Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

MMaarrzzoo ddee 22001188 VVoolluummeenn 9977

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, noviembre de 2018, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director Israel García Alonso

Comité editorial Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Josefa Perdomo.

Consejo asesor José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo, Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada. Fotografía premiada en el concurso Fotografía y Matemáticas.

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: administracion@sinewton.org

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Alfredo Monereo Muñoz (Secretario General), Guacimara Pérez Cartaya (Tesorera), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), José Felipe Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán (Tenerife), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Lanzarote), Purificación Jurado Antúnez (El Hierro).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, noviembre de 2018, páginas 3-4

Índice

Editorial 5 Artículos

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios. 7 D. Mato-Vazquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas matemáticos. 21 S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

Explorando emociones diarias expermientadas en el aula por profesores de matemáticas de nivel medio superior: un estudio de caso 29

Y. Arellano-García, G. Martínez-Sierra, A. Hernández-Moreno

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria 51

A. Zapatera Llinares Secciones Experiencias de aula

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas 69 J. F. Hernández Rodríguez

Mundo Geogebra

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función trigonométrica f(x)=tan(x) con el software GeoGebra 83

S. Díaz Urdaneta, R. E. Gutiérrez, R. E. Luque Problemas

Estrategia: BUSCAR PATRONES. (Problemas Comentados XLVIII) 93 J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 97 marzo de 2018

Juegos

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) 107 J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Informaciones 121

Normas para los autores 127 Listado de evaluadores 129

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 5-6

E D

I T O R

I A L

Israel García, Director de NNúúmmeerrooss

A lo largo de la carrera docente los profesores tenemos muchas oportunidades que se nos brindan para poder profundizar en nuestro trabajo: Jornadas de Profesores de la Sociedad, Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (JAEM) que organiza la Federación de Profesores de Matemáticas (FESPM), cursos de formación con distintos objetivos y temáticas, revistas de educación matemática como nuestra revista Números, o cómo no, en cada reunión del Departamento o encuentro informal entre varios profesores o profesoras en el que compartimos nuestras experiencias docentes.

Este verano tenemos una nueva oportunidad para crecer como profesores de matemáticas con la organización, por parte de la Sociedad Canaria Isaac Newton, de la X edición de la Escuela Miguel de Guzmán de Educación Matemática. Este tipo de encuentros se vienen celebrando desde el año 2005 y los promueve la Real Sociedad Matemática Española (RSME) conjuntamente con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM), cuya finalidad es la organización de una actividad de formación en educación matemática, recogiendo el testigo que el Catedrático de Matemáticas D. Miguel de Guzmán dejó con su interés y preocupación por la formación docente en Matemáticas.

El título de esta edición es Resolución de problemas como parte esencial del quehacer matemático. Durante tres días en el mes de julio diversos investigadores y profesionales de la enseñanza debatirán en torno a este tema tan importante para una formación en matemáticas en todos los niveles. También contará con una mesa redonda acerca de la figura de la mujer y su relación con la resolución de problemas matemáticos. Y se celebrarán diversos talleres en torno a esta temática.

La resolución de problemas es una parte esencial de la enseñanza de las matemáticas, pues estimula la creatividad, la invención, el razonamiento y el análisis de situaciones. Si a esto añadimos que además es aplicable a la vida, tendremos los docentes una responsabilidad enorme en las aulas.

No perdamos esta oportunidad de encuentro e intercambio de experiencias.

Editorial

6 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 89 julio de 2015

E

D

I

T

O

R

I

A

L

En este número de Números.

Son varios los trabajos que presenta este nuevo volumen con una amplia diversidad temática:

Mato-Vázquez, Soneira Calvo y Muñoz Cantero presentan un artículo relacionado con las actitudes hacia las Matemáticas. En él realizan un estudio comparativo en el que se analizan dos variables principales: vía de acceso al grado y edad. Se constatan diferencias significativas en el estudio.

Falcón Santana, Medina Rodríguez, Plaza de la Hoz realizan un estudio sobre cómo entienden los estudiantes los enunciados de los problemas y remarcan esta fase de la resolución como momento crítico para poder llegar a la solución del mismo.

En el siguiente trabajo, Arellano-García, Martínez-Sierra y Hernández-Moreno, realizan una investigación acerca de las emociones que experimenta un profesor de enseñanza media-superior y qué desencadenantes las producen.

Zapatera Llinares cierra los artículos de investigación con una secuencia de actividades que promueven la creación del pensamiento algebraico a través de la generalización de patrones, desde la enseñanza Infantil y a lo largo de toda la Enseñanza Primaria.

También contamos con nuestras secciones fijas:

Experiencias de aula nos propone “Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas”. Las metodologías emergentes como la denominada flipped classroom, cuentan ya con experiencias desarrolladas en Canarias con éxito. Es el caso del trabajo presentado en esta sección.

Mundo Geogebra presenta una propuesta didáctica para desarrollar el trabajo con la función tangente en el aula y utilizando para ello GeoGebra.

Seguidamente contamos con los desafíos propuestos en las secciones de Problemas y Juegos, para terminar con una lectura recomendadas para el próximo cuatrimestre.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 7-20

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios

Dorinda Mato-Vázquez, Carlos Soneira Calvo, J. Miguel Muñoz Cantero (Universidad da Coruña. España)

Fecha de recepción: 26 de mayo de 2017 Fecha de aceptación: 14 de noviembre de 2018

Resumen Este trabajo analiza las actitudes hacia las Matemáticas de 483 estudiantes de Grado de Educación Infantil (GEI) e Ingeniería Informática (GII). Se aplica un cuestionario para comparar las actitudes en ambos grados y se analiza la influencia de las variables vía de acceso y edad. Los resultados muestran diferencias significativas en la conceptualización de las actitudes dependiendo del Grado. En la dimensión Percepción del profesor por parte del estudiante, común a ambos grados, obtenemos, en GII, diferencias significativas en función de la Vía de Acceso y de la Edad, interaccionando ambos factores. En GEI existen diferencias significativas sólo según la Vía de Acceso.

Palabras clave Actitud del alumno, Matemáticas, Análisis de varianza, Estudios universitarios.

Title Attitudes towards mathematics in university students

Abstract In this paper we assess the student’s attitudes towards Mathematics with 483 students of the Pre-School Education Degree (PSED) and Computer Science Degree (CSD). We apply a questionnaire, compare attitudes in both degrees and analyze the influence of the variables “Form of access to the degree and “”Age”. Results show statistically significant differences between degrees as far as student’s conceptualization of attitudes. As far as the dimension “Perception of the teacher by the student”, common to both degrees, we get, in CSD, that “Form of Access” as well as “Age” affects, and that both factors interact. In PSED it just affects “Form of Access”.

Keywords Pupil attitude, Mathematics, Variance analysis, University studies.

1. Introducción

La Matemática es una asignatura básica que, dada su versatilidad se manifiesta no solo como herramienta en otras disciplinas científicas, sino también en múltiples actividades profesionales (Suárez y Fernández, 2013). Por ello, es importante establecer unas bases matemáticas sólidas en el alumnado de todos los niveles educativos y prestar atención a los factores que influyen en su aprendizaje (Álvarez y Ruíz, 2010).

Por otra parte, se observa un elevado porcentaje de suspensos en esta materia. A priori, las causas son variadas, siendo relevantes las actitudes negativas hacia la Matemática ya que las estrategias motivacionales relacionadas con el componente de afectividad inciden sobre las estrategias cognitivas y metacognitivas (Suárez y Fernández, 2013). En base a esto, las actitudes hacia esta materia condicionan el futuro de una persona, a la hora de acceder a muchas titulaciones y

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

8 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

orientaciones profesionales para las cuales es imprescindible una buena base matemática (Luengo y González, 2005). Además, este fenómeno se contextualiza en el paso de la educación secundaria a la universidad, que es de por sí un momento delicado en la trayectoria educativa. Algunos estudiantes no pueden acceder a la titulación deseada en primera elección debido a las notas de corte; otros por condicionantes económicos, geográficos, familiares, etc. y un grupo numeroso arrastra experiencias negativas del pasado en asignaturas como las Matemáticas que son imprescindibles en muchos grados.

Las actitudes negativas hacia las Matemáticas están muy extendidas entre el alumnado, afectando a niveles educativos, titulaciones y orientaciones profesionales muy dispares (García y Juárez, 2011). Un obstáculo, ya que como señalan Álvarez y Ruíz (2010), en la Educación Superior la aplicación de las Matemáticas abarca tanto las carreras vinculadas a las ciencias e ingenierías, como las relacionadas con las Ciencias Sociales.

En las ingenierías, aun siendo necesarias otras muchas habilidades como el trabajo en equipo o la comunicación, las destrezas técnicas en Matemáticas siguen constituyendo la base de la formación de los ingenieros. Se debería suponer, por lo tanto, un elevado interés y competencia en los estudiantes que deciden matricularse en este Grado. No obstante, las investigaciones revelan elevadas cifras de suspensos, desinterés, frustración, angustia y temor hacia esta asignatura entre el alumnado (Swars, Daane y Giesen, 2010).

En las titulaciones relacionadas con las Ciencias Sociales las expectativas todavía son peores. En el caso concreto que nos ocupa, estudios al respecto han constatado que las actitudes negativas hacia las Matemáticas son un fenómeno común entre los futuros docentes, incluso peor que en el resto de universitarios (Bates, Latham y Kim; 2011, Çatlıoğlu Gürbüz y Birgin, 2014). Un dato preocupante si consideramos que la ansiedad hacia las Matemáticas del docente es potencialmente transferible a sus alumnos (Cardetti y Truxaw, 2014). Considerando que la infancia es el momento en el que se forman y establecen los esquemas mentales que se consolidarán a lo largo de la vida, el profesor tiene que poseer un dominio tanto de los contenidos estrictamente matemáticos como a nivel didáctico, que le permita acometer cualquier situación que se le presente en el aula (Ertekin, 2010).

Por este motivo, en los últimos años se ha incrementado el número de trabajos que profundizan en la influencia de los factores afectivos en el aprendizaje de la matemática (Casis, Rico y Castro, 2017; Palacios, Arias y Arias, 2014, Pérez-Tyteca, Monje y Castro, 2013; Gómez-Chacón, 2010).

2. Conceptualización de las actitudes hacia las Matemáticas

El concepto de actitudes hacia las Matemáticas se refiere a manifestaciones de la conducta que tienen su origen en creencias, emociones, hábitos y experiencias anteriores (Castelló, Codina y López, 2010). Por su parte, las propuestas planteadas por Gargallo, Pérez, Serra, Sánchez y Ros (2007) hacen hincapié en que las actitudes son una predisposición aprendida, relativamente duradera, y ocupan un lugar central, tanto en la construcción de la persona como en el conocimiento.

Las investigaciones de Fennema y Sherman (1976) y Estrada y Díez-Palomar (2011) entre otros, indican la multidimensionalidad de las actitudes. “Agrado”, “ansiedad”, “miedo”, “valor y utilidad”, “motivación”, “confianza”, “percepción del profesor por parte del estudiante”, “autoconcepto”… son algunas de las dimensiones que se muestran en los cuestionarios revisados por Mato, Espiñeira y Chao (2014) y que hemos tenido en cuenta en este estudio.

Es evidente que cuando los alumnos llegan a las Facultades poseen un amplio elenco de concepciones sobre las Matemáticas generadas de forma directa en el sistema escolar, la vida

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

9 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

cotidiana, la cultura propia de cada grupo humano o la influencia de los medios de comunicación, que pueden ser causantes de que consideren que las Matemáticas son “muy difíciles” o “muy aburridas”, y les bloquee cognitivamente (García y Juárez, 2011).

A este respecto, Bates, Latham y Kim (2011) y Mato-Vázquez, Espiñeira y Chao (2014) señalan que el autoconcepto matemático positivo es un buen predictor del agrado hacia esta materia, y que los alumnos con actitudes negativas presentan menor confianza en sus habilidades matemáticas; un fenómeno extremadamente común entre los estudiantes universitarios.

Además, hay acuerdo entre los autores en manifestar que las actitudes surgen desde edades muy tempranas, y aunque tienden a ser favorables en un principio, disminuyen a medida que avanzan escolarmente (Murillo y Hernández, 2011). En general, ya que son persistentes, se produce un empeoramiento significativo conforme avanzan de curso (Broc Cavero, 2006). Concretamente, Selden y Selden (2005) exponen que las actitudes negativas aumentan en los primeros cursos de Educación Secundaria, alcanzando su cumbre en tercero y cuarto y estabilizándose durante los cursos de Bachillerato. De hecho, una vez consolidadas son difíciles de cambiar. Por ello, en estas etapas sería necesario que los docentes prestasen especial atención a la conformación de las actitudes del alumnado, así como a su evolución.

En este sentido, los profesores pueden influir en la formación de actitudes positivas o negativas en los estudiantes. Los argumentos en esta línea manifiestan que los docentes con actitudes negativas utilizan con sus alumnos métodos de enseñanza que fomentan sentimientos semejantes a los suyos de inseguridad, desmotivación, ansiedad, falta de conocimientos o disgusto hacia la materia (Bates, Latham y Kim, 2011). Por el contrario, los profesores con actitudes positivas utilizan métodos que animan a la iniciativa y a la independencia, centrándose en el descubrimiento y provocando en los estudiantes gusto y confianza hacia la asignatura (Castelló, Codina y López, 2010; Sakiz, Pape y Hoy, 2012). Algunos autores manifiestan que el modo en el que los profesores apoyan emocional y afectivamente a los estudiantes determina el devenir escolar de estos en Matemáticas en cuanto a percepción de eficacia, agrado y rendimiento (Hemmings, Grootenboer y Kay, 2011). En la misma línea, Rojas y Deulofeu (2015) señalan que para los estudiantes resulta muy relevante el modo en que sus formadores desarrollan las actividades Didáctico-Matemáticas, y de hecho las creencias sobre la actividad matemática académica surgen principalmente de la experiencia como estudiantes.

3. Variables de influencia de las actitudes hacia las Matemáticas

A partir de las recapitulaciones teóricas nos centramos en dos de las variables de influencia en las actitudes hacia las Matemáticas: “vía de acceso al grado” y “edad”.

3.1. Vía de acceso al grado

En las aulas universitarias tenemos alumnado con una acusada diversidad de conocimientos matemáticos previos, consecuencia de las asignaturas estudiadas en los cursos precedentes, la modalidad de Bachillerato, las especialidades en Ciclos Formativos y el recorrido vital antes de entrar en la universidad. De hecho, la modalidad de Bachillerato, las especialidades en Ciclos Formativos u otras titulaciones marcan diferencias en los conocimientos de los estudiantes en esta asignatura. En efecto, dependiendo de la elección pueden cursar materias de Matemáticas con contenidos muy distintos, o incluso haber prescindido totalmente de ellas desde hace varios años. Tal como apuntan Luengo y González, (2005) y Pérez-Tyteca, Monje y Castro, (2013) decantarse por cursar o no asignaturas de Matemáticas en estudios anteriores, así como la confianza y las expectativas hacia la materia, guardan relación con la elección de la titulación universitaria. Por ejemplo, los estudiantes de

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

10 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

GEI proceden, en su mayoría, del Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales y los de GII del Bachillerato Científico-Tecnológico.

3.2. Edad

Entre los adultos, la edad es un factor que presenta resultados contradictorios. Por una parte, Estrada y Díez-Palomar (2011) no encuentran relación entre edad y actitud hacia las Matemáticas, y si existiera sería algo más ligado a otros elementos como el contexto, la imagen social de las Matemáticas, las experiencias previas en la escuela, antes que la edad (Hannula, 2012). Sin embargo, Klinger (2011) señala que, controlado el efecto de la experiencia matemática previa, los estudiantes adultos tienen actitudes peores y niveles más altos de ansiedad ya que han de superar más miedos, estereotipos y actitudes negativas hacia las Matemáticas. Esto sugiere una retroalimentación a lo largo del tiempo entre las emociones y los pensamientos que desencadenan las actitudes negativas hacia las Matemáticas (Suárez y Fernández, 2013).

4. Metodología

El objetivo general de esta investigación es analizar las actitudes hacia las Matemáticas previas a la entrada en la universidad de los estudiantes de Grado en Ingeniería Informática (GII) y de Educación Infantil (GEI).

Este objetivo general se desdobla en los siguientes objetivos específicos:

-Analizar las diferencias en las actitudes hacia las Matemáticas entre los estudiantes de GII y los de GEI.

-Averiguar, dentro de cada de uno de estos subgrupos (GII y GEI), si hay diferencias significativas en la dimensión “Percepción del profesor por parte del estudiante” en función de la vía de acceso a la titulación y de la edad.

-Determinar si estos dos factores (vía de acceso a la titulación y edad) interaccionan entre sí.

4.1. Muestra

En este estudio han participado 483 estudiantes de Grado (251 de GII y 232 de GEI), de la Universidad de A Coruña (España) mediante un sistema de muestreo de conveniencia en el curso 2015-2016. En la muestra de GII, el 78,5% tienen entre 18 y 22 años y el 17.1% entre 23 y 27. En cuanto a la forma de acceso a la universidad, el 68% procede el Bachillerato Tecnológico, el 15.5% del de Ciencias Naturales y de la Salud, el 8.4% de algún Ciclo Formativo y el 8% restante de otras vías. En la muestra de GEI el 51.3% se sitúa en la franja de edad de 18 a 22 años y el 40% en la de 23 a 27 años. El 73.7% cursaron el Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales, el 17.2% el de Ciencias Naturales y de la Salud, y el resto accedieron por otras vías.

4.2. Instrumento de medida

El cuestionario utilizado es una adaptación, para la población objeto de nuestro estudio, del PAC (Percepción, Agrado y Competencia) de Naya, Soneira, Mato-Vázquez y de la Torre (2014) que consta de dos partes:

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

11 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

La primera recoge los datos personales mediante las variables, Vía de Acceso a la Titulación (Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales, Tecnológico, Ciencias Naturales y de la Salud, Artes, Música, Ciclo Formativo y Otros) y Edad (con cuatro intervalos, 18-22 años, 23-27, 28-32, más de 32).

La segunda parte, una vez realizada la revisión por jueces para que hicieran las modificaciones oportunas, quedó formado por 16 ítems con cinco opciones de respuesta tipo Likert (de 1 “nada” a 5 “mucho”) distribuidos en 3 dimensiones: “Percepción del profesor de Matemáticas por parte del alumnado” (9 ítems), “Agrado hacia las Matemáticas” (6 ítems) y “Percepción que tiene el alumnado de su competencia matemática” (4 ítems).

4.3. Aplicación del cuestionario

Posterior a la puesta en contacto con los centros, se lleva a cabo una entrevista con el docente para fijar fechas y perfilar los detalles, acordando que estuviera presente el profesor en el aula ya que no era de él de quien iban a opinar los estudiantes, sino de los profesores de Matemáticas que le dieron clase antes de entrar en la universidad.

El procedimiento para la recogida de datos fue de forma presencial, anónima y voluntaria al comienzo de una clase ordinaria, sin limitación de tiempo.

4.4. Procedimientos y técnicas de análisis

Una vez recogidos los datos, se hace un Análisis Factorial Exploratorio (AFE) con método de extracción por componentes principales usando la matriz de correlaciones. Se aplica la rotación Oblícua Oblimin Directo conforme a Palacios, Arias y Arias (2014). Para la retención de factores usamos, como primer criterio, el de autovalores asociados estrictamente mayores que 1.

Posteriormente se realizaron diversos contrastes de hipótesis, en los que el supuesto de homocedasticidad se testó con el estadístico de Levene.

Para contrastar la hipótesis de igualdad de medias, en los casos de incumplimiento de la igualdad de varianzas, se usaron la versión de estadístico t-Student que no asume varianzas iguales (lo llamaremos t') en vez del t-Student usual, y el de Welch en vez de la prueba ANOVA.

En los casos donde el ANOVA muestra diferencias estadísticamente significativas y el factor tiene más de dos niveles se realizan comparaciones por pares con la pruebas de Tukey.

En cuanto al tamaño del efecto, en las pruebas ANOVA con factores de más de dos niveles, para reducir el sesgo del estadístico usual η2, usamos en su lugar el estadístico ω2 (Pardo y San Martín, 2010). En los factores con sólo dos niveles, cuando los tamaños muestrales y las varianzas poblacionales son distintos, seguimos a Ruscio (2008) usando el estadístico A de medida de lenguaje común calculado como el área bajo la curva Cor.

En todas las pruebas, para aceptar o rechazar la hipótesis nula, se consideró una significatividad asintótica de .05.

Los cálculos y el tratamiento general de los datos estadísticos se realizaron con el programa SPSS v.21.04.

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

12 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

5. Resultados

5.1. Análisis factorial exploratorio (AFE)

5.1.1. AFE para GII

Se elimina el ítem i9 del PAC por tener una baja comunalidad (.384 si consideramos todos los ítems y .386 tomando solo aquellos que a posteriori integrarían su misma dimensión).

Al analizar los otros 18 ítems resultan 4 dimensiones. La 4.ª tiene un valor propio de 1,073 y consta de dos ítems, el i11 y el i15 del PAC, por lo que los desechamos ya que además el criterio de valor propio mayor que 1 tiene a sobrestimar el número de factores.

Repitiendo los análisis con los 16 ítems restantes, todas las comunalidades son estrictamente mayores que .46 excepto la del i17 (.382), aunque lo mantenemos por ser relevante para la investigación.

Medida de adecuación muestral de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) .889

Prueba de esfericidad de Bartlett Chi-cuadrado aproximado 2108.286

gl 120 Sig. .000

Tabla 1. KMO y prueba de Bartlett en GII

Los resultados de la Tabla 1 indican la pertinencia del AFE, con el que finalmente obtenemos tres dimensiones que explican el 64.39% de la varianza (39.08%, 17.12% y 8.18% respectivamente). Las dimensiones y sus correspondientes ítems son los siguientes:

Dimensión I: Percepción del profesor por parte del estudiante (9 ítems).

Describe la percepción, por parte del estudiante, del profesorado de Matemáticas en la última etapa previa a la universidad, con referencia al trato del sujeto con su profesor, si se sentía animado por él, si lograba despertar su interés por las Matemáticas, etc.

• El profesor de Matemáticas me anima para que estudie más Matemáticas. • El profesor de Matemáticas me aconseja y me enseña a estudiar Matemáticas. • Me siento motivado en clase de Matemáticas. • El profesor de Matemáticas me sirve de modelo en mi futura práctica profesional. • El profesor de Matemáticas me hace sentir que puedo ser bueno en Matemáticas. • El profesor de Matemáticas tiene en cuenta los intereses de los alumnos. • Me gusta como enseña mi profesor de Matemáticas. • El profesor de Matemáticas se interesa por ayudarme a solucionar mis dificultades con las

Matemáticas. • El profesor de Matemáticas hace que las Matemáticas me resulten fáciles.

Dimensión II: Autoconcepto (3 ítems). Alude a la percepción del estudiante de su habilidad en la actividad matemática.

• Las Matemáticas son muy fáciles para mí.

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

13 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

• Las Matemáticas son fáciles de comprender. • Soy bueno en Matemáticas.

Dimensión III: Agrado hacia las Matemáticas (4 ítems). Se refiere al gusto por las Matemáticas y el disfrute a la hora de realizar actividades relacionadas con ellas.

• Me gustan las Matemáticas. • No dejaría las Matemáticas, aunque pudiera. • En secundaría me gustaban las Matemáticas. • En primaria me gustaban las Matemáticas.

Estas dimensiones coinciden en número con las del PAC pero la distribución de los ítems difiere. Esto podría ser predecible al aplicarse en aquel estudio una rotación ortogonal y en el presente una oblicua, debido a que diversas investigaciones indican que las distintas dimensiones correlacionan entre sí (Soneira, Naya-Riveiro, de la Torre y Mato, 2016; Palacios, Arias y Arias, 2014). El ítem “El profesor de Matemáticas hace que las Matemáticas me resulten fáciles” se encontraba en el PAC en la dimensión “Percepción que tiene el alumnado de su competencia matemática”, mientras que ahora se incluye en “Percepción del profesor por parte del estudiante”. El ítem “Soy bueno en Matemáticas” se incluía en el PAC en la dimensión “Agrado hacia las Matemáticas”, y ahora en “Autoconcepto”.

Con los 16 ítems obtenemos un alfa de Cronbach α= .890, y para cada dimensión resulta α= .904 para la primera, α=.877 para la segunda y α= .768 para la tercera. Finalmente, los índices de homogeneidad corregidos son estrictamente mayores que .61, .73 y .46 respectivamente.

5.1.2. AFE para GEI

Tomando los mismos 16 ítems finales del AFE para GII resultan los índices expuestos en la Tabla 2, que avalan la validez de constructo.

Medida de adecuación muestral de Kaiser-Meyer-Olkin .930

Prueba de esfericidad de Bartlett 3.113.502 2108.286

120 120 .000 .000

Tabla 2. KMO y prueba de Bartlett en GEI

Todas las comunalidades son mayores que .4. Obtenemos 2 dimensiones que explican el 70.423% de la varianza, correspondiendo a la Dimensión I el 50.537% y a la Dimensión II el 19.886%.

La Dimensión I para GEI coincide en todos sus ítems con la dimensión Percepción del profesor por parte del estudiante para GII. En cambio, los ítems que en GII se distribuían en las dimensiones diferentes “Agrado hacia las Matemáticas” y “Autoconcepto”, en GEI se reúnen en la Dimensión II.

Con los 16 ítems obtenemos globalmente un alfa de Cronbach α= .931. Por dimensiones, α= .94 para la primera y α= .926 para la segunda. Los índices de homogeneidad corregida son mayores que .62 y que .512 respectivamente.

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

14 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

5.2. Actitudes hacia las Matemáticas en función del grado

Consideradas las actitudes globalmente, las diferencias observadas en los descriptivos (Tabla 3) son significativas. No asumimos varianzas iguales porque obtenemos un estadístico de Levene L(1.480)= 14.909 con sig. >.001. Rechazamos la hipótesis nula porque t’(440.306)= 7.047, p<.001, d= .517. 95% IC [.373, .661].

Sobre el tamaño del efecto, obtenemos A= .677 con sig. <.001 y un error típico no paramétrico 0.025.

Grado N M D T GII 251 3.0525 .70759 GEI 232 2.5357 0.88418 Total 483 2.804 0.83717 M= media. DT= desviación típica

Tabla 3. Descriptivos globales por grado

Prosiguiendo con la comparación cuantitativa de las actitudes en función del grado, abordamos (Tabla 4) la dimensión Percepción del profesor por parte del estudiante que se define de igual modo en ambos grupos.

Percepción del profesor N M DT Total 483 2.6246 0.96708 GII 251 2.7795 0.87115 GEI 232 2.4569 1.03720

Tabla 4. Descriptivos Percepción del Profesor por Grado

El estadístico de Levene es L(1,481)= 9.093 con sig.=.003, por lo que no asumimos varianzas iguales. Rechazamos la igualdad de medias porque t’(452.638)= 3.686, p< .001, d= .323, 95% IC [0.151, 0.495].

El tamaño del efecto, A= .607 con sig. < .001 con un error típico no paramétrico .026.

5.2.1. Percepción del profesor por parte del estudiante en GII

Debido a las características de la muestra, con muy pocos sujetos en el último tramo de edad y en ciertas vías de acceso, consideramos para este análisis 251 sujetos, dos grupos de edad ([18,22], [23,27]) y tres niveles para la vía de acceso: Bachillerato Tecnológico (BT), Bachillerato de Ciencias Naturales y de la Salud (BCNS) y Ciclo Formativo (CF) (Tabla 5).

M DT N

18-22

BCNS 2.9319 0.83675 31 BT 2.8106 0.80904 142 CF 2.5470 0.53568 13

Total 2.8124 0.79898 186

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

15 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

23-27

BCNS 2.2857 0.87925 7 BT 3.0578 0.93245 25 CF 1.6222 0.38968 5

Total 2.7177 1.00431 37

Todas las edades

BCNS 2.8129 0.87034 38 BT 2.8476 0.83036 167 CF 2.2901 0.64804 18

Total 2.7967 0.83473 223

Tabla 5. Descriptivos Percepción del profesor por Vía de acceso y Edad

Los resultados del ANOVA de dos factores incluidos en la Tabla 6 indican que los efectos principales son significativos en ambos, así como el efecto de la interacción. Edad* vía de acceso.

Origen Suma de cuadrados tipo III gl Mc(b) F Sig.

Modelo corregido 11.834(a) 5 2.367 3.595 .004 Edad 3.512 1 3.512 5.334 .022

Vía Acceso 9.670 2 4.835 7.345 .001 Edad * Vía Acceso 6.668 2 3.334 5.065 .007

Error 142.852 217 0.658 Total 1898.901 223

Total corregida 154.685 222

Tabla 6. Percepción del Profesor en GII según Vía de Acceso y Edad

En cuanto al tamaño del efecto obtenemos ω2Edad = .019, ω2VíaAcceso = .054 y ω2Edad*Vía Acceso = .035. Siguiendo la regla propuesta por Cohen, la intensidad de asociación es baja tanto para el efecto principal de la Edad como para el efecto de la interacción, y media para el efecto principal de la Vía de Acceso.

En las comparaciones por pares la prueba DHS de Tukey indica que hay diferencias significativas solo para el par (BT, CF) con d= .5575, p= .017, 95% IC [0.0825, 1.0325].

Para estudiar los efectos simples realizamos un ANOVA de 1 factor para cada nivel del otro factor.

En el caso de la Vía de Acceso en el nivel de edad [18-22], obtenemos F(2, .679)= 1.065, p= .347 por lo que aceptamos la hipótesis de igualdad de medias.

Para el nivel de edad [23,27] obtenemos F(2, 34)= 6.639, p=.004, ω2 = .2336, por lo que rechazamos la hipótesis nula y vemos que la intensidad de la relación es alta.

En las comparaciones por pares, la prueba de Tukey lleva a rechazar la hipótesis de igualdad de medias para el par (BT, CF), pues resulta d= 1.43556, p= .006, 95% IC [0.384, 2.488].

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

16 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

En el caso del Grupo de Edad en cada nivel del factor Vía de Acceso, a partir de la prueba t-Student, solo rechazamos la hipótesis de igualdad de medias para el nivel CF. (Descriptivos en la Tabla 7). Se obtiene t(16)= 3.493, p=.003 bilateral, d= .295, 95% IC [0.36346, 1,48611]. En cuanto al tamaño del efecto A=.915 con p=.008.

Percepción del

profesor

Edad N M DT ET 18-22 13 2.5470 0.53568 0.14857 23-27 5 1.6222 0.38968 0.17427

ET= Error Típico

Tabla 7. Percepción del Profesor en CF por Edad

5.2.2. Percepción del profesor por parte del estudiante en GEI

Debido a las características de la muestra consideramos para este análisis 232 sujetos con dos grupos de edad ([18, 22], [23, 27]) y dos niveles para la Vía de Acceso: Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales (BHCS) y Bachillerato de Ciencias Naturales y de la Salud (BCNS).

No realizamos un ANOVA de dos factores que permitiría estudiar al mismo tiempo los efectos simples y la interacción porque no podemos asumir varianzas iguales en las 4 submuestras (Tabla 8) y el tamaño de las mismas es diferente (Pardo y Sanmartín, 2010).

Variable dependiente: Percepción-Profesor F gl1 gl2 Sig.

4.999 3 192 .002

Tabla 8. Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas error

Si consideramos solo dos submuestras, una para cada Vía de Acceso, obtenemos igualdad de varianzas. Entonces aplicamos una t-Student obteniendo p= .234, por lo que aceptamos la hipótesis nula de igualdad de medias.

Sin embargo, las diferencias según la Edad (Tabla 9) sí son significativas. Aunque no pueden asumirse varianzas iguales pues L(1,194)=12.511 con p= .001, tenemos t'=(193.885)=2.418, p= .017, d= .338 y 95% IC [0.062, 0.612].

Percepción del

profesor

Edad N M DT ET 18-22 111 2.5936 1.09519 0.10395 23-27 85 2.2562 0.85827 0.09309

Tabla 9. Descriptivos por Edad en GEI

De nuevo, al ser los tamaños muestrales distintos, para cuantificar el tamaño del efecto usamos la curva Cor resultando A= .581 con sig. = .053.

A continuación, realizamos pruebas sobre igualdad de medias de un factor en cada nivel del otro factor.

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

17 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

En este sentido, ni en el grupo de edad [18-22] ni en el de [23-27] existen diferencias significativas en función de la Vía de Acceso, pues con la prueba t-Student obtenemos p=.293 y p=.161 respectivamente.

En cuanto al efecto de la Edad en cada nivel del factor Vía de Acceso, para los estudiantes que accedieron mediante BHCS, las diferencias sí son significativas, pues obtenemos L(1,158)= 6.766 con sig.= .010 y t’(156.533)= 2.069 , p= .040, d= 0.32312, 95% IC [ 0.0147, 0.63154], si bien el tamaño del efecto es muy reducido pues A= .580 con sig.= .084.

Finalmente, entre los estudiantes de GEI con Vía de Acceso BCNS, en función de la Edad obtenemos para la t-Student un p = .197, por lo que aceptamos la hipótesis nula.

