muest reo

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está alterada9 cae de cara la mitad de las veces y de cru& la otra mitad.4upongamos que nuestro pro*esor lan&a una moneda 10 veces y sale cara enG de tales lan&amientos. ¿Hu! tendr$a que hacer" Una eplicación para laclase ser$a que esta moneda está cargada 8una eplicación no muy pro'a'leporque el tra'a+o requerido para alterar una moneda estándar de manera que

se compone asi es 'astante grande9I otra eplicación seria que no ha lan&adola moneda un n5mero su*iciente de veces. Es más *acti'le que la segundaeplicación sea la empleada por el pro*esor. Es más que pro'a'le que contin5elan&ando la moneda hasta que se empare+e la cantidad de caras y cruces queapare&can.

ero supongamos que el propósito de un eperimento de este tipo eraproporcionar =evidencia estad$stica= que de'$a utili&arse para convencer a lagente que cam'ie su *orma de pensar, no sólo con respecto a las monedassino con respecto a otras cosas. 4i usted y yo entrevistamos a die& personasen lo re*erente a sus puntos de vista so're la pol$tica, podemos encontrar que

las die& son leales demócratas. ¿Esto nos proporciona la evidencia quenecesitamos para a*irmar p5'licamente, con propósitos pol$ticos, que =todos losentrevistados apoyan la plata*orma democrática=" )laro que no. ero a menosque el usuario de esta in*ormación comprenda la cuestión de muestreoimplicada, y salvo que se nos d! una in*ormación completa so're el proceso demuestreo, ¿cómo de'emos reaccionar" ¿)ómo podemos estar seguros de queel entrevistador no =encontró al principio una moneda cargada= y entoncesdetuvo el proceso de la encuesta cuando el tama#o de la muestra erainsu*iciente, en ve& de asegurarse de que el procedimiento de muestreo era eladecuado" /a respuesta es que sin una in*ormación más completa o unareputación anterior de encuestas precisas estad$sticamente, no podemos estar

seguros. 4in em'argo, podemos estar conscientes de los riesgos que corremoscuando no pedimos in*ormación adicional.

Ejercicios

1. )uál es el principal inconveniente del muestreo de +uicio"2. El muestreo de +uicio y el muestreo de pro'a'ilidad son por necesidad

mutuamente ecluyentes" Eplique su respuesta.;. ! una lista de las venta+as del muestreo en comparación con una

enumeración completa o censo.

J. )uáles son algunas desventa+as del muestreo de pro'a'ilidad enrelación con el muestreo de +uicio"<. El 'anco Karlington 4avings and /oan está considerando una *usión con

el 4entry ?an, pero necesita la apro'ación de los accionistas antes deque se realice la *usión. En su +unta anual, a la que están invitados todoslos accionistas, el presidente de K4L/ le pregunta a los asistentes siaprue'an el trato. G<M lo aprue'an. ¿Es este porcenta+e una estad$sticade muestra o un parámetro de po'lación"

. >ean :asón, contratado por la empresa Kormer -ndustries paradeterminar las actitudes de los empleados hacia la próima votación delsindicato, se encontró con ciertas di*icultades despu!s de reportar sus

halla&gos a la administración. El estudio de :asón esta'a 'asado en unmuestreo estad$stico y desde los primeros datos queda'a claro 8o al

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Tabla !"# Estudiantes ( ) C %

$robabilidad deseleccionarmuestras de dosestudiantes de unapoblación de cuatro

estudiantes

:uestras posi'les de dos personas A? A) A ?) ) ?/a pro'a'ilidad de etraer esta muestra de dos personas de'e ser( A? C 1O A) C 1O A C 1O

?) C 1O) C 1O?) C 1O/a pro'a'ilidad de este estudiante en la muestra de'e ser( A C P? C P) C P C P

6uestro e+emplo, ilustrado en la ta'la B2, utili&a una po'lación *inita de cuatroestudiantes. or *inito nos re*erimos a que la po'lación tiene un tama#o

esta'lecido o limitado, es decir, eiste un n5mero entero 869 que nos dicecuántos elementos hay en la po'lación. )iertamente, si muestreamos sin=rempla&ar= al estudiante, pronto agotaremos nuestro peque#o grupo depo'lación. Q'serve tam'i!n que si muestreamos con rempla&o 8es decir, sisustituimos al estudiante muestreado inmediatamente despu!s de ha'er sidoescogido y antes de elegir al segundo estudiante9, la misma persona podr$aaparecer dos veces en la muestra.

Remos utili&ado este e+emplo sólo para ayudarnos a pensar en el muestreo deuna po'lación in*inita. Una po'lación in*inita es aquella en la que esteóricamente imposi'le o'servar todos los elementos. Aunque muchas

po'laciones parecen ser ecesivamente grandes, no eiste una po'laciónrealmente in*inita de o'+etos *$sicos. espu!s de todo, con recursos y tiempoilimitados, podr$amos enumerar cualquier po'lación *inita, incluso los granos dearena de las costas norteamericanas. )omo cuestión práctica, entonces,utili&aremos el t!rmino po'lación in*inita cuando ha'lemos acerca de unapo'lación que no podr$a enumerarse en un intervalo ra&ona'le. e estamanera, utili&aremos el concepto teórico de po'lación in*inita como unaaproimación de una po'lación *inita grande, al igual que anteriormenteusá'amos el concepto teórico de varia'le aleatoria continua como unaaproimación de una varia'le aleatoria discreta que pudiera asumir muchosvalores estrechamente cercanos.

