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Índice General

4 Campos electrostáticos en medios materiales 1 24.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Conductores en equilibrio electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Conductores con cavidades: apantallamiento electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 Capacidad y condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.1 Capacidad de un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.2 Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4.3 Asociación de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5 Energía de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.6 Energía en función del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.7 Medios dieléctricos. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.8 Experimento de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.9 Interpretación del experimento de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.9.1 Densidad de carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.9.2 Vectores polarización y desplazamiento. Susceptibilidad y permitividad dieléctricas 22

4.10 Diseño de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.11 Ley de Gauss en medios dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.12 Energía eléctrica en problemas con dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1Versión 2010

1

Tema 4

Campos electrostáticos en mediosmateriales 1

4.1 Introducción

Hasta ahora hemos estudiado el campo eléctrico yel potencial suponiendo que las cargas estaban enel vacío. En este tema estudiaremos que ocurrecuando tenemos medios materiales.

Históricamente, Gilbert no pudo electrizar porfrotamiento algunos materiales. Posteriormente,Gray encontró que estos materiales conducían lascargas eléctricas y clasificó todos los materiales endos grupos: conductores y aislantes (también lla-mados dieléctricos)

Un material conductor es aquel cuerpo que tieneen su interior gran cantidad de carga libre (elec-trones) que puede moverse libremente por su inte-rior. Los metales son un ejemplo de buen conduc-tor. En un metal los electrones de las capas ex-ternas de los átomos están pocos atraídos por losnúcleos, ya que están apantallados por los electro-nes de las capas internas, en consecuencia los elec-trones externos son compartidos por todos los áto-mos y se mueven por todo el conductor.

Los dieléctricos tienen los electrones fuertementeligados a los núcleos, de manera que sólo puedenhacer pequeños desplazamientos en torno a sus po-siciones de equilibrio. A la carga eléctrica que tieneestas condiciones se la llama carga ligada o depolarización.

0=x

sfρ+

0Er

0Er

iEr

sfρ−

++++++++++++++++++

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

dx =

sfρ+sfρ−

0=x

++++++++++++++++++

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

dx =

0Er

0Er

⇒

Figura 4.1: Equilibrio electrostático.

4.2 Conductores en equilibrioelectrostático

Concepto de equilibrio electrostático:

Consideremos una lámina conductora eléctricamen-te neutra. Al colocarla en una región del espacioen la que exista un campo eléctrico aplicado �E0,tal como se muestra en la figura 4.1, los electro-nes se verán sometidos a una fuerza eléctrica quetiende a acumularlos en la pared x = 0. A su vez,en la pared x = d, aparecerá un exceso de cargapositiva debida al movimiento de electrones haciala izquierda. Por tanto, el campo �E0 produce unaseparación de cargas o polarización del conductor.Como consecuencia, dentro del conductor apareceun campo eléctrico �Ei que se opone a �E0. El proce-

2

4.2 Conductores en equilibrio electrostático 3

so de separación de cargas termina cuando amboscampos se equilibran, es decir, cuando �E0+ �Ei = 0.A partir de este momento el campo eléctrico totaldentro del conductor es nulo, cesa el movimiento decargas y se dice que el conductor está en equilibrioelectrostático.

El tiempo necesario para alcanzar el equilibrioelectrostático depende del tipo de conductor. Paralos buenos conductores, como es el caso de los meta-les, este tiempo es del orden de 10−16 s.

Propiedades de un conductor en equilibrioelectrostático:

Un conductor en equilibrio electrostático tiene lassiguientes propiedades:

1. “El campo eléctrico en el interior de unconductor en equilibrio electrostático esnulo”

Esta propiedad se deriva directamente del con-cepto de equilibrio electrostático introducidoanteriormente. No obstante, podemos llegar aella mediante el siguiente razonamiento. Su-pongamos un conductor en equilibrio electros-tático. Si el campo eléctrico no fuera nulo ensu interior, las cargas libres se acelerarían porla acción de dicho campo. En consecuencia,las cargas se moverían y por tanto no estaría-mos en equilibrio electrostático, lo cual entraen contradicción con la suposición de partida.Esto nos permite concluir que el campo eléc-trico debe ser nulo.

2. “Si un conductor tiene exceso de carga,ésta se encuentra distribuida en su su-perficie en forma de una densidad super-ficial de carga ρs”

Aplicaremos la ley de Gauss tomando comogaussiana una superficie S situada en el inte-rior del conductor y muy próxima a la super-ficie de éste, como se ilustra en la figura 4.2.

S

0=Er

Figura 4.2: Superficie gaussiana interior a un con-ductor en equilibrio.

Al ser el campo eléctrico nulo, resulta∮

S

�E · d�S =

∮

S

�0 · d�S =Qenc

ε0=⇒ Qenc = 0,

por tanto, no habrá carga neta en el interiordel conductor. Toda la carga en exceso estaráen la superficie.

3. “El campo eléctrico en el exterior, justoen la superficie, de un conductor en equi-librio electrostático es perpendicular a lasuperficie y tiene un valor ρs/ε0”

Esta propiedad tiene dos partes, veamos pri-mero que el campo eléctrico debe ser perpen-dicular a la superficie. Para ello, supondremosinicialmente que el campo eléctrico en un pun-to de la superficie del conductor tiene direcciónarbitraria, tal como se muestra en la figura 4.3

Er

tEr

nEr

sρ

0=Er

Figura 4.3: Campo eléctrico en la superficie de unconductor en equilibrio.

Podemos entonces expresarlo como �E = �En +�Et, donde �En es la componente normal a lasuperficie y �Et la componente tangencial. És-ta última debe ser nula, ya que de lo contra-rio las cargas se moverían por la superficie delconductor y no estaríamos en equilibrio elec-trostático, por tanto �E = �En.

El valor del campo eléctrico en la superficie delconductor puede obtenerse aplicando la ley de


Gauss en un cilindro de base muy pequeña ∆Sy altura, como se muestra en la figura 4.4.

nEr

Sr

∆

Sρ h

Figura 4.4: Cilindro gaussiano con su mitad inferiorinmersa en un conductor en equilibrio.

No habrá flujo por la base inferior, ya que estáen el interior del conductor. Además, haciendoque h tienda a cero tampoco tendremos flujopor la superficie lateral, ya que el campo esnormal a la superficie del conductor. Entonces

∮

S

�E · d�S = En∆S =Qenc

ε0=ρs∆S

ε0,

de donde

En =ρsε0.

Este resultado indica que el valor del campoeléctrico en un punto de la superficie de un con-ductor es proporcional a la densidad de cargasuperficial que exista en dicho punto.

4. “Todos los puntos de un conductor enequilibrio electrostático están al mismopotencial”

Tomemos dos puntos, A y B, en el conductor,tal como se ilustra en la figura 4.5.

0=Er

A

Blrd

Figura 4.5: Camino arbitrario entre los puntos A yB situados en el interior de un conductor en equili-brio.

La diferencia de potencial entre estos dos pun-tos será

VB − VA = −

∫ B

A

�E · d��.

Dentro del conductor el campo es nulo, luego

VB − VA = −

∫ B

A

�0 · d�� = 0 =⇒ VA = VB.

Por tanto, los puntos A y B están al mismo po-tencial. Al ser estos puntos arbitrarios, pode-mos decir que todo el conductor es un volumenequipotencial y, en particular, su superficie esequipotencial.

5. “En un conductor de forma irregular,cargado y en equilibrio electrostático, lacarga tiende a acumularse en las zonasde menor radio de curvatura”

En consecuencia, el campo eléctrico en la su-perficie de un conductor cargado es tambiénmás intenso en las puntas, haciendo que, enocasiones, la carga abandone el conductor dan-do lugar a la formación de descargas de arco.Esta propiedad se ilustra en la figura 4.6.

0=Er

Er

+++ + + + + + + +

+++

+++++++++++

Figura 4.6: Acumulación de la carga en las puntasde un conductor en equilibrio.


A continuación veremos dos ejemplos que ilus-tran las propiedades anteriores. En concreto, elsegundo de ellos se hace referencia a la distribu-ción de carga y el campo en conductores de formairregular.

Ejemplo 1 Una esfera conductora en equilibrioelectrostático, aislada y de radio a tiene carga netaQ. Calcular el potencial y el campo dentro y fuerade la esfera.

Solución:

Por tratarse de un conductor en equilibrio elec-trostático, el campo eléctrico en el interior de laesfera es nulo y toda la carga Q está distribuidaen la superficie. Además, por ser la esfera una fi-gura geométrica con radio de curvatura constantey estar aislada, la carga está uniformemente distri-buida. En efecto, la densidad de carga vale

ρs =Q

S=

Q

4πa2= cte.

