el benecio
que se pueden asegurar sus miembros con independencia de las
acciones llevadas a cabo por los jugadores de fuera de la coalicion.
Posteriormente, otros autores caracterizan axiomaticamente este
procedimiento de Von Neumann y Morgenstern de asociacion de
un juego cooperativo a un juego no cooperativo, as mismo, pro-
ponen y caracterizan otros procedimientos.
Tambien Nash (1953)
3
vio la necesidad de respaldar los concep-
tos axiomaticos cooperativos por medio de la obtencion de equi-
librios a juegos no cooperativos que de alguna forma describan
los pasos seguidos en el proceso de negociacion entre los agentes.
Esta combinacion entre el enfoque cooperativo y no coopera-
tivo se denomina a veces programa de Nash. Tambien se habla,
en este contexto, de implementacion de soluciones cooperativas
por medio de juegos y equilibrios no cooperativos.
3
John Nash, \Two-person cooperative games". Econometrica 21, (1953). 128{140.
4
-
DEFINICIONES B
ASICAS
Denicion Un juego de negociacion (o de regateo) para N es
un par (S; d) donde:
1. S R
N
es no vaco, cerrado, convexo y comprehensivo
4
.
2. d 2 S y 9x 2 S tal que x > d.
3. u
i
(S) := maxfx
i
: x 2 S
d
g existe para cada i 2 N , donde
S
d
= fx 2 S : x dg es el conjunto de alternativas racionales.
La interpretacion de un juego de regateo es como sigue. Los
jugadores de N tratan de alcanzar un acuerdo unanime sobre
algun resultado x 2 S que da utilidad x
i
al jugador i. Si los
jugadores no alcanzan ningun acuerdo, el resultado de la nego-
ciacion es d: el punto de desacuerdo. El conjunto S se denomina
conjunto factible. La condicion 2. indica la factibilidad del des-
acuerdo y que los jugadores tienen incentivos para cooperar.
El requerimiento de que S es cerrado se hace por convenien-
cia matematica. El caracter comprehensivo se puede interpre-
tar como que la utilidad es de libre disposicion por parte de los
agentes.
Los vectores de S se interpretan usualmente como n-tuplas
de utilidad que representan las preferencias de los jugadores so-
bre un conjunto de alternativas. Si estas funciones de utilidad
son \cardinales" es decir, funciones de utilidad de Von Neumann-
Morgenstern, y los jugadores pueden realizar loteras, el conjunto
S resulta convexo.
Finalmente, la condicion 3. expresa que la utilidad que puede
recibir cada jugador esta acotada superiormente. El punto u(S) =
(u
1
(S); ; u
n
(S)) se denomina punto de utopa de S.
4
S R
N
es comprehensivo quiere decir que si x 2 S e y x, entonces y 2 S.
5
-
Suele denotarse por B
N
la clase de juegos de regateo con
conjunto de jugadores N . Si A
N
es una subclase de B
N
, una
solucion de regateo sobre A
N
es una aplicacion f : A
N
! R
N
tal
que si (S; d) 2 A
N
entonces f(S; d) 2 S y f(S; d) d.
Su estudio permite predecir el comportamiento de los indivi-
duos cuando son posibles los convenios entre ellos.
La denicion que hemos dado de juego de negociacion puede
parecer un poco abstracta. Podemos dar, sin embargo, ejemplos
de situaciones donde un juego de negociacion surge de forma na-
tural.
Ejemplo Consideremos el juego bimatricial dado por el si-
guiente diagrama:
Jugador1nJugador2 I D
S (5; 5) (0; 6)
F (6; 0) (1; 1)
El unico equilibrio de Nash de este juego es el par de estrate-
gias puras (F;D). Ambos jugadores, no obstante, preeren el
vector de pagos (5,5) correspondiente al par de estrategias (S; I),
al vector de pagos (1,1) correspondiente al equilibrio de Nash del
juego. El vector de pagos (5; 5) no sera, sin embargo, el resultado
nal del juego, excepto que los jugadores dispongan de algun
mecanismo que les permita establecer acuerdos vinculantes, por
ejemplo, rmar un contrato para jugar (S; I).
Utilizando estrategias mixtas, los jugadores pueden alcanzar
cualquier vector de pagos del subconjunto S de R
N
, con N =
f1; 2g, denido como la envoltura convexa y comprehensiva de
los puntos (6,0), (0,6) y (5,5).
6
-
Ademas el punto (1,1) puede considerarse como pago de de-
sacuerdo.
