mrp2-756-2011-2
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Segunda Parcial LAPSO 2011 2 CDIGO 756 1/3
Universidad Nacional Abierta Clculo Integral(756)
Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera: 126
rea de Matemtica Fecha: 03 03 - 2012
MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 5 al 7
OBJ 5 PTA 1 Dada la curva definida por F(t) = (a cos t , a sen t , g(t)) , prueba que sta es plana si
g(t) es solucin de la ecuacin 0)t(g)t(g =+ . Solucin:
Calculemos [ ]
2)t(F)t(F
)t(F)t(F)t(F)t(P
= , 0)t(F)t(Fr
(ver pgina 576 del libro
Matemtica III de Ingeniera de la UNA).
Calculemos
[ ] )t(F))t(F)t(F()t(F)t(F)t(F = Entonces,
))t(g,tcosa,tasen()t(F = ))t(g,tasen,tcosa()t(F =
))t(g,tcosa,tasen()t(F =
==
)t(gasenttcosa)t(gtcosaasent
kji)t(F)t(F
( )2a,)t(gasent)t(gtcosa,)t(gasent)t(gtcosa ++=
= )t(F))t(F)t(F( ( ) ))t(g,tcosa,tasen(a,)t(gasent)t(gtcosa,)t(gasent)t(gtcosa 2 ++= =+++= ))t(g)t(gtcossent)t(gtcos)t(gtsen)t(gtsent(cosa 222
))t(g)t(g(a))t(g)t(g)tcostsen((a 2222 +=++= Luego, 0)t(P = si g(t) es solucin de la ecuacin 0)t(g)t(g =+ . Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles
rea de Matemtica
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Segunda Parcial LAPSO 2011 2 CDIGO 756 2/3
OBJ 6 PTA 2 Calcula, si es posible, la suma de la siguiente serie numrica:
=
+1n
n
nn
623
Solucin:
La serie dada =
+1n
n
nn
623 es una serie numrica de trminos positivos y el
trmino general es:
nnnn
n
n
n
n
n
nn
n 31
21
62
63
62
63
623a
+
=
+
=+=+= .
Ahora, como las series =
=
1n 1n
nn
31y
21 son series geomtricas (ver
pginas 313 y 314 del libro Clculo II de la UNA), de razones 31ry
21r ==
respectivamente, lo cual nos indica que ambas series son convergentes (por qu?)
entonces, la serie =
+1n
n
nn
623 tambin converge.
Ahora, =
=
=
=
+
=
+
=+
1n 1n1n1n
n
nn nnnn
31
21
31
21
623
= 23
211
311
131
211
121 =+=
+
Ver pginas 313 y 314 del libro Clculo II de la UNA
Por lo tanto, 23
623
1n
n
nn
=+=
OBJ 7 PTA 3
Determina si la serie =
1n n
)ncos( es absolutamente convergente, condicionalmente
convergente o divergente. Solucin:
Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles
rea de Matemtica
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Se tiene que, =
=
=1n
n
1n n
)1(
n
ncos por qu?
Estudiemos si la serie converge absolutamente
=
==
1n1n
n
n
1
n
)1( esta es la serie armnica que es divergente Verifcalo!.
Luego, la serie =
1n n
)ncos( no converge absolutamente.
Estudiemos si la serie converge condicionalmente
La serie =
1n
n
n
)1( es una serie alternada, entonces, usando el criterio para la
convergencia de series alternadas (ver pg. 356 del libro Clculo II de la UNA), se tiene que:
i) 0n
1lmalmn
nn
==
ii) an an+1
1n
1
n
1
+ de donde, n+1 n para todo n
Luego, la serie =
1n
n
n
)1( converge condicionalmente.
Por lo tanto, la serie =
1n n
)ncos( converge condicionalmente.
FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS
Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles
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rea de Matemtica Fecha: 03 03 - 2012MODELO DE RESPUESTAS