muestreo de una seÑal periodica

7/18/2019 MUESTREO DE UNA SEÑAL PERIODICA

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO EN INGENIERIA

MAESTRIA EN CIENCIAS EN INGENIERIA ELECTRICA

TAREA

“MUESTREO DE UNA SEÑAL SENOIDAL PURA Y CON CONTENIDO

ARMONICO A DISTINTAS FRECUENCIAS”

PROFESOR:

Dr. David Sebastián Baltazar

ALUMNO:

JESUS EDUARDO ARROYO CASTILLO



MUESTREO DE UNA SEÑAL PERIODICA

Muestreo y Aliasing

El cálculo de los fasores de voltaje y de corriente se obtiene a partir de muestreo de la señal

senoidal, tomado a intervalos regulares k T , (k = 0, 1, 2, 3,…). Considerando como

( ) x t a la señal de entrada y ( ) x k t como la magnitud a k t intervalos en la señal. Si se

toma a '( ) x t como la función de muestreo, la cual consiste en impulsos espaciados

uniformemente, se expresa de la siguiente manera:

'( ) ( ) ( )k

x t x k t t k T

Donde ( )k

f T

corresponde a la función de muestreo de la señal de entrada, y al

tomar su transformada de Fourier se obtiene:

1( ) ( )k

k f f T T

Por lo tanto, por propiedades de la transformada, la transformada de Fourier de la función

de muestreo es la convolución de f con ( ) X f :

1'( ) ( ) ( )

k

k X f X f d

T T

1( ) ( )

k

k X f d

T T

1( )

k

k X f

T T



La relación entre las transformadas de Fourier de ( ) x t y '( ) x t se muestran en la figura 1:

Figura 1.

La transformada de Fourier de la función ( ) x t está limitada por la frecuencia de corte c f

es decir que la función se encuentra limitada a un área específica definida por dicha

frecuencia. La función de muestreo '( ) x t cuya transformada de Fourier consiste en una

cantidad infinita de de transformadas de Fourier de ( ) x t centradas al intervalo de

frecuencia de ( / )k T para toda k, al cual se le llama frecuencia de muestreo s f y está

definida por el intervalo de muestreo T .

Si la frecuencia de corte c f es mayor que la mitad de la frecuencia de muestreo s f

entonces la transformada de Fourier de la función de muestreo será como se muestra en lafigura 2:



Figura 2.

En esta imagen se muestra que la señal de muestreo difiere de la señal de entrada en laregión donde se traslapa la función. Esto implica un error en la señal de muestreo en la

región donde se traslapa, a este fenómeno se le conoce como “aliasing”. Por lo tanto paraevitar errores en el muestreo por el fenómeno de aliasing, el ancho de banda de la señal deentrada debe de ser menor que la mitad de la frecuencia de muestreo, a este requerimientose le conoce como “criterio de Nyquist”.



CRITERIO DE NYQUIST DE MUESTREO

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreode Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, esun teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en

las telecomunicaciones.

El teorema trata del muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del

muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso decuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocidacomo error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relaciónseñal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestrasdiscretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento

alguno sobre una precisión determinada, es decir, aún no han sido cuantificadas.

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple elcriterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso demuestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras que no esté perfectamente definido por la serie total de muestras.

Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica ( )a x t es max F B

y la señal semuestrea a una tasa max2 2 s F F B , entonces ( )a x t se puede recuperar totalmente a partir

de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

sin(2 )( )

2

Bt g t

Bt



Series de Fourier y Transformada de Fourier

Series de Fourier

Se tiene una función periódica ( ) x t , con un periodo igual a T . Por lo tanto

( ) ( ) x t kT x t para todo valor de k. Una función periódica se puede expresar como una

serie de Fourier como sigue:

0

1 1

2 2( ) cos( ) ( )

2 k k

k k

a kt kt x t a b sen

T T

Donde las constantes ak y bk son dadas por:

/2

/2

2 2( )cos( ) , 0,1,2, ,

T

k

T

kt a x t dt k

T T

/2

/2

2 2( ) ( ) , 1,2, ,

T

k

T

kt b x t sen dt k

T T

La serie de Fourier también se puede representar de forma exponencial, de la siguienteforma:

2

( ) j kt

T k

k

x t a e

2/2

/2

1( ) , 0, 1, 2, ,

j kt T

T k

T

a x t e dt k

T

Transformada de Fourier



La técnica de representar señales a través de una suma de exponenciales se puede extender

a funciones no periódicas a través del uso de la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier de una función continua ( ) x t se encuentra dada por la

siguiente integral:

2( ) ( ) j ft X f x t e dt

Y la transformada inversa de Fourier se encuentra dada por la siguiente integral:

2( ) ( ) j ft x t X f e df

Una función importante que se usa en muestreo de señales es la función ( )t o delta de

Dirac, la cual está definida por:

0 0( ) ( ) ( ) x t t t x t dt

Propiedades principales de la transformada de Fourier:

La transformada de Fourier de la convolución es igual al producto de la

transformada de Fourier de las funciones que integran la convolución, es decir:

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) s t x t y t S f X f Y f

y de manera análoga, la transformada de Fourier inversa de una convolución esigual al producto de la transformada de Fourier

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) Z f X f Y f z t x t y t

La transformada de Fourier de una función par, es una función par de la frecuencia.Si la función es real, la transformada de Fourier es también real y par.

La transformada de Fourier de una función impar, es una función impar de lafrecuencia. Si la función impar es real, la transformada de Fourier será imaginaria eimpar.

La transformada de Fourier de una función real, tiene una parte real par y una parteimaginaria impar. Como se muestra en la siguiente ecuación:



1 2( ) ( )cos(2 ) ( ) (2 ) ( ) ( ) X f r t ft dt j r t sen ft dt R f jR f

La transformada de Fourier de una función periódica es una serie de funciónimpulso de la frecuencia.

La transformada de Fourier de una serie de impulsos es una serie de impulsos en el

dominio de la frecuencia.



MUESTREO DE UNA SEÑAL DE 1260 Hz A DISTINTAS FRECUENCIAS.

Se realiza un ejemplo donde se debe muestrear una señal de 1260 Hz y se observara elefecto de Aliasing por usar frecuencias de muestreo menores a el doble de la frecuencia dela señal a muestrear.

Señal de 1260 Hz generada en Matlab:

Figura 3.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Frecuencia de señal de entrada= 1260Hz



Se comienza utilizando frecuencias altas para el muestreo de la señal de 1260 Hz, en el primer caso se observa una frecuencia de muestreo de 25200 Hz. Se observa en la figura 4que la forma de onda de la señal muestreada es muy parecida a la señal original, esta sedebe al uso de una frecuencia de muestreo alta, en la cual se obtienen 20 muestras por ciclo

de la señal de entrada.

Figura 4.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2Frecuencia de señal de entrada= 1260Hz Frecuencia de muestreo= 25200Hz

Señal analogic

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2

milisegundos

A m p l i t u d

Señal muestread



Cuando se comienza a disminuir la frecuencia de muestreo, en este caso para la figura 5 en

que se toman 8 muestras por ciclo, es decir, con una frecuencia de muestreo de 10080 Hz.Los resultados son evidentes, cuando la señal se muestreo a una frecuencia alta de 25200Hz. la señal obtenida con las muestras se asemeja mucho a la señal de entrada analógica, pero si se disminuye la frecuencia de muestreo como la siguiente figura, el resultado es una

señal discreta que se asemeja mucho a la señal entrante, pero como el intervalo de muestreoes mucho mayor, la reconstrucción de la señal a partir de sus muestras no representa atotalidad la señal que fue muestreada. Por las líneas rectas que conectan cada muestratomada.

