Música y

Matemáticas

“La música es la aritmética de

los sonidos, como la óptica es

la geometría de la luz.”

Claude Debussy

“……Como los pitagóricos veían que las

propiedades y relaciones de la armonía

musical están determinadas por los números

y que todas las cosas están también

conformadas según los números y que estos

son lo primero en toda la naturaleza,

pensaron que las relaciones de los números

son las relaciones de todas las cosas y que

el cielo entero es armonía y número….. ”

Aristóteles

Origen de la Música

El término "música" proviene del griego "musiké" (de las musas). Por eso la paternidad de la música, tal como se la conoce actualmente, es atribuida a los griegos. En la mitología griega, las musas eran nueve y tenían la misión de proteger las artes y las ciencias en los juegos griegos.

Para el hombre primitivo había dos señales que evidenciaban la separación entre vida y muerte. El movimiento y el sonido. Los ritos de vida y muerte se desarrollan en esta doble clave. Danza y canto se funden como símbolos de la vida. Quietud y silencio como símbolos de la muerte.

El hombre primitivo encontraba música en la naturaleza y en su propia voz. También aprendió a valerse de rudimentarios objetos (huesos, cañas, troncos, conchas) para producir nuevos sonidos

Hay constancia de que hace unos 50 siglos en Sumeria ya contaban con instrumentos de percusión y cuerda (liras y arpas). Los cantos cultos eran más bien lamentaciones sobre textos poéticos.

En Egipto (siglo XX a.C.) la voz humana era considerada como el instrumento más poderoso para llegar hasta las fuerzas del mundo invisible. Lo mismo sucedía en la India. Mientras que en la India incluso hoy se mantiene esta idea, en Egipto, por influencia mesopotámica, la música adquiere en los siguientes siglos un carácter profundo, concebida como expresión de emociones humanas.

Hacia el siglo X a.C., en Asiria, la música profana adquiere mayor relieve gracias a las grandes fiestas colectivas.

Origen de la Música

Es muy probable que hacia el siglo VI a.C.,

en Mesopotamia, ya conocieran las

relaciones numéricas entre longitudes de

cuerdas. Estas proporciones, 1:1 (unísono),

1:2 (octava), 2:3 (quinta), y 3:4 (cuarta), y

sus implicaciones armónicas fueron

estudiadas por Pitágoras (siglo IV a.C.) y

llevadas a Grecia, desde donde se

extendería la teoría musical por Europa.

Origen de la Música

En la antigua Grecia la música abarcaba también la poesía y la danza. Tanto la danza como el atletismo se sabe que tenían su acompañamiento musical en tiempos de Homero.

Hacia principios del siglo V a.C., Atenas se convirtió en el centro principal de poetas-músicos que crearon un estilo clásico, que tuvo su expresión más importante en el ditirambo.

El ditirambo se originó en el culto a Dionisos (Baco). Las obras -tragedias y comedias- eran esencialmente piezas músico-dramáticas. La poesía, la música y la danza se combinaban y las piezas eran representadas en los anfiteatros por cantores-actores-danzadores.

La poesía era modulada y acentuada por sílabas, e interpretada indistintamente en prosa común, recitado y canto. La melodía estaba condicionada, en parte, por los acentos de la letra, es decir, por la melodía inherente a la letra, y el ritmo musical se basaba en el número de sílabas. Es dudoso que hubiese diferencia real entre los ritmos musicales y los metros poéticos.

Origen de la Música

Pitágoras y la Música

Pitágoras fue el primero en

relacionar la música con las

matemáticas uniéndolas

mediante el concepto de

Harmonia .

En el sentido pitagórico se

establecía un paralelismo

entre los intervalos acústicos

considerados como base de

la música y las distancias que

nos separan de los planetas.

Aristóteles dice que los

pitagóricos afirmaban que "la

tonalidad del universo era

harmonia y número".

La concepción pitagórica de la filosofía como curación del alma, que tiene como ciencias auxiliares a las matemáticas y a la música, dio lugar a la meloterapia o psicoterapia.

Ver mas

El Monocordio

Pitágoras construyó el monocordio (una cuerda tensada, sobre la que se podía deslizar un puente y cuyo efecto era acortar la cuerda). Al pulsar la cuerda se producía un sonido.

A este sonido base, Pitágoras llamó tono. Al sonido resultante al colocar el puente en la posición 9/12, llamó cuarta(diatesserón); al producido al colocar el puente en la posición 8/12 llamó quinta(diapente) y al producido al colocar el puente en la posición 6/12 llamó octava(diapasón).

Los Intervalos Pitagóricos tienen como valores: Octava (2/1), Quinta (3/2), Cuarta (4/3

Relaciones Numéricas en el Monocordio

En el monocordio de Pitágoras los números 12, 9, 8 y 6 están relacionados.

9 es la media aritmética de 12 y 6. 8 es la media armónica entre 12 y 6. 12/9 = 8/6.

Media aritmética: m = (a + b)/2.Media armónica: 1/h = 1/2(1/a + 1/b).Media geométrica: g/a = b/g

Se cumple que a/m = h/b.También se cumple g/m = h/g.

Los sonidos que se producían cuando el puente estaba en otras posiciones no eran agradables (armónicos).

Escala Musical

Podemos considerar a Pitágoras el descubridor de la escala musical.

Do = 1Re = 9/8Mi = 81/64Fa = 4/3Sol = 3/2La = 27/16Si = 243/128Do = 2

Para los pitagóricos 'todo es número'.

Propiedades que comparten

Música y Matemáticas

De donde Salieron las Notas Musicales

Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos, una cuerdavibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc.

La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o cantidad deveces que vibra por segundo, lo que se llama frecuencia.

Cuanto más oscilaciones por segundo tenga la frecuencia, más aguda o "alta" serála nota musical. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que essimplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo.

En la música es amuy importante la relación que existe entre la frecuencia de losdistintos sonidos, a esta relación se le llama intervalo.

Para entender como es la relación entre las notas musicales y como se definieronestas a través de los años, vamos a establecer una primera nota fundamental oestándar que será la nota de La central que tiene una frecuencia de 440 oscilacionespor segundo.

Recordaremos que aunque el oído humano puede llegar a captar frecuencias entrelos 20hz hasta 20.000hz, la frecuencia de las notas musicales llega solamente a los4.500hz. Teniendo en cuenta que el oído humano pude diferenciar sonidos con 1hzde diferencia, bien podríamos tener unas 4000 notas en nuestra escala musical, perosolo tenemos una 88 notas en un piano y casi no hay mas que eso.

Aquí podemos ver un dibujo con un fragmento de las teclas del piano con el nombreque reproduce su nota musical, además se encuentra la frecuencia que produce esanota musical. *

En este di-bujo se pueden ver gru-pos de 7 teclas blancas y 5 teclas negras. Cadaoctava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musicalentre esas teclas se llama octava. Basicamente la frecuencia de cada tecla de laoctava que sigue es el doble de la misma tecla de la octava anterio, también lafrecuencia de la misma nota de la octava anteriór es la mitad.

