mÁster en ingenierÍa de las estructuras,...
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS ,CANALES Y PUERTOS
MÁSTER EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS,
CIMENTACIONES Y MATERIALES
TRABAJO FIN DE MÁSTER
ANÁLISIS EXPERIMENTAL DEL EFECTO DE LAS PRESIONES
HIDROSTÁTICAS EN LA PLASTIFICACIÓN DE MATERIALES
METÁLICOS
ALUMNO: DIANA MARTÍNEZ COLLADO
TUTOR: DAVID ÁNGEL CENDÓN FRANCO
Madrid, Septiembre de 2014
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AGRADECIMIENTOS
Quisiera agradecer a David Cendón la oportunidad de hacer este entretenido trabajo fin de máster ,
gracias al cual y con los ensayos realizados , se me han hecho “tangibles” conceptos que de otro modo
hubieran rozado la abstracción.
Igualmente agradecer a los demás profesores y personal de laboratorio que me han prestado su
ayuda.
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RESUMEN
El presente trabajo fin de máster tiene como objetivo comprobar experimentalmente el efecto
de la presión hidrostática en la plastificación de materiales metálicos.
Para ello basándose en el artículo de Aretz que analiza los ensayos de tracción y compresión
llevados a cabo por Spitzig y Richmond (1984), donde se constata la respuesta plástica
sensible a la presión hidrostática, se realizan sendos ensayos de tracción y torsión con
probetas de acero, aluminio y fundición. Posteriormente se analiza la influencia de la presión a
través de las curvas tensión equivalente- deformación equivalente de los materiales. Y por
último se construyen las expresiones analíticas de Ramberg-Osgood de los materiales.
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ÍNDICE
1.INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN……………………………………………………………….página 6
2.MATERIAL EMPLEADO……………………………………………………………………………..página 14
3.ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE…………………………………………………………………página 16
4.ENSAYO DE TORSIÓN………………………………………………………………………………..página 31
5. COMPARATIVA DE LAS TENSIONES EQUIVALENTES-DEFORMACIONES EQUIVALENTES EN
TRACCIÓN Y TORSIÓN DE LAS CURVAS DE LOS MATERIALES…………………………página 46
6 .OBTENCIÓN DEL PARÁMETRO α DE LOS ENSAYOS DE TRACCIÓN Y
TORSIÓN………………………………………………………………………………………… .página 49
7. APROXIMACIÓN DE RAMBERG-OSGOOD DE LAS CURVAS TENSIÓN –DEFORMACIÓN DE LOS
METALES……………………………………………………………………………………………………….página 53
8. CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TORSIÓN DE LOS MATERIALES DEDUCIDAS DE LAS
CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TRACCIÓN…………………………………………….página 61
9. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………página 68
10. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………….página 70
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1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN
El conocimiento detallado del comportamiento plástico de los metales ha sido siempre
muy importante en la industria metalúrgica y por lo tanto ha revertido positivamente
en muchos aspectos de la vida cotidiana, tales como la fabricación de automóviles,
aviación, maquinaria…etc.
Un sólido se deforma plásticamente cuando las acciones exteriores superan un de-
terminado umbral, a partir del cual la deformación tiene una parte irreversible. Se dice
entonces que el sólido se ha deformado plásticamente.
1.1 TEORÍA CLÁSICA
La teoría clásica de la Plasticidad (véase el libro de Vicente Sánchez Gálvez ”Física de la
plasticidad”),define los criterios de plastificación a partir de expresiones que definen
el límite de elasticidad para cualquier combinación de tensiones. Traducido al lenguaje
matemático: f (σij) = 0
La expresión anterior define a una función que depende del estado tensional del
elemento, y que ,al cumplirse, indica que el material ha plastificado en dicho punto.
Si el material es isótropo, los valores de la función de plastificación son independientes
del sistema de referencia utilizado. Por tanto, para materiales isótropos, con com-
portamiento plástico ideal, la función de plastificación puede expresarse en función de
los invariantes del tensor de tensiones como:
f (J1, J2,J3) = 0
J1= σ1+ σ2+ σ 3 J3= σ1. σ2. σ3
J2= - ( σ1. σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1)
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Siendo (σ1,σ2,σ3) las tensiones principales.
Si consideramos los criterios de plasticidad clásicos, se suele asumir que en el caso de
los metales, la plastificación no se ve afectada por un estado hidrostático de
tensiones. Es decir que el criterio de plastificación no es función del estado tensional
del elemento sino del desviador de tensiones sij que se define como:
sij= σij – 1.σ
σ=(1/3).σii
1 es el tensor identidad
1.1.1 Criterio de plasticidad de Von Mises
En 1913, Von Mises propuso como criterio de plastificación que ésta se alcanza cuando
las componentes de la tensión, en un punto del sólido, satisfacen la relación:
siendo k2 una constante a determinar mediante el ensayo de tracción del material. Así,
si el límite elástico obtenido en el ensayo de tracción es σe, verificándose que σ1 = σe y
σ2 = σ3 = 0, k2 es:
Sustituyendo k2 en las expresiones de Von Mises en ejes principales,
queda:
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y en ejes no principales:
Es decir, las raíces de las expresiones anteriores constituyen la tensión equivalente de
Von Mises:
Si σVM = σe, el estado tensional correspondiente se encuentra sobre la superficie de
plastificación. Si σVM < σe, el estado tensional correspondiente es elástico.
