J.£.N. 171-DF/l 51

MÉTODOS DE CALCULO EN REACTORESNUCLEARES

por

G. Velarde

Madrid, 1966

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Se autoriza la reproducción de los resúmenesanalíticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su publicaciónen Diciembre de 1965.

Depósito legal n° M. 6948-1967

Í N D I C E

Págs.

1. - PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1

2. - HIPÓTESIS Y SIMPLIFICACIONES COMPLEMENTARIAS 8

3. - MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL

TRANSPORTE. 9

4. - APROXIMACIÓN P j 17

1.- -PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA , •

1.1.- Problema.- El problema que se intenta resolver en el cálculo neu-

trónico de un reactor, es.hallar en un instante determinado t para

una geometría y composición también determinada, el número probable-y -y

de neutrones situados en el entorno dr en r y con velocidades en el->• - * •

entorno dv en v.

1.2.- Variables.- Las variables independiente que intervienen en el pro-

blema son siete: el tiempo t, la posición r (x, y, z) y la veloci-

dad v (v , v , v ) =.vfi , de módulo v y dirección íí (9,<j>), siendo 0

la coaltura y $ el azimut.

Según los problemas considerados es conveniente tomar en vez de las

coordenadas reactangulares, las cilindricas o esféricas; y en vez del2

Vmódulo de la velocidad v, la energía cinética E = —^— , supuesta la

masa del neutrón la unidad, o bien la letárgia u = 2 ln , siendo

v una velociada de referencia.o

Los elementos diferenciales de las variables son:

, y = eos 6r2

dr = dx dv dz = r2 dr dQ = (S2d S) dr (1)

dv = dv dQ

A 2 A d E

du dv = =—E

siendo dS un elemento de superficie. Si f es una función que verifi

ca las igualdades

f (v;v ti) dv dn = f (u,Q) du dü = f (E,Q) dE dñ (2)

se cumple entonces

f u,3) = - E f (E.,n) = - JL_ f (V,n) (3)

- 2 -

1.3.- Definiciones.- Emplearemos las siguientes definiciones:

N (r,v,t) dr dv = número probable de neutrones que en un instan- - * • - * • - * • - * •

te t están situados en r + dr, v + dv.

N (r,v,t) = densidad neutr6nica angular

F (r,v,t) = vN (r,v,t) = densidad de flujo angular

¿ M (r,v,t) = sección eficaz macroscópica, supuesta isótropa,

del proceso x en el núcleo h. El subindice x

puede ser: c = captura, f = fisión, a = a + f =

absorción, e = dispersión elástica, i = disper-

sión inelástica, s = i + e = dispersión, t = a +

+ s = total. La sección eficaz macroscópica pue

de definirse por: número de procesos por unidad de

volumen y tiempo = ¿ F dv.

p (v1 •*• v) dv = probabilidad de que un neutrón incidente de velo-

cidad v1 habiendo sufrido una dispersión con un

núcleo h, alcance la velocidad v + dv, verificando

se que: p (v1 ->• v) dv = 1.1 h •*•

f" (v) dv = probabilidad de que un neutrón producido en la fi-

sión del núcleo h alcance la velocidad v + dv, su-

puesta independiente de la velocidad del neutrón que

produce la fisión, verificándose que: j f (v).

. dv = 1.

v (v) = número total de neutrones producidos (de 2 a 4) en

la fisión del núcleo h con neutrones incidentes de

velocidad v.

I.1*,- Hipótesis.- La densidad neutrónica máxima en un reactor es del orden11 -3

de 10 neutrones, cm , mientras que la densidad nuclear mínima es22 -3

del orden de 10 núcleos . cm , por lo cual las colisiones más pro-

bables son neutrones con núcleos y de núcleos entre sí, o sea:

t.l.- No se consideran las colisiones entre neutrones ni las colisiones de

un neutrón con varios núcleos a la vez.

- 3 -

1.4.2.- Entre dos colisiones sucesivas el neutrón se mueve con movimien

to rectilíneo y uniforme.

En la dispersión inelástica, se forma primeramente un núcleo com_

puesto en estado exictado, el cual emite generalmente un sólo neu

trón después de unos 10 seg. de haberse efectuado la colisión,

por tanto, puede admitirse:

1.4.3.- En cada dispersión se produce un sólo neutrón en el mismo lugar

e instante en el que se efectúa la colisión.

En la fisión se produce diversos neutrones algunos de los cuales

después de unos 10 seg. de haberse producido la colisión, mien

tras que otros se originan, con un retraso de 0,5 a varios segundos,

considerándose entonces

1.4.4.- En cada fisión se producen neutrones en el mismo lugar en el que

efectúa la colisión, algunos instantáneamente, y otros con un cier

to retardo.