Al existir simetría esférica, podemos calcular elcampo �E, en el exterior de la esfera, aplicando laley de Gauss, Φe = Qenc/ε0.Según se discutió en temas anteriores, en estos

casos, el campo eléctrico es sólo función de la dis-tancia radial y tiene dirección también radial, lue-go �E = E(r)r̂. Además, tomando como superficiegaussiana una esfera de radio r (arbitrario, peroconstante), el elemento de superficie tiene tambiéndirección radial, d�S = dSr̂.Teniendo todo esto en cuenta, el flujo eléctrico,

a través de la superficie gaussiana, resulta

Φe =

∮

S

�E · d�S = ES = E4πr2.

La carga encerrada por la gaussiana es toda la cargade la esfera, esto es, Qenc = Q. Sustituyendo losdos últimos resultados en la expresión de la ley deGauss, despejando el campo eléctrico y añadiendola dirección, se obtiene

�E(r) =Q

4πε0r2r̂ para r ≥ a.

Calcularemos ahora el potencial a partir del cam-po eléctrico. Para ello, tomaremos el origen de po-tenciales en el infinito, luego

V (r)− V (∞) = −

∫ r

∞

�E · d��.

Tomado d�� = drr̂. Para calcular el potencial de-bemos considerar por separado los casos r ≥ a yr < a :

• Caso r ≥ a:

V (r) = −

∫ r

∞

Edr = −

∫ r

∞

Q

4πε0r2dr =

Q

4πε0r

El potencial en la superficie de la esfera es

V (a) =Q

4πε0a.

• Caso r < a:

V (r) = −

∫ r

∞

Edr

= −

∫ a

∞

E(r≥a)dr −

∫ r

a

E(r<a)dr

La primera integral es idéntica a la calculadaen el caso anterior con r = a. La segunda in-tegral es nula, ya que E(r<a) = 0. Por tanto,como es de esperar el potencial de la esferaconductora es constante y de valor igual al po-tencial en la superficie

V (r) =Q

4πε0a, r ≤ a.

En la figura 4.7 se muestran las líneas de campoeléctrico debidas a una esfera con carga positiva.

Er

0>sρa

Figura 4.7: Líneas de campo eléctrico debidas auna esfera conductora cargada positivamente.


Ejemplo 2 Dos esferas conductoras de radios a yb (a > b) están separadas una distancia entre suscentros d� a+ b. Se deposita una carga sobre unade las esferas y luego se conectan entre sí medianteun hilo conductor.

a) ¿Cuál es el cociente de las cargas sobre cadaesfera, Q1 y Q2, después de la conexión?.

b) Idem sobre las densidades de carga y el campoeléctrico en la superficie.

ab

d

Figura 4.8: Esferas conductoras conectadas me-diante un hilo también conductor.

Solución:

Una vez realizada la conexión y alcanzado elequilibrio electrostático, las dos esferas estarán almismo potencial. Además, al ser la distancia entreambas esferas mucho mayor que su radio, supondre-mos que una no influye sobre la otra, y por tanto,la distribución de carga sobre cada una de ellas seráuniforme. La condición de igualdad de potencial seexpresa como

Q14πε0a

=Q24πε0b

,

de dondeQ1Q2

=a

b> 1

Expresando la carga en función de la densidad decarga, se obtiene

ρs14πa2

ρs24πb2=a

b,

con lo cualρs2ρs1

=a

b> 1.

Este resultado indica que la esfera más pequeñaalmacena mayor densidad de carga.

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico en lasuperficie de una esfera cargada vale

E =ρsε0,

podemos expresar el cociente entre los campos enla superficie de cada esfera como

E2E1

=ρs2ρs1

=a

b> 1.

lo cual indica que el campo eléctrico es más intensoen las vecindades de la esfera más pequeña.

Cálculo del campo eléctrico debido a conduc-tores en equilibrio electrostático:

Como ya sabemos, en un conductor en equilibrio,el campo eléctrico en el interior es nulo y la car-ga en exceso se distribuye en su superficie. De es-tas propiedades se deriva que el cálculo del campoeléctrico debido a conductores cargados se reduceal cálculo, en el exterior del conductor, del campodebido a las correspondientes distribuciones super-ficiales de carga. En consecuencia, como ya hemosadelantado en el ejemplo 1, podemos aplicar, a es-te problema, las mismas técnicas para el cálculo decampos y potenciales, vistas en temas anteriores.A continuación mostraremos ejemplos con simetríaplana, cilíndrica y esférica. Los resultados obteni-dos se emplearán posteriormente en el cálculo decapacidades.

Ejemplo 3 Calcular el campo eléctrico debido ados planos conductores paralelos, infinitos, separa-dos una distancia d, con la misma densidad super-ficial de carga ρs C/m2, pero de signo opuesto.

Solución:

Una forma conveniente de resolver este problemaes calcular el campo eléctrico que produce cada unode los planos conductores y aplicar el principio desuperposición.


sρ+

0=Er

sρ−

0=x

1Er

dx =

2Er

1Er

2Er

1Er

2Er

0=Er

0≠Er

sρ+

0=x dx =

sρ−

)1( )2(

21 EEErrr

+=

⇒

Figura 4.9: Determinación, mediante el principiode superposición, del campo eléctrico debido a dosplanos cargados.

Según vimos en el tema 2, el campo eléctrico pro-ducido por un plano infinito con densidad de cargauniforme ρs > 0, situado en x = 0 es

�E1 =

+ρs2ε0x̂ para x > 0

−ρs2ε0x̂ para x < 0

Para un plano con densidad de carga uniforme −ρssituado en x = d, el correspondiente resultado es

�E2 =

−ρs2ε0x̂ para x > d

+ρs2ε0x̂ para x < d

En virtud del principio de superposición, el campototal es la suma de los campos producidos por cadauno de los planos conductores, luego

�E = �E1 + �E2 =

0 para x < 0ρsε0x̂ para 0 < x < d

0 para d < x

Ejemplo 4 Dos superficies cilíndricas conductorascoaxiales, infinitamente largas, de radios a y b (cona < b) tienen cargas iguales y opuestas. El cilin-dro interior tiene una carga positiva Q C/m porunidad de longitud. Calcular el campo eléctrico.

Solución:

En primer lugar debe entenderse que una cargaQ por unidad de longitud, significa que en un tra-mo de cilindro de longitud � hay una carga totalQ = Q�, es decir, el dato Q representa una den-sidad lineal de carga. Por tanto, para que los doscilindros, de igual longitud, tengan la misma carga,deben tener la misma densidad lineal de carga. Porotra parte, los cilindros son superficies, por tantopodemos calcular también su densidad superficialde carga. Así, para el cilindro interior tenemos

ρs(a) =Q

S=Q�

2πa�=Q2πa

C/m2,

mientras que para el cilindro exterior resulta

ρs(b) =−Q2πb

C/m2,

Se observa que las densidades superficiales de cadacilindro son distintas, lo cual era esperado ya queambos tienen igual carga (salvo el signo) y distintasuperficie.Una vez discutido el significado de Q, abordare-

mos el cálculo del campo eléctrico. Por tratarse deun problema con simetría cilíndrica, aplicaremos laley de Gauss de forma análoga a cómo lo hicimosen el tema 2.El campo que buscamos tiene la forma �E =

E(ρ)ρ̂. Además, los conductores dividen el espacioen tres regiones: 1) el interior del coaxial interno(ρ < a), 2) el espacio intermedio (a < ρ < b) y 3) elespacio exterior (ρ > b). Las superficies gaussianasson cilindros de radio ρ arbitrario (pero constante).Por tanto, el flujo eléctrico tiene la misma expresióngeneral el todas ellas

∮

S

�E · d�S

=

∫∫

Si n f .

�E · d�S +

∫∫

Ss u p .

�E · d�S +

∫∫

S la t .

�E · d�S

En ambas bases, �E y d�S son perpendiculares, enconsecuencia, no hay flujo a través de las bases, esdecir, las dos primeras integrales son nulas. En lasuperficie lateral �E y d�S son paralelos, además, Ees constante en toda la superficie lateral (ya que ρtambién lo es), por tanto

Φe =

∫∫

sup. lat.