)ómo hacer un muestreo aleatorio. /a *orma más *ácil de seleccionar unamuestra de manera aleatoria es mediante el uso de n5meros aleatorios. Estosn5meros pueden generarse ya sea con una computadora programada pararevolver n5meros o mediante una ta'la de n5meros aleatorios, que,propiamente, de'er$a llamarse ta'la de d$gitos aleatorios

En la ta'la se ilustra una porción de una ta'la seme+ante. En !sta tenemos1.1<0 d$gitos aleatorios divididos en con+untos de 10 d$gitos. Estos n5meroshan sido generados mediante un proceso completamente aleatorio. /apro'a'ilidad de que apare&ca cualquier d$gito de 0 a 3 es la misma que la decualquier otra secuencia de la misma longitud. Uso de una ta'la de ara sa'ercómo usar esta ta'la, supongamos que tenemos 100 empleados de una

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)ase de la in&erencia estadística, Muestreo aleatorio simple

El muestreo sistemático, el estrati*icado y el de racimo intentan aproimarse almuestreo aleatorio simple. odos son m!todos que han sido deBarrollados porsu precisión, su econom$a o su *acilidad *$sica. Aun as$, supongamos en el

resto de los e+emplos y pro'lemas de este li'ro que o'tenemos nuestros datosutili&ando el muestreo aleatorio simple. Esto es necesario porque los principiosdel muestreo aleatorio simple son la 'ase de la in*erencia estad$stica, elproceso de hacer in*erencias acerca de po'laciones a partir de in*ormacióncontenida en muestras. Una ve& que se han desarrollado estos principios parael muestreo aleatorio simple, su etensión a los otros m!todos de muestreo es'astante simple conceptualmente, aunque algo ela'orado matemáticamente. 4iusted entiende las ideas 'ásicas implicadas en un muestreo aleatorio simple,comprenderá 'ien lo que sucede en los otros casos, aun cuando de'a de+ar losdetalles t!cnicos al estad$stico pro*esional.

:uy pocas de las llamadas muestras aleatorias son verdaderamente aleatorias.or e+emplo, una =muestra aleatoria= de compradores en un centro comerciallocal está sesgada si solamente incluye a aquellas personas que tienen tiempopara detenerse y ha'lar con un investigador de mercadoI y una =muestraaleatoria= de personas a'ordadas por tel!*ono ecluye a aquellas que *iltransus llamadas con una máquina contestadora. Estas personas que noresponden a las encuestas pueden ser un grupo importante de clientes paraalgunos productos.

Ejercicios

G. En los siguientes e+emplos, se muestran las distri'uciones depro'a'ilidad para tres su'grupos naturales de una po'lación mayor.¿ara qu! situación recomendar$a usted un muestreo estrati*icado"

3. 4i le#emos una po'lación de 10,000 individuos y deseamos o'tener unamuestra aleatoria de 20, utilice la ta'la de d$gitos aleatorios 8ta'la B;9para seleccionar 20 individuos de los 10,000. Enumere el n5mero de

aquellos elementos seleccionados, 'asándose en la ta'la de d$gitosaleatorios.

10.Usando un calendario, muestres sistemáticamente cada decimoctavod$a del a#o, comen&ando con el de enero.

11. Una po'lación está compuesta por grupos que tienen una ampliavariación dentro de cada uno de ellos pero poca variación de grupo agrupo. El tipo apropiado de muestreo de esta po'lación es ela. Estrati*icado.

'. 4istemático.c. e racimo.d. e +uicio.

12.Una organi&ación no lucrativa lleva a ca'o una encuesta de opinión depuerta en puerta so're los centros de salud municipal. /a organi&ación

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Cate'oría Tipo de comunidad

Ur'ana

4u'ur'ana

Sural

4ección central 8po'lación 100,000X9

Yreas distantes de ciudades o

comunidades más peque#as 8po'. 20,000

a 100,0009

)omunidades peque#as 8in*eriores a

20,000 ha'itantes

1G.¿Es adecuado en este caso el muestreo aleatorio estrati*icado. B1G Unestudio del senado de Estados Unidos so're la cuestión de amenorreadel istrito de )olum'ia implicó la encuesta entre 2.000 personas ce la

po'lación de la ciudad con respecto a sus opiniones so're un n5mero decuestiones relacionadas con la autonom$a. Washington, .). es unaciudad en la que hay muchas vecindarios po'res y ricos, y hay muypocos que caen en medio de estos dos etremos. /os investigadoresque administraron la encuesta tuvieron ra&ones para cree que lasopiniones epresadas so're las diversas cuestiones depender en granmedida del ingreso. ¿Hu! m!todo ser$a el más apropiado, el muestreoestrati*icado o el de racimo" Eplique 'revemente su respuesta.

%ise-o de e.perimentos

En el cap$tulo J. =ro'a'ilidad -=, nos encontramos el t!rmino eperimento All$de*inimos como uno o más de los resultados posi'les de hacer algo, y uneperimento como la actividad que tendr$a como resultado tales eventos. En eleperimento ¿el lan&amiento de una moneda, los eventos posi'les ser$an caraso cruces.

