INDICE

Introducción…………………………………………….……………………….……… 1

Justificación…………………….………………….……………….………….……….. 2

Multiplicación Y División De Polemonio……………………..………………… 3 - 5

Productos notables………………………………………….…………………… 6 - 14

Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Dos Incógnitas………..……. 14 - 15

Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Tres Incógnitas….…….…… 15 - 17

Ecuaciones Cuadráticas……………………………………………………….. 17 - 19

Propuestas…………………………………….……………………………………….. 20

Conclusiones……………………………………………………..…………………… 21

Referencias Bibliográficas………………………………………………………….. 22

INTRODUCCION

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas,

denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y

desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los

valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también

variables pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un

sistema, o bien mediante otros procesos.

JUSTIFICACION

Para que el alumno entienda que el valor numérico de una expresión algebraica es

el valor que se obtiene al sustituir las letras por números determinados y efectuar

las operaciones que indique la expresión, que logren satisfacer el aprendizaje

adecuado del alumno. Siendo participes en la generación de ideas y conceptos

que reconozcan el simbolismo abstracto o matemáticos. En el desarrollo de las

matemáticas y principalmente en el uso de expresiones algebraicas. Permite

buscar una estrategia que genere el interés en el alumno para comprender el uso

de las literales, que se define como las letras que usan en las matemáticas

específicamente en algebra para representar números y efectuar operaciones.

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLIMONIO

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes

el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas

partes literales.

Ejemplo

3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el

polinomio.

Ejemplo:

3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) =

= 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del

segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios

que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2

División

División de polinomios

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de

un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor,

y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del

divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá

que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los

exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

División de un monomio por otro

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el

coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas

alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el

exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El

signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la

división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla

elevada dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

PRODUCTOS NOTABLES

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones

algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir

mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable

corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una

diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y

recíprocamente.

Cuadrado de la suma de dos cantidades

Cuadrado de la suma de dos cantidades: elevar al cuadrado a + b

Equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y tendremos

(a + b)2= (a + b) (a + b)

Veamos la multiplicación

a + b

a + b

a2 + ab

ab + b2

a2 + 2ab + b2

Por esta razón es que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Veamos algunos ejemplos sobre estos procedimientos.

Para efectuar estas operaciones tenemos reglas fijas, cuando las aprendemos

podemos resolver cualquier problema de productos notables.

Regla para la suma de cuadrado de dos cantidades:

El cuadrado de la suma de dos cantidades: es igual al cuadrado de la primera

cantidad más el duplo (doble) de la primera cantidad por la segunda más el

cuadrado de la segunda cantidad.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades que se expresa

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

En este caso se verifica casi lo mismo que en la suma de cuadrado, la diferencia

es el signo del segundo término que será negativo.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: elevar (a – b) equivale a multiplicar

esta diferencia por sí misma.

a - b

a - b

a2 - ab

- ab + b2

a2 - 2ab + b2

Por esta razón (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Cubo de un binomio (Diferencia del cubo de dos cantidades)

Elevar una expresión de la forma a - b al cubo, es multiplicarla por si misma tres

veces (a - b) (a - b) (a - b)

Que también puede ser igual a (a - b)2 (a - b)

(a - b)2 (a - b) = (a2 - 2ab + b2) (a - b) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

El cubo de la diferencia de dos cantidades, que se expresa

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Podemos observa que esta diferencia de cuadrado es muy parecida a la suma de

cuadrado, en realidad es así, son casi iguales, solo que en esta los signos se van

alternando, un positivo y un negativo.

La regla general del cubo de la diferencia dedos cantidades expresa lo siguiente:

La diferencia del cubo de dos cantidades es igual, al cubo de la primera;

menos el triplo (menos tres veces) la primera cantidad al cuadrado por la segunda;

mas el triplo (mas tres veces) la primera cantidad por la segunda al cuadrado;

menos la segunda cantidad al cubo.

Veamos su aplicación.