1.1.2 Criterio de plasticidad de Tresca
En 1868, Tresca propuso que la plastificación se alcanza cuando la tensión tangencial
máxima, en un punto de un sólido, alcanza un valor igual a la mitad del límite elástico
obtenido en el ensayo de tracción del material. Por este motivo, este criterio también
se conoce como criterio de máxima tensión tangencial.
En un ensayo de tracción se verifica :
σ1≠0
σ2 = σ3 = 0
siendo la tensión tangencial máxima τmáx = σ1 /2
Para un estado triaxial de tensiones, siendo las tensiones principales σ1 > σ2 > σ3 , la
tensión tangencial máxima es τmáx = (σ1 −σ3)/2
En este caso, el criterio de Tresca establece que existe plastificación si:
(σ1 −σ3)2 –σe2 = 0
o lo que es igual : σe = σ1 −σ3
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1.2 NUEVAS TEORÍAS DE PLASTICIDAD DE METALES SENSIBLES A LA PRESIÓN
HIDROSTÁTICA
A pesar de los postulados de la teoría clásica de la plasticidad, según los cuales la
plasticidad no depende de la presión, lo cierto es que los resultados experimentales
disponibles demuestran que para algunos metales sí existe una influencia apreciable
de la presión en la plasticidad del material. Esta influencia de la presión es
especialmente relevante en el caso de algunas aleaciones. Por ese motivo, en los
últimos años se han desarrollado diversas teorías de plasticidad para metales con
influencia de la presión hidrostática. En los siguientes párrafos se resumen dos de
ellas, que se han seleccionado en este trabajo fin de máster por proporcionar un buen
compromiso entre sencillez y precisión.
1.2.1 Resumen de la teoría de Holger Aretz
En su artículo (” A consistent plasticity theory of incompresible and hydrostatic
pressure sensitive metals” ) , Aretz describe el comportamiento plástico de metales
incompresibles pero sensibles a la presión hidrostática tal y como observaron
experimentalmente Spitzig y Richmond (1984) que en sus ensayos de tracción y
compresión con probetas de acero y aleaciones de aluminio, hicieron las siguientes
observaciones:
-La respuesta plástica de los metales investigados era sensible a la presión hidrostática,
dando lugar a un efecto de diferencia de fuerzas en los ensayos de tracción y
compresión.
-No se observó ningún cambio de volumen.
-La fuerza plástica en el test de compresión era siempre más alta que en el de tracción.
Basándose en lo anterior, Aretz presenta:
-La tensión equivalente σequiv 0, se presenta como una magnitud no negativa
representativa de un estado multiaxial de tensiones σ. La condición de plastificación
se da cuando la tensión equivalente iguala la tensión de referencia,Yref , del material
considerado. Es decir:
σequiv (σ) = Yref
Por general la tensión de referencia se asume que es positiva y puede por ejemplo
determinarse en un ensayo de tracción simple ó de compresión.
Además se asume que σequiv es independiente de la presión hidrostática p:
σequiv (σ) = σequiv (s)
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con s el desviador de tensiones dado por s= σ+p.1,con 1 el tensor identidad, p se
define como:
p=(-1/3).traza(σ)
Spitzig y Richmond propusieron una dependencia lineal de la tensión de plastificación
de referencia con p y dicha relación es:
Yref =Y0.(1+3.α.p)
Y0 es la parte dependiente de la deformación de Yref y representa el valor de Yref para
p=0.
α es el parámetro sensible a la presión hidrostática dependiente del material.
Spitzig y Richmond encontraron que α es constante incluso para altas presiones
hidrostáticas.
El estricto valor positivo de Yref impone la siguiente condición:
Yref > 0 ,Y0 > 0 → (1+3.α.p) > 0 → α.p > -1/3
La función de plastificación F correspondiente a la condición de plastificación se da
como:
F(σ)= σequiv (σ)- Yref (p) 0
Para F<0 el material se deforma elásticamente, para F=0 plásticamente.
F=O describe la superficie de plastificación.
Igualmente Aretz comprueba en su artículo que la superficie de plastificación es
convexa para los materiales sensibles a la presión hidrostática.
El autor también plantea el caso de que el cambio de volumen plástico se desvíe
considerablemente de cero:
La igualdad σequiv (σ)= σequiv (s) asume la incompresibilidad plástica, pero aplicado a
la existencia de cambio volumétrico ahora hay que pedir que σequiv (σ) sea distinto de
σequiv (s) .
Por lo tanto la tensión equivalente se define como:
σequiv (σ)= σequiv (s) - 3.β.p
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Con la condición de que:
σequiv (s) 3.β.p
Dicha restricción asegura el requerimiento de que : σequiv (σ) 0
Por lo que el criterio de plastificación es:
F(σ)= σequiv (σ) -(1+3.α.p)0
F debe ser convexa, ahora hay dos parámetros dependientes del material que son α y
β , mientras que el primero controla la sensibilidad a la presión hidrostática de Y ref, el
segundo controla la compresibilidad plástica.Si β es distinto de cero el material tiene
compresibilidad plástica.Se distinguen los siguientes casos:
1.α=0, β=0 describe a un material que muestra incompresibilidad plástica y no
sensibilidad a la presión hisdrostática.
2. .α=0, β≠0 describe a un material que no es sensible a la presión hidrostática pero
que sí muestra compresibilidad plástica.
3.α≠0, β=0 describe a un material que tiene sensibilidad a la presión hidrostática pero
que no tiene compresibilidad plástica.
4.α≠0, β≠0 describe a un material con sensibilidad a la presión hidrostática y
compresibilidad plástica.
