PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

Grado: Quinto Duración: 2 horas pedagógicas

I. TÍTULO DE LA SESIÓNDeterminando alturas previas a la visita de Pachacamac

II. APRENDIZAJES ESPERADOSCOMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES

ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE FORMA,

MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN DE CUERPOS

Comunica y representa ideas

matemáticas

Presenta ejemplos de razones trigonométricas con ángulos agudos y notables en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos y otros

Elabora y usa estrategias

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos, notables, complementarios y suplementario

Razona y argumenta generando ideas matemáticas.

Plantea conjeturas al demostrar el Teorema de Pitágoras.

III. SECUENCIA DIDÁCTICAInicio: (20 minutos)

UNIDAD 5NÚMERO DE SESIÓN

5/14

El docente da la bienvenida a los estudiantes y plantea las siguientes preguntas: ¿Qué actividades realizamos la clase anterior? ¿Para qué utilizamos el goniómetro?

Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas. El docente, mostrando y manipulando el goniómetro, identifica los diferentes tipos de ángulos que se forman al realizar observaciones desde diferentes puntos referenciales.

El docente pregunta:

Los estudiantes dialogan en equipo e intercambian opiniones.

El docente presenta el propósito de la sesión de aprendizaje y lo plasman en la pizarra.

- Aplicar estrategias para determinar la altura haciendo uso de las razones trigonométricas.

Desarrollo: (60 minutos)

Los estudiantes presentan en tarjetas sus posibles respuestas a las preguntas de inicio.

El docente sistematiza las respuestas y fomenta el diálogo sobre las diversas posibilidades de

determinar las alturas de objetos de su entorno.

Con el apoyo del docente, los estudiantes realizan la gráfica respectiva. Colocan los datos

recogidos e identifican cada elemento que ha intervenido en la actividad práctica.

El docente monitorea el trabajo planteando preguntas de reflexión y análisis:

- ¿Se conoce la distancia entre los puntos A y B? ¿Cómo la determinaron?

- ¿Se conoce la distancia entre A y la base del objeto observado? ¿Cómo lo representamos?

-Los ángulos de elevación y β” ¿son notables?

-¿Qué ángulo forma la altura y la base del piso?

-¿Cómo podemos representar las líneas imaginarias denominadas horizonte visual?

¿Cómo podremos determinar la altura a partir de los datos recogidos en la experiencia anterior?

http://arablogs.catedu.es/arablogs/repositorio/900/jalon3.jpg

http://i.ytimg.com/vi/tiNazhCsNtw/maxresdefault.jpg

-¿Cómo representamos la altura del observador?

Cada equipo presenta la gráfica correspondiente:

El docente plantea las siguientes preguntas:

-¿Cómo podemos determinar la altura del objeto observado con los datos obtenidos?

-¿Has resuelto alguna situación parecida? ¿Qué estrategias utilizaste?

Se espera que los estudiantes respondan que han resuelto problemas aplicando el Teorema

de Pitágoras.

- ¿Por qué no es posible resolver este problema aplicando el Teorema de Pitágoras?

- ¿Recuerdan las razones trigonométricas trabajadas el año anterior? ¿Cuáles son?

(Se espera que los estudiantes respondan que son 6 razones trigonométricas: seno, coseno,

tangente, cotangente, secante y cosecante, de no ser así, el docente -a través de preguntas-

les ayudará a recordar).

El docente presenta la siguiente información en un papelógrafo o PPT:

1.

El docente pregunta: ¿Qué razones trigonométricas nos ayudará a determinar la altura?

Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas y el docente anota en la pizarra las

ideas fuerza.

El docente invita a los estudiantes a observar la segunda parte del video: “Proyecto

calculando alturas” (se sugiere ver desde el minuto 4,14 s ).

https://www.youtube.com/watch?v=tiNazhCsNtw

Los estudiantes, con la ayuda de su calculadora y tablas, proceden a realizar los cálculos

correspondientes para determinar las alturas de la actividad anterior. Desarrollan la actividad

1 (ficha de trabajo 1, anexo 1).

Anexo 1

El asta de la bandera de la I.E. (ejemplo)Datos: h= 1,4 d=2m ∝ = 20° β=25 ° x=? H=?

Tan ∝ (1)

Despejando “H” (2)

Tan β (3) Despejando “H” (4)

Igualando: (2) = (4)

Reemplazando y hallando X

tan∝=H−hx+2(x+2)( tan∝)

+h=H

tanβ=H−hx x( tanβ )+h=

H

(x+2)( tan∝) +h= x( tanβ )+h

X =

Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:

Un integrante de cada equipo presenta los resultados obtenidos.

El docente promueve la reflexión en torno a los resultados y las variaciones en los diferentes

equipos. Plantea a los estudiantes que resuelvan las preguntas de la actividad 2 (ficha de

trabajo 1, anexo 1):

- ¿Por qué hay variación en las respuestas? ¿A qué se debe?

- ¿Existen alguna variación el usar tablas y usar calculadora para hallar el valor de la

tangente del ángulo? ¿Por qué?