$laneación de e.perimentos

4i hemos de conducir eperimentos que produ&can resultados signi*icativos en*orma de poner conclusiones aprovecha'les, es de suma importancia la *ormaen que se dise#a estos eperimentos. En las secciones .1 y .2 se anali&aron

*ormas de asegurar que el muestreo aleatorio realmente se ha'$a e*ectuado. /a*orma en que se conduce un muestreo es sólo una parle del dise#o total de uneperimento. e hecho, el dise#o de eperimentos es en s$ mismo el tema deuna gran cantidad de li'ros, algunos de ellos realmente *ormida'les tanto enalcance como en volumen.

Fases del dise-o e.perimental

ara tener una me+or idea del dise#o eperimental sin meterse realmente conlos detalles comple+os, tomemos un e+emplo de los muchos que con*rontamosa diario y sigámoslo desde el principio hasta el *inal.

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Reacción a las a&irmaciones e.perimentales

¿)ómo de'emos nosotros, como consumidores, reaccionar a las nuevasa*irmaciones so're la vida de la 'ater$a en su reciente pu'licidad" ¿e'emosconcluir, por las prue'as que ha e*ectuado la compa#$a, que la 'ater$a de)ranmaster es superior a la 'ater$a de la competencia" 4i nos detenemos por un momento a considerar la naturale&a del eperimento, puede ser que no nosapresuremos a llegar a esa conclusión.

¿)ómo sa'emos que las marcas y condiciones de los motores de losautomóviles del eperimento *ueron id!nticas" ¿% estamos a'solutamenteseguros de que los ca'les de la 'ater$a eran id!nticos en tama#o y resistencia

a la corriente" ¿% qu! hay con respecto a las temperaturas am'ientaleseistentes durante las prue'as" ¿Kueron iguales" Tstas son las preguntasnormales que de'er$amos hacemos.

¿)ómo de'emos reaccionar *rente a la a*irmación, si se hace, de que=sometimos los resultados eperimentales a etensas prue'as estad$sticas="/a respuesta a lo anterior tendrá que esperar hasta el cap$tulo 3. dondepodremos determinar si una di*erencia tal en el tiempo de vida de las 'ater$ases demasiado grande para ser atri'uida al a&ar. En este punto, nosotros, comoconsumidores, de'emos ser lo su*iciente esc!pticos.

Otras opciones abiertas

Qtra ruta para Haro está que la compa#$a )ranmaster ha'r$a tenido lasmismas preocupaciones que nosotros, y con toda pro'a'ilidad no ha'r$a hechoa*irmaciones pu'licitarias importantes solamente so're la 'ase del dise#oeperimental que aca'amos de descri'ir. Un posi'le curso de acción paraevitar la cr$tica seria asegurar que todas las varia'les, ecepto la que se est!midiendo, hayan sido realmente controladas. A pesar del cuidado que se tuvopara producir tales condiciones controladas, resulta que estos eperimentosso're controlados realmente no solucionan nuestro pro'lema. 6ormalmente, enve& de invertir recursos en intentos de eliminar variaciones eperimentales,

elegimos una ruta completamente di*erente. /os siguientes párra*os muestrancómo podemos lograr lo anterior.

E.perimentos &actoriales

En el caso de la compa#$a )ranmaster, ten$amos dos 'ater$as 8re*irámonos aellas como a y ?9 y tres condiciones de prue'a que nos interesa'an( 19temperatura. 29 edad del motor y ;9 condición del ca'le de la 'ater$a.-ntrodu&camos el concepto de eperimentos *actoriales al usar esta notación(

R C temperatura caliente 6 C motor nuevo Q C ca'le 'ueno

) C temperatura *r$a Q C motor vie+o W C ca'le desgastado

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esde luego, en la mayor parte de los eperimentos podr$amos encontrar másde dos condiciones de temperatura y, con respecto a ello, más de doscategor$as de condiciones del motor del automóvil y del ca'le de la 'ater$a.ero es me+or introducir la idea de eperimentos *actoriales usando un e+emploalgo simpli*icado.

Tabla $rueba )atería Temperatura Condición

del motor

Condición

del cable

iecis!is

com'inacione

s posi'les de

*actores para

la prue'a de

'ater$as

1

2

;

J

<

N

G

3

10

11

12

1;1J

1<

1

A

A

A

A

A

A A

A

?

?

?

?

??

?

?

R

R

R

R

)

))

)

R

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R

R

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)

6

6

Q

Q

6

6Q

Q

6

6

Q

Q

66

Q

Q

V

W

V

W

V

WV

W

V

W

V

W

VW

V

W

As$ pues, y ya que hay dos 'ater$as, dos posi'ilidades de temperatura, dosposi'ilidades de condiciones de motor y dos posi'ilidades del ca'le de la'ater$a, hay 2F2F2F2 C 1 com'inaciones posi'les de *actores. 4i quisi!ramosescri'ir estas 1 posi'ilidades, se ver$an como se muestra en la ta'la B<.