En general el parámetro α es independiente de β.Para el empleo de estos parámetros
hay que tener en cuenta que mientras que la tensión de plastificación de referencia
Yref es un valor que se mide, σequiv es únicamente un artificio teórico usado para
juzgar si la plastificación tiene lugar ó no.
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1.2.2 Resumen de la teoría planteada por Yuanli Bai y Tomasz Wierzbicki
En el artículo “A new model of metal plasticity and fracture with pressure and lode
dependence”, los autores mencionados señalan que, de acuerdo con la teoría de la
plasticidad clásica de metales, la presión hidrostática no tiene efecto ó éste es
mínimo en el endurecimiento por deformación del material, y que el flujo de tensiones
es independiente del parámetro de lode.
Sin embargo, recientes experimentos en metales particularmente con aluminio 2024-
T351 han demostrado que tanto la presión como el parámetro de lode deberían ser
incluidos en la descripción constitutiva del material.
En general ,la presión hidrostática controla el tamaño de la superficie de plastificación
mientras que el parámetro de lode es responsable de su forma.
Su trabajo propone que estos hallazgos no son obvios para todos los materiales
metálicos, ya que por ejemplo el acero 1045 no muestra claramente la dependencia
de la presión hidrostática y el parámetro de lode en la plasticidad del metal.
Llevando a cabo ensayos de tracción con barras redondas lisas y barras redondas con
muescas , se observó que los puntos del material dentro de una barra redonda con
muesca están sometidos a mayor presión que una barra redonda lisa . Este fenómeno
muestra el efecto de la presión hidrostática en la curva tensión –deformación.
Comparado con el endurecimiento por deformación, el efecto de la presión
hidrostática en la plasticidad de metal es relativamente pequeño. Sin embargo, la
presión hidrostática es una de los más importantes parámetros que controlan la
ductilidad del material. La deformación equivalente hasta rotura se emplea para medir
la ductilidad. Estudios diversos llevados a cabo por McClintock(1968),Mackencie
(1977),Johnson and Cook (1985) y Bao (2003) han demostrado que la deformación de
rotura se eleva cuando la presión hidrostática crece.
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1.3 MOTIVACIÓN
El motivo por el que se ha realizado el presente trabajo, es para constatar la
sensibilidad de los materiales metálicos a la presión hidrostática. Para ello se aplican a
los ensayos de tracción y torsión la teoría desarrollada por Holger y Aretz en el
artículo anteriormente mencionado, sobre la respuesta plástica de materiales
metálicos sensibles a la presión hidrostática. Al igual que Aretz , Yuanli Bai y Tomasz
Wierzbicki han constatado entre otras cosas la influencia de la presión hidrostática en
el endurecimiento por deformación.
Como posibles líneas de continuación de este trabajo, se plantea el estudiar el
mecanismo de rotura en tracción y en torsión que contribuiría a explicar la diferencia
existente entre las deformaciones equivalentes en tracción y en torsión existentes en
este trabajo y que se aprecian en el capítulo 5.
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2. MATERIAL EMPLEADO
Dado que el objetivo del presente trabajo es evaluar la influencia de la presión
hidrostática en la plastificación de materiales metálicos, se hicieron sendos ensayos de
tracción y torsión.
Para la realización de los mencionados ensayos se escogieron tres materiales
metálicos:
Acero: se utilizó acero de armar tipo B500S.
Aluminio: se trata de una aleación de aluminio (presumiblemente de la serie
50-x).
Fundición: se trata de fundición gris perlítica GG-25.En comparación con los
anteriores presenta un comportamiento relativamente frágil.
Se fabricaron en el taller siete probetas de sección transversal circular de cada uno
de los materiales mencionados. La geometría de las mismas se muestra en la figura
siguiente:
Figura 2.1: Sección longitudinal de las probetas, cotas en [mm].
En el ensayo de tracción se usaron tres probetas de cada material y en el de torsión
se emplearon tres para el aluminio y dos para el acero y la fundición , debido a que
las otras restantes no se ensayaron correctamente.
El diámetro Ф de las probetas empleadas en el ensayo de tracción es distinto del
empleado en el ensayo de la torsión dado que los diámetros inicialmente mecanizados
superaban la capacidad de la máquina empleada en los ensayos de torsión.
Particularmente en tracción, Ф , tiene un valor medio de 12,6mm y en torsión de 9mm.
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Figura 2.2: A la izquierda las probetas de fundición gris empleadas y a la derecha las de aluminio.
Figura 2.3: Probetas de acero
Figura 2.4: Rotura en “copa y cono” de probeta de acero correspondientes al ensayo de tracción
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Figura 2.5 : Probeta de fundición gris rota en el ensayo de torsión
3. ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE
En este ensayo se somete la probeta del material a una fuerza de tensión uniaxial a
velocidad constante , midiéndose la carga y el alargamiento. Para ello necesitamos:
-Máquina del ensayo: se trata de una máquina electromecánica del tipo Suzpecar.
-Extensómetro para medir el alargamiento: se ha empleado en las medidas un
extensómetro longitudinal INSTRON, modelo2620-602 con número de serie1077 y
base extensométrica de 12,5mm. Dicho artilugio requiere gomas ó dispositivos
auxiliares de sujeción.
Figura 3.1: Esquema que ilustra la máquina empleada en el ensayo de tracción.
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-Célula de carga ,que proporciona la fuerza. Dicha célula de carga admite un valor
máximo de 10 toneladas. Se estima que su precisión es de +/- 1 % del fondo de escala.
Para la realización del ensayo se ha tenido que encontrar la velocidad del pistón
adecuada para hacerlo en tiempo prudencial. Para ello se ha usado la siguiente
fórmula:
Velocidad de deformación de la probeta=(velocidad del pistón)/(longitud central de la probeta)
La velocidad final del pistón ha sido 1,5mm/min.