La dispersión elástica de un neutrón de energía E Mev con un núcleo

de número másico A es isótropa en el sistema del centro de masas si-2/3

E < 10 A ,o sea si

5 Mev para núcleos ligerosE < { orr. „ s i J \ 5 y teniendo en cuenta que la1 250 Kev para núcleos pesados ' M

energía media de los neutrones de fisión es de unos 2 Mev, se admite

1.4.5.- La dispersión elástica en núcleos ligeros es isótropa en el sistema

del centro de masas.

En la dispersión inelástica y en la fisión, el neutrón incidente pa_

sa a formar parte del núcleo compuesto, perdiéndose la traza de la

dirección incidente, por lo cual los neutrones producidos son emitidos

Ísotropicamente en el sistema del centro de masas. Por una parte

la probabilidad de producirse una dispersión inelástica aumenta con

la masa del núcleo que sufre la colisión y sólo puede producirse cuan

do la energía del neutrón incidente es superior a una umbral,

- r 1 Mev para núcleos ligerosE > 120 Kev para núcleos pesados

_ 4 _

Por otra parte la fisión sólo se produce en núcleos pesados.

Por lo cual, teniendo en cuenta, que para núcleos pesados los

sistemas del laboratorio y del centro de masas se aproximan,

se puede considerar.

I.H.6.- La dispersión inelástica y la fisión son isótropas en el sis-

tenia de laboratorio.

1.5.- Ecuación del balance neutrónico.- La densidad o el flujo neutro

nico se obtiene resolviendo las ecuaciones que aparecen al esta-

blecer el balance entre las pérdidas y ganancias de neutrones.

Estas ecuaciones serán tanto más complicadas cuanta mayor infor-

mación se quiera obtener en la densidad o en el flujo, es decir,

según se intente obtener F ó $ dados en el esquema adjunto, para

geometrías uni, bi ó tridimensionales.

F (r, E, $2, t)

F díJ

(r, E, t)

F dE

E.i

4 dE

E.

i¿ (?, n, t)

, t)

Sonsideremos un tipo de neutrones carazteriado.por qué en'el

instante t tiene una energía E + dE, una dirección ü + áü, y

están situados en el volumen arbitrario V dé'..superficie S.

1.5.1.- Pérdidas por fugas.- El número de neutrones de este tipo per-

didos por fugas a través de la superficie S en la unidad de tiem

po, es

- Eíí / F (r,E,n,t) n dS = - dE dü / Q VF (r,E,H,t) dr

- 5 -

1.5.2.- Pérdidas por colisiones.- Todo neutrón que sufre una colisión

deja de pertenecer al tipo considerado, ya que o bien es absor

bido o bien sufre una dispersión, en la cual o modifica su ener

gía o su dirección o ambas a la vez. El numero de neutrones

del tipo considerado perdidos por colisión es V y en la unidad

de tiempo, es

- dS díí / lt (r, E, t) F (?, E, Q, t) dr (5)

1.5.3.- Ganancias por dispersiones.- El número de neutrones ganados

por dispersiones en V y en la unidad de tiempo, tales que el

neutrón dispersado pertenezca al tipo considerado es

dE dfi I j f1 (r,E',t) p h (E',S?+ E.fí) F (r,E' ,$' ,t)dE'díl?dr (6)h s

1.5.4.- Ganancias por fisiones.- El número de neutrones del tipo con-

siderado ganados por fisiones en V y en la unidad de tiempo, es

dE dü I / v h ( E 1 ) lh ( r " , E \ t ) f h ( E ) F ( r* ,E ' , f t ; t ) d E ' d n ' d r ( 7 )i+TT h f

1.5.5.- Ganancias por fuente exterior.- Si S (r*,E,,ff,t) es la den-

sidad de fuente exterior, el número de neutrones del tipo con-

siderado producidos en V y en la unidad de tiempo es

dE díl I Sov^ (r, E, Q, t) dr (8)

Teniendo en cuenta que el volumen V es arbitrario, el balance

anterior dá:

— 5 - N (r",E, ft,t) = - 3 V F (r,E, ft,t) - L (r,E,t)F(r",E,n ,t) +

ph (E',3Í-, - E, ft ) F ( r * E ' , í ' , t ) dE' dn 'h s

^- I fh (E) /vh (E>) fl (?,EW F (rfS',í',t)dE« díl» + F (",B,14:T r ext

n

- 6 -

Esta ecuación integrodiferencial, llamada del transporte de

neutrones, nos determina en unión de las condiciones de con

torno, el flujo angular.

1.6.- Condiciones de contorno, en superficies sin fuentes ni sumi-

deros.- En la superficie que separa dos medios del reactor,

el flujo angular F (r , E, íl, t) debe ser continuo para to-

das las direcciones de u. En la superficie exterior de un

reactor convexo, es decir, la que separa el reactor del va-

cio r , o bien en la superficie que separa un medio cualquie_

ra de otro negro (pura y totalmente absorbente) r , se veri-

fica que F (? , E, S$, t) = F (r , E, Q, t) = 0, para todo ti

dirigido desde el vacio o desde el medio negro hacia el otro

medio.