La anterior = 220hz

La central = 440hz

La siguiente = 880hz

Escala natural Todos los sonidos generados por la naturaleza, inclusive los generados por la

vibración de cualquier elemento como puede se una cuerda de una guitarra,también el aire que pasa dentro de los tubos de un instrumento de viento,además de la frecuencia principal que generan, producen otras frecuencias,generalmente con volumen mas bajo, a estas otras frecuencias se les llamanarmónicos y notablemente ellas guardan una relación matemática con el so-nidoprinci-pal, esta relación es el doble de la frecuen-cia del sonido principal, el triple,cuatro veces la frecuencia del sonido principal, etc..De acuerdo a cuales de estasfrecuencias aparecen, mas el volumen de cada una de las mismas, mas cuandoaparecen y desaparecen a través del tiempo provocan el sonido característico delinstrumento lo que se llama timbre y que es único para cada instrumentomusical.Casualmente el oído humano junto con el cerebro tiene una construccióntal que al escuchar juntas estas frecuencias matemáticamente dispuestasreconoce como agradable.Tomando como base la frecuencia 55Hz (que en laescala musical es el LA mas grave del piano) y a esta frecuencia la multiplicamospor 2 luego por 3 y así sucesivamente obtendremos distintas frecuencias, queademás son distintas notas musicales.A estas frecuencias las colocaremos en

una grilla y asignaremos su equivalente nota musical. *

Observamos que la primer octava tiene solo una nota que tiene la frecuencia55hz, la segunda octava tiene dos notas con las frecuencias 110hz y 165hz, latercera octava cuatro notas con las frecuencias 220hz, 275hz, 330hz y 385hz, y lacuarta octava tiene ocho frecuencias o sea ocho notas, y aquí estamos frente auna octava completa natural.

La serie ordenada de esta manera se conoce como escala. La escala queacabamos de construir se conoce como escala natural.

La distancia musical entre la nota principal (La 55hz) y la segunda nota (La110hz) se llama octava.

La distancia musical entre la segunda nota (La 110 hz) y la tercera nota (Mi165hz) se llama quinta.

La distancia entre la tercer nota (Mi 165hz) y la cuarta nota (La 220hz), se llamacuarta.

La distancia entre la cuarta nota(La 220hz) y la quinta nota(Do 275hz), se llamatercera.

Estos son distancias o intervalos fundamentales en la música.

Escala diatónica

Ya sabemos que dos notas de una quinta producen juntas un sonidomuy agradable. Dentro de la quinta, se encuentra un sonido másformando, la llamada tercera en que las frecuencias se relacionancomo 4:5:6. Este triplete se llama armonía. Al descubrir la armonía, losmúsicos antiguos empezaron a afinar sus instrumentos de manera quetoda la escala musical fue compuesta de armonías continuas, comoesta y siempre guardando la relación 4/5 y 5/6, o sea La 440 / 5 x 6= 528 donde se generaba la nota Do, una tercera superior a La, porotro lado La 440 / 5 x 4 = 352 donde se generaba la nota Fa, unatercera inferior a La. Calculando hasta completar todas las notas

obtenemos nuevamente las 7 notas de la escala natural. *

Vamos a construir una octava dividiendo o multiplicando estos valoresbásicos, y luego calcular la distancias entre las notas vecinas: *

Escala diatónica Si tomamos esta escala y medimos la distancia que existe entre sus

frecuencias nos daremos cuenta que se generan tres fracciones 8/9, 9/10 y 15/16.

La distancia de 9/8 es un tono y la distancia de 10/9 que está muy cerca de 9/8 también será un tono, y la distancia de 16/15 es aproximadamente igual a una mitad del tono, y se llama semitono.

La serie de tonos (T) y semitonos (S): T-T-S-T-T-T-S, donde el semitono es el tercer intervalo, se llama tonalidad mayor. Para construir una tonalidad menor tenemos que iniciar esta secuencia desde la nota A: T-S-T-T-S-T-T. Aquí el semitono es el segundo. La diferencia entre estas tonalidades ya había sido descubierta por los músicos antiguos: la misma melodía tocada en tonalidades diferentes (mayor o menor), tiene un carácter diferente, lo que permite expresar sentimientos mediante la variación de la tonalidad de la música. Las canciones que usan una tonalidad mayor son alegres y vivaces, mientras que las que usan una tonalidad menor son tristes y melancólicas.

Otra vez, podemos escoger como base para construir una tonalidad, cualquiera de las 12 notas, 24 tonalidades diferentes en total. Estas tonalidades llevan el nombre de la nota principal y la palabra "mayor" o "menor", por ejemplo, «Do mayor» o C, «La menor» o Am, etc

Escala cromática Al descubrir las tonalidades, los músicos

antiguos quisieron tener la posibilidad de

pasar libremente entre ellas. Evidentemente,

para hacerlo, se necesita construir escalas

mayores y menores comenzando con cada

una de las siete notas que tenemos. Los

resultados de esos cálculos están

presentados en la siguiente tabla: *

Escala cromática Esta tabla tiene 25 sonidos diferentes, ¡18 nuevos! Y no es todo, porque cada

uno de esos nuevos sonidos puede engendrar su propia escala, tanto mayorcomo menor - ¡la octava al final va a tener cerca de 100 notas! Seríasumamente difícil tocar un instrumento de tantas teclas.

Entonces los griegos antiguos hicieron un compromiso: introducir notas "extra"sólo donde el intervalo entre las notas vecinas sea un tono entero (C-D, D-E, F-G, G-A, A-B), de manera que la distancia mínima dentro de una octava seaigual a un semitono. Como resultado de esto, las notas adicionales obtenidasocupan las posiciones donde se encuentran las teclas negras del piano.

Recordemos al famoso matemático y filósofo griego Pitágoras, quien fue a lavez un buen músico. Esa combinación de talentos le permitió descubrir laescala natural, los principios básicos de la acústica musical y construir unsistema sintónico que ha existido por más de 2,000 años.

Pitágoras propuso derivar todas las 12 notas de puras quintas. Vamos aempezar otra vez con la nota La4 que tiene la frecuencia de 440Hz, pasarquinta-a-quinta 6 veces arriba, sucesivamente multiplicando la frecuencia por3/2, y 6 quintas abajo, dividiendo por 3/2: (ver Tabla 6) *

Escala cromática La primera y la última nota de esa escala es la misma nota D#, aúnque de diferentes

octavas, la D#8 está a siete octavas arriba de la D#1. Aquí surge un problema: en esta escala no es posible pasar directamente de D#1 a D#8 octava-a-octava (multiplicando por 2 la frecuencia). ¡Las 7 octavas NO son iguales a las 12 quintas! Esta discrepancia (que es igual a (3/2)12 : 27 = 1.013643 aproximadamente, o sea, 0.2346 de semitono) lleva el nombre de coma pitagoreana. Si queremos preservar pura la quinta, tenemos que cambiar la octava, que es una distancia aún más fundamental en la música. ¿Qué haremos entonces?

La última reforma musical fue inspirada por un organista alemán, Andreas Werckmeister, a fines del siglo XVII. Él propuso hacer todos los semitonos iguales. El problema planteado así tiene una única solución: la distancia musical entre cada una de las notas vecinas debe ser igual a la raíz doceava de 2, o sea, 21/12. Este sistema por lo general se denomina sintonización bien temperada o temperamento igual. La escala de 12 semitonos iguales se llama escala cromática. Cada semitono a su vez se divide en 100 partes iguales que se llaman centavos de semitono. El temperamento asimismo altera la quinta, que llega a ser un poco más corta, y modifica también las demás distancias naturales, quedando pura únicamente la octava. Las ventajas obtenidas son evidentes: ahora se puede pasar libremente entre tonalidades, y de esta manera, se logró eliminar la coma pitagoreana. Por esta época Juan Sebastián Bach escribió El Clave Bien Temperado obra que actualmente todos los estudiantes de piano están obligados a aprender.

Escala cromática Finalmente vamos a comparar la escala natural, la escala pitagoreana y la

escala cromática:*

Para calcular la frecuencia de cada nota en la escala cromática, dada su escala (a cuantas teclas está de la nota La 440), se usa la siguiente fórmula:

Fi = 440 * 2i/12

Aquí i es la escala o la distancia de la nota de La 440. Si es negativa, latecla está a la izquierda. Ejemplo: la frecuencia de la nota Do (que está a 9teclas a la izquierda) es:

440 * 2-9/12 = 261.63 Finalmente si nos hacemos la pregunta del título ¿Dedonde salieron las notas musicales? Podríamos decir de la naturaleza, dela propia creación de Dios. &

Primera propiedad: La Matemática y la Música son ambas

lenguajes universales

Aprovechando esta universalidad, en 1817 el francés François

Sudre creó el idioma artificial solresol, que también servía como

lenguaje para sordomudos. Así, "sol-la-si" (tres tonos

ascendentes) significa subir. "Fa-la" significa bueno, mientras

que "la-fa", significa malo.

