Índice general

6. El campo magnético 1 ,2 26.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2. El campo magnético B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3. Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.4. Aplicaciones del movimiento de partículas en campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.4.1. Selector de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4.2. Espectrómetro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.5. Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente . . . . . . . . . . . . . . . 106.6. Momento de fuerza sobre una espira con corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.6.1. Momento dipolar magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1Versión 20102Formato electrónico: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_EyM/Apuntes-CampoMagnetico.pdf

1

Tema 6

El campo magnético 1,2

6.1. IntroducciónDesarrollo histórico del magnetismo:

Aunque en Occidente la brújula (una agu-ja imantada que puede girar libremente) secomienza a usar hacia el año 1000, se suponeque en China se conocía desde hace unos 3000años.

Los conocimientos occidentales sobre losimanes comienzan en la antigua Grecia (año-500), donde, de acuerdo con la leyenda, unpastor llamado Magnes descubrió que la pun-ta de hierro de su bastón se veía atraída poralgunas rocas minerales; con posterioridad, aestas rocas se las llamó magnetitas (Fe3O4)y fueron los primeros imanes conocidos.

En 1269 Pierre de Maricourt (Peter Pere-grinus) realizó varios experimentos con unaesfera de magnetita:

• Comprobó que si se situaba una brúju-la en su superficie, la aguja siempre seorientaba siguiendo unas líneas que ter-minaban en dos puntos a los que denom-inó “polos” y que estaban situados endos puntos diametralmente opuestos de laesfera. Es en estos polos donde la fuerzamagnética es más intensa.

• Más adelante se demostró que todo imántiene dos polos, llamados polo norte y po-lo sur, que presentan fenómenos de atrac-ción y repulsión similares a los presenta-dos por las cargas eléctricas: polos dis-tintos se atraen y polos iguales serepelen.

En 1600 Gilbert amplió los experimentos aun conjunto de materiales que presentabanpropiedades magnéticas en mayor o menor gra-do y postuló que la Tierra era un granimán permanente.

John Michell en 1750 realizó experimen-tos cuantitativos midiendo la intensidad dela fuerza magnética mediante una balanza detorsión y llegando a las siguientes conclusiones:

• Análogamente a la fuerza de Coulomb,la fuerza magnética es inversamenteproporcional al cuadrado de la dis-tancia que separa los polos.

• No es posible obtener polos mag-néticos separados: cuando se divide unimán no se separan sus polos norte ysur, sino que siempre se crean dos nuevosimanes, cada uno de ellos con sus polosnorte y sur. En Electrostática sí existencargas positivas y negativas separadas.

La relación entre el magnetismo y la corrienteeléctrica fue descubierta por Oersted en 1819cuando en una experiencia demostró que unacorriente eléctrica era capaz de desviarla aguja de una brújula cercana.

Poco después, Ampère (1820) propuso que siuna corriente tenía el mismo efecto queun imán, también entre dos corrientes teníanque producirse los mismos fenómenos de atrac-ción y repulsión que se producían entre dosimanes.

• Midió, usando una balanza de torsión, es-tas fuerzas y formuló la ley que lleva su

2

6.2 El campo magnético B 3

nombre y que describe cuantitativamentelas fuerzas que se ejercen corrientes eléc-tricas entre sí.

• Por último, postuló que los efectos mag-néticos de los imanes se debían acorrientes de tipo microscópico omolecular, algo que fue confirmado masde 100 años después por la MecánicaCuántica.

En esa misma década, Faraday y Hen-ry, trabajando de forma independiente, des-cubrieron una conexión adicional entrela electricidad y el magnetismo:

• Cuando movían un imán en las proximi-dades de un circuito (variaban el campomagnético que atravesaba el circuito) seinducía en el circuito una corriente eléc-trica.

• Asimismo, cuando modificaban el valorde una corriente en un circuito se inducíauna corriente en otro circuito cercano. Esdecir, un campo magnético es capaz deproducir un campo eléctrico.

En 1860Maxwellmostró teóricamente el efec-to complementario: un campo eléctrico escapaz de producir un campo magnéti-co y formuló las conocidas ecuaciones deMaxwell.

• Estas ecuaciones predicen la existencia deondas electromagnéticas que se propagancon la velocidad de la luz, resultado a par-tir del cual postuló que la luz era una on-da electromagnética.

• Las ondas electromagnéticas fueron gen-eradas y detectadas con posterioridad porHertz.