1.7.- Reactor real y virtual.- Se define como reactor virtual en

el instante t , el reactor que tiene la misma geometría y com

posición que tiene el reactor real en el instante t = t , ex-

cepto que en vez de producir v neutrones por fisión, se supo

ne que produce v / _ siendo K _ un prámetro tal que el reac-

tor virtual así definido tiene una densidad neutrónica F* in-

dependiente del tiempo. Su ecuación de transporte será enton

ees (9):

- ti VF* (?,E,3) - It(r\E,tQ) F* <r,E, ü) + \ ¡ ^(r,E',to)h

p h (E'.í'.+E', ti) F* (r\E',Q')dEl díl' -i- — — ¿ fh (E) J vh(E')«nrv -h

Kef

. l^ (r,E',to) F* <r",E',Q!) dE' díl1 = 0 (10)

que nos determinan el valor propio K _ y el flujo neutrónico vir_

tual F* s¿ F, los cuales dependen parametricamente de t .

Integrando la ecuación anterior, primeramente respecto a dE di! ,

y luego respecto a dr, como J p dE áü = 1, resulta:

— 7 —

I ! vh (E-) fl (r",E',t ) F* (?,E ! ,n')dE' dí2' dry . Jl f O (11)Kef

J 3 VF* (r.E.n) dE díí dr + j £ (r ,E,t ) F* (r,E,ÍS)dE da dr

El valor propio K _ de la ecuación integrodiferencial (10) repre_

santa, según (11), la relación entre el número de neutrones por

segundo producidos por fisión y el número de neutrones por segun_

do fugados y absorbidos en el reactor virtual, llamándose e.rton-

ce? factor de multiplicación.

1.8.- Reactor crítico.- Se dice que el reactor.real es crítico en el

instante t = t , si se verifica que — - — J — :/ = 0, en° 3 t t = t

o

cuyo caso el reactor virtual coincide con el real y K - = 1. Pero

no recíprocamente, ya que si K _ = 1, como F* i F, no sería

3F/. = 0; sin embargo F* es la forma asintótica de F, o sea al caot

bo de un tiempo infinito, en la práctica unos pocos segundos, ambas

densidades de flujo coinciden.

Si el reactor real es crítico en el instante t , y las secciones

eficaces y la fuente exterior son constantes en ¿" intervalo t' <

t < t", el reactor será crítico en dicho intervalo.

1.9.- Ecuación estática del transporte.- En los métodos de cálculo está_

tico de un reactor, consideraremos la ecuación del transporte corres_

pondiente a un reactor real crítico con secciones eficaces y fuente

exterior independientes del tiempo o bien la ecuación del transporte

correspondiente al reactor virtual.

En ambos casos las fuentes exteriores de neutrones S (r,E,w) y

las debidas a los neutrones producidos por fisión \ f (E) J v (E?) .

\-. (r,E?) F (r,E!, íf) dE1 dfi1 , las agruparemos en una fuente común- * • • * •de densidad S (r, E,£J ), con lo cual, suprimiendo el asterisco en la

densidad de flujo virtual, las ecuaciones (9 y 10) toman la forma general

- 8 -

- a VF (?,E,5 )- L (?,E) F (?,E,n) t H I h <?SE') P

h (E',n-x h s

E, $). F (r.E'.íí1) dE' dQ' -í- S (í,Es^ ) = O (12)

2.- HIPÓTESIS Y SIMPLIFICACIONES COMPLEMENTARIAS.-

2.1.- Teniendo en cuenta los casos prácticos que aparecen en el cál-

culo de reactores, y con objeto de simplificar la exposición,

consideraremos las hipótesis y simplificaciones siguientes, las

cuales no son necesarias en el desarrollo de la teoría general

del transporte.

2.1.1.- La mayoría de los métodos que se indican a contiguación pueden

desarrollarse para geometrías uni, bi y tridimensionales. Pero

teniendo en cuenta que con las calculadoras digitales electróni

cas de tipo medio que son las que actualmente se han instalado o se

instalarán en un futuro próximo en España, los métodos más corrien-

tes son los unidimensionales, nos reduciremos a este caso.

2.1.2.- En el cálculo de un reactor, se divide este en diversas regiones,

de tal modo que cada una de ellas sea homogénea o lo más homogé-

nea posible, y se aplica la ecuación (12) a cada una de estas regio

nes, en unión de las condiciones de contorno en las superficies que

separan dos regiones consecutivas.