Resolver los siguientes problemas

1) (x - y)3

Aplicando la regla tenemos:

La primera cantidad al cubo (x)3

Menos tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda

-3 (x)2 (y)

Mas tres veces la primera cantidad por la segunda al cuadrado

3 (x) (y)2

Menos la segunda cantidad al cubo -(y)3

(x)3= x3

-3 (x)2 (y)= -3x2y

3 (x) (y)2= 3xy2

-(y)3 = -y3

Nuestro resultado es x3 -3x2y + 3xy2 - y3

2) (3a – 2b)3

(3a)3 – 3 (3a)2 (2b) + 3 (3a) (2b)2 – (2b)3

27a3 – 63a2b + 36ab2 – 8b3 respuesta

3) (4z – 1)3 =

(4z)3 - 3 (4z)2 (1) + 3 (4z) (1)2 - (1)3

64z3 – 48z2 + 12 – 1 Respuesta

4) (x – 8y)3 =

(x)3 - 3 (x)2 (8y) + 3 (x) (8y)2 - (8y)3

x3 - 24x2y + 192xy2 – 512y3 Respuesta

5) (7b – c)3 =

(7b)3 - 3 (7b)2 (c) + 3 (7b) (c)2 - (c)3

343b3 – 147b2c + 21bc2 – c3 Respuesta

Producto De La Suma Por La Diferencia De Dos Cantidades:

(c + d ) (c-d)= c2- d2

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado de

la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo:

1. (4x-3y) (4x-3y)=

a) El cuadrado de la primera cantidad es (4x)2= 16x2

b) El cuadrado de la segunda cantidad es (3y)2= 9y2

Entonces tendríamos:

(4x-3y) (4x-3y)= 16x2 - 9y2

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen

el mismo valor.

Ejemplos a = b + c. 3x2 = 4x + 15.

Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas

llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados

valores de las incógnitas.

Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Así, 5x + 2 = 17

es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta

igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3. En

efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:

5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17.

Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.

La igualdad y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se

verifica para y = 2 e y= 3. En efecto, sustituyendo la y por 2 tenemos:

22 – 5(2) = - 6

4 – 10 = - 6

- 6 = - 6

Si hacemos y = 3, tenemos: 32 – 5(3) = - 6

9 – 15 = - 6

- 6 = - 6

Si damos a y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica.

Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras

que entran en ella.

Así, (a – b)2 = (a – b) (a – b)

a2 - m2 = (a + m) (a – m)

Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y

b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.

El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”.

Así, la identidad de (x + y)2 con x2 + 2xy + y2 se escribe (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 y

se lee (x + y)2 idéntico a x2 +2xy + y2.

Miembros se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la

expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo

miembro, a la expresión que está a la derecha.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

el primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3.

Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el

signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

Los términos son 3x, - 5, 2x y – 3.

No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de la

misma, error muy frecuente en los alumnos.

Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación

hay una sola cantidad.

Así, en la ecuación 3x = 2x + 3

Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de

la ecuación.

Despejar consiste en pasar las variables de un lado de la ecuación al otro

(preferiblemente el izquierdo) luego hacer la reducción de términos y resolver.

Reglas para despejar

v Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otro

cambiándole el signo (muy importante).

Sea la ecuación 5x = 2a – b

Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y

tendremos: 5x + b = 2a –b + b

Y como – b + b = 0, queda 5x + b = 2a

Donde vemos que – b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada,

ha pasado al primer miembro con signo +.

v Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación,

pueden suprimirse.

Así, en la ecuación x + b = 2a + b

Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este término puede

suprimirse, quedando x = 2a

porque equivale a restar b a los dos miembros.

Cambio de signos los signos de todos los términos de una ecuación se pueden

cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros

de la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía.

Así, en la ecuación - 2x – 3 = x – 15

Multiplicamos ambos miembros por – 1, para lo cual hay que multiplicar por – 1

todos los términos de cada miembro, tendremos:

2x + 3 = - x + 15,

que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados.