Ejemplo (Problemas de bancarrota; aproximacion mediante
juegos de regateo). (Dagan and Volij, 1993
5
). Consideremos una
situacion en la que una empresa quiebra y su capital es insuciente
para pagar sus deudas. Los problemas de bancarrota tratan de
como dividir el capital entre todos los acreedores.
5
Nir Dagan and Oscar Volij, 1993. \The bankruptcy problem: a cooperative bargaining
approach", Mathematical Social Sciences, 26, 287-297.
7
-
Formalmente, un problema de bancarrota es un par (E; d
0
)
donde d
0
= (d
0
1
; ; d
0
n
) 0
N
(0
N
es el vector de ceros en R
N
)
y 0 E
n
X
i=1
d
0
i
. E representa el capital total de la empresa y d
0
el vector de demandas de los acreedores. N se interpreta como
el conjunto de acreedores de la empresa. Una regla de asignacion
es una funcion que asigna a cada problema de este tipo un vector
x = (x
1
; ; x
n
) 2 R
N
con
n
X
i=1
x
i
= E y 0 x
i
d
0
i
, i = 1; ; n.
Vamos a denir un problema de regateo asociado con cada
problema de bancarrota. Para este proposito es necesario denir
un conjunto factible S y un punto de desacuerdo d 2 S, asociados
a cada problema de bancarrota (E; d
0
).
Denimos:
S(E; d
0
) = fx 2 R
N
: x d
0
;
X
i2N
x
i
Eg:
La idea es, pues, que los individuos negocian sobre todas las
posibles divisiones del capital, E, que dan a cada agente no mas
que su demanda. En cuanto al pago de desacuerdo una posibilidad
es denir dicho pago como, dado i 2 N ,
i
= maxf0; E
X
j2Nni
d
0
j
g
que es la parte del capital concedida al acreedor i por los demas
acreedores; la podemos ver como la mnima cantidad de dinero
que puede ser asignada al agente i por cualquier regla de asignacion.
As pues, el problema de regateo asociado a (E; d
0
) es
(S(E; d
0
); ):
Solucion de negociacion de Nash
Sin duda, esta es la solucion mas \popular" y bien conocida.
Esto es as sobre todo por razones teoricas.
8
-
Han sido desarrolladas muchas caracterizaciones axiomaticas
de la solucion de Nash. Tambien hay interesantes aproximaciones
no cooperativas al problema de negociacion que respaldan la solu-
cion de Nash. Por otro lado la propiedad de independencia de
alternativas irrelevantes esta muy relacionada, en su espritu, con
la condicion que con el mismo nombre aparece en la teora de
eleccion social (para ello se puede ver el libro de K. Arrow, de
1951, Social choice and individual values, de la editorial Wiley).
Si T R
N
, (T ) = fx 2 T : no existe y 2 T con y > xg denota
la frontera de Pareto debil de T .
P (T ) = fx 2 T : no existe y 2 T con y x; y 6= xg denota la
frontera fuerte de Pareto de T . Notese que P (T ) (T ).
Dado el juego (S; d) 2 B
N
, se dice simetrico si d
1
= = d
n
y para cada x 2 S un punto x^ de R
N
obtenido a partir de x efec-
tuando alguna permutacion de sus coordenadas tambien esta en
S.
Para x; y 2 R
N
, xy = (x
1
y
1
; ; x
n
y
n
). Para T R
N
xT =
Tx = fz 2 R
N
: z = xy donde y 2 Tg y x + T = T + x = fz 2
R
N
: z = x + y donde y 2 Tg. Para 2 R, x = (x
1
; ; x
n
)
y T = T = fx : x 2 Tg.
A partir de ahora f representa una solucion de negociacion.
Nash propuso que una tal f debera de vericar las siguientes
propiedades:
Simetra. Para todo (S; d) 2 B
N
, si (S; d) es simetrico entonces
f
1
(S; d) = = f
n
(S; d):
9
-
Una motivacion para esta propiedad es que si la descripcion
del juego de negociacion no contiene informacion que establezca
diferencias entre los jugadores, entonces la solucion tampoco debe
establecer diferencias entre ellos.
Eciencia. Para todo (S; d) 2 B
N
, f(S; d) 2 P (S).
Los jugadores no deben de ser capaces de, colectivamente,
mejorar la solucion.
Covariante ante transformaciones anes positivas. Para todo
(S; d) 2 B
N
y todo a; b 2 R
N
con a > 0
N
, f(aS + b; ad + b) =
af(S; d) + b.