6. Conclusiones

Los resultados de esta investigación ponen de manifiesto, en primer lugar, una conceptualización diferente de las actitudes hacia las Matemáticas entre GII y GEI, ya que difiere el número de dimensiones obtenidas en cada muestra para un mismo cuestionario. Estas dimensiones son consistentes con las de otros autores. De hecho, “Percepción del profesor por parte del estudiante”, “Agrado” y “Autoconcepto” fueron también identificadas en Sakiz, Pape y Hoy (2012) y Estrada y Díez-Palomar (2011), por citar algunos. Por otra parte, el hecho de que con un mismo instrumento de medida afloren distintas dimensiones, dependiendo de la muestra, es un fenómeno frecuente en este constructo (Mato, Espiñeira y Chao, 2014) que permite precisamente identificar y caracterizar los rasgos específicos de cada grupo. Además, aun coincidiendo las dimensiones, la distribución de los ítems ha cambiado, debido al tipo de rotación realizada, lo cual es pertinente en base a investigaciones previas como las de (Palacios, Arias y Arias, 2014). Por otra parte, este fenómeno es habitual al ser muestras con características distintas.

Así mismo, la media de las actitudes es superior en GII que en GEI. Esto, coincide con Bates, Latham y Kim, (2011), que explican la existencia de maestros, en ejercicio y en formación, con actitudes negativas hacia las Matemáticas. Estos maestros al enseñar conceptos matemáticos influyen negativamente en las actitudes de sus alumnos, generando un círculo vicioso difícil de superar (Cardetti y Truxaw, 2014). En efecto, es posible que la evolución negativa de las actitudes hacia las Matemáticas, que se observa a medida que los alumnos avanzan en los cursos de Educación Primaria, se agrave por la negatividad transmitida de forma inconsciente e involuntaria por parte del docente.

En relación al Agrado y Autoconcepto, para el alumnado de GII, se conciben como dimensiones distintas, mientras que para el de GEI suponen una única dimensión. Es decir, los estudiantes de GEI puede que disfruten de la actividad matemática si consideran que poseen buenas aptitudes para ella, en cambio a los de GII les puede resultar agradable aun considerando que sus aptitudes son limitadas, o bien puede no atraerle mucho aun pensando que están muy dotados para ellas.

Respecto a Percepción del Profesor por parte del estudiante, la media es mayor en GII que en GEI, aunque el efecto es más limitado, lo que indica que las diferencias se concentran en los aspectos recogidos en el resto de ítems. En concreto, el tamaño del efecto es mayor al considerar las actitudes globalmente que para la dimensión “Percepción del profesor por parte del estudiante”. Por lo tanto, es posible que parte de la influencia del profesor en las actitudes del estudiante le pase inadvertida al propio alumno. Por tal motivo el estudiante podría no mostrar verbal ni gestualmente descontento hacia el docente, a pesar de estar desarrollando actitudes negativas hacia las Matemáticas. Resulta por ello fundamental que los docentes de Educación Primaria y Educación Secundaria presten atención a este aspecto.

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

18 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Centrándonos en los estudiantes de GII, la Vía de Acceso y la Edad influyen en la Percepción del Profesor por parte del estudiante, siendo mayor el efecto de la Vía de Acceso. Las diferencias se concentran únicamente entre el BT y el CF, en los que la variación entre medias oscila a favor de los procedentes de BT con valores próximos a 1. Recordemos que el alumnado de CF no ha cursado materias específicas de Matemáticas en los últimos años y el hecho de elegir una formación profesional de carácter técnico puede estar relacionado con sus calificaciones en la Educación Secundaria Obligatoria y con sus actitudes hacia las Matemáticas al concluir esta etapa, lo que podría explicar su elección de estudios (Mato, Espiñeira y Chao, 2014).

Por otra parte, la influencia de la Vía de Acceso no es la misma en todos los grupos de edad y el análisis de los efectos simples nos ofrece una descripción más detallada de la situación que reitera la especificidad de los estudiantes provenientes de CF también en cuanto a la influencia de la edad. De hecho, en el grupo [18,22] la Vía de Acceso no se muestra como un factor significativo, pero sí lo hace en [23,27], donde además el tamaño del efecto es grande y de nuevo las diferencias existen únicamente entre BT y CF. Esto concuerda con que la influencia de la edad en cada factor de la Vía de Acceso solo sea significativa en el grupo de CF. Por tanto, sería procedente que el docente universitario tuviera en cuenta la Vía de Acceso con los estudiantes del grupo de edad [23,27], que no han cursado Matemáticas en los últimos años. Las actitudes negativas, eventualmente desencadenadas por malos resultados académicos, que les pudieron haber llevado a optar por una formación más técnica, estarán más consolidadas debido a su mayor edad y serán más difíciles de superar, en la línea de lo expuesto por Klinger (2011).

Con respecto al GEI, la Vía de Acceso no influye en la Percepción del profesor por parte del estudiante, al menos en los discentes de BHCS y BCNS, ni globalmente ni en ningún grupo de edad. En cambio, sí existen diferencias significativas en función de la Edad entre los grupos [18,22] y [23,27], si bien son muy limitadas y solo aparecen en los estudiantes que provienen del BHCS.

Observemos que tanto en GII como en GEI, aunque en el último caso las diferencias sean mínimas, los estudiantes de más edad tienen una Percepción del profesor más negativa, luego sería aplicable en GEI parte de lo dicho al respecto para GII.

Los resultados obtenidos, consistentes con los de Klinger (2011) y Murillo y Hernández (2011), tienen implicaciones didácticas en todos los niveles educativos. Educación Infantil y Educación Primaria son las etapas en la que las actitudes hacia las Matemáticas se conforman, y de acuerdo con Mato, Espiñeira y Chao, (2014), en muchos casos empeoran en los últimos cursos. En Educación Secundaria las actitudes hacia las Matemáticas acaban de consolidarse, siendo difíciles de modificar posteriormente (Casis, Rico y Castro, 2017). Además, en esta etapa se escoge la modalidad de estudios post-obligatorios que eventualmente darán acceso a la universidad. Consideramos que para que el alumno pueda hacer una elección que se ajuste a sus gustos y expectativas no debe verse influenciado por las actitudes negativas fruto de experiencias previas desagradables o inducidas y no atribuibles a sí mismo. Esto redundaría en el consiguiente mayor aprovechamiento y satisfacción personal en sus estudios y en su futura actividad profesional. Por ello, es importante que los docentes presten atención a las actitudes de los estudiantes para prevenir o corregir las negativas mediante las acciones sugeridas por autores como Castelló, Codina y López (2010) o Sakiz, Pape y Hoy (2012).

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

19 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Bibliografía

Álvarez, Y. y Ruíz, M. (2010). Attitudes toward mathematics among engineering students at Venezuelan autonomous universities. Revista de Pedagogía, 31(89), 225-249.

Bates, A. B., Latham, N. y Kim, J. (2011). Linking Preservice Teachers Mathematics Self-Efficacy and Mathematics Teaching Efficacy to Their Mathematical Performance. School Science and Mathematics, 111(7), 325–333.

Casis, M., Rico, N. y Castro, E. (2017). Motivación, autoconfianza y ansiedad como descriptores de la actitud hacia las Matemáticas de los futuros profesores de educación básica de Chile. PNA, 11(3), 181 203.

Çatlıoğlu, H., Gürbüz, R. y Birgin, O. (2014). Do pre-service elementary school teachers still have mathematics anxiety? Some factors and correlates. Bolema: Boletim de Educação Matemática, 28(48), 110-127. doi: 10.1590/1980-4415v28n48a06.

Cardetti F. y Truxaw. M.P. (2014). Toward Improving the Mathematics Preparation of Elementary Preservice Teachers. School Science and Mathematics, 114(1), 1-9. doi: 10.1111/ssm.12047.

Castelló, M.J.; Codina, R. y López, P. (2010). Cambiar las actitudes hacia las Matemáticas resolviendo problemas. Una experiencia en Formación del Profesorado de Educación Primaria. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 22, 65-76.

Estrada, A. y Díez-Palomar, J. (2011). Las actitudes hacia las Matemáticas. Análisis descriptivo de un estudio de caso exploratorio centrado en la Educación Matemática de familiares. Revista de Investigación en Educación, 9 (2), 116-132.

Fennema, E. y Sherman, J. (1976). Fennema-Sherman Mathematics Attitudes Scales: Instruments Designed to Measure Attitudes Toward the Learning of Mathema¬tics by Males and Females. JSAS Catalog of Selected Documents in Psychology, 6, 31. (Ms. No. 1225). Journal for Research in Mathematics Education, 7, 324-326.

Friz, M., Sanhueza, S. y Figueroa, E. (2011). Concepciones de los estudiantes para profesor de Matemáticas sobre las competencias profesionales implicadas en la enseñanza de la Estadística. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 13(2), 113-131. Recuperado el 10 de octubre de 2017, de http://redie.uabc.mx/vol13no2/contenido-frizsanhueza.html

García, M. y Juárez, J. (2011). Revisión del Constructo actitud en Educación Matemática: 1959-1979. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 26, 117-125.

Gómez-Chacón, I. (2010). Actitudes de los estudiantes en el aprendizaje de la matemática con tecnología. Enseñanza de las Ciencias, 28(2), 227-244.

Hannula, M.S. (2012) Exploring new dimensions of mathematics-related affect: embodied and social theories. Research in Mathematics Education 14(2), 137-161.

Klinger, C. (2011). Conectivism. A new paradigm for the mathematics anxiety challenge? Adults Learning Mathematics: An International Journal, 6 (1), 7-19.

Luengo, R. y González, J. J. (2005). Relación entre los estilos de aprendizaje, el rendimiento en Matemáticas y la elección de asignaturas optativas en alumnos de E.S.O. Revista Electrónica de Investigación y Evaluación Educativa, 11(2). Recuperado el 1de marzo de 2017 de http://www.uv.es/RELIEVE/v11n2/RELIEVEv11n2_4.htm.

Mato-Vázquez, M. D.; Espiñeira, E. y Chao, R. (2014). Dimensión afectiva hacia la Matemática: Resultados de un análisis en Educación Primaria. Revista de Investigación Educativa, 32(1), 57-72.

Murillo, F.J., y Hernández, R. (2011). Efectos escolares de factores socioafectivos. Un estudio multinivel para Iberoamérica. Revista de Investigación Educativa, 29(2), 407-427.

Naya, M. C., Soneira, C., Mato-Vázquez, M. D. y de la Torre, E. (2014). Cuestionario sobre actitudes hacia las Matemáticas en futuros maestros de Educación Primaria. Revista de Estudios e Investigación en Psicología y Educación, 1(2), 141-149.

Palacios, A. Arias V. y Arias, B. (2014). Las actitudes hacia las Matemáticas: construcción y validación de un instrumento para su medida. Revista de Psicodidáctica, 19(1), 67-91.

Estudio de las actitudes hacia las Matemáticas en estudiantes universitarios D. Mato-Vázquez, C. Soneira Calvo, J. M. Muñoz Cantero

20 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Pardo, A. y San Martín, R. (2010). Análisis de datos en ciencias sociales y de la salud II. Madrid: Síntesis.

Pérez-Tyteca, P., Monje, J., & Castro, E. (2013). Afecto y Matemáticas. Diseño de una entrevista para acceder a los sentimientos de alumnos adolescentes. Avances de Investigación en Educación Matemática, 4, 65-82.

Ruscio, J. (2008). A probability-based measure of effect size: Robustness to base rates and other factors. Psychological Methods, 13, 19-30.

Sakiz, G., Pape, S. J. y Hoy, A. W. (2012). Does perceived teacher affective support matter for middle school students in mathematics classrooms? Journal of School Psychology, 50(2), 235-255.

Soneira, C., Naya-Riveiro, M. C., de la Torre, E. y Mato, D. (2016). Relaciones entre las dimensiones de las actitudes hacia las Matemáticas en futuros maestros. En J. A. Macías, A. Jiménez, J. L. González, M. T. Sánchez, P. Hernández, C. Fernández, F. J. Ruiz, T. Fernández y A. Berciano (Eds.), Investigación en Educación Matemática XX (pp. 519-528). Málaga: SEIEM

Suárez, J. M. y Fernández, A. P. (2013). Un modelo sobre cómo las estrategias motivacionales relacionadas con el componente de afectividad inciden sobre las estrategias cognitivas y metacognitivas. Educación XXI: Revista de la Facultad de Educación, 16(2), 231-246. doi: 10.5944/educxx1.16.2.2641

Swars, S.; Daane, C. J. y Giesen, J. (2010). Mathematics anxiety and mathematics teacher efficacy: What is the relationship in elementary preservice teachers? School Science and Mathematics, 106(7), 306-315.

Dorinda Mato-Vázquez, Doctora en Didáctica de la Matemática por la Universidad da Coruña, Profesora de Educación Matemática en el Departamento de Pedagogía y Didáctica en el Grado de Educación Infantil, en el Máster de Didácticas Específicas y Doctorado. Coordina el prácticum del Máster Universitario en Profesorado de E.S.O. y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Inmersa en investigaciones de metodologías y estrategias innovadoras para producir un cambio en la Didáctica de las Matemáticas. Participa en proyectos I+D+I financiados en convocatorias competitivas de Administraciones o entidades públicas y privadas. Autora de artículos en revistas científicas con factor de impacto, libros, Congresos y ponencias sobre enseñanza-aprendizaje, metodologías, recursos, evaluación, interdisciplinariedad, mujeres científicas, atención a la diversidad, etc. e-mail: m.matov@udc.es

Carlos Soneira Calvo. Doctor en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela. Profesor en la Facultad de Ciencias de la Educación, A Coruña. Publicaciones: Relaciones entre las dimensiones de las actitudes hacia las matemáticas en futuros maestros XX Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática España (Málaga) 2016 Estudio de las actitudes del alumnado de 6º curso de educación primaria que asiste a refuerzo de matemáticas 4TH INTERTIONAL CONGRESS OF EDUCATIONAL SCIENCES AND DEVELOPMENT (ISBN: 978-84-608-9269-4) España (Santiago de Compostela), 2016 e-mail: carlos.soneira@udc.gal

J. Miguel Muñoz Cantero. Profesor Titular de la Facultad de Ciencias de la Educación de A Coruña. Doctor en Filosofia y Ciencias de la Educación. Director del Departamento de Filosofia y Métodos de Investigación en Educación. Forma parte del Proyecto Europeo Low Carbon at Work: Modeling Agents and Organizations to Athieve Transition to a Low Carbon Europe. Director del Grupo de Investigación en Evaluación y Calidad Educativa (GIACE). e-mail: munoz@udc.es

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 21-28

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas matemáticos

Sergio Falcón Santana, (Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. España) Pedro Medina Rodríguez, (Colegio San Ignacio de Loyola, Las Palmas de Gran Canaria. España)

Ángel Plaza de la Hoz, (Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. España)

Fecha de recepción: 12 de diciembre de 2016 Fecha de aceptación: 26 de diciembre de 2017

Resumen Un grave problema que se presenta a un alumno que intenta resolver un ejercicio de Matemáticas, es la comprensión del enunciado del mismo y, sobre todo, cuál es exactamente la cuestión planteada por el profesor. Esto da lugar a unos resultados que no siempre están de acuerdo con los conocimientos que el alumno posee sobre la materia en estudio. En este trabajo presentamos nuestras ideas sobre este tema y cuál podría ser una forma de abordar la solución del mismo.

Palabras clave Resolución de problemas, estrategias, competencia matemática, currículo, secundaria.

Title Facilitating student understanding of the problems

Abstract A serious problem presented to a student who tries to solve an exercise of Mathematics, is the understanding of the statement of the same and, above all, what exactly is the question posed by the teacher. This leads to results that not always agree with the knowledge that the student has on the matter in study. In this paper we present our ideas on this topic and what might be a way to address the solution of the same one.

Keywords Problem solving, strategies, Mathematical competence, curriculum, high school.

1. Introducción

La resolución de problemas es una de las habilidades a desarrollar durante la enseñanza obligatoria, junto con las habilidades metacognitivas, las habilidades de razonamiento y las estrategias de aprendizaje (Limón y Carretero, 1995). Además, resolver problemas tiene un papel fundamental en la adquisición y desarrollo de la competencia matemática.

En educación secundaria obligatoria el profesor de matemáticas suele partir de la base de que el alumno tiene desarrollada la habilidad de resolver problemas, puesto que sabemos que se han trabajado desde la educación primaria, por lo tanto, deben haber aprendido las estrategias necesarias para abordarlos. Pero por nuestra experiencia, y especialmente por los resultados que se obtienen en esta tarea, sabemos que esto no suele ocurrir así.

En un trabajo anterior (Falcón, S., Medina, P. y Plaza, A., 2017) estábamos interesados en estudiar aspectos relacionados con la resolución de problemas en alumnos de tercero de educación secundaria obligatoria y especialmente nos centramos en la fase de comprensión del problema, ya que

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

22 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

un elemento fundamental del proceso de resolución es la comprensión de la situación cualitativa descrita por el enunciado del problema (Vicente, Orrantia y Verschaffel, 2008). “Comprender el problema implica transformar la información recibida en una representación interna en la memoria del sujeto, e integrarla en un esquema cognitivo que permita darle significado” (Toboso, 2004, p. 128). Una vez conseguido el modelo mental nos podemos centrar en la comprensión matemática del problema (Beltrán y Repetto, 2006).

Hay que tener en cuenta que en esta fase los alumnos tienen dificultades respecto al conocimiento del vocabulario, la falta de familiaridad con la situación planteada, la relación entre los datos y la pregunta (Fernández, 2010), y si aparecen datos superfluos, especialmente si son números, les generan confusión al intentar averiguar dónde ubicarlos. Además, también encontramos problemas de verbalización, fundamentalmente lexicales y gramaticales (Chamorro, 2003). Un enunciado que no esté acorde a la capacidad de comprensión de los alumnos generará problemas no esperados a la hora de resolverlo por parte del profesor más preocupado de los aspectos matemáticos que de los lingüísticos.

Este interés por la resolución de problemas venía motivado por la importancia que tiene como contenido curricular del área de matemáticas (Decreto 83/2016), la evaluación de la competencia matemática como un elemento del currículo (Ley Orgánica 8/2013) y el marco de evaluación PISA (OCDE, 2006; MECD, 2013). El excesivo número de alumnos que no obtienen buenos resultados en resolución de problemas, incluso aquéllos con un mayor nivel académico en matemáticas, era un aspecto que también nos preocupaba y que contribuyó a iniciar el estudio.

En dicho trabajo nos planteamos algunas preguntas: ¿qué nivel de comprensión manifiestan los alumnos cuándo se enfrentan a un problema?, ¿influye el género de los alumnos en sus resultados?, ¿qué tiempo dedican a la fase de comprensión de un problema?, ¿influye el tiempo que dedican a los problemas en los resultados?, ¿hay una relación positiva entre los resultados obtenidos y las calificaciones en el área de matemáticas? Para intentar dar respuestas a estas preguntas realizamos un cuestionario con una serie de problemas. Lo le que pedimos a los alumnos en el cuestionario era que seleccionaran en cada problema una respuesta de cuatro alternativas posibles. Anteriormente habíamos comprobado mejoras significativas en los resultados utilizando este método frente a la explicación por escrito del alumno. Es importante tener en cuenta que no tenían que resolver el problema para poder seleccionar la respuesta.

A continuación, resumimos las conclusiones a las que llegamos después de analizar los resultados obtenidos. El nivel de comprensión del grupo de alumnos de tercero de educación secundaria era bastante inferior al que necesitan para poder realizar los problemas que se proponen en la mayoría de los libros escolares. Los alumnos con un mayor rendimiento académico en matemáticas también tienen dificultades y este aspecto es una fuente de ansiedad para este alumnado.

Encontramos una relación estadísticamente significativa (prueba de U de Mann-Whitney, (p-valor igual a 0,036) entre la calificación obtenida y el género de los alumnos y ésta era una de las cuestiones en la que queríamos profundizar en este trabajo.

Otra conclusión fue que los alumnos no dedican el tiempo necesario a leer y comprender los enunciados de los problemas y abandonan con bastante facilidad. Además, el tiempo en realizarlo no correlaciona positivamente con la calificación obtenida en los cuestionarios.

A partir de los resultados de ese trabajo decidimos buscar alguna estrategia que pudiera facilitar a los alumnos mejorar su nivel de comprensión de los enunciados. Después de una revisión bibliográfica, entendimos que un guion, con preguntas, sugerencias o mensajes (Polya, 1989; Lozano

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

23 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

y Hernández, 2014; Sánchez y Vicente, 2015) que favoreciera la lectura guiada, facilitara la reflexión sobre el problema y por lo tanto la representación mental, ayudaría a los alumnos a comprender mejor los enunciados. De Corte (2015) a partir del análisis de numerosas investigaciones concluye que “los estudiantes más exitosos dominan de manera más efectiva y sofisticada las destrezas heurísticas y autorreguladoras y se demuestra también que dichas destrezas pueden ser aprendidas tempranamente” (p.7). El objetivo del guion es que sirva de guía a los alumnos en la fase de comprensión del problema, y que además les permita adquirir confianza en el proceso de resolución. Especialmente buscamos que la utilización del guion se convierta en un hábito por parte del alumno, ya que “si el alumno emplea la misma pregunta varias veces con un buen resultado, sin duda se fijará en ella y a ella recurrirá cuando se encuentre un caso similar” (Polya, 1989, p.26).

2. Presentación

En esta sección estudiamos el grado de comprensión que manifiestan los alumnos de tercero de educación secundaria de un centro privado - concertado a la hora de enfrentarse a los problemas que se les suelen proponer en clase. Introduciendo en el proceso de resolución de problemas un guion con sugerencias con el objetivo de comprobar si la utilización del mismo introducía alguna mejora en los resultados, por lo tanto, en el nivel de comprensión del problema.

2.1. Metodología

Este trabajo fue realizado durante el segundo trimestre del curso 2014-2015, participaron 64 alumnos y fue desarrollado en dos fases En la primera, presentamos a los alumnos un guion para llevar a cabo la fase de comprensión del problema. Insistimos en que lo siguieran con detalle especialmente en aquellos aspectos que entendíamos que favorecían la comprensión del enunciado, como por ejemplo la representación (Vicente et al., 2008), la organización de los datos, etc.

En clase, durante dos sesiones, utilizamos el guion para analizar y poder comprender algunos problemas de un libro de texto del nivel. Estos problemas los resolvimos siguiendo el guion y con el grupo clase completo, aprovechando las reflexiones de los alumnos y los debates generados. Posteriormente, en otra sesión de clase, los alumnos resolvieron algunos problemas en grupos de 3 o 4 alumnos.

En una segunda fase propusimos a los alumnos un cuestionario para evaluar si la utilización del guion había mejorado el grado de comprensión de los enunciados de los problemas respecto a resultados obtenidos anteriormente. Dedicaron una sesión de clase, pudiendo utilizar el guion, a resolver el cuestionario.

El cuestionario estaba compuesto por cinco problemas como los que se suelen proponer en clase y que son similares a los que vienen propuestos en los libros de texto del nivel. En cada problema el alumno tiene que seleccionar una respuesta de cuatro alternativas posibles. Los procedimientos que los alumnos estaban trabajando en clase eran los relacionados con las expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones de primer grado. Son contenidos que los alumnos han trabajado en cursos anteriores y suelen manifestar dificultades con la traducción del sistema de representación verbal al simbólico (Rodríguez-Domingo y Molina, 2013). Nuestra experiencia muestra que muchas veces esta dificultad suele estar provocada por buscar de manera irreflexiva cuál es la incógnita, o como ellos dicen, a qué llamar “x”.

Cada problema se calificaba con un valor de uno, si la respuesta era correcta, y con un cero en caso de ser incorrecta. La calificación del cuestionario era la suma total de la calificación obtenida en

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

24 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

cada problema, y para valorar como apto el cuestionario consideramos una calificación de 3 puntos en el mismo, es decir, haber comprendido como mínimo tres problemas de los cinco que lo conformaban.

Un factor importante a tener en cuenta es que los cuestionarios no han sido anónimos, pues pretendíamos poder comparar los resultados de los alumnos en los cuestionarios con sus calificaciones en matemáticas y porque, además, creemos que influye en la actitud de los alumnos a la hora de realizar las actividades propuestas.

Con objeto de analizar la variable tiempo, medimos el tiempo que invirtió cada alumno en su realización.

2.2. Guion para la fase de comprensión

A continuación, presentamos el guion que se presentó a los alumnos:

• Lee el enunciado despacio y asimila la idea general. • Vuelve a leerlo y si hay alguna palabra que no entiendes busca su significado o pregúntala. • Ya sabes cuál es el objetivo del problema. Escríbelo. Si no lo sabes, vuelve a leerlo, detente en

la pregunta que te hacen, e intenta identificarlo. • Has encontrado los datos. Escríbelos. Fíjate con atención por si hay algún dato que necesites

pero que no aparezca directamente. Busca la forma de averiguarlo. • Trata de encontrar la relación entre los datos suministrados y la cuestión planteada. • Organiza la información que tienes, realiza una tabla si crees que te ayuda a verlo mejor,

intenta hacer un esquema o un dibujo de la situación que representa el problema. • Intenta imaginarte la situación.

Al final, averigua en qué consiste el problema, es decir, lo que necesitas saber que te dará pie para establecer el plan que te permitirá resolverlo.

2.3. Cuestionario

Seguidamente presentamos el cuestionario tal y como lo realizaron los alumnos.

Cuestionario alumnos (Comprensión)

A continuación, encontrarás un conjunto de problemas. Queremos saber qué comprendes al leerlos por lo que te pedimos que selecciones la respuesta que consideres más adecuada. Con objeto de ayudarte a resolver la cuestión planteada te presentamos un ejemplo que te puede ayudar.

Ejemplo: Un padre tiene 46 años y su hija 8. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será exactamente el doble que la edad de su hija?

a) Hallar los años del padre cuando la hija tenga 2 años más. b) Averiguar la diferencia de edad entre padre e hija dentro de 2 años. c) Calcular la edad del padre para que sea el doble que la de su hija. d) Hallar la edad que tendrán ambos dentro de 16 años

Este problema consiste en averiguar los años que tienen que pasar para que la edad del padre sea el doble que la edad de la hija. Por lo que contestaríamos la opción c).

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

25 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

1. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. ¿De qué números se trata? a) Hallar tres números naturales consecutivos que sumados sean igual al menor más cuatro. b) Calcular qué tres números naturales consecutivos sumados dan cuatro veces el menor. c) Averiguar qué tres números naturales consecutivos sumen cuatro. d) Averiguar el menor de tres números naturales que es igual al doble de los otros dos. 2. Ayer Paco cogió un libro de la biblioteca y leyó una quinta parte de sus páginas. Hoy ha leído 42 páginas más y sólo le faltan 3 páginas para llegar a la mitad del libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) Calcular el número de páginas que tiene la mitad del libro. b) Averiguar el número de páginas que lee cada día y sumarlo. c) Calcular la diferencia entre las páginas que leyó los primeros dos días. d) Averiguar cuántas páginas lee cada día, tener en cuenta lo que le queda por leer, y además, que sólo lee la mitad del libro. 3. Una bodega exportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio de los que le quedaban. ¿Cuántos barriles tenía al comienzo si ahora hay 40.000 barriles? a) Averiguar cuántos barriles exportó en total. b) Calcular un tercio de los barriles. c) Calcular la diferencia entre los que exportó y los 40.000 barriles. d) Calcular un tercio de los 40.000 barriles. 4. Luis quiere repartir 300 cromos entre tres amigos, de modo que Pedro reciba el doble que Teresa y ésta 40 cromos más que Álvaro. ¿Cuántos cromos recibirá cada amigo? a) Calcular el número de cromos que tiene en total y hallar la diferencia entre los que tiene Pedro y Teresa. b) Calcular el número de amigos entre los que hay que repartir. c) Averiguar el número de cromos que tiene Álvaro y Teresa. d) Averiguar cómo están relacionados los amigos respecto al número de cromos.

5. Un ciclista ha recorrido del trayecto y aún le falta por recorrer 1 km para llegar a la mitad del

camino. ¿Qué longitud tiene el trayecto completo? a) Calcular los dos quintos de un kilómetro. b) Consiste en averiguar el trayecto que ha recorrido. c) Consiste en averiguar qué longitud tiene el doble del trayecto. d) Consiste en calcular el porcentaje recorrido respecto al porcentaje total.

3. Resultados

Los datos han sido procesados con el programa SPSSStatistics en su versión 22.

Este cuestionario ha sido realizado por 64 alumnos, repartidos en dos secciones, de los que se contabilizaron 30 hombres (46,9%) y 35 mujeres (53,1%).

Respecto al índice de dificultad (ID) de los problemas del cuestionario, se ha calculado con la expresión: ID = A/n, siendo A el número de sujetos que aciertan el ítem y n el número de sujetos que

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

26 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

lo intentan. La tabla siguiente (Tabla 1) nos permite interpretar los resultados del índice (Pérez, R., García, J.L., Gil, J.A. y Galán, A., 2009, p.173) según cinco categorías:

Dificultad Rango Muy fáciles

Fáciles Normales Difíciles

Muy difíciles

Tabla 1. Interpretación de los índices de dificultadad

Problema nº 1 2 3 4 5 ID 0,73 0,64 0,36 0,14 0,33

Dificultad Fácil Fácil Difícil Muy difícil Difícil

Tabla 2. Índices de dificultad de los problemas

Respecto a la dificultad de los problemas, el 20% de los mismos son considerados muy difíciles, el 40% son difíciles y otro 40% son catalogados como fáciles.

En la siguiente tabla podemos observar las calificaciones obtenidas por los alumnos con sus frecuencias y porcentajes:

Calificación Frecuencia Porcentaje 0 2 3,1 1 13 20,3 2 24 37,5 3 20 31,3 4 5 7,8 5 0 0

Tabla 3. Calificaciones

Solamente 2 alumnos (3,1%) han obtenido una calificación de cero puntos y por el contrario ningún alumno obtuvo la calificación máxima del cuestionario. Por otro lado, 25 alumnos (39,1%) han obtenido una calificación igual o superior a tres puntos, que era el valor mínimo para considerar la prueba como superada.

La prueba de U de Mann-Whitney muestra que no existe una relación estadísticamente significativa (p = .672) entre la calificación obtenida y el género del alumnado. El tiempo medio que tardaron los alumnos en realizar la prueba fue de 11,38 minutos (± 0,492), bastante inferior al que habíamos programado al preparar la actividad. Además, el tiempo empleado en realizar la prueba no correlaciona con la calificación obtenida (r = 0,11). Además, tampoco se observa una correlación estadísticamente significativa entre la calificación en el cuestionario y la calificación académica del área de matemáticas (r = 0,05).

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

27 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

4. Conclusiones

Los alumnos han aceptado con interés el guion, lo han utilizado y valorado positivamente. Además, ha permitido la reflexión y el debate tal y como pretendíamos con su propuesta. También ha favorecido la comunicación de las ideas y la participación de alumnos que habitualmente no lo hacían.

Después del análisis de los resultados creemos que el nivel de comprensión de los enunciados que manifiestan los alumnos no es el adecuado para el nivel en el que se encuentran, ya que los problemas planteados se han trabajado en cursos anteriores y no debían tener las dificultades que hemos encontrado.

El objetivo de este trabajo era comprobar si el guion propuesto a los alumnos para utilizar en la fase de comprensión añadía alguna mejora a dicha fase. En un trabajo anterior (Falcón, S., Medina, P. y Plaza, A., 2017), el mejor resultado que se obtuvo con un cuestionario similar fue del 22,4% del total con una calificación igual o superior a tres puntos, frente al 39,1% obtenido en el cuestionario que utilizamos en este trabajo. Además, como en los dos trabajos se había utilizado la misma muestra de alumnos, podemos afirmar que aproximadamente un 51% de los mismos obtuvieron mejores resultados cuando utilizaron el guion. Además, existe una diferencia estadísticamente significativa (p = .012) entre los resultados de las dos investigaciones.

Aunque en el trabajo anterior encontramos una relación estadísticamente significativa entre la calificación y el género de los alumnos, en este trabajo, utilizando el guion, no hemos encontrado esta relación, por lo que queremos seguir estudiando este aspecto.

El análisis del tiempo que los alumnos dedican a la fase de comprensión del problema nos permite concluir que los alumnos no le dedican el tiempo necesario a leer y comprender los enunciados de los problemas y que abandonan con bastante facilidad, o bien dan por concluida la tarea.

En ninguno de los dos trabajos que hemos realizado encontramos una correlación positiva entre la calificación académica y los resultados obtenidos en la fase de comprensión. Este es un aspecto importante ya que muchos alumnos con un mayor rendimiento académico en el área de matemáticas no obtienen los resultados que esperan en los procesos de resolución de problemas, pues entendemos que también tienen dificultades en la fase de comprensión, siendo una fuente de ansiedad para estos alumnos.

Bibliografía

Beltrán, S. y Repetto, E. (2006). El entrenamiento en estrategias sobre la comprensión lectora del enunciado del problema aritmético: Un estudio empírico con estudiantes de educación primaria. REOP, 17(1), 33-48.

Chamorro, M. (2003). Las dificultades de lectura y comprensión de los problemas matemáticos escolares. UNO: Revista de Didáctica de las Matemáticas, (33), 99-119.