Figura 5.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2Frecuencia de señal de entrada= 1260Hz Frecuencia de muest reo= 10080Hz

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2

milisegundos

A m p l i t u d

Señal analogica

Señal muestreada



Ahora si se toma una frecuencia de muestreo de 5040 Hz, lo cual implicaría tomar 4

muestras por ciclo de la señal de 1260 Hz, el resultado de la señal reconstruida a partir de lamuestras tomadas se observa en la figura 6. Si bien por las muestras tomadas se puedesaber cuáles son los valores pico y el cruce por cero de la señal, la señal que se observa enla muestras no representa valores intermedios de la señal de entrada. Pero si se puede tomar

como una buena aproximación, se debe de tomar en cuenta también que para que puedarepresentar los valores máximos y mínimos de la señal, tiene que empezar en el cruce porcero el muestreo de la señal, si no se hace así, se perderá información importante como losvalores pico de la señal. Este inconveniente muestra lo que sucede cuando se utilizanfrecuencias de muestreo bajas. Lo anterior permite afirmar que si bien una frecuencia demuestreo de cuatro veces la fundamental es una buena aproximación de la señal de entrada,la perdida de una gran cantidad de información y la forma de la onda obtenida, haría que serecomiende usar frecuencias más altas, una mejor aproximación es usar una frecuencias demuestreo de ocho veces la fundamental.

Figura 6.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1


0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2

milisegundos

A m p l i t u d

Señal analogica

Señal muestreada



La figura 7 muestra lo que se obtiene al muestrear una señal a una frecuencia de muestreo

que cumpla al mínimo el principio establecido por Nyquist, el cual indica que la frecuenciade muestreo debe de ser mayor que dos veces la frecuencia de la señal a muestrear. Comose observa en la figura, se usa una frecuencia de muestreo de 2521 Hz para la señal senoidalde 1260 Hz, de acuerdo con el criterio de Nyquist esto es correcto y no se introducen

problemas de aliasing, pero el resultado no es el deseado que es el de obtener una señaldiscreta que se asemeje a una señal analógica. Lo que se observa son puntos de la señaltomados muy cercanos al origen. Por lo tanto no es práctico seguir al pie de la letra elcriterio de Nyquist en cuando a la mínima frecuencia de muestreo que se debe de utilizar,se debe por lo menos, como se muestra en los ejemplos anteriores, utilizar una frecuenciade muestreo de 4 veces la frecuencia de la señal a muestrear. Y una mejor aproximación seobtiene usando una frecuencia de muestreo 8 veces la frecuencia de fundamental.

Figura 7.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1


0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2

milisegundos

A m p l i t u d

Señal analogica

Señal muestreada



Si la frecuencia de muestreo de la señal no cumple mínimamente con el criterio establecido

por Nyquist, que para el caso de la señal de 1260 Hz, la frecuencia de muestreo debe de sermayor que 2520 Hz. En la figura 8, que se muestra a continuación se muestra el efecto deno cumplir dicho criterio. Se puede observar que la señal obtenida es prácticamente unalínea recta, pues las muestras son tomadas cada medio ciclo de la señal y que corresponde

al cruce por cero de la señal. Por lo tanto, al usar frecuencias de muestreo menores oiguales a dos veces la señal de entrada no se obtienen resultados correctos de acuerdo conaproximar una señal analógica a través de sus muestras discretas.

Figura 8.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1


0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2

milisegundos

A m p l i t u d

Señal analogica

Señal muestreada



Como se menciono anteriormente lo que sucede al utilizar frecuencias de muestreo menores

a dos veces la frecuencia de la señal a muestrear, fenómeno conocido como Aliasing. En lafigura 9 se observa que al usar una frecuencia de muestreo de 1200 Hz para la señal de1260 Hz, el resultado de la reconstrucción de la señal a partir de sus muestras es una señalde 60 Hz que no representa en absoluto a la señal original. Este es un claro ejemplo de

aliasing al muestrar una señal, y sin importar la aplicación al cual sea dirigido dicho proceso, se incurriría en un error si se tomaran los resultados del muestreo para algunaaplicación especifica.