Una ve& esta'lecidas todas las com'inaciones posi'les de *actoresinvolucrados en este eperimento, ahora podr$amos llevar a ca'o las 1prue'as de la ta'la. 4i hici!ramos esto, ha'r$amos e*ectuado un eperimento*actorial completo, porque cada uno de los dos niveles de cada uno de loscuatro Oadores se ha'r$an utili&ado una ve& con cada com'inación posi'le deotros niveles de otros *actores. Esta *orma de dise#o nos permitir$a usar t!cniBcas que introduciremos en el cap$tulo 11. =>i cuadrada y análisis de varian&a=,para pro'ar el e*ecto de cada uno de los *actores.

e'emos se#alar, antes de de+ar esta sección, que en un eperimento real,di*$cilmente llevar$amos a ca'o las prue'as en el orden en el que aparecen enla ta'la. 4e acomodaron en ese orden para *acilitar el conteo de las

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com'inaciones y para determinar que todas las com'inaciones posi'lesrealmente estuvieran representadas. En la práctica real, de+ar$amos al a&ar elorden de las prue'as, tal ve& poniendo en un som'rero 1 n5meros ydeterminando el orden del eperimento seg5n vayan saliendo los n5meros delsom'rero. /ogro de mayor e*iciencia en el dise#o eperimental )omo vimos a

partir de nuestro eperimento de cuatro *actores, se requirieron 1 prue'aspara comparar todos los niveles con todos los *actores. 4i tuvi!ramos quecomparar las mismas dos 'ater$as, pero esta ve& con cinco niveles detemperatura, cuatro mediciones de condiciones de motor y tres mediciones decondiciones del ca'le de la 'ater$a, serian necesarias 2F<FJF;C 120 prue'aspara un eperimento *actorial completo.

or *ortuna, los estad$sticos han podido ayudamos a reducir cl n5mero deprue'as en casos como !ste. ara ilustrar cómo *unciona esto, consideremosuna compa#$a de productos de consumo que desea pro'ar en el mercado unanueva pasta de dientes en cuatro ciudades di*erentes con cuatro tipos distintos

de paquetes y cuatro programas di*erentes de pu'licidad.

rograma pu'licitario

1 2 ; J

- ) ? A

-- ? ) A

--- A ? )

-Z A ) ?

En un caso as$, un eperimento *actorial completo tornar$a J F J F J C Jprue'as. 4in em'argo, si hacemos una planeación inteligente, podemosllevarlo a ca'o, en realidad, con muchas ráenos prue'as. 1, para ser precisos.Usemos la notación(

A C )iudad 1 -C aquete 1 1 C programa pu'licitario 1

? C )iudad 2 --C aquete 2 C programa pu'licitario 2

aquetes

)uotas

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) C )iudad ; ---C aquete ; C programa pu'licitario ;

C )iudad J -ZC aquete J C programa pu'licitario J

Ahora dispongamos las ciudades, los paquetes y los programas pu'licitarios en

un dise#o llamado cuadrado latino 8*igura B19.En el dise#o eperimental representado por el cuadrado latino, necesitar$amossólo 1 prue'as, en ve& de las J calculadas originalmente. )ada com'inaciónde ciudad, paquete y programa pu'licitario estar$a representada en las 1prue'as. El análisis estad$stico real de los datos o'tenidos de un dise#oeperimental de un cuadrado latino como el que presentamos, requerir$a una*orma de análisis de varian&a que está un poco más allá del propósito delpresente li'ro.

Introducción a las distribuciones de muestreo

En el cap$tulo ; introdu+imos algunos m!todos, por medio de los cualespodemos utili&ar entre muestras de la mismo datos de muestras para calcularestad$sticas como la media y la desviación estándar. Rasta po'lación lo que vade este cap$tulo, hemos eaminado cómo se pueden tomar muestras depo'laciones. 4i aplicamos lo que hemos aprendido y tomamos varias muestrasde una po'lación, las estad$sticas que calcular$amos para cada muestra nonecesariamente serian iguales, y lo más pro'a'le es que variaran de unamuestra a otra.

4upongamos que cada una de nuestras muestras consta de die& mu+eres de2< a#os de edad que viven en una ciudad de 100.000 ha'itantes 8unapo'lación in*inita, de acuerdo con nuestro tratamiento9. Al calcular la alturamedia y la desviación estándar de esa altura para cada una de estaI muestras,rápidamente ver$amos que [a media y la desviación estándar de cada muestraserian di*erentes. Una distri'ución de pro'a'ilidad de todas las inedias posi'lesde las muestras es una distri'ución de las medias de las muestras. /osestad$sticos la conocen como distri'ución de muestreo de la media.

am'i!n podr$amos tener una distri'ución de muestreo de una porción.

4upongamos que hemos determinado la *racción de pinos in*estados deescara'a+os en muestras de 100 ár'oles, escogidos de un 'osque muy grande.Remos tomado un gran n5mero de tales muestras de 100 elementos. 4itra&amos una distri'ución de pro'a'ilidad de las porciones posi'les de ár'olesin*estados en todas estas muestras, o'tendr$amos una distri'ución de lasporciones de las muestras. En estad$stica, a esto se le conoce comodistri'ución de muestreo de la porción. 8Q'serve que el t!rmino porción sere*iere a la *racción de ár'oles que están in*estados.9

%escripción de las distribuciones de muestreo

)ualquier distri'ución de pro'a'ilidad 8y, por lo tanto, cualquier distri'ución demuestreo9 puede ser descrita parcialmente por su media y su desviaciónestándar. En la ta'la B ilustramos varias po'laciones. A un lado de cada

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po'lación hemos indicado la muestra tomada de esa po'lación, la estad$sticade muestra que hemos medido y la distri'ución de muestreo que estar$aasociada con esa estad$stica.

Ahora 'ien, ¿cómo descri'ir$amos cada una de las distri'uciones de muestreo

de la ta'la B" En el primer e+emplo, la distri'ución de muestreo de la mediapuede ser descrita parcialmente por su media y por su desviación estándar. /adistri'ución de muestreo de la mediana, en e[ segundo e+emplo, puede serdescrita en parte por la media y por [a desviación estándar de la distri'ución delas medianas. % en el tercero, la distri'ución de muestreo de la proporciónpuede ser descrita parcialmente por la media y por la desviación estándar de ladistri'ución de las porciones.