De Corte, E. (2015). Aprendizaje constructivo, autorregulado, situado y colaborativo: un acercamiento a la adquisición de la competencia adaptativa (matemática). Páginas de Educación, 8(2), 1-35.

Decreto 83/2016, de 4 de julio, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y el Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Canarias. Boletín Oficial de Canarias, 15 de julio de 2016, núm. 136, pp. 136-2395.

Falcón, S., Medina, P. y Plaza, A. (2017). ¿Comprenden los alumnos los enunciados de los problemas? Boletín de la Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas, 103, 72-89.

Facilitando a los alumnos la comprensión de los problemas S. Falcón Santana, P. Medina Rodríguez, A. Plaza de la Hoz

28 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Fernández, J. A. (2010). La resolución de problemas matemáticos. Creatividad y razonamiento en la mente de los niños. Madrid: Grupo Mayeútica-Educación.

Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa (LOMCE). Boletín Oficial del Estado. Madrid, 10 de diciembre de 2013, núm. 295, pp. 97858-97921.

Limón, M. y Carretero, M. (1995). Razonamiento y solución de problemas con contenido histórico, en Carretero, M.: Construir y enseñar: la Historia y las Ciencias Sociales. Madrid: Visor

Lozano, P. y Hernández, M. A. (2014). ¿Pueden nuestros estudiantes construir conocimientos matemáticos? Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 85, 49-73.

MECD. (2013). Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012: Matemáticas, Lectura y Ciencias. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

OCDE (2006). Marco de la evaluación. Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura. París: OCDE.

Pérez Juste R., Galán González A. y Quintanal Díaz J. (2012). Métodos y diseños de investigación en educación. Ed. UNED.

Polya, G. (1989). Cómo plantear y resolver problemas (15a ed.). México: Trillas. Rodríguez-Domingo, S. y Molina, M. (2013). De lo verbal a lo simbólico: un paso clave en el uso del

álgebra como herramienta para la resolución de problemas y la modelización matemática. En L. Rico, M.C. Cañadas, J. Gutiérrez, M. Molina y I. Segovia (eds.). Investigación en didáctica de la matemática: homenaje a Encarnación Castro, pp.111-118. Granada: Comares. Recuperado de http://hdl.handle.net/10481/33497

Sánchez, M. R. y Vicente, S. (2015). Modelos y procesos de resolución de problemas aritméticos verbales propuestos por los libros de texto de matemáticas españoles. Cultura y Educación: Revista de teoría, investigación y práctica, 27(4), 710-725.

Toboso, J. (2004). Evaluación de habilidades cognitivas en la resolución de problemas matemáticos (Tesis doctoral). Universidad de Valencia, Valencia. Recuperado de http://www.tesisenxarxa.net/TDX-0519105-125833/

Vicente S., Orrantia J. y Verschaffel L. (2008). Influencia del conocimiento matemático y situacional en la resolución de problemas aritméticos verbales: ayudas textuales y gráficas. Infancia y Aprendizaje, 31(4), 463-483. Recuperado de http://hdl.handle.net/10366/22527

Sergio Falcón Santana. Departamento de Matemáticas de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. Campus de Tafira, s/n. 35017 Las Palmas. Nacido en Arucas (Las Palmas), el 25.05.1945. Doctor en Matemáticas por la ULPGC. Autor de varios libros de texto y artículos de investigación, divulgación y didáctica de las Matemáticas, muchos de ellos en revistas de impacto. Email: sergio.falcon@ulpgc.es Pedro Medina Rodríguez. Profesor de Secundaria en el Colegio San Ignacio de Loyola (Jesuitas) de Las Palmas de Gran Canaria. Nacido en Las Palmas de G.C., el 10.04.1968. Máster Universitario en Procesos Educativos por la ULPGC. Doctor por la ULPGC. Ldo. en Ciencias. Email: pmedinarodriguez@gmail.com

Ángel Plaza de la Hoz. Departamento de Matemáticas de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. Campus de Tafira, s/n. 35017 Las Palmas. Doctor en Matemáticas por la ULPGC. Autor de libros de texto y artículos de investigación, divulgación y didáctica de las Matemáticas, muchos de ellos en revistas de impacto. Email: angel.plaza@ulpgc.es

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 29-49

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Explorando emociones diarias experimentadas en el aula por profesores de matemáticas de nivel medio superior: un estudio de caso

Yuridia Arellano-García, Gustavo Martínez-Sierra y Antonia Hernández-Moreno (Universidad Autónoma de Guerrero. México)

Fecha de recepción: 19 de junio de 2017 Fecha de aceptación: 26 de diciembre de 2017

Resumen Aunque diversos autores señalan la importancia de las emociones en los procesos de enseñanza poco se ha investigado en niveles distintos al básico, y menos se ha explorado la variedad temática. La presente investigación busca identificar las emociones que experimenta en el aula, diariamente, un profesor de matemáticas de nivel medio superior, y las condiciones que desencadenan dichas EMOCIONES. Analizamos las experiencias reportadas por el participante después de trece lecciones de Cálculo Integral, a través de la teoría de la estructura cognitiva de las emociones. Los resultados muestran que las emociones experimentadas con mayor frecuencia son, de satisfacción, aprecio y decepción, desencadenadas por seis tipos de condiciones: el logro de la actividad planeada, la colaboración, la participación, la actitud, la autonomía y la compresión y aprendizaje de los estudiantes. Además, planteamos la hipótesis de que las creencias matemáticas son el soporte de la experiencia emocional del profesor.

Palabras clave Experiencia emocional, docencia, teoría cognitiva de emociones, auto-informes diarios, nivel medio superior, estudio de caso.

Title Exploring daily emotions of a mathematics teacher in classroom: A Case Study

Abstract Even though several authors point out the importance of emotions in teaching processes, little research has been done at educational levels different from basics and in subjects other than mathematical anxiety. Therefore, our research identified the emotions that a high school math teacher experienced in the classroom and the conditions that trigger such emotions. Analyzing data of the experiences reported by the participating teacher after thirteen lessons of integral calculus, through the cognitive structure of emotions theory. The results show that the most frequently emotions that the participant experiences in the classroom are: Satisfaction, Appreciation and Deception, triggered by six types of conditions: achievement of planned activity, collaboration, participation, attitude, autonomy and understanding and learning of students. In addition, we hypothesized that mathematical beliefs are the support of the teacher's emotional experience.

Keywords Emotional experiences, teachers’ emotions, cognitive appraisal, self-report of experience, Case Study)

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

30 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

1. Introducción

Diversos autores han señalado la importancia que juegan las emociones en los procesos de enseñanza (Oatley y Jenkins, 1996; Schutz y Lanehart, 2002; Zembylas, 2005; Keller, et al., 2014) Particularmente, Keller et al. (2014), hace énfasis en que las emociones de los profesores son relevantes en estos procesos, ya que afectan o estimulan de manera directa su relación y los resultados de aprendizaje en los estudiantes. Extremera y Fernández-Berrocal (2004), señalan que, los profesores de hoy deben enfrentar diversos retos como: la falta de disciplina del alumnado, el excesivo número de educandos, la ausencia de motivación por aprender, la apatía por realizar las tareas escolares y el bajo rendimiento, lo cual impactará su estabilidad emocional, por eso las emociones se consideran importantes para el bienestar psicológico de los profesores.

En el campo de la investigación educativa hay un creciente interés por la investigación de emociones discretas de profesores (Becker et al., 2015; Frenzel, 2014; Keller et al. 2014; Schutz, 2014) En conjunto las indagaciones muestran que el comportamiento de los estudiantes en el salón de clases tiene un impacto importante en las experiencias emocionales del profesor. Becker et al. (2015), y Frenzel (2014), sugieren que las emociones más comunes que los profesores experimentan mientras enseñan son: (1) Disfrute (enjoyment), que se refiere al bienestar y la satisfacción que resultan de una actividad escolar deseable y próxima (alegría anticipada), de estar involucrados en una atmósfera agradable (gozo relacionado con la actividad), o de la satisfacción y felicidad derivadas de un resultado pasado deseable (disfrute relacionado con el resultado); (2) Enojo (anger), una emoción negativa bastante compleja que puede dirigirse a otras personas o a sí misma, cuyo factor clave es la responsabilidad; (3) Orgullo (pride), se refiriere a una emoción relacionada con los logros alcanzados y el agente causal de ese triunfo, y puede estar dirigida a otros o auto-dirigida; (4) Ansiedad (anxiety), ocurre cuando la persona se enfrenta con la incertidumbre y la amenaza, y percibe su propio potencial para afrontar la intimidación como bajo; (5) Vergüenza (shame), suele estar ligada al juicio negativo real o imaginario de los demás o de uno mismo y el ultimátum de ser juzgado negativamente.

En matemática educativa muchas de las investigaciones sobre emociones de profesores se han enfocado en futuros docentes de nivel básico (Harper y Daane, 1998; Bursal y Paznokas, 2006; Swars, Daane, y Giesen, 2006; Hodgen y Askew, 2007; Di Martino y Sabena, 2011; Di Martino et al. 2013; Lutovac y Kaasila, 2014), y algunas en académicos de primaria en servicio (Bibby, 2002; Hodgen y Askew, 2007). El fenómeno emocional más estudiado en profesores y futuros profesores de primaria es la ansiedad matemática: un conjunto de emociones negativas acerca de un estado de malestar que se produce en respuesta a situaciones que implican tareas matemáticas (Harper y Daane, 1998; Vinson, 2001; Sloan, Daane y Giesen, 2002; Swars et al., 2006; Bursal y Paznokas, 2006; Peker, 2009; Bekdemir, 2010) En su conjunto estas investigaciones coinciden con Hannula et al. (2007), en que "la ansiedad matemática es un fenómeno común entre los futuros profesores de escuelas primarias en muchos países y puede interferir en cuanto a que los estudiantes se conviertan en buenos profesores de matemáticas" (p. 153), y que los antecedentes de esta ansiedad matemática en los maestros y futuros docentes de nivel básico se debe a que no son especialistas en matemáticas y que tuvieron experiencias negativas con las matemáticas cuando fueron estudiantes de nivel primaria o secundaria.

De acuerdo con lo anterior, poco se sabe dentro de matemática educativa acerca de las emociones de profesores en servicio de nivel medio superior y superior. Consideramos importante investigar las emociones de estos profesores y las condiciones que desencadenan esas emociones porque junto con otras variables afectivas como valores y creencias "entran en juego cuando los maestros toman decisiones, actúan y reflexionan sobre los diferentes propósitos, métodos y significados de la enseñanza" (Zembylas, 2005, p. 467) Así mismo, muchos investigadores hacen hincapié en la importancia de la prevención y superación de emociones negativas como condición necesaria para mejorar la calidad del aprendizaje matemático (Coppola et al., 2012; Hannula et al., 2007).

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

31 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Conocer las emociones en los profesores y las condiciones que las desencadenan será el primer paso para proponer alternativas que permitan un ambiente emocional positivo, tener deducciones al respecto resultará beneficioso para que autoridades educativas, profesores e investigadores tengan bases que permitan apoyar a los docentes en servicio y contribuir a su estabilidad psicológica y emocional, con ello, mejorar la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. En consecuencia, nuestro objetivo es realizar un estudio exploratorio para identificar las emociones de un profesor de matemáticas de nivel medio superior al impartir clases e identificar cuáles son las condiciones que genera cada tipo de emoción.

1.1. Pregunta de investigación

Con base en nuestro objetivo planteamos las preguntas de investigación (1) ¿Cuáles son las emociones diarias que experimenta un profesor de nivel medio superior durante las clases de matemáticas? y (2) ¿Cuáles son las condiciones que desencadenan tales emociones?

2. Perspectiva teórica

2.1. Teoría de la Estructura Cognitiva de las Emociones

Las teorías de valoración cognitiva de las emociones (cognitive appraisal en inglés), proponen que las personas experimentan emociones de acuerdo a sus evaluaciones o interpretación cognitiva de la situación específica y no por las situaciones en si (Frijda, 2007; Lazarus, 1991; Moors et al., 2013) La valoración cognitiva es un proceso que detecta y evalúa la importancia del medio ambiente para el "bienestar", se conceptúa como la facilitación o la obstrucción de las "preocupaciones" del individuo.

La teoría de la estructura cognitiva de las emociones (Ortony, Clore y Collins, 1996), también conocida como teoría OCC, es una teoría de valoración cognitiva con una tipología de 22 tipos de emociones, considerando tres variables centrales de valoración cognitiva: (1), la deseabilidad que desencadena reacciones ante consecuencias de los acontecimientos (contento/descontento), su valoración cognitiva será con base en si la consecuencia acerca o aleja al individuo de alguna meta, (2), la plausibilidad que desencadena reacciones ante acciones de los agentes (aprobación/desaprobación), su valoración cognitiva dependerá de si se ajustan o no a las normas y creencias aceptadas por el individuo y (3), la capacidad de atraer, que desencadena reacciones ante aspectos de los objetos (agrado/desagrado), su valoración cognitiva dependerá de las actitudes del individuo hacia el objeto. La Tabla 1 muestra la tipología de las emociones según la teoría OCC, y las palabras emocionales con las que se les reconoce (Tipo de emoción) Este tipo de emociones se clasifica en grupos que están estructurados de tal manera que la definición de cada uno (valoración cognitiva), proporciona la especificación de un tipo de emoción que incorpora las condiciones desencadenantes, es decir, la descripción situacional de las condiciones en las cuales la emoción puede dispararse. Los distintos tipos de emoción representados en ellos consideran un grupo de emociones estrechamente relacionados en virtud de que comparten las mismas condiciones desencadenantes básicas, aunque difieran en cuanto a su intensidad. Por ejemplo, preocupación, miedo, fobia, pánico u horror pertenecerán a la misma familia de emociones que llamaremos miedo, cuya condición desencadenante es la valoración cognitiva de estar "descontento por la previsión de un acontecimiento indeseable".

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

32 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Valoraciones en términos

de…

Grupo de emociones Valoraciones Tipos de

emociones

METAS

Vicisitudes de los otros

Contento por un acontecimiento deseable para alguna otra persona. Feliz-por

Contento por un acontecimiento indeseable para alguna otra persona. Alegre por el mal ajeno

Descontento por un acontecimiento deseable para alguna otra persona Resentido-por Descontento por un acontecimiento indeseable para alguna otra persona.

Compasión

Basadas en previsiones

Contento por la previsión de un acontecimiento deseable. Esperanza Contento por la confirmación de la previsión de un acontecimiento deseable.

Satisfacción

Contento por la refutación de la previsión de un acontecimiento indeseable.

Alivio

Descontento por la refutación de la previsión de un acontecimiento deseable.

Decepción

Descontento por la previsión de un acontecimiento indeseable. Miedo Descontento por la confirmación de la previsión de un acontecimiento indeseable.

Temores confirmados

Bienestar Contento por un acontecimiento deseable. Jubilo Descontento por un acontecimiento indeseable. Congoja

NORMAS Atribución

Aprobación de una acción plausible de uno mismo. Orgullo Aprobación de una acción plausible de otro. Aprecio Desaprobación de una acción censurable de uno mismo. Vergüenza Desaprobación de una acción censurable de otro. Reproche

ACTITUD Atracción Agrado por un objeto atractivo. Agrado Desagrado por objeto repulsivo. Desagrado

NORMA/ ACTITUD

Bienestar/ Atribución

Aprobación de la acción plausible de otra persona y contento por el acontecimiento deseable relacionado (Aprecio + Jubilo)

Gratitud

Desaprobación de la acción censurable de otra persona y descontento por el acontecimiento indeseable relacionado (Reproche + Congoja)

Ira

Aprobación de la acción plausible de uno mismo y contento por el acontecimiento deseable relacionado (Orgullo+ Jubilo)

Complacencia

Desaprobación de una acción censurable de uno mismo y descontento por el acontecimiento indeseable relacionado (Vergüenza+ Congoja)

Remordimiento

Tabla 1. La tipología de las emociones de la teoría de la estructura cognitiva de las emociones

2.2. Ventajas metodológicas de la Teoría OCC

Consideramos que utilizar la teoría OCC, nos permitirá lograr nuestro objetivo de investigación dado que: (1), plantea claras especificaciones de tipos de emociones para permitir el contraste empírico (Ortony et al, 1996, p. 20); (2), establece variables de valoración cognitiva que es posible analizar a través del discurso de las personas; pues, considera como evidencia disponible las expresiones del lenguaje natural que se refieren a las emociones, además, acepta como una clase de evidencia válida los informes personales (Ortony et al, 1996, p. 9-10); (3), reconoce que no hay una medida objetiva que establezca de forma concluyente que una persona está experimentando una emoción específica a partir de su verbalización, pero trata como válidos los informes de la gente sobre sus emociones (Ortony et al, 1996, p 11), ya que con dificultad una persona no reconocerá su experiencia emocional, pues las emociones son prácticas subjetivas, tales como la sensación de color o de dolor, por lo que la gente tiene acceso directo a ellas. Esto no es negar que la persona podría estar equivocada acerca de algún aspecto significativo del mundo que es la causa de su emoción, o que la persona pueda ser incapaz de expresar con palabras la emoción, o que la persona tenga una limitación médica que le impida reconocer sus emociones, pero en los casos comunes, trataremos como válidos

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

33 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

los informes personales de las emociones, ya que la persona está comunicando su valoración cognitiva de la emoción que aunque equivocada o limitada sigue representando su experiencia. Y (4), la OCC, propone las descripciones situacionales que disparan cada tipo de emoción que puede permitirnos hacer una caracterización más allá de emociones positivas y negativas y proponer una tipología de condiciones desencadenantes de emociones en profesores.

3. Metodología

La investigación es cualitativa a través del estudio de caso (el caso de las emociones en clase de un profesor de matemáticas de nivel medio superior) Esta metodología es recomendada para temas que se consideran prácticamente nuevos, ya que indaga sobre un fenómeno contemporáneo en su entorno real, cuando los límites entre el fenómeno y el contexto no son claramente evidente (Yin, 2013) Además se utilizan múltiples fuentes de datos y como investigadores estamos interesados en comprender, descubrir e interpretar un fenómeno particular. Consideramos realizar este estudio justo porque son pocas las investigaciones que se han realizado respecto a las emociones de profesores de matemáticas en el aula, de nivel medio superior.

3.1. Recolección de datos

Los datos de la investigación provienen de tres fuentes: (1), una entrevista biográfica; (2), la fuente principal de datos: los auto-informes diarios, y (3), una entrevista estructurada con el objetivo de aclarar el significado o caracterización de ciertas expresiones que se identificaron en el análisis de los auto-informes diarios.

La primera entrevista fue de corte biográfico, tuvo una duración aproximada de 50 minutos, con el objetivo de entender el contexto del profesor y su relación con las matemáticas a lo largo de su vida. Durante esta entrevista se indagó sobre las experiencias positivas y negativas con las matemáticas y como docente de matemáticas. Anotamos como Profesor EB cuando nos referimos a algún extracto de la entrevista biográfica.

El método de auto-informes diarios "implica, repetidos auto-informes intensivos que tienen como objetivo capturar eventos, reflexiones, estados de ánimo, o interacciones cerca del momento en que ocurren" (Iida et al., 2012, p. 277) Los auto-informes diarios presentan ventajas para la investigación educativa: (1), están dirigidos a aumentar la validez ecológica de los datos, lo que permite un examen de abajo hacia arriba de los procesos psicológicos en el entorno diario de los participantes, y proporcionan acceso a los ajustes y las experiencias subjetivas que de otra manera no tienen medios de sondeo; (2), son temporalmente cercanos al evento ofreciendo proximidad a la experiencia de los participantes y los datos sobre la vida de los mismos son recolectados a medida que suceden. Así, los auto-informes diarios reducen el sesgo de la retrospección asociada a la encuesta habitual o la entrevista; y (3), ofrecen la posibilidad de estudiar el cambio intra-individual de procesos, pensamientos, sentimientos y comportamientos en contextos específicos (Zirkel et al., 2015)

Los auto-informes de experiencia de clase que recibimos del participante siguieron un protocolo (Tabla 2), basado en evento, que en este caso es la experiencia emocional de impartir una clase de matemáticas. Los auto-informes fueron grabados por el participante y mandados vía WhatsApp™ tomando como condición que fueran enviados inmediatamente después de impartir la clase de Cálculo Integral. Se recibieron un total de 13 informes (Tabla 3) Las preguntas 2 y 3 del protocolo fueron diseñadas con el objetivo de conocer las expectativas y metas que el participante se proponía para cada clase. Las preguntas 4, 5 y 6 pretendían conocer las emociones que el participante experimentaba en cada clase. Las preguntas 7 y 8 buscaban explorar las expectativas para clases futuras y en particular si las experiencias de la clase aportarían elementos para diseños de clases futuras.

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

34 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Preguntas del protocolo de los auto-informes diarios de la clase de Cálculo Integral Nombre y fecha del informe 1. ¿Qué temas matemáticos trabajó o enseñó hoy? 2. ¿Cómo diseñó su clase de hoy? 3. ¿Cómo pretendía que aprendieran sus estudiantes hoy? 4. ¿Qué emociones y sentimientos experimentó hoy en su clase? 5. Cuéntenos las experiencias positivas que vivió en la clase de matemáticas ¿Por qué fueron experiencias positivas? 6. Cuéntenos las experiencias negativas que vivió en la clase de matemáticas ¿Por qué fueron experiencias negativas? 7. ¿Qué lecciones o aprendizajes se lleva hoy como maestro de matemáticas? 8. ¿Qué lecciones o aprendizajes se lleva hoy de sus estudiantes y de la clase?

Tabla 2. Protocolo de preguntas de los auto-informes diarios del participante

Auto-Informe Fecha (2015) Objetivo planteado por el profesor para la clase (pregunta 2 del protocolo)

R1 14 de octubre Resolver problemas en plataforma R2 19 de octubre Proponer y resolver dudas de las técnicas de integración en foros de discusión R3 20 de octubre Integrar por partes mediante cuatro pasos R4 27 de octubre Resolver problemas de integración por partes R5 28 de octubre Resolver exámenes propuestos en la plataforma R6 31 de octubre Proponer y resolver dudas de la clase anterior R7 06 de noviembre Proponer métodos para determinar el área bajo la curva R8 17 de noviembre Resolver problemas de área bajo la curva R9 26 de noviembre Resolver problemas de integral definida R10 27 de noviembre Proponer y resolver dudas de la clase anterior R11 01 de diciembre Resolver problemas tipo prueba PLANEA conversión de unidades

R12 03 de diciembre Resolver problemas tipo prueba PLANEA traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico

R13 04 de diciembre Resolver problemas tipo prueba PLANEA lenguaje algebraico

Tabla 3. Fechas y planes de clase de los auto-informes recolectados

Después de analizar los datos obtenidos de los auto-informes se realizó la entrevista estructurada en la que se indagó la diferencia que el participante encontraba entre aprender y entender matemáticas, en cómo caracterizaba ‘la buena actitud’ de los estudiantes y los componentes que observaba al definir esa actitud. Estas explicaciones fueron utilizadas para las definiciones de los tipos de condiciones desencadenantes. Anotamos como Profesor EE cuando nos referimos a algún extracto de la entrevista estructurada.

3.2. Participante

El participante es un profesor de 35 años, con cinco de experiencia como educador de matemáticas en nivel medio superior y superior. Estudió una ingeniería en electrónica de comunicaciones, trabajó en la industria por un lustro, posteriormente optó por la docencia de las matemáticas y, realizó una maestría en línea en matemática educativa.

En la entrevista biográfica, logramos saber que el participante siempre estuvo familiarizado con las matemáticas ya que sus padres son profesores de matemáticas, reproducimos textualmente a continuación:

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

35 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Profesor EB: Estudié ingeniería electrónica porque siempre se me facilitaron mucho las matemáticas…, entonces pensé que no iba a tener mayor dificultad. Y de hecho no, no tuve ninguna dificultad…, las matemáticas siempre han estado presente, debido a que mis papás son maestros de matemáticas. Dicen mis alumnos que a veces las consideran extrañas o ajenas, yo, al contrario, son familiares para mí pues desde que inicia mi educación mis maestros fueron mis padres.

El participante reconoció su gusto por las matemáticas desde niveles básicos, en especial por Cálculo:

Profesor EB: Quizá las asignaturas de matemáticas que más me gustaron en el bachillerato son cálculo diferencial y cálculo integral y ya en la carrera mis favoritas fueron ecuación diferencial y cálculo multi-variable.

Las experiencias positivas y negativas consideradas sobresalientes a lo largo de su vida con las matemáticas, se relacionan con la evaluación y los métodos de enseñanza. La experiencia positiva con las matemáticas que nos comparte indica que considera a las matemáticas como aplicadas, dada su formación de ingeniero.

Profesor EB: Una de mis mejores experiencias, la más sobresaliente, fue al hacer proyectos propiamente de ingeniería y ver cómo las matemáticas ayudan a predecir y a explicar cierto fenómeno físico…, porque obviamente mi enseñanza matemática en la escuela siempre fue la tradicional, entonces ver el fenómeno, caracterizarlo, fue gratificante… [La más sobresaliente de mis experiencias negativas fue], en bachillerato, y no tanto por las matemáticas sino por la forma en cómo nos evaluaban y cómo nos daban a conocer los resultados de nuestros exámenes…, a todos los alumnos nos metían a un salón de congresos y hacíamos nuestra evaluación de opción múltiple de álgebra…, ya después entregabas la hoja de problemas y de resultados, haz de cuenta que pasaban la hoja y en una pantalla enorme, dónde todo mundo podía ver, mostraban tus calificaciones.

Al seguir su narrativa acerca de cómo ‘se ha vuelto un mejor profesor’, a lo largo de la práctica, parece ser uno de los preocupados porque sus estudiantes vean las matemáticas cercanas a su aplicación, tratando de proponer experiencias de evaluación no solo tradicionales, esto puede estar relacionado con sus experiencias de estudiante, mencionadas antes:

Profesor EB: [Ya como maestro], al principio empecé a dar clases como mis maestros me daban a mí, gran parte de ellos, a los que más admiro, eran personas muy disciplinadas y ordenadas, entonces yo traté de impartir de esa manera, al principio me costó mucho trabajo porque los alumnos a veces son no tan disciplinados…, creo que ese tipo de cosas solamente estando frente a aula o en clase uno las adquiere, entonces es cuando empiezo a leer un poco y veo la necesidad de continuar estudiando y de esa manera es como cambio la forma de dar clases de como yo las recordaba con mis maestros, hago un poquito diferentes los trabajos o proyectos que no nada más son las evaluaciones tradicionales…, y siempre trato de cambiarlo y volver las matemáticas atractivas, no hacerlas tan rigurosas, algunos alumnos me dicen que [las matemáticas] son inhumanas; trato de que se vayan familiarizando y que las vean como una herramienta de trabajo, y es que los jóvenes de bachillerato no las ven como herramientas de trabajo y cuando uno les muestra el uso, le empiezan a dar significado y les interesa un poco más, tanto a nivel medio superior como a nivel superior.

Para el participante el compromiso del estudiante en el aprendizaje es más relevante que el papel del profesor, es decir, considera que cuando un estudiante quiere aprender no hace falta la

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

36 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

intervención del maestro, pensamiento que también está relacionado con sus experiencias como estudiante de matemáticas.

Profesor EB: En profesional tuve un buen maestro, la clase era de 40 estudiantes, el maestro llegaba a dar cátedra, la cual era totalmente tradicional. Pero yo creo que cuando uno realmente quiere aprender no hace falta mucha intervención por parte del maestro, depende mucho del estudiante. Entonces yo podría decir que las matemáticas siempre han sido parte de mi vida, nunca han sido extrañas… [Para mí aprender matemáticas es como cuando para], alguien el objeto matemático que está estudiando le encuentra algún uso, una explicación.

El participante accedió a enviar los auto-informes con conocimiento de que serían utilizados para fines de investigación, y publicados manteniendo su identidad en anonimato.

3.3. Contexto

Los datos fueron recolectados en una escuela de nivel medio superior con bachillerato tecnológico, localizada en la ciudad de Pachuca, Hidalgo, ubicada en la parte centro-oriente de México a 96 km al norte de la Ciudad de México. Esta escuela tiene un sistema dirigido tanto a jóvenes que deseen seguir estudios universitarios como a quienes requieren un diploma de carrera técnica para incorporarse al mercado laboral. El plan de estudios incluye una formación como técnico de nivel medio superior. El informante atiende a los grupos de Contabilidad, Laboratorista Químico, Programación y Secretariado Ejecutivo Bilingüe, e imparte las materias de Geometría y Trigonometría, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y Probabilidad y Estadística, que varían entre 30 y 40 estudiantes por grupo.

Los datos de esta investigación fueron recolectados de un curso de Cálculo Integral. La asignatura forma parte de la estructura curricular y los programas de estudio del bachillerato tecnológico. La intención formativa de la materia es que el estudiante analice e interprete la relación entre variables al resolver problemas en los que las técnicas de integración y el teorema fundamental del cálculo sea la principal herramienta para determinar la solución. La materia se imparte en quinto semestre con cinco horas por semana, de las cuales tres se imparten en aula y dos en un laboratorio de cómputo. En el laboratorio se usa la plataforma educativa: innovaciones educativas (http://www.innovacioneseducativas.com.mx/innovacioneseducativas), en lo sucesivo ‘la plataforma’, como un intento para despertar el interés del estudiante por la asignatura. Para Cálculo Integral la plataforma se divide en un componente teórico y otro práctico con sus respectivas evaluaciones, y tres niveles de dificultad básico, intermedio y avanzado. Los conceptos que la plataforma desarrolla son métodos de integración, áreas bajo la curva, superficies y volúmenes de sólidos.

3.4. Análisis de los datos

Para el análisis de los auto-informes y la presentación de los resultados utilizamos la notación Rn (n de 1 hasta 13), para denotar el número de reporte especificado en la Tabla 3. Siguiendo la teoría OCC y considerando las respuestas a las preguntas 2 y 3 del protocolo, relacionamos las respuestas a las preguntas 4, 5 y 6 como previstas o no, en el plan de clase.

En el análisis de las experiencias emocionales se consideraron dos aspectos para determinar el tipo de emoción: (1), frases concisas que expresan las condiciones desencadenantes de las emociones, destacamos estas frases en negrita. Y (2), frases y palabras emocionales que expresan la emoción desde el lenguaje emocional del participante o frases que indiquen la valoración cognitiva de la condición desencadenante, destacamos estas palabras o frases emocionales en cursiva.

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

37 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Utilizamos llaves ({}), para colocar el tipo de emoción que logramos identificar en la experiencia emocional inmediata anterior, transcrita. Los corchetes ([]), los utilizamos para agregar notas al lector y para señalar en caso necesario a qué pregunta del informe está contestando el participante. Con las convenciones anteriores construimos Tablas como la número 4 que es ejemplo del análisis de un extracto de R2 en el que se ve reflejado el uso de todas las convenciones y notaciones anteriores.

Auto-Informe Extracto Emoción Condición desencadenante

R2

[Las emociones y sentimientos que experimenté en clase fue], estar contento

porque los estudiantes lograron articular soluciones a diferentes dudas de sus

compañeros {Satisfacción}

Satisfacción Que los estudiantes resuelvan dudas

[La experiencia positiva que tuve fue], el interés de los estudiantes por apoyar a sus

compañeros {Aprecio} Aprecio Los estudiantes deben apoyar a sus

compañeros

[Considero fue una experiencia positiva], por la actitud que se reflejó durante la sesión, y

hacia el apoyo entre ellos {Aprecio-Feliz por}

Aprecio Los estudiantes deben tener buena actitud en clase

Feliz por Que los estudiantes se apoyen entre ellos

Tabla 4. Tipos de emociones identificadas y sus condiciones desencadenantes

Una vez identificados los tipos de emoción en cada uno de los informes se organizaron sus condiciones desencadenantes, buscando identificar temas que englobaran y describieran los tipos de condiciones que desencadenan emociones en el participante. Y se utilizó la información recabada en la entrevista estructurada para definir cada tipo de condición desencadenante.

4. Resultados

4.1. Experiencias emocionales

Identificamos 95 experiencias emocionales de siete tipos de emociones, de las 22 tipificadas en la Teoría OCC desencadenadas por 26 condiciones diferentes (Tabla 5) El 72.7% de ellas fueron positivas, el 62.1% de las experiencias emocionales son valoraciones basadas sólo en metas.