Segunda propiedad: La teoría física de las ondas juega un

papel fundamental en nuestra percepción de la música. Y esta

teoría puede ser analizable matemáticamente.

Tercera propiedad: Nos la recuerda Bertrand Russell "...el

matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo

de belleza ordenada."

Círculo de Quintas

Tono base: f.

Quinta: (3/2)f.

Quinta de la quinta (3/2)²f.

etc…

¿Hasta cuando? Hasta cerrar en octava:

32

2

m

nf f

Calculo del número de notas en la escala

La ecuación anterior se puede rescribir como

3m = 2n+m ,donde m representa el número de notas en la escala .Transformando y despejando a m se obtienen los siguientes valores de la tabla :

log (3) /log(2) = (n+ m )/m

1,58496250072116 1 1 1 1,00000000000000

1,70951129135146 1 2 1 2,00000000000000

1,40942083965321 1 3 2 1,50000000000000

2,44247459618086 2 8 5 1,60000000000000

2,26001675267080 2 19 12 1,58333333333333

3,84590604154676 3 65 41 1,58536585365854

1,18216439046998 1 84 53 1,58490566037736

5,48954709216229 5 485 306 1,58496732026144

2,04270440170134 2 1054 665 1,58496240601504

Observando la tabla anterior se concluye que

tienen que haber 12 notas en la escala, ya

que :

5 son muy pocas, resulta en música aburrida

(escala penta tónica, música oriental).

41 notas son demasiadas, ni un pulpo podría

tocar el piano.

Hemos visto que el deseo de recorrer el

circulo de quintas y el de cerrar la escala en

la octava son irreconciliables. El mejor

compromiso es la escala de 12 notas.

Sin embargo, no hemos discutido como

vamos a corregir la escala de 12 notas para

que cierre en la octava. ¿Ponemos toda la

corrección en la ultima nota? ¿Cómo

hacemos?

Durante siglos, matemáticos y músicos han

propuesto muchas soluciones a este

problema. Una de ellas se llama la escala

bien atemperada, y Bach le dedico a esta

solución en el clavecín una serie de

composiciones: El clavecín bien atemperado.

La solución moderna es la escala equi-

atemperada.

La escala moderna permite transposiciones

arbitrarias, sin que cambie el temperamento

de la composición.

La Proporción Áurea y la Música

Si deseamos que la parte menor

sea a la parte mayor como esta al

todo, la proporción que buscamos

es necesariamente la razón áurea.

La proporción áurea se encuentra

en la música en la construcción de

los instrumentos,en la composición

de las melodías

Los instrumentos musicales

Composición de Melodías

En varias sonatas para piano de Mozart, la

proporción entre el desarrollo del tema y su

introducción es la más cercana posible a la

razón áurea.

Tampoco se sabe si fue consciente de

ello, pero en su Quinta Sinfonía Beethoven

distribuye el famoso tema siguiendo la

sección áurea.

Ecuaciones y Música

Mediante un computador y ecuaciones matemáticas se

pueden obtener diferentes notas musicales

,combinando tonos . Ecuaciones tales como y = 4 ·

sen(x/2) · cos (4x), y = x · sen (x). Etc , conllevan a

generar música en formatos Wav, Midi (Musical

Instrument Data Interface) , Mp3 , etc .Estas

ecuaciones generan graficos tales como :

En este campo el matemático Iannis Xenakis es

considerado padre de la música automática y

matemática

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Como se obtienen las Notas Musicales

El embrujo de las matemáticas comenzó cuando Pitágorasadivinó que existe una relación entre la longitud de las cuerdas de una lira y los acordes fundamentales de la música. "Por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones

De esta manera, el intervalo de quinta (el paso de do a sol), se obtiene multiplicando por 3/2; el intervalo de cuarta (paso de doa fa) multiplicando por 4/3, y así para los demás."

do re mi fa sol la si do

264 297 330 352 396 440 495 528

1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1

Modelos Matemáticos

En general, la onda de presión sonora se

puede representar por una función t s(t)

donde t es el parámetro tiempo.

En el caso particular de una tonalidad pura,

podríamos escribir s(t) = Asen(2 f t) donde A

y f son parámetros físicos que determinan el

diseño de la tonalidad, denominados,

respectivamente, amplitud y frecuencia de la

onda sonora.

Frecuencias y Notas Los sonidos musicales son producidos por algunos

procesos físicos que tienen un carácter periódico - una cuerda vibrando, al aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático.. Cuanto más oscilaciones da en un período de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido, y más aguda o "alta" será la nota musical resultante.

La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo.

Se puede definir un etalón, o sea, una nota estándard, de la cual podemos derivar todas las otras notas. La distancia musical que separa alguna nota de la del etalón, se denomona escala .

El pentagrama: una escala logarítmica

Un ejemplo de escala logarítmica es el pentagrama utilizado en occidente para escribir música, pues, como se ve en el gráfico, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un do grave al do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas do están en progresión geométrica).

¿Qué es la Música de los Planetas?

¿Qué es la Música de los Planetas?

Es un método de composición musical basado en las posiciones planetarias para cualquier coordenada espacio-temporal terrestre, herramienta útil para el autoconocimiento y la Musicoterapia. Aplicaciones psicoterapéuticas..

Es la traducción sonora de las fuerzas que mantienen en equilibrio el Sistema Solar. Todo es energía, y la Geometría, el Color y la Música son la misma cosa que sustenta el Universo. Luz y Sonido.

Es la partitura del Cielo para un momento y lugar, especialmente orientado para el estudio de nacimientos de personas, de animales o de sucesos. Dicha composición musical es plena expresión sonora de las energías planetarias del momento y lugar considerados, y del alma de aquello que ha llegado al mundo en tales circunstancias.

¿Qué es la Música de los Planetas? Música Planetaria es:

La traducción exacta de las posiciones y relaciones trigonométricas de los cuerpos celestes, extraídos del mapa celeste también llamado carta astral, en sus correspondientes sonidos, acordes y colores.

Es la Armonía del giro del Sistema Solar, base de nuestro Tiempo (horas, días, meses, estaciones, años, eras), que es el Reloj perfecto.

Es la expresión sonora del signo, grado, casa, ángulo y aspectos de cada planeta de una carta astral, que en Astromúsica corresponden, respectivamente a: nota, microafinación, stereo, volumen, acordes, octava. (Ver "Características Técnicas")

La Astrología, abuela de la moderna astronomía, es una de las ciencias más antiguas de la humanidad. Se estructura según el modelo de Geometría trigonométrica de Pitágoras, al igual que la Armonía de las notas musicales, puesto que ambas, Astrología y Armonía, se basan en la mística del número Doce. Doce son las notas en cada octava, y doce son los signos de cada año planetario. Los antiguos dividieron el cielo y el tiempo en doce segmentos, y la octava en doce notas; división que sigue funcionando perfectamente tras milenios de uso. La trigonometría sería imperfecta en sus cálculos si se basara en otras divisiones. Los aspectos planetarios, es decir, las relaciones trigonométricas angulares entre planetas con respecto a la posición del observador terrestre, se traducen en relaciones armoniosas, también llamadas acordes. Es curioso observar cómo existe un paralelismo entre la interpretación tradicional de un aspecto en la Astrología clásica, y la respuesta anímica de su correspondiente acorde musical. La Astrología se expresa con palabras. La Astromúsica, con acordes. Ya Pitágoras, Platón, Kepler y otros muchos sabios se refirieron a esta "Armonía de las Esferas", arte sonoro que surge como emanación del milagroso tic-tac del Sistema Solar, reloj de relojes.