Concepto de error estándar

En ve& de decir =la desviación estándar de la distri'ución de las medias de la

muestra= para descri'ir una distri'ución de medias de la muestra, losestad$sticos se re*ieren al error estándar de la media. e manera similar, la=desviación estándar de la distri'ución de las proporciones de la muestra= sea'revia como error estándar de la proporción. El t!rmino error estándar seutili&a porque da a entender un signi*icado espec$*ico. Un e+emplo ayudará aeplicar el porqu! del nom're. 4upongamos que queremos sa'er algo so're laestatura de los alumnos de nuevo ingreso de una gran universidad estatal.odr$amos tomar una serie de muestras y calcular la estatura media de cadamuestra. Es altamente impro'a'le que todas estas medias de muestras *ueranigualesI esperamos ver alguna varia'ilidad en nuestras medias o'servadas.Esta varia'ilidad en las estad$sticas de muestras proviene de un error de

muestreo de'ido al a&arI es decir, hay di*erencias entre cada muestra y lapo'lación, y entre las diversas muestras, de'ido 5nicamente a los elementosque decidimos escoger para las muestras.

Tabla $rueba )atería Temperatura Condición del

motor

E+emplos de

po'laciones,

muestras,

estad$sticas y

distri'uciones demuestreo

Agua de rio

odos losequipos

pro*esionales de

'ásquet'ol

odas las partes

producidas por

un proceso de

*a'ricación

)ontenedores

de agua de 10

galones

Vrupos de < +ugadores <0

partes

65mero medio

de partes de

mercurio por

millón de partes

de agua Altura mediana

roporción

de*ectuosa

istri'ución de

muestras de la

media

odas las partes

de *a'ricación

istri'ución de

muestreo de la

proporción

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/a desviación estándar de la distri'ución de las medias de las muestras mide elgrado hasta el que esperamos que var$en las medias de las di*erentesmuestras de'ido a este error *ortuito cometido en el proceso de muestreo. ortanto, la desviación estándar de la distri'ución de una estad$stica de muestrase conoce como error estándar de la estad$stica.

El error estándar indica no sólo el tama#o del error de a&ar que se ha cometido,sino tam'i!n la pro'a'le precisión que o'tendremos si utili&amos unaestad$stica de muestra para estimar un parámetro de po'lación. Unadistri'ución de medias de muestra que está menos etendida 8y que tiene unerror estándar peque#o9 es un me+or estimador de la media de la po'lación queuna distri'ución de medias de muestra que está ampliamente dispersa y quetiene un error estándar más grande.

En la ta'la BN se indica el uso adecuado del t!rmino error estándar. En elcap$tulo N discutiremos cómo estimar los parámetros de po'lación usando

estad$sticas de muestra.

Tabla Cuando deseamos re&erirnos a la *samos el t/rmino convencional

erminolog$a

convencional

usada para

re*erirse a las

estad$sticas de

muestra

esviación estándar de la

distri'ución de medias de la

muestra


distri'ución de proporciones de

muestra


distri'ución de medianas de

muestra


distri'ución de intervalos de

muestra

Error estándar de la media

Error estándar de la proporción

Error estándar de la mediana

Error estándar del lintervalo

*n uso del error estándar

Una escuela que entrena pilotos privados para su eamen de instrumentosa*irmó( =6uestros egresados o'tienen me+ores cali*icaciones en el eamenescrito de instrumentos que los egresados de otras escuelas=. ara el lectorcon*iado, esto parece per*ectamente claro. 4i desea tener una me+orcali*icación en su eamen escrito de instrumentos, entonces esta escuela es sume+or apuesta.

e hecho, sin em'argo, siempre que usamos prue'as, tenemos que tratar conel error estándar. Espec$*icamente, necesitamos cierta medición de la precisióndel instrumento de prue'a, generalmente representado por el error estándar.

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Esto nos dir$a qu! tan grande tendr$a que ser una di*erencia en lascali*icaciones de una escuela para que *uera estad$sticamente signi*icativa.esa*ortunadamente, el anuncio no o*rec$a datosI sólo a*irma'a que =nuestrosegresados lo hacen me+or\.

El conocimiento de la distri'ución de muestreo permite a los estad$sticosplanear muestras de tal *orma que los resultados sean signi*icativos. e'ido aque resulta caro reca'ar y anali&ar muestras grandes, los administradoressiempre procuran o'tener la muestra más peque#a que proporcione unresultado con*ia'le.