Variable central

Tipo de emoción Condiciones desencadenantes f

MET

AS

Feliz por (5.3%)

Los estudiantes ayudan a sus compañeros 2 Los estudiantes obtienen resultados correctos 1 Los estudiantes comprenden el tema de clase 1 Los estudiantes aprenden el tema de la clase 1

Compasión (2.1%)

Los estudiantes no lograr ingresar correctamente sus resultados en la plataforma 1

Los estudiantes se confían, no verifican sus resultados y son incorrectos 1

Satisfacción (37.9%)

Los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos 21 Los estudiantes participan en clase 6 Los estudiantes resuelven dudas 4 Los estudiantes proponen métodos para resolver los ejercicios 2 Los estudiantes comprenden el tema de clase 2 Los estudiantes son autónomos al resolver los ejercicios 1

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

38 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Decepción (16.8%)

Los estudiantes no realizan la actividad planeada en clase 8 Los estudiantes no logran ingresar correctamente sus resultados en la plataforma 3

Los estudiantes no participan en la clase 3 Los alumnos no comprenden el tema de clase 2

NO

RM

AS Aprecio

(27.4%)

Los estudiantes ayudan a sus compañeros 11 Los estudiantes participan en clase 6 Los estudiantes son autónomos al resolver ejercicios 5 Los estudiantes tienen buena actitud en clase 4

Reproche (5.3%)

Los estudiantes tienen mala actitud en clase 4 Los estudiantes no son autónomos al resolver ejercicios 1

NO

RM

A /

MET

A

Ira (5.3%)

Los estudiantes se confían, no verifican sus resultados y son incorrectos 2 Los estudiantes tienen mala actitud y hay poca participación en clase 1 Los estudiantes tienen mala actitud hacia la clase antes de cualquier explicación 1

Los estudiantes tienen mala actitud y hacen comentarios negativos de las matemáticas 1

Tabla 5. Tipos de emociones identificadas y sus condiciones desencadenantes

Las experiencias emocionales del participante son establecidas en la valoración cognitiva de diferentes tipos de comportamiento de los estudiantes en el desarrollo de la clase y los logros que tienen en la actividad académica. Los tipos de emoción con mayor frecuencia son satisfacción, decepción y aprecio. A continuación, presentamos los resultados detallados de cómo se presentaron estos tres tipos de emociones.

4.1.1. Emociones de tipo satisfacción y de decepción El tipo de emoción más experimentada por el participante es satisfacción, en particular cuando

los estudiantes resuelven los ejercicios que propone para la clase. La situación contraria surge cuando ‘los estudiantes no realizan la actividad planeada’, que es la desencadenante de la emoción negativa de mayor frecuencia: decepción. En la Gráfica 1 presentamos la frecuencia con que se reportan satisfacción y decepción a lo largo de los 13 auto-informes. A continuación, mostramos ejemplo de reportes donde identificamos emociones de satisfacción y de decepción.

R3: [En esta clase distinguí emociones], de satisfacción al percatarme que los estudiantes lograron integrar por partes diferentes ejercicios sin mayor dificultad, utilizando los cuatro pasos propuestos {Satisfacción}

R4 [En esta clase experimenté una emoción negativa], al percibir que los estudiantes no reconocen el tipo de técnica a aplicar para la resolución de problemas {Decepción}

R12: [En esta clase sentí una emoción positiva], cuando los estudiantes participaron en el llenado de la tabla {Satisfacción}

R12: [En esta clase advertí una emoción negativa], cuando algunos estudiantes no lograron traducir de lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa {Decepción}

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

39 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Gráfica 1. Frecuencia del tipo de emoción satisfacción y decepción por cada auto-informes

4.1.2. Emociones de tipo aprecio La segunda emoción que más reportó el participante es el aprecio, en especial cuando ‘los estudiantes ayudan a sus compañeros’. A continuación, mostramos ejemplo de sus reportes y en la Gráfica 2 mostramos la frecuencia del aprecio a lo largo de los 13 informes:

R2: [Experiencias positivas], el interés de los estudiantes por apoyar a sus compañeros. {Aprecio}

R8: [En esta clase experimenté felicidad o alegría], cuando algunos de los estudiantes mostraron a algunos de los compañeros sus resultados {Aprecio}

R10: [En esta clase sentí felicidad o alegría], cuando algunos de los estudiantes lograron resolver las dudas de sus compañeros {Aprecio}

Gráfica 2. Frecuencia del tipo de emoción aprecio por cada auto-informe.

4.2. Tipos de condiciones desencadenantes

En la Tabla 6 presentamos cómo fueron agrupadas las condiciones desencadenantes. En el Diagrama 1 relacionamos las emociones de mayor frecuencia con los tipos de condición que las

4 4

3

2

4

3

4 4

3

2

3

4 4

1

2

5

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13

Satisfacción Decepción

3

6

3

2 2 2

1

4

1 1 1

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13

Aprecio

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

40 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

desencadenan. La Tabla 7 presenta los tipos de condición desencadenante identificados en cada informe.

Condiciones desencadenantes acerca… f Condiciones desencadenantes

Feliz

por

Com

pasi

ón

Satis

facc

ión

Dec

epci

ón

Apr

ecio

Rep

roch

e

Ira

… del logro de la actividad planeada

(39)

21 Los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos 21

8 Los estudiantes no realizan la actividad planeada para la clase 8

4 Los estudiantes no logran ingresar correctamente sus resultados en la plataforma

1 3

3 Los estudiantes se confían, no verifican sus resultados y son incorrectos 1 2

2 Los estudiantes proponen métodos para resolver los ejercicios 2

1 Los estudiantes obtienen resultados correctos 1

… de la colaboración entre estudiantes

(17)

13 Los estudiantes ayudan a sus compañeros 2 11 4 Los estudiantes resuelven dudas 4

… de la participación de los estudiantes

(15)

12 Los estudiantes participan en clase 6 6 3 Los estudiantes no participan en clase 3

… de la actitud de los estudiantes

(11)

7 Los estudiantes tienen mala actitud 4 3 4 Los estudiantes tienen buena actitud 4

… de la autonomía de los estudiantes

(7)

6 Los estudiantes son autónomos al resolver ejercicios 1 5

1 Los estudiantes no son autónomos al resolver ejercicios 1

… de la compresión y aprendizaje de los estudiantes

(6)

3 Los estudiantes comprenden el tema de clase 1 2

2 Los alumnos no comprenden el tema de clase 2

1 Los estudiantes aprenden el tema de clase 1

Tabla 6. Grupos de condiciones desencadenantes de emociones

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

41 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Diagrama 1. Emociones con mayor frecuencia y las condiciones que las desencadenan

Informes Colaboración entre estudiantes

Actitud de los estudiantes

Autonomía de los estudiantes

Participación de los estudiantes

La comprensión de los estudiantes

Logro de la actividad planeada

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 Indicamos cuando la condición desencadenante fue valorada positivamente ( ) y negativamente ( ). Se marca si se encuentran narrativas que muestran situaciones valoradas positiva para algunos estudiantes y negativa para otros, es decir algunos estudiantes cumplen con la meta/norma y otros no.

Tabla 7. Condiciones desencadenantes de emociones por reporte

4.2.1. Las condiciones desencadenantes ‘acerca del logro de la actividad planeada’.

Son todas aquellas situaciones que, con base en la planeación de clase (preguntas 2 y 3 del protocolo), verificamos que estaban previstas como parte de la actividad de clase; es decir, es una meta u objetivo de clase.

Profesor EE: Experimento sensaciones positivas cuando los grupos trabajan. No tengo un grupo en especial con quien me guste trabajar, con todos he tenido buenas y malas experiencias porque son grupos irregulares pero cuando trabajan y percibo que compren la actividad y el objetivo de la clase, entonces es cuando siento emociones positivas.

4.2.2. Las condiciones desencadenantes ‘acerca de la colaboración entre estudiantes’.

Condiciones desencadenantes de emociones 1) El logro de la actividad planeada 2) La colaboración entre estudiantes 3) La participación de los estudiantes 4) La actitud de los estudiantes 5) La autonomía de los estudiantes 6) La compresión y aprendizaje de los estudiantes En negritas las condiciones que desencadenan Feliz por. La ira es desencadenada principalmente por 4 y 1

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

42 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Son situaciones en las que los estudiantes se ayudan en la solución de algún ejercicio, problema o duda entre ellos.

4.2.3. Las condiciones desencadenantes ‘acerca de la participación de los estudiantes’.

Incluye situaciones en las que los educandos hacen preguntas y observaciones que benefician la clase. Además, lograr la participación de los estudiantes es la meta primordial del profesor y una reacción positiva del estudiante.

4.2.4. Las condiciones desencadenantes ‘acerca de la actitud de los estudiantes’.

Incluye escenarios en los que el informante declara explícitamente observar buena o mala actitud en los estudiantes. En los informes no se definía claramente qué entendía el informante por ‘actitud del estudiante’, en la entrevista estructurada se indagó al respecto. Para el informante la ‘actitud del estudiante’ es un conjunto de comportamientos tales como: atender la clase, realizar las actividades planeadas por el profesor, participar en las sesiones y colaborar entre compañeros.

Profesor EE: [Para mí una buena actitud es], que los estudiantes se muestren activos hacia el trabajo; o sea, no los quiero tener como soldaditos ¿verdad? pero tampoco soy partidario del desorden, sino que intenten mantener una actitud positiva hacia los ejercicios. Yo creo que esa sería la principal actitud. Un alumno con buena actitud [es aquel o aquella que], llega, saluda, toma su lugar, este… participa en clase, pregunta… no está jugando con sus compañeros todo el tiempo, he… realiza sus actividades, incluso me apoya con sus compañeros, realiza las tareas, casi no falta. Este… yo creo que eso sería.

4.2.5. Las condiciones desencadenantes acerca de la ‘autonomía de los estudiantes’.

Incluye situaciones en las que explícitamente se habla de autonomía. El informante expresa que autonomía es un conjunto de comportamientos donde los estudiantes asumen un papel independiente del profesor, resuelven ejercicios solos, buscan aclarar sus dudas por sí mismos. Esta preocupación por esperar y generar autonomía en los estudiantes es coherente con la creencia acerca del papel del estudiante (“cuando uno [como estudiante], quiere aprender no hace falta mucha intervención por parte del maestro, depende del estudiante”).

4.2.6. Las condiciones desencadenantes ‘acerca de la compresión y aprendizaje de los estudiantes’.

Incluye situaciones en las que el informante enunciaba explícitamente el aprendizaje o la comprensión de los estudiantes en algún contenido del plan de clase.

La distinción entre comprender y aprender no era clara en los auto-informes, en la entrevista estructurada se le cuestionó al respecto. El informante diferencia aprender como la habilidad de aplicar o usar el conocimiento, mientras comprender parece ser un nivel inferior al aprendizaje.

Profesor EE: Aprender y comprender… no lo considero lo mismo, porque uno puede comprender un objeto y aprender es aplicar las características del objeto y lograr este… aplicarlo o usarlo en alguna actividad.

Esta distinción es coherente con la creencia de aprendizaje del informante.

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

43 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Profesor EB: [¿Qué es aprender matemáticas?], creo que hay muchas respuestas y todas son válidas,…, para mí aprender matemáticas es cuando alguien le encuentra significado al objeto matemático que está estudiando, le halla algún uso o explicación. Quizá ahí es cuando uno realmente aprende matemáticas… Por ejemplo…, cuando uno aplica como ingeniero, ya en el laboratorio, haciendo los cálculos y viendo que los datos calculados coinciden con la práctica o con el proyecto que se está realizando, creo que entonces ya se está aprendiendo matemáticas.

5. Discusión

5.1. Sobre las experiencias emocionales

Se identificaron siete tipos de emociones experimentadas por el informante en sus clases de Cálculo Integral con estudiantes de nivel medio superior. De ellas, cuatro son desencadenadas por valoraciones cognitivo positivas (satisfacción, aprecio, felicidad y compasión), y tres, por valoraciones cognitivo negativas (decepción, reproche e ira), 72.7% de las experiencias emocionales identificadas fueron positivas. Esto podría deberse a nuestra decisión de recolectar experiencias emocionales en el área de las matemáticas donde el informante explicitó gusto desde que estudiaba nivel medio superior, lo que podría relacionar sus experiencias de dominio como estudiante con experiencias de confianza como profesor. En ese sentido, parece que como los resultados en profesores de primaria, las experiencias negativas de los profesores como estudiantes son antecedentes de la ansiedad matemática, las experiencias positivas del profesor como estudiante pueden estar relacionadas de las emociones de disfrute. También puede responder a que "… es posible que cuando se les pregunta sobre sus experiencias emocionales en clase los maestros pueden exagerar su experiencia de disfrute [experiencias positivas] A diferencia de otras profesiones, donde puede ser socialmente aceptable admitir que el trabajo no siempre es divertido, a la profesión docente se le atribuye ideales muy elevados" (Keller et al., 2014 .pp. 496)

El tipo de emoción más experimentada por el informante es satisfacción. La variedad emotiva (en la OCC), de satisfacción (como disfrute relacionado con la actividad), júbilo (como disfrute vinculado con el resultado), y esperanza (como alegría anticipada), se corresponden con las emociones de Disfrute (Enjoyment en Frenzel, 2014), la principal emoción positiva que experimentan los profesores. Que más de la tercera parte de las emociones identificadas sean de satisfacción, una emoción valorada en términos de meta, basada en la confirmación de previsiones nos indica que, en el caso de estudio, la planeación de clase y el cumplimiento de esa planeación es una fuente clave que genera éstas emociones en el profesor de matemáticas del nivel medio superior.

La literatura en el tema (que es fundamentalmente en profesores de nivel básico), muestra que las emociones de disfrute son desencadenadas por los comportamientos de logro de los estudiantes, nuestros resultados exponen que la satisfacción es la que mayor variedad de condiciones desencadenantes tiene (Ver Diagrama 1), si bien incluye los logros de los estudiantes como ‘La compresión y aprendizaje’, es desencadenada en especial, por el comportamiento de los estudiantes en el aula, que favorecen el logro de los planes de clase: ‘el logro de la actividad planeada’, ‘la colaboración entre estudiantes’, ‘la participación de los estudiantes, ‘la autonomía de los estudiantes’ y si consideramos que para el informante esos comportamientos definen ‘la actitud de lo estudiantes’ podemos incluirla como una condición desencadenante de satisfacción.

El aprecio como el segundo tipo de emoción más experimentada por el informante resalta las normas atribuidas al comportamiento de los estudiantes. Hay evidencia que indica que los profesores buscan la oportunidad de involucrarse profunda y personalmente con los alumnos, por ejemplo, en el

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

44 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

reconocimiento recibido de de ellos (Frenzel, 2014) Así la relación del profesor con los alumnos es una fuente común de emociones tanto positivas como negativas. En nuestros resultados el aprecio aparece con mayor frecuencia cuando ‘los estudiantes ayudan a sus compañeros’, lo que pone de manifiesto que, en este caso, lo primordial es la relación entre escolares más que la relación estudiante-profesor, que nos revela una vez más, cómo las creencias de aprendizaje y las experiencias como estudiante se reflejan en las experiencias emocionales del profesor.

Las condiciones desencadenantes de las emociones positivas del informante son las protagonizadas por sus estudiantes. Investigaciones sobre emociones de profesores llegan a la misma conclusión (Becker et al., 2015; Chen, 2016; Frenzel, 2014; Keller et al., 2014; Schutz, 2014) Han reportado que los logros de los estudiantes también pueden traducirse en sentimientos de orgullo, en nuestro análisis identificamos feliz por, que es una emoción de la valoración cognitiva de las vicisitudes de otros, mientras el orgullo incluye al sujeto como causa del acontecimiento deseable, en feliz por, el sujeto considera no tener influencia causal del acontecimiento, esto nos parece razonable debido a la creencia del informante sobre el papel del estudiante como responsable de su aprendizaje, por tanto, responsable directo de sus logros.

Decepción e ira: son las emociones negativas basadas en metas identificadas en nuestro análisis. La decepción como una emoción basada en la refutación de previsiones, indica, igual que la satisfacción (basado en la confirmación), la importancia del cumplimiento de las metas en el salón de clase.

El reproche y la ira (en la OCC), se corresponden con el enojo (anger), en el sentido de Frenzel (2014), la emoción negativa más reportada por profesores; reproche cuando la responsabilidad (clave en el enojo), recae en alguien más (los estudiantes), e ira, si además tiene una consecuencia indeseable sobre la deseabilidad de una meta. En estudios sobre emociones de profesores se relaciona el enojo con la falta de disciplina de los estudiantes en clase. En nuestros resultados el reproche y la ira son emociones poco reportadas sin embargo las más relacionadas con lo que el informante denomina ‘actitud del estudiante’, un concepto central en sus valoraciones cognitivas, que incluye además de la disciplina algunos comportamientos de aula específicos como: autonomía, participación y colaboración para lograr las metas de la clase.

Así, nuestros resultados son consistes con resultados de investigaciones en emociones de profesores. En general, las emociones y las condiciones desencadenantes del profesor de nivel medio superior, no son significativamente distintas de los profesores de nivel básico, en cuanto a que la principal fuente de emociones son los estudiantes y las principales emociones son el disfrute y el enojo. Consideramos que esto se debe a que las emociones son el producto de la valoración cognitiva que los profesores hacen acerca de lo que sucede en el aula (Becker et al., 2015; Chen, 2016; Frenzel, 2014; Keller et al., 2014; Schütz, 2014) En línea con lo que Frenzel (2014), señala, nuestra investigación muestra cómo la valoración cognitiva del comportamiento de los estudiantes es la principal condición desencadenante de las experiencias emocionales de los profesores. En particular, para el informante el comportamiento de los estudiantes radica en su percepción respecto de la ‘buena actitud de los estudiantes’. Pero además, nuestros resultados incorporan los tipos de comportamiento específicos que el profesor espera de sus estudiantes para definir la buena actitud, un aporte en el estudio de las emociones de profesores de matemáticas de nivel medio superior..

5.2. Sobre las metas y normas como variables de valoración cognitiva

El que la satisfacción (i.e. contento por la confirmación de la previsión de un acontecimiento deseable), y la decepción (i.e. descontento por la refutación de la previsión de un acontecimiento deseable), ocupen más de la mitad del total de las experiencias emocionales identificadas, significa que la mayoría de las emociones experimentadas durante el desarrollo de su clase son resultado de la

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

45 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

valoración cognitiva en términos de las metas para las lecciones de clase y las metas que se establecen para incidir en el comportamiento de los estudiantes. Las emociones que el informante experimenta están relacionadas con los objetivos planeados para la clase. Por ejemplo en R4, R5, R6 y R12, donde hay bajos reportes de satisfacción y altos reportes de decepción (Gráfica 1), están relacionados con el no cumplimiento de la actividad de clase (Ver Diagrama 1)

La investigación en general (Becker et al., 2015; Frenzel, 2014, Keller et al, 2014), indica que el comportamiento de los estudiantes y el cumplimiento de las reglas en clase son antecedentes clave de la experiencia emocional de los profesores. El aprecio (i. e. aprobación de una acción plausible de otro), referido a la valoración de las acciones de los estudiantes, muestra que esta aseveración es válida para el informante de nivel medio superior. El cumplimiento de las normas en el salón de clase y las creencias del informante respecto a las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje son antecedentes de emociones de atribución en el informante. Edemas, nuestro estudio muestra qué tipo de comportamientos específicos son valorados como: la actitud, la autonomía, la participación, la colaboración de los estudiantes y el logro de la actividad planeada son las principales. También se observa que los reportes frecuentes de aprecio (R2 y R10), están relacionados con los objetivos de la clase (Ver Diagrama 1, Gráfica 1), cuando involucra resolver dudas de los estudiantes, lo que suponemos implica participación activa y colaboración de los estudiantes.

Nuestros resultados ponen énfasis en las normas de comportamiento tanto sociales (‘ayudan a sus compañeros’, a ‘participar en clase’), como de rendimiento (‘son autónomos al resolver ejercicios’, ‘tienen buena actitud en clase’), que el informante valora como decisivas para lograr sus planes de clase (metas) Esto es más específico de lo que se conoce del orgullo dirigido a otros que en el caso de los profesores se relaciona con los logros de los estudiantes (Frenzel, 2014; Keller et al., 2014)

5.3. Sobre la ‘actitud del estudiante’: cumplimiento de plan de clase, la participación, la autonomía y el aprendizaje de los estudiantes.

Según investigaciones en emociones de profesores, los docentes experimentan emociones negativas en el aula cuando no tienen relaciones emocionales estrechas con los estudiantes o cuando tienen la impresión de que son mal entendidos (Keller et al, 2014) Nosotros identificamos ‘mala actitud del estudiante’ y que ‘los alumnos no comprendan’ como fuentes de emociones negativas del informante. Como hemos dicho, la ‘actitud de los estudiantes’ se percibe en términos de ‘autonomía’, ‘participación’ y ‘colaboración’. Así, si englobamos las condiciones desencadenantes en un sólo tipo de situación acerca de la ‘actitud de los estudiantes’ tenemos que la mayoría de las condiciones desencadenantes de las emociones identificadas en los auto-informes del profesor mientras imparte clases de Cálculo Integral (95%), son de dos tipos: (1) La actitud percibida en los estudiantes (53%), que el profesor considera incluye la participación, colaboración y autonomía de los estudiantes y (2), el logro de la actividad planeada (42%) Esto significa para el informante, que el éxito de una actividad depende en gran medida de la actitud de los estudiantes. De ser así, explicaría por qué en las sesiones que tienen por objetivo ‘proponer y resolver dudas’ (R2 y R10), sean las sesiones con mayor activación emocional positiva.

Por lo anterior concluimos que ‘la actitud de los estudiantes’, sería el requisito necesario para alcanzar las metas que el informante se propone en cada una de sus clases. A veces los componentes de la actitud "autonomía" y "participación" son consideradas como metas en sí mismas, otras veces son consideradas como normas (i.e. como requisitos para el logro de la actividad) La noción de ‘buena actitud’ de sus estudiantes podría considerarse una metáfora de aprendizaje a partir de los resultados de las situaciones desencadenantes: la entrevista estructurada y la entrevista biográfica, siendo posible inferir una creencia de aprendizaje de las matemáticas. La creencia es ‘el logro de la planeación de clase, por ende, el logro del aprendizaje de los escolares depende de la actitud del estudiante, misma que refleja en autonomía, participación y colaboración”.

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

46 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

5.4. Sobre la metodología, limitaciones y futuras investigaciones

Utilizar el método de auto-informe, nos brindó la ventaja de recolectar los datos temporalmente cercanos al evento, ofreciendo proximidad a la experiencia del informante. Dado que los métodos de muestreo constante de la experiencia, como el utilizado en la presente investigación, permiten tener acceso continuo al punto de vista y la subjetividad de los profesores de matemáticas consideramos que el uso de estos métodos puede ofrecer una perspectiva metodológica innovadora en la investigación en Matemática Educativa que permitirá tener acceso al carácter dinámico del afecto (Pepin y Roesken-Winter, 2015) Futuras investigaciones pueden explorar más acerca de este potencial.

Debemos aceptar que, no queda claro hasta qué punto los auto-informes de los profesores sobre sus emociones, están influenciados por la deseabilidad social, por tanto, están subyacentes a los sesgos de auto-reporte que favorecen las emociones positivas (Keller et al., 2014), aun así consideramos como valiosa y fidedigna la información, y pensamos que utilizar métodos cada vez más ecológicos nos permitirá tener información de las emociones en aula en tiempo real, y esto puede ayudar a disminuir ese sesgo.

Nuestros resultados señalan que la creencia del maestro informante acerca de cómo se logra el aprendizaje de las matemáticas es el principal soporte de su experiencia emocional en el aula de matemáticas. Nuestra hipótesis es que las creencias matemáticas —creencias acerca de las matemáticas, enseñanza y aprendizaje de las mismas—, son el principal soporte de la experiencia emocional de los profesores de matemáticas. Futuras investigaciones pueden indagar más acerca de esta hipótesis. También, podrían profundizar en las relaciones entre las emociones, el comportamiento y las creencias del profesor de matemáticas de nivel medio superior. Este tipo de resultados creemos puede contribuir teóricamente, por ejemplo, al modelo teórico de Schoenfeld (2011a, 2011b), acerca de la toma de decisiones de profesores.

La investigación fue de corte exploratorio y considerado un estudio de caso, por tanto, es cercana a las experiencias emocionales de un único profesor de matemáticas. Creemos que es necesario realizar más estudios de caso para profundizar en el conocimiento de las emociones de los profesores de matemáticas, futuras investigaciones podrían indagar estudios de casos múltiples, bajo la metodología de auto-informes diarios o al realizar observación de clase. Nuestra hipótesis, siguiendo los principios de las teorías de la valorización cognitiva, la teoría de la estructura cognitiva de las emociones y los resultados de esta investigación, es que la experiencia emocional estará mediada por estructuras de valoración cognitiva (soportadas principalmente por creencias, metas, normas y actitudes), dependientes de los contextos y de la historia de vida personal y profesional de cada profesor

5.5. Sobre las implicaciones

Los resultados de nuestra investigación son una contribución a lo que se sabe respecto de las emociones en profesores en la enseñanza de las matemáticas en niveles distintos al básico. Consideramos importante hacer investigación al respecto para conocer y de ser posible crear ambientes de aprendizaje adecuados, donde el foco de atención no sólo sea el aprendizaje de los estudiantes sino también su satisfacción y bienestar y la de los profesores.

Consideramos importante que los profesores conozcan e identifiquen las emociones y sus condiciones desencadenantes para que puedan comprenderlas y regularlas, y manejar con sensatez las emociones negativas que con asiduidad surgen en las interacciones que mantienen los compañeros de trabajo, los padres y los propios alumnos.

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

47 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Es esencial que la investigación empírica en curso sobre las emociones se incorpore sistemáticamente en los programas de formación del profesorado y a través de la práctica educativa. El impacto de las emociones en el aprendizaje y el rendimiento de los estudiantes, debe destacarse en los planes de estudio de la formación docente. Los antecedentes de las emociones también deben abordarse en los planes de estudios de la docencia para facilitar la comprensión de los profesores de cómo sus emociones se ven afectadas. Para que los maestros pudieran considerar como referencia sus experiencias emocionales en el aula con los estudiantes, deberían ser conscientes de esas experiencias y tratar de optimizar sus emociones relativas a la instrucción (Frenzel, Goetz, Lüdtke, Pekrun, & Sutton, 2009)

Nuestros resultados muestran la relación entre las creencias de aprendizaje y enseñanza y las experiencias emocionales, debido a que estas son valoradas con base en normas que se corresponden y metas que se establecen bajo las mismas afirmaciones, las cuales son construidas con experiencias como estudiante de matemáticas.

Nuestros resultados revelan un constructo general en la valoración emocional de profesores, la actitud de los estudiantes como un conjunto de comportamientos, que está soportada por creencias. Los resultados de investigaciones como la nuestra pueden considerarse elementos de información para diseñar talleres que ayuden a profesores a desarrollar su inteligencia emocional –la habilidad de percibir, asimilar, comprender y regular las emociones propias y de los demás (Mayer & Salovey, 1997)–, y desarrollar estrategias de afrontamiento y superación de experiencias emocionales negativas o pensamientos que favorezcan la aparición del burnout (Extremera, Fernández-Berrocal & Duran 2003)

6. Bibliografía

Becker, E. S., Keller, M. M., Goetz, T., Frenzel, A. C., & Taxer, J. L. (2015). Antecedents of teachers’ emotions in the classroom: an intraindividual approach. Frontiers in Psychology, 6(May), 1–12. http://doi.org/10.3389/fpsyg.2015.00635

Bekdemir, M. (2010). The pre-service teachers’ mathematics anxiety related to depth of negative experiences in mathematics classroom while they were students. Educational Studies in Mathematics, 75(3), 311–328. http://doi.org/10.1007/s10649-010-9260-7

Bibby, T. (2002). Shame: an emotional response to doing mathematics as an adult and a teacher. British Educational Research Journal, 28(5), 705–721. http://doi.org/10.1080/014119202200001554

Bursal, M., & Paznokas, L. (2006). Mathematics anxiety and preservice elementary teachers’ confidence to teach mathematics and science. School Science and Mathematics, 104(6), 173–180.

Chen, J. (2016). Understanding teacher emotions: The development of a teacher emotion inventory. Teaching and Teacher Education, 55, 68–77. http://doi.org/10.1016/j.tate.2016.01.001

Coppola, C., Di Martino, P., Pacelli, T., & Sabena, C. (2012). Primary teachers ’ affect : a crucial variable in the teaching of mathematics. Nordic Studies in Matematics Education, 17(3–4), 107–123.

Di Martino, P., & Sabena, C. (2011). Elementary pre-service teachers’ emotions: Shadows from the past to the future. In Proceedings of MAVI 16 conference: Current state of research on mathematical beliefs XVI (pp. 89–105). Tallin: Tallinn University of Applied Sciences.

Di Martino, P., Coppola, C., Mollo, M., Pacelli, T., & Sabena, C. (2013). Pre-service primary teachers’ emotions: the math-redemption phenomenon. In A. M. Lindmeier & A. Heinze (Eds.), Proceedings of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 225–232). Kiel, Germany.

Extremera, N. & Fernández-Berrocal, P. (2004). La importancia de desarrollar la inteligencia emocional. Revista Iberoamericana de Educación 33(8).1-9

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

48 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Extremera, N. & Fernández-Berrocal, P. y Duran A. (2003).Inteligencia emocional y burnout en profesores. Encuentros en psicologia social. (1).260-265

Frenzel, A. C. (2014). Teacher Emotions. International Handbook of Emotions in Education, 494–519. http://doi.org/10.4324/9780203148211.ch25

Frenzel, A. C., Goetz, T., Lüdtke, O., Pekrun, R., & Sutton, R. E. (2009). Emotional transmission in the classroom: Exploring the relationship between teacher and student enjoyment. Journal of Educational Psychology, 101(3), 705–715.

Frijda, N. H. (2007). The laws of emotion. New York, NY: Lawrence Erlbaum. Hannula, M. S., Liljedahl, P., Kaasila, R., & Rösken, B. (2007). Researching relief of mathematics

anxiety among pre-service elementary school teachers. In J.-H. Woo, H.-C. Lew, K.-S. P. Park, & D.-Y. Seo (Eds.), Proceedings of 31st Annual Conference for the Psychology of Mathematics Education, vol. 1 (pp. 153–156). Seoul, Korea.

Harper, N. W., & Daane, C. J. (1998). Causes and reductions of math anxiety in preservice elementary teachers. Action in Teacher Education, 19(4), 29–38.

Hodgen, J., & Askew, M. (2007). Emotion, identity and teacher learning: becoming a primary mathematics teacher. Oxford Review of Education, 33(4), 469–487. http://doi.org/10.1080/03054980701451090

Iida, M., Shrout, P., Laurenceau, J., & Bolger, N. (2012). Using diary methods in psychological research. APA Handbook of Research Methods in Psychology: Vol. 1. Foundations, Planning, Measures and Psychometrics, 1, 277–305. http://doi.org/10.1037/13619-016

Keller, M. M., Frenzel, A. C., Goetz, T., Pekrun, R., & Hensley, L. (2014). Exploring teacher emotions. In P. W. Richardson, S. A. Karabenick, & H. M. G. Watt (Eds.), Teacher Motivation: Theory and Practice (pp. 69–82). New York, NY: Routledge.

Lazarus, R. (1991). Emotion and adaptation. New York: Oxford University Press. Lutovac, S., & Kaasila, R. (2014). Pre-service teachers’ future-oriented mathematical identity work.

Educational Studies in Mathematics, 85(1), 129–142. http://doi.org/10.1007/s10649-013-9500-8 Mayer, J. D. y Salovey, P. (1997), What is emotional intelligence?. En Peter Salovey P. y David J.

(coord.), Emotional development and emotional intelligence: Implications for educators. Nueva York: Basic Books, pp. 3-34.

Moors, A., Ellsworth, P. C., Scherer, K. R., & Frijda, N. H. (2013). Appraisal Theories of Emotion: State of the Art and Future Development. Emotion Review, 5(2), 119–124. http://doi.org/10.1177/1754073912468165

Oatley, K. y Jenkins, J.r (1996), Understanding emotions, Malden: Blackwell Publishers. Ortony, A., Clore, G. y Collins, A. (1996). La estructura cognitiva de las emociones, Madrid, Siglo

XXI. Peker, M. (2009). Pre-Service Teachers’ Teaching Anxiety about Mathematics and Their Learning

Styles. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 5(4), 335–345. Pepin, B., & Roesken-Winter, B. (2015). Introduction. In B. Pepin & B. Roesken-Winter (Eds.), From

beliefs to dynamic affect systems in mathematics education (pp. xv–xix). Zürich, Switzerland: Springer.

Schoenfeld, A. H. (2011a). How We Think: A Theory of Goal-Oriented Decision-Making and its Educational Application. New York, NY: Routledge.

Schoenfeld, A. H. (2011b). Toward professional development for teachers grounded in a theory of decision making. ZDM-The International Journal on Mathematics Education, 43(4), 457–469. http://doi.org/10.1007/s11858-011-0307-8

Schutz, P. A. (2014). Inquiry on Teachers’ Emotion. Educational Psychologist, 49(1), 1–12. http://doi.org/10.1080/00461520.2013.864955

Schutz, P. A., y Lanehart, S. L. (2002), Introducction: emotions in education. Educational Psychologist, vol. 37, núm. 2, pp. 67-68

Sloan, T., Daane, C., & Giesen, J. (2002). Mathematics anxiety and learning styles: What is the relationship in elementary preservice teachers?. School Science and Mathematics, 10(2), 84–87.

Explorando emociones de profesores de matemáticas en el aula: un estudio de caso Y. Arellano, G. Martínez y A. Hernández

49 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Swars, S., Daane, C., & Giesen, J. (2006). Mathematics anxiety and mathematics teacher efficacy: What is the relationship in elementary preservice teachers? School Science and Mathematics, 106(7), 306–315.

Vinson, B. (2001). A comparison of preservice teachers’ mathematics anxiety before and after a methods class emphasizing manipulatives. Early Childhood Education Journal, 29(2), 89–94.