• Las ecuaciones de Maxwell (son 4) unif-ican la electricidad y el magnetismo enuna teoría única: a partir de ese momen-to la electrostática y la magnetostática noson más que casos particulares de estasecuaciones: se producen cuando se con-sideran fenómenos que no varían con eltiempo.

En nuestros días, el magnetismo tiene una in-finidad de aplicaciones: electroimanes, contac-tores, generadores de corriente eléctrica, mo-tores, trenes como el Maglev, etc.

6.2. El campo magnético B

Concepto de campo magnético:

Según vimos en Electrostática, se podía susti-tuir una carga eléctrica o una distribución decargas por el campo eléctrico E.

Ahora, resulta conveniente sustituir los imaneso las corrientes eléctricas por un nuevo con-cepto denominado inducción magnética ocampo magnético B.

Así, cuando tenemos un imán o una corrienteeléctrica se crea a su alrededor un campo B.

La existencia de este campo puede ponersede manifiesto de diversas maneras. Citaremosaquí dos de ellas:

• Mediante una brújula que puede girar,situándose de manera que el polo nortede la aguja de la brújula apunte en la di-rección del campo magnético. El resulta-do, cuando se trata de un imán en formade barra recta, se puede ver en la fig. 1a.Cuando se retira la brújula y conservamoslas direcciones por ella señaladas obten-emos las líneas de campo magnético quemuestra la fig. 1b.

• Mediante limaduras de hierro muy finasque, al espolvorearlas sobre los imanes se

6.2 El campo magnético B 4

sitúan de manera que dibujan las líneasde campo magnético, tal y como para var-ios casos se muestra en la fig. 2.

El campo magnético B es un campo vector-ial⇒ debemos definir tanto su dirección comosu magnitud:

• Dirección: tangente a las líneas de cam-po (ver los dibujos creados mediante li-maduras de hierro)

• Magnitud: podemos definirla en térmi-nos de la fuerza que B ejerce sobre unacarga puntual de valor q que se desplazacon una velocidad v.

Fuerza ejercida por B sobre una carga pun-tual en movimiento:

Para estudiar las propiedades de la fuerza mag-nética (fuerza producida por el campo B) so-bre una carga puntual q que se desplaza convelocidad v se han realizado diversas experi-encias similares a las que Coulomb hizo paraobtener la expresión de la fuerza eléctrica.

vαB

mF

0>q

Figura 6.1:

De estas experiencias se deriva la siguiente leymatemática:

F = qv ×B

La fuerza magnética sobre una carga puntualtiene las siguientes propiedades:

• Magnitud de la fuerza magnética:

|F | = q|v ×B| = q|v||B| sinα

depende de la carga q, de la velocidad v,de la magnitud del campo B y del ánguloformado por v y B (ángulo α).

• Dirección de la fuerza magnética: vienedada por la dirección del producto vecto-rial v ×B ⇒ es siempre perpendicular alplano formado por v y B.

• Sentido (direccional) de la fuerza mag-nética: el sentido de v×B viene dado porla regla de la mano derecha, por tanto:

◦ si q > 0 el sentido de F es el mismoque el sentido de v ×B

◦ si q < 0 el sentido de F es el opuestoal sentido de v ×B

• Si v y B son paralelos (α = 0) ⇒la partícula cargada se mueve de formaparalela al campo) ⇒ la fuerza magnéti-ca es nula.

• La fuerza sobre una carga positiva tienedirección opuesta a la fuerza sobre unacarga negativa.

Como tanto la fuerza como la carga y la veloci-dad de la partícula cargada se pueden medir,es posible usar la expresión F = qv ×B comouna definición del campo magnético B.

Diferencias y analogías entre la fuerza eléc-trica y la fuerza magnética:

Es importante observar las diferencias entre laecuación anterior y la ecuación que describíala ley de Coulomb para cargas eléctricas:

• Mientras que la fuerza eléctrica siempreactúa en la dirección del campo eléctrico,la fuerza magnética siempre es perpendic-ular al campo magnético.

6.2 El campo magnético B 5

• La fuerza eléctrica siempre actuará so-bre una partícula cargada mientras quela fuerza magnética sólo lo hará si lapartícula cargada está en movimiento.

• Las líneas de campo eléctrico comienzanen las cargas positivas y terminan en lascargas negativas. Sin embargo las líneasde campo magnético forman lazos cerra-dos.

