Diseo computarizado Anlisis numrico del Pndulo

Camilo Bauz Nombre profesor: Claudio Garca Curso: Diseo Computarizado Fecha: 21/04/2014

Introduccin :

Este informe tiene como objetivo analizar distintos fenmenos fsicos que gobiernan el movimientodel pndulo dado por la ecuacin diferencial de segundo orden dado por el profesor.La importancia de este anlisis es formar conclusiones pertinentes para las distintas condiciones iniciales que tendr el problema, vale decir, comparando los grficos para cada una de estas.

Se asume que el pndulo esta en un ambiente en el cual no se produce arrastre por lo que oscilar indefinidamente comportandose como un movimiento armnico y para efectos de la energa se conserv el eje de referencia propuesto por el profesor en las indicaciones que di para este informe.

Este problema corresponde a un PVI y para la solucon de este problema ser necesario reducir la ecuacin de segundo orden a un sistema de ecuaciones de un solo orden.

Los supuestos tericos utilizados fueron el Mtodo de Euler, Mtodo de Newton-Raphson y como herramienta de programacin se utiliz el lenguaje Fortran , en el cual se desarroll un programa que modela el movimiento del pndulo arrojando como variable de salida el ngulo, la posicin en x, la posicin en y, la trayectoria del pendulo o su energia total.

Desarrollo de las ecuaciones goberantes

Primero se ver como se utiliz El mtodo de Euler para efectos de este problema.

-Este frmula corresponde al Mtodo de Euler -

-Se define el siguiente cambio de variable-

-y resulta el Mtodo de euler de forma iterativa-

-Ahora definimos nuestro problema, una ecuacin diferencial de segundo orden.-

- y realizamos los siguientes cambios de variables para obtener 2 ecuaciones diferenciales de 1 solo orden.-

-reemplazando en el Mtodo de Euler quedarn las siguientes ecuacines.-

Para el metodo implcito se utiliz el Mtodo de Newton-Raphson ya que este metodo permitia ocupar Euler de un modo Implicito puro.

-Este es la forma general del mtodo de Newton-Raphson-

Luego, para obtener f(x), reemplazo teta.n pero en forma implicita en omega.n tambin de forma imlpicita para no ocupar raphson en su forma multivariable, y queda la siguiente ecuacin.

Ahora procedemos a dejar la funcion en funcin de 0 y la derivamos para introducirla al mtodo de Newtn-Raphson, y obtendremos nuestro Mtodo de Euler implicito puro:

Caso ngulo vs tiempo El primer caso corresponde a /2 con el mtodo explicito a la izquierda y el implicito a la derecha.

El segundo caso corresponde a /6 con el mtodo explicito a la izquierda y el explicito a la derecha.

Y este ltimo caso corresponde a /10 con el mtodo explicito a la izquierda y el implicito a la derecha.

Posicin en x con integrador implicito ngulo: /2: Este grfico corresponde a la oscilacin de la posicin en x con respecto a el tiempo. Se puede apreciar que al mejorar el