�E · d�S = E

∫∫

sup. lat.

dS = E2πρ�


Para calcular la carga encerrada, consideraremoscada región por separado:

• Caso ρ < a:

Toda la carga está en la superficie ρ = a, portanto Qenc = 0, en consecuencia

�E = 0 para ρ < a

• Caso a < ρ < b:

Ahora, la carga encerrada es la carga corres-pondiente a un tramo de cilindro interno delongitud � , es decir, Qenc = Q�. Relacionandoeste resultado con el flujo, a través, de la leyde Gauss, se obtiene

�E =Q2πε0ρ

ρ̂ para a < ρ < b

donde se ha añadido el vector unitario ρ̂ queindica la dirección.

• Caso ρ > b:

Al tener ambos cilindros la misma carga, pe-ro de sentido contrario, resulta Qenc = 0. Portanto

�E = 0 para ρ > b

Las líneas de campo eléctrico resultantes se mues-tran en la figura 4.10.

Erl

Q−

0>+lQ

Er

a

b

z

Figura 4.10: Líneas de campo eléctrico debidas ados superficies cilíndricas, coaxiales, con carga porunidad de longitud de igual valor y signo opuesto.

Ejemplo 5 Una esfera conductora de radio a tienecarga neta positiva Q. Concéntrica con ella hayuna superficie esférica conductora de radio b > a ycarga neta −Q. Calcular el campo eléctrico.

Solución:

r

SrdE

r

bra <<

r

SrdE

r

rb <

ar <

Q−

r

Srd

Er

Qa

b

Figura 4.11: Esfera gaussiana (con trazo disconti-nuo) para cada una de las regiones del espacio r <a, a < r < b y b < r.

El problema tiene simetría esférica. En conse-cuencia, el campo buscado es de la forma �E =E(r) r̂. Para determinar E(r) aplicaremos la leyde Gauss: ∮

S

�E · d�S =Qenc

ε0.

Las superficies gaussianas serán esferas de radio rcon centro en el origen de coordenadas.Las dos esferas concéntricas dividen el espacio

en tres regiones: r < a, a < r < b y b < r. Encualquiera de ellas, el elemento de superficie es dela forma d�S = dS r̂, y por tanto, el flujo vale

∮

S

�E · d�S = E

∮

S

dS = E4πr2.

Para calcular la carga encerrada hay que conside-rar por separado las tres regiones mostradas en lafigura 4.11.Para r < a la carga encerrada es nula ya que

toda la carga está en la superficie del conductor.Por tanto, en esta región el campo es nulo.

4.3 Conductores con cavidades: apantallamiento electrostático 9

Para b < r la carga encerrada es la suma alge-braica (con su signo) de la carga de ambos con-ductores, por tanto Qenc = 0. En consecuencia, elcampo eléctrico fuera del conductor externo tam-bién es nulo.Por último, la carga encerrada para a < r < b es

la carga del conductor interno, es decir,Qenc = +Q.Relacionando este resultado con el flujo, a través dela ley de Gauss, se obtiene

E4πr2 =Q

ε0

Despejando E y añadiendo el vector unitario queindica la dirección, resulta

�E =Q

4πε0r2r̂.

Por tanto

�E =

0 para r < aQ

4πε0r2r̂ para a ≤ r ≤ b

0 para b < r

La figura 4.12 ilustra las líneas de campo eléctricodebidas a las dos esferas.

Er Q−

Q

Figura 4.12: Líneas de campo eléctrico debidas ados esferas concentricas con carga de igual valor ysigno opuesto.

4.3 Conductores con cavida-des: apantallamiento elec-trostático

Los conductores con cavidades interiores presentanpropiedades de interés. Veamos algunas de ellas:

extS

intS

S

intQ

extQ

Figura 4.13: Conductor con una cavidad en su in-terior

1. “En un conductor con una cavidad en suinterior, cargado y en equilibrio, toda lacarga se sitúa únicamente en la superfi-cie exterior”.

En efecto, considerando una superficie S ente-ramente situada dentro del cuerpo conductor,como se muestra en la figura 4.13, y aplicandola ley de Gauss, llegamos a

Φe =

∮

S

�E · d�S =

∮

S

�0 · d�S =Qenc

ε0= 0

es decir, la carga neta encerrada dentro de Sdebe ser nula. Como el único lugar donde pue-de haber carga es la superficie de la cavidad,concluimos que la carga neta en dicha superfi-cie debe ser nula, es decir Qint = 0.

Como consecuencia, el campo dentro de la ca-vidad es nulo y el volumen completo, conduc-tor y cavidad, forman un volumen equipoten-cial.

extS

intSS

intQ

extQ

cavQ

Figura 4.14: Conductor con una cavidad que con-tiene una carga Qcav .

2. “Si en el interior de la cavidad de un con-ductor neutro y en equilibrio se introdu-ce una carga de determinado valor, en la


superficie externa del conductor apareceuna carga de igual valor”.

Para demostrar esta propiedad basta con apli-car la ley de Gauss en una superficie gaussianasituada en el conductor como la mostrada enla figura 4.14 con trazo discontinuo. Dentrode un conductor en equilibrio el campo es nu-lo, por tanto, el flujo también lo es, resultando

Φe =

∮

S

�E · d�S =

∮

S

�0 · d�S =Qenc

ε0= 0

La carga encerrada será la suma de Qcav másla carga neta inducida en la superficie interiorSint , por tanto

Qenc = Qcav +Qint = 0 ⇒ Qint = −Qcav .

El conductor es neutro, luego

Qint +Qext = 0 ⇒ Qext = −Qint = Qcav ,

es decir, en la superficie Sext aparece una cargaigual a la de la cavidad.

Si el conductor no fuera neutro y tuviera, porejemplo, una carga neta Qc, tendríamos

Qint +Qext = Qc

y la carga resultante en Sext sería

Qext = Qc −Qint = Qc +Qcav .

Ejemplo 6 Un cascarón conductor, esférico, hue-co, de radio interno a y radio externo b está des-cargado. En el centro de la cavidad hay una cargapuntual positiva q.

a) Calcular la densidad de carga en cada super-ficie del conductor.

b) Determinar el campo eléctrico y el potencialen todas las regiones del espacio.

a

b

0>q

Figura 4.15: Cascarón conductor, esférico y huecocon una carga en el centro de la cavidad.

Solución:

a) Denotaremos por Qa y Qb a la carga en la su-perficie interna y externa del cascarón, respectiva-mente. Para determinar estas cargas, aplicaremosla ley de Gauss.Tomando como gaussiana una circunferencia de

radio b > r > a y teniendo en cuenta que el campoeléctrico dentro del conductor es nulo, resulta

∮

S

�E · d�S =Qenc

ε0=q +Qaε0

= 0,

de donde Qa = −q. Como el cascarón es neutro,Qa +Qb = 0, luego Qb = q.Las densidades de cargas buscadas son:

ρs(a) =QaSa

=−q

4πa2,

ρs(b) =QbSb=

q

4πb2.

b) Para calcular el campo eléctrico, aplicaremos laley de Gauss

∮

S

�E · d�S =Qenc

ε0.

Teniendo en cuenta la simetría esférica del proble-ma, el campo eléctrico será de la forma �E = E(r)r̂.Como es usual en estos casos, tomando superficiesgaussianas en forma de circunferencia centrada enla posición de la carga puntual q, el flujo resulta

∮

S

�E · d�S = E4πr2

Para calcular Qenc consideraremos 3 regiones: r <a, b > r > a y r > b.


• r < a :

En este caso Qenc = q. Sustituyendo este re-sultado en la ley de Gauss se obtiene

E =q

4πε0r2

• b > r > a :

En esta región Qenc = q +Qa = 0. En conse-cuencia y como era de esperar, el campo eléc-trico dentro del conductor es nulo.