- ¿Cuántos equipos coincidieron o se aproximaron en sus respuestas?

- ¿Qué respuesta es la más próxima a la altura real del objeto observado?

El docente promueve el diálogo, despeja dudas y consolida la información haciendo énfasis

en que el margen de error se da debido a las aproximaciones utilizadas al determinar el valor

de la tangente.

El docente pregunta:

- ¿Qué razón trigonométrica nos permitiría hallar la longitud de la línea visual en cada uno

de los casos?

(Se espera que los estudiantes respondan: aplicando seno o coseno, según sea el caso).

El docente promueve la reflexión sobre el uso de las razones trigonométricas inversas

(cotangente, secantes, cosecante) y demuestra que se llega al mismo resultado.

El docente pregunta a los estudiantes: ¿Cómo puedo demostrar que los valores obtenidos

para los tres lados del triángulo rectángulo, en ambos casos, son los correctos?

(Se espera que los estudiantes haciendo uso del Teorema de Pitágoras corroboren que se

cumple dicha relación: a2 = b2 + c2. Reemplazan dos de los valores obtenidos en el triángulo

rectángulo y determinan el tercero demostrando que los lados del triángulo hallados al

aplicar las razones trigonométricas son los adecuados.

Los estudiantes responden a la pregunta:

¿En qué otras situaciones se hacen evidente la utilización de las razones trigonométricas?

Los estudiantes argumentan adecuadamente sus respuestas.

El docente media las intervenciones analizando cada caso y reflexionando sobre las

argumentaciones vertidas por cada equipo. Luego, consolida la información y concluye que

las razones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación,

por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas; en la

medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Los estudiantes, en equipo, plantean un ejemplo de una situación de su entorno donde

determinen alturas y hagan uso de las razones trigonométricas.

El docente monitorea el trabajo y despeja dudas.

Un integrante de cada equipo presenta sus ejemplos y argumenta sus procedimientos.

Cierre: (10 minutos) El docente pregunta: ¿Habrá casos en los que se utilice el seno o el coseno para su solución?

Los estudiantes dialogan al respecto.

El docente plantea el caso de la actividad 3 (ficha de trabajo 1, anexo 1):

El señor Luis decide pintar el balcón del segundo piso de su casa que se encuentra a una

determinada altura. Se percata que si coloca la escalera a una determinada distancia de la

casa, formando un ángulo de 37° con el piso, la escalera no sería lo suficientemente grande

como para llegar a su objetivo; pero si la acerca 1,75m a la casa y la coloca formando un

ángulo de 53° con el piso, sí lograría su propósito. ¿A qué altura se encuentra el balcón de la

casa del señor Luis? ¿Qué tamaño tiene la escalera?

Los estudiantes grafican la situación y ubican los datos correspondientes. Aplican las razones

trigonométricas correspondientes según el caso.

Cada equipo colocan sus respuestas en tarjetas y las pegan en la pizarra.

El docente corrobora los resultados con la participación activa de los estudiantes y llegan a

las siguientes conclusiones:

El docente les recuerda que en la próxima clase realizarán la visita al Complejo Arqueológico

de Pachacamac y les pide que coordinen entre ellos para llevar todos los materiales que

necesitan para el trabajo de campo.

El docente promueve la reflexión en los estudiantes a través de las siguientes preguntas:

¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿De qué manera lo realizado en la

clase nos ayudará a resolver situaciones cotidianas?

Observación: La sesión presenta la adaptación de la estrategia “Prácticas en laboratorio de matemática” – Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VII, página 66.

IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA El docente solicita a los estudiantes que coordinen con su equipo para que reúnan

todos los materiales a utilizarse en el trabajo de campo: goniómetro, wincha, libreta de anotaciones, tiza o marcador, cámara fotográfica.

- Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.-Las razones trigonométricas son usualmente utilizadas en topografías e ingeniería, astronomía, en sistemas de navegación y para medir distancias.-Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo no siempre son notables, por lo que se hace necesario utilizar calculadora o tablas para determinar sus razones trigonométricas.

V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR- Ministerio de Educación MINEDU. Texto de consulta Matemática 5 (2016) Lima. Editorial

Santillana S.A.

- Calculadora científica, tabla de valores de las razones trigonométricas para ángulos que no son notables.

- Reglas, escuadras, compás, fichas, pizarra, tizas, encuestas, etc.

VI. EVALUACIÓN- Evaluación formativa: Se utiliza la ficha de trabajo para verificar el logro de los indicadores previstos

en el aprendizaje esperado.

Anexo 1Ficha de trabajo 1

Nombre del grupo: Fecha: …/…/………

Integrantes de grupo:

Actividad 1

El asta de la bandera de la I.E. (ejemplo)Datos: h= 1,4 d=2m ∝ = 20° β=25 ° x=? H=?