Los vectores de S se interpretan usualmente como n-tuplas de
utilidad que representan las preferencias de los jugadores sobre
un conjunto de alternativas. Si estas funciones de utilidad son
\cardinales" es decir, funciones de utilidad de Von Neumann-
Morgenstern, representan las preferencias de los jugadores de
modo unico salvo transformaciones anes positivas. Esta propie-
dad requiere que la solucion sea independiente de la representacion
de las preferencias elegida.
10
-
La siguiente anecdota tomada de un artculo de Aumann (1985)
6
ilustra la siguiente propiedad.
\Several years ago I served on a committee that was to invite
a speaker for a fairly prestigious symposium. Three candidates
were proposed; their names would be familiar to many of our
readers, but we will call them Alfred Adams, Barry Brown, and
Charles Clark. A long discussion ensued, and it was nally de-
cided to invite Adams.
At that point I remembered that Brown had told me about a
family trip that he was planning for the period in question, and
realized that he would be unable to come. I mentioned this and
suggested that we re-open the discussion. The other members
looked at me as if I had taken leave of my senses. -What dier-
ence does it make that Brown can't come,- one said, -since in any
case we decided on Adams?-
I was amazed. All the members were eminent theorists and
mathematical economists, thoroughly familiar with the nuances
of the Nash model. Not long before, the very member who had
spoken up had roundly criticized Independence of Irrelevant Al-
ternatives in the discussion period following a talk. I thought
that perhaps he had overlooked the connection, and said that I
was glad that in the interim, he had changed his mind about IIA.
Everybody laughed appreciatively, as if I had made a good joke,
and we all went o to lunch. The subject was never reopened,
and Adams was invited."
6
Robert Aumann, \An axiomatization of the nontransferable utility value". Economet-
rica 53 (1985), no. 3, 599{612.
11
-
Independencia de alternativas irrelevantes. Para todo (S; d);
(T; e) 2 B
N
con d = e, S T y f(T; e) 2 S entonces f(S; d) =
f(T; e).
Establece que si el conjunto factible disminuye pero la solucion
sigue siendo factible, la solucion para el conjunto factible menor
debe de ser el mismo punto.
La principal crtica a esta propiedad radica en que hace a la
solucion insensible ante posibles cambios importantes del con-
junto factible. Si vemos la solucion como una especie de com-
promiso entre las alternativas de los agentes, el axioma es con-
vincente. Si vemos la solucion como un promedio de las posibles
utilidades o pagos, entonces la propiedad resulta menos convin-
cente.
Denicion Para (S; d) 2 B
N
, sea N(S; d) el unico punto de S
donde la funcion
x !
n
i=1
(x
i
d
i
)
se maximiza sobre el conjunto fx 2 S : x dg. N(S; d) se de-
nomina solucion de negociacion de Nash.
La solucion de Nash, que existe siempre, asigna a cada proble-
ma de negociacion el punto del conjunto factible, que mejora el
pago de desacuerdo y maximiza el producto de las desviaciones
entre la ganancia de cada jugador y su pago de desacuerdo.
Proposicion Consideremos (S; d) 2 B
N
. Entonces existe un
unico z 2 S que maximiza la funcion g(x) = (x
1
d
1
) (x
n
d
n
)
sobre el conjunto S
d
.
Demostracion Se hara la demostracion en el caso n = 2.
12
-
Notese primero que, ya que g es continua y el conjunto S
d
es
compacto, g tiene un maximo sobre S
d
. Supongamos que existen
z; z
0
2 S
d
con z 6= z
0
tal que
M = max
x2S
d
g(x) = g(z) = g(z
0
):
Claramente, z > d y z
0
> d, por lo que M > 0, entonces z
1
6= z
0
1
y z
2
6= z
0
2
. Ya que S
d
es convexo, entonces z = z=2 + z
0
=2 2 S
d
.
Entonces,
lng(z) = ln[(z
1
d
1
)(z
2
d
2
)] = ln(z
1
d
1
) + ln(z
2
d
2
) =
ln[
1
2
((z
1
d
1
) + (z
0
1
d
1
))] + ln[
1
2
((z
2
d
2
) + (z
0
2
d
2
))]:
Como la funcion logaritmo neperiano es estrictamente concava,
podemos decir que:
lng(z) >
1
2
ln[(z
1
d
1
)]+
1
2
ln[(z
0
1
d
1
)]+
1
2
ln[(z
2
d
2
)]+
1
2
ln[(z
0
2
d
2
)] =
1
2
ln[(z
1
d
1
)(z
2
d
2
)] +
1
2
ln[(z
0
1
d
1
)(z
0
2
d
2
)] =
1
2
lng(z) +
1
2
lng(z
0
) = lng(z):
Entonces, g(z) > g(z); que es una contradiccion.