• r > b :

Ahora Qenc = q + Qa + Qb = q. El camporesultante es

E =q

4πε0r2

Para determinar el potencial, consideraremos lasmismas regiones que en el cálculo del campo. Sinembargo, en este caso conviene empezar a hacer loscálculos en la región más externa. Así

• r ≥ b :

V (r)− V (∞) = −

∫ r

∞

�E · d��

=−q

4πε0

∫ r

∞

dr

r2=

q

4πε0r

• b ≥ r ≥ a :

V (r)− V (∞) = −

∫ r

∞

�E · d��

= −

∫ b

∞

�E · d��−

∫ r

b

�E · d��

=q

4πε0b

• r ≤ a :

V (r)− V (∞)

= −

∫ r

∞

�E · d��

= −

∫ b

∞

�E · d��−

∫ a

b

�E · d��−

∫ r

a

�E · d��

=q

4πε0b+ 0−

q

4πε0

∫ r

a

dr

r2

=q

4πε0b+

q

4πε0r−

q

4πε0a

=q

4πε0

(1

r+1

b−1

a

)

Apantallamiento electrostático:

Consideremos un conductor en equilibrio, neutro ycon una cavidad interior. Supongamos que en la ca-vidad hay una carga Qcav > 0. Según hemos vistoanteriormente, en la superficie interior del conduc-tor se induce una carga −Qcav y en la superficieexterior una carga Qcav que produce un campo enel exterior del conductor. Si ahora conectamos elconductor a tierra, las cargas de la superficie exte-rior abandonarán el conductor. En consecuencia,no habrá campo en el exterior del conductor, esdecir, la carga de la cavidad no producirá ningúnefecto en el exterior del conductor. Decimos en-tonces que la carga de la cavidad está apantalladaelectrostáticamente. Un conductor con una cavi-dad que produce este apantallamiento se denominajaula de Faraday.

extS

intSS

intQ

extQ

cavQ

cavint QQ −=

Figura 4.16: Jaula de Faraday

Ejemplo 7 Un cascarón conductor, esférico, hue-co, de radio interno a y radio externo b está co-nectado a tierra. En el centro de la cavidad hayuna carga puntual positiva q. Determinar el cam-po eléctrico y el potencial en todas las regiones delespacio.

4.4 Capacidad y condensadores 12

a

b

0>q

Figura 4.17: Cascarón conductor, esférico y conec-tado a tierra con una carga en el centro.

Solución:

Este problema es igual al anterior con la diferen-cia de que en aquel la carga neta en el conductorera un dato y el potencial era desconocido, mientrasque en éste la carga es desconocida y el potenciales dato (V = 0, por estar unido a tierra).Para resolver este problema, supondremos car-

gas Qa y Qb en las superficies r = a y r = b,respectivamente. Como ya sabemos Qa debe serigual a la carga de la cavidad cambiada de signo,luego Qa = −q. El valor de Qb es desconocido.Determinaremos primeramente el campo y luego elpotencial.Por ser un conductor en equilibrio, el campo den-

tro de la corona es nulo. Para calcular el campodentro de la cavidad (r ≤ a) y en el exterior delconductor (r ≥ b) emplearemos la ley de Gauss,Φe = Qenc/ε0. En ambas regiones el flujo vale

Φe =

∮

S

�E · d�S = ES = E4πr2.

La carga encerrada para r ≤ a es Qenc = q. Susti-tuyendo en la ley de Gauss, resulta

E(r) =q

4πε0r2.

Para r ≥ b la carga encerrada es Qenc = q +Qa +Qb = Qb. El campo resulta

E(r) =Qb

4πε0r2

donde Qb es aún desconocida.El potencial en la cavidad se puede obtener a

partir del campo mediante la expresión

V (r)− V (a) = −

∫ r

a

�E(r≤a) · d��

= −

∫ r

a

q

4πε0r2dr

=q

4πε0

(1

r−1

a

)

El conductor está unido a tierra, por tanto supotencial es nulo, es decir

V = 0 para a ≤ r ≤ b.

Utilizaremos este dato para calcular Qb. La dife-rencia de potencial entre r = b y r =∞ es

V (b)− V (∞) = −

∫ b

∞

�E(r≥b) · d��

= −

∫ b

∞

Qb4πε0r2

dr

=Qb4πε0b

= 0,

de donde Qb = 0. Por tanto en el exterior no haycampo y el potencial es nulo. En consecuencia, lacarga situada en el interior de la cavidad no produceningún efecto en el espacio exterior al conductor.

4.4 Capacidad y condensado-res

4.4.1 Capacidad de un conductor

Los conductores pueden almacenar carga eléctricay por tanto pueden almacenar energía. En la prác-tica, la forma más sencilla de cargar un conductores conectarlo a una batería, como se ilustra en lafigura 4.18


V

Q

Figura 4.18: Conductor cargado.

Resulta interesante conocer la cantidad de car-ga que puede almacenar el conductor en relación asu potencial, lo cual se conoce como capacidad ocapacitancia del conductor. Matemáticamente, lacapacidad de un conductor se define como

C ≡Q

V,

donde V representa el potencial del conductor res-pecto al origen de potenciales (la tierra).La capacidad de un conductor no depende de su

carga ni de su potencial, solamente depende de sugeometría (forma y dimensiones físicas) y del die-léctrico que haya en el espacio circundante.La unidad de la capacidad en el SI es el faradio

(F), que, a partir de la expresión anterior, puededefinirse como la capacidad de un conductor quecargado con un culombio adquiere un potencial deun voltio, luego

1 Faradio =1 Culombio1 Voltio

.

El faradio es una unidad muy grande, de poco in-terés práctico; por ello se usan submúltiplos. Losmás utilizados son:

1 µF = 10−6 F,

1 nF = 10−9 F,

1 pF = 10−12 F.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 8 Calcular la capacidad de una esferaconductora de radio a. ¿Cuál debe ser su radio paraque la capacidad resultante sea 1 faradio?

Solución:

Según vimos en un ejemplo anterior, el potencialde una esfera conductora de radio a y con carga Qvale

V =Q

4πε0a,

por tanto

C =Q

V= 4πε0a F.

Para que la capacidad sea de un faradio, el radiodebe valer

a =C

4πε0= 9× 109 m,

es decir, se necesita una esfera de ¡9 millones dekilómetros!.

La expresión de la capacidad de una esfera, obte-nida en el ejemplo anterior, nos permite introduciruna unidad nueva para la permitividad, ya que

ε0 =C

4πa,

luego, en el SI podemos expresar ε0 en unidades deF/m, que es una unidad muy utilizada.

4.4.2 Condensadores

Concepto de condensador:

Los condensadores son dispositivos que se usan pa-ra almacenar carga y por tanto energía eléctrica.Tal como se muestra en la figura 4.19, un conden-sador esta formado por dos conductores con car-gas iguales y opuestas,+Q y −Q, que presentaninfluencia total, es decir, todas las líneas de campoque salen del conductor con carga +Q mueren enel conductor con carga −Q.


21 VVV −=∆

Q+Q−

++

++

++++

++

+ + + −− −

−−

− − −−−−

−−

1V 2V

Figura 4.19: Condensador cargado.

Los conductores que forman un condensador,también llamados armaduras, no tienen porqué serde la misma forma y tamaño. Por tanto, la igual-dad de carga en ambos conductores, no implica quelas correspondientes densidades de carga deban sertambién iguales.

Capacidad de un condensador:

Consideramos un condensador que cargamos me-diante un batería con una diferencia de potencial∆V = V1−V2. La capacidad de dicho condensadorse define como

C ≡Q

∆V

donde Q es la carga adquirida por el conductor po-sitivo (el otro conductor tendrá una carga −Q).

Cálculo de capacidades:

Podemos determinar la capacidad de un condensa-dor empleando el siguiente procedimiento:

1. Elegir un sistema de coordenadas adecuado ala geometría del problema

2. Suponer un conductor cargado con carga +Qy el otro con carga −Q

3. Calcular el campo eléctrico �E a partir de lacarga

4. Utilizar el campo eléctrico para determinar ladiferencia de potencial entre los conductores

mediante la expresión

∆V = V1 − V2 = −

∫ 1

2

�E · d��

5. Finalmente, la capacidad se obtiene evaluandoel cociente Q/∆V.

Tanto para un único conductor como para uncondensador, la capacidad es una propiedad físicaque depende sólo de la geometría y del tipo de die-léctrico que rellene el espacio circundante. Por tan-to el cociente Q/∆V no debe depender de la cargani de la densidad de carga en los conductores.A continuación veremos 3 ejemplos de cálculo de

capacidades mediante el procedimiento que acaba-mos de describir. Cada uno se corresponde con untipo de simetría: plana, cilíndrica y esférica.

Ejemplo 9 Calcular la capacidad de un conden-sador formado por dos placas conductoras, parale-las, circulares de radio a y separadas una distanciad� a.

O

d

x

a

Figura 4.20: Condensador de placas planoparalelascirculares.