• La fuerza eléctrica realiza un trabajo alactuar sobre la partícula cargada pero lafuerza magnética no realiza trabajo. Estose debe a que la expresión para el trabajorealizado en un desplazamiento elementalsería

F · d = F · vdty como la fuerza y la velocidad son per-pendiculares, el producto escalar y por lotanto el trabajo resulta ser nulo.Esto implica que la fuerza magnéticano es capaz de suministrar energía a lapartícula cargada y por lo tanto no puedevariar su energía cinética, es decir nopuede modificar el módulo del vector ve-locidad. Sin embargo si es capaz de mod-ificar la dirección del vector velocidad.

Unidades del campo magnético B:

Si usamos la expresión F = qv × B paradefinir el campo magnético podemos expresarla unidad de campo magnético en función demagnitudes fundamentales.

Esta unidad en el SI es la tesla y se expresapor la letra T. De esta manera, una carga de1 culombio que se mueve con una velocidadde 1m/s en el seno de un campo magnético devalor 1T experimenta una fuerza de 1N. Luego:

1T =N

C m/s=

NA m

En muchos casos, se suele emplear una unidadllamada gauss (G) cuya relación con la teslaes 1T= 104G.

Para hacernos una idea de la magnitud de unatesla, diremos que el campo magnético ter-rrestre es del orden de 0,5 gauss mientras que

en los laboratorios es relativamente simple lle-gar a obtener valores de 2,5T.

Ejemplo 1 Hallar la fuerza que se ejerce sobre unprotón que se mueve con una velocidad v = 4× 106xm/s en un campo magnético B = 2zT.

Solución:

F = q v ×B = 1,6× 10−19¡4× 106x

¢× (2 z)

de donde

F = −1,28× 10−12 y [N]

Ejemplo 2 Un protón se mueve con una velocidadde 106m/s siguiendo el eje y. Entra en una regióndonde existe un campo magnético contenido en elplano xy, de valor 2T que forma un ángulo de 30◦

con el eje y. Hallar la fuerza magnética que se ejercesobre el protón al entrar en la zona de campo mag-nético así como la aceleración. Repetir el ejerciciopara el caso en el que se trate de un electrón. Datos:mp = 1,67× 10−27kg., me = 9,109× 10−31kg.

y

z

x

v

B

α

emF ,

yB

xB

pmF ,

Figura 6.2:

Solución:En la figura se puede ver la representación gráfica

de los vectores velocidad y campo magnético. Como|B| = 2 entonces

By = 2 cos 30◦ =√3

Bx = 2 sin 30◦ = 1

6.3 Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 6

por lo queB = x+

√3y

a) Para el caso del protón:

Fp = qpv ×B

=¡1,6× 10−19 × 106 y

¢× (x+

√3y)

= −1,6× 10−13 z [N]

ap =Fpmp

=−1,6× 10−13 z1,67× 10−27

= −0,958× 1014 z [m/s2]

b) Para el caso del electrón:

Fe = qev ×B

=¡−1,6× 10−19 × 106 y

¢× (x+

√3y)

= 1,6× 10−13 z [N]

ae =Feme

=1,6× 10−13 z9,109× 10−31 = 0,176×10

18 z [m/s2]

Ejemplo 3 Al medir el campo magnético terrestreen un punto de la superficie se obtiene un valorde la magnitud de 0,6 G y una dirección parael vector que, estando contenida en el plano delmeridiano, forma un ángulo con la horizontal de70◦. Un protón con carga q = 1, 6 × 10−19C semueve horizontalmente y con dirección norte, conv = 10 Mm/s. Hallar la fuerza magnética que seejerce sobre el protón. Ver figura.

Solución:Asignamos x a la dirección ”Sur” e y a la di-

rección Este, mientras que z será la vertical. Portanto,

v = vxx = −107x [m/s]

B = Bxx+Bz z = B cos 70◦x−B sin 70◦z [T]

Por lo tanto, la expresión de la fuerza magnéticaes

F = qv ×B = q [vxx× (Bxx+Bz z)] = −qvxBzy

sustituyendo valores numéricos resulta

F = −1,6× 10−19 ס−107

¢× (−2 sin 70◦)y

= −9,02× 10−17y [N]

6.3. Movimiento de partícu-las cargadas en un campomagnético

Campo magnético uniforme: movimiento deciclotrón.

1. Caso v perpendicular a B:

Consideramos una partícula de carga q > 0moviéndose con velocidad v en el seno deun campo magnético uniforme B de maneraque, inicialmente, v y B son perpendiculares(supondremos que la dirección de B es per-pendicular al plano del papel tal y como semuestra en la figura)

6.3 Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 7

La trayectoria que sigue la partícula es unacírcunferencia cuyo plano es perpendicular alcampo magnético.