Figura 9.

0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1


0 0.005 0.01 0.015-2

-1

0

1

2

milisegundos

A m p l i t u d

Señal analogica

Señal muestreada



CONTENIDO ARMONICO DE UNA SEÑAL

Cuando se aplica un proceso de muestreo a una señal, el interés principal es la obtención de

información de dicha señal y que dicha información sea lo más precisa y certera sobre lainformación de la señal original. Cuando una señal no es puramente senoidal y con altocontenido de armónicas se presenta, es de especial interés obtener también información de

ella, pero dependiendo de la aplicación que se desee realizar será la información que senecesite procesar.

La descomposición de una señal en sus componentes brinda la posibilidad de extraer la

señal que contiene la información necesaria para alguna aplicación especifica a realizar. Esimportante tener presente que la frecuencia de muestreo influye significativamente en lainformación que se obtiene de una señal, dependiendo de esta frecuencia será la señal que

se obtendrá en forma discreta y será la información que se vera de una señal de entradaanalógica.

A continuación se muestra un ejemplo donde una señal con contenido armónico semuestrea a diferentes frecuencias y se observa la reconstrucción a partir de sus Si se tieneuna señal de entrada con contenido de armónicas a la señal fundamental que es de 60 Hz,como se muestra a continuación:

( ) 10s 5 2 3 3 2 4 5 x t en t sen t sen t sen t sen t

Donde la señal contiene la señal fundamental, mas el segundo, tercero, cuarto y quintoarmónico con su respectiva amplitud.

Se debe de tener especial cuidado al momento de tomar muestrear a una señal de este tipo.Puesto que el criterio de Nyquist enuncia que la frecuencia de muestreo tiene que ser mayorque dos veces la frecuencia de la señal que se desea muestrear, el que una señal con altocontenido armónico pase por un proceso de muestreo con una frecuencia de muestreo preestablecida, se debe de tener especial cuidado al momento de seleccionar la frecuenciade muestreo para dicha señal que se puede presentar. Al igual que una señal senoidal pura,como en los ejemplos anteriores, donde se muestra que si no se selecciona una frecuenciade muestreo adecuada para una señal, existiría perdida de información valiosa de dicha

señal, y dependerá de la aplicación a la cual va dirigida la señal muestreada, la decisión dela selección de la frecuencia de muestreo.

Si como se menciono antes, no existe una correcta selección de la frecuencia de muestreo,aun cumpliéndose en criterio de Nyquist, para una señal con alto contenido armónico habrá pérdida de información sobre la señal y se incurrirá en un error, puesto que se harán malasaproximaciones de las componentes de la señal de entrada.



En la figura 10 se muestra un ciclo de la señal de entrada que se menciono anteriormente y

su representación a 240 Hz de frecuencia de muestreo.

Figura 10.

Se observa que la representación a la frecuencia de muestreo a 4 veces la fundamental norepresenta a totalidad la onda original, si bien si representa cierto comportamiento de laonda no se puede afirmar que sea una buena aproximación de la onda original, larepresentación por muestras podría considerarse como una onda de 60 Hz mostrada enejemplos anteriores, si bien esta onda de 60 Hz es una componente de la onda original que podría utilizarse para alguna aplicación donde solo se requiera el valor de la componentefundamental de la señal. Pero al realizar esta acción se incurriría en una mala aproximaciónde la señal fundamental, puesto que en la señal de entrada como se muestra, la fundamentaltienen una amplitud de 10 y en la representación de las muestras a 240 Hz es de 8, por lo

tanto no es practico el utilizar esta señal, ni tan solo como simple aproximación dado al altoerror que se introduce. Las demás armónicas no se pueden obtener esto debido a lafrecuencia de muestreo.