Solución:

Siguiendo el procedimiento anteriormente descri-to, comenzaremos asignado una carga neta +Q alconductor situado en x = 0 y una carga neta −Qal otro.Seguidamente, calcularemos el campo eléctrico

debido a los dos conductores cargados. Teniendoen cuenta que d � a, los efectos de borde son pe-queños y podemos aproximar el campo eléctrico enel condensador por el campo eléctrico debido a dos


planos conductores infinitos. Según se obtuvo en elejemplo 3, este campo vale

�E =ρsε0x̂ =

Q

ε0Sx̂

El siguiente paso consiste el calcular la diferenciade potencial entre los conductores. Para ello em-pleamos la expresión

∆V = V (0)− V (d) = −

∫ 0

d

�E · d��

El camino de integración debe llevarnos del conduc-tor negativo (x = d) al conductor positivo (x = 0).El resultado final es independiente de la trayecto-ria particular de integración, por lo que tomaremosuna recta a lo largo del eje x, que es la más sencilla.En consecuencia d�� = dxx̂ y

∆V = −

∫ 0

d

Q

ε0Sx̂ · dxx̂ = −

Q

ε0S

∫ 0

d

dx =Qd

ε0S

Por último, sustituyendo este resultado en la defi-nición de capacidad C = Q/∆V , se obtiene

C =ε0S

d=ε0πa

2

dF

Ejemplo 10 Un condensador cilíndrico está com-puesto por dos cilindros conductores coaxiales deradios a y b (con a < b) y longitud �� a, b. Calcu-lar su capacidad.

z

a

bl

Figura 4.21: Condensador cilíndrico.

Solución:

Comenzamos cargando los conductores con igualcarga de distinto signo: Q > 0 el cilindro interno y−Q el cilindro externo.A continuación determinamos el campo produ-

cido por los conductores cargados. Teniendo encuenta la condición � � a, b, supondremos que elcondensador es lo suficientemente largo como paradespreciar los efectos de borde. En esta situaciónel campo puede aproximarse por el debido a los co-axiales de longitud infinita con una carga Q porcada tramo de longitud �. Según se obtuvo en unproblema anterior el campo buscado vale

�E =Q

2πε0�ρρ̂ a ≤ ρ ≤ b.

El siguiente paso consiste en calcular la diferenciade potencial entre los conductores que forman elcondensador:

∆V = V (a)− V (b) = −

∫ a

b

�E · d��

La trayectoria de integración será una línea radial,por tanto d�� = dρρ̂. Entonces

∆V = −

∫ a

b

Q

2πε0�ρρ̂ · dρρ̂

= −Q

2πε0�

∫ a

b

1

ρdρ =

Q

2πε0�ln(b/a)

Finalmente, sustituyendo este resultado en la defi-nición de capacidad C = Q/∆V , resulta

C =2πε0�

ln(b/a)F

Ejemplo 11 Un condensador esférico está forma-do por dos esferas conductoras concéntricas de ra-dios a y b (con a < b). Calcular su capacidad.

b

a

Figura 4.22: Condensador esférico.

4.5 Energía de un condensador 16

Solución:

Comenzaremos cargando el condensador, es decirasignando una carga+Q a la esfera interna y unacarga −Q a la esfera externa.El siguiente paso consiste en calcular el campo

eléctrico. En realidad este cálculo se hizo en unproblema anterior, obteniéndose

�E =Q

4πε0r2r̂ a ≤ r ≤ b.

A continuación determinaremos la diferencia de po-tencial entre los dos conductores:

∆V = V (a)− V (b) = −

∫ a

b

�E · d��

En este caso, tomamos como trayectoria de integra-ción una línea radial, por tanto d�� = drr̂. Entonces

∆V = −

∫ a

b

Q

4πε0r2r̂ · drr̂

= −Q

4πε0

∫ a

b

1

r2dr =

Q

4πε0

(1

a−1

b

)

Finalmente, sustituyendo este resultado en la defi-nición de capacidad C = Q/∆V , resulta

C =4πε0ab

b− aF

4.4.3 Asociación de condensadores

• Los condensadores se pueden asociar en seriey en paralelo

• Asociación en paralelo:

Ceq =N∑

n=1

Cn

• Asociación en serie:

1

Ceq=

N∑

n=1

1

Cn

(Para más detalles ver asignatura Análisis deCircuitos)

4.5 Energía de un condensa-dor

Energía almacenada en un conductor:

Según vimos en temas anteriores, la energía elec-trostática almacenada en una distribución superfi-cial de carga es

Ue =1

2

∫∫

S

ρsV dS

donde la integral se extiende a toda la distribuciónde carga.Supongamos un conductor cargado con carga ne-

ta Q y potencial V . La carga estará distribuida so-bre su superficie con una densidad ρs. En principio,para calcular la energía electrostática almacenadaen el conductor tendríamos que evaluar la integralanterior. Sin embargo, teniendo en cuenta que lasuperficie de un conductor en equilibrio electros-tático es equipotencial (V = cte), resulta

Ue =1

2V

∫∫

S

ρs dS,

además, reconociendo la integral que nos queda co-mo la carga neta del conductor, resulta

Ue =1

2QV.

Ejemplo 12 Determinar la energía electrostáticaalmacenada por una esfera conductora de radio acon carga neta Q.

Solución:

Al tratarse de un conductor en equilibrio elec-trostático, la energía almacenada se calcula me-diante la expresión

Ue =1

2QV,

donde Q es la carga del conductor y V su potencial.Según obtuvimos en problemas anteriores, el poten-cial de una esfera conductora de radio a y carga Qvale

V =Q

4πε0a,

4.6 Energía en función del campo eléctrico 17

Por tanto la energía resulta

Ue =1

2QV =

Q2

8πε0aJ

Se observa que Ue es siempre positiva con indepen-dencia del signo de Q.

Si tuviésemos varios conductores, la energía totalsería simplemente la suma de la energía de cada unode los conductores individuales.

Energía almacenada en un condensador:

La energía almacenada en un condensador es la su-ma de las energías almacenadas en cada uno de losdos conductores que los forman, luego

Ue =1

2Q1V1 +

1

2Q2V2,

donde Q1,2 y V1,2 son la carga y el potencial de ca-da conductor. Por tratarse de un condensador, ysuponiendo que el conductor 1 está cargado posi-tivamente, podemos hacer Q1 = +Q y Q2 = −Q,luego

Ue =1

2Q (V1 − V2) ,

donde identificamos el término V1−V2 como la di-ferencia de potencial entre ambos conductores. Es-cribiendo ∆V = V1 − V2 se obtiene

Ue =1

2Q∆V.

Expresión que nos da la energía de un condensa-dor en función de su carga y de la diferencia depotencial entre sus armaduras. Recordando la de-finición de capacidad, C = Q/∆V , podemos expre-sar la energía almacenada en un condensador de lassiguientes formas alternativas

Ue =1

2Q∆V =

1

2C∆V 2 =

1

2

Q2

C,

pudiendo elegir aquella que más nos convenga encada caso.

Ejemplo 13 Calcular la energía electrostática al-macenada en un condensador esférico de radios ay b, cargado con una carga Q.

Solución:

En problemas anteriores se obtuvo la capacidadde un condensador esférico:

C =4πε0ab

b− a

Teniendo en cuenta además que el enunciado nos dala carga del condensador, la energía almacenada sepuede calcular simplemente mediante la expresión

Ue =1

2

Q2

C=Q2

8πε0

b− a

abJ

4.6 Energía en función delcampo eléctrico

Cuando se aborda el estudio de fenómenos elec-tromagnéticos variables con el tiempo, resulta másconveniente calcular la energía eléctrica en funcióndel campo eléctrico que en función de la carga. Elobjetivo de este apartado es obtener una expresióngeneral para la energía en función del campo, locual se puede hacer, mediante deducción matemáti-ca rigurosa, a partir de la expresión de la energía enfunción de la carga. Sin embargo, debido la com-plejidad de tal deducción, emplearemos un caminoalternativo, no riguroso.Consideremos un condensador de placas plano-

paralelas de anchura S y separadas una distanciad. Si la diferencia de potencial entre las placas es∆V , la energía almacenada se puede expresar como

Ue =1

2C∆V 2 =

1

2

ε0S

d∆V 2.

Relacionando la diferencia de potencial con el cam-po eléctrico existente en el condensador ∆V = Edy agrupando términos, resulta

Ue =1

2ε0E

2 (Sd) =1

2ε0E

2τ

donde τ = Sd es el volumen del condensador. Es-ta expresión se pueden interpretar diciendo que laenergía electrostática de un condensador se encuen-tra en el espacio donde hay campo eléctrico.Podemos definir la energía por unidad de volu-

men como

ue =Ueτ=1

2ε0E

2

4.7 Medios dieléctricos. Consideraciones generales 18

La magnitud ue se denomina densidad de ener-gía eléctrica y tiene unidades de J/m3. Se observaque para el condensador de placas plan-paralelas ladensidad de energía es una constante, por serlo elcampo eléctrico. Sin embargo, en un caso general,E será función de la posición, por lo que tendremosque definir ue como

ue =dUedτ

=1

2ε0E

2,

donde, en general, ue será función de las coordena-das espaciales. Según la expresión anterior, la ener-gía eléctrica almacenada en un volumen elementaldτ es

dUe = uedτ =1

2ε0E

2dτ .