Ejercicios

13.4upongamos que usted está tomando muestras de una po'lación conuna media de 2.1<. ¿Hu! tama#o de muestra garanti&ará que/a media de muestra sea 2.1<"

El error estándar de la media sea cero"20.El t!rmino error, en el error estándar de la media, ¿a qu! tipo de error sere*iere"

21.4e sa'e que una máquina que llena 'otellas tiene una cantidad mediade llenado de 12< gramos y una desviación estándar de 20 gramos. Ungerente de control de calidad tomó una muestra aleatoria de 'otellasllenadas y encontró que la media demuestra era 1;0. El gerente supusoque la muestra no de'$a ser representativa. ¿Es correcta esaconclusión"

22./a empresa 6orth )arolina Electric and Vas determinó que el costomedio por ;0 m( del servicio el!ctrico a la po'lación residencial es de

40.;1J con un error estándar de 40.0N. 4e seleccionan dos muestrasaleatoriamente y las medias son 40.;0 y 40.;<, respectivamente. Elasistente a cargo de la recolección de datos concluye que la segundamuestra es la me+or porque es más provechoso so'restimar quesu'estimar la media real. )omente esto. ¿Es =me+or= una de las mediasde cierta manera, dada la media real de la po'lación"

2;.Una mu+er que tra'a+a para el servicio de clasi*icación de 6ielsen,entrevista transe5ntes en una calle de 6ueva %or y registra laestimación de cada .su+eto del tiempo promedio que ocupa en vertelevisión en horario estelar por la noche. Estas entrevistas se e*ect5andurante 20 d$as y, al *inal de cada d$a, la entrevistados calcula el tiempo

promedio entre todos los entrevistados de ese d$a. )on los datoso'tenidos de todas las entrevistas construye una distri'ución de*recuencias para estas medias diarias. ¿Es !sta una distri'ución demuestreo de la media" Eplique su respuesta.

2J.)harlotte Anne 4errus, una analista de mercado de la compa#$a Klorriso'acco )ompany, desea evaluar el da#o ocasionado a las ventas de laempresa por la aparición de un nuevo competidor. )onsecuentemente,ha compilado semanalmente ci*ras de ventas de periodos de un a#oantes y despu!s de la aparición del competidor. )harlotte representógrá*icamente las correspondientes distri'uciones de *recuencia de lasiguiente manera(

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Ahora estudiaremos con más detalle estos conceptos, de tal *orma que no sólopodamos comprenderlos conceptualmente, sino que tam'i!n podamosmane+arlos de manera operacional.

)ase conceptual para muestrear distribuciones

/a *igura B2 nos ayudará a eaminar las distri'uciones de muestreo sinahondar demasiado en la teor$a estad$stica. Remos dividido esta ilustración entres partes. En la *igura B2 8a9 ilustramos una distri'ución de po'lación.4uponga que esta po'lación son todas las pantallas de *iltro de un gransistema industrial de control de contaminación y que la distri'ución consiste enlas horas de operación antes de que una pantalla quede o'struida. /adistri'ución de las horas de operación tiene una media u 8my9 y una desviaciónestándar o ]sigma9.

4upongamos que, de alguna manera, podemos tomar todas las muestras

posi'les de die& pantallas de la distri'ución de po'lación 8de hecho, ha'r$amuchas más que de'er$amos tomar en cuenta9. A continuación calcular$amosla media y la desviación estándar para cada una de estas muestras, como serepresenta en la *igura B28'9. )omo resultado, cada muestra tendr$a su propiamedia, .v 8 testada9, y su propia desviación estándar, s. 6inguna de las mediasde la muestra individuales ser$a la misma que la media de la po'lación. Tstastender$an a estar cerca de la media de la po'lación, pero rara ve& quedar$aneactamente en ese valor.

0a distribución de población

Esta es la distri'ución de las horas de operación de todas las pantallas de*iltro. iene(

D C la media de esta distri'ución

C la desviación estándar de esta distri'ución

4i de alguna manera pudi!ramos tomar todas las muestras posi'les de untama#o dedo de esta distri'ución de po'lación, dichas muestras estar$an

representadas grá*icamente por estas cuatro muestras que vienen a

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En la práctica, el tama#o y el carácter de la mayor parte de las po'lacionesimpiden que los responsa'les de las decisiones tomen todas las muestrasposi'les de una distri'ución de po'lación. A*ortunadamente, los estad$sticoshan desarrollado *órmulas para estimar las caracter$sticas de estas distri'ucioBnes teóricas de muestreo, haciendo innecesario que recolectemos grandes

n5meros de muestras. En casi todos los casos, los responsa'les de lasdecisiones sólo toman una muestra de la po'lación, calculan estad$sticas paraesa muestra y de esas estad$sticas in*ieren algo so're los parámetros de todala po'lación. -lustraremos esto 'revemente.

En cada e+emplo de distri'uciones de muestreo de lo que resta de estecap$tulo, utili&aremos la distri'ución de muestreo de la media. odr$amosestudiar las distri'uciones de muestreo de la mediana, del alcance o de laproporción, pero nos quedaremos con la media por la continuidad que a#adiráa la eplicación. Una ve& que usted desarrolle una comprensión de cómo trataroperacionalmente con la distri'ución de muestreo de la media, podrá aplicarla

a la distri'ución de cualquier otra estad$stica de muestra.

Muestreo de poblaciones normales

4upongamos ahora que etraemos muestras de una po'lación normalmentedistri'uida con una media de 100 y una desviación estándar de 2<, y quecomen&amos por etraer muestras de cinco elementos cada una y calculamossus medias. /a primera media podr$a ser 3<, la segunda 10, la tercera 101,etc. Q'viamente, ha'r$a igual oportunidad de que la media de muestraestuviera por encima de la media de po'lación de 100 como de que estuvierapor de'a+o de ella. e'ido a que estamos promediando cinco elementos para

o'tener cada media de muestra, se promediar$an hacia a'a+o valores muygrandes de la muestra y hacia arri'a valores muy peque#os. El ra&onamientoconsistir$a en que nos estar$amos etendiendo menos entre las medias demuestra que entre los elementos individuales de la po'lación original. Esto eslo mismo que a*irmar que el error estándar de la media, o desviación estándarde la distri'ución de muestreo, ser$a menor que la desviación estándar de loselementos individuales en la po'lación. En la *igura B; ilustramos grá*icamenteeste se#alamiento.