Si se eleva la frecuencia de muestreo como se muestra ahora a 12 veces la fundamental, semuestra en la figura 11 la representación de la señal original y sus armónicas mediante lasmuestras obtenidas a 720 Hz de frecuencia de muestreo.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-15

-10

-5

0

5

10

15

milisegundos

A m p l i t u d

Señal de entrada

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Señal de entrada



0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Frecuencia del Armonico= 60Hz

milisegundos

A m p l i t u

d

Armonicos

Figura 11.

Figura 12 armonicos 1° y 2°.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-15

-10

-5

0

5

10

15

milisegundos

A m p l i t u d

Señal de entrada

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


milisegundos

A m p l i t u

d

Armonicos



Figura 13 armónicos 3° y 4°.

Figura 14 armónico 5°.

En las anteriores figuras se puede notar la diferencia entre las componentes de la señal, si

bien el la componente de frecuencia fundamental de 60 Hz es una buena aproximación, elsegundo armónico puede tomarse como aceptable y esto debido a que no se acerca al valor

máximo de la señal como se muestra en la función que define la señal de entrada. Otracomponente que presenta las mismas características que el segundo armónico de 240 Hz o4° armónico que al igual que el segundo la reconstrucción por las muestras erra por lamagnitud de la señal la cual debería de ser de 3. Al caso más evidente de error en laaproximación es la componente 5° de la señal, la cual no corresponde ni en frecuencia ni enamplitud, más bien se asemeja una onda distorsionada o no puramente sinusoidal, comodebería de ser.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-3

-2

-1

0

1

2


milisegundos

A

m p l i t u d

Armonicos

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


milisegundos

A

m p l i t u d

Armonicos

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia del Armonico= 300Hz

milisegundos

A m p l i t u d

Armonicos



Ahora si se desea que hasta el 5° armónico se obtenga con una buena aproximación se tiene

que tener al menos 8 muestras por ciclo, se pueden tener 4 muestras por ciclo pero como semenciono que al tener esa cantidad de muestras por ciclo se genera una gran pérdida deinformación valiosa de la señal, por lo tanto se debe de tomar una frecuencia de muestreode 2400 Hz.

Figura 15 señal de entrada muestreada.

Figura 16 armonicas fundamental y 2°.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-15

-10

-5

0

5

10

15

milisegundos

A m p l i t u d

Señal de entrada

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8


milisegundos

A m p l i t u d

Armonicos

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-6

-4

-2

0

2

4


milisegundos

A m p l i t u d

Armonicos



Figura 17 armónicos 3° y 4°.

Figura 18 armónico 5°.

Se observa por cada una de las graficas que la aproximación que se logra obtener es mejorque cuando la frecuencia de muestreo es de 720 Hz, incluso para la 5° armónica. Esto sedebe a la elección de la frecuencia de muestreo de 2400 Hz, la cual que correspondería a 8muestras por ciclo para la señal de 300 Hz o 5° armónica. Y de esta forma es como se puede obtener una buena aproximación de la señal y sus componentes armónicos, es decir,que si se desea conocer qué tipo de señal integran una señal es necesario ajustar lafrecuencia de muestreo para poder observar dichas señales y que su aproximación sea de la

mejor forma posible.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-3

-2

-1

0

1

2


milisegundos

A

m p l i t u d

Armonicos

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Frecuencia del Armonico= 300Hz

milisegundos

A m p l i t u d

Armonicos

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


milisegundos

A

m p l i t u d

Armonicos



CONCLUCIONES

Los relevadores de protección son usados con el objetivo de minimizar los efectos de laocurrencia de fallas en el sistema de potencia y de cualquier otro tipo de operación anormal

del sistema. Las fallas en el sistema de potencia pueden ser resultado de influencias tanto

externas como internas. Los efectos de dichas fallas pueden ser catastróficos para el sistemay sus componentes. Los relevadores de protección deben de operar para estas condicionesdel sistema ya sea abriendo interruptores, enviando alarmas o realizando señalización. Es por ello que estos equipos deben poder diferenciar correctamente entre distintas

condiciones de operación del sistema, la ocurrencia de cortocircuitos y otras fallas dedistinto tipo puede ser de un gran impacto para el sistema y por lo tanto deben sercorrectamente detectadas y posteriormente eliminadas.