La energía almacenada en un volumen finito se ob-tendrá sumando las energías de todos los volúmeneselementales que lo conforman, luego

Ue =

∫∫∫

τ

1

2ε0E

2dτ,

que es la expresión general buscada.

Ejemplo 14 Calcular la energía electrostática al-macenada por una esfera conductora de radio a concarga neta Q. Realizar el cálculo empleando el cam-po eléctrico.

Solución:

La campo eléctrico debido a una esfera conduc-tora cargada vale

�E(r) =

0, r < aQ

4πε0r2r̂ r ≥ a

Para calcular la energía basta con hacer la integral

Ue =ε02

∫∫∫| �E|2dτ

Esta integral debe realizarse a todo el espacio. To-mando dτ = 4πr2dr, la expresión la integral resulta

Ue =ε02

∫ ∞

0

| �E|24πr2dr

Teniendo en cuenta que para r < a el campo esnulo, se obtiene

Ue =ε02

∫ ∞

a

(Q

4πε0r2

)24πr2dr

=Q2

8πε0

∫ ∞

a

1

r2dr =

Q2

8πε0aJ

4.7 Medios dieléctricos. Con-sideraciones generales

Todos los medios materiales se componen de mo-léculas formadas por átomos, que a su vez estánformados por entes cargados (núcleos atómicos yelectrones). Veamos que ocurre cuando un mediodieléctrico se sitúa en una región del espacio en laque existe un campo eléctrico aplicado �E0. Inicial-mente describiremos la acción de un campo externosobre un átomo aislado y sobre una molécula ais-lada. Posteriormente abordaremos el caso de undieléctrico.

Acción de un campo externo sobre un átomoaislado:

En ausencia de campo externo aplicado, la nube decarga negativa tiene simetría esférica en torno alnúcleo (considerado puntual), por tanto los centrosde cargas positivas y negativas del átomo coinciden,como se ilustra en la figura 4.23.

00 =Er

q+

q−

x0=x

Figura 4.23: Átomo no polarizado. Los centros decarga positivo y negativo coinciden.

Cuando existe un campo externo aplicado se pro-duce fuerza sobre el núcleo positivo en la misma di-rección del campo y sobre la nube de carga negativa

4.7 Medios dieléctricos. Consideraciones generales 19

en dirección opuesta al campo. Como consecuen-cia, se deforma la nube de carga negativa, con loque los centros de cargas positivas y negativas nocoinciden. Decimos entonces que el átomo se hapolarizado, o en otras palabras se ha formado undipolo eléctrico como se muestra en la figura 4.24.

00 ≠Er

q+ q−

xr

qmk

xr

Fr

+ −

)a )b )c

00 ≠Er

lrrqp =

)( xr

lr

−=

Figura 4.24: a) Átomo polarizado (dipolo atómico).b) Dibujo esquemático de un dipolo. c) Modelomecánico de un dipolo.

Los desplazamientos producidos por �E0 (del or-den de fracciones muy pequeñas del diámetro mo-lecular) están compensados por intensas fuerzasrestauradoras que se forman al cambiar la confi-guración de cargas dentro del átomo (modelo me-cánico de muelle).Esta redistribución de cargas en el átomo pro-

duce un campo adicional que se superpone al cam-po inicialmente aplicado. El átomo polarizado secaracteriza mediante una magnitud vectorial llama-da momento dipolar eléctrico:

�p = q��.

Este proceso se llama polarización electrónica ode desplazamiento.

Acción de un campo externo sobre una mo-lécula aislada:

Distinguimos dos casos:

1. Moléculas no polares: son aquellas que enausencia de campo aplicado tienen un momen-to dipolar eléctrico nulo. Al actuar un campoaplicado se polarizan de manera análoga al ca-so del átomo (polarización electrónica)

2. Moléculas polares: son aquellas que, en au-sencia de campo aplicado, tienen un momento

dipolar permanente (no nulo). Al actuar uncampo aplicado, se produce un par de fuer-zas y el dipolo molecular se orienta paraleloal campo aplicado (polarización por orien-tación). Ej.: Agua

Acción de un campo externo sobre un die-léctrico:

Consideraremos un medio dieléctrico como una co-lección de moléculas todas iguales y que no interac-cionan entre sí. Además, en un dieléctrico ideal noexiste carga libre. Casos:

1. Medio no polar: (colección de moléculas nopolares). En ausencia de campo aplicado noexisten dipolos moleculares. Con campo eléc-trico aplicado se forman dipolos molecularespor polarización electrónica. Todos los dipolostienen la misma orientación del campo ⇒ elmedio se polariza.

2. Medio polar: (colección de moléculas pola-res). En ausencia de campo aplicado cada mo-lécula tiene momento dipolar no nulo. Los mo-mentos dipolares se orientan al azar ⇒ el mo-mento dipolar total del material es nulo. Concampo eléctrico aplicado todos los dipolos seorientan con el campo⇒ el material se polari-za (polarización por orientación). A esta orde-nación se oponen fenómenos como la agitacióntérmica.

Sea el medio polar o no polar, al aplicar un cam-po eléctrico externo el resultado final es el mismo:el medio se comporta como una colección de dipolosorientados con el campo aplicado como se ilustra enla figura 4.25.

00 ≠Er

+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −

Figura 4.25: Dieléctrico polarizado.

4.9 Interpretación del experimento de Faraday 20

4.8 Experimento de Faraday

Consideremos un condensador de placas planopa-ralelas separadas una distancia d y con vacío entrelas placas. Conectamos este condensador a una di-ferencia de potencial V0 y adquiere una carga Q(figura 4.26-a)

d

0V

0εQ+ Q−

d

0V

0εQ+ Q−

+ −

d

0VV <

1>rε

Q+ Q−

+ −

)a )b )c

Figura 4.26: a) Carga del condensador vacío. b)Medida de la d.d.p. con el condensador vacío. c)Medida de la d.d.p. con el condensador relleno dedieléctrico.

La capacidad del condensador será

C0 =Q

V0.

Si desconectamos el condensador de la batería, lacarga permanecerá en las armaduras y por tanto ladiferencia de potencial, que podemos medir con unvoltímetro, seguirá siendo V0 (figura 4.26-b). Enestas condiciones, introducimos entre las placas delcondensador un dieléctrico. Al medir de nuevo lad.d.p. entre las placas del condensador se obtieneun valor V < V0 (figura 4.26-c). En todo el pro-ceso la carga se mantiene constante. Finalmente,al retirar el material, el voltímetro vuelve a marcarV0.Repitiendo esta experiencia con distintos mate-

riales se comprueba que la relación V0/V es unaconstante cuyo valor depende del tipo de material.Al introducir el material en el condensador cambiala d.d.p. manteniéndose constante la carga, portanto debe cambiar la capacidad del condensador.La capacidad con el condensador lleno es

C =Q

V,

entoncesC

C0=V0V= cte = εr > 1.

La constante εr es una propiedad que caracterizacada material y se denomina constante dieléc-trica o permitividad relativa. Para la mayoríade los materiales, su valor es mayor que la unidad.La permitividad del dieléctrico ε se define como

ε = εrε0.

La presencia del dieléctrico también afecta al va-lor del campo eléctrico dentro del condensador yal de la energía almacenada. Para el condensadorvacío

E0 =V0d.

Para el condensador con dieléctrico

E =V

d,

Por tanto, al introducir el dieléctrico, el campo den-tro del condensador disminuye, ya que

E0E=V0V= εr > 1,

La energía almacenada en el condensador vacíoes

Ue0 =1

2QV0.

La energía almacenada en el condensador cargadovale

Ue =1

2QV.

Por tanto, al introducir el dieléctrico, la energíaalmacenada disminuye, ya que

Ue0Ue

=V0V= εr > 1,

4.9 Interpretación del experi-mento de Faraday

En este apartado abordaremos la interpretación delexperimento de Faraday, descrito en el apartadoanterior, desde dos puntos de vista complementa-rios:

1. En términos de la carga de polarización queaparece en el material dieléctrico

2. Mediante la introducción de un nuevo campoque llamaremos vector polarización.


4.9.1 Densidad de carga de polari-zación

Hemos visto que al colocar un dieléctrico entre lasplacas de un condensador cargado y desconectadode la batería, el campo en el condensador dismi-nuye, mientras que la carga sobre las placas per-manece constante. La disminución del campo debeprovenir de la aparición, dentro del dieléctrico, decargas de polarización.