La longitud de prueba de las probetas empleadas(acero, aluminio y fundición)
ha sido de 50mm . Con estos valores, se aplica una velocidad de deformación
de 0,03 min-1.
Una vez finalizado el ensayo, la máquina nos proporciona los siguientes datos:
Tiempo Fuerza Posición Auxiliar 1 Día Hora
Siendo “Tiempo” el tiempo transcurrido desde el inicio del ensayo, ”Fuerza” la fuerza
registrada por la célula de carga , “Posición” la posición relativa de la mordaza inferior ,
“Auxiliar 1” la medida del extensómetro y “ Día “ y “ hora” las del inicio del ensayo.
De dicha información debemos extrapolar lo que necesitamos, que son las tensiones y
deformaciones verdaderas. Para obtenerlas se emplea el método siguiente (que figura
detallado en el libro “Física de la plasticidad” de Vicente Sánchez Gálvez):
Tensión ingenieril: s=F/A0
Deformación ingenieril: e= L/L0
Tensión verdadera: σ=F/A
Deformación verdadera: Є= Ln(L/L0)
Siendo A0 y L0 el área de la sección transversal inicial de la probeta y la base
extensométrica respectivamente. A es el área de la sección instantánea y F es la
fuerza instantánea.
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L=AUX1-AUX1(0)
Base extensométrica=12,5mm+medida inicial del extensómetro
La medida inicial del extensómetro es la inicial que proporciona la variableAUX1 en el
ensayo.
Є=Ln(1+e)
σ=s.(1+e)
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3.1 RESULTADOS DEL ENSAYO
Aplicando lo anteriormente expuesto, se obtienen para los tres materiales ensayados
los gráficos que se dan a continuación:
ACERO:
PROBETA N°5
-Diámetro medio=12,62mm
- A0 =125,02mm²
-Base extensométrica=10,834mm
Figura 3.2 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 5 de acero.
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PROBETA N°6
-Diámetro medio=12,41mm
- A0=120,89mm²
-Base extensométrica=10,11mm
Figura 3.3 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 6 de acero.
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PROBETA N °7
-Diámetro medio=12,59mm
- A0=124,49mm²
-Base extensométrica=10,33mm
Figura 3.4: curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 7 de acero.
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Para obtener el comportamiento promedio a tracción de los tres aceros anteriores, se ha hecho uso de
la rutina INTERPOLATE que permite obtener más puntos de los ya dados en el ensayo de cada curva
interpolando los disponibles, para así poder calcular el promedio de todas las curvas, obteniéndose la
curva promedio siguiente:
Figura 3.5 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) del acero promedio.
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ALUMINIO
PROBETA N°1
-Diámetro medio=12,59mm
- A0=124,49mm²
-Base extensométrica=11,07m
Figura 3.6: curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 1 de aluminio.
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PROBETA N°5
-Diámetro medio=12,61mm
- A0=124,82mm²
-Base extensométrica=11,07m
Figura 3.7: curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 5 de aluminio.
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PROBETA N°8
-Diámetro medio=12,67mm
- A0=126,01mm²
-Base extensométrica=11,59m
Figura 3. 8 : curva tensión (verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 8 de aluminio.
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Para obtener el comportamiento promedio a tracción de los tres aluminios anteriores, se ha hecho uso
de la rutina INTERPOLATE que permite obtener más puntos de los ya dados en el ensayo de cada curva
interpolando los disponibles, para así poder calcular el promedio de todas las curvas, obteniéndose la
curva promedio siguiente:
Figura 3.9 : curva tensión (verdadera)-deformación ( verdadera ) del aluminio promedio en tracción.
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FUNDICIÓN
PROBETA N°4
-Diámetro medio=12,69mm
- A0=126,41mm²
-Base extensométrica=13,00mm
Figura 3.10 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 4 de fundición.
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PROBETA N°7
-Diámetro medio=12,64mm
- A0=125,42mm²
-Base extensométrica=13,01mm
Figura 3.11 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 7 de fundición.
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PROBETA N°8
-Diámetro medio=12,64mm
- A0=125,42mm²
-Base extensométrica=12,98mm
Figura 3.12 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 8 de fundición.
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Para obtener el comportamiento promedio a tracción de las tres fundiciones anteriores, se ha hecho uso
de la rutina INTERPOLATE que permite obtener más puntos de los ya dados en el ensayo de cada curva
interpolando los disponibles, para así poder calcular el promedio de todas las curvas, obteniéndose la
curva promedio siguiente:
Figura 3.13 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la fundición promedio en tracción.
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4. ENSAYO DE TORSIÓN
El presente ensayo se ha llevado a cabo con dos probetas de acero y fundición y tres
de aluminio .
Para su realización se han empleado los siguientes elementos:
-Una máquina electromecánica INSTRON, modelo TT-D1115.
-Abrazaderas mecánicas para sujetar la probeta a la máquina, la cual es ensayada
cambiando el ángulo entre las abrazaderas. Dicho ángulo es distinto del que indica el
extensómetro y va incrementándose a velocidad constante ( de 0,16°/s para acero y
aluminio y de 0,04°/s para la fundición) hasta la rotura de la probeta.
.
Figura 4.1: A la izquierda máquina empleada en el ensayo de torsión y a la derecha dispositivo de medida del
ángulo.