Teorema (Nash, 1950) La solucion f : B
N
! R
N
verica
simetra, eciencia, covarianza ante transformaciones anes posi-
tivas e independencia de alternativas irrelevantes si y solo si es la
solucion de Nash.
La demostracion se realizara para el caso de n = 2. Primero
necesitamos un lema.
Lema Consideremos (S; d) 2 B
N
con n = 2, sea z = N(S; d)
y para cada x 2 R
2
se dene
h(x) = (z
2
d
2
)x
1
+ (z
1
d
1
)x
2
:
13
-
Entonces, para cada x 2 S, h(x) h(z):
Demostracion Supongamos que existe x 2 S con h(x) >
h(z): Para cada 2 (0; 1) denamos x
= x+ (1 )z. Notemos
que, ya que S es convexo, entonces x
2 S. Ademas, ya que
z 2 S
d
y z > d entonces para sucientemente peque~no x
2 S
d
.
Ademas,
g(x
) = (z
1
d
1
+ (x
1
z
1
))(z
2
d
2
+ (x
2
z
2
)) =
= (z
1
d
1
)(z
2
d
2
) +
2
(x
1
z
1
)(x
2
z
2
) + (h(x) h(z)):
Notemos que, ya que h(x) > h(z), g(x
) es mayor que g(z) para
un sucientemente peque~no, lo cual no es posible.
Demostracion del Teorema Es inmediato que la solucion
de regateo de Nash satisface las cuatro propiedades del enuncia-
do del teorema. Consideremos pues otra solucion, f , para juegos
de regateo de dos personas que satisface esas mismas propiedades
y consideremos un juego bipersonal (S; d) y su solucion de Nash,
z = N(S; d). Tenemos que demostrar que z = f(S; d). Conside-
remos el conjunto U dado por:
U = fx 2 R
2
: h(x) h(z)g:
Por el lema anterior, tenemos que S U . Consideremos la trans-
formacion afn positiva A que asocia a cada x 2 R
2
el vector
(A
1
(x); A
2
(x)) tal que para cada i 2 f1; 2g,
A
i
(x) =
x
i
z
i
d
i
d
i
z
i
d
i
:
Vamos a obtener A(U):
A(U) = fx 2 R
2
: A
1
(x) 2 Ug
= fx 2 R
2
: h(A
1
(x)) h(z)g
= fx 2 R
2
: h((z
1
d
1
)x
1
+ d
1
; (z
2
d
2
)x
2
+ d
2
) h(z)g
14
-
= fx 2 R
2
: x
1
+ x
2
2g:
Notemos que A(d) = (0; 0). Ya que f satisface eciencia y
simetra,
f(A(U); A(d)) = (1; 1)
y teniendo en cuenta que satisface covarianza,
f(U; d) = A
1
((1; 1)) = z:
Ya que z 2 S, S U y f satisface independencia de alternativas
irrelevantes, f(S; d) = z:
Solucion de (Raia-)Kalai-Smorodinsky
Kalai y Smorodinsky (1975)
7
proponen un axioma de monotona
como alternativa al de independencia de alternativas irrelevantes.
Son crticos con la solucion de Nash utilizando el siguiente ejemplo.
Sea S la envoltura convexa y comprehensiva de (1,0), (0,1)
y (3/4,3/4) y T la envoltura convexa y comprehensiva de (1,0),
(0,1) y (1,7/10).
N(S; 0
N
)=(3/4,3/4) y N(T; 0
N
)=(1,7/10). As aunque en T
para cada nivel de utilidad del jugador 1 el maximo nivel de utili-
dad del jugador 2 mejora comparando con S, este jugador obtiene
menos en el segundo juego si se utiliza la solucion de Nash.
En muchas ocasiones, para determinar la solucion de un juego
se deben evaluar los niveles de aspiracion de los individuos, puesto
que son un factor que interviene en el proceso de negociacion.
Una medida de los niveles de aspiracion de los distintos agentes
la proporciona el punto de utopa.