)a )b

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

+− +− +− +− +−

++++++++++++++++++

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

Q+ Q−0Er+

+++++++++++++++++

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

Figura 4.27: a) Condensador vacío. b) Condensa-dor lleno de dielectrico polarizado.

sfρ−

0Er

pEr

sfρ+

spρ+spρ−

++++++++++++++++++

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

++++++++++++++++++

Figura 4.28: Campo eléctrico de polarización �Ep ydensidades de carga de polarización ρsp.

Tal como se ilustra en la figura 4.27, como con-secuencia del fenómeno de polarización del dieléc-trico, aparece carga positiva en una de las caras deldieléctrico y carga negativa en la otra. El efectoneto del fenómeno de polarización del dieléctricoes, por tanto, la formación de una densidad de car-ga superficial en el dieléctrico, que denominaremosdensidad de carga de polarización y denotare-mos como ρsp.La carga de polarización que aparece en el dieléc-

trico da lugar a un campo que llamaremos campoeléctrico de polarización �Ep, tal como se muestraen la figura 4.28. Este campo se opone al campoexterno �E0 creado por las cargas libres, dando co-mo resultado un campo total �E. Como �E0 y �Epson de sentido contrario, el módulo de �E vale

E = E0 −Ep.

Como ya conocemos, para un condensador pla-noparalelo el campo externo se expresa en funciónde la densidad de carga que hay en sus placas como

E0 =ρsfε0

siendo ρsf la densidad superficial de carga libre.Análogamente, el campo eléctrico de polarizaciónse expresa en función de la densidad de carga depolarización:

Ep =ρspε0.


Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaciónanterior resulta

E =ρsfε0−ρspε0

Teniendo en cuenta además que, según el experi-mento de Faraday, el campo total E y el campoexterno E0 se relacionan a través de la constantedieléctrica del material como E = E0/εr podemosescribir

E =E0εr=ρsfεrε0

,

que sustituyendo en la expresión anterior resulta

ρsfεr= ρsf − ρsp,

de donde podemos calcular la densidad de cargade polarización en función de la densidad de cargalibre

ρsp =

(εr − 1

εr

)ρsf .

Como εr > 1, la densidad de carga de polarizaciónes menor que la densidad de carga libre. El fe-nómeno de polarización ocurre en todo el volumendel dieléctrico, por ello, en general, si el dieléctricono es homogéneo, aparecen cargas de polarizacióntanto en la superficie como en el volumen del die-léctrico.

4.9.2 Vectores polarización y des-plazamiento. Susceptibilidad ypermitividad dieléctricas

En este apartado abordaremos la polarización die-léctrica desde un punto de vista alternativo al con-siderado en el apartado anterior. Ahora nuestro ob-jetivo es introducir, con un enfoque teórico, la per-mitividad como parámetro que caracteriza las pro-piedades eléctricas de un material, desde un puntode vista macroscópico.

Vector polarización:

Como ya sabemos, desde un punto de vista micros-cópico, la materia está constituida por un conjuntode dipolos eléctricos.Con el propósito de pasar a una descripción ma-

croscópica que nos sea útil desde el punto de vista

de la teoría de campos definiremos el vector polari-zación �P como el momento dipolar por unidad devolumen:

�P = lim∆τ→0

∆�p

∆τ=d�p

dτ.

Si consideramos un volumen elemental dτ dentro deun dieléctrico polarizado, el momento dipolar totalcorrespondiente a dicho volumen será

d�p = �Pdτ.

Se supone que dτ es pequeño a escala macroscópi-ca pero grande a escala atómica, de manera queen el volumen elemental dτ hay un gran númerode moléculas, cada una con un momento dipolar �p,y todas igualmente orientadas. El vector �P es uncampo vectorial que tendrá valor nulo fuera del die-léctrico polarizado y, en general, valor no nulo en suinterior. El vector polarización puede interpretarsecomo la respuesta del dieléctrico a la aplicación deun campo eléctrico

Vector desplazamiento:

En problemas que involucran dieléctricos convieneintroducir un nuevo campo vectorial que llamare-mos vector desplazamiento �D y que definiremos co-mo

�D = ε0 �E + �P .

Susceptibilidad y permitividad dieléctricas:

Como �P representa la respuesta del dieléctrico ala aplicación de un campo eléctrico �E, debe existiruna relación entre �P y �E:

�P = �P (�E).

Esta relación se puede determinar bien experi-mentalmente, bien a partir de las propiedades mi-croscópicas de la materia. Para la mayor parte delos materiales, el vector polarización resulta pro-porcional al campo eléctrico, lo cual podemos ex-presar en la forma

�P = ε0κe �E,

donde κe es una constante propia de cada materialllamada susceptibilidad dieléctrica. Los mate-riales que verifican la relación anterior de denomi-nan dieléctricos lineales e isótropos. Además, si κe

4.10 Diseño de condensadores 23

no depende de la posición se dice que el dieléctricoes homogéneo.Una vez establecida una relación entre �P y �E,

podemos relacionar directamente �D con �E, para locual basta sustituir el valor de �P en la expresión�D = ε0 �E + �P , obteniéndose

�D = ε0 �E + ε0κe �E = ε0(1 + κe)�E,

que puede escribirse como

�D = ε �E = ε0εr �E,

dondeε = ε0(1 + κe),

es la permitividad del dieléctrico, y

εr =ε

ε0

es la permitividad relativa o constante dieléctrica.La relación �D = ε �E se llama ecuación de consti-tución.

Ejemplo 15 Sea un condensador planoparalelocon placas de anchura S separadas una distanciad, al que se introduce un dieléctrico entre las pla-cas de manera que se mantiene la carga constante.Determinar como varían los vectores �D, �E y �P , lad.d.p. y la capacidad.

Solución:

Determinaremos antes las cantidades pedidas pa-ra el caso del condensador vacío.Suponiendo que el condensador está cargado con

una carga Qf , la densidad de carga en las placasserá

ρsf =Qf

S.

Los campos E0, D0 y P0 valen

E0 =ρsfε0

, D0 = ρsf , P0 = 0.

La d.d.p. es

V0 = V+ − V− = −

∫ +

−

�E0 · d��

= −

∫ 0

d

�E0 · d�� = E0d =ρsfε0d

y la capacidad

C0 =Qf

V0=ρsfSρsfε0d=ε0S

d.

Al introducir el dieléctrico la carga libre en lasplacas no varía, luego

D = D0 = ρsf .

El campo eléctrico vale ahora

E =D

ε=ρsfε,

y el vector polarización

P = D − ε0E = ρsf −ε0ερsf =

(1−

1

εr

)ρsf .

La d.d.p. es

V = V+ − V− = −

∫ +

−

�E · d��

= −

∫ 0

d

�E · d�� = Ed =ρsfεd =

V0εr< V0,

y la capacidad

C =Qf

V=ρsfSρsfεd=εS

d= εrC0 > C0.

4.10 Diseño de condensadores

Según se desprende del experimento de Faraday,la capacidad de un condensador es proporcional aεr, por tanto es preferible emplear medios de altapermitividad para aumentar la capacidad.Por otra parte, el campo de ruptura del dieléctri-

co (campo por encima del cuál se produce un arcoeléctrico que perfora el dieléctrico) debe ser alto.En un condensador planoparalelo V = Ed, de for-ma que Vmax = Emaxd y si Emax es grande d puedeelegirse pequeño sin tener que disminuir la d.d.p.máxima de trabajo.El dieléctrico debe ser sólido para evitar el con-

tacto eléctrico entre placas.Existen muchos tipos de condensadores; aquí se

comentan sólo dos:

4.11 Ley de Gauss en medios dieléctricos 24

• Condensador de papel: se fabrica con doshojas metálicas, intercalando entre ambas pla-cas delgadas de papel impregnadas en parafinaque actúan de dieléctrico.

• Condensador electrolítico de gran capa-cidad: Consta de una hoja de metal en con-tacto con un electrolito. Cuando se aplica elvoltaje entre las hojas de metal y el electrolito,se forma una capa de óxido metálico (aislante)que sirve de dieléctrico. Al ser esta capa muydelgada se consiguen capacidades muy altas.

Hay otros tipos de condensadores como los elec-trolíticos que utilizan aceite como dieléctrico y loscondensadores variables, formados por placas móvi-les.