Yin, R. K. (2013). Case study research: Design and methods. Thousand Oaks, Calif: Sage Publications.

Zembylas, M. (2005). Discursive practices, genealogies, and emotional rules: A poststructuralist view on emotion and identity in teaching. Teaching and Teacher Education, 21(8), 935–948. http://doi.org/10.1016/j.tate.2005.06.005

Zirkel, S., Garcia, J. A., & Murphy, M. C. (2015). Experience-sampling research methods and their potential for education research. Educational Researcher, 44(1), 7–16. http://doi.org/10.3102/0013189X14566879

Yuridia Arellano-García. Doctorante en ciencias con Especialidad en Matemática Educativa en el Centro de investigación en Matemática Educativa de la Universidad Autónoma de Guerrero. En la actualidad realiza investigaciones dentro del denominado dominio afectivo en matemática educativa, específicamente de emociones de estudiantes y profesores de nivel medio superior y superior Email: yaregar@gmail.com

Gustavo Martínez-Sierra. Profesor de tiempo completo del Centro de Investigación en Matemática Educativa de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Guerrero. Su actividad de investigación se enmarca dentro del llamado “Dominio afectivo en matemática educativa” que comprende el estudio de las creencias, las emociones, las actitudes, los valores y la motivación de estudiantes y profesores hacia las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje. Email: gmartinezsierra@gmail.com

Antonia Hernández-Moreno. Estudiante de la Maestría en Ciencias, área: Matemática Educativa en el Centro de investigación en Matemática Educativa de la Universidad Autónoma de Guerrero. Hoy día realiza investigación sobre dominio afectivo en matemática educativa, en particular sobre emociones. Email: antonia.inves@gmail.com

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 51-67

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

Alberto Zapatera Llinares (Universidad Cardenal Herrera-CEU. España)

Fecha de recepción: 15 de noviembre de 2017 Fecha de aceptación: 7 de febrero de 2018

Resumen Tradicionalmente se ha pospuesto el estudio del álgebra a la Educación Secundaria, pero investigaciones en didáctica de las matemáticas han demostrado que el pensamiento algebraico puede ser desarrollado desde edades tempranas. En los últimos años han surgido corrientes como la Early-Algebra que proponen la introducción del álgebra desde los primeros años de escolarización y consideran que una de las vías más eficaces para ello es la generalización de patrones. En este artículo, tras estudiar el proceso de generalización de patrones, se presenta una secuencia de tareas a desarrollar en Educación Infantil y en Educación Primaria. El objetivo de este trabajo es animar a los maestros a introducir el pensamiento algebraico en sus alumnos y proporcionarles una herramienta que puede servirles de referencia en su práctica docente.

Palabras clave Pensamiento algebraico, generalización de patrones, práctica docente, Early-Algebra, Educación Infantil y Primaria

Title Introduction of algebraic thinking through the generalization of patterns. A sequence of tasks for Pre-school and Primary Education

Abstract Traditionally the study of algebra has been postponed to Secondary, but research in didactic of mathematics has shown that algebraic thinking can be developed from early age. In recent years have been emerging currents such as Early-Algebra that propose the introduction of algebra from the first years of schooling and consider that one of the most effective ways to do this is the generalization of patterns. In this article, after studying the process of generalization of patterns, is presented a sequence of tasks to be developed in Pre-school and Primary Education. The aim of this work is to encourage teachers to introduce algebraic thinking in their students and provide them a tool that can serve as a reference in their teaching practice

Keywords Algebraic thinking, generalization of patterns, teaching practice, Early-Algebra, Pre-school and Primary Education

1. Introducción

La enseñanza tradicional del álgebra ha recibido numerosas críticas debido al fracaso de muchos estudiantes a los que el aprendizaje del álgebra les resulta muy difícil y experimentan tal rechazo al álgebra que lo trasladan al conjunto de las matemáticas (Kaput, 2000, Kieran, 2004). Por eso, ya a finales de los sesenta, Kieran (1989, p. 163) advirtió que “un área muy necesitada de la investigación matemática es el pensamiento algebraico”.

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

52 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Según la teoría piagetiana, este fracaso se debía a que los alumnos de Educación Primaria no están capacitados para pasar del pensamiento operacional concreto al pensamiento operacional formal, por lo que recomendaba posponer las tareas algebraicas a la Educación Secundaria. Sin embargo, Mason (1991) observó que los estudiantes llegaban a la escuela con capacidades naturales de generalización y que potenciando estas capacidades se podía desarrollar el pensamiento algebraico. Por su parte, Socas (2011) señala que el pensamiento algebraico está implícito en alumnos de Educación Primaria.

Otros investigadores también observaron que los estudiantes de los primeros cursos podían considerar las operaciones aritméticas como funciones, elaborar y simbolizar algebraicamente conjeturas sobre relaciones aritméticas básicas, usar representaciones algebraicas para resolver problemas, utilizar letras para representar cantidades… y propusieron introducir y fomentar el pensamiento algebraico desde los primeros años de escolarización con tareas que “incluyan las relaciones entre cantidades, la identificación de estructuras, la generalización, la resolución de problemas, la modelación, la justificación, la prueba y la predicción” (Kieran, 2004, p.149). Esta forma de pensar, caracterizada como algebraica, es el corazón de las matemáticas (Mason, 1999) y puede ser desarrollada por niños de temprana edad (Kaput y Blanton, 2001; Carpenter, Franke y Levi, 2003).

A partir de estas ideas surgieron dos nuevas corrientes, la preálgebra y la Early-Algebra, que promueven iniciar el pensamiento algebraico en la Educación Primaria con actividades que desarrollen la habilidad para generalizar y recomiendan el trabajo con patrones y el estudio de sus regularidades.

Los Principios y Estándares del NCTM (2000) recogieron estas ideas al establecer que una de las formas de desarrollar el pensamiento algebraico en los estudiantes es la formalización de patrones, funciones y generalizaciones. Para ello proponen que los programas de matemáticas en los primeros años de escolarización se orienten a capacitar a los estudiantes para comprender patrones, relaciones y funciones.

Siguiendo estas indicaciones, en la última década muchos países han revisado su currículo de matemáticas remarcando la importancia de los patrones en el aprendizaje del álgebra. De esta manera, el currículo de Ontario (Canadá) introduce el pensamiento algebraico en torno a dos “grandes ideas”: (1) patrones y relaciones y (2) expresiones e igualdades. El currículo australiano introduce los conceptos de variable y función mediante el reconocimiento de patrones y su generalización. El costarricense propone la generalización de la aritmética y de los patrones y considera las funciones como parte central de las matemáticas. Los de Corea y Singapur proponen el desarrollo del pensamiento algebraico por medio de la generalización de patrones, la resolución de problemas y el conocimiento de funciones. Y el chileno pretende que los estudiantes expliquen y describan relaciones entre números, formas, objetos y conceptos y que identifiquen, extiendan y expresen patrones para facilitar el desarrollo del pensamiento algebraico.

Aunque la LOMCE (2013) no incluye referencias específicas al álgebra, el currículo básico español de la Educación Primaria (2014) introduce el pensamiento algebraico al establecer de forma explícita el trabajo con patrones en el siguiente criterio de evaluación de etapa: “Describir y analizar situaciones de cambio, para encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas, en contextos numéricos, geométricos y funcionales, valorando su utilidad para hacer predicciones” (p. 40). Este criterio se concreta en dos estándares de aprendizaje evaluables: “identificar patrones, regularidades y leyes matemáticas en situaciones de cambio, en contextos numéricos, geométricos y funcionales” y “realizar predicciones sobre los resultados esperados, utilizando los patrones y leyes encontrados, analizando su idoneidad y los errores que se producen” (p. 40)

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

53 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Por tanto, la generalización de patrones está considerada como una forma eficaz para introducir el pensamiento algebraico en la escuela, por lo que las matemáticas en la Educación Primaria e Infantil deben incluir la exploración de patrones para que los estudiantes sean capaces de descubrir, extender y analizar las regularidades y expresarlas de forma verbal o simbólica (NCTM, 2000; Molina, 2006; Radford, 2014; Zapatera, 2015).

2. Álgebra en la Educación Infantil y Primaria

Ante la propuesta del NCTM (2000) de desarrollar el bloque de álgebra desde la Educación Infantil, los investigadores se plantearon si los niños podían trabajar con álgebra y qué tareas podían realizar.

Para contestar la primera pregunta, es decir, si los niños podían trabajar con álgebra, varias investigaciones (Becker y Rivera, 2008) describen los logros de los alumnos de Educación Primaria al trabajar con tareas del pensamiento algebraico elemental y afirman que unas “matemáticas algebrizadas” preparan mejor a los alumnos ya que promueven un mayor grado de generalidad en su pensamiento y, además, argumentan que muchas de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Secundaria se deben a la introducción tardía del álgebra.

Históricamente la Educación Primaria se ha centrado prioritariamente en la aritmética, retrasando la introducción del álgebra por concepciones erróneas sobre la naturaleza de la aritmética y del álgebra y por la falta de capacidad de los niños. Sin embargo, Carraher, Schliemann y Brizuela (2000) sostienen que la aritmética es algebraica porque proporciona elementos para construir y expresar generalizaciones y afirman que los estudiantes de Educación Primaria son capaces de entender las relaciones funcionales y de razonar sobre las variables de los problemas.

Butto y Rojano (2004) consideran que alcanzar la formalización algebraica y alcanzar el pensamiento algebraico son actividades cognitivas distintas y que aunque la formalización algebraica requiere un proceso largo y complejo, el acceso al pensamiento algebraico es factible en edades tempranas.

Como respuesta a la segunda pregunta, es decir, qué tareas pueden realizar los alumnos para desarrollar su pensamiento algebraico, la preálgebra y la Early-Algebra consideran necesario iniciar el pensamiento algebraico con actividades que involucren procesos matemáticos como la identificación de las relaciones entre distintos elementos de las estructuras matemáticas y la habilidad para generalizar y representar de formas diferentes dichas relaciones.

Aunque las dos propuestas son enfoques relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas antes de la enseñanza formal del álgebra, se diferencian en su finalidad y el momento de introducción:

• La preálgebra intenta suavizar la transición entre la aritmética y el álgebra y reducir las dificultades que sufren los alumnos en el aprendizaje del álgebra y la Early-Algebra tiene unos objetivos más amplios e intenta introducir modos del pensamiento algebraico en el aprendizaje-enseñanza de las matemáticas.

• La preálgebra propone introducir el álgebra como una aritmética generalizada en los dos últimos cursos de la Educación Primaria y la Early-Algebra propone introducir el álgebra desde los primeros cursos de escolarización integrada en los otros bloques de contenidos.

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

54 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Ambas corrientes coinciden en que no es preciso aumentar los contenidos sino tratarlos con más profundidad resaltando las ideas de generalización, estructura y relaciones y en que el razonamiento simbólico no se limita al razonamiento con notación algebraica sino que debe incluir el uso del lenguaje natural, las tablas y los gráficos.

Este trabajo se enmarca dentro del enfoque Early-Algebra que se fundamenta en un cambio curricular en el que el álgebra se introduce desde los primeros años de escolarización como una manera de pensar y actuar con objetos, relaciones y estructuras matemáticas (Carpenter, Franke y Levi, 2003; Kaput, 2000; Blanton y Kaput, 2005). La Early-Algebra plantea que las experiencias para construir y expresar generalizaciones matemáticas sean un proceso uniforme que empiece en los primeros cursos de la escolarización. Además, anima a los docentes a fomentar la observación y la descripción de patrones, relaciones y propiedades matemáticas y a propiciar un ambiente escolar en el que se valore que los estudiantes exploren, modelicen, hagan predicciones, discutan, argumenten y comprueben ideas (Blanton y Kaput, 2005).

Investigadores sobre los distintos enfoques de la Early-Algebra (NCTM, 2000; Molina, 2006), señalan la importancia de la generalización de patrones geométricos y numéricos, sus relaciones y modos de representación, por lo que desde edades tempranas se deben crear ambientes de instrucción para explicitar el pensamiento algebraico implícito en los estudiantes (Carpenter, Franke y Levi, 2003). El trabajo con patrones y el estudio de la generalización de sus regularidades y propiedades pueden contribuir de forma eficaz a la creación de estos ambientes.

3. Generalización de patrones

Numerosos investigadores de didáctica de las matemáticas han definido de diferentes formas la generalización: Pólya (1954) considera que generalizar es “pasar de un objeto a una clase que contiene el objeto” (p. 12), para Harel y Tall (1991) generalizar es “aplicar un argumento dado en un contexto más amplio” (p. 38) y para Dreyfus (1991) es “derivar o inducir desde lo particular, identificando lo que es común y extendiendo dominios de validez para incluir un conjunto mayor de casos” (p. 35). En otras palabras, generalizar consiste en pasar de lo particular a lo general y en ver lo general en lo particular

En el caso concreto de la generalización de patrones, el proceso implica tres acciones: darse cuenta de una propiedad común, generalizar la propiedad común a todos los términos de la secuencia y usar la propiedad común para determinar una regla que permita hallar cualquier término de la secuencia (Dreyfus, 1991). Los problemas de generalización de patrones presentan mediante figuras una situación que proporciona los primeros términos f(1), f(2), f(3)… de una progresión aritmética y se pide calcular el valor f(n) para n pequeño y para n grande, y obtener la regla general (Callejo y Zapatera, 2014). Es decir, se piden tres tipos de tareas: (1) tareas de generalización cercana (Stacey, 1989), en las que el estudiante debe buscar términos pequeños que se puede obtener mediante recuento, haciendo un dibujo o una tabla, (2) tareas de generalización lejana (Stacey, 1989), en las que debe calcular términos grandes que requieren la identificación de un patrón o pauta y (3) obtención y expresión de una regla general que permita calcular el número de elementos de cualquier término de la sucesión y que está determinada por una función lineal o afín. Algunos problemas incluyen también invertir el proceso para hallar la posición de un término de la secuencia a partir del número de elementos de dicho término.

Zapatera y Callejo (2011) siguiendo las orientaciones de Stacey (1989) y García Cruz (1998) clasificaron las estrategias de resolución de problemas de generalización de patrones lineales en tres tipos: (1) estrategias aditivas, en las que el estudiante observa el patrón de crecimiento y realiza el

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

55 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

recuento dibujando la figura o sumando el patrón de crecimiento hasta el término requerido, partiendo de la primera figura o de una figura cualquiera, (2) estrategias funcionales, en las que el estudiante relaciona la posición de la figura y el número de elementos de ésta mediante una función afín f(n) = a·n + b (b≠0), donde a es el patrón de crecimiento y b es el término independiente que se mantiene constante; estas funciones pueden ser locales, si la relación se aplica a una determinada figura, y global, si la relación se aplica a una figura cualquiera, y (3) estrategias proporcionales, en las que el estudiante halla el número de elementos mediante razonamientos proporcionales en base a una función lineal f(n) = a·n, donde no se considera el término independiente que se mantiene constante (Figura 1).

Figura 1. Estrategias resolución de problemas de generalización de patrones

Investigaciones centradas en cómo resuelven tareas de generalización de patrones lineales estudiantes de Educación Primaria (Radford, 2011; Rivera, 2010; Warren, 2005; Zapatera y Callejo, 2013) han señalado la importancia de tres elementos: las estructuras espacial y numérica, la relación funcional y el proceso inverso. Para continuar una sucesión, los estudiantes necesitan descubrir una regularidad que relacione las estructura espacial, que emerge de la distribución de los elementos, y la estructura numérica, que emerge del número de elementos de cada figura (Radford, 2011; Rivera, 2010); para identificar un término lejano, los estudiantes deben establecer una relación funcional que asocie el término de la figura y la cantidad de elementos que la forman (Radford, 2011; Rivera, 2010; Warren, 2005); y para identificar la posición de una figura, conocido el número de elementos que la forman, el estudiante debe invertir el proceso y establecer una relación funcional inversa a la anterior (Warren, 2005).

4. Clases de patrones

Castro, Cañadas y Molina (2010) definen patrón como “lo común, lo repetido con regularidad en diferentes hechos o situaciones y que se prevé que puede volver a repetirse” (p. 57). También se entiende como patrón a las sucesiones de elementos que se construyen siguiendo una determinada regla; los estudiantes, a partir de casos particulares, han de deducir esa regla para generalizar el patrón y continuar la sucesión.

Los estudiantes desarrollan la comprensión de patrones y sus relaciones a través de experiencias muy variadas con personas, acciones, sonidos, objetos, figuras geométricas, símbolos, letras, números… (Figura 2) (Billingngs, Tiedt y Slater, 2008; Warren y Cooper, 2006)

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

56 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Figura 2. Experiencias con patrones (Fuente: Elaboración propia)

Las reglas de formación de patrones pueden ser de repetición o de recurrencia y sirven para clasificar los patrones: en los patrones de repetición los elementos se presentan de forman periódica y en los patrones de recurrencia cada término de la sucesión se expresa en función de los anteriores.

En los patrones de repetición se repiten los elementos en función de uno o más atributos (color, forma, tamaño, orientación…). Son los patrones más fáciles de identificar, por lo que están indicados en Educación Infantil y en los primeros cursos de Educación Primaria. La complejidad de los patrones de repetición aumenta al utilizar más de un atributo o al utilizar atributos menos evidentes (Figura 3).

Figura 3. Patrones de repetición con uno o más atributos (Fuente: Elaboración propia)

En los patrones recurrentes el número de elementos varía de un término a otro; el número de elementos aumenta, o disminuye, de forma progresiva a lo largo de los términos siguiendo una

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

57 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

determinada regla de formación. Los patrones recurrentes pueden ser geométricos o numéricos y tienen un nivel de dificultad mayor que los patrones repetitivos, por lo que están indicados para los cursos medios y altos de Educación Primaria. La dificultad de los patrones recurrentes se incrementa aumentando el número de elementos de cada término y la complejidad de la regla de formación (Figura 4).

Figura 4. Patrones recurrentes (Fuente: Elaboración propia)

5. Secuencia de tareas con patrones en Educación Infantil y Primaria

A continuación, se propone una secuencia graduada de tareas con patrones a realizar en Educación Infantil y Educación Primaria:

• Para los primeros niveles, Educación Infantil y 1º y 2º de Educación Primaria, se proponen tareas con patrones de repetición y el objetivo de aprendizaje es la formalización de patrones.

• Para los niveles superiores, 3º, 4º, 5º y 6º de Educación Primaria, se proponen tareas con patrones recurrentes y el objetivo de aprendizaje es la generalización de patrones.

El estudio de los patrones se realiza en estas etapas de forma espiral (Bruner, 1960): se introduce un concepto adaptado a las capacidades del estudiante y se trabaja con él de forma continua durante el mismo curso y en cursos posteriores, aumentando gradualmente su complejidad y abstracción. Con el currículo en espiral se refuerzan los conocimientos anteriores y los nuevos conocimientos se sustentan en ellos, manteniendo la jerarquía y las relaciones de los contenidos (Tabla 1).

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

58 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Patrón Objetivo Contenido Ed. Infantil

Ed. Primaria 1º 2º 3º 4º 5º 6º

Repetitivo Formalización de patrones

Un atributo X X X Más de un atributo X X Completar secuencias X

Recurrente Generalización de patrones

G. cercana y lejana X X X X Regla general X X X Proceso inverso X X Expresión algebraica X

Tabla 1. Carácter espiral del trabajo con patrones

Los patrones repetitivos se trabajan en Educación Infantil y en 1º y 2º de Educación Primaria. El objetivo en estos cursos es la formalización de patrones. Para ello, en Educación Infantil se trabajan de forma continua y permanente los patrones repetitivos con un solo atributo; en 1º de Primaria se continúa con un solo atributo y se añaden patrones con dos o más atributos; en 2º de Primaria además de los contenidos anteriores, se incorporan tareas en las que se ha de completar secuencias de patrones.

Los patrones recurrentes se estudian a partir del 3º curso de Educación de Primaria y tienen como objetivo la comprensión de la generalización de patrones. En 3º de Primaria se focaliza en la generalización cercana y lejana, en concreto en el número de elementos que aumenta en cada figura y en los elementos que permanecen constantes, es decir, en el patrón de crecimiento y en el término independiente; en 4º de Primaria se añade la expresión verbal y escrita de la regla general a partir de término independiente y del patrón de crecimiento estudiados en el curso anterior; en 5º de Primaria se incorpora, a los contenidos anteriores, la reversibilidad del proceso, es decir, hallar el término de la figura dado su número de elementos; y en el 6º curso se inicia la expresión simbólica o algebraica de la regla general, de esta manera, en el último curso se acumulan todos los contenidos de la generalización de patrones: generalización cercana y lejana, regla general, proceso inverso y expresión algebraica.

5.1. Educación Infantil

El objetivo del estudio de los patrones en Educación Infantil es reconocer, identificar, describir y extender patrones de repetición con diferentes materiales (bloques lógicos, palillos, botones,…), personas, acciones, sonidos, símbolos, letras, números,…

Para desarrollar la comprensión de patrones el maestro, además de proporcionar a los estudiantes experiencias continuas con patrones repetitivos, debe animarles a explorarlos y a extenderlos y a descubrir la regla de formación.

En la siguiente tarea, “Gusanos de colores”, los estudiantes crean patrones formando los anillos de un gusano con bloques de colores (Figura 5).

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

59 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Figura 5. Tarea “Gusanos de colores”. Educación Infantil (Fuente: Elaboración propia)

Para aumentar el nivel de complejidad del patrón y como tareas de ampliación se pueden trabajar con otros atributos como la forma o el tamaño de los anillos.

Tareas relacionadas:

• Patrones con niños: los niños de Educación Infantil son muy receptivos a participar en la formación de patrones en los que participen ellos mismos.

• Patrones con objetos manipulables: bloques lógicos, cuentas de collares, tarjetas, dibujos, botones, fichas, dados, pinturas…

• Patrones con sonidos: se pueden formar patrones muy variados con sonidos mediante canciones, rimas, juegos, adivinanzas…

5.2. Educación Primaria

1º Curso

Los estudiantes de 1º curso de Educación Primaria son capaces de identificar el núcleo de un patrón con dos o más atributos sencillos a la vez y extenderlo adecuadamente.

En este curso se inicia la representación simbólica del núcleo del patrón, mediante letras y números, mediante la inicial de cada atributo o un número que lo defina, y completan la secuencia total repitiendo varias veces el núcleo.

En la tarea seleccionada para este curso, “Los vagones del tren”, los estudiantes deben explorar una misma secuencia y obtener el núcleo del patrón en función de diferentes atributos (Figura 6).

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

60 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Figura 6. Tarea “Los vagones del tren”. 1º curso de Educación Primaria (Fuente: Elaboración propia)

Para los estudiantes más avanzados se puede aumentar la complejidad del patrón incluyendo más atributos; por ejemplo, en la tarea de “Los vagones del tren” se puede incluir como tercer atributo el color de los cristales de los vagones (claros y oscuros).

Tareas relacionadas

• Patrones con bloques lógicos: los bloques lógicos de Dienes proporcionan innumerables oportunidades para realizar este tipo de tareas, ya que cada una de las 48 piezas están definidas por cuatro atributos: color, forma, tamaño y grosor.

• Patrones con letras: a partir del núcleo se completa la secuencia y a partir de la secuencia se obtiene el núcleo.

• Patrones con números: los estudiantes pueden repetir secuencias numéricas que siguen una determinada regla de formación y descubrir el núcleo.

2º Curso

Los estudiantes de 2º de Educación Primaria, además de reconocer el núcleo del patrón y extenderlo, deben ser capaces de descubrir elementos ocultos y completar secuencias.

Se deben iniciar en este curso los patrones numéricos mediante secuencias numéricas que sigan una determinada pauta (de dos en dos, de tres en tres…) y se debe afianzar la representación simbólica de los elementos del patrón mediante letras o números.

En la siguiente tarea, “Las nubes de humo”, los estudiantes deben completar los colores de los elementos que faltan y representarlos simbólicamente (Figura 7).

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

61 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Figura 7. Tarea “Las nubes de humo”. 2º curso de Educación Primaria (Fuente: Elaboración propia)

Se puede aumentar el nivel de complejidad del patrón utilizando varios atributos (color, forma, tamaño, grosor, orientación…), ampliando el núcleo, colocando más nubes…

Tareas relacionadas:

• Patrones con objetos manipulables: bloques lógicos, cuentas de collar, tarjetas, botones, fichas, dados, pinturas,…

• Patrones con letras: los estudiantes descubren y escriben las letras que faltan en secuencias de letras con patrones repetitivos.

• Patrones numéricos: los estudiantes completan las secuencias numéricas en las que faltan determinados números.

3º Curso

En 3º curso de Educación Primaria se debe iniciar a los estudiantes en la identificación, descripción y creación de patrones recurrentes.

Es conveniente que el estudiante, cuando explore e investigue los patrones de crecimiento, explique los elementos que permanecen constantes y el número de elementos que aumenta en cada figura, es decir, el término independiente y el patrón de crecimiento o coeficiente.

En la tarea propuesta, “Las letras crecen y crecen”, se investiga sobre un patrón de crecimiento: el estudiante debe extender el patrón para términos cercanos y no muy lejanos (Figura 8).

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

62 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Figura 8. Tarea “Las letras crecen y crecen”. 3º curso de Educación Primaria (Fuente: Elaboración propia)

Los patrones recurrentes semejantes a los de la tarea “Las letras crecen y crecen” pueden adaptar su dificultad a las capacidades de los estudiantes aumentando o disminuyendo el número de sentidos en los que crece la figura, el número de colores empleados…

Tareas relacionadas

• Patrones con fichas, botones o figuras geométricas: pueden utilizarse en este tipo de materiales para formar figuras y aumentar, o disminuir su tamaño, utilizando varios atributos.

• Patrones numéricos: los números de elementos de cada figura forman secuencias y los estudiantes pueden buscar la regla de formación y extenderlos hasta un determinado límite.

• Patrones con tablas: los estudiantes pueden realizar tablas de valores con el número de las figuras y la cantidad de elementos de cada una de ellas; la elaboración de tablas puede facilitar la obtención de la regla de formación.

4º Curso

Los estudiantes de 4º curso, además de afianzar sus conocimientos sobre la identificación, descripción y extensión de los patrones recurrentes, deben descubrir una regla de formación del patrón.

El objetivo de este curso en la exploración de patrones es expresar verbalmente y por escrito una regla general que permita hallar el número de elementos de cualquier figura; el maestro debe recomendarles que expresen la regla en función del patrón de crecimiento y del término independiente.

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

63 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

En la tarea seleccionada, “Jugando con palillos”, los estudiantes forman con palillos diferentes figuras que van creciendo y deben establecer una relación entre el número de la figura y los palillos utilizados (Figura 9).

Figura 9. Tarea “Juagando con palillos”. 4º curso de Educación Primaria (Fuente: Elaboración propia)

Para adaptar la tarea a la capacidad de los estudiantes el maestro puede aumentar o disminuir la complejidad de la regla general variando el término independiente y el patrón de crecimiento y la complejidad de las figuras.

Tareas relacionadas

• Patrones numéricos: los elementos de cada figura forman series numéricas cuyo patrón de crecimiento deben explorar los estudiantes para extender las series.

• Patrones en tablas: los estudiantes deben buscar los criterios de formación en las tablas formadas por los términos de las figuras y sus elementos.

• Patrones en frisos, rosetones y mosaicos: los estudiantes se sienten muy motivados a descubrir los patrones geométricos que se repiten en frisos, rosetones y mosaicos.

5º Curso

Los estudiantes de 5º curso de Educación Primaria continúan avanzando en el estudio de los patrones recurrentes y reforzando la expresión de la regla general y empiezan a invertir el proceso.

El objetivo en este curso es invertir el proceso, es decir, hallar el término de una figura a partir del número de elementos que la forman. Este objetivo representa cierta dificultad para los estudiantes,

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

64 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

pero el maestro debe trabajarlo de forma progresiva de forma que los estudiantes descubran la relación suma-resta y multiplicación-división.

En la tarea recomendada para 5º curso, “Preparando el cumpleaños”, se relaciona el número de mesas con el número de sillas y, a la inversa, el número de sillas con el número de mesas (Figura 10).

Figura 10. Tarea “Preparando el cumpleaños”. 5º curso de Educación Primaria (Fuente: Elaboración propia)

Se puede aumentar o disminuir la dificultad de la tarea cambiando la forma de las mesas: triangular, trapezoidal, hexagonal…

Tareas relacionadas

• Patrones con tablas numéricas: la elaboración y la exploración de tablas numéricas facilitan a los estudiantes descubrir la regla de formación y extender las series numéricas.

• Patrones con series: los estudiantes se sienten especialmente motivados en la búsqueda del criterio de formación en series numéricas como la de Fibonacci o en triángulos numéricos como el de Pascal.

• Patrones con proceso inverso: las tareas con el proceso inverso pueden utilizarse para trabajar con los estudiantes la reversibilidad de las relaciones numéricas.

6º Curso

Los estudiantes de 6º curso de Educación Primaria, en la generalización de patrones de patrones recurrentes, trabajan patrones con más de un atributo y se inician en la expresión simbólica, o algebraica, de la regla general.

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

65 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

Para expresar algebraicamente la regla el maestro requerirá a los estudiantes que hallen el número de elementos de la figura n e intenten expresarlo mediante operaciones entre el término independiente y el patrón de crecimiento. La expresión algebraica de la regla debe surgir de forma espontánea y entendiendo el significado de la indeterminada n.

En la tarea “Juntando policubos” se van añadiendo cubos y los estudiantes expresan las reglas, directa e inversa, que relacionan el número de cubos de cada figura y el número de vértices y aristas (Figura 11).

Figura 11. Tarea “Juntando policubos”. 6º curso de Educación Primaria (Fuente: Elaboración propia)

La complejidad de las estructuras formadas con los policubos puede adaptarse fácilmente a las capacidades de los estudiantes

Tareas relacionadas:

• Patrones con poliminós: el estudio de estructuras formadas con poliminós es un recurso muy interesante en la exploración de patrones.

• Patrones con proceso inverso: el estudio del proceso inverso en los patrones recurrentes y la reversibilidad de las operaciones numéricas facilitan el desarrollo del pensamiento algebraico en cursos superiores.

• Patrones definidos algebraicamente: la expresión algebraica de la regla de formación de los patrones recurrentes favorece el desarrollo y la comprensión del lenguaje algebraico.

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria A. Zapatera Llinares

66 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

6. Consideraciones finales

Como hemos descrito en los apartados anteriores, numerosas investigaciones (Kaput, 2000, NCTM, 2000; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Kieran, 2004; Blanton y Kaput, 2005; Molina, 2006; Zapatera, 2015) fundamentan la introducción del pensamiento algebraico en Educación Infantil y Educación Primaria y consideran necesaria su introducción para que los alumnos puedan desarrollar con más garantías el álgebra en la Educación Secundaria. La comunidad docente debe tomar conciencia de ello y planificar tareas con patrones para desarrollar el pensamiento algebraico en sus clases de Infantil y Primaria.

La secuencia de tareas que se proponen en este trabajo, unas fundamentadas en investigaciones y otras adaptaciones de tareas que se han puesto en práctica, puede servir a los maestros para introducir el pensamiento algebraico en sus clases. Además, las tareas propuestas están diseñadas de forma gradual y permiten adaptarlas según las necesidades de los alumnos, añadiendo o eliminando variables y aumentando o disminuyendo la complejidad.

Bibliografía

Becker J. R., Rivera F. D. (2008). Generalization in algebra: the foundation of algebraic thinking and reasoning across the grades. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 40(1), 1-1.

Billings, E., Tiedt, T. & Slater, L. (2008). Research, Reflection, Practice: Algebraic Thinking and Pictorial Growth Patterns. Teaching Children Mathematics, 14(8), 302-308.

Blanton M. L. & Kaput J.J. (2005). Characterizing a classroom practice that promotes algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 412-446.

Bruner, J.S. (1960). The Process of Education. Harvard University Press. Cambridge: MA. Butto, C. & Rojano, T. (2010). Pensamiento algebraico temprano: el papel del entorno logo.

Educación Matemática, 22(31), 55-86. Callejo, M.L. & Zapatera, A. (2014). Flexibilidad en la resolución de problemas de identificación de

patrones lineales en estudiantes de educación secundaria. BOLEMA, 28(48), 64-88. Carpenter, T.P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003).Thinking mathematically: integrating arithmetic and

algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann. Carraher, D., Schliemann, A. & Brizuela, B. (2000), Early Algebra, early Arithmetic: Treating

Operations as Functions. Conferencia magistral presentada en el PME-NA. Tucson: AZ. Castro, E, Cañadas, M. C. & Molina, M. (2010). El razonamiento inductivo como generador de

conocimiento matemático. UNO, 54, 55-67. Decreto 124/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación

Primaria. Boletín Oficial del Estado. Madrid, España. Dreyfus, T (1991). Advanced mathematical thinking process. Mathematics Education Library, 11, 25-

41. García Cruz, J.A. (1998). El proceso de generalización desarrollado por alumnos de secundaria en

problemas de generalización lineal. Tesis Doctoral (no publicada). Universidad de la Laguna. Harel G. & Tall D. (1991). The general, the abstract, and the generic in advanced mathematics. For

the Learning of Mathematics, 11(1), 38-42. Kaput, J. (2000). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical

power by “algebrafying” the K-12 curriculum. Dartmouth, MA: National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science.