Si el astrólogo explica el alma mediante frases, el astromúsico lo hace con acordes. La música es en sí misma el misterioso puente que une el alma al Espíritu creador.

Para auto conocerse, lo mejor es oírse.

La Música, la Matemática y la inteligencia

En el siglo VI a.C., Grecia vio crecer en su seno un movimiento de espiritualidad que, con el tiempo y de un modo más bien impreciso, recibió el nombre de orfismo. Entre las ideas básicas que lo caracterizaron se hallaba la creencia en la preexistencia del alma y la consideración del cuerpo como una prisión, a la que el alma se veía sometida cíclicamente si no hacía lo necesario para escapar del círculo de reencarnaciones.

Los pitagóricos participaban de este movimiento de espiritualidad. Vivían apartados de la sociedad, ejercitándose en artes que les permitirían a sus almas emanciparse del mundo terrenal. De este modo, luego de la separación del cuerpo, el alma no desearía ya volver a encarnarse. Entre las artes practicadas por los pitagóricos se destacaban la Música y la Matemática. Ellos entendían que ambas disciplinas relacionaban al hombre con lo eterno, con lo más perfecto.

Hace pocos meses se conocieron los resultados de una investigación de varios años realizada en los Estados Unidos. Se siguió el desarrollo neuronal de dos grupos de niños: el primer grupo (grupo de referencia) había recibido una formación normal, común, como la que reciben todos los chicos de esa edad en ese país; el otro grupo recibió una formación extra en Música y Matemática. La conclusión fue la siguiente: los niños del segundo grupo tuvieron un desarrollo neuronal mayor que los del grupo de referencia.

Es posible que no participemos de las creencias del culto órfico y que dudemos de los resultados de algunas investigaciones, pero creo que la Música y la Matemática nos ayudan a desarrollar una forma de inteligencia y un criterio estético. Presentadas de este modo, las dos disciplinas serían probablemente más valoradas por docentes, alumnos y padres.

Música, matemáticas y cerebro

La relación entre música y matemáticas posiblemente tenga su raíz en el propio órgano que nos permite crear ambas: el cerebro.

Hoy día es posible saber qué partes del cerebro están en funcionamiento cuando un sujeto está realizando una actividad determinada. Aplicando estas técnicas, los investigadores han visto que los músicos expertos y los matemáticos expertos usan los mismos circuitos cerebrales, lo cual no siempre es cierto para los aficionados.

Esto tiene su lógica: los humanos utilizamos, por lo general, el hemisferio cerebral izquierdo para tareas verbales y analíticas, mientras que utilizamos el hemisferio derecho para tareas espaciales y visuales. Es decir, que el primero se encarga del análisis y la fragmentación y el derecho de la síntesis y la unidad.

La música y las matemáticas

despiertan la materia gris

Einstein, Mozart y Beethoven nunca supieron, pese a ser genios, que su cerebro era más grande de lo normal, pero ahora se ha comprobado que la "materia gris" aumenta con el entrenamiento musical y las matemáticas.

El neurólogo alemán Gottfried Schlaug mantiene que la música desarrolla una porción del cerebro que incluye el sistema nervioso central y se prolonga como "sustancia gris" por la médula espinal. Así lo ha comprobado en un estudio realizado con 15 jóvenes músicos, que recibieron adiestramiento musical desde su infancia.

Las imágenes obtenidas, mediante técnicas de resonancia magnética, evidencian "cambios estructurales" en las regiones sensoriales y motoras de sus cerebros, en comparación con las de otras 15 personas sin entrenamiento musical. El doctor Schlaug cree que el mayor desarrollo del cerebro es una respuesta a la demanda que implica el aprendizaje musical y ha presentado los resultados de su investigación en la reunión que celebra en Filadelfia la Academia Estadounidense de Neurología.

Los 15 músicos profesionales cuyos cerebros han sido analizados "tenían relativamente un mayor volumen de sustancia gris en la región motosensorial primaria izquierda y derecha del cerebro", ha explicado el neurólogo.

"Las diferencias son también evidentes en el cerebelo, que coordina los movimientos", explicó Schlaug. El científico alemán ha indicado que la única explicación posible, diferente a la que vincula la música con el mayor desarrollo del cerebro, sería considerar que las modificaciones en el cerebro existen de modo previo y son las responsables de que esas personas tengan tendencia al estudio de la música.

Cerebros matemáticos y

cerebros musicales

Albert Einstein, uno de los científicos más destacados de todos los tiempos, tenía un cerebro aparentemente normal, pero un análisis detallado del órgano reveló en 1999 que las áreas dedicadas al aprendizaje matemático eran un 15% mayores que en el resto de las personas.

Einstein fue incinerado en 1955, pero su cerebro fue conservado en formol. Según se publicó después, el cerebro de Einstein no era, en realidad, mayor de lo normal, incluso pesaba unos 150 gramos menos de lo común. Lo sorprendente era el mayor desarrollo de la zona dedicada a las funciones matemáticas y la gran concentración que había en ella de un tipo de células, denominadas glias, que alimentan a las neuronas.

La ranura o depresión que recorre el cerebro desde su parte frontal a la posterior en la mayoría de los cerebros humanos era mucho menor en el caso del científico alemán, quien se trasladó a vivir a Estados Unidos en 1933. Según los científicos canadienses que investigaron su cerebro, esa peculiaridad en la depresión del cerebro pudo haber proporcionado mayor espacio a las neuronas y mejores condiciones para establecer conexiones entre ellas.

Gran parte de los estudios científicos realizados sobre el cerebro indican que el entrenamiento en cualquier función mejora no solo ése cometido, sino todos los relacionados con esa función y las que compartan el mismo área. Tanto la música como las matemáticas parecen ser capaces de estimular las regiones más remotas del cerebro y de aumentar sin límite las conexiones de ese entramado mágico al que llamamos inteligencia.

Einstein y la Música

Eisntein decia:Si yo no hubiera sido físico, hubiera sido músico. Pienso constantemente en la música, veo mi vida en formas de música y obtengo el mayor goce de la vida a través de ella.

En su trabajo Pensamiento Científico, Einstein dice: siempre hay que buscar el elemento poético. La apreciación de la buena ciencia y de la buena música demandan, en parte, procesos mentales similares. La música, quizás llevó a Einstein a pensar que el universo lo mismo que la física y sus leyes, son esencialmente simples. Por que: ¿qué es más simple que cuatro cuerdas de un violín? ¿No son esas cuerdas un breve e infinitesimal espacio en comparación con los sonidos capaces de producir? Y de ahí se ha creado casi toda la música del mundo.

Matemáticas en el Pentagrama

Reflexión de la altura en la melodía

Matemáticas en el Pentagrama

Reflexión de la altura en el acorde

Matemáticas en el Pentagrama

Rotación de la altura en el tiempo

Matemáticas en el Pentagrama

Traslación y reflexión de la altura en el tiempo

Matemáticas en el Pentagrama

Reflexión con homotecia en la duración (disminución)

Matemáticas en el Pentagrama

Traslación en el Estudio Op. 10, No. 12, de Chopin

El efecto Mozart La influencia de la música en el cerebro son conocidas desde hace

tiempo y, con acierto, reciben el nombre de "el efecto Mozart". Algunos experimentos en el campo de la educación sugieren que la enseñanza de la música ayuda a lograr un desarrollo completo del cerebro infantil.