2.1.3.- Según el (§ I.4.U.), aunque la dispersión elástica es en algunos

casos aproximadamente isótropa en el sistema del centro de masas,

al pasar al sistema del laboratorio deja de serlo, sin embargo, si

el reactor se ha dividido en regiones homogéneas que además sean

isótropas, se puede considerar que en la dispersión elástica las

desviaciones de la isotropía son tales que la dirección del neutrón

dispersado sea azimutalmente simétrica respecto a la dirección del

neutrón incidente, es decir, que en vez de depender de la dirección

del neutrón incidenteQ1 y de la dispersada H, depende solamente del* " * •ángulo entre ellas, o bien de su coseno Ü .Q , con lo cual

Ph (E«, n1 + E, Ü) = P

h (Ef+ E.n1 . n ) (13)

2.2.- Para geometría plana, haciendo y = eos 6, siendo 8 la coal-

tura de íí o sea el ángulo entre el eje x y 0, y p = Í ' < S :

y1 y + / 1 - yl¿ / 1- u¿ eos ($' - $), siendo $ el azimut

de íí; la ecuación Íntegrodiferencial (12) con la hipótesis

complementarias del (§ 2.1) se reduce a

- y — F ( x , E , y ) - I (E) F ( x , E , y ) + 1 / ff (E«) p h (E'-»E,ye)8 X h

. F ( x , E ' , y ' ) dE1 dy 1 d<j>' + S ( x , E , y ) = 0

La ecuación anterior es la de partida en los métodos de cálcu-

lo que se desarrollan a continuación.

3.- MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL TRANSPORTE.-

3.1.- El método general de resolución de la ecuación del transporte

consiste en aproximar las funciones con dependencia angular en

una serie de armónicos esféricos o en una poligonal, o bien en

aproximar la integral de dispersión por medio de una fórmula de

integración de Gauss.

3.2.- Método de armónicos esféricos.- En geometría unidimensional los

armónicos esféricos quedan reducidos a polinomios de Legendre,

con lo cual el desarrollo de la densidad del flujo será

F (x,E,y) =

el de la probabilidad de dispersión

ph (E' + E, y ) = I 2AJLA * (E, + E ) p (y ) ( 1 6 )

£=o 4TT Í- O

y el de la fuente

00

S (x,E,y) = I 2l + 1 S (x,E) P (y) (17)£=o 4TT

Siendo P. el polinomio de Legendre de grado 1, que verifica

- 10 -

las relaciones de recunencia

p P2*

de ortogonalidad

1

P (y) P (y) dy =.1 X n 21

2P (y) P (y) dy = — 6 (19)

y de adición

P. (y ) = P. (y') P. (y) + 2 £ ̂ l ! P™ (y-) P™ (y) cos m (*'-*) (20)

en la cual P™ son las funciones asociadas de Legendre. De (15 a 19)

resulta

F̂^ (x,E) = 2TT F (x,E,y) ?± (y) dy ' .(21)

.1h (22)

.1j (E1 * E) = 2TT. ph (E1 •• S,y ) P. (y )dy

, 1 ' •

(x,E) = 2TT I S (x,E,y) P (y) dy (23)

Basándose en los anteriores desarrollos, según las transformaciones

que se efectúen en la ecuación (14) obtendremos las siguientes apro

ximaciones;

.3.2.1.- Aproximación PT. Se sustituye primeramente las expresiones (15 a 17)

en la ecuación (14), empleando las relaciones de recunencia (18) y de

adición (20). Luego se efectúan las integraciones indicadas respecto

de y' 3» $', con lo cual debido a esta última integración los térmi-

nos que contienen las funciones asociadas de Legendre se anulan. Por

último, se multiplica por P (y) y se integra respecto a y, y al apli

csr la relación de ortogonalidad (19) resulta en definitiva

- 11 -

m + 1 3 _ /.. r.% m 3

2m + 1 3x "1Ti 2m + 1 9x

T f Th (E1) ph (E'-^E) F (x,E')dE' + S (x,E) =0, m = 0,1, (24)£ • ̂ s m m mn

La aproximación PT consiste en conservar intactas las ecuacio-

nes (24) para m < L (m = o,l,....L - 1 ) , en la ecuación m = L

se suprime los términos L + 1, y se prescinde de las ecuaciones

para m > L. Con lo cual tenemos un sistema de L + 1 ecuaciones

diferenciales con L + 1 funciones F (x,E), m= 0,1......L.m

Aun en el caso de que la dispersión elástica fuere isótropa en

el sistema del laboratorio p1 (E* •*• E) = 0 para 1 > 1, este mé_

todo nos da un valor aproximado de la densidad de dlujo, ya que

fijado L se desprecia el término F

3.2.2.- Aproximación B. . En un medio infinito, en vez de operar con la

ecuación (14) es conveniente operar con su transformada de

Fourier.

- ( It (E) - i P K ) F (K,E,y) + (EM p h (E'+E) F (K,E',v')dE'

. dy' d(j>' + S" (K,E,.y) = 0 (25)

siendo

F (x,E,n) e l k x dx (26)-00

/ 2TT

Íoo

•!VvS (x,E,u) e 1 K X dx (27)

/ 2TT

con sus transformadas inversas1 f JL-v

F (x,E,u) = - ^ L - F (K,E,y) e 1 K X dk • (28).