Kaput, J. & Blanton, M. (2001). Student achievement in algebraic thinking: A comparison of third-graders’performance on a state fourth-grade assessment. En R. Speiser, C. Maher, y C. Walter

Introducción del pensamiento algebraico mediante la generalización de patrones. Una secuencia de tareas para Educación Infantil y Primaria

A. Zapatera Llinares

67 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

(Eds.), Proceedings of the 23rd Annual Meeting of the Qorth American Chapter of the Psychology of Mathematics Education, 1, 99-108.

Kieran, C. (1989). A perspective on algebraic thinking. En G. Vernand, J. Rogalski y M. Artigue (Eds.), Proceedings of the 13th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 2,163-171. Paris: Laboratoire PSYDEE.

Kieran, C. (2004). Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is It? The Mathematics Educator, 18(1), 139-151.

Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE). Boletín Oficial del Estado. Madrid, España.

Mason, J. (1991). Supporting primary mathematics: Algebra. Milton Keynes, UK: Open University Press.

Mason, J. (1999). Incitación al estudiante para que use su capacidad natural de expresar generalidad: las secuencias de Tunja. Revista EMA, 4(3), 232-246.

Molina, M. (2006). Desarrollo de pensamiento relacional y comprensión del signo igual por alumnos de tercero de educación primaria. Tesis Doctoral. Universidad de Granada. España.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

Pólya, G. (1954). Patterns of Plausible Inference. Princeton: Princeton University Press. Radford, L. (2011). Embodiment, perception and symbols in the development of early algebraic

thinking. En B. Ubuz (Ed.). Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, 17-24. Ankara, Turkey: PME.

Radford, L. (2014). The progressive development of early embodied algebraic thinking. Mathematics Education Research Journal, 26, 257-277.

Rivera, F.D. (2010). Second grade students’ preinstructional competence in patterning activity. En Pinto, M.F. y Kawasaki, T.F. (Eds.). Proceedings of the 34th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, 81-88. Belo Horizonte, Brazil: PME.

Socas, M. (2011). La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. Aportaciones de las investigaciones. Números, 77,5-34.

Stacey, K. (1989). Finding and using patterns in linear generalising problems. Educational Studies in Mathematics, 20(2), 147-164.

Warren, E. (2005). Young children’s ability to generalise the pattern rule for growing patterns. En Chick, H.L. y Vincent, J.L. (Eds.).Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, 305-312. Melbourne: PME.

Warren, E., & Cooper, T. (2006). Using repeating patterns to explore functional thinking. APMC, 11(1), 9-14

Zapatera, A. & Callejo, M.L. (2011). Nivel de éxito y flexibilidad en el uso de estrategias resolviendo problemas de generalización de pautas lineales. En M. Marín, G. Fernández, L.J. Blanco y M. Palarea (Eds.), Investigación en Educación Matemática XV, 351-360. Ciudad Real: SEIEM.

Zapatera, A. & Callejo, M. L. (2013).Preservice primary teacher’s noticing of students’ generalization process En Lindmeier, A. M. y Heinze, A. (Eds.). Proceedings of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, 425-432. Kiel, Germany: PME.

Zapatera, A. (2015). La competencia mirar con sentido de estudiantes para maestro (EPM) analizando el proceso de generalización en alumnos de Educación Primaria. Tesis doctoral. Universidad de Alicante

Alberto Zapatera Llinares. Profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Cardenal Herrera-CEU (Elche). Sus líneas de investigación se centran en el pensamiento algebraico y el desarrollo profesional del profesor de matemáticas. Email: alberto.zapatera@uchceu.es

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 69-82

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

Coordinadora: M

aría del Carm

en García G

onzález

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas

Juan Francisco Hernández Rodríguez (Colegio Hispano Inglés. España)

Resumen En este artículo mostraré cómo el enfoque flipped ha cambiado mi forma de impartir clases en el aula, convirtiéndola en un espacio en el que se llevan a cabo dinámicas y actividades atractivas de matemáticas; a la vez que mostraré herramientas digitales que han propiciado este cambio y cómo podemos incorporarlas.

Palabras clave Flipped, proyectos, cooperativo, aprendizaje, enfoque

Abstract In this article I will show how Flipped Learning has changed the way I teach, turning the classroom into a dynamic space where we can take part in engaging math exercises. At the same time, I will show different software tools that have helped me in this journey, as well as how to make the best use out of them.

Keywords Flipped classroom, projects, cooperative learning, project based learning, problem based learning

1. Introducción

El Flipped Classroom es un modelo pedagógico que transfiere el trabajo de determinados procesos de aprendizaje fuera del aula y utiliza el tiempo de clase para facilitar y potenciar otros procesos de adquisición y práctica de conocimientos dentro de la misma. “Flippear” una clase es mucho más que la edición y distribución de un video. Se trata de un enfoque que pretende dinamizar las actividades que hacemos en clase, y, en mi caso, crucial para hacer viable el trabajo cooperativo y el trabajo por proyectos. En este sentido, he de reconocer que sí, ahora mismo, puedo dedicar tiempo en el aula a trabajar por proyectos es gracias a que he trasladado las “clases magistrales” fuera del aula, si no, al menos para mí, sería inviable; debo aclarar que cuando indico que los estudiantes ven las explicaciones de matemáticas en casa con posterioridad tiene lugar en clase el correspondiente feedback que me permite conocer el aprendizaje que los estudiantes han adquirido con los vídeos. Y la mejor manera de mostrarlo es viendo algunos ejemplos reales de lo que hacemos en el aula:

Ejemplo 01: Trabajo cooperativo Ejemplo 02: Voy a hacerle una oferta flipped que no podrá rechazar

Ejemplo 03: Curación de contenido. Ejemplo 04: Desde lo alto de estas pirámides, 40 siglos nos contemplan.

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

70 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A Ejemplo 01: TRABAJO COOPERATIVO

Desde hace varios años los alumnos de 4º de la eso y bachillerato vienen trabajando bajo el enfoque flipped. Una de las ventajas de dicho modelo es, como ya comenté antes, que facilita llevar al aula las técnicas de aprendizaje colaborativo.

La cooperación consiste en trabajar juntos para alcanzar unos objetivos y metas comunes que de forma individual sería imposible. Además, convierte a los estudiantes en protagonistas de su propio aprendizaje. En una situación cooperativa, los alumnos procuran obtener resultados que sean beneficiosos para ellos mismos y para todos los miembros del grupo. Trabajan en grupos reducidos en los que se afanan juntos para maximizar su propio aprendizaje y el de los demás. Este método contrasta con el aprendizaje competitivo, en el que cada alumno, de forma individual, trabaja en contra de los demás para alcanzar objetivos escolares tales como una calificación de “10” que sólo uno o algunos pueden obtener. Por tanto, una de los beneficios del cooperativo es que no es un aprendizaje aislado (en el que los estudiantes trabajan por su cuenta para lograr metas de aprendizaje desvinculadas de las de los demás alumnos).

Los grupos de aprendizaje cooperativo son de cuatro/cinco alumnos. Una vez están formados los grupos procuraremos que cada alumno tenga en su mesa la hoja de trabajo colaborativo (son los folios que aparecen en color en la Ilustración 4 e Ilustración 5), el libro, el cuaderno o el material que sea necesario para llevar a cabo la actividad o ejercicios destinados para la sesión lectiva.

A cada alumno del grupo le asigno un número. Se procura que el número de alumnos sea el mismo en todos los equipos. Como se puede observar en la Ilustración 1, Ilustración 3 y la Ilustración 5.

Ilustración 1 Ilustración 2

Durante la sesión de clase se facilita el trabajo que debe realizar cada uno de los grupos. Pero cada estudiante del grupo debe conocer perfectamente la resolución de la actividad pues puede ser seleccionado para exponer las conclusiones y su forma de resolverlo repercutirá en la calificación de todos los miembros del grupo.

Al terminar la sesión lectiva, un alumno extrae por sorteo un papelito de los 4 (o 5) que hay en una bolsa. Así, si en la clase hay cinco equipos y el alumno ha dicho el número 2, recojo la ficha, cuaderno… del número 2 de cada grupo. Y procedo de la siguiente forma: La nota del alumno con el

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

71 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 97 marzo de 2018

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

número 2 será la misma para todos los integrantes de cada equipo. De hecho, la ficha que recojo para corregir tendrá el nombre de todos los componentes del equipo.

Durante la sesión de clase mi rol como profesor consiste en guiar, acompañar, animar, a fomentar el aprendizaje y a aclarar las dudas que durante la actividad vayan surgiendo. He de añadir que, con la finalidad de crear un ambiente agradable de trabajo, suelo poner música….

He comprobado que el concepto de tiempo en el aula se transforma por completo, ya que se les pasa volando y son los alumnos los que aprenden entre sí, lo que me permite poder atender mejor a los que más dificultades tienen, preguntarles individualmente y que puedan expresar lo que están haciendo sin la tensión del resto del grupo, que planteen sus dudas, orientarles en la realización de los ejercicios, revisar sus cuadernos, ...

Beneficios que he visto para los alumnos:

- Cada alumno aprende a cooperar con el resto de compañeros.

- Todos los compañeros trabajan para un fin común y no individual.

- Promueve la ayuda en beneficio del grupo.

- Adquieren un tipo de responsabilidad no individual, sino grupal.

- Trabaja bajo la presión del tiempo.

- Aprenden que una actividad de aprendizaje cooperativo es una actividad evaluable.

Ilustración 3 Ilustración 4

Ilustración 5

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

72 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A Ejemplo 02: Voy a hacerle una oferta flipped que no podrá rechazar

Una forma distinta de tratar los logaritmos en 4º de la ESO.

El proceso que seguimos fue el siguiente:

Los alumnos en casa ven las clases teóricas sobre este tema en video. Para cerciorarme de que lo han visto y entendido, utilizo la plataforma Edpuzzle que me posibilita hacer feedback pues permite convertir cualquier video en una lección educativa ya que puedo añadir preguntas abiertas o test a lo largo del mismo.

Ilustración 6 Ilustración 7

Además, como apoyo a estas vídeo-lecciones de matemáticas, cuentan con los videos que están alojados en la web www.estosientraenelamen.com

Transferir parte del trabajo de aprendizaje fuera del aula, me permite utilizar el tiempo de clase para realizar otras actividades más atractivas y dinámicas; de hecho, esta es la esencia de este enfoque.

Así, por ejemplo, en clase trabajamos el “Problema del Ariane-5” (Ilustración 8) cuyo enunciado es el siguiente:

Ilustración 8

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

73 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 97 marzo de 2018

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

En el despegue, el ruido producido por los potentes motores de Ariane-5 alcanza niveles de intensidad de 180 dB. Esta es una de las razones por las que hay un perímetro de seguridad de 10 km alrededor de la plataforma de lanzamiento. Otras razones son, por ejemplo, los gases tóxicos o la posibilidad de un fallo durante el despegue. NOTA: dB = 10log(I/Io)

a) ¿Cuál es la intensidad de las ondas de sonido en W/m2?

b) ¿Cuánta gente tendría que hablar a la vez para producir la misma energía?

Se les adjunta una escala de decibelios.

Y “¿Qué le pasa a un logaritmo cuando se mira al espejo?”(Ilustración 9) actividad consistente en comprobar que la función logaritmo en base a es la inversa de la exponencial en base a. Gráficamente, esto puede observarse en el hecho de que las gráficas de las funciones logaritmo en base a y exponencial de base a son simétricas respecto a la recta y=x (el espejo en este caso)

Ilustración 9 Ilustración 10

Y del “El logaritmo que me salvó la tesis”( Ilustración 10), actividad en la que pudimos comprobar que, gracias a que el logaritmo transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla, podemos trabajar con números muy grandes y encontrar, de una manera sencilla, la relación existente entre distintas magnitudes.

Y pudimos, además, hacer unos Socrative (aplicación que gestiona la participación de los estudiantes en el aula en tiempo real y permite realizar test, evaluaciones, actividades, etc. y manejar los datos por el docente) de forma cooperativa para hacer una retroalimentación. (Ilustración 12).

Además de unos Kahoots (aplicación de gamificación que permite la creación de cuestionarios de evaluación para reforzar el aprendizaje)(Ilustración 13).

Y todo ello regado con buena música mientras trabajan, (Ilustración 11).

Ilustración 11

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

74 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A

Ilustración 12

Ilustración 113

Además, hago un feedback en el que los alumnos, de forma anónima, valoran esta forma de trabajar en el aula de forma muy positiva (Ilustración 14),

Ilustración 12

Ejemplo 03: Curación de contenido.

Los que nos hemos volcado con el enfoque flipped acabamos, más tarde o más temprano, creando contenidos. Pero esto no implica que no hagamos también curación de los mismos. La curación de contenidos consiste en buscar, encontrar y seleccionar los contenidos e informaciones relevantes para los estudiantes (en general para cualquier colectivo) y se enmarca en una estrategia de aportar valor separando el grano de la paja en lo que se conoce como flujo de información o infoxicación. El sentido detrás de todo esto reside en mejorar la capacidad de asimilación de información por parte de los alumnos.

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

75 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 97 marzo de 2018

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

No podemos, pues, desperdiciar la ingente cantidad de buenos materiales que hay en la red. En este sentido, los profesores somos como los discs jockey que seleccionan y mezclan las mejores pistas de música grabada propia o de otros artistas.

Curar contenidos educativos es, por tanto, una competencia digital más que forma parte de nuestro rol docente.

En mi caso, al trasladar la clase magistral a casa, me permite dedicar un tiempo a esta actividad dentro del aula en la que me preocupo de buscarles videos que le despierten el interés por las matemáticas (y la física), que les muestre su belleza y su utilidad. Así, semanalmente les proyecto uno o dos videos de divulgadores de referencia que cumplen esta función:

- Eduardo Sáenz de Cabezón (@edusadeci) que se asoma en mi clase para hablarnos del increíble problema del conejo bajo la cuerda(Ilustración 15).

- Javier Santaolalla (@JaSantaolalla) que se asoma en mi clase para hablarnos de los experimentos actuales más bestias del mundo(Ilustración 16).

- Dedicar el tiempo a charlas que son indispensables que vean en secundaria y bachillerato, como, por ejemplo, Eva Poveda, investigadora del VIH, que se asoma en mi clase para insistirnos en la necesidad de no bajar la guardia ante el riesgo de contagio(lustración 17).

Ilustración 13 Ilustración 14

Ilustración 15

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

76 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A El modelo flipped classroom defiende y aboga por la personalización del aprendizaje y convertir

el aula en un espacio en el que los estudiantes puedan aprender matemáticas no solo ellos mismos, sino también con compañeros y con el profesor. Es, en definitiva, un modelo pedagógico más social, más inclusivo, más personal y, por eso mismo, permite que podamos hacer actividades de curación de contenido dentro de las matemáticas que de otra forma sería impensable.

Ejemplo 04: Desde lo alto de estas pirámides, 40 siglos nos contemplan.

Con la clase invertida el tiempo para las actividades de matemáticas aumenta considerablemente ya que el aprendizaje no solo se lleva a cabo en el aula, sino que gracias a que los alumnos han preparado las clases previamente en casa, disponemos de más tiempo del que tendríamos si las clases fuesen tradicionales. Esto hace posible desarrollar proyectos de la envergadura del que voy a explicar en este apartado y que lo desarrollamos de forma conjunta con el Colegio Americano de Tabasco, de tal manera que lo que hicimos fue compartir e intercambiar proyectos:

Los proyectos que se intercambiaron fueron los siguientes:

• Poliedros. Autor: Juan Francisco Hernández Rodríguez.

• Análisis de estructuras piramidales. Autor: Abigail S. Trujillo Hernández.

Durante este tiempo, además, tuvimos la ocasión de intercambiar impresiones a través de Skype.

En palabras de la profesora del colegio Americano, Abigail Trujillo: “Con este trabajo se buscó fortalecer el pensamiento crítico en los alumnos mediante el uso de herramientas digitales y la aplicación de los conceptos vistos en la clase de geometría analítica. En los trabajos presentados por los alumnos, se mostraron tablas para comparar diferentes datos, como pendientes, ángulos, alturas, todos estos analizados con el programa de geogebra.

Uno de los requisitos de este proyecto es que tenían que realizar todo el trabajo en el colegio de forma cooperativa (Ilustraciones 18 a 23):

Ilustración 16

Ilustración 17

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

77 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 97 marzo de 2018

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

Ilustración 18 Ilustración 19

Ilustración 20 Ilustración 21

Esto sólo es posible desde el enfoque flipped pues, para no perder el ritmo de los contenidos que hay que impartir, en casa seguían las clases magistrales. (Ilustración 24)

Ilustración 22

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

78 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A Durante esa semana vieron los videos de: Vectores con Geogebra, Ecuaciones de la recta con

Geogebra, Combinación lineal de vectores, Bisectriz e incentro y Circunferencia de nueve puntos. Y en clase trabajaron de forma intensa con Geogebra (Ilustraciones 25 a 28):

Ilustración 23 Ilustración 24

Ilustración 25 Ilustración 26

Al terminar la misma presentaron como producto final un video en el que explicaban de forma detallada cómo lo habían elaborado y a qué conclusiones habían llegado. (Ilustración 29) .

Ilustración 27

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

79 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 97 marzo de 2018

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

Y los compartimos con los alumnos de México(Ilustración 30 y 31).

Ilustración 28 Ilustración 29

De la misma forma, nosotros en clase vimos sus trabajos (Ilustración 32).

Ilustración 30

Este proyecto no solo constituye una experiencia más en la enseñanza de las matemáticas, sino que representa una muestra de que los límites físicos no existen y que el trabajo cooperativo entre docentes brinda resultados muy satisfactorios. Al trabajar en este intercambio se vivió de manera directa las estrategias colaborativas, lo que permitió una mejora en el desarrollo de las habilidades cognitivas y sociales de los alumnos. Para lograrlo se utilizaron herramientas digitales, tales como: la plataforma padlet para la muestra de trabajos, recursos del flipped classroom para orientar a los estudiantes, y Skype para establecer vínculos de comunicación en tiempo real.

Uno de los principales beneficios obtenidos en este proyecto fue que, los alumnos no sólo trabajaron para obtener una nota alta dentro de la clase, ahora ellos querían trabajar a su máxima capacidad para poder mostrarle a sus pares de la otra escuela de lo que son capaces de crear.

El aprendizaje temático fue más allá de memorizar datos o realizar cálculos, pues fueron capaces de aplicar los conceptos estudiados en geometría analítica para fortalecer el pensamiento crítico y proponer hipótesis respecto a la semejanza entre pirámides. Con las actividades de poliedros/pirámides, no solo se trabajó en la investigación como un “copy-paste” de internet, sino que los alumnos reflexionaron sobre su aplicación en la vida real ya sea como parte de piezas de arte o como creaciones

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

80 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A de la naturaleza en algún organismo en el caso de los poliedros o hicieron un estudio detallado como

fue el caso de las pirámides.

La Ilustración 33 es una captura de pantalla del video en el que puede escuchar la opinión de los alumnos sobre este trabajo. Y la Ilustración 34 es la profesora Abigail hablando en el CIBEM de este proyecto.

Ilustración 31 Ilustración 32

En conclusión, este enfoque hace que los procesos cognitivos que generamos en nuestras aulas se vuelvan más significativos y facilita que el alumno sea parte importante del proceso de aprendizaje.

Webgrafía

Ejemplo 1. Referencia en la web:

Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2016). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.estonoentraenelexamen.com/ : https://www.estonoentraenelexamen.com/2016/09/08/tecnica-de-trabajo-cooperativo/

Ejemplo 2. Referencia en la web:

Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2017). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.theflippedclassroom.es/ :http://www.theflippedclassroom.es/voy-a-hacerle-una-oferta-que-no-podra-rechazar/

Ejemplo 3. Referencia en la web:

Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2018). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.theflippedclassroom.es/ : https://www.theflippedclassroom.es/bien-sabe-cuando-esta-bien-curado/

Ejemplo 4. Referencia en la web:

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

81 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 97 marzo de 2018

E X

P E R

I E N

C I A

S D E A

U L

A

Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2017). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.theflippedclassroom.es/ : https://www.theflippedclassroom.es/desde-lo-alto-de-estas-piramides-40-siglos-nos-contemplan-bonaparte/ Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2016). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.estonoentraenelexamen.com/ : https://www.estonoentraenelexamen.com/2016/11/25/los-alumnos-evaluan-mi-desempeno/ Creación de contenidos: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2018). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.estonoentraenelexamen.com/ : https://www.estonoentraenelexamen.com/2018/01/30/500-videos/ Disc jockey de las matemáticas: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2017). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.theflippedclassroom.es/ : https://www.theflippedclassroom.es/soy-un-disc-jockey-de-las-matematicas/ Competencia digital: http://educalab.es/documents/10180/12809/MarcoComunCompeDigiDoceV2.pdf Colegio Americano de Tabasco: https://www.cat.edu.mx/ Referencia en la web sobre el Colegio Hispano Inglés: Colegio Hispano Inglés: http://www.colegio-hispano-inglés.es/es/ Referencia en la web sobre el trabajo presentado por los alumnos: https://www.dropbox.com/s/o506v143xdh6ri7/Pir%C3%A1mide%20equipo%20M%C3%A9xico-1.pdf?dl=0 Referencia en la web sobre el trabajo de las pirámides por los alumnos: https://www.youtube.com/watch?v=L9lca2E5VlU https://www.youtube.com/playlist?list=PLSkDhJOWz-5tTFkrrMPOBb4bq5FQfbOH5 Referencia en la web sobre el visionado en clase del trabajo realizado por los alumnos mexicanos: https://www.youtube.com/watch?v=kf-l1GHOrsc&t=46s Referencia en la web de la profesora Abigail Trujillo relatando el proyecto conjunto en el CIBEM2017: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2017). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de Youtube : https://www.youtube.com/watch?v=mscfBmJ2VV0&t=11s Referencia en la web de la opinión de los alumnos sobre el trabajo de las pirámides: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2017). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de Youtube : https://www.youtube.com/watch?v=TAgLEST7IRw Referencia en la web sobre las colaboraciones, ponencias y cursos: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2018). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.estonoentraenelexamen.com/ : https://www.estonoentraenelexamen.com/colaboraciones-ponencias/ Mis blogs: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2018). Santa Cruz de Tenerife. https://www.estonoentraenelexamen.com/ http://www.estosientraenelexamen.com/ YouTube Otras referencias: Hernández Rodríguez, Juan Francisco (2018). Santa Cruz de Tenerife. Extraído de https://www.estonoentraenelexamen.com/ :https://www.estonoentraenelexamen.com/2017/11/05/50-entradas-the-flipped-classroom/ https://www.estonoentraenelexamen.com/2017/11/10/50-entradas-flipped-estonoentraenelexamen/ https://www.estonoentraenelexamen.com/2017/09/27/top17fc-genially_es-todas-las-entrevistas/

Ejemplos de proyectos flipped en matemáticas J. F. Hernández Rodríguez

82 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A

Juan Francisco Hernández Rodríguez es desde 1988 profesor de física y matemáticas en el Colegio Hispano-Inglés y actualmente jefe de ambos departamentos. Trabaja desde el enfoque flipped que le permite llenar el tiempo en el aula de actividades más atractivas y dinámicas. Es copromotor e impulsor de las web estonoentraenelxamen, estosientraenelxamen y de la app dedicada a Flipped Classroom junto con su amigo Pablo Arteaga. Editor en Flipped Classroom. Ponente en varios congresos de Metodologías activas de aprendizaje. Premio a la mejor experiencia Flipped en el II Congreso Europeo sobre Flipped Classroom. "Estonoentraenelexamen.com" es Premio CSIC-Canarias 2013 a la mejor innovación educativa. Accésit en la I Edición del Premio a las Buenas Prácticas en Gestión Educativa impulsado por el Foro de Educación del Club Excelencia en Gestión.

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 83-91

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

M U

N D

O G

E O

G E

B R A

C

oordinador: Carlos U

eno

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función trigonométrica 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra

Stephanie Díaz Urdaneta Rafael E. Gutiérrez

Rafael E. Luque (Asociación Civil “Aprender en Red”; Universidad del Zulia. Venezuela)

Fecha de recepción: 14 de mayo de 2017 Fecha de aceptación: 25 de septiembre de 2017

Resumen En este trabajo se describe el diseño de una secuencia instruccional sobre el tema de la función trigonométrica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 utilizando GeoGebra. Esta secuencia se fundamenta en la teoría de la instrumentación, en la cual la actividad matemática se sustenta y organiza en torno al uso de instrumentos que facilitan el aprendizaje. La metodología empleada se basa en un experimento de enseñanza, un tipo de investigación basada en diseño que busca establecer un modelo de aprendizaje local de un tópico matemático, mediante una trayectoria hipotética de aprendizaje. La secuencia instruccional se desarrolla en tres momentos que consisten en el abordaje de la definición de la razón tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo y en la circunferencia trigonométrica, finalizando con el tránsito desde el concepto de razón a función tangente.

Palabras clave Secuencia instruccional, experimento de enseñanza, función trigonométrica, instrumentación, GeoGebra.

Title Didactic proposal on the topic of the trigonometric function 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 with GeoGebra software

Abstract In this paper we describe the design of an instructional sequence about the trigonometric function 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 with GeoGebra. This sequence is based on the theory of instrumentation, in which the mathematical activity is sustained and organized around the use of instruments that facilitate the learning. The methodology used is based on a teaching experiment, a type of design investigation that seeks to establish a local learning model of a mathematical topic, through a hypothetical learning trajectory. The instructional sequence consists of three moments in which we work the definition of the tangent ratio of an angle in a right triangle and in the trigonometric circumference, finishing with the transit from the ratio concept to the tangent function.

Keywords Instructional sequence, Teaching experiment, Trigonometric function, Instrumentation, GeoGebra.

1. Introducción

Las funciones reales constituyen uno de los contenidos matemáticos que se estudian en diversos países en los niveles de la educación media. La utilidad de este concepto es notable por su presencia en el estudio de algunas áreas de la Matemática y ciencias afines; por tal motivo, se considera

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

84 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

necesario que los estudiantes comprendan dicho concepto matemático, lo que supone que estos sean capaces de relacionar las distintas representaciones desde las cuales es posible su abordaje. Sin embargo, la enseñanza de las funciones reales en los últimos años se ha caracterizado por un enfoque más algebraico, dejando de lado el trabajo con las representaciones gráficas y tabulares, en algunos casos (Rezende, Pesco y Bortolossi, 2012). En particular, este hecho ha generado en los estudiantes serias dificultades para establecer relaciones entre las representaciones de una función real (Guzmán, 1998), y en consecuencia una comprensión limitada de este tópico.

No obstante, González (2011) plantea que el estudio de las funciones en sus distintas representaciones no es una tarea sencilla de realizar. Esta situación se acrecienta al trabajar con funciones reales que, por su naturaleza, demandan de los estudiantes conocimiento de otros objetos matemáticos. Tal es el caso de las funciones trigonométricas, las cuales, además de presentar las dificultades propias de un abordaje algebraico de las funciones, heredan el problema de la enseñanza de una trigonometría caracterizada por la manipulación de símbolos, operaciones y propiedades abstractas que no ayuda a la comprensión de los conceptos y propiedades, ni a establecer relaciones entre las diferentes representaciones (Fiallo, 2010). Una causa de esto puede radicar en el uso de un medio estático tradicional (lápiz y papel) que limita el trabajo de los profesores al abordar este contenido en las demás representaciones.

Sin embargo, estas dificultades pueden ser trascendidas por medio de las tecnologías digitales, cuyos usos especiales parecen favorecer el desarrollo de habilidades para la coordinación de las representaciones gráficas, simbólicas y tabulares de las funciones, potenciando así las capacidades de exploración, visualización y simulación matemática en los estudiantes (Artigue, 2012). En la actualidad, existen diversos programas que son utilizados en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, entre estos el GeoGebra. Este software se caracteriza por ser un Sistema de Álgebra Computacional (CAS) y un Software de Geometría Dinámica (DGS) simultáneamente, lo que hace de este un programa con mayor impacto en cuanto a su uso en las clases de Matemática (Hohenwarter y Jones, 2007).

Vale resaltar que el GeoGebra es un software libre, accesible desde cualquier sistema operativo (Windows, Linux, entre otros), utilizado en más de 80 países y traducido a más de 60 idiomas, incluyendo el español. En este punto, el GeoGebra representa un medio eficaz que permite a los estudiantes relacionar las distintas representaciones de las funciones trigonométricas, tal y como se evidencia en algunas investigaciones referidas a las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sen𝑥𝑥 y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥, con el uso de este medio tecnológico (Demir, 2012; González, 2011).

Con el propósito de contribuir a la producción de trabajos vinculados a la enseñanza de las funciones reales con tecnologías digitales, en esta investigación se describe el diseño de una secuencia instruccional para el abordaje del tema de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 utilizando el GeoGebra.

2. Referentes teóricos

La investigación se desarrolla en base a la teoría de la Instrumentación de Rabardel (2001), en la cual se diferencia entre un artefacto y un instrumento. La diferencia entre ambos términos radica en que el segundo es la conjunción del artefacto y las habilidades necesarias para concebirlo; el proceso para transformar un artefacto en un instrumento se denomina génesis instrumental. El proceso de génesis instrumental se desarrolla, a su vez, a través de dos sub-procesos denominados instrumentalización e instrumentación. En el primer caso, el sujeto se familiariza con las propiedades y características del artefacto que usará en la actividad matemática, entendiéndose este proceso básicamente como un periodo de adaptación del sujeto al uso del artefacto en cuestión. En el caso de la instrumentación, el sujeto se dedica a construir esquemas de uso del artefacto, en función de sus

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

85 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

M U

N D

O G

E O

G E

B R A

necesidades y de lo que se requiera en la actividad matemática; en este sub-proceso, el componente social juega un papel importante para la construcción de los esquemas de uso por parte de uno o varios sujetos que participen en determinada actividad.

En este trabajo, el GeoGebra representa el artefacto, el cual se convierte en instrumento cuando el estudiante lo utiliza con una intención específica (cuando construye sus propios esquemas de uso), como, por ejemplo, dar respuesta a las tareas planteadas en la secuencia instruccional que se presenta en este trabajo. En base a la teoría de la instrumentación, se tiene que el software utilizado influye no solo en la manera de actuar, sino también en la manera de pensar del usuario. De esta forma, los estudiantes que se involucran en la teoría, desarrollan esquemas mentales en los cuales sus propios conceptos matemáticos y las técnicas empleadas están interrelacionadas.

3. Metodología

Este trabajo tiene como enfoque metodológico la Investigación Basada en Diseño. Este enfoque se caracteriza por ser primordialmente cualitativo, desarrollado dentro de las “Ciencias del Aprendizaje”, abarcando un amplio campo multidisciplinario: la antropología, la psicología educativa, la sociología, la neurociencia y las didácticas específicas, entre otros (Confrey, 2006; Sawyer, 2006).

En las investigaciones basadas en el diseño se enmarcan los “experimentos de enseñanza”, en los cuales se diseñan secuencias instruccionales de enseñanza donde participan un investigador-docente, uno o más estudiantes y uno o más investigadores-observadores (Steffe y Thompson, 2000). El tiempo de duración de este estudio es variable, puede durar días, meses o años y el ambiente de trabajo puede desarrollarse en laboratorios, en las aulas de clase o en espacios amplios de aprendizaje (Molina, Castro, Molina y Castro 2011).

La metodología sugerida por Molina, Castro, Molina y Castro (2011), tiene la finalidad de establecer un modelo del aprendizaje de los estudiantes en relación a un contenido matemático específico, como resultado de las situaciones e interacciones planificadas por el equipo de la investigación. Se pretende una integración del docente e investigador en los espacios donde se lleve a cabo dicha investigación, con la intención de que este último pueda experimentar el aprendizaje y razonamiento de los estudiantes en el momento de la aplicación del experimento. En concreto, la característica principal de los experimentos de enseñanza es la ruptura de la diferencia entre el investigador y el docente; se busca entonces que el sujeto investigador participe activamente en los procesos educativos, a fin de obtener información de primera mano.

En el desarrollo de los experimentos de enseñanza se distinguen las tres fases siguientes (Cobb y Gravemeijer, 2008):

• Fase 1. Preparación del experimento: en esta fase se definen los propósitos del experimento y los contenidos a ser abordados, las actividades y tareas a ser resueltas y una “trayectoria hipotética de aprendizaje” por la cual puede producirse el aprendizaje tras resolver las actividades.

• Fase 2. Experimentación para promover el aprendizaje: en esta fase se llevan a cabo las interacciones entre los participantes del experimento con los contenidos, las actividades, las herramientas y el formador.

• Fase 3. Análisis retrospectivo de los datos: en este caso se analizan los datos recopilados de la fase 2 del experimento. En muchas ocasiones, este análisis conduce a realizar cambios en las actividades planteadas y en la trayectoria hipotética de aprendizaje.

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

86 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

En la figura 1, tomada de Molina, Castro, Molina y Castro (2011), se ilustran las acciones a realizar en cada una de las fases de un experimento de enseñanza:

Figura 1

4. El experimento de enseñanza propuesto

El experimento de enseñanza que se propone en este trabajo se titula “Función trigonométrica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 usando GeoGebra”. Dado que en este trabajo se presenta el diseño de una secuencia instruccional, solo se hará énfasis en la fase 1 del experimento de enseñanza.