El Efecto Mozart es producto de la investigación del formidable equipo de trabajo del doctor Francis Rauscher, del doctor Gordon L. Shaw y de sus colegas de la Universidad de California en Irvine.

Estos investigadores estudiaron la conexión que existe entre la música y el aprendizaje. Su trabajo se inserta en una creciente línea de investigaciones sobre el desarrollo del cerebro humano, que demuestran que los niños nacen con 100 billones de neuronas o células nerviosas desconectadas o sueltas.

El efecto Mozart posibilita :

Desarrollo de habilidades para la lectura y escritura

· Desarrollo del lenguaje verbal

· Desarrollo de habilidades matemáticas

· Desarrollo de capacidad de recordar y memorizar

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Efecto Mozart Música Recomendada

Volumen 1Estirando la MenteMúsica para Inteligencia y Aprendizaje

Volumen 2Sanar el CuerpoMúsica para descanso y relajación

Volumen 3Despertar el Espíritu CreativoMúsica para Creatividad e Imaginación

Volumen 4 (doble)Enfoque y ClaridadMúsica para realización de proyectos

Volumen 5 Relajación y olvidar los Problemas Música para descanso profundo y rejuvenecimiento

Volumen 6Mañana y TardeMúsica para Yoga, antiestrés masaje y meditación

Musicoterapia

El efecto Mozart articulado a gran numero de

melodías que producen el mismo efecto de la

música de Mozart contribuyen a potenciar

el hemisferio cerebral derecho, logrando

un equilibrio energético , alivio sanador

, mejoramiento de la concentración y la

creatividad y el razonamiento matemático

Farmacia Musical

• Con sólo escuchar Cantos Gregorianos bien grabados entre 30 y 60 minutos al día, puede hacer que la magia del sonido proporcione su energía al cerebro, lo cual lo convierte en un "Fantástico Alimento Enérgico". Además, hay otra cualidad como tónico cerebral de los Cantos Gregorianos. Esta cualidad es el hecho de que los cantos gregorianos tiene ritmo pero no tiempo; al escucharlos se tiene la sensación de que nadie se detiene nunca para respirar. Esto resulta benéfico para el que escucha porque funciona como un tipo de "Yoga Respiratorio" que lo lleva a un estado de tranquilidad con respiraciones lentas y reparadoras. En efecto, al escuchar cantos gregorianos usted entrena su propio ritmo de respiración (Ritmo cardiaco) para seguir el paso relajante y sereno implícito en la música.

• Música Romántica. Subraya la expresión y el sentimiento, invocando a menudo temas de individualismo racionalismo o misticismo. Lo mejor es utilizarla para mejorar la compasión, la compatibilidad y el amor. Schubert, Schumann, Tchaikovsky, Chopin y Liszt, son ejemplos de esta música.

• Jazz, Blues, Soul, Calipso y Reggae. Músicas y danza que son parte de la expresiva herencia africana, pueden inspirar y levantar el ánimo, al liberar una profunda alegría y tristeza, transmitir ironía e inteligencia y confirmar nuestra común humanidad.

• Rock. Puede agitar pasiones, estimular a un activo movimiento, liberar tensiones. enmascarar el dolor, y reducir los efectos de sonidos fuertes y desagradables en el medio ambiente. Esta música puede también crear tensión, desconcierto, estrés, así como dolor en el cuerpo, cuando no estamos de animo para divertirnos enérgicamente.

• Música religiosa y sagrada. Nos ancla en el momento presente, llevándonos a un sentimiento de profunda paz y conciencia espiritual. Puede también ser notablemente útil para ayudarnos a trascender y liberar nuestro dolor.

Melodías con Matemática

Son muchas las melodías que están compuestas

con base en las matemáticas . Como ejemplo de

ello veamos las siguientes

La quinta sinfonía de Beethoven

1770-1827.Nació en Alemania

Tradicionalmente los trabajos de Beethoven se agrupan en períodos "Tempranos, Medios y Posteriores". Los trabajos tempranos, se remontan aproximadamente hasta 1802, mostrando un progresivo control del estilo clásico superior de Haydn y Mozart. Los estudios formales de Beethoven en contrapunto(con Haydhn y Johann Albrectsberger), comenzando en 1792, y su estudio privado de la mejor música del tiempo, particularmente las sinfonías de Haydn, mejoró su trato de ambas formas y textura. Durante este periodo el escribio primeramente para piano y para conjuntos de cámara dominador por el piano.

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Traslación melódica en el Estudio Op.

10, No. 12, de Chopin

Nació en Polonia.

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Traslación melódica en las oberturas de

Gioachino Antonio Rossini

1792 - 1868 .Nació en

Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación melódica. Las frases se repiten, cada vez con más intensidad (crescendo), provocando la expectativa de continuación. El climax se alcanza rompiendo la traslación.

La combinación de simetría y asimetría es el principio básicode la música, pues sólo así se puede conjugar unidad y libertad. La repetición es probablemente el procedimiento más usado en música.

La repetición constante puede causar un efecto hipnótico. También puede provocar una adaptación del oído, como cuando dejamos de percibir el sonido de una lámpara fluorescente

Homotecia en la duración, Sonata

para piano Op. 90, Beethoven

Fragmento palíndromo de la Sonata nº

4 para violín y piano, de Haydn

Reflexión desplazada en la gigantesca Sonata

Hammerklavier Op. 106, de Beethoven

En su obra Musikalisches Würfelspiel (Juego de

dados musical) K516f, de 1787, Mozart compone

esta obra con base en el lanzamiento de dados

1756-1791 .Nació en

Australia .

Canon del Cangrejo de Bach

1685-1750 .

El canon es una forma musical en la que las distintas partes se incorporan sucesivamente repitiendo la melodía de la voz principal. Lo sorprendente del Canon del Cangrejo de Johann Sebastian Bach es que el acompañamiento repite exactamente lo hecho por la voz principal pero en sentido inverso, lo cual se puede ver perfectamente en la partitura: el pentagrama de abajo repite lo escrito en el de arriba pero invertido en el tiempo. Es decir , una melodía interpretada marcha atrás se sirve de acompañamiento a sí misma.

Eli Maor escribio respecto de Bach y Escher que "ambos fueron matemáticos experimentales del más alto rango".

Y esto es evidente es que ambos exploraron hasta sus últimas consecuencias las posibilidades de la simetría.

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Segunda sinfonía de Górecki, "Copernicana"

En 1973 se conmemoró el 500 aniversario del nacimiento del astrónomo polaco Nicolás Copérnico, en cuyo honor el compositor Henryk Górecki escribió su segunda sinfonía, llamada por este motivo “Copernicana”.

su obra, en sus dos movimientos nos hablan con lenguajes muy distintos. En el primero, una música inhumana, implacable y despiadada parece describir un universo dominado por las tinieblas. Sin embargo, en el segundo, parece que la luz lo inunda todo poco a poco, como si el conocimiento hubiese disipado la oscuridad y colocado las cosas en su sitio.

Bartók

Bartók usó la serie

Fibonacci para crear su

"escala Fibonacci". En

su obra Música para

instrumentos de

cuerda, percusión y

celesta, un análisis de

su fuga nos muestra la

aparición de la serie (y

de la razón áurea).

Metástasis de Iannis Xenakis

1922-2001. Nació en Rumania y se nacionalizo como Frances.

Compositor de música clásica Considerado padre de la música automática y matemática.

El año 1954 fue el año en el que terminó "Metastaseis" y empezó a identificarse como compositor serio. Además de composiciones instrumentales empezó a trabajar en música concreta. Intentó contactar con Pierre Schaeffer para que le invitase al estudio, pero éste rechaza su invitación. Conoce la música de Varese y pronto se siente identificado con ella.