En la figura se puede ver como las direccionestanto de v como de F varían continuamente.

Sin embargo la magnitud de la velocidad esconstante.

Esta fuerza debe ser idéntica a la proporciona-da por la aceleración centrípeta v2/R por loque, de acuerdo con la segunda ley de Newton

|F | = q|v ×B| = q|v||B| = mv2

R

Despejando, el radio de la trayectoria vale

R =mv

qB

La frecuencia angular de giro es

ω =v

R= B

q

m

y el periodo de revolución:

T =1

f=2π

ω=2πqmB

De los resultados anteriores se deduce que ni ωni T dependen de la velocidad de la partículani del radio.

Sin embargo, ambas son función de la relaciónq/m.

A la frecuencia f se la conoce como frecuen-cia de ciclotrón por emplearse en un disposi-tivo acelerador de partículas llamado ciclotrón.

2. Caso v NO perpendicular a B:

En el caso de que v no sea perpendicular a B,sino que forme un cierto ángulo con éste, siem-pre es posible descomponer el vector velocidaden dos componentes:

v = vk + v⊥

Una de ellas, vk, paralela a B y por tanto nosería afectada por éste y la partícula no sufriríamodificación de esa componente de la veloci-dad, por lo que tendería a seguir una trayecto-ria recta.

Otra sería perpendicular al campo, v⊥, y portanto, debido a esta componente la partículaestaría sometida a una fuerza perpendicular aB y a v por lo que tendería a describir unacircunferencia.

El movimiento total sería entonces unacomposición de ambos: una recta y unacircunferencia perpendiculares entre sí, esdecir, se describiría una hélice, tal y como semuestra en la figura.

Campo magnético no uniforme:

Cuando las partículas cargadas se mueven encampos magnéticos no uniformes se producenmovimientos muy complejos:

• Botellas magnéticas: En algunos ca-sos como las botellas magnéticas (camposque pueden mantener a partículas car-gadas en un movimiento periódico haciaadelante y atrás)

6.3 Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 8

• Bandas de radiación de van Allen:son espirales que van desde el polo norteal polo sur a una altura de varios kilómet-ros de la superficie terrestre que atrapanlos rayos cósmicos.

Ejemplo 4 Un protón se mueve en una órbita cir-cular de 14 cm de radio en un campo magnéticouniforme de 0,35T de manera que está dirigido per-pendicularmente a la velocidad del protón. a) Hal-lar la velocidad del protón. b) Si en lugar del protónse moviera un electrón, con la velocidad anterior,¿cuál sería el radio de su órbita circular?.

Solución:a) Como

R =mv

qB

se deduce que

v =RqB

mp

=(14× 10−2m)(1,6× 10−19C)(0, 35T)

1, 67× 10−27kg= 4,7× 106 [m/s]

b) En este caso

R =mev

qB= 7,6× 10−5 [m]

Ejemplo 5 Se diseña un experimento para medirla intensidad de un campo magnético. Primero loselectrones se aceleran mediante una diferencia depotencial de 350 V. Posteriormente se introducenen la región en la que actúa el campo magnético amedir, desviándose el haz de electrones y forman-do una circunferencia de radio 7,5 cm. Si el campomagnético es perpendicular al haz, ¿cuál es su mag-nitud?.¿Cuál es la frecuencia angular de giro de loselectrones?

Solución:El campo eléctrico creado por la d.d.p acelera

los electrones transfiriéndoles una energía cinéticade manera que

1

2mv2 = |e|V

de donde

v =

r2 |e|Vm

=

s2(1,6× 10−19)(350)

9,11× 10−31

= 1,11× 10+7 [m/s]

Comor =

mv

qB

se puede obtener B de la forma

B =mv

|e| r =(9,11× 10−31)(1,11× 10+7)

(1,6× 10−19)(0,075)= 8,4× 10−4 [T]

A su vez, la frecuencia angular ω sería

ω =v

r=1,11× 10−70,075

= 1,5× 108 [rad/s]

6.4 Aplicaciones del movimiento de partículas en campos 9

6.4. Aplicaciones delmovimiento de partículasen campos

En la mayor parte de las aplicaciones laspartículas eléctricas se mueven con velocidadv en presencia tanto de un campo eléctrico Ecomo de un campo magnético B.

En este caso la fuerza total sobre la partícu-la cargada se obtiene por superposición de lafuerza eléctrica qE y de la fuerza magnéticaq v×B con lo que se obtendría la fuerza total,también conocida como Fuerza de Lorentz:

F = qE + qv ×B

6.4.1. Selector de velocidades

A veces conviene disponer de partículas car-gadas que se muevan a la misma velocidad co-mo en el caso del espectrómetro de masas queveremos mas adelante.