El propósito de aprendizaje y los contenidos

Con el desarrollo de este experimento se busca caracterizar el aprendizaje de los estudiantes en cuanto a las características, propiedades y representaciones de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 utilizando el GeoGebra. Los contenidos seleccionados para el experimento están relacionados con la definición de la función tangente, sus distintas representaciones, propiedades y características principales.

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

87 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

M U

N D

O G

E O

G E

B R A

Las actividades y los recursos

Para este experimento se han diseñado dos tipos de actividades, denominadas: Instrumento Diagnóstico y Sobre la función tangente. La primera actividad consta de ocho preguntas referidas a aspectos generales de las funciones reales que los estudiantes deben contestar; con ello se busca saber en qué nivel se encuentran los participantes en relación a estos aspectos.

A continuación, se muestran las ocho preguntas referidas a la primera actividad del experimento de enseñanza:

1. Define, con tus propias palabras, el seno, el coseno y la tangente de un ángulo:

2. ¿En cuál de los tres triángulos que se muestran en la siguiente figura es posible establecer las razones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo 𝛼𝛼? Justifica tu respuesta. Para el triángulo seleccionado, establece las razones trigonométricas anteriores para el ángulo 𝛼𝛼 en función de los lados de dicho triángulo:

3. ¿Cuál de estos diagramas representa una función? Justifica tu respuesta:

4. Sea la función 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 2. ¿Cuáles son las variables que intervienen en esta función? ¿Puedes encontrar relación

entre éstas? Justifica tu respuesta:

5. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

Función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥2 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2/𝑥𝑥 ℎ(𝑥𝑥) = √9𝑥𝑥 − 2 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥

Dominio Recorrido

6. Representa gráficamente las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −8𝑥𝑥 + 3/2, ℎ(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 1 y 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥

7. En la siguiente figura se ilustra la gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥. ¿Cuántos puntos máximos y mínimos puedes identificar en esta gráfica? Para los puntos que identifiques, señala cuáles son máximos o mínimos:

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

88 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

8. Apoyándote en la respuesta a la pregunta anterior, define los puntos máximos y mínimos de una función con tus propias palabras

La segunda actividad del experimento de enseñanza comprende dos tareas sobre las características y propiedades de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 que los estudiantes deben resolver utilizando el software GeoGebra.

La trayectoria hipotética de aprendizaje

Una caracterización pertinente del aprendizaje en los estudiantes, en cuanto a las propiedades y representaciones de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 utilizando el GeoGebra, supone evidenciar que los aprendices:

• Utilizan el GeoGebra como medio para analizar el comportamiento de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =tan𝑥𝑥 al momento de graficar ésta en lápiz y papel.

• Utilizan el GeoGebra para deducir la expresión general de las asíntotas de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =tan𝑥𝑥 en el momento de establecer su dominio.

• Comunican eficientemente la solución a las tareas propuestas, argumentando sus acciones y decisiones sobre la base de la teoría y el uso del GeoGebra.

5. La secuencia instruccional

La secuencia instruccional se lleva a cabo en tres momentos, los cuales se describen a continuación:

Momento 1. Razón tangente en un triángulo rectángulo

En este momento se busca definir la razón tangente en un triángulo rectángulo. Para ello se inicia la secuencia utilizando la pregunta N° 2 del diagnóstico (ver Figura 2) y se comentará a los estudiantes que la respuesta correcta es el Triángulo 1. Luego de lo anterior, se harán las siguientes acciones: (i) dibujar un triángulo rectángulo cualquiera, (ii) recordar brevemente cuál es su hipotenusa y sus catetos, (iii) definir la razón tangente a partir de dicho triángulo y (iv) comentar que dicha razón siempre es un número positivo. Este momento concluye con el análisis del rango de valores que puede tomar uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo construido con el GeoGebra. La intención de este análisis es concluir que un ángulo agudo toma valores 0° < 𝛼𝛼 < 90°.

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

89 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

M U

N D

O G

E O

G E

B R A

Figura 2

Momento 2. Razón tangente en la circunferencia unitaria

En este momento se define la razón tangente para 𝛼𝛼 > 90° a través de la circunferencia unitaria. Para ello se presenta un recurso1 elaborado con GeoGebra que muestra a dicha circunferencia con un ángulo central donde uno de sus lados está fijo en la parte positiva del 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑥𝑥 y el otro lado se ubica según sea el valor del ángulo, el cual depende de un deslizador que permite variarlo de 0° a 360° (ver Figura 3a). Además, se muestra la recta tangente a la circunferencia por el punto 𝐵𝐵 = (1,0) y el corte de esta recta con el lado móvil del ángulo, llamado 𝐷𝐷 (ver Figura 3b). Luego, se indica que el segmento que une a los puntos 𝐵𝐵 y 𝐷𝐷 representa geométricamente a la razón tangente a partir de la definición dada, aplicada al triángulo △ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷; el valor de la tangente viene dado por la ordenada del punto 𝐷𝐷 (ver Figura 3c). Este momento concluye con la variación del ángulo central para mostrar que la tangente de ese ángulo existe para 𝛼𝛼 > 90°.

Figura 3

Momento 3. De la razón tangente a la función tangente

Este momento consiste en pasar de la razón tangente a la definición de la función tangente. Lo primero es preguntar a los estudiantes si existe alguna relación de dependencia entre la medida del ángulo central y el valor de la ordenada del punto 𝐷𝐷; con esto se busca identificar que la ordenada (el

1 Acceso al recurso: https://www.geogebra.org/m/gU2pudca

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

90 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

valor de la tangente) depende de la medida del ángulo central, para así colocar en escena los términos de variables dependientes e independientes. Luego se muestra con el GeoGebra que para cada valor del ángulo se tiene un único valor de la tangente, lo cual da pie a establecer el concepto de función tangente como aquella función que asigna a cada ángulo el valor de su tangente. Este momento concluye al indicar que los ángulos en la función son medidos en radianes y se explica cómo hallar el equivalente de un ángulo sexagesimal en radianes.

6. Conclusiones

El diseño de la secuencia instruccional sobre el tema de la función trigonométrica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 utilizando el software GeoGebra, se basó en la metodología de los experimentos de enseñanza, en la cual se han definido el propósito de aprendizaje, los contenidos a trabajar, las actividades a resolver y la trayectoria hipotética de aprendizaje que orientará el desarrollo de la secuencia. Los tres momentos que conforman la secuencia se han diseñado para que los estudiantes comprendan el concepto de la función tangente a partir de la definición de la razón tangente en un triángulo rectángulo y en la circunferencia unitaria. Asimismo, se han elaborado dos recursos con GeoGebra para apoyar el desarrollo de la secuencia, los cuales pueden favorecer la comprensión de lo abordado en los momentos de la propuesta.

Por todo lo comentado, este trabajo representa un aporte a la producción de investigaciones que centran su atención en las dinámicas de situaciones instruccionales en el aula que se apoyan en el uso de entornos tecnológicos. Se considera que su pronta aplicación puede aportar información importante para afrontar con nuevos insumos la enseñanza de la función trigonométrica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan𝑥𝑥 en el aula, procurando con ello un aporte más al desarrollo en la comprensión de los estudiantes sobre este contendido matemático. En base a esto, se considera necesario que se proponga una mayor cantidad de propuestas de esta naturaleza que abarquen otros contenidos matemáticos que se enseñan en la Educación Media y cuya comprensión resulta complicada por parte de los estudiantes.

Bibliografía

Artigue, M. (2012). Le défi technologique. En UNESCO (Ed.) Les défis de l’enseignement des mathématiques dans l’éducation de base, 43-45. UNESCO: París.

Cobb, P. & Gravemeijer, K. (2008). Experimenting to support and understand learning processes. In A.E. Kelly, R.A. Lesh y J. Y. Baek (Eds.), Handbook of design research methods in education. Innovations in Science, Technology, Engineering and Mathematics Learning and Teaching, 68-95. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Confrey, J. (2006). The evolution of design studies as methodology. En R.K. Sawyer (Ed.), The Cambridge Handbook of the Learning Sciences, 135-152. Cambridge University Press: New York.

Demir, O. (2012). Students’ concept development and understanding of sine and cosine functions (Doctoral dissertation, Master’s thesis). Recuperado de http://scriptiesonline.uba.uva.nl/document/453723.

Fiallo, J. (2010). Estudio del proceso de demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas en un ambiente de Geometría Dinámica. Tesis Doctoral. Comunidad de Valencia: Universitat de València.

González, H. (2012). Una propuesta para la enseñanza de las funciones trigonométricas seno y coseno integrando GeoGebra. Tesis doctoral. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

Guzmán, I. (1998). Registros de representación, el aprendizaje de nociones relativas a funciones: voces de estudiantes. Relime: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 1 (1), 5-21.

Propuesta didáctica para abordar el tema de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 con el software GeoGebra S. Díaz Urdaneta, R. Gutiérrez, R. Luque

91 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

M U

N D

O G

E O

G E

B R A

Hohenwarter, M., & Jones, K. (2007). BSRLM Geometry Working Group: ways of linking geometry and algebra, the case of Geogebra. Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 27 (3), 126-131.

Molina, M., Castro, E., Molina, J.L., y Castro, E. (2011). Un acercamiento a la investigación de diseño a través de los experimentos de enseñanza. Enseñanza de las Ciencias, 29 (1), 75–88.

National Council of Mathematics Teachers. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

Sawyer, R.K. (2006). The New Science of Learning. En R.K. Sawyer (Ed.), The Cambridge Handbook of the Learning Sciences, 1-18. Cambridge University Press. New York.

Steffe, L. y Thompson, P.W. (2000). Teaching experiment methodology: underlying principles and essential elements. En A.E. Kelly y R.A. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education, 267- 306. Mahwah: NJ: LAE.

Rabardel, P. (2001). Instrumented mediated activity in situations, en Blandford A., Vanderdonckt J., Gray P. (eds). People and computers XV-interactions without frontiers, pp. 17-30. Springer-Verlag. Berlín.

Rezende, W., Pesco, D. y Bortolossi, H. (2012). Explorando aspectos dinâmicos no ensino de funções reais com recursos do GeoGebra. Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, 1(1), 74-89.

Stephanie Díaz Urdaneta. Licenciada en Educación Mención Matemática y Física por la Universidad del Zulia (Zulia-Venezuela). Secretaria de la Asociación Civil “Aprender en Red”. Instituto GeoGebra de Maracaibo, Venezuela. Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), Universidad del Zulia, Venezuela. e-mail: stephaniediazurdaneta@gmail.com

Rafael E. Gutiérrez. Licenciado en Educación Mención Matemática y Física por la Universidad del Zulia (Zulia-Venezuela). Coordinador de Formación de la Asociación Civil “Aprender en Red”. Instituto GeoGebra de Maracaibo, Venezuela. Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), Universidad del Zulia, Venezuela. e-mail: rafael.gutierrez0593@gmail.com

Rafael E. Luque. Licenciado en Educación Mención Matemática y Física por la Universidad del Zulia (Zulia-Venezuela). Magister en Matemática Aplicada a la Ingeniería y Doctor en Ciencias Humanas. Miembro de la Línea de Investigación “Didáctica de las Matemáticas y Ciencias Naturales del Doctorado de Humanidades y Educación de LUZ”. Director del Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), Universidad del Zulia. Asociación Civil “Aprender en Red”. Instituto GeoGebra de Maracaibo, Venezuela. e-mail: luque14@gmail.com

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 93-105

P R O

B L

E M

A S

Estrategia: BUSCAR PATRONES (Problemas Comentados XLVIII)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Soluciones a los problemas pendientes siguiendo el método de resolución de problemas habitual. Planteamiento de problemas, uno de ellos con solución detallada, cuyas soluciones responden a una metodología de búsqueda de patrones o expresiones generales, usando tablas para la presentación y análisis de los datos.

Palabras clave Metodologías para la resolución de problemas. Búsqueda de patrones. Deducción de expresiones generales.

Abstract Solutions to pending problems following the usual problem-solving method. Problem approach, one of them with detailed solution, whose solutions respond to a methodology of search of patterns or general expressions, using tables for the presentation and analysis of data

Keywords Methodologies for solving problems. Search of patterns. Deduction of general expressions.

Como siempre, un saludo cariñoso a nuestros amables lectores. Vamos primero con las respuestas a los problemas presentados para que nuestros lectores se entretuvieran durante este tiempo entre revistas.

El primero es una variante de un problema clásico, “El cubo de las caras pintadas”. Aquí hemos añadido algunas dificultades: un ortoedro en lugar de un cubo, en lugar de dimensiones el número de cortes y una cara sin pintar.

EL CARPINTERO

El padre de Ramiro, que es carpintero, hizo un ortoedro de madera y lo pintó totalmente de verde con un spray sobre la mesa en la que estaba apoyado, sin levantarlo en ningún momento.

Al cabo de unos días, como le parecía que era muy grande para utilizarlo, decidió cortarlo en cubitos pequeños mediante cortes paralelos a las caras del ortoedro. Hizo 6 cortes a lo largo, 5 a lo alto y 4 a lo ancho.

¿Cuántos cubitos salieron? Clasifícalos según el número de caras pintadas de verde que tengan. Justifica tus respuestas.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

94 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Proceso de resolución:

Fase I. Comprender

Datos: Un ortoedro de madera. Cortado en cubitos pequeños mediante cortes paralelos a las caras del ortoedro: 6 cortes a lo largo, 5 a lo alto y 4 a lo ancho. (Información oculta: las dimensiones del ortoedro).

Objetivo: Cuántos cubitos salieron. Clasificarlos según el número de caras pintadas de verde que tengan.

Relación: Pintado totalmente de verde con un spray sobre la mesa en la que estaba apoyado, sin levantarlo en ningún momento.

Diagrama Modelo realizado con cubitos. Dibujo de un ortoedro. Dibujos de sus caras. Una tabla clasificatoria.

Fase II. Pensar

Estrategia: MODELIZACIÓN (a partir de la elaboración de un modelo físico). ORGANIZAR LA INFORMACIÓN (a partir de las técnicas de recuento)

Fase III. Ejecutar

Lo primero es obtener la información acerca de las dimensiones del ortoedro. Está escondida en la información que indica cómo se dividió en cubitos pequeños mediante cortes. Al realizar cortes en la madera el número de cubitos que salen en cada dimensión es uno más que el número de cortes realizados. Por ello, el ortoedro, medido en cubitos, es de 7 x 6 x 5.

Por tanto, el número total de cubitos que salen será de 7 x 6 x 5 = 210. Y esa es ya la solución al primer objetivo del problema.

Ahora hemos de clasificar y contar cuántos cubitos hay de cada clase. Lo que está claro de entrada es que no hay cubitos con seis, cinco o cuatro caras pintadas. Ninguno está expuesto al exterior en más de tres caras.

Así: los que están en las esquinas (vértices) de la cara superior tendrán tres caras pintadas; los que están en los bordes (aristas) de la cara superior y en los bordes laterales tendrán dos caras pintadas; los que están en el interior de las cinco caras visibles tendrán una sola cara pintada; el resto de cubitos, descartados los anteriores, serán los que no tengan ninguna cara pintada.

Para hacer este recuento podemos utilizar un modelo (MODELIZACIÓN) fabricado con cubitos individuales, de madera o encajables de plástico, al que vamos contando y quitando los cubitos de cada tipo (se pueden marcar con tiza o pegatinas) hasta tener la clasificación pedida completa.

La otra opción es hacer el recuento de manera mental o gráfica, de manera razonada ORGANIZAR LA INFORMACIÓN), a partir de las dimensiones del ortoedro.

Esto se puede realizar de diversas maneras; la elección dependerá de la educación visual de cada uno. Se puede hacer desnudando al ortoedro de las distintas clases de cubitos, contándolas de manera simultánea y constatando qué figura queda después de cada descarte. O también por pisos o por paredes, contando lo que hay en cada uno y juntando todo al final en una tabla clasificatoria.

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

95 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

P R O

B L

E M

A S

Vamos, por ejemplo, a realizar el recuento por paredes frontales de 7 x 6; salen 5, la primera y la quinta de un tipo, las tres restantes de otro tipo. Veamos un dibujo de los dos tipos.

Primer tipo: caras anterior y posterior (todos los cubitos están pintados).

Segundo tipo: paredes internas (sólo están pintados los cubitos externos).

Sentamos el conteo en una tabla:

Tipo 3 caras 2 caras 1 cara 0 caras caras Total por tipo 1º 2 15 25 0 2 42 x 2 = 84 2º 0 2 15 25 3 42 x 3 = 126

TOTAL 2 x 2 15 x 2 + 2 x 3 25 x 2 + 15 x 3 25 x 3 84 + 126 = 210 4 + 36 + 95 + 75 = 210 210 cubitos

Solución que concuerda con el total de cubitos del ortoedro.

Solución: 210 cubitos: 4 con tres caras pintadas, 36 con dos caras pintadas, 95 con una cara pintada, 75 sin ninguna cara pintada de verde.

Fase IV. Responder

Comprobación: Una manera interesante de comprobarlo, aparte de la comprobación realizada con el número total de cubitos, sería ver si los alumnos han utilizado diferentes maneras de conteo y contrastarlas entre sí. Si todos han trabajado con igual tipo de conteo (muy improbable) la comprobación debería ser realizar un nuevo conteo de distinta modalidad, el que sea.

Vamos a utilizar aquí el conteo por descarte:

Tres caras pintadas: los vértices de la cara superior del ortoedro, 4 en total.

Dos caras pintadas: las cuatro aristas de la cara superior (excepto los vértices) y las cuatro aristas laterales (excepto los vértices superiores); 5 x 2 + 3 x 2 + 5 x 4 = 10 + 6 + 20 = 36 en total.

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

96 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Una cara pintada: contar lo que queda de las cinco caras del ortoedro que se han pintado, la superior (5 x 3) y las cuatro laterales (5 x 5 la frontal y posterior; 3 x 5, la derecha y la izquierda); 15 + 2 x (25 + 15) = 15 + 2 x 40 = 15 + 80 = 95 en total.

Ninguna cara pintada: contar el ortoedro interior que ha quedado ahora al descubierto (5 x 5 x 3); 75 en total.

Y comprobamos, efectivamente, que obtenemos los mismos resultados anteriores.

Análisis: Solución única.

Respuesta:

Salieron 210 cubitos que se clasifican así: 4 con tres caras pintadas, 36 con dos caras pintadas, 95 con una cara pintada, 75 sin ninguna cara pintada de verde.

Comentario: Se trata de un problema clásico (“El cubo de las caras pintadas”, “El cubo horadado”) que comporta multitud de variantes: un cubo, completo o con agujero central; pintado totalmente o sólo parcialmente; de mayor o menor tamaño (desde 3 x 3 x 3 en adelante); un ortoedro. Incluso pirámides escalonadas.

Implica siempre un recuento de los cubitos. Hay muchas maneras de visualizar el ortoedro dividido en partes fácilmente contables: por descarte de cubitos según se van contando, por pisos horizontales, por paredes frontales o por paredes laterales.

El segundo, aparecido en un antiguo ejemplar de la revista QUIZ.

De una placa circular de un material homogéneo de 18 cm de radio y 360 g de peso, se cortan dos discos (en verde) como indica la figura.

El material sobrante (en amarillo) pesa seis veces más que el disco pequeño. Calcular los radios y los pesos de los discos cortados.

Sea r el radio del mayor de los discos cortados (disco c) y r’ = 18 – r, el del círculo más pequeño (disco c’).

182 − 𝑟𝑟2 − (18 − 𝑟𝑟)2 = 6(18 − 𝑟𝑟)2

324 – r2 – (324 – 2·18r + r2) = 6(324 – 2·18r + r2)

342 – r2 = 7(324 – 36r + r2) = 2268 – 252r + 7r2

-8r2 = 2268 – 324 – 252r

-8r2 + 252r – 1944 = 0

2r2 – 63r + 486 = 0, y resolvemos esta ecuación.

18

13.5

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

97 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

P R O

B L

E M

A S

𝑟𝑟 = 63 ± √632 − 4 · 2 · 486

4=

63 ± √814

=

Y ello porque los discos cortados son en realidad cilindros de igual alto, cuyos pesos son proporcionales a sus volúmenes (suponemos un material homogéneo), y estos lo son a las áreas de sus bases que a su vez lo son a los cuadrados de sus radios.

Puesto que 18 cm no puede ser, pues es el radio de la placa circular (disco C), el radio del círculo mayor de los dos verdes es de r = 13.5 cm. Pero no hemos contestado todavía a lo que el problema pregunta.

Radio del círculo intermedio: r = 13.5 cm

Radio del círculo pequeño: r’ = 18 – 13.5 = 4.5 cm

Peso de los discos cortados:

Por ser proporcionales a las áreas, el disco intermedio representa una fracción igual a π·13.52/π·182 del total del peso.

𝜋𝜋 · 13.52

𝜋𝜋 · 182=

182.25324

= 0.56, 𝑦𝑦 0.56 · 360 = 202.7 𝑔𝑔

Así pues el peso de c es de 202.7 g

Mientras que el disco pequeño es la fracción 4.52/182 = 20.25/324 = 0.0625, por lo que el peso de este disco es de 0.0625·360 = 22.5 g. Y podemos concluir que el peso de c’ es de 22.5 g.

Comprobación de los resultados:

Veamos si los resultados cumplen con los datos del enunciado del problema. La densidad del material viene dada por el cociente 360/324·π = 0.354 g/cm3, suponiendo 1 cm de altura del disco.

El material sobrante es π·182 – π·13.52 – π·4.52 = π·(324 – 182.25 – 20.25) = π·121.50 y multiplicado por la densidad nos da su peso:

Peso del material sobrante (R): 121.5·π·0.354 = 134.8 g

El peso del disco pequeño es: 20.5·π·0.354 = 22.5 g,

que se corresponde con el dato de 134.8/22.5 = 6, es decir 1/6 del peso del material desechado.

Parece llegado el momento de dar un nuevo rumbo a estos artículos, sin por ello cambiar sustancialmente su contenido. Podría ser trabajar un determinado tipo de problemas explicando cómo aplicar el proceso general que utilizamos en ellos, la estrategia principal que los resuelve y el diagrama que nos presenta la estructura de los mismos.

Nos ha parecido bien comenzar con un tipo de problemas altamente interesante: los problemas que contienen PATRONES. Su proceso de resolución incluye la estrategia BUSCAR PATRONES y,

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

98 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

en algunos casos, la estrategia GENERALIZACIÓN. El diagrama que estructura estos problemas y permite acometer su resolución es una TABLA DE BÚSQUEDA DE REGULARIDADES.

Resolveremos uno como ejemplo, el que se titula ¡Siempre más grande!, y luego propondremos algunos más del mismo tipo como reto para nuestros lectores hasta el próximo artículo.

La estrategia Buscar Patrones y el diagrama de búsqueda de regularidades

Un problema es un conjunto de elementos disgregados en aparente desorden. A veces, oculta una regularidad, unas leyes, unos patrones que constituyen la estructura de la organización. La búsqueda de REGULARIDADES, LEYES y PATRONES ayuda a comprenderlo y es el camino para su solución.

Los elementos del problema aparecen casi siempre en la forma de parejas de dos variables ligadas entre sí. La primera pareja es completamente conocida (datos) y la segunda es incompleta (objetivo).

La relación es el patrón que debemos encontrar.

La variable independiente, que figura en primer lugar, es aquella que varía de manera arbitraria y la variable dependiente es aquella cuya variación depende de la variación experimentada por la primera.

Utilizaremos un diagrama en forma de tabla para dos variables, con dos filas para las variables (independiente y dependiente) y una tercera fila para determinar el patrón (en algunos casos necesitaríamos alguna más).

Variable A (independiente) Variable B (dependiente) Patrón

La técnica que utilizaremos consistirá en proceder siguiendo el orden indicado aquí:

1º) Crear tabla 2º) Llenar tabla con parejas conocidas 3º) Completar tabla con parejas de casos sencillos 4º) Elaborar un patrón simple 5º) Comprobar patrón en el siguiente caso 6º) Aplicar el patrón al caso objetivo 7º) Generalizar 8º) Estructurar la nueva fórmula o ley

En la determinación del patrón con alumnos de Secundaria podemos usar la simple lógica o utilizar una técnica como la de las diferencias sucesivas que requiere algo de conocimiento de álgebra.

Para ello se realizarán las diferencias entre cada dos términos sucesivos de la variable dependiente. Si los valores son todos iguales habrá acabado la búsqueda. Si no es así repetimos el procedimiento cuantas veces sea necesario hasta conseguirlo.

Sólo contemplaremos los dos primeros casos.

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

99 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

P R O

B L

E M

A S

Si la primera diferencia es toda igual la expresión del patrón es del tipo y = a x + b. Para determinar a y b utilizaremos dicha expresión en dos parejas conocidas de la tabla y estableceremos así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en a y b, que resuelto nos da la expresión general del patrón.

Si la que da toda igual es la segunda diferencia el procedimiento es idéntico al anterior, pero para una expresión cuadrática del tipo y = a x2 + b x + c.

A partir de ahí el procedimiento es complejo y corresponde a alumnos de nivel superior. Que tratándose de alumnos de nivel superior podría ser perfectamente tratado.

Cuando localizamos una propiedad que cumplen ciertos números o figuras, hay que intentar ver si la cumplen todos los números o figuras del mismo tipo.

Para ello haremos así:

1. Identificar la regularidad. 2. Determinar los siguientes términos. 3. Encontrar un término en una secuencia dada. 4. Determinar una regla para describir la secuencia.

Los alumnos deben entrenarse en:

• Analizar regularidades y generalizaciones (conjeturas) • Comprobar la validez de la generalización • Construir una demostración (prueba formal) para verificar la generalización

El ejemplo

¡SIEMPRE MÁS GRANDE!

El dibujo de abajo muestra las primeras tres figuras, con posiciones indicadas con 1, 2 y 3, de una sucesión regular dibujada sobre papel cuadriculado. Sus marcos exteriores tienen siempre el mismo ancho; el interior está formado por cuadrados negros alineados, el número de los cuales aumenta en 1 de una figura a la otra, tanto en las columnas como en las filas.

Para una de las figuras de esta sucesión regular, si se calcula la diferencia entre el área de las partes negras y el área de las partes blancas, se encuentra 196 (en cuadritos de la cuadrícula).

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

100 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

¿Cuál es la posición de esta figura en la sucesión regular?

Explicad vuestro razonamiento.

Proceso de resolución

Fase I. Comprender

Datos: Tres figuras (1, 2 y 3) de una sucesión regular dibujada sobre papel cuadriculado. Sus marcos exteriores tienen siempre el mismo ancho. El interior está formado por cuadrados negros alineados, el número de los cuales aumenta en 1 de una figura a la otra, tanto en las columnas como en las filas.

Objetivo: Cuál es la posición de la figura con diferencia de 196 cuadritos entre negros y blancos en dicha sucesión regular.

Relación: Una figura situada más adelante en esta sucesión regular, si se calcula la diferencia entre el área de las partes negras y el área de las partes blancas, se encuentra 196 (usando como unidad los cuadritos pequeños de las esquinas de la cuadrícula).

Diagrama: El que ilustra el problema. Una tabla de regularidades.

Fase II. Pensar

Estrategia: BUSCAR PATRONES

Fase III. Ejecutar

Elaboramos una tabla para presentar la información conocida de las tres figuras presentadas y establecer sus regularidades.

Figura Blancos Negros Suma Resta 1 2 3

Rellenamos la tabla con la información conocida. Esto significa hacer un recuento de los cuadritos negros y blancos. Es necesario tener en cuenta que los cuadritos del marco exterior son más pequeños que los cuadritos del interior. La unidad de medida es el cuadrito del marco. Los del interior miden el doble, los triángulos adosados a los lados miden un cuadrito y los triángulos de las esquinas miden medio cuadrito.

Podemos observar también que los cuadritos negros del interior son de tamaño doble que los del marco y que forman un cuadrado ajedrezado de 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3, etc. Todas estas observaciones se facilitan girando la figura o copiando el cuadrado que hemos considerado unitario, en papel transparente, y superponiéndolo sobre los otros cuadrados y los triángulos.

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

101 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

P R O

B L

E M

A S

Figura Blancos Negros Suma Resta 1 6 10 16 4 2 12 24 36 12 3 22 42 64 20

Hay un patrón muy claro, el de la columna de la suma de cuadritos blancos y negros, que además nos sirve de comprobación para la corrección del conteo.

Figura Blancos Negros Suma Resta 1 6 10 16 42 4 2 12 24 36 62 12 3 22 42 64 82 20

Para los otros patrones ha de hacerse un estudio detallado. La intuición de los chicos puede ser muy valiosa para iniciar la búsqueda, pero también los métodos matemáticos son necesarios. Primero para comprobar las intuiciones, después para obtener los patrones mediante cálculo.

Aparentemente, los valores de la resta van de 8 en 8, es decir, forman una progresión aritmética de diferencia 8. Es una hipótesis posible.

Figura Blancos Negros Suma Resta 1 6 10 16 42 4 4 2 12 24 36 62 12 4 + 8 3 22 42 64 82 20 12 + 8

Podemos probar si es cierta o no la hipótesis, dándola por buena y prediciendo la cantidad de cuadritos blancos y negros que va a tener la figura nº 4 de la sucesión.

Primero aventuramos el valor de la suma y de la resta.

Figura Blancos Negros Suma Resta 1 6 10 16 42 4 4 2 12 24 36 62 12 4 + 8 3 22 42 64 82 20 12 + 8 4 100 102 28 20 + 8

Y a partir de aquí, calcular cuántos cuadros blancos y cuántos cuadros negros habrá.

n + b = 100

n – b = 28

que resuelto nos da n = 64 y b = 36.

Figura Blancos Negros Suma Resta

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

102 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

1 6 10 16 42 4 4 2 12 24 36 62 12 4 + 8 3 22 42 64 82 20 12 + 8 4 36 64 100 102 28 20 + 8

Y comprobar si la conjetura utilizada es cierta mediante dos métodos complementarios. Uno será buscar el patrón de los cuadritos blancos y el de los cuadritos negros y ver si se verifica para el caso de la figura nº 4. Otro será construir en papel cuadriculado la figura nº 4, siguiendo las instrucciones del problema, y contar sobre ella los cuadritos blancos y negros para la verificación de la hipótesis.

Para la primera fase:

Figura Blancos Negros Suma Resta 1 6 6 10 10 16 42 4 4 2 12 6+6 24 10+14 36 62 12 4 + 8 3 22 12+10 42 24+18 64 82 20 12 + 8 4 36 22+14 64 42+22 100 102 28 20 + 8

Para los blancos cada término se obtiene sumando el anterior más los términos de la sucesión 6, 10, 14, …, de diferencia 4.

Para los negros cada término se obtiene sumando el anterior más los términos de la sucesión 14, 18, 22, …, de diferencia 4.

Para la segunda fase:

Tomar un papel cuadriculado y señalar un cuadrado de 10 cuadritos de lado (2 más que el anterior); dibujar el marco con 4 cuadritos blancos en las esquinas y 8 negros en los lados; dibujar ahora en el interior las diagonales que marcan los cuadritos del interior, que constituirán un cuadrado negro de 4 x 4 con los cuadritos de área doble que los del marco.

Al realizar el conteo de los cuadritos negros tendremos:

4 x 4 = 16 → 16 x 2 = 32 en el interior

8 x 4 = 32 en los lados del exterior

Total: 32 + 32 = 64 cuadritos negros en total

Hagamos ahora el conteo de los cuadritos blancos:

3 x 3 = 9→ 9 x 2 = 18 en el interior del interior

6 x 2 + 2 = 12 + 2 = 14 en el borde del interior

4 en las esquinas del exterior

Total: 18 + 14 + 4 = 36

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

103 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

P R O

B L

E M

A S

Lo cual coincide plenamente con la hipótesis planteada.

Expresamos la hipótesis confirmada para la diferencia entre cuadritos negros y blancos como ley matemática.

a1 = 4 d = 8 an = 4 + 8 (n – 1)

Podemos realizar una deducción aplicando dicha expresión.

Siendo an = 196 → 4 + 8 n – 8 = 196 → 8 n = 200 → n = 25

Solución: Posición 25

Fase IV. Responder

Comprobación: Con los razonamientos hechos sería suficiente. Podrían también calcularse por separado los cuadritos blancos y negros y verificar la coherencia de todos los valores entre sí. Construir en papel cuadriculado la figura nº 25 y contar después sobre ella podría ser interesante pero tedioso. Más fácil es rellenar la tabla hasta el lugar 25, siguiendo los patrones encontrados.

Análisis: Solución única.

Respuesta:

La figura de la sucesión con diferencia de 196 cuadritos entre negros y blancos ocupa el lugar número 25.

Pero ¿qué hubiese pasado si alguien se hubiese fijado en alguna curiosa propiedad de la figura entre los cuadros blancos y negros de su interior? ¿U otras leyes de formación de las sucesiones? En la tabla que sigue podemos ver algunas de estas consecuencias.