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Música Estocástica La música estocástica surgió como una reacción al serialismo

integral o al ultrarracionalismo que tenía como abanderados a compositores como Pierre Boulez, Messiaen o Luigi dalla Piccola. La música estocástica intenta escapar de cualquier determinismo, esta gobernada por las leyes de la probabilidad. Xenakis encuentra tres puntos de inflexión para componer música estocástica: Primero: el intentar reproducir sonidos y estructuras propias de la naturaleza, es decir, del mundo que nos envuelve; “ la música es el arte que, antes que las demás artes, ha creado un puente entre el ente abstracto y su materialización sensible”. Segundo: El hombre siempre ha intentado determinar la naturaleza del mundo mediante reglas universales que rigiesen todos los acontecimientos; el uso de estas reglas se hace necesario a la hora de componer música. Xenakis acudió a las leyes de Poisson y Gauss, Tercero: sólo la subjetividad y la intencionalidad del autor pueden medir el valor de una obra.

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Las proporciones musicales

en la catedral de Chartres

El diseño geométrico de la catedral de Chartres se basa en las proporciones correspondientes a las consonancias perfectas y el intervalo de tono.

Esta geometría tendría su fundamento filosófico y teológico en la cosmología musical del Timeo de Platón, comentada por Calcidio, e interpretada cristianamente por los pensadores de la escuela de Chartres del siglo XII.

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Génesis Música- Matemáticas

La música cambia su textura y carácter según el lugar y la época. Puede ser cristalina o densa, sentimental o explosiva.

las matemáticas son directas, nunca alteran su carácter

La música se crea a partir de algo físico, instrumentos de todo tipo de materiales la producen

Las matemáticas son, sobre todo, abstracciones que no necesitan ni siquiera papel y lápiz

La música está cargada de emociones, es alegre o triste, suave o agresiva, puede ser espiritual, estética, religiosa pero no podemos hablar de un teorema “triste” o de una demostración “agresiva”.

Por la mezcla entre lo terrenal y lo celestial, lo esotérico y lo práctico, lo universal y lo particular, ambas disciplinas han tenido un poder místico desde la Antigüedad

Tanto el matemático como el músico se encuentran ocupados resolviendo problemas o componiendo o interpretando, enseñando a alumnos sin detenerse a pensar que ambos están entregados a disciplinas que son paradigmas de lo abstracto.

la música afecta al escucha y las matemáticas tienen múltiples aplicaciones prácticas.

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Tetracordios y géneros Para entender el término género dentro del contexto de la

música griega, debemos saber que su grupo interválico básico que era el tetracordio, es decir, un grupo de cuatro notas, de las cuales la más aguda y la más grave se hallan a una distancia de una cuarta justa.

Las dos notas extremas del tetracordio, al estar formadas por un intervalo que siempre podía cantarse correctamente afinado, se consideraban fijas, mientras que las notas interiores eran móviles.

El tratado musical más antiguo que existe, la Arm¶onica de Aristógeno (330 años antes de Cristo) presenta un sistema melódico altamente desarrollado, organizado mediante tetracordios de tres tipos o géneros principales: enarmónico, cromático y diatónico.

Los Modos

Los modos musicales, dice Aristóteles, difieren esencialmente uno de otro, y quienes los oyen se sienten diferentemente afectados por cada uno de ellos.

Algunos de ellos vuelven serios a los hombres, otros debilitan la mente, otros producen un estado de ánimo moderado y estable.

La teoría más antigua sostiene, que un modo era, en la música griega, similar, en esencia a un modo en la música medieval; seguía un determinado esquema tonos y semitonos en la escala de la octava con un centro tonal definido.

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Las escalas según Tolomeo

Los seis modos Rítmicos

Los Pitagóricos

Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La música griega existía mucho antes, era esencialmente melódica más que armónica y era microtonal, es decir, su escala contenía muchos más sonidos que la escala de doce sonidos del mundo occidental.

Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razones de enteros.

En la época de los antiguos griegos, los pitagóricos desarrollaron una división del curriculum llamado quadrivium en donde la música se consideraba una disciplina matemática que manejaba relaciones de números, razones y proporciones.

La relación entre matemáticas y música, durante el periodo clásico, puede observarse en las obras de Euclides, Arquitas y Nicómaco.

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La música de las

esferas

Una antigua doctrina afirmaba que el modelo para la creación del universo estaba basado en el uso de las proporciones musicales. Según esta creencia, los cuerpos celestes producían sonidos que al combinarse formaban la llamada música de las esferas.

La teoría de la música de las esferas fue aceptada durante muchos siglos. La apoyaron grandes pensadores y científicos: desde Pitágoras en el siglo VI a. C. hasta Kepler en el siglo XVII d. C, quie la redefinio.

La música de las esferas

Reconociendo que los planetas giraban alrededor del Sol, Kepler redefinó la teoría pitagórica de la “música de las esferas”, sugiriendo que los planetas producían diferentes sonidos por los diferentes grados de velocidad a la que giraban. Creía que si se conocía la masa y la velocidad de un objeto que giraba se podría calcular su sonido fundamental. Desarrolló sonidos que asoció a los planetas entonces conocidos.

El temperamento

La escala temperada se desarrolló para resolver problemas de afinación y llevó a una música en la que se podía modular (cambiar) de una tonalidad a otra sin tener que cambiar la afinación de los instrumentos.

En el siglo xii, compositores y ejecutantes empezaron a separarse de la tradición pitagórica creando nuevos estilos y tipos de música. Se creó una nueva división de las ciencias, llamada escolástica divina, que no incluía específicamente a la música. El canto monódico gregoriano poco a poco fue evolucionando en música polifónica con diferentes instrumentos y voces.

El temperamento no se popularizó sino hasta 1630, cuando el padre Mersenne formuló las invaluables reglas para afinar, usadas todavía hoy.

En el siglo xviii, músicos como Juan Sebastián Bach ,empezaron a afinar sus instrumentos usando el temperamento, es decir una escala en la que los doce sonidos fueran afinados sin diferencia entre un Fa sostenido y un Sol bemol.

Bach compuso El clavecín bien temperado, que consiste en 24 piezas en las doce tonalidades, usando el modo mayor y menor de cada una de ellas.

La Melodía Un procedimiento básico para obtener cohesión en una pieza de

música es la reafirmación de una secuencia de sonidos una y otra vez, en forma variada, para evitar la monotonía y dar carácter a la composición. Algunas de las técnicas usadas para dar unidad a una composición, sin hacerla aburrida, están basadas en el plano geométrico.

Las transformaciones musicales están íntimamente relacionadas con las transformaciones geométricas básicas. Una transformación geométrica recoloca una figura geométrica rígida en el plano, preservando su forma y tamaño. La forma original no se distorsiona con la manipulación.

Rotación, traslación y reflexión, estas transformaciones geométricas las encontramos en la mayoría de las melodías populares y un análisis de las obras maestras musicales nos llevará a encontrarlas..

La forma más sencilla de aplicar la traslación a la música es la repetición.

La serie Fibonacci

Los números de la llamada serie de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34........al establecerse la razón entre dos elementos subyacentes de la serie lleva a converger al decimal 0.618..., y sus recíprocos al decimal 1.618... La proporción de estas razones, sea en fracción o en decimal, es considerada por muchos como atractiva a la vista, balanceada y bella, y es nombrada proporción (sección) áurea.

No se sabe si el uso de la serie es intencional o, de manera intuitiva, tal vez el compositor la usa sin saber, sólo porque se oye bien. Por ejemplo, Beethoven no sólo la emplea en el tema de su Quinta Sinfonía, sino además en la forma en que incluye este tema en el transcurso de la obra, separado por un número de compases que pertenece a la serie.