Regla general

v Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.

v Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los

términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades

conocidas.

v Se reduce términos semejantes en cada miembro.

v Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el

coeficiente de la incógnita.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER

GRADO CON UNA INCOGNITA

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras

(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita,

normalmente la x).

Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna

potencia (por tanto a 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.

Solución numérica y gráfica.

Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la

ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es

cierta.

En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,

x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor

de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea

ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..Número..Así:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.

Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡Cierto!.

Decimos en este caso que la ecuación tiene solución. Pero:

¿Qué significa gráficamente esta solución?

Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa

gráficamente a la ecuación.

El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa

que es x = -1,5)

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales

para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio

anterior:

3x + 1 = x - 2.

- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a

los dos miembros y restar x a los dos miembros:

3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo

efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o

restando lo que suma"

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido

antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo

que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las

cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de

cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

Ax + By = C

; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro

del conjunto de los naturales.

Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede

utilizas todas las propiedades ya anteriormete estudiadas.

Ejemplo #01

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta

lo siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la

sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3

X = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y

hallamos el valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 3

3 + 6Y = 3

-3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término

independiente y obtenemos:

6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha división nos da 0 de tal

manera que

Y = 0/ 6

Y = 0 y así hallamos en valor de Y.

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es aquella que se puede

expresar de la forma:

ax+by=c\;\!

donde x\;\! e y\;\! son variables (incógnitas) y a,\ b,\;\! y c\;\! constantes (números

reales).

Ejemplo: x-2y=1\;\!

[editar]

Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas ax+by=c\;\! tiene infinitas

soluciones.

Para cada valor que le asignemos a la variable x\;\!, podemos encontrar un valor

de la variable y\;\!, despejándola en la ecuación:

y=\cfrac{c-ax}{b}

Además, las parejas de soluciones (x,y)\;\!, representadas como puntos, en unos

ejes de coordenadas, forman una recta.

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en

cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1,

en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las

incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la

2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la

operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término

en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción

y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2 y = 6

x + 6 − 1 = 1 x = −4

ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y

c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las

ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple

2. Completando el Cuadrado

3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto

de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x = 0 – 4 x = 0 + 2

x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la

constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la

siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3

x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación

cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6

2

X = -2 + 6 x = -2 - 6

2 2

x = 4 x = -8

2 2

x = 2 x = - 4

PROPUESTAS

Ecuaciones con fracciones. Para que estudiantes den un paso más y

practiquen con ecuaciones que incluyen denominadores.

Sistemas de ecuaciones. Recurso online para repasar la teoría esencial de

los sistemas de ecuaciones y practicar su resolución. Recomendado a

alumnos de. En este otro interactivo se añaden otros ejemplos y algunos

problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones.

Escalando. Un sencillo juego en el que hay que averiguar el valor de la x

para ayudar al escalador a que llegue a lo alto de la montaña. Para

comenzar, solo hay que elegir uno de los nueve personajes disponibles.

Adecuado .

CONCLUSIONES

A lo largo de esta actividad hemos aprendido, qué son las ecuaciones de

primer grado y como se resuelven. Aprendimos a solucionar problemas y

como plantearlos.

También nos dimos cuenta, de cómo las utilizamos en nuestra vida

cotidiana, siendo esta de gran utilidad para nosotros.

En nuestra próxima presentación indagaremos, sobre la clasificación de

ecuaciones e indagaremos y trabajaremos en las ecuaciones de segundo

grado.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

www.matematicasincomplicacion.com/.../el-cuadrado-de-la-diferencia-de...

www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

www.matematicasincomplicacion.com/.../cubo-de-un-binomio-diferencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

www.enciclopediadetareas.net/.../producto-de-la-suma-por-la-diferencia..

libiasilva.blogspot.com/p/ecuaciones-enteras-de-primer-grado-con.html

www.vitutor.com/ecuaciones/1/p_e.html

deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/.../ecuacion-de-primer-grado-...

www.vitutor.com/ecuaciones/2/gauss.html

ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html