-Extensómetro longitudinal COD, marca MTS, fabricante EPSILON modelo MD2555,
tipo 3541-005M250LT. Este extensómetro tiene una base de medida de 5+7/-1 mm,
con una precisión de 10 μm. Las cuchillas tienen una medida de 35 mm.
El extensómetro se fija a dos piezas especialmente diseñadas para la obtención del
ángulo girado entre dos secciones de la probeta. La principal ventaja de utilizar un
extensómetro de COD es que están diseñados de forma, que se ajustan y sujetan
automáticamente al dispositivo de medida.
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La piezas que permiten fijar el extensómetro están formadas por una parte que se fija
al extensómetro y otra que se acopla a la probeta permaneciendo solidaria con ella
gracias a una unión atornillada.
La disposición de las piezas de sujeción del extensómetro ha de hacerse a la misma
distancia entre ellas, de manera que la base extensométrica sea siempre
aproximadamente la misma (25mm).Para ello se usa como referencia la distancia entre
los bordes superiores de la piezas que se designa como Lbordes.
Figura 4.2: Esquema de la medida de L0, donde se aprecia la
distancia entre los bordes de las piezas. Las piezas están
provistas de unos rebordes en su interior que están a una
distancia fija del borde de las piezas.
Como son 2 piezas para hallar L0 hay que sustraer a Lbordes
las cotas que aparecen indicadas en mm.
Cuando se han fijado las dos piezas que forman el dispositivo de medida de ángulos,
el extensómetro dará la medida de la separación entre dos piezas solidariamente
unidas a sendas secciones de la probeta. Tal separación permitirá hallar el ángulo
girado entre dos secciones de la probeta.
Figura 4.3: Extensómetro situado en el dispositivo de medida
del ángulo, en una probeta durante el ensayo.
Si se llama (d) la zona donde se coloca el
extensómetro, la lectura que se hace de la
abertura de las “patas” del extensómetro hay que
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corregirla para obtener la verdadera magnitud de la separación de sus “patas”,
sumándole 4,80 mm correspondiente a la distancia real entre patas del extensómetro
cuando la medida registrada por el mismo corresponde a 0 :
d=4,80mm+lectura extensométrica
Para obtener la relación entre la medida del extensómetro y el ángulo de la rotación
entre las dos secciones se aplica la siguiente relación trigonométrica:
Ɵ= 2arcsen d/2r0
donde Ɵ es el incremento de ángulo entre las dos secciones; d es la distancia entre
patas del extensómetro y r0 es la distancia entre el eje de simetría de la probeta y el
punto donde el dispositivo de medida del ángulo y el extensómetro se colocan.
El incremento efectivo del ángulo será: ϴ= Ɵ- Ɵ0
donde Ɵ0 es el ángulo inicial del ensayo.
Figura 4.4:
Representación de los parámetros Lp y r0,el círculo más
pequeño representa la probeta,y en amarillo el
dispositivo para medir el ángulo.
Lp en el ensayo ha resultado tener el valor de 16,10mm.
Para obtener el incremento de ángulo unitario por cada metro, dado que L0 está en
mm, se hace:
1000.(ϴ/L0) =ϴunit,1m
A partir de las curvas momento torsor-ángulo (MT- Ɵ) obtenidas en los ensayos, puede
obtenerse la curva tensión-deformación del material, en el caso de un ensayo de
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torsión se aplica el procedimiento de Nadai (que se describe detalladamente en el
libro “Física de la plasticidad” de Vicente Sánchez Gálvez).
El método debido a Nadai explica el ensayo a torsión para una barra cilíndrica
Figura 4.5: barra cilíndrica de longitud unidad considerada por Nadai
Dada una barra cilíndrica de material homogéneo e isótropo de radio r0 sometida a
torsión. Se establece que no existe variación de volumen al igual que no hay variación
de longitud de la barra. Asimismo se supone que las secciones de la barra se
mantienen planas y los radios rectos.
Para un punto situado a una distancia r del eje se tiene,
γ = r.Ɵ, siendo γ = γ0 ; r = r0
donde γ0 es la deformación tangencial para r = r0
El momento torsor es:
MT = ∫
M T= 2 /Ɵ3∫
γ2dγ
Por lo tanto, conociéndose la curva tensión tangencial-deformación tangencial τ = f (γ)
se podría obtener la relación MT-Ɵ.
d(MTƟ3/2 ) = τ0γ20dγ0 = τ0 r3
0Ɵ2dƟ
Ɵ3 dMT/dƟ + MT 3Ɵ2 = 2 r30 Ɵ2τ0
despejando τ0
Sabiendo que :MT = MT(Ɵ) = MT (γ0/r0)
τ0 = 1/ 2𝜋r30 (3 MT + dMT/dƟ)
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De la expresión de τ0 se obtiene τ0 = τ0(γ0) que es la función τ = τ(γ) buscada.
Como el estado tensional viene dado por:
000
00
00
torσ
La tensión equivalente es :
Como: 2.Єxy= γxy
Y el estado de deformaciones es:
000
00
00
La deformación equivalente es: Єequiv = (2/ 3 ).Єxy
equiv 3
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4.1 RESULTADOS DE LOS ENSAYOS
ACERO
PROBETA N°1
Figura 4.6: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 1 de acero.
Figura 4.7: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 1 de acero.
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PROBETA N°2
Figura 4.8: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 2 de acero.
Figura 4.9: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 2 de acero.
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Para representar el comportamiento promedio a torsión del acero , se hizo uso de la
rutina INTERPOLATE que deduce para cada curva puntos por interpolación, para así
poder promediar con las restantes curvas del acero:
Figura 4.10: Curva promedio de la tensión(equivalente)-deformación (equivalente) del acero en torsión.