Béla Bartók usó esta técnica para desarrollar una escala que denominó la escala Fibonacci:

Procesos formales en Música La composición de obras musicales a partir de reglas y

conceptos tales como la probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadísticos, el movimiento browniano o el ruido blanco o música estocástica, entre otros. También se puede generar música por medio de computadoras programadas con ciertas reglas.

Uno de los primeros intentos data de alrededor del año 1026, cuando Guido de Arezzo desarrolló una técnica para componer una melodía asociando sonidos a las vocales de un texto de tal forma que la melodía variaba de acuerdo con el contenido de vocales del texto. Abundan también los procedimientos composicionales basados en proporciones. Un exponente de este método fue Guillaume Dufay (1400-1474), quien derivó el tempo de sus motetes de una catedral florentina utilizando la antes mencionada sección áurea (1:1.618). Dufay fue de los primeros en utilizar las traslaciones geométricas de manera deliberada.

Juego de dados de Mozart

Mozart, en 1777, a los 21 años, describió un juego de dados que consiste en la composición de una pequeña obra musical; un vals de 16 compases que tituló Juego de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición (K 294).

Cada uno de los compases se escoge lanzando dos dados y anotando la suma del resultado. Tenemos 11 resultados posibles, del 2 al 12.

Mozart diseñó dos tablas, una para la primera parte del vals y otra para la segunda. Cada parte consta de ocho compases. Los números romanos sobre las columnas corresponden a los ocho compases de cada parte del vals, los números del 2 al 12 en las hileras corresponden a la suma de los resultados, los números en la matriz corresponden a cada uno de los 176 compases que Mozart compuso. Hay 2 x 1114 (750 trillones) de variaciones de este vals.

Música por Computadora

En el siglo xx, con la aparición de la computadora, se comienza a producir música a partir de modelos. Un ejemplo de ello es la música de Iannis Xenakis, uno de los pocos compositores de nuestra época no interesado en el serialismo, movimiento en boga desde principios del siglo xx.

Xenakis prefirió la formalización, es decir, el uso de un modelo como base de una composición. Utilizó modelos matemáticos en sus composiciones así como en algunas de sus obras arquitectónicas. Prefirió sobre todo las leyes de la probabilidad:

1.Distribución aleatoria de puntos en un plano

2. Ley de Maxwell-Boltzmann (Pithoprakta)

3. Restricciones mínimas (Achorripsis)

4. Cadenas de Markov (Analogicas)

5. Distribución de Gauss (ST/IO,Atrés)

6.Teoría de juegos

Sonidos Matemáticos

Fractal 1 Fractal2 Fractal3

Fractal4 Fibonaci Pascal

Numeros primos Pitagorica Triangulo

Sierpinski

Pi Combinatoria Omega

Canciones Matemáticas

Enseñar conceptos matemáticos a partir de

canciones es desmitificar la enseñanza de

las matemáticas abordándola desde

espacios lúdicos .

Las siguientes canciones matemáticas fueron

extractadas de la pagina Web:

www.udem.edu.mx/prepaudem/

Yo solo quiero aprender matemáticasYo solo quiero aprender matemáticas (2)

Estoy ya cansada de estar batallando

Pudiendo usar formulas

Para comprenderlo

Usando siempre en polígonos regulares

Con esta canción lo podrás aprender

Y lo podrás aplicar en cualquier ocasión

Desde ejercicios en clases

Hasta el final del BI

Para sacar el ángulo interno

Es 180 por n menos 2

Todo esto entre n

Recuérdalo muy bien

Para sacar el ángulo central

Es 360 entre n

Recuerda que la n es El numero de lados

Un polígono regular

Es una figura que

Tiene todos los lados iguales

Para obtener el ángulo externo es 180

menos lo que obtuviste en el ángulo interno

Y las diagonales es n menos 3 por n todo entre 2

Primero hablaremos del ángulo convexo

Después hablaremos del ángulo cóncavo

Tranquilos amigos

Todo esto lo vamos a explicar

El ángulo convexo es

Aquel que su secante cruza solo dos de sus lados

Mientras que el ángulo cóncavo es

El que su secante cruza mas de dos de sus lados

Yo solo quiero que ustedes entiendan

La diferencia entre estos dos

Para poder continuar con la explicación

De los diferentes tipo de ángulos

Los ángulos adyacentes son 2

ángulos que esta juntos

Pero no necesariamente

Tiene que sumar 180

Los ángulos complementarios son

Los que suman 90 grados

Y los suplementarios son

aquellos que suman 180

Échale mas ganas

Y lo entenderás

Ya quiero entender las matemáticas

Sacarme un 90 o mas de la cuenta

Sacarme un 100 sin esforzarme tanto

Tranquilos amigos que estudiare mas

Yo solo quiero aprender matemáticas (4)

Recuerden que hay diferentes nombres

Para cada ángulo

Los que miden entre 0 y 90 grados

Se llaman ángulos agudos

Los ángulos que miden 90 grados

Son aquellos que son rectos

Y los que miden entre 90 y 180 grados

son ángulos obtusos

Los ángulos que miden 180

se llaman ángulos llanos

Es todo de los ángulos

Esperamos que hayan

Entendido...

“Me encanta más la geometría”(a ritmo de La Bilirubina)

¡Por eso quiero geometría!

Hay me gusta más la geometría

Los ángulos centrales y externos eeh

Son suplementarios con los internos

Pues juntos miden los 180 eeh

De un polígono que siempre midaaaaaaaas

Me gusta ya la geometría

Hay me gusta más la geometría

Buscando la distancia en puntos

Hay con el teorema de Pitágoras

Dentro de un plano cartesiano

Hay y el punto medio de dos puntos

Con la analítica unida

Hay resolviendo las soluciones

Me encanta más la geometría

Hay me encanta más la geometría

Pues ya comprendo sus conceptos

Hay ya los entiendo más perfecto

Entonces bye asesorías

Bye bye bye asesorías

¡Por fin entiendo geometría!

¡Si! ¡Entiendo bien la geometría!

Oye me entro la duda el otro día

Por causa de la geometría

Que es la medida de la tierra

Y no sabía a que se aplicaba

El punto, rayo, recta y semirrecta. yeah

Son los conceptos nunca definidos

Y el plano con sus rectas paralelas oooh

Y con sus rectas perpendiculares

Oye los ángulos y descripciones

Se me dificultan un poco

Porque hay muchos tipos de éstos

El llano, recto, obtuso, agudo

Hay ángulos también correspondientes, eeeeh

Que al mismo tiempo son también congruentes

Teniendo las dos rectas paralelas ¡eh!

Que ya estoy aprendiendo geometría.

Coro

Me gusta ya la geometría

Hay me gusta más la geometría

Porque ya entiendo las mediadas

Hay midiendo la circunferencia

Si una línea intersecta

Hay se llama secante la recta

Si une dos puntos la recta

Hay entonces se llama la cuerda

Me encanta más la geometría

Hay me encanta más la geometría

Con los polígonos convexos

Hay que pasan solo por dos lados

Y los polígonos cóncavos

Hay que pasan por más de dos lados

“La geometría es la rama que estudia…”(a ritmo de He wasn’t de Avril Lavigne)

El punto medio no tiene dimensión

Al igual que la recta no tiene grosor

Ninguno tiene principio ni fin

El rayo es a partir del punto frontera

El segmento si se puede medir

Coro 1:

La geometría es la rama que estudia

La medida de la tierra

La geometría plana es con trazos

En un plano cartesiano

El plano tiene doble dimensión

Un eje x y otro y

Las paralelas no se interceptan

Las perpendiculares forman 90

Y las dos están en el mismo plano

Coro 2:

La geometría es la rama que estudia

La medida de la tierra

La analítica es más exacta

Porque se combina con el álgebra

Ángulo agudo...menos de 90

Ángulo recto...no más 90

Ángulo obtuso... son más de 90

Complementarios...suman 90

Suplementarios suman 180

Coro 1:

La geometría es la rama que estudia

La medida de la tierra

La geometría plana es con trazos

En un plano cartesiano

Coro 2:

La geometría es la rama que estudia

La medida de la tierra

La analítica es más exacta

Porque se combina con el álgebra

“La geometría y sus conceptos”(a ritmo de Que sube que baja)

Que suben que bajan no los puedo parar

Conceptos geométricos me van a hacer llorar

que alguien me explique yo ya no puedo más

si así continúo yo voy a reprobar.