/2TT

- 12 -

S (K,E,y) e 1 K X dk (29)

Desarrollando en armónicos esféricos F y S análogamente a como

se hizo en (15 y 17) con F y S, y siguiendo las mismas operacio

nes que las efectuadas en la aproximación PT , con las excepcio-

nes de no emplear la relación de recurrencia (18), y de dividir1 u Kp O r %. — ü — antes de efectuar la integración respecto de y, re_

sulta:It(E)

P.(y) P (y)i _ l EL__dp

l=m 21 -

pj (E- - E)F1(K,E') dE<

ii¿, aproximación BT consiste en hacer p, (E1 + E) = 0 y

S. (K,E) = 0 para 1 > L.

En el caso de que la dispersión elástica fuese tal que p. (E'-»-E)=0

para 1 > L', y que las fuentes fuesen tales que ÉL (K,E) = 0 pa-

ra 1 > L', la aproximación B con L > L1 nos dá el valor exacto de

la densidad de flujo, mientras que la aproximación P con L > L'

nos dá un valor aproximado al despreciar el término F. 1. Sin

embargo, en la aproximación B , una vez resueltas las ecuaciones

(30), es necesario efectuar la transformada inversa de Fourier (28)

para obtener la densidad de flujo F.

Nótese que en la fuente de neutrones, el término correspondiente

a los neutrones de fisión es isótropo en el sistema del laborato

rio (§ m . 6 ) y es de la forma <sol<l+1T)~1I fh(E) fvh(E') j>íj (E1)

h- \K,E ) dE1

- 13 -

3.2.3.- Aproximación M.. En un medio infinito, las ecuaciones (24)

de la aproximación PT pueden transformarse de modo que se

obtenga la densidad de flujo en función del valor exacto

de sus momentos.

Multiplicando las ecuaciones (24) por dx e integrando

respecto a x, se obtiene:

m + 1

2m + 1

l\

m

(E1) p£ (E'-E)

( 3 1 )

+ S (E) = O, m = o , l . . . ; n = 0 , 1 . .m,n

siendo

F (x ,E) — —- - m n ¡

dx (32)

nS (E) = S (x ,E)m,n I m n¡

dx (33)

los momentos de F y S , los cuales para x -*• * <•> deben tener

a cero más rápidamente que x~n.

La aproximación M. consiste en hacer p ( E ' - * E ) = 0 y S (E)=L m m= 0 para m > L, entonces, para n = 0, las ecuaciones (31) se re

ducen a

Fm,o ( E ) I) P¡¡ ̂ '^ Fm,o ( E' ) d E' + Sm,o ( E )

que nos determina F para m:= 0 , 1 , . . . . L ; para n = 1

JL±12m + 1

J5 (E) - L (E) (E)

I IJ

2m

'> PÍ <Ef*E) F .m m , l

+ S . ( E ) = 0 (35)m,l

que nos determinan F 1 para m = 0 .... ,L - 1: ..y así suce-

sivamente hasta F - para m = 0. La densidad de fluio Fm,L v J m

puede entonces reconstruirse a partir de sus momentos Fm,n

y obteniéndose en definitiva F (x,E,u) por (15).

3.3.- Método de Carlson, o aproximación S . Se aplica cuando

la dispersión elástica y las fuentes exteriores son isótro-

pas en el sistema del laboratorio, con lo cual, agrupando

en la ecuación (14) el término de dispersión elástica y el

de fuentes, en un sólo Q (x,E) obtendremos:

- P j ^ F (x,E,y) - lt (E) F (x,E,y) + Q (x,E) = 0 (36)

La aproximación S consiste en dividir el intervalo de varia_

ción de y, (-1, + 1) en n subintervalos (y. ., y.) con i = 1,2,

.... n; y s -1, y = l y aproximar la densidad angular de

flujo en cada subintervalo, por una linea recta entre sus va-

lores en los extremos del subintervalo, es decir

y - i i M y,- yF <X>E> t> = w _, F (x,E,y.) + — F (x,E,y ),

1 -1"1 Vi-iyi_1 < y < yi (37)

Sustituyendo la aproximación (37) en la ecuación (36) e inte-

grando respecto a y entre y. 1 y y., resulta:

— (2 y . + y. ) — F (x,E,y..) + — (2 y + y ) — F(x,E,y . ) +3 3 x 3 3 x

+ lt (E) (• F (x,E,yi) + F (x.E.y^) = 2Q(x,E), i = 1,2, n (38)

que en unión de la (36) para y = 1.

F (x,E,yQ) - lt (E) F (x,E,yQ) + Q ( R,E) (39)3 x

- 15 -

dan lugar a un sistema de n + 1 ecuaciones diferenciales

con n + 1 funciones F (x,E,p.).i = 0, 1,..., n.