7
E. Kalai and M. Smorodinsky \Other solutions to Nash's bargaining problem". Econo-
metrica 43 (1975), 513{518
15
-
Monotona individual. Para todo par de juegos (S; d) y (T; d)
y para j 2 N , si se cumple S
d
T
d
y para todo i 2 Nnfjg
u
i
(S; d) = u
i
(T; d) entonces f
j
(S; d) f
j
(T; d).
Si en una situacion de negociacion aparecen nuevas alterna-
tivas de manera que los niveles de aspiracion de los individuos
continuen siendo los mismos, salvo el de uno de ellos, que en el
peor caso sera el mismo, entonces este individuo no debe resultar
perjudicado en la nueva situacion.
Denicion Se llama solucion de Kalai-Smorodinsky a la apli-
cacion que a cada juego (S; d) le hace corresponder el punto
k(S; d) = d+t
0
(u(S; d)d); t
0
= maxft 2 R : d+t(u(S; d)d) 2 S
d
g:
16
-
Es decir, unimos mediante un segmento, el punto de desacuerdo
y el de utopa, y lo intersecamos con la frontera del conjunto
factible.
Ejemplo En el ejemplo anterior se tiene que u(S; d) = u(T; d) =
(1; 1), k(S; d) = (3=4; 3=4) y k(T; d) = (10=13; 10=13): De esta
forma, la solucion de Kalai-Smorodinsky tiene en cuenta la situacion
del jugador dos en el juego (T,d).
La gura siguiente ilustra gracamente como se calcula la solucion
de Kalai-Smorodinsky.
Teorema (Kalai y Smorodinsky, 1975) Existe una unica solu-
cion en B
N
, para N = f1; 2g, que satisface eciencia, covarianza
ante transformaciones anes positivas, simetra y monotona in-
dividual y es la solucion de Kalai y Smorodinsky.
Demostracion Es sencillo comprobar que k cumple los axio-
mas del enunciado. Vamos a comprobar que es la unica solucion
que los cumple.
Sea f una solucion que cumple eciencia, covarianza, simetra
y monotona individual. Sea (S; d) un juego con dos jugadores y
sea k = k(S; d). Consideremos la transformacion, L, de R
N
, tal
que L(d) es el vector de ceros y L(u(S; d)) es el vector de unos.
Por covarianza de k, L(k(S; d)) = L(k) = k(L(S); L(d)), y por
denicion de k, L(k) tiene todas las componentes iguales.
Sea ahora T R
2
la envoltura convexa y comprehensiva de
(1,0), (0,1) y L(k). Por la eciencia y la simetra de f , f(T; 0) =
L(k).
17
-
Como T L(S) y u(T; 0) = u(L(S); L(d)), aplicando la mono-
tona individual de f , f(L(S); L(d)) = L(k). Aplicando la cova-
rianza de f , f(S; d) = k(S; d).
La siguiente gura ilustra la demostracion.
18
-
19
-
EJERCICIOS
Considerese el siguiente juego bipersonal innito. El jugador
uno elige x 2 [0; 1]. Si x 1=2 el juego termina y el pago
a ambos jugadores es x. Si x > 1=2 el jugador dos elige
y 2 f1; 1g, el pago al jugador uno es xy y el pago al jugador
dos es xy=10. Da un equilibrio perfecto en subjuegos de
este juego y un equilibrio de Nash que no sea perfecto en
subjuegos.
Sea (S; d) un juego de regateo tal que
S
d
= convf(4; 0); (1; 2); (1; 0); (1; 2)g
y d = (1; 0): Calcula N(S; d) y k(S; d).
Haciendo uso de las propiedades de la solucion de Nash,
obten N(S; d) para S = f(x; y) 2 R
2
: 4x + 2y 2g,
d = (0; 0).
Sea (S; d) tal que d = (1; 0) y
S
d
= f(x; y) 2 R
2
: y x
2
+ 4; 0 y 3; 1 xg:
Calcula N(S; d) y k(S; d).
20
-
UNA APLICACI
ON DE LOS JUEGOS
COOPERATIVOS BIPERSONALES: negociacion
trabajadores-direccion (tomado de Friedman, 1991
8
).