Ésto se puede conseguir mediante una combi-nación de un campo eléctrico y otro magnéticoperpendiculares entre si como se muestra enla figura.

Un par de placas paralelas conductoras a lasque se aplica una d.d.p. dan lugar a un cam-po eléctrico dirigido hacia abajo, mientras queun campo magnético se aplica perpendicular-mente a la superficie de la página.

Supongamos, para fijar ideas, que la carga qes positiva y tiene una velocidad v. La fuerzaeléctrica qE estaría dirigida hacia abajo, mien-tras que la fuerza magnética qv ×B lo estaríahacia arriba.

Si ambas fuerzas fueran iguales la partícula semovería horizontalmente, es decir si qvB = qEse deduce que

v =E

B

Sólo las partículas con ese valor de v no sedesvían.

En las partículas con velocidad mayor que laindicada, la fuerza magnética predomina y lapartícula se desvía hacia arriba, mientras quepara las partículas con velocidad inferior a v,es la fuerza eléctrica la que predomina y lapartícula se desvía hacia abajo.

Ejemplo 6 Un protón se mueve en la direcciónx en una región donde hay un campo eléctrcioE = 2 × 105z N/C y un campo magnético B =−3000 y G. a) Hallar la velocidad del protón en elcaso de que éste no se desvíe. b) En el caso de que elprotón se moviera con una velocidad doble de la hal-lada en el caso ”a”, ¿en qué dirección se desviará?

y

z

x

v

B

EqFe =

BvqFm ×=

0>q

Figura 6.3:

Solución:

v =E

B=

2× 1053000× 10−4 = 666, 7 [km/s]

Si se mueve con velocidad doble que la anterior,la fuerza magnética predominaría sobre la eléctri-ca con lo que se desviaría en dirección opuesta alcampo eléctrico, es decir hacia las z negativas.

6.5 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente 10

6.4.2. Espectrómetro de masas

Este dispositivo fue diseñado por F.W. Astonen 1919 como un medio para medir la masa delos distintos isótopos.

Para ello hace uso de la distinta relación masa-carga de cada isótopo. Aunque existen diver-sas versiones veremos aquí la conocida comoespectrómetro de masas de Bainbridge.

Un haz de iones pasa por un selector develocidades y, a continuación, penetra en unaregión en la que existe un segundo campomagnético B0 dirigido perpendicularmente alpapel, tal y como se muestra en la figura.

El ión experimentará una fuerza que provocaráun cambio en su trayectoria que se convertiráen semicircular, con un radio que dependerá dela relación masa-carga.

ComoR =

mv

qB0

se deduce

m

q=

RB0v

=RB0B

E

Midiendo R se puede determinar m/q.

Como habitualmente se conoce por otros pro-cedimientos la carga del ion, es posible deter-minar su masa y caracterizar así los distintosisótopos. Con un sistema parecido al descritoJ.J.Thomson determinó la relación e/m.

Ejemplo 7 Un haz de iones Ni58 de carga +e ymasa 9, 6×10−26Kg se aceleran haciéndoles pasarprimero a través de un selector de velocidades ydespués en un espectrómetro de masas. Los val-ores del campo eléctrico y del campo magnético enel selector de velocidades son E = 12000V/m yB = 0, 12T . El campo magnético del espectrómetrovale también 0, 12T . Hallar: a) La velocidad de losiones que atraviesan el selector. b) Los radios decurvatura de las órbitas de los iones para el caso deNi58 y Ni60(m = 9, 93×10−26Kg). c) La diferenciaentre estos radios.

Solución:La velocidad de los iones que atraviesan el selec-

tor sería

v =E

B=12× 1040,12

= 105 [m/s]

La expresión de los radios de curvatura sería

r =mv

qB

que para el Ni58

r1 =(9,6× 10−26)(105)(1,6× 10−19)(0,12) = 0,5 [m]

mientras que para el Ni60 sería

r2 =(9,93× 10−26)(106)(1,6× 10−19)(0,12) = 0,517 [m]

La diferencia de radios

r2 − r1 = 0, 017 [m] = 1,7 [cm]

6.5. Fuerza magnética sobreun conductor que trans-porta corriente

En un hilo conductor que conduce una corri-ente eléctrica hay cargas en movimiento.