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ALUMINIO
PROBETA N°2
Figura 4.11: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 2 de aluminio
Figura 4.12: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 2 de aluminio.
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PROBETA N°6
Figura 4.13: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 6 de aluminio.
Figura 4.14: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 6 de aluminio.
41
PROBETA N° 7
Figura 4.15: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 7 de aluminio.
Figura 4.16: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 7 de aluminio.
42
Para representar el comportamiento promedio a torsión del aluminio , se hizo uso de
la rutina INTERPOLATE que deduce para cada curva puntos por interpolación, para así
poder promediar con las restantes curvas del aluminio:
Figura 4.17: Curva promedio de la tensión (equivalente)-deformación (equivalente) del aluminio en torsión.
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FUNDICIÓN
PROBETA N°5
Figura 4.18: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 5 de fundición.
Figura 4.19: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 5 de fundición
44
PROBETA N°6
Figura 4.20: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 6 de fundición.
Figura 4.21: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 6 de fundición.
45
Para representar el comportamiento promedio a torsión de la fundición , se hizo uso
de la rutina INTERPOLATE que deduce para cada curva puntos por interpolación ,para
así poder promediar con las restantes curvas de la fundición:
Figura 4.22: Curva promedio de la tensión (equivalente)-deformación (equivalente) de la fundición en torsión.
46
5. COMPARATIVA DE LAS CURVAS ( TENSIONES EQUIVALENTES-DEFORMACIONES
EQUIVALENTES ) EN TRACCIÓN Y TORSIÓN DE LOS MATERIALES
A continuación, comparamos las curvas σ-Є equivalentes obtenidas en tracción y en
torsión, para los distintos materiales, con el fin de comprobar si, en efecto, existe
influencia de la presión hidrostática.
ACERO TRACCIÓN PROMEDIO Y TORSIÓN PROMEDIO EQUIVALENTES
Figura 5.1: Curvas superpuestas (de la tensión equivalente –deformación equivalente) del acero promedio en torsión
y del acero promedio en tracción.
47
ALUMINIO TRACCIÓN PROMEDIO Y TORSIÓN PROMEDIO EQUIVALENTES
Figura 5.2 : Curvas superpuestas (de la tensión equivalente –deformación equivalente) del aluminio promedio en
torsión y del aluminio promedio en tracción .
48
FUNDICIÓN TRACCIÓN PROMEDIO Y TORSIÓN PROMEDIO EQUIVALENTES
Figura 5.3 : Curvas superpuestas (de la tensión equivalente –deformación equivalente) de la fundición promedio en
torsión y de la fundición promedio en tracción .
COMENTARIO
Puede verse que, mientras en el acero no hay casi diferencia, en el aluminio y la
fundición hay diferencias más apreciables.
En todos los materiales sí se han observado grandes diferencias en las deformaciones
equivalentes de rotura, si bien el análisis de este parámetro queda fuera del alcance de
este trabajo.
49
6. OBTENCIÓN DEL PARÁMETRO α DE LOS ENSAYOS DE TRACCIÓN Y
TORSIÓN
Para particularizar la fórmula de Spitzig and Richmond (1984) a los ensayos de tracción
y torsión realizados, y así obtener el parámetro α de los mencionados ensayos, se
procede de la siguiente forma:
Si la fórmula de Spitzig and Richmond en la cual se establece una relación lineal de la
tensión de plastificación de referencia (Yref ) con la presión hidrostática (p) es:
Yref =Y0.(1+3.α.p)
Resulta :
-fórmula de Spitzig &Richmond en el punto de plastificación en estado de
tracción simple del material:
σy0,2%(tracción)=σ0.(1+3α.(-σy0,2%(tracción).(1/3))) (1)
donde se ha llamado σ0 a Y0
-estado tensional del material sometido a tracción simple:
00
000
000
tracσ
Con la tensión aplicada en la probeta. La presión es igual a la tercera parte de la
traza del tensor de tensiones, cambiada de signo, es decir:
p=-σy0,2%(tracción).(1/3)
50
Figura 6.1: determinación gráfica del límite elástico al 0,2% del material
-fórmula de Spitzig &Richmond en el punto de plastificación en el estado de torsión
del material:
σy0,2%(torsión) = σ0 (2)
siendo σy0,2% la tensión de plastificación al 0,2% del material deducida
de la correspondiente curva tensión –deformación.
- estado tensional del material sometido a torsión es:
000
00
00
torσ
Con la tensión de corte aplicada en la probeta en el ensayo de torsión. La presión es
igual a la tercera parte de la traza del tensor de tensiones cambiada de signo, es decir:
p=0
si p=0 entonces: Yref(torsión) = Y0= σ0
Sustituyendo el valor de Yo dado por (2) en (1) y despejando de esta última, resulta:
α=( σy0,2%(tracción) – σ0 ) /(3. σ0.(-σy0,2%(tracción).(1/3)))
51
6.1 APLICACIÓN A LOS ENSAYOS
ACERO
-De las correspondientes curvas promedio del acero en tracción y torsión, resulta:
σy0,2%(tracción) 397 MPa
σy0,2%(torsión) 361 MPa
σ0=361 MPa
α=-2,51.(10-4) MPa-1
ALUMINIO
-De las curvas promedio del aluminio en tracción y torsión:
σy0,2%(tracción) 431,57 MPa
σy0,2%(torsión) 260 MPa
σ0=260 MPa
α=-1,52.(10-3) MPa-1
52
FUNDICIÓN
-De las curvas promedio en tracción y torsión para la fundición:
σy0,2%(tracción) 180,37 MPa
σy0,2%(torsión) 305 MPa
σ0=305 MPa
α=2,26.(10-3) MPa-1
53
7. APROXIMACIÓN DE RAMBERG-OSGOOD DE LAS CURVAS TENSIÓN –
DEFORMACIÓN DE LOS METALES
Se han aproximado las curvas tensión –deformación de los materiales dados usando
las expresiones analíticas de Ramberg-Osgood.