3.4.- Método de las ordenadas discretas.- Se aplica al reactor

virtual cuando la dispersión elástica es isótropa en el

sistema del laboratorio y los neutrones son monoenergéti-

cos, en estas condiciones la ecuación (14) se reduce a-: •

. u J, vZ 1

0 (X,p)- L 0 <X,y) + \ (T + rrí- ) [0 (X,W)<ÍV = 0 (40)T • ¿ s ef J3 x ~u • ¿ ° "ef

-±

El método de las ordenadas discretas consiste en aproximar

la integral anterior por medio de

i L0 (x,y) dp = I A. 0 (x,p.)

-1 j=o J J

que substituida en (40) dá:

-p. ̂ 0 (x,p.) - Jt 0 (x,p.)+ i(j;s+ l l ) ^ A. 0(xsUj)=O (42)

cuyas soluciones son de la forma:

0 ( x . ^ ) = I A S i e Y s Et X •

Substituyendo un término particular de (43) en (42) resulta

I t v Z K~* L

A . a _ » L_^l_ I A. A . (44)5 5 1 2 E.(l + p. Y ) j=0 ] S'3

X X S

que multiplicada por a., y sumando sobre i, nos dá los va-

lores permisibles de y .E + v I. K~^ L a._s f ef y iI

2 i i=o i t m Y S

con lo cual, la solución (43) puede ponerse en la forma

- 16 -

z + s i f K ^ AS yslty L

0 (x ,y . ) = — — 1 e ,A = £ a. A2 E s 1 + u . y S j=0 D S'3

^ X S

determinándose las A por las condiciones de contorno.s

3.4.1.- Las u. se pueden determinar imponiendo la condición de

que la ecuación (42) y la correspondiente en la aproxi_

mación PT tengan igual forma; esta última ecuación se

obtiene de la (24) al imponer las condiciones de disper

sión isótropa y neutrones monoenergeticos, o sea

3

m + 1 3 „ / \ ni 3

2 m + 1 3 x 2 m + 1 3 x Vi

6 . (Z + v Z K"^ ) 0 (x) = 0, m = 0, 1 , . . . , L , 0Tj>1(x) = 0 (47)om s r er ni b+i.

Haciendo

K -¿Q \i * ( X 'V ' 0 ( s ' y i ) = j o Ci,m 0m

conLTe. B . = ó . . (49)

m=0 3-» m ' X ] 1

y subst i tuyéndola en (47) , r e s u l t a

• It ̂ ^x>^-^ + & B • (Z + v Z_ K~ ) 0 (x,p.) } = O (50)

que multiplicada por C. y sumada sobre m, da:

L L

~ ft J>m • «^ 2m + 1 m + l , i 2m + 1 m - l . i - ' 3 x ^ x » w i 'm=0 J > i=0 ' J A

1 L

- lt 0 (x,y i)+C j j0 (Zg + v Zf K¡f) J BQ)i 0 (x,wi) = 0 (51)

- 17 -

Si se verifica que

JLJLJL B - . + — B . . x y. B . (52)2m + i

W + *• X 2m + 1 m " *' X * " ^

la ecuación (51) tiene igual forma que la (42), con tal que

cj,o= -y-' Bo,i • ai ( 5 3 )

Comparando la relación (52) con la de recunencia de los po

linomios de Legendre (18), una posible solución es:

B . = P (y.) x constante (54)m,i m i

y teniendo ®n ensata (47 y 48), B . * 0, .luego

PT x . ( p.- ) = 0 (55)Jj + 1 i

que nos determina las L -}• 1 valores de y.

4.- APROXIMACIÓN P^-

4.1.- Cuando lá anisotropía de la densidad neutrónica no es

muy acusada, es suficiente emplear las primeras aproxi-

maciones de los métodos dados en el (§ 3) en particular

la P.. Las ecuaciones (24) del. reactor virtual para L = 1

son;

(x,E) - lt (E) F Q (x,E) (E') p£ (E' +E) FQ(x,E)dEo

1

h+ 1 I fh (E) I v" (E') H (E«) F (XjE1) dE' = O (56)

ef h J

" "I" F 7 Fo (X'E) - ^t(E) Fi (X>E) +^ í í" (Et) PÍ {E' * E) '

- 18 -

F1(x, E1) dE' = O (57)

De (21), definiendo

0 (x,E) = I F (x,E,y) dP = F Q (X,E) (58)

J (x,E) = yF (x,E,y) dy = F1 (x,E) (59)

y el valor medio de y por

E) J (x,E')dE!