6.5 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente 11

Cuando ese hilo está bajo la acción de un cam-po magnético, la fuerza magnética que se ejercesobre estas cargas en movimiento se transmiteal material del hilo de manera que sobre ésteexiste una fuerza de tipo magnético que es laresultante de la suma de todas y cada una delas fuerzas magnéticas individuales que el cam-po magnético ejerce sobre cada carga.

En la figura puede verse que sucede en trescasos:

1. Hay campo magnético pero no circulacorriente por el hilo; en este caso no existefuerza magnética sobre el hilo.

2. Hay campo magnético perpendicular alpapel y dirigido hacia dentro y una cor-riente circula por el hilo de abajo haciaarriba; se crea una fuerza magnética so-bre el hilo dirigida hacia la izquierda.

3. Hay campo magnético perpendicular alpapel y dirigido hacia dentro y una cor-riente circula por el hilo de arriba haciaabajo; se crea una fuerza magnética di-rigida hacia la derecha.

Es posible hallar una expresión matemáticaque de cuenta de la magnitud y dirección deesta fuerza.

BvqFm ×=

vαB

0>q

BvqFm ×= dd

qdτd

vαB

BIFm ×= dd

dI

B

)a(

)b(

)c(

Figura 6.4: Fuerza magnética sobre una carga pun-tual (a), sobre un elemento de carga (b) y sobre unelemento de corriente filiforme (c).

Comenzaremos recordando la fuerza magnéti-ca ejercida por una inducción magnética B so-bre una carga puntual q con velocidad de deri-va v:

Fm = qv ×B

Si en vez de una carga puntual consideramosun elemento de carga dq, la fuerza magnéticaresultante es

dFm = dqv ×B

Teniendo en cuenta que dq = Idt, la fuerzasobre un elemento de corriente filiforme es

dFm = Idtv ×B = Id ×B

Si la corriente filiforme tiene una longitud fini-ta definida desde un punto inicial A hasta unpunto final B, la fuerza magnética total sobredicha corriente es

Fm =

ZdFm =

Z B

A

³Id ×B

´

6.5 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente 12

A

dI

B

Figura 6.5:

En el caso de que la inducción magnética seauniforme, la expresión anterior se reduce a

Fm = I

ÃZ B

Ad

!×B

donde el contenido entre paréntesis es la in-tegral de una magnitud vectorial que se formamediante la suma de todos los desplazamientoselementales desde A hasta B por lo que el re-sultado sería un vector L que va desde A hastaB. Luego

Fm = IL×B

Además, si la corriente forma un lazo cerrado

Fm = I

µId

¶| {z }

=0

×B = 0

es decir, la fuerza magnética total sobre un lazocerrado de corriente que se encuentra en el senode un campo magnmético uniforme es nula.

Ejemplo 8 Un alambre de 3mm de longitudtransporta una corriente de 3A en la dirección x.Yace en un campo magnético de magnitud 0, 02Tque está situado en el plano xy y forma un ángulode 30◦ con el eje x.¿Cuál es la fuerza magnéticaejercida sobre el alambre?.

y

z

x

LBα

mF

Figura 6.6:

Solución:La fuerza magnética es

F = IL×B = ILB sin 30◦z = 9× 10−5 z [N]

Ejemplo 9 Un alambre tiene la forma de un la-zo semicircular de radio R y yace en el plano xy.Transporta una corriente I tal y como muestra lafigura. Hay un campo magnético uniforme B = B zperpendicular al plano del lazo. Hallar la fuerza queactúa sobre el lazo semicircular.

y

z

xR

B

dIφd

Figura 6.7:

Solución:La fuerza sobre un elemento diferencial del lazo

esdF = Id ×B

En este caso, el elemento de línea vale d = Rdφ φ,luego

dF =³IRdφ φ

´× (B z) = IRBdφ ρ

6.6 Momento de fuerza sobre una espira con corriente 13

La fuerza total sobre el lazo vale

F =

ZdF =

Z +π/2

−π/2(IRB ρ) dφ

= IRB

Z π/2

−π/2ρdφ

El vector unitario ρ depende de la coordenada φde integración y por tanto no puede sacarse de laintegal. Para realizar esta integral hay que expresarρ en el sistema cartesiano, esto es, ρ = cosφ x +sinφ y. Entonces, la fuerza resulta

F = IRB

ÃZ +π/2

−π/2cosφdφ x+

Z π/2

−π/2sinφdφ y

!= IRB

h(sinφ)|+π/2−π/2 x− (cosφ)|

+π/2−π/2 y

i= 2IRB x [N]