Para ello disponiendo de las curvas tensión –deformación (valores equivalentes)
anteriormente obtenidas de los ensayos de tracción y torsión, se aplica el
procedimiento tradicional:
expresión de R- O :
tomando logaritmos: Ln(Є-(σ/E))=m.(Lnσ-LnP) (1)
De (1) se deduce que m será la pendiente de una recta que corta al eje de ordenadas
en el punto (0,-mLnP).
Al aplicar la expresión (1) a las curvas habríamos de obtener una relación lineal, pero
al representar la disposición de los puntos no es exactamente una recta por lo que se
ha empleado un ajuste lineal efectuado con el programa KALEIDA.
Є=(σ/E)+(σ/P)m
54
7.1 RESULTADOS
Las curvas de las que se parte tanto en tracción como en torsión corresponden a
tensiones equivalentes y deformaciones equivalentes y son las anteriores curvas
promedio de los correspondientes ensayos. A partir de ellas y aplicando lo
anteriormente expuesto, se obtienen los valores de m y P siguientes:
ACERO EN TRACCIÓN
m P(MPa) E(MPa)
6,07 853,89 206334,34
Figura 7.1: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida , donde aparece la expresión de la recta del ajuste.
(Nota:sig son las tensiones y eps las deformaciones)
55
Figura 7.2 : curvas superpuestas del acero promedio en tracción y de la aproximación de Ramberg-Osgood del acero
en tracción.
ACERO EN TORSIÓN
m P(MPa) E(MPa)
3,08 1510,2 216554,8
Figura 7.3: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida , donde aparece la expresión de la recta del ajuste.
(Nota:sig son las tensiones y eps las deformaciones)
56
Figura 7.4 : curvas superpuestas del acero promedio en torsión y de la aproximación de Ramberg-Osgood del acero
en torsión.
ALUMINIO EN TRACCIÓN
m P(MPa) E(MPa)
13,20 645,48 68730,46
Figura 7.5: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.
57
Figura 7.6 : curvas superpuestas del aluminio promedio en tracción y de la aproximación de Ramberg-Osgood del
aluminio en tracción.
ALUMINIO EN TORSIÓN
m P(MPa) E(MPa)
2,47 1881,07 70821,07
Figura 7.7: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.
58
Figura 7.8: curvas superpuestas del aluminio promedio en torsión y de la aproximación de Ramberg-Osgood del
aluminio en torsión.
FUNDICIÓN EN TRACCIÓN
m P(MPa) E(MPa)
7,27 461,08 59613,80
Figura 7.9: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.
59
Figura 7.10 : curvas superpuestas de la fundición promedio en tracción y de la aproximación de Ramberg-Osgood de
la fundición en tracción.
FUNDICIÓN EN TORSIÓN
m P(MPa) E(MPa)
6,42 715,51 115000
Figura 7.11: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.
60
Figura 7.12 : curvas superpuestas de la fundición promedio en torsión y de la aproximación de Ramberg-Osgood de
la fundición en torsión.
61
8. CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TORSIÓN DE LOS MATERIALES DEDUCIDAS DE
LAS CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TRACCIÓN
Partiendo de las curvas anteriormente obtenidas de Ramberg-Osgood en tracción, se
pretenden obtener haciendo uso de las expresiones de Spitzig and Richmond (1984)
las homólogas curvas en torsión (valores equivalentes).
Para ello, si la fórmula de Spitzig and Richmond en la cual se establece una relación
lineal de la tensión de plastificación de referencia (Yref ) con la presión hidrostática (p)
es:
Yref =Y0.(1+3.α.p)
Resulta particularizando:
-Fórmula de Spitzig and Richmond en el punto de plastificación en estado de tracción
simple del material:
σy0,2%(tracción)=σ0.(1+3α.(- σy0,2%(tracción).(1/3)))
con: p=-σy0,2%(tracción).(1/3)
siendo σy0,2% la tensión de plastificación al 0,2% deducida de la curva tensión-
deformación del material.
-Fórmula de Spitzig &Richmond en el punto de plastificación para el estado de torsión
del material:
σy0,2%(torsión)=σ0
con p=0
Dado que en realidad, el límite elástico es toda la curva tensión- deformación en la
zona donde ya se ha superado el límite elástico, sería suficiente con despejar σ0 de la
correspondiente expresión en tracción para los puntos que ya han plastificado, para
así obtener las homólogas tensiones en torsión:
σ0= σy0,2%(tracción)/(1+3.α.p)
con p = -σy0,2%(tracción).(1/3)
62
Por tanto, para construir las curvas se parte de las tensiones σ0 y de las
deformaciones equivalentes y a partir de ellas se deducen las constantes m y p que
definen la curva de Ramberg-Osgood buscada.
8.1 RESULTADOS
ACERO
Figura 8.1 : recta del ajuste lineal efectuado con el programa Kaleida. Las abreviaturas sigm designan a la tensión y
def a las deformaciones.
m p(MPa) E(MPa)
5,86 742,48 216554,8
63
Figura 8.2:Curvas superpuestas del acero promedio en torsión y de la aproximación de R-O en torsión para el acero
deducida de la aproximación de R-O en torsión.