Ahora supongamos que aumentamos nuestro tama#o de muestra de < a 20.Esto no cam'iar$a la desviación estándar de los elementos de la po'lación

original. ero con muestras de 20, hemos incrementado el e*ecto de promediaren cada muestra y esperar$amos -ncluso menos dispersión entre las medias dela muestra. En la *igura BJ se ilustra lo anterior. /a distri'ución de muestreo deuna media de una po'lación normalmente distri'uida demuestra lasimportantes propiedades resumidas en la ta'la BG. Un e+emplo ilustrará másampliamente estas propiedades. Una institución 'ancaria calcula que suscuentas de ahorros individuales están normalmente distri'uidas con una mediade _2,000 y una deviación estándar de _00. 4i el 'anco toma una muestraaleatoria de 100 cuentas, ¿cuál es la pro'a'ilidad de que la media de muestracaiga entre _ 1.300 y _ 2,0<0" Esta es una pregunta con respecto a ladistri'ución de muestreo de la mediaI por tanto, de'emos calcular primero elerror estándar de la media. En este caso, utili&aremos la ecuación para el error

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estándar de la media o'tenida para situaciones en las que la po'lación esin*inita 8más tarde introduciremos una ecuación para po'laciones *initas9(

Error estándar de la media

σ i= σ

√ n

En la que(

C desviación estándar

n C tama#o de muestra

Aplicando lo anterior a nuestro e+emplo(

σ i=

5600

√ 100

σ i=5600

10

σ i=$60erro r estandar dela media

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A continuación necesitamos usar la ta'la de valores & 8ta'la - del ap!ndice9 y laecuación <B, que nos permite, a su ve&, utili&ar la ta'la de la distri'uciónnormal estándar de pro'a'ilidad. )on esto podemos determinar la pro'a'ilidadde que la media de la muestra se encuentre entre _ 1,300 y _2,0<0

z= x− μ

σ

Tabla $ropiedad Ilustrado

simbólicamente

ropiedades de

la distri'ución de

muestreo de la

media cuando la

po'lación está

normalmente

distri'uida

/a distri'ución de muestreo tiene una media igual

a la media de la po'lación

/a distri'ución de muestreo tiene una desviación

estándar 8un error estándar9 igual a la desviación

estándar de la po'lación dividida entre la ra$&

cuadrada del tama#o de la muestra

/a distri'ución de muestreo está normalmente

distri'uida.

μ x= μ

σ i=

σ

√ n

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/a ecuación <B nos dice que par$ convertir cualquier varia'le aleatoria normalen una varia'le aleatoria normal estándar, de'emos sustraer la media de lavaria'le que se está estandari&ando y dividir el resultado entre e[ error estándar

8la desviación estándar de dicha varia'le9. or tanto, en este caso particular, laecuación <B se trans*orma en(

Ahora estamos listos para calcular los dos valores & de la siguiente manera(

ara F C _ 1300(

z= ́x− μ

σ ́ x

z=1900−2000

60

z=−100

60

z=−1.67

esviación estándar de la media de una distri'ución normal estándar depro'a'ilidad.

ara F C _ 20<0(

z= ́x− μ

σ ́ x

z=2050−2000

60

z=

−50

60

:edia de muestra

Error estándar de la media(

σ

√ n

:edia de po'lación

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z=−0.83

esviaciones estándar de la media de una distri'ución normal estándar depro'a'ilidad.

En la ta'la 1 del ap!ndice presentamos un área de 0.J<2< correspondiente aun valor & de B1.N, lo que da un área de 0.23N para un valor & de 0.4;. 4isumamos !stos, o'tenemos 0.NJ32 como la pro'a'ilidad total de que la mediade la muestra se encuentre entre _ 1.300 y _2.0<0. Remos mostrado estepro'lema grá*icamente en la *igura B<.

Muestreo de poblaciones no normales

En la sección anterior concluimos que cuando la po'lación está distri'uidanormalmente, la distri'ución de muestreo de la media tam'i!n es normal. 4inem'argo, los responsa'les de tomar decisiones de'en lidiar con muchaspo'laciones que no están distri'uidas normalmente. ¿)ómo reacciona ladistri'ución de muestreo de la media cuando la po'lación de la que se etraenlas muestras no es normal" Una ilustración nos ayudará a responder estapregunta.

)onsideremos los datos de la ta'la B3, re*erentes a cinco propietarios demotocicletas `@ la duración de sus llantas. e'ido a que sólo están involucradascinco personas, la po'lación es demasiado peque#a para ser aproimada poruna distri'ución normal. omaremos todas las muestras posi'les de lospropietarios en grupos de tres, calcularemos las medias de muestra 89, lasenumeraremos y calcularemos la media de la distri'ución de muestreo 8D9. /oanterior lo hemos hecho en la ta'la B10. Estos cálculos muestran que inclusoen un caso en el que la po'lación no está normalmente distri'uida, D la media

de la distri'ución de muestreo, sigue siendo igual a la media de la po'lación, u.

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Ahora re*irámonos a la *igura B. /a *igura B8a9 es la distri'ución depo'lación de la duración de las llantas para los cinco propietarios de lasmotocicletas, una distri'ución que puede ser todo menos una distri'uciónnormal. En la *igura B8'9, mostramos la distri'ución de muestreo de la mediapara un tama#o de muestra de tres, tomando la in*ormación de la ta'la B10.