Ejemplo 10 Un hilo doblado en forma de semi-círculo de radio R forma un circuito cerrado queconduce una corriente I. El circuito se encuentrasituado en el plano xy estando presente un campomagnético uniforme B con dirección de las y posi-tivas, tal y como muestra la figura. Hallar la fuerzamagnética sobre la parte recta del hilo y sobre laparte curva.

y

z

x

IR

I

B

Figura 6.8:

Solución:En la zona recta del hilo, la corriente tiene direc-

ción x y el campo dirección y por lo que la fuerzasobre esa parte es

F1 = IL×B = 2IRB z

Para hallar la fuerza sobre la parte curva, planteare-mos primero la diferencial de fuerza dF2 que seejerce sobre un elemento d . Si el ángulo φ es elformado por B y dl, y viendo que la dirección dela fuerza debe ser perpendicular a B y d y dirigi-da hacia adentro, es decir hacia las z negativas, seobtiene

dF2 = Id ×B =³IRdφ φ

´× (B y) =

= IRBdφ (− sinφ x+ cosφ y)× y

= −IRB sinφ z

La fuerza total sobre la zona curva se obtendría in-tegrando la expresión anterior tomando como vari-able de integración φ que variaría desde 0 hasta π

F2 = −IRBµZ π

0

sinφdφ

¶z = −2IRB z

y vemos como las dos fuerzas sumadas dan cero.

6.6. Momento de fuerza sobreuna espira con corriente

Hemos visto en el apartado anterior que uncampo magnético ejerce una fuerza sobre unhilo que transporta corriente.

En determinadas condiciones esta fuerza puedetransformarse en un momento de fuerza.

Así sucede cuando un campo magnético inter-acciona con una espira plana por la que pasauna corriente I de forma que la espira puedagirar en torno a un eje contenido en su plano.

Este fenómeno es la base de funcionamiento delos motores eléctricos.

Sea una espira rectangular que transporta unacorriente I inmersa en un campo magnéticouniforme B.

Las dimensiones de la espira son l y w demanera que el área del rectángulo formado esS = lw.

El problema se muestra en la figura con dosperspectivas distintas. En la primera perspec-tiva el plano de la espira y el campo magnético

6.6 Momento de fuerza sobre una espira con corriente 14

son perpendiculares mientras que en la segun-da perspectiva la normal al plano de la espiray el campo magnético forman un ángulo θ.

Analizaremos que sucede en cada uno de loscasos. Conviene, para hacer estos análisis, usarel vector superficie S de la espira cuyo móduloes S y la dirección perpendicular al plano dela espira y con sentido dado por el avance deltornillo cuando éste gira en el mismo sentidoen el que lo hace la corriente que transporta laespira (regla de la mano derecha)

En el primer caso mostrado en la figura, Sy B tienen la misma dirección y sentido. Lasfuerzas sobre los lados superior F1 e inferiorF2 son iguales en módulo y opuestas de man-era que

F1 = F2 = IlB

siendo la suma de ambas fuerzas cero.

De la misma manera las fuerzas sobre los doslados de longitud w , F3 y F4 son iguales enmódulo, IwB y opuestas en dirección por loque su resultante también es cero.

Por tanto, la fuerza total sobre la espira escero.

Sin embargo, aunque la fuerza magnética totalsobre la espira es nula existen otros efectos quese pueden observar:

Las cuatro fuerzas están dirigidas hacia afuerade la espira, ejerciéndose cada una sobre unlado distinto por lo que el conjunto de fuerzastiende a cambiar la forma de la espira defor-mándola; si ésta es suficientemente rígida nose deformaría.

Otro efecto es que las fuerzas mencionadaspueden producir un momento de fuerzas demanera que si la espira fuera libre de girar entorno a un eje, este momento produciría ungiro de la espira.

Así por ejemplo, tomemos un posible eje degiro que esté contenido en el plano de la espiray sea siempre perpendicular a B como el ejeOO0 que se muestra en la figura.

Pensemos ahora en que partiendo de la posi-ción marcada en la figura (a) giramos la espiraun ángulo θ de manera que el vector superfi-cie S y el campo magnético B ya no son per-pendiculares. La situación se describe gráfica-mente en la figura (b).

Ahora las dos fuerzas F1 y F2 tienden a hacergirar la espira en torno al eje OO0 de maneraque devuelvan la espira a la posición de equi-librio descrita en la figura (a).

Sin embargo, las fuerzas F3 y F4 son paralelasal eje OO0 de manera que no producen ningúnmomento por lo que su efecto continúa siendoúnicamente el de tratar de deformar la espira.