Las negociaciones contractuales entre un sindicato y una em-
presa son un ejemplo de un juego bipersonal de negociacion. Es-
trictamente, el ejemplo sera mas correcto si el sindicato es la unica
fuente de trabajo para la empresa y la empresa es el unico lugar
en donde los miembros del sindicato pueden ser empleados. A
continuacion se examinara esta situacion utilizando un modelo
simple. En Friedman (1991) tambien se puede ver como se mo-
deliza una carrera de armamentos entre dos pases. Imaginemos
pues una empresa que sea monopolista en el mercado para su
produccion y que sea monopsonista (unica \compradora") en el
mercado de trabajo. Al mismo tiempo, consideremos un sindi-
cato de trabajadores monopolista en el mercado de trabajo. As,
se produce en el mercado de trabajo lo que se denomina una
situacion de monopolio bilateral. Suponiendo que E representa
el nivel de empleo y s la tasa de salarios, podemos suponer que el
sindicato posee una funcion de utilidad u(E; s) = (E:s)
0
0
5
, esto es,
el sindicato valora tanto el numero de personas empleadas como
la tasa de pago por unidad de trabajo. La empresa, naturalmente,
valora los benecios, en funcion de los cuales se mide su utilidad.
Supongamos para la empresa la siguiente funcion inversa de de-
manda p = 100 q, donde p y q son, respectivamente, los precios
y la produccion. Asumiendo que la produccion es proporcional
al empleo, podemos tomar q = E, de forma que la utilidad de la
empresa es v(E; s) = E:(100 E) s:E.
En esta situacion, la amenaza mas natural por parte de la em-
presa consiste en suspender la produccion, lo que signicara que
todos los miembros del sindicato se encontraran sin empleo. De
forma similar, el sindicato puede negarse a proporcionar trabajo a
8
J. W. Friedman (1991) Teora de Juegos con Aplicaciones a la Economa. Alianza
Universidad.
21
-
la empresa y, de nuevo, no habra ni produccion ni empleo. Si nos
planteamos aplicar el modelo de negociacion de Nash, el punto
de desacuerdo sera (0,0) y el juego sera uno de negociacion. De
este, lo que interesa si queremos determinar la solucion de Nash
es la curva de puntos ecientes de Pareto, que se obtiene ma-
ximizando con respecto a E y s la siguiente funcion, aplicando
resultados basicos de optimizacion multicriterio, para valores de
p entre cero y uno:
F (E; s) = p:v(E; s)+(1p):u(E; s) = p:(100Es):E+(1p):(E:s)
0
0
5
:
Utilizaremos el lenguaje Maxima para efectuar los calculos.
Maxima se distribuye bajo la licencia GNU-GPL y tanto el codigo
fuente como los manuales son de libre acceso a travs de la pagina
web del proyecto:
http : ==maxima:sourceforge:net
Tanto Maxima como Maple descienden del sistema Macsyma, de-
sarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) en-
tre los a~nos 1968 y 1982.
En el proceso de maximizacion, las condiciones de primer orden
son:
F
E
= 0 y
F
s
= 0:
(%i1) F:p*(100-E-s)*E+(1-p)*(E*s)^0.5;
(%i2) dE:di(F,E);
(%i3) ds:di(F,s);
(%i4) solve(dE,p);
(%o4) [p =
s
p
sE(4E + 2s 200) + s
]
22
-
(%i5) solve(ds,p);
(%o5) [p =
1
2
p
sE + 1
]
Igualando las dos expresiones:
(%i6) F2:s/((s*E)^0.5*(4*E+2*s-200)+s)-1/(2*(s*E)^0.5+1);
(%i7) solve(F2,E);
(%o7) [E=0,E=50]
Sustituyendo, resulta u(E; s) = (50:s)
0
0
5
y v(E; s) = 2500
50:s, de donde v = 2500 u
2
es la ecuacion de la curva optima
de Pareto, la cual podemos representar gracamente con Maxima.
(%i8) load(draw)$
(%i9) draw2d(implicit(v+u^2=2500,u,-5,60,v,-5,3000));
La solucion de Nash puede obtenerse facilmente maximizando
la funcion u:v, la cual expresamos en terminos de la variable s:
(%i10) uv:(50*s)^0.5*(50*50-50*s);
(%i11) ds2:di(uv,s);
(%i12) solve(ds2,s);
(%o12) [s=16'67]
Por lo que el resultado se corresponde con un empleo de E =50
y una tasa salarial de s=16'67.
23
-
Alternativamente, la solucion de Nash puede obtenerse maxi-
mizando u:v = 2500:u u
3
con respecto a u:
(%i13) uv:2500*u-u^3;
(%i14) du:di(uv,u);
(%i15) solve(du,u);
(%o15) 28.86751345948129
(%i16) v:2500-%^2;
(%o16) 1666.666666666667
De donde se concluye que la utilidad para el sindicato y para
la empresa es 28'87 y 1666'67, respectivamente.
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