Comparando la curva de Ramberg-Osgood torsión (equivalentes) obtenida en el
capítulo 7 con la curva de tensiones promedio equivalentes de torsión:
Figura 8.3: curvas de acero torsión promedio y la aproximación de R-O del acero en torsión hecha en el capítulo 7.
64
ALUMINIO
Figura 8.4: recta del ajuste lineal efectuado con el programa Kaleida. Las abreviaturas sigm designan a la tensión y
def a las deformaciones.
m p(MPa) E(MPa)
4,74 530,10 70821,07
65
Figura 8.5:Curvas superpuestas del aluminio promedio en torsión y de la aproximación de R-O en torsión para el
aluminio deducida de la aproximación de R-O en torsión.
Comparando la curva de Ramberg-Osgood torsión (equivalentes) obtenida en el
capítulo 7 con la curva de tensiones promedio equivalentes de torsión:
Figura 8.6: curvas de aluminio torsión promedio y la aproximación de R-O del aluminio en torsión hecha en el
capítulo
66
FUNDICIÓN:
Figura 8.7: recta del ajuste lineal efectuado con el programa Kaleida. Las abreviaturas sigm designan a la tensión y
def a las deformaciones.
m p(MPa) E(MPa)
1,05 128027,14 115000
67
Figura 8.8:Curvas superpuestas de la fundición promedio en torsión y de la aproximación de R-O en torsión para el
aluminio deducida de la aproximación de R-O en torsión.
Comparando la curva de Ramberg-Osgood torsión (equivalentes) obtenida en el
capítulo 7 con la curva de tensiones promedio equivalentes de torsión:
Figura 8.9: curvas de la fundición torsión promedio y la aproximación de R-O de la fundición en torsión hecha en el
capítulo 7.
68
9. CONCLUSIONES
-La finalidad por la cual se han realizado ensayos de tracción y de torsión , no es otra
que la de obtener las curvas tensión- deformación en equivalentes para cada uno de
los metales.Tal y como explica la teoría clásica de la Plasticidad, al representar los
valores equivalentes de las tensiones y deformaciones, la curva no depende de la
presión hidrostática (que será la tercera parte de la traza del tensor de tensiones
cambiada de signo).
Por lo tanto las curvas tensión equivalente-deformación equivalente, tanto en tracción
como en torsión, deberían coincidir al superponerlas.
De la inspección visual de las mencionadas gráficas efectuada en el capítulo 5, se
observa que las curvas en tracción equivalentes y torsión equivalentes no coinciden.
Este comportamiento ”anormal” se puede explicar por el artículo de Holger Aretz ya
mencionado. En dicho artículo se da a conocer la constante α, la cual dependiendo del
material representa la sensibilidad a la presión hidrostática de los mismos.
-Una vez obtenidos los valores de α para los tres metales empleados, se observa que
el mayor valor absoluto corresponde a la fundición gris , seguida del aluminio y por
último del acero de armar.
Tanto el acero como el aluminio presentan valores positivos para α, pero la fundición
es al contrario. Esto es debido a que en torsión la fundición presenta una tensión de
plastificación al 0,2% mucho mayor que en tracción.
Este comportamiento es debido a que en muchas ocasiones los metales no son puros,
sino que tienen otros elementos en su composición dando lugar a las aleaciones
metálicas.
Esta última afirmación explica por qué la fundición es la que muestra un mayor valor
del parámetro α y el acero se comporta mejor.
-Por lo tanto las curvas tensión equivalente - deformación equivalente son
dependientes de la presión hidrostática.
69
-A representar las curvas promedio en tracción y torsión, para cada uno de los
metales,y las correspodientes curvas de Ramberg-Osgood, se observa que las
aproximaciones de Ramberg-Osgood se adaptan mejor a las curvas promedio en
tracción que en torsión. Esto es debido a que en torsión los valores últimos de las
deformaciones son muy inferiores.
-Las curvas de Ramberg-Osgood en torsión extrapoladas de Ramberg-Osgood en
tracción, se observa que se ajustan mejor a las curvas de torsión promedio. Y el
motivo no es otro que el expuesto en el párrafo anterior.
-Según el artículo de Yuanli Bai y Tomasz Wierzbicki , ya mencionado, la deformación
de rotura se eleva a medida que crece la presión hidrostática. Dicho fenómeno se
puede apreciar viendo que en el ensayo de torsión la presión hidrostática es cero y la
deformación equivalente es menor que la obtenida del ensayo de tracción donde la
presión hidrostática es mayor.
- En todos los materiales sí se han observado grandes diferencias en las deformaciones
equivalentes de rotura, si bien el análisis de este parámetro queda fuera del alcance de
este trabajo.
70
10. BIBLIOGRAFÍA
- Vicente Sánchez Gálvez. “Curso de comportamiento plástico de materiales”. E.T.S de
ingenieros de caminos, canales y puertos. Universidad Politécnica de Madrid.
Departamento de ciencia de materiales (1999).
- Jaime Planas . “Ecuaciones constitutivas: plasticidad en metales isótropos”. Notas de
clase, (1999–2000).
-Holger Aretz .”A consistent plasticity theory of incompresible and hydrostatic pressure
sensitive metals”.Mechanics research communications(2008).
-Yuanli Bai and Tomasz Wierzbicki.”A new model of metal plasticity and fracture with
pressure and lode dependence”.International journal of plasticity(2007).
-Spitzig and Richmond. ”The effect of pressure on the flow stress of metals”
(1984).Acta Metallurgica 32, 457-463.
71