(60)

E f Eh (E1) pí1 (Ef + E) J (x.E'ME1

E (E) J (x,E)5

en (57) se obtiene

J (x,E) = - — 2 - 0 (X,E) (61)

3 (Z (E) - <y> E (E)l 3 x» s

o bien, definiendo como sección eficaz macroscópica de trans

porte E , y como coeficiente de difusión D

Ztr = Et " <y> Es = Za + (1 " < u > ) Zs ' D = "~^~~ ( 5 2 )

3 Etr

tenemos

J (x,E) = - D — 0 (x,E) (63)3 x

que llevada a (56), da:

D —-;3 x'

0 (x,E) - L (E) 0 (x,E) + I f lh (E') ph(E'*E) 0 (x,E')dE' +z . h i s °

+ — I fh (E) I vh (E1) XÍ (Ef) 0 (x,E') dE1 = 0 (6»OK _ h J

ef

- 19 -

que es la ecuación integrodiferencial para el flujo 0

en la aproximación P... En principio no se ha obtenido

ninguna simplificación al pasar del sistema (56 y 57)

al (60 y 64) ya que en este último sistema el problema

radica en la determinación de <u>; sin embargo, existen

expresiones aproximadas que nos dan <u> para distintos

medios, con lo cual se puede calcular el flujo 0 con

solamente la ecuación integrodiferencial (64).

Si en vez de considerar la ecuación (14) para geometría

plana, se hubiese desarrollado la ecuación (12) para

cualquier geometría, el operador -=— seria substituidoo X

por el V, y el B2 por el A.

4.2.- Ecuaciones de multigrupos energéticos de neutrones.

Si las E y v son función escalera de la energía del

neutrón, es decir si

\ (E) - \. = constante

} para E. „ < E < E. (65)h — — i

v (E) = v. = constante

y si además

E K E<1h h 1+1 1p (E'+E) dE • p '._« • constante para { (66)° ° ^ El , < E' <EÍ

integrando la ecuación (64)respecto a E entre Eíx1 y

E. i = 1, 2,'...., g, resulta:

.. L tl (?) - Jti 0. (í) . ̂ I fs. p ^ . »j (?) • ji- .

g

• l I í 4 I« *4 í̂ ) * 09 i > 1, 2 , g (67)j=0 h x 3 r ] 2

- 20 -

en la cual

B.i

dE, AE.i

E.

fh (E) dE (68)

La (67) representa al sistema de g ecuaciones diferenciales de mul-

tigrupos de neutrones. En realidad, ni las v ni las Z son función

escalera de E, pero si se definen sus valores medios dados por:

i,x Z (E) 0 (r,E)dE

•£.

E.1 0 (í,E)dE

/ D(E) A 0 (r",E)dE

(69)

1 0 (?,E)dE

las ecuaciones (67) se mantienen. Tampoco al principio se ha conse-

guido ninguna ventaja al transformar la ecuación integrodiferencial

(£4) en el sistema de ecuaciones diferenciales (67), ya que para cal_

cular sus coeficientes, o sea las Z., D., se precisa conocer, según

(69), el flujo 0 (r,E) que es la solución de la ecuación integral (640;

sin embargo, en la práctica la ventaja es considerable, ya que hasta

resolver la ecuación integral (640 de un modo muy poco aproximado res_

pecto a la geometría, con lo cual los errores transmitidos a las Z.,

D. en (69) son pequeños, y por tanto puede resolverse el sistema (67)

de un modo más preciso.

4.3.- Promedio de constantes.- En la colisión de un neutrón con un núcleo

cabe distinguir dos extremos. En principio, los núcleos están en mo_

vimiento debido a su agitación térmica, y cuando un neutrón con velo_

cidad del mismo orden de magnitud que la del núcleo colide con él, en

el estudio de la dispersión hay que tener en cuenta el movimiento nu-

clear, pero cuando la velocidad del neutrón es muy superior, puede

despreciarse este movimiento y suponer los núcleos en reposo. Eviden-

temente, no existe una r«locidad frontera que delimite estos dos casos,

- 21 -

pero teniendo en cuenta que la velocidad más probable de los núcleos

en los reactores nucleares es la correspondiente a unos 0,02 a 0,06 eV;

es corriente fijar esta frontera en E = 0,0625 eV (este número preciso

está dado para poder normalizar los cálculos). Los fenómenos que ocu-

rren con los neutrones de energía inferior-a esta frontera se designan

como de termalizacion, mientras que los que ocurren a energías superiores

se designan como de moderación.

Por tanto, al escoger el número de grupos de neutrones, o sea el va-

lor de g, una aproximación elemental sería considerar sólo dos grupos:

el de termalizacion o grupo térmico y el de moderación o grupo rápido,

aunque en la práctica suelen considerarse varios grupos térmicos y rá-

pidos.

A continuación se dan algunas ideas sobre los métodos de promedio de

constantes.