Los relevadores microprocesados actuales tienen amplias ventajas en su implementaciónrespecto a cualquier contraparte que exista. Pero tienen ciertos requerimientos inherentes

por su propia arquitectura, estos relevadores funcionan con señales digitales, pero el mundoexterior es analógico por lo tanto debe existir un cambio entre estos dos sistemas para que

pueda funcionar este equipo.

Puesto que estos equipos deben de cumplir con ciertos requerimientos en cuando a la

calidad de las señales que utiliza para determinar en qué condición opera el sistema que protege y si es necesario realizar alguna acción, es de vital importancia que la lectura de lasseñales del sistema (analógicas) para ser procesadas por el relevador (digitales) sea demanera correcta.

Cuando se intenta reproducir de manera digital (discreta) una señal analógica (continua), setoman muestras de la señal original que emulan en el mundo digital una señal analógicareal y dependiendo de cómo se realice dicho proceso de muestreo, será la señal digital

obtenida que emule la señal analógica.

En la terminología del procesamiento de señales, el numero de muestras que se toman cadacierto tiempo se le llama frecuencia de muestreo, la cual es independiente de la frecuenciade la señal que se desea muestrear pero que debe seguir ciertas reglas si se desea una buenaaproximación de la señal analógica de manera digital.

Teóricamente para que una señal sea muestreada de manera correcta, es decir, que su

representación discreta sea lo más parecida a su contraparte continua, la frecuencia demuestreo de la señal debe de ser al menos del doble de la frecuencia de la señal que sedesea muestrear, a este criterio se le conoce como teorema de Nyquist de muestreo y esfundamental para el muestreo de señales. En este trabajo se realizo el muestreo de una señal

senoidal y se verifico la validez del teorema de Nyquist de muestreo de señales.



Cuando una señal es muestreada a una frecuencia igual o menor a dos veces la frecuencia

de la señal a muestrear, el resultado obtenido se le llama Aliasing y lo que se observa esque la reconstrucción de la señal a partir de sus muestras no corresponde a la señal de lacual se tomaron las muestras. Se muestra claramente en el ejemplo donde la frecuencia demuestreo es 1200Hz y la frecuencia de la señal es de 1260Hz, al reconstruir la señal se

obtuvo una onda senoidal al igual que la original pero con una frecuencia de 60Hz. Este esun claro ejemplo de aliasing y es un efecto muy importante a considerar, es por ello que sedebe de filtrar las señales de mayor frecuencia que la señal que se desea muestrear, paraevitar la presencia de dicho efecto.

Pero no solo cumpliendo el criterio de Nyquist se sigue obteniendo una buenarepresentación de la señal muestreada. Como se observa en los ejemplos, aunque lafrecuencia de muestreo es mayor que dos veces la frecuencia de la señal de entrada, cuando

la frecuencia de muestreo es 2520Hz por ejemplo, lo que se observa es unos pequeños punto sobre la curva que se toman casi al cumplirse un ciclo y que al intentar reconstruir la

señal únicamente se observa una línea recta.

Por lo tanto no solo se tiene que cumplir el teorema de Nyquist, sino que también esnecesario saber que calidad en la representación de la señal se desea obtener.

En este trabajo se realizo una prueba de muestreo a varias veces la frecuencia de la señal y

se observo que para obtener una buena representación de la señal para los fines deseados,que son de protección de SEP’s, la frecuencia de muestreo que obtiene una representaciónaceptable de la original, una onda puramente senoidal, es de al menos 8 veces la frecuenciade la señal de entrada.