Q'serve la di*erencia que eiste entre las distri'uciones de pro'a'ilidad de las*iguras B8a9 y B8'9. En la B8'9, la distri'ución se parece un poco más a la*orma de campana de la distri'ución normal.

4i tuvi!ramos mucho tiempo y espacio, podr$amos repetir este e+emplo yagrandar el tama#o de la po'lación a J0. Entonces podr$amos tomar muestrasde di*erentes tama#os. A continuación representaremos grá*icamente lasdistri'uciones de muestreo de la media que se tendr$a para los di*erentestama#os.

Tabla ropietario )arl e''ie Eli&a'eth Kran Veorge

uración ; ; N 3 1J otal ; mesese la llanta

8meses9

:edia C ;O< C N.2 meses

Eperiencia decinco propietarios

de motocicletas

con la duración

de sus llantas

Esto demostrar$a 'astante en*áticamente lo rápido que la distri'ución demuestreo de la media se acerca a la normalidad, sin importar la *orma de ladistri'ución de la po'lación. En la *igura BN simulamos este proceso grá*iB

camente sin e*ectuar todos los cálculos.

El teorema del límite central

El e+emplo de la ta'la B10 y las dos distri'uciones de pro'a'ilidad de la *iguraB de'er$an sugerir varias cosas. rimero, la media de la distri'ución demuestreo de la media será igual a la media de la po'lación, sin importar eltama#o de la muestra, incluso si la po'lación no es normal. 4egundo, alincrementarse el tama#o de la muestra, la distri'ución de muestreo de la mediase acercará a la normalidad, sin importar la *orma de la distri'ución de lapo'lación.

Esta relación entre la *orma de la distri'ución de la po'lación y la *orma de ladistri'ución de muestreo se denomina teorema del l$mite central. El teorema dell$mite central es tal ve& el más importante de toda la in*erencia estad$stica. 6osasegura que la distri'ución de muestreo de la media se aproima a la normal niincrementarse el tama#o de la muestra. Ray situaciones teóricas en las que elteorema del l$mite central no se cumple, pero casi nunca se encuentran en latoma de decisiones práctica. e hecho, una muestra no tiene que ser muygrande para que la distri'ución de muestreo de la media se acerque a lanormal. /os estad$sticos utili&an la distri'ución normal como una aproimacióna la distri'ución de muestreo siempre que el tama#o de la muestra sea de al

menos ;0, pero la distri'ución de muestreo de la media puede ser casi normalcon muestras de incluso la mitad de ese tama#o. /a importancia del teorema

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del l$mite central es que nos permite usar estad$sticas de muestra para hacerin*erencias con respecto a los parámetros de po'lación sin sa'er nada so're la*orma de la distri'ución de *recuencia de esa po'lación más que lo quepodamos o'tener de la muestra. El poner en marcha esta capacidad es elo'+etivo de gran parte del material que presentamos en los cap$tulos

su'secuentes de este li'ro.

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-lustremos el uso del teorema del l$mite central. /a distri'ución de los ingresosanuales de todos los pagadores de un 'anco con cinco a#os de eperienciaestá sesgada de manera negativa, como se muestra en la *igura BG8a9. Estadistri'ución tiene una media de _ 13,000 y una desviación estándar de _2.000.4i etraemos una muestra aleatoria de ;0 pagadores, ¿cuál es la pro'a'ilidad

de que sus ganancias promedien más de _ 13,N<0 anualmente" En la *igura BG8'9 mostramos la distri'ución de muestreo de la media que resultar$a, y hemossom'reado el área que representa los =ingresos por encima de _ 13,N<0

6uestra primera tarea es calcular el error estándar de la media de la desviaciónestándar de la po'lación, de la manera siguiente(

σ x=

σ

√ n

¿2000

√ 30

¿2000

5.477

¿$365.16 error estandar dela media

)omo estamos *rente a una distri'ución de muestreo, ahora de'emos utili&ar laecuación B2 y la distri'ución de pro'a'ilidad normal estándar 8ta'la 1 delap!ndice9.

ara F C _ 13,N<0(

z= ́x− μ

σ ´ x

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z=19750−19000

365.16

z=750.00

365.16

z=2.05

desviaciones estandarde lamedia de unadistribucionnormal estandarde probablidad

Esto nos da un área de 0.JN3G para un valor & de 2.0<. :ostramos esta áreaen la *igura BG como el área entre la media y _13,N<0. uesto que la mitad, o0.<000, del área 'a+o la curva cae entre la media y la cola de la derecha, el

área som'reada de'e ser(

0.<000 8Yrea entre la media y el etremo de la derecha9B 0.JN3G 8Yrea entre la media y _13.N<090.0202 8Yrea entre el etremo de la derecha y _13.N<09

or tanto, hemos determinado que hay ligeramente más de 2M de pro'a'ilidadde que los ingresos promedio sean mayores que _13.N<0 anualmente en ungrupo de ;0 pagadores.

El teorema del l$mite central nos permite utili&ar las propiedades de ladistri'ución normal en muchos casos en los que los datos su'yacentes puedenno estar normalmente distri'uidos. El hecho de que la distri'ución de muestreosea aproimadamente normal es la 'ase de una amplia variedad de prue'asestad$sticas di*erentes.

muest reo

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