4.3.1.- Promedio de constantes térmicas en gases monoatómicos.- Según el

(§ 1.4) en la termalizacion no intervienen ni los neutrones de fisión

ni las dispersiones inelásticas, con lo cual la ecuación integrodife-

rencial (64) se reduce a:

D A 0 (?,E) - L (E) 0 (?,E) +h j

E'<E

t <E'> PÍ. <E' + E) .-e

. <j> (*>,E) dE1 + M (?,E) = 0 (70)

siendo

M (?,E) = *-s . roh J ^ E

c

(E>) p* (E1 -> E) 0 (?,E')dE' (71)

la fuente debida a los neutrones que son dispersados desde una ener-

gía superior a la E a una dentro del grupo térmico.

- 22 -

La probabilidad de dispersión p (E1 •*• E) se obtiene estable

ciendo las leyes del choque elástico, y han sido obtenidas fór_

mular para algunos medios:

gases monoatómicos ligeros ••• espectros de Wigner-Wilkins

gases monoatómicos pesados •* espectro de Wilkins

Conociendo una expresión de p (E1 •*• E) para el modelo teórico

que más se parezca al medio empleado en el reactor, la ecuación

(70) puede resolverse para una geometría más sencilla que la

real, y una vez obtenido el flujo 0 (r,E) calcular por (59) las

constantes E . y D ..i J i

Para gases monoatómicos, la ecuación integrodiferer.cial (70;. ¿n

un medio infinito, se puede reducir a una ecuación diferencie-1

de Riccatti.

4.3.1.1.- Si no hay absorciones ni fugas, los neutrones están en equilibrio

con el medio, y la solución de (70) es una distribución Maxwel.liar-a

de la forma:

0M (E) = E e'E/KTm (72)

siendo

K = constante de Boltzman, T = temperatura del medio

Si además la sección eficaz de absorción sigue la ley , es decir

al substituir (72 y 7f) en (69), resulta

- 23 -

=1-1 — °_ V (v ), v = / 2KT = 2/B (75)2 v La o ' m m m

m

y lo mismo para la fisión.

H.3.I.2.- Si la abosrción es débil, como esta se produce princ-iplamente

a bajas energías, puede suponerse que la distribución neutró-

nica sigue siendo Maxwelliana, pero desplazada hacia las ener

gías corecientes, con lo cual la temperatura de los neutrones

no coincidirá ya con la del medio; habiendo por tanto dos dis

tribuciones maxwellianas, la de los neutrones de temperatura

T y la de los núcleos del medio de temperatura T . Ambasn J * m

temperaturas están relación adas por la siguiente formula ex

perimental

E (KT ) 1.92 para Do0T •- T f i + A — — 1 A - í 2

TT» m I 1 + A I > ' A - ^ 0.7 para Ho0e 2

y las expresiones (72 y 75) son entonces validad substituyehdo

el subíndice m por n.

4.3.2.- Promedio de las constantes rápidas.- Al variar la sección

eficaz de abosrcion con la energía, el flujo varía en sentido

contrario y su producto varia lentamente, además si se toma como

variable independiente la letárgia u en vez de la energía, los

intervalos de integración son más pequeños, excepto para el H en

el que el intervalo es infinito. En estas condiciones, desarro-

llando en serie de Taylor en u, tenemos para todos los núcleos,

excepto el H

0 (?,u«) - L (u) 0 (r,u) + (u« - u) J- ( L

4 2 ^ ( I (u) 0 (r,u) ) t .... (77)e9 u

que llevada a la ecuación (64) para una geometría sim-

plificada nos permite calcular la integral de dispersión

elástica, habiendo empleado los valores de p (u' •+• u)

obtenidos por la teoría del choque elástico.

J.E.N. 171-DF/I 51 J.E.N. 171-DF/l 51

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid

"Métodos de calculo en Reac to re s N u c l e a r e s "VELARÜE, G. (.1966) Ih pp .Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente

a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida.Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría

plana y en las aproximaciones P[_, B^, H[_, S y de las ordenadas discretas.

Junta de Energía Nucíear, División de Física, Hadrid."Me'todos de cálculo en Reactores Nucleares"

VELARE, Q. (1966) 24 pp.Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente

a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida.Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría

plana y en las aproximaciones P|_, Bi, \ , S_ y de las ordenadas discretas.

J.E.N. 171-DF/I 51

Junta de Energía Nuclear, División de Física, Hadrid."Métodos de cálculo en R e a c t o r e s N u c l e a r e s "

VELARE, G. (1966) Ih pp.Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente

a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida»Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría

plana y en las aproximaciones P[_, Bi, M̂ , S y de las ordenadas discretas»

J.E.N. 171-DF/I 51

Junta de Energía Nucíear, División de Físka, Madrid"Métodos de cálculo en Reac to re s N u c l e a r e s "

VELARE, G. (1966) Ik pp.Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente

a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida.Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría

plana y en las aproximaciones P|_, B|_, H ,̂ Sn y de las ordenadas discretas.