Tan ∝ (1) Despejando “H” (2) Tan β (3) Despejando “H” (4)

Igualando: (2) = (4) Reemplazando y hallando X

tan∝=H−hx+2

(x+2)( tan∝) +h=H

tanβ=H−hx

x( tanβ )+h= H (x+2)( tan∝) +h= x( tanβ )+h

X =

Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:

La puerta de entrada de la I.E.Datos: h=___ d=___ ∝ = ___ β=¿¿ x=? H=? Tan ∝ (1)

Despejando “H” (2)

Tan β (3) Despejando “H” (4)

Igualando: (2) = (4) Reemplazando y hallando X

Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:

El arco de la cancha de fulbito

Datos: h=___ d=___ ∝ = ___ β=¿¿ x=? H=?

Tan ∝ (1) Despejando “H” Tan β (3) Despejando Igualando: (2) = (4) Reemplazando y

Utilizando el goniómetro realiza las mediciones según indica la ficha y determina las alturas respectivas.

(2) “H” (4) hallando X

Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:

Del poste de luz cercano

Datos: h=___ d=___ ∝ = ___ β=¿¿ x=? H=?

Tan ∝ (1) Despejando “H” (2)

Tan β (3) Despejando “H” (4)

Igualando: (2) = (4) Reemplazando y hallando X

Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:

Actividad 2

1. ¿Por qué hay variación en las respuestas de cada uno de los equipos? ¿A qué se debe?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

2. ¿Existe alguna variación al usar tablas o al usar calculadora para hallar el valor de la

tangente del ángulo? ¿Por qué?

Responde a las siguientes preguntas:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

3. ¿Cuántos equipos coincidieron o se aproximaron en sus respuestas? ¿Por qué?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

4. ¿Qué respuesta es la más próxima a la altura real del objeto observado?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

5. ¿Qué razón trigonométrica nos permitiría hallar la longitud de la línea visual en cada

uno de los casos?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

6. ¿Cómo puedo demostrar que los valores obtenidos para los tres lados del triángulo

rectángulo -en ambos casos- son los correctos? Realiza cálculos correspondientes para dicha

demostración.

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____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

7. ¿En qué otras situaciones se hacen evidente la utilización de las razones

trigonométricas?

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____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

8. ¿Habrá casos en los que se utilice el seno o el coseno para su solución?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Actividad 3

Lee atentamente la siguiente situación y responde a la pregunta planteada:

El señor Luis decide pintar el balcón del segundo piso de su casa que se encuentra a una

determinada altura. Se percata de que si coloca la escalera a una determinada distancia

de la casa, formando un ángulo de 37° con el piso, la escalera no sería lo suficientemente

grande para llegar a su objetivo; pero si la acerca 1,75m a la casa y la coloca formando un

ángulo de 53° con el piso, sí lograría su propósito. ¿A qué altura se encuentra el balcón de

la casa del señor Luis? ¿Qué tamaño tiene la escalera?

GRAFICA LA SITUACIÓN PLANTEADA Y COLOCA LOS DATOS

Anexo 2

Propósito: Identificar las razones trigonométricas y su aplicación en ejemplos sencillos.

Nombre del grupo: Fecha: …/…/………Integrantes de grupo:

Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un

triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo

rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo

rectángulo que se usará en lo sucesivo será:

CALCULA LA ALTURA HACIENDO USO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

A continuación, recordaremos las seis razones trigonométricas y su aplicación en diferentes situaciones de la vida cotidiana.

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del

triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo que queremos determinar.

Existen seis funciones trigonométricas básicas:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

A continuación te presentamos un ejemplo aplicativo:

La profesora ha solicitado a sus estudiantes que determinen las alturas del árbol más alto de su localidad. Ella sugiere que hagan uso del goniómetro elaborado en el salón.

Representación gráfica de la situación:

https://elpostulante.files.wordpress.com/2010/07/cobertclinom.gif

Resuelve las siguientes situaciones haciendo uso de las razones trigonométricas.

1. ¿Cuál es la altura de la casa de Margarita? Se sabe que ubicándose a 4 metros de distancia se divisa el punto más alto de su casa formando un ángulo de elevación de 30° con respecto al piso.

2. Desde la cima de un faro de 7m de alto, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º, tal como lo muestra la siguiente figura. Calcular la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

3. Desde una montaña de 1800 m metros de altura, un habitante divisa un barco con un ángulo de depresión de 37°. ¿A que

distancia se encuentra el barco, si se sabe que el habitante está sobre una pequeña torre de 15 m de altura?

Datos recogidos: D= 6m

∝=37 °

h= 1,4 (altura del observador)

tan∝=H−hD

tan37 °=H−1,46

34=H−1,4

6

H= 5,9 metros

http://aplicarazonestrigo.wikispaces.com/file/view/PROBLEMA%20BARCO.jpg/360879940/398x296/PROBLEMA%20BARCO.jpg

http://1.bp.blogspot.com/OJa6ImmboDc/T1U4V9TMfGI/AAAAAAAAABU/wr9vuKj79Jk/s1600/nnnnn.png

https://matesnoaburridas.files.wordpress.com/2015/01/faro.jpg