Material εr Erup (MV/m)Vacío 1 ∞

Aire seco 1.00059 3Teflón 2.1 60Cuarzo 3.78 8Papel 3.7 15Agua 80 −

Titanato de estroncio 233 8Titanato de bario 10000 −

Ejemplo 16 Se construye un condensador plano-paralelo con papel de d = 0.14mm de espesor en-tre láminas de aluminio de superficie S = 15 ×480mm2. Calcular:

1. La capacidad

2. Diferencia de potencial máxima

3. Si se conecta a una d.d.p. de 180V determinarE y E0.

Solución:

1. La capacidad vale

C =εS

d

=3.7ε0 × 15× 480× 10

−6

0.14× 10−3= 1.6 nF.

2. La d.d.p. máxima es

Vmax = Emaxd

= 15× 106 × 0.14× 10−3

= 2.1× 103 V.

3. El campo eléctrico cuando el condensador estácargado con el dieléctrico es

E =V

d=

180

0.14× 10−3= 1.3× 106 V/m,

y para el condensador vacío

E0 = εrE = 3.7× 1.3× 106

= 4. 8× 106 V/m.

4.11 Ley de Gauss en mediosdieléctricos

Como consecuencia de la presencia de medios die-léctricos es necesario reconsiderar la forma de la leyde Gauss que hemos estado utilizando hasta estemomento: ∮

S

�E · d�S =Qenc

ε0.

Recordamos que en esta ecuación Qenc representala carga encerrada dentro de la superficie gaussianaS. Cuando estamos en el vacío se trata siempre decarga libre, sin embargo cuando existen medios die-léctricos la carga encerrada puede ser tanto cargalibre como carga de polarización, por tanto, escri-biremos ahora la ley de Gauss para el campo �Ecomo ∮

S

�E · d�S =1

ε0

(Qfenc +Q

penc

)

donde Qfenc y Qpenc son, respectivamente, la cargalibre y de polarización encerradas. Desde un pun-to de vista teórico, esta ecuación muestra de formaexplícita cómo las fuentes del campo eléctrico sontodas las cargas, tanto las libres como las de po-larización. No obstante, desde un punto de vistapráctico, no tiene apenas utilidad, ya que normal-mente sólo se conocen las cargas libres.Para el cálculo del campo eléctrico en problemas

que involucren materiales dieléctricos, y siempre

4.11 Ley de Gauss en medios dieléctricos 25

que haya la simetría necesaria, puede utilizarse laley de Gauss, pero expresada en términos del vectordesplazamiento, dicha ley se escribe como

∮

S

�D · d�S = Qfenc .

Esta ecuación indica que las únicas fuentes de �Dson las cargas libres. En consecuencia, su valor nodepende del dieléctrico particular que tengamos enel problema. Una vez determinado �D, el campoeléctrico se obtiene a través de la expresión �E =�D/ε. Como aplicación de todo esto consideramosel siguiente ejemplo.

Ejemplo 17 Calcular el vector desplazamiento yel campo eléctrico creado por una carga puntual q′

inmersa en un dieléctrico infinito de permitividadε. Determinar la fuerza ejercida por q′ sobre otracarga puntual q.

O

'q

rr

Dr

Srd

ε

Figura 4.29:

Solución:

Como el dieléctrico es infinito, el problema tienesimetría esférica

�D = D(r) r̂,

y se puede usar Gauss para calcular �D:∮

S


El flujo del vector desplazamiento a través de unaesfera de radio r centrada en la carga q′ es

∮

S

�D · d�S = D

∮

S

dS = D4πr2,

y la carga libre encerrada en dicha esfera es Qfenc =q′.Sustituyendo los dos últimos resultados en la ley

de Gauss, despejando D y poniendo el resultado enforma vectorial se obtiene

�D =q′

4πr2r̂.

Calculamos ahora el campo eléctrico como

�E =�D

ε=

q′

4πεr2r̂.

Obsérvese que el resultado obtenido es el mismoque en el vacío con la sustitución de ε0 por ε.Si ahora colocamos una carga puntual q, la fuerza

que la carga fuente q′ ejerce sobre ella es

�Fq′→q = q �E =q′q

4πεr2r̂,

que es la expresión de la ley de Coulomb en el vacíodonde se ha cambiado ε0 por ε.

Ejemplo 18 Un conductor esférico de radio a tie-ne una carga total Q. Dicho conductor está recu-bierto con un material aislante de permitividad ε1,forma esférica y concéntrico con él, que se extiendedesde r = a hasta r = b. Desde r = b hasta elinfinito hay un segundo material aislante de permi-tividad ε2. Hallar �D en cada punto del espacio.

b0>Q

a

1ε2ε

Figura 4.30:

Solución:

4.12 Energía eléctrica en problemas con dieléctricos 26

Para calcular el vector desplazamiento podemosaplicar la ley de Gauss

∮

S


Teniendo en cuenta que el problema tiene simetríaesférica y por tanto �D = D(r) r̂, el primer miembrode esta ecuación vale

∮

S

�D · d�S = D

∮

S

dS = D4πr2.

Para calcular la carga encerrada consideraremostres regiones:

• r < a (interior de la esfera interna). En estecaso Qfenc = 0, luego

�D0 = 0.

• a < r < b (dieléctrico 1). Ahora Qfenc = Q,por tanto

�D1 =Q

4πr2r̂.

• b < r (dieléctrico 2). En este caso Qfenc = Q,entonces

�D2 =Q

4πr2r̂.

Se observa que el cálculo de �D es independientede las permitividades ε1 y ε2.

4.12 Energía eléctrica en pro-blemas con dieléctricos

Energía en función de la carga:

En el vacío se obtuvo una expresión para la energíade un sistema de cargas

Ue =1

2

∫∫∫

todo esp.

ρτV dτ .

En aquel caso no se hizo ninguna distinción sobresi las cargas eran libres o ligadas, simplemente cal-culamos la energía reversible del sistema, es decir,la energía que se puede extraer del sistema.

De la misma manera, al calcular la energía de unsistema de cargas en presencia de medios dieléctri-cos, tendremos en cuenta la energía útil o energíaextraible del sistema, ya que es la energía sobre laque se tiene control. Dicha energía es la asociada alas cargas libres, por tanto, escribiremos

Ue =1

2

∫∫∫

todo esp.

ρτfV dτ .

En realidad el efecto de las cargas ligadas tambiénes tenido en cuenta a través del potencial V .

Energía en función del campo:

Ue =1

2

∫∫∫

todo esp.

�D · �Edτ =1

2

∫∫∫

todo esp.

ε| �E|2dτ.

Si consideramos un volumen elemental dτ la energíacontenida en este volumen será

dUe =1

2�D · �Edτ =

1

2ε| �E|2dτ ,

de donde podemos definir la densidad de energía(energía por unidad de volumen) como

ue =dUedτ

=1

2�D · �E =

1

2ε|�E|2.

Podemos entonces expresar la energía en función dela densidad de energía como

Ue =

∫∫∫

todo esp.

uedτ .

Ejemplo 19 Determinar la energía y la capacidadde un condensador esférico de radio interno a yradio externo b totalmente lleno con un dieléctricode permitividad ε y cargado con una carga Q.

Solución:

Supondremos que la esfera interna está cargadapositivamente y la esfera externa negativamente.Debido a la simetría del problema el vector des-plazamiento será de la forma

�D = D(r) r̂.

4.12 Energía eléctrica en problemas con dieléctricos 27

Aplicaremos entonces la ley de Gauss tomando unaesfera gaussiana de radio r:

∮

S


El primer miembro de esta ecuación vale∮

S

�D · d�S = D

∮

S

dS = D(r)4πr2.

Para calcular la carga encerrada dividiremos el es-pacio en tres regiones:

• r < a (interior de la esfera interna). En estecaso Qfenc = 0, luego

�D = 0.

• a < r < b (espacio entre conductores). AhoraQfenc = Q, por tanto

�D =Q

4πr2r̂.

• b < r (espacio exterior). En este caso Qfenc =Q−Q = 0, entonces

�D = 0.

En la región a < r < b la densidad de energíavale

ue =1

2�D · �E =

D2

2ε=

Q2

32π2εr4

y la energía

Ue =

∫∫∫uedτ =

Q2

8πε

∫ b

a

dr

r2=Q2

8πε

(−1

r

)b

a

,

de donde

Ue =Q2

8πε

(1

a−1

b

).

Si entre las placas hubiera vacío, la energía alma-cenada en el condensador sería

Ue0 =Q2

8πε0

(1

a−1

b

).

Por tantoUeUe0

=ε0ε

y como ε > ε0 entonces Ue0 > Ue.

Una vez calculada la energía, la capacidad puedeobtenerse a partir de la relación

Ue =1

2CV 2 =

1

2

Q2

C,

de donde

C =1

2

Q2

Ue=4πεab

b− a.

Se observa que C = εC0.

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