Esta es la geometría

que se lleva dentro de la razón.

Es la medición de tierra,

Y superficie en un plano.

Segmento de línea es una porción

Con puntos frontera y cierta medición

La recta infinita de gran prolongación

Formada por puntos sin cierta dimensión.

Es el plano cartesiano

Utilizado para graficar

Fue inventado por Descartes

Y ahora te lo quiero yo enseñar

El punto de origen esta en la intersección

De X y Y el cual es el centro

De dos dimensiones que tiene este plano

Un punto en el plano se nombra coplanal.

X, Y, Z, X, Y, Z, ...Espacio...

Los ángulos se miden según sus grados

El que mide 90 se nombra recto

De 180 se llama llano

Y de 360 se nombra completo

“Matemáticas, matemáticas, matemáticas”

Geometría es la medición de la tierra

Y la analítica es la integración del álgebra

La distancia entre dos puntos es muy, muy fácil

La raíz de equis uno menos equis dos (al cuadrado)

Más ye uno menos ye dos (al cuadrado)

Mientras que la pendiente

Es la razón entre el cambio en “y”

Y el cambio en “x”

De dos puntos en la misma recta

Cuatro tipos de líneas

Dependiendo de su pendiente

Cuando es m es mayor a cero

O menor a cero o igual a este

O es indefinida

La ecuación general de una recta

Ax+By+C= 0

“Ska-p Mate”

Vas graficando despacio, sin ganas de equivocar, equivocar

Aplicando geometría, unas líneas y unos cuantos puntitos

Usando todos un plano, nos podemos encontrar, encontrar

Con líneas paralelas, y una que otra perpendicular

Han pasado 10 puntos, y el rayo se extendió

El que no anda en la clase, muy poquito es lo que alcanzara a captar

Pues la maestra no lo volverá a explicar

CORO:

Eh Chaval Siempre recuerda poner atención

Somos la causa de su malestar

Escribe en la libreta Y Nunca Dejes De estudiar

No Chaval No Es Ley De clase, poder platicar

A ti Te Dieron La Oportunidad

Escribe en la libreta y nunca dejes de platicar

Existe una alternativa, y es copiar, esto tiene que cambiar, dejemos de copiar

Seguimos...

Que le ha pasado a Pitágoras, que no dejo de pensar, de pensar

Aun no tienes los datos, por la noche te tienes que desvelar

La medida de catetos, la tenemos que sacar, y sacar

Hablamos de hipotenusa, comenzábamos nuestra resolución

Comenzábamos nuestra resolución

Suerte a todos!

CORO

Existe otro concepto, de Descartes, ahora lo vamos a hablar, lo vamos a explicar

Agresividad! con el plano cartesiano

Agresividad! contra los ejes x,y

Agresividad! el origen no cambiara

Agresividad! contra una nueva ecuación

En punto de intersección, no hay un punto nada más, la ecuación es lineal

Esto existe y no lo vas a eliminar, la solución consiste en graficarrrrrr

CORO

A la maestra en general

No dejéis nunca, nunca de estudiar, mate da la fuerza

Nunca, no vas a olvidar

Muchas gracias gente del 87!!!

Matemáticos Músicos

IANNIS XENAKIS (1922-2001)

Compositor griego, famoso por utilizar ideas matemáticas en su música. Su vasta obra de compositor abarca todos los géneros y cuenta con más de sesenta títulos algunos de los cuales son ya clásicos de la música del siglo XX.

Su música se ha caracterizado por este tipo de interacción entre la música y las ideas procedentes de la física, la arquitectura y especialmente de las matemáticas. Su concepto de música estocástica se basa en ideas matemáticas como la teoría de conjuntos, la lógica simbólica y la teoría de probabilidades unidas a un concepto de stochos o evolución hacia un estado estable

Entre sus composiciones de los últimos años cabe citar Polythope de Cluny, espectáculo luminoso y sonoro con música electroacústica y rayos láser (1972); Cendrées, para coro y orquesta (1973); Ais, para barítono, percución y orquesta (1980), y Shaar, para orquesta de cuerdas (1982).

Entre sus obras teóricas destacan Musiques formelles (1963) y Musique,architecture (1971).

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Frases

Sin música la vida sería un error Nitzche

La música expresa aquello que no puede ser puesto en palabras y aquello que no puede permanecer en silencio – Victor Hugo

Donde las palabras fallan, la música habla -Hans Christian Andersen

Error funesto es decir que hay que comprender la música para gozar de ella. la música no se hace, ni debe jamás hacerse para que se comprenda, sino para que se sienta. Manuel De Falla

La música constituye una revelación más alta que ninguna filosofía Ludwig Van Beethoven

Frases

El jarrón da forma al vacío y la música al silencio.

Georges Braque

El arte de la música es el que más cercano se halla

de las lágrimas y los recuerdos. Oscar Wilde

La música, cuando va acompañada de una idea

placentera, es poesía. Edgar Allan Poe

La música es un eco del mundo invisible.

Giuseppe Mazzini

La música es el placer que experimenta el alma

humana al contar sin ser consciente de estar

contando... Gottfried Wilhelm Leibniz

Frases

La música es para el alma lo que la gimnasia para el cuerpo... Platón

La música tiene una gran importancia para acallar la violencia. Es un paréntesis de paz dentro de la agitación de nuestros días. Zubin Mehta

Los músicos no se retiran, paran cuando no hay mas música en su interior... Louis Armstrong

No basta con oír la música, además hay que verla... Igor Fedororovich Stravinsky

La música debe hacer saltar fuego en el corazón del hombre, y lágrimas de los ojos de la mujer Ludwig Van Beethoven

Frases

El pensamiento, cuanto más puro, tiene su número, su medida, su música. María Zambrano Alarcón

El que escucha música siente que su soledad, de repente, se puebla. Robert Browning

La música comienza donde acaba el lenguaje. Ernst Theodor Amadeus Hoffmann

Sólo el pedernal del espíritu humano puede arrancar fuego de la música

Ludwig Van Beethoven

La música es el placer que el alma experimenta contando sin darse cuenta de que cuenta Gottfied W. Leibnitz

Frases

Por la música, las pasiones gozan de ellas mismas. Friedrich Nietzsche

Las bandas de música son como copiar a botticelli con brocha o tocar a mozart con un candado. Francisco Umbral

La música que no describa algo no es más que ruido. Parménides De Elea

La música excava el cielo Charles Baudelaire

La música es una manifestación superior a toda sabiduría de la filosofía Ludwig Van Beethoven

La música es una cosa amplia, sin límites, sin fronteras, sin banderas. León Gieco

La música es la aritmética de los sonidos, como la óptica es la geometría de la luz. Claude Debussy

Bibliografía

http://www.filomusica.com/filo11/articulos.html

http://www.terra.es/personal/jftjft/Historia/Biografias/Pitagoras.htm

http://www.anarkasis.com/pitagoras/menu.htm

http://www.elementos.buap.mx/revistas/catarev.htm

http://www.elsemanaldigital.com/pistas.asp?idarticulo=224

http://www.conozcasuhardware.com/quees/tsonido1.htm

http://www.noisemusic3.tripod.com/pageartev.html

http://www.filomusica.com/index.html

http://www.musicagospel.com.ar/index.htm