Figura Sucesión Blancos Negros Suma Resta 1 a1 6 6 10 10 16 42 4 4 1*4 2 a2 12 6 + 6 24 10 + 14 36 62 12 4 + 8 3*4 3 a3 22 12 + 10 42 24 + 18 64 82 20 12 + 8 5*4 4 a4 36 22 + 14 64 42 + 22 100 102 28 20 + 8 7*4 5 a5 54 36 + 18 90 64 + 26 144 122 36 28 + 8 9*4 6 a6 76 54 + 22 120 90 + 30 196 142 44 36 + 8 11*4 7 a7 102 76 + 26 156 120+36 256 162 52 44+8 13*4 8 a8 132 102+30

n an (2n + 2)2 (2n-1)*4

Los retos

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

104 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

Utilizando las herramientas y técnicas anteriormente explicadas resuelvan los siguientes problemas. Y, en cada uno de ellos, generalice lo más posible o, al menos, realice los comentarios más oportunos que se les ocurran al respecto.

JARDINERAS

En nuestro Ayuntamiento están estudiando nuevos diseños para adornar con jardineras y baldosas algunas calles peatonales. Para ello cuentan con jardineras hexagonales que colocan rodeadas de baldosas, también de forma hexagonal, formando bonitos mosaicos, similares al de la figura:

Necesitan disponer de una fórmula que les permita calcular el número de baldosas necesarias para rodear un determinado número de jardineras, según el diseño que elijan. ¿Puedes ayudarles a encontrarla?

LAS ALFOMBRAS

El señor Tapete comercializa un nuevo modelo de alfombras cuadradas compuestas de pequeños cuadrados idénticos: grises en el borde y blancos en el interior. Aquí está un dibujo de este modelo de alfombra, con siete cuadrados en cada lado.

La alfombra más pequeña tiene tres cuadrados en cada lado. Las alfombras de este modelo están disponibles con un máximo de veinte cuadrados en cada lado.

El Sr. Ronay quiere comprar un modelo que tenga exactamente tantos cuadrados grises como blancos.

La Sra. Gratin quiere comprar una alfombra un poco más clara, con más de dos tercios de ella de cuadrados blancos pero al mismo tiempo con menos de tres cuartas partes de cuadrados blancos.

¿Se puede complacer a la Sra. Gratin? ¿Y al Sr. Ronay?

Si es así, por favor indique la (o las) alfombras que podrían contentar a cada uno de los dos clientes.

Explique sus respuestas.

EL JUEGO DE LAS TORRES DE HANOI

Estrategia: BUSCAR PATRONES. Problemas comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

105 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

P R O

B L

E M

A S

Trasladar la torre de la izquierda a la derecha de pieza en pieza, eso sí, no podrás colocar una pieza grande sobre una menor.

En el juego de las torres de Hanoi se cumple un patrón numérico en relación al menor número de movimientos que se deben realizar para mover la torre, de disco en disco, conforme a las reglas del juego.

Descubre el patrón y determina ¿cuál es el menor número de movimientos que se deben realizar en una torre de Hanoi de 10 discos?

Y por último, un problema de sencillo enunciado.

SIETE NÚMEROS.

Encontrar siete números que sumados dos a dos den los números del 1 al 16.

Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Nos repetimos: vamos, anímense… ¡Si es divertido!

¡Ah!, hemos deslizado un par de errores –al menos-, que ustedes deben encontrar y comunicárnoslo. Hay premio, tras sorteo, para los avispados lectores que los encuentren.

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

N Ú M E R O S

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 107-119

J U E

G O

S

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Juegos donde se usan fichas de dominó: solitarios, juego de las cuadrillas, usado como cartas de una baraja, de lápiz y papel, juego de abalorios de Sid Sackson; variantes bidimensionales y tridimensionales del dominó. Otras curiosidades como dominó y: arte, pastelería, música, Pitágoras, filatelia, política, lenguaje, patentes, Canarias, Internet. Con comentarios y referencias. Las fuentes son Cacumen, El pequeño País y la bibliografía aportada en anteriores artículos.

Palabras clave Dominó. Solitarios con dominós. Cuadrillas. Dominó con lápiz y papel. Dominó y arte, arte, pastelería, música, Pitágoras, filatelia, política, lenguaje, patentes, Canarias, Internet. Dominó bidimensional y tridimensional. Sid Sackson y su juego de abalorios.

Abstract Games where dominoes are used: solitaires, game of the cuadrillas, used as cards of a deck, pencil and paper, game of beads by Sid Sackson; two-dimensional and three-dimensional domino variants. Other curiosities such as dominoes: art, pastry, music, Pythagoras, philately, politics, language, patents, Canary Islands, Internet. With comments and references. With comments and references. The sources are Cacumen, El pequeño País and the bibliography provided in previous articles.

Keywords Domino. Solitaires with dominoes.” Cuadrillas” Dominoes with pencil and paper. Dominoes and art, art, pastry, music, Pythagoras, philately, politics, language, patents, Canary Islands, Internet. Two-dimensional and three-dimensional domino. Sid Sackson and his game of beads.

Pensábamos que con nuestros tres artículos anteriores sobre el dominó habríamos dado un panorama completo sobre el juego. Pero ni siquiera a nosotros mismos nos ha parecido suficiente. Se quedan descartados en un primer momento aspectos que no parecen relevantes en comparación con otros seleccionados, pero cuando vuelves a los borradores iniciales lo reconsideras y piensas que merecen estar en un artículo. Así nos ha pasado; y cuando pensábamos meter mano a un nuevo tema, juego o puzle, terminamos por resucitar esos retales del dominó, darles forma y publicar un cuarto artículo que, al menos desde nuestro punto de vista, redondee lo ya publicado y nos deje más satisfechos.

Habrá juegos especiales donde el dominó toma un aspecto diferente, habrá juegos solitarios y otras formas de jugar en parejas. Habrá clásicos y modernos, habrá referencias a nuestros admirados “Cacumen” y “Pequeño País”. Y habrá algunas curiosidades de esas que tanto nos gustan.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

108 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

J

U

E

G

O

S

Un solitario de dominó llamado LA POLCA

Este solitario lo encontramos en el número 28 de la Revista Cacumen (Zugarto) tan recomendada por nosotros -aunque ya no se publique-, bajo el título “LA POLCA un solitario de dominó” y sin autoría. Aunque sí se dice que el juego no es original del autor del artículo, sino que ha sido recogido del libro de Fredrick Berndt “The Domino Book”.

Se colocan las piezas del dominó boca abajo sobre la mesa y se mezclan bien. A continuación, escoja seis piezas al azar y colóquelas boca arriba formando una hilera o “cuadro”. Ahora vaya retirando del cuadro los pares de fichas que sumen doce puntos. Siga retirando pares que sumen doce, si tiene varios.

Cuando ya no haya más pares que retirar, reemplace las fichas descartadas con otras tantas de las “tapadas”.

Y siga jugando de igual manera. Si usted consigue retirar todas las piezas durante el juego, habrá ganado el solitario, pero si llega a un cuadro en el cual no hay pares que totalicen doce, habrá perdido.

Recuerde que nunca debe haber más de seis fichas en el cuadro.

El juego llamado el 42 donde el dominó se utiliza como una baraja

La idea de este juego fue recogida por nosotros de la sección JUEGOS de “El pequeño país”, escrita por N. Lavernia y A. Amador, bajo el título “El dominó que quería ser baraja. El 42, algo más que una curiosidad”.

Se trata de un juego en el que las fichas del dominó se utilizan como cartas de baraja, con sus triunfos y sus bazas, y unas reglas similares a lo que pueda ser un tute subastado. Presentaban el juego de la siguiente manera:

Es un juego para dos parejas de jugadores. El objetivo es ganar bazas, como en los juegos de cartas, y, sobre todo, capturar en ellas las fichas que puntúan, que son solamente cinco:

Fichas que puntúan Valor de puntuación [6│4] 10 puntos [5│5] 10 puntos [5│0] 5 puntos [4│1] 5 puntos [3│2] 5 puntos

Es decir, las cinco fichas importantes puntúan lo que suman sus puntos.

Las fichas se agrupan por “palos”, como en la baraja, pero aquí hay ocho palos de posibles triunfos: seises, cincos, cuatros, treses, doses, unos, blancas y dobles. En cada palo, la ficha de mayor rango es la doble correspondiente, y después se ordenan según el número de puntos presentes en la ficha.

Una vez formadas las parejas y dispuestas para jugar, se mezclan bien las fichas y se reparten siete a cada jugador.

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

109 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

J U E

G O

S

El primer jugador, si cree que puede obtener –junto con un compañero- 30 o más puntos, declara en voz alta dicho número o, de lo contrario, pasa. El segundo jugador puede pasar o bien declarar un número mayor que el anterior, y lo mismo el tercero y el cuarto. Si todos pasan, se vuelve a repartir.

El jugador que declaró el número más alto es el ganador de la subasta y debe elegir entonces el palo de triunfo y comunicarlo a todos. Es el ganador de la subasta quien comienza el carteo, descubriendo uno de sus dominós en el centro de la mesa. La ficha inicial de cada baza (siempre que no sea un triunfo) pertenece necesariamente al palo mayor de los dos posibles en cada ficha. En los demás casos, es el propio jugador quien decide (si ello es posible) el palo al que pertenece su ficha.

Una baza consta de cuatro fichas, una servida por cada jugador en su turno. Es obligatorio seguir el palo de salida, si se puede. Si no se puede se produce el fallo y se deben jugar triunfos. Gana la baza el mayor triunfo jugado o la mayor ficha del palo de salida.

Cuando se han jugado las siete bazas de una mano, se procede al recuento de los puntos. Además de los puntos correspondientes a las fichas con premio capturadas, cada baza vale un punto.

Sólo una de las dos parejas puede puntuar en cada mano. Si la pareja que ganó la subasta cumple o supera su apuesta, se anota todos los puntos conseguidos. Pero si no alcanza el número de puntos anunciado en la subasta, entonces la pareja contraria se anota los puntos de la apuesta incumplida más los suyos.

Habitualmente, se considera ganadora a la pareja que alcanza antes 151 puntos.

Las “cuadrillas” de Lucas

Una de las recreaciones más antiguas y conocidas sobre el dominó son las “cuadrillas” que ideó el matemático francés Edouard Lucas (1842-1891) y publicó en su libro Récréations Mathématiques. Actualmente hay varias ediciones del mismo o alguna recopilación de trabajos publicados en él o, incluso, alguna revisión del tema de las cuadrillas por parte de divulgadores matemáticos actuales.

Tomado de su libro:

Las cuadrillas

Se puede agrupar los veintiocho dominós en disposiciones tales que cuatro puntos iguales estén puestos formando cuadrados. Estas figuras, que denominaremos cuadrillas de dominós, están

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

110 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

J

U

E

G

O

S

compuestas por una primera franja horizontal que contiene cuatro cuadrados, luego dos franjas que contienen cada una tres cuadrados, y finalmente una franja de cuatro cuadrados. Todas ellas están encerradas en un perímetro que posee dos ejes de simetría; en otros términos, estas figuras se componen de dos partes que pueden ser aplicadas una sobre otra, sea por un pliegue horizontal, sea por un pliegue vertical; pero esto no sucede si se considera como parte integrante de la figura las líneas de separación que forman los bordes de los dominós.

Sin embargo, esta figura, abstracción hecha de los puntos que contiene, posee simetría alrededor de un eje vertical, es decir que se puede hacer coincidir las dos partes de la figura, aplicando la parte derecha sobre la izquierda.

El propósito es encontrar todas las disposiciones posibles de los veintiocho dominós, en cuadrados de cuatro puntos iguales, que puedan ser encerrados en el perímetro que acabamos de indicar.

Joseph S. Madachy, en su libro “Las esferas doradas y otras recreaciones matemáticas” (Tomo 2), de JUEGOS & CO de ZUGARTO Ediciones, presenta algunos comentarios sobre esta recreación. Tomamos prestado parte de su texto:

Considerando las propiedades de las fichas de dominó, es posible determinar los conjuntos a partir de los cuales pueden formarse cuadrillas. Si el mayor número de puntos en un dominó del conjunto n-doble es 2n, entonces el número de piezas N del conjunto está dado por la fórmula:

N = (n + 1) (n + 2) / 2

El número total de puntos D en un juego completo de dominó está dado por la fórmula D = nN; en la tabla siguiente se muestra el resultado.

n N D n N D n N D 0 1 0 7 36 252 14 120 1.680 1 3 3 8 45 360 15 136 2.040 2 6 12 9 55 495 16 153 2.448 3 10 30 10 66 660 17 171 2.907 4 15 60 11 78 858 18 190 3.420 5 21 105 12 91 1.092 19 210 3.990 6 28 168 13 105 1.365 20 231 4.620

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

111 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

J U E

G O

S

Cada número, de cero a n, aparece en el juego n + 2 veces. Una condición necesaria para la formación de cuadrillas es que cada número aparezca en el conjunto un múltiplo de cuatro veces. Esto puede expresarse así:

(n + 2) / 4 = k

donde k es un entero. Resolviendo para n: n = 4k – 2

donde k es cualquier entero positivo. Los posibles conjuntos de dominós que pueden utilizarse para la formación de cuadrillas son aquellos dados por la serie 2, 6, 10, 14, 28…

No es difícil hallar una solución para las seis fichas que forman el conjunto hasta el dos-doble. Puede demostrarse que en este caso sólo hay una respuesta. Se considerará que cada solución diferente es una disposición particular de fichas que da lugar a otras por permutación, o reacomodación, de los números para un total de (n+1)! respuestas. Una solución se considera diferente si algunas de las células (bloques de cuatro números) que contienen un par de números dados son intercambiadas. Si todas las células que contienen un par de números dados son intercambiadas, la reacomodación forma parte de las (n+1)! permutaciones y no se la considera una solución diferente.

Se publicaron siete soluciones de cuadrillas en 1891, en el volumen II de las Recreations Mathematiques de Edouard Lucas, una serie de 4 volúmenes de recreaciones matemáticas Todas las soluciones eran para las 28 fichas del conjunto hasta el seis-doble. Posteriormente Wade E. Philpott, un aficionado absolutamente dedicado al dominó, de Lima, Ohio, encontró más soluciones para el conjunto hasta el seis-doble y un número de soluciones utilizando las 66 fichas del conjunto hasta el diez-doble

Con gran diligencia Philpott logró catalogar 104 soluciones diferentes de cuadrillas, incluyendo la única para el conjunto hasta el dos-doble, 58 para el conjunto hasta el seis-doble, y 45 para el conjunto hasta el diez-doble. Las 104 soluciones son simétricas y de apariencia rectangular, como lo muestran los ejemplos. En este punto parecía que ya se habían descubierto todas las soluciones posibles para estos conjuntos de fichas. Pero la idea cambió tras la publicación de un trabajo de Philpott en el Recreational Mathematics Magazine de 1964. Los lectores muy pronto descubrieron algunas respuestas no simétricas, e incluso algunas con agujeros. Una investigación completa sin duda puede llegar a producir cientos de soluciones para estos conjuntos.

Philpott ha desarrollado un método para construir una formación en cuadrilla de cualquier tamaño deseado, usando juegos de dominó cada vez más grandes, y mediante el proceso de derivar las soluciones de las ya conocidas para los dominós de orden más bajo. El hecho de que este método tenga éxito implica que existe un número infinito de disposiciones en cuadrilla.

Dominó de papel

Entre los juegos de lápiz y papel publicados por MENSAi, aparecen tres juegos donde se usa el dominó (63.- Dominó de papel). De ellos exponemos el que sigue.

Se utiliza un papel cuadriculado donde los dos jugadores que intervienen van a dibujar las fichas del dominó siguiendo las siguientes reglas:

• Se excluyen las fichas que llevan el 6; consecuentemente se juega con las 21 fichas restantes. • Cada jugador dibuja dos fichas cualesquiera, una debajo de la otra. (En la imagen son las coloreadas)

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

112 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

J

U

E

G

O

S

• Por turno, cada uno trata de colocar fichas en sus propias filas, hasta completar una cadena de 5 fichas. Se pueden colocar en ambos lados de la cadena. • Las fichas ya colocadas por uno de los jugadores no se pueden volver a colocar. • El jugador que no consigue completar una fila de 5 fichas pierde. De otro modo, el jugador que ha colocado más fichas gana.

Podemos ver el desarrollo de una partida en la figura, donde A pierde al no poder colocar fichas en la jugada 12. Solamente ha completado una cadena de 5 fichas. Para facilitar el juego se puede dibujar primero las filas con las piezas sin numerar y luego ir escribiendo los puntos de cada ficha.

El juego se presta a un análisis de cuál es la mejor estrategia, tanto con la elección de las fichas iniciales como en las que va colocando en cada cadena y por el lado que las coloca. Evidentemente, se puede jugar con las fichas del dominó, separando las siete del palo 6, y colocando las demás siguiendo las reglas expuestas. Los jugadores, con las fichas vistas, eligen por turno con cuales abren sus dos cadenas y luego van jugando.

El juego de los abalorios de dominó, de Sid Sackson

El prolífico autor de juegos norteamericano Sid Sackson (existe la versión españolaii), en su obra A Gamut of Games, presenta este juego. En Cacumen (número 12), Medea Juraido presentó la traducción del juego bajo el nombre de SIDOMINÓ.

Sidóminos es una manera nueva y extraña de jugar al dominó. En vez de colocar las piezas unas tras otras formando una sola cadena lineal, sidóminos propone extenderse sobre todo el plano y construir un embaldosado. Sidóminos, inventado por Sid Sackson, puede ser jugado por 2, 3 o 4 personas.

Elementos: 30 piezas de dominó. De dos juegos completos de dominó se eliminan todos los seises y todas las blancas. Por lo tanto, los únicos números que intervienen son del uno al cinco.

Objetivo: Obtener la puntuación más alta. Cada vez que un jugador sitúa una de sus piezas consigue cierto tanteo. Gana el que al final suma más puntos.

Reparto: Las 30 piezas se mezclan boca abajo y cada jugador toma para sí una cierta cantidad, de acuerdo a cuantos sean los que juegan:

14 piezas si juegan 2

9 piezas si juegan 3

7 piezas si juegan 4

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

113 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

J U E

G O

S

Si los jugadores son 3, quedan 3 piezas sin repartir. Una de éstas se retira del juego sin que nadie la vea, y no será utilizada. De este modo, después del reparto quedan siempre 2 piezas sobrantes. Estas 2 piezas se colocan en el centro de la mesa, una junto a la otra, tocándose por sus lados largos. Luego, respetando esta posición, se les da la vuelta, dejándolas a la vista. Estas dos piezas son los elementos iniciales del embaldosado que se va a construir. Si llega a ocurrir que ambas piezas sean dobles idénticos, se vuelven a mezclar las 30 piezas y se comienza otra vez.

Secuencias: Durante el juego, las piezas serán puestas una junto a otras para formar líneas horizontales y verticales, tal como se forman las palabras en un crucigrama. Y aquí aparece la verdadera novedad del juego: cada grupo: cada grupo debe tener una secuencia de números definida, que se irá repitiendo, pero que no podrá cambiar. Una secuencia queda definida por completo cuando en la línea se repite un número.

/…

El desarrollo del juego puede parecer complicado al jugar la primera vez, pero tras unas pocas partidas se familiariza uno con su mecanismo.

El inventor: Edward L. Kerr, patentó en 1972 un juego de piezas formadas por dos fichas unidas por sus lados largos (28 en total, en dos colores) y unas reglas para jugar, al que denominó DOMINO-LIKE GAME PIECES.

Estas reglas de juego tienen más que ver con las clásicas del dominó que con las propuestas por Sid Sackson, pero la figura que van formando se asemeja a la que resulta cuando se juega al Juego de los abalorios de Dominó.

Otra variante curiosa es la del Dominó Squares, formado por fichas adosadas de dos en dos, en las que se añaden comodines,

colores, instrucciones como la de “pasar 1”, “volver a jugar”, etc., que vienen a suponer una variante que recuerda al juego del UNO.

Y luego están las ya vistas en anteriores artículos, donde cambia la forma rectangular, incluyendo la de este dominó tridimensional, patente americana también, donde las fichas son prismas con los puntos dibujados en sus 6 caras.

Algunas curiosidades más sobre el dominó

Ya saben que a nosotros nos gustan mucho las curiosidades sobre los juegos, sus apariciones de tipo práctico no relacionadas directamente con el juego en sí, y las conexiones de cada juego con aspectos que en un primer momento no parecerían posibles. Veamos algunas de ellas relacionadas con el dominó.

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

114 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

J

U

E

G

O

S

Dominó y teorema de Pitágoras

Del libro “Trics and amusements with coins, cards, strings, paper and matches”, de R. M. Abraham, y publicado por DOVER, su apartado denominado 298 Pythagoras in dominoes, nos presenta la siguiente curiosidad:

298 Pitágoras en el dominó

La ilustración muestra un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5, compuesto a partir de fichas de dominó que tienen 9, 16 y 25 cuadrados en los lados respectivos. El número de puntos en el cuadrado grande es 75, que es igual a la suma de los puntos en los dos cuadrados más pequeños, es decir, 27 + 48 = 75.

Dominós y música

Un dominó puede servir para enseñar las medidas de las notas musicales a través del juego.

Y vean este curioso librito, tan barato y tan antiguo. ¿Cuál es su contenido? ¿De qué trata?

Dominó y pintura

Siempre ha habido pintores que han gustado de presentar en sus obras la vida cotidiana de la gente y, como es natural, presentar a la gente jugando es algo muy habitual.

Ya hemos dicho que los cubanos y el dominó son inseparables. Es casi el juego nacional cubano. Nada más natural, pues, que Jorge Arche, pintor cubano nacido en 1905 y fallecido en 1956, dedicara uno de sus cuadros a reflejar un momento de una partida de dominó cubano. Aunque, en el mismo estilo hay otras obras al respecto, como la de la derecha de René Sánchez Leiva, otro pintor cubano.

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

115 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

J U E

G O

S

Dominó y filatelia

El mundo de la filatelia ha dedicado números sellos, prácticamente en todos los países del mundo, a conmemorar diversos acontecimientos relacionados con el mundo del dominó y el juego en sí. Aquí tienen una hoja que reúne varios sellos de distintos países y alguno más de forma individual.

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

116 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

J

U

E

G

O

S

Dominó y pastelería

A nosotros nos encanta encontrar dulces y chocolates que presenten formas relacionadas con juegos y puzles. Más de una caja ha caído en algunas de nuestras reuniones de amistad o de trabajo, que en realidad son lo mismo.

Aquí vemos unos bombones con forma de fichas de dominó y galletas con el mismo formato. Si apetitosos nos parecen unos, no menos nos parecen las otras.

¿Y del catálogo de tartas o pasteles para conmemoraciones diversas? ¿Qué nos dicen? Se nos hace la boca agua.

Dominó y los políticos

No sabemos la razón, pero son muchos los políticos que se hacen fotografiar jugando al dominó.

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

117 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

J U E

G O

S

Dominó en Canarias, sitios web

Como nuestra revista se edita en Canarias y nosotros también lo somos nos interesa conocer los órganos de expresión de los aficionados a este juego. Hemos encontrado dos direcciones web, una para la isla de Tenerife www.ftdomino.org y otra para Gran Canaria www.fedoca.es

El lenguaje del dominó

Cada juego tiene su argot, y en el dominó es muy característico. Además, cada país de habla castellana donde se juega ha desarrollado sus peculiaridades.

Dada la vinculación que siempre ha existido entre Canarias y Cuba, damos algunas expresiones típicas, unas pocas, del juego en la isla caribeña. Así en Cuba se usan estas expresiones:

• Darle agua a las fichas: mover las fichas bocabajo, sin que se vean los números; • Buena data: fichas que garantizan un buen juego; • Capicúa: ficha que tiene dos números y se usa en la salida; • Pollona: juego que se gana sin que el contrario anote puntos; • Estar en la playa: tener fichas de muy baja numeración; • Jugar agachado: confundir al contrario pretendiendo que no se tienen ciertas fichas; • Botagordas: dícese del que juega las fichas de mayor numeración para que no se las cuenten al final; • Pasarse con ficha: tocar la mesa cuando en realidad sí se tienen fichas para jugar; • Tocar la mesa: se toca con los nudillos para decir que no hay fichas para jugar; • Pegarse: poner la última ficha que le queda a un jugador;

Y en España, estas, entre otras muchas:

• Agitar: Mezclar o mover todas las fichas antes de cada mano colocadas con los puntos hacia abajo. • Capicúa: acto de dominar con una ficha que puede ser colocada en los dos extremos de la cadena • Robar: consiste en tomar una ficha del monte o pila (fichas dormidas), cuando no se tiene ficha para jugar, y hasta que se consiga una de los palos jugables. • Pasar: no tener ficha que jugar, ni existir monte de la que robar fichas. En la modalidad de juego cubano de 55 fichas (doble 9), se reparten 10 fichas por jugador, y las 15 sobrantes se apartan, pero no existe el robar fichas, sino únicamente pasar. • Bajas: son aquellas fichas que contienen pocos tantos, de la blanca doble al dos cuando el dominó es de 28 fichas. • Matar: cuando se tapa una ficha con otra que case para impedir que el contrario desarrolle juego por ese lado de la cadena.

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

118 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

J

U

E

G

O

S

Comparamos ahora las expresiones usadas para denominar los distintos valores de las fichas, donde casi siempre se expone el carácter festivo del juego:

VALOR CUBA ESPAÑA

1 Luna, lunar de Lola Pito, As

2 El dulce pa’ los muchachos, Dulcinea Dúo, Par

3 Tripita, tríquiti, Tribilín Candela Tren , Teresita

4 Cuatrero, gato, cuatro mil y más murieron Cuajo, Cuáquero

5 Sin curvas no hay carreteras, monja Quinqué, Helsinki

6 Sixto Batista, septiembre es el mes de las calabazas Sexteto, coche de los toreros, caja de cervezas

7 Mierda

8 Ochoa, Ochún

9 La gorda, Nuevitas puerto de mar, la puerca

0 Estar en la playa, la pelá Paloma, Nada

Una forma de enseñar a jugar por parte de los expertos ha sido construir una serie de frases hechas, refranes o proverbios, donde se registra el saber popular sobre las esencias del juego. No siempre son infalibles y hay muchos repetitivos, contradictorios e, incluso, discutibles. Tratan de diversas partes del juego: de la apertura, del final, del cierre, de las fichas que se deben jugar, de cómo debe funcionar el juego de compañeros, sobre el cierre, … Es curioso, en cuanto al vocabulario utilizado de manera específica, que en Cuba, México, Venezuela y Canarias se presenta una enorme cantidad de palabras comunes al juego del dominó y a las peleas de gallos.

Aquí va una selección de la amplia colección de refranes sobre el juego del dominó:

• De tu deber el primero, ayudar al compañero. • Con el mano ni a misa. • Cuadrar la del compañero es tu deber verdadero. • Cuando se tienen cinco o seis de un palo, no se respeta la mano. • Doblador de primera, jugador de tercera. • La que pongas no mates, la que mates no pongas. • La salida matarás, tengas o no tengas más. • Sacarás siempre el primero el coche de los toreros. • Siendo el compañero mano, ahórcate si es necesario. • Tenerlas puestas delante, es siempre juego elegante.

Dominó para descargar o jugar en línea

Siempre es interesante poder jugar desde el ordenador, la Tablet o el móvil. He aquí una dirección interesante:

https://itunes.apple.com/ar/app/domin%C3%B3-hd/id533075402?mt=8

Otras formas de jugar al dominó y algunas curiosidades (Juegos XXXVI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

119 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

J U E

G O

S

Libros curiosos

Finalmente queríamos presentar un par de libros. Uno es muy antiguo y es del estilo divulgativo, con presentación de varios juegos populares. Y como él aún se pueden encontrar en las librerías a precios bastante asequibles.

Del otro nos llama la atención el título: “Cómo ganar el dominó cubano sin trampas”. ¡Ah!, ¿pero se hacen trampas para ganar al dominó? Por lo visto, sí. De hecho, en las competiciones por parejas se prohíbe terminantemente el uso de señas de cualquier tipo. Pero los cubanos son los cubanos…

Y esto es todo por ahora. Veremos en nuestro próximo artículo por donde

atacamos. Como siempre, estamos a su disposición y agradecemos enormemente sus comentarios y aportaciones.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

i Joris, Walter; 100 Juegos estratégicos para hacer con lápiz y papel MENSA; ediciones Martínez Roca, S. A.; Madrid, 2004.

ii Sackson, Sid; Un montón de juegos; RBA Libros, S. A.; Barcelona, 2007

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 121-126

I N F O

R M

A C

I O N

E S

Congresos

X Escuela de Educación

Matemática

“Miguel de Guzmán”

Julio 2018

Tenerife

Fecha: 11, 12 y 13 de julio de 2018. Lugar: Sección de Matemáticas de la Facutad de Ciencias de la Universidad de La Laguna San Cristóbal de La Laguna Convoca: Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y Real Sociedad de Matemáticas de España Información: http://www.fespm.es/X-Escuela-de-Educacion-Matematica

122 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

I

N

F

O

R

M

A

C

I

O

N

E

S

Fecha: 5,6 y 7 de Abril del 2018. Lugar: Kristiansand. Noruega. Convoca: European Society for research in mathematics education. Información: https://indrum2018.sciencesconf.org/

XXXIV ProfMat

34º ProfMat – Encontro Nacional de Professores de Matemática,

XXIX SIEM

29.º Seminário em Investigação em Educação Matemática, XXIX SIEM

Fecha: 4, 5, 6 de Abril del 2018. ProfMAt. 6 y 7 de Abril del 2018. Seim. Lugar: Cidade de Almada. Portugal. Información: http://domitila.edu.pt

123 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

I N F O

R M

A C

I O N

E S

Fecha: Del 19 al 21 de Abril del 2018. Lugar: Universidad Autónoma de San Luis de Potosí. México. Convoca: Sociedad Matemática Mexicana. Información: http://www.smm.org.mx/2emmm

11 Festival

Internacional de Matemáticas 2018

Fecha: Del 14 al 16 de junio de 2018. Lugar: San José. Costa Rica. Convoca: Fundación Cientec. Información: http://www.cientec.or.cr

124 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

I

N

F

O

R

M

A

C

I

O

N

E

S

Congreso Internacional de Matemáticos

ICM 2018

Fecha: Entre el 1 y el 9 de Agosto de 2018. Lugar: Centro de Convenciones Riocentro. Río de Janerio. Brasil. Información:http://www.icm2018.org/portal/abertura/

XII SIMPOSIO SEIEM

GIJÓN 2018

Fecha: 5, 6, 7 y 8 de Septiembre de 2018. Convoca: Sociedad Española de Investigación en Eduación Matetmática. Organiza: Departamento de Estadística e I.O. y Didáctica de la Matemática. Departamento de Matemáticas. Universidad de Oviedo. Lugar: Facultad de Comercio, Turismo y Ciencias Sociales "Jovellanos". Gijón. Asturias. Información: http://www.seiem.es/

125 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 97 marzo de 2018

I N F O

R M

A C

I O N

E S

XII Congreso Argentino de

Educación Matemática

Fecha: 11, 12 y 13 de Octubre del 2018. Organiza: Sociedad Argentina de Educación Matemática SOAREM. . Lugar: La Plata. Buenos Aires. Argentina. Información: http://www.soarem.org.ar/

Fecha: Del 11 al 14 de diciembre de 2018. Lugar: Universidad de Cádiz. Cádiz. España. Información: http://spabrazmathcadiz18.uca.es/web/Congreso/

126 NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

I

N

F

O

R

M

A

C

I

O

N

E

S

Fecha: Del 15 al 19 de Julio del 2019. Lugar:Valencia. España. Convoca: La Sociedad Española de Matemáticas Aplicadas (SEMA) Informaicón: http://iciam2019.com/

The 8th European Congress of Mathematics

Fecha: Del 5 al 11 d Julio del 2020. Lugar: Eslovenia. Convoca: European Mathematical Society. Información: https://www.8ecm.si/

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, página 127

N O

R M

A S P A

R A

L O

S A U

T O

R E

S

1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: numeros@sinewton.org 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión

ciega”, en la que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el cuerpo como en la bibliografía.

5. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características: • Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole

number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 6 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 97, marzo de 2018, páginas 129-130

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

E V

A L U

A D

O R

E S 2 0 1 7

Evaluadores de artículos publicados durante el 2017

Trinidad Cámara Gustavo Cañadas

José Carrillo Eva Cid Castro Nuria Climent Myriam Codes

Astrid Cuida Gómez Candelaria Espinel

José Antonio Fernández Carmen Galván Magdalena Gea

Valentina Giaconi Juan Godino

Josefa Hernández Clara Jiménez Gestal

Féliz Martínez José Muñoz Santoja María Rosa Nortes

Andrés Nortes Tomás Ortega

Juan Jesús Ortíz Mercedes Palarea

130

NÚMEROS Vol. 97 marzo de 2018

E

V

A

L

U

A

D

O

R

E

S

2 0

1 7

El Comité Editorial agradece a los evaluadores

la colaboración prestada

Cristina Pechorramán Mónica Ramírez García

Encarnación Reyes Maximiliano Ritacco Lourdes Rodríguez

Nuria Rosich Gloria Sánchez-Matamoros

Elsa Santaolalla Tomás Sierra

Rodrigo Trujillo Julia Valls

Teresa Vásquez Antonio Viviano