A partir de la figura (b) se puede determinar elmomento producido por la fuerza F1. La dis-tancia perpendicular desde el eje hasta la líneade acción de la fuerza es

r⊥ =1

2w sin θ

y el momento ejercido por F1 :

τ1 = |r × F1| = r⊥F1 =1

2wF1 sin θ

=1

2wIlB sin θ

Este momento tiende a hacer girar la espira enel sentido de las agujas del reloj. También lafuerza F2 tiene un momento respecto al mismoeje en el mismo sentido e igual módulo que elproducido por F1. Por lo tanto el momento to-tal sería la suma de ambos momentos iguales,es decir

τp = wIlB sin θ = ISB sin θ

con S = wl.

6.6 Momento de fuerza sobre una espira con corriente 15

Bajo la acción de este momento la espira giraráen el sentido de las agujas del reloj, haciendoque la dirección de S y B se aproxime, es de-cir, disminuyendo el ángulo θ y por tanto lamagnitud del momento que se hace cero cuan-do S y B sean paralelos, lo que nos lleva denuevo a la posición (a), que es una posición deequilibrio.

La ecuación anterior se puede poner de formavectorial de la manera siguiente:

τp = IS ×B

ecuación que se puede aplicar a cualquier posi-cionamiento de la espira respecto al campomagnético.

Cuando en vez de tener una sola espira sedispone de una bobina con N espiras este mo-mento se ejercerá sobre las N espiras por loque el momento total sería

τp = NIS ×B

Este momento de fuerza que produce unmovimiento de rotación de la bobina permiteun gran número de aplicaciones prácticas sien-do la base de funcionamiento de los motoreseléctricos o de los dispositivos analógicos demedida de tensión, corriente o resistencia.

Ejemplo 11 Un lazo circular de radio 2 cm tiene10 vueltas y transporta una corriente de 3A. El ejedel lazo forma un ángulo de 30◦ con un campo mag-nético de magnitud 8000G. Hallar la magnitud delpar sobre el lazo.

Solución:

|τp| = NI|S×B| = NISB sin θ = 1,51×10−2 [Nm]

Ejemplo 12 Un motor eléctrico sencillo tiene unabobina circular de 15 mm de radio y 100 vueltas porla que circula una corriente de 65 mA. El campo

magnético en el que está inmersa es uniforme y devalor B = 23mT . En un determinado instante labobina se encuentra orientada de manera que suvector S forma un ángulo θ = 25◦ con el campocomo se observa en la figura. La bobina puedegirar alrededor de un eje perpendicular a S y aB que pasa por su centro. a) Hallar el valor y ladirección del momento de fuerza sobre la bobinaen ese instante. b) ¿Cómo será τp si se invierte lacorriente?. c) ¿Para qué orientación de la bobinaes τp máximo y para cual mínimo?

Solución:a)

τp =¯NIS ×B

¯= 4,5× 10−5 [N.m]

La dirección del momento es la de S ×B que esperpendicular al plano del papel y entrando.b) La dirección del momento resulta ser la con-

traria.c) El máximo valor del momento se alcanza cuan-

do sin θ = ±1, es decir, cuando θ = ±90◦. Para esteángulo el valor del momento es

τp = NISB = 1,1× 10−4 [N.m]

El valor mínimo se produce para θ = 0◦, es decir,cuando S y B tienen la misma dirección.

6.6.1. Momento dipolar magnético

Definición de momento dipolar magnético:

Si una bobina que transporta una corrienteeléctrica se encuentra sumergida en un campomagnético uniforme y orientada de forma queS y B sean paralelos (θ = 0◦) o antiparalelos(θ = 180◦) el momento de las fuerzas magnéti-cas es cero.

6.6 Momento de fuerza sobre una espira con corriente 16

Si no hay otros momentos de fuerza la bobinase encuentra en equilibrio de rotación.

Sin embargo, para cualquier otra orientaciónde la bobina existirá un momento de fuerzaque tenderá a alinear la bobina con el campo.

Así en la figura (a) se muestra una bobina sus-pendida de un hilo vertical e inmersa en uncampo magnético por lo que tenderá a girarpara alinearse con el campo.

El mismo comportamiento se observa cuandoen vez de una bobina se suspende del hilo unimán como muestra la figura (b).

Es conveniente, para disponer de una expre-sión del momento aplicable a imanes, definirel llamado momento dipolar magnético de unabobina m con corriente de manera que

τp = NIS ×B = m×B

dondem = NIS

es el momento dipolar magnético de una bobi-na de N vueltas, área S y con una corrienteI.