Es también importante señalar que cuando una señal no es puramente senoidal, como sonen realidad todas las señales presentes en todo el sistema de potencia, y se desee conocer adetalle las componentes que interesan para en este caso la protección del sistema de potencia. La frecuencia de la señal deseada dependerá de la aplicación a la cual vayadirigida, sin embargo también se debe de tomar en cuenta el tipo de señales que se presentaran para cierto tipo de aplicaciones, para de esa forma realizar una correctaselección de la frecuencia de muestreo.

Como se observa en las simulaciones con señales con contenido armónico, dependiendo dela frecuencia de muestreo que se utilice será la calidad y tipo de señales que se podrámostrar. Por ejemplo, como se menciono anteriormente, si se desea obtener una buenaaproximación de una señal se debe de tomar muestras de dicha señal al menos 8 cada ciclode la señal, pero como se muestra en las simulaciones este principio no siempre se cumple.Si la señal tiene un alto contenido armónico la deformación puede ser tal que el puntodonde se tomen las muestras no corresponda a la señal que se desea obtener y aproximar.Por lo tanto es importante también tener en cuenta el tipo de aplicaciones a las que será



sometido un relevador, puesto que en un sistema real los tipos de señales que se presentan

son ideales en lo absoluto y hacer suposiciones de este tipo seria incurrir en un error y malaoperación de un sistema de protección.

Con la realización de este trabajo se vuelve patente la importancia que tiene el

conocimiento del procesamiento de señales para un ingeniero de protecciones, no solo porel análisis de un simple equipo en sí, sino por la característica inherente de necesitarconocer y analizar las variables del sistema para determinar su estado y característica deoperación.



Bibliografía

Discrete-Time Signal Processing, Alan V. Oppenheim, Ronald W.Schafer.

Señales y Sistemas, Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky.



APENDICE: PROGRAMA DE MATLAB

%Jesus Eduardo Arroyo Castillo %Archivo .m de generacion de armonicos de una señal por series de Fourier clear all;

clc;

f=60;%frecuencia fundamental de la señal de entrada fm=f*40; %frecuencia de muestreo de la señal dt = 1/fm; %paso de integracion y paso para el intervalo del tiempo que

tambien corresponde a la frecuencia de muestreo de la señal de entrada

T = 1/f; %periodo de la señal t =[0:dt:T]'; %tiempo para graficar la señal w=2*pi*f; %frecuencia de oscilacion

x=10*sin(w*t)+5*sin(2*w*t)+3*sin(3*w*t)+2*sin(4*w*t)+1*sin(5*w*t); %señal

de entrada a(1) = 1/T * ( sum (x) * dt); %a0 de la serie de fourier

xfs = a(1) * ones( size (x)); %dimensionamiento de xfs figure(1) plot (t,x,'b-*')%grafica de la señal de entrada legend('Señal de entrada'); ylabel('Amplitud'); xlabel('milisegundos'); grid on

%ciclo for para generar series de Fourier, las iteraciones del ciclo %corresponden al armonico que se desea representar que es multiplo de la %fundamental.

arm=1:5; %arm corresponde a las armonicas que se deseen obtener que deben

ser multiplos de la fundamental

for k = arm %cada numero entero de iteraciones del bucle

corresponde a un multiplo de la frecuencia fundamental

ck = cos(k*w*t); %coeficiente de la suma de fourier a(k+1)=2/T*(sum(x.*ck)*dt); %sumatoria del coseno de la serie

sk=sin(k*w*t); %coeficiente de la suma de fourier

b(k+1)=2/T*(sum(x.*sk)*dt);%sumatoria del seno de la serie

xfs = a(k+1)*cos(k*w*t)+b(k+1)*sin(k*w*t); %serie de fourier completa

figure(2)

plot(t,xfs,'r');%grafica de la señales armonicastitle(['Frecuencia del Armonico= ',num2str(k*f),'Hz']) legend('Armonicos'); ylabel('Amplitud'); xlabel('milisegundos'); grid on %hold on pause;

end

muestreo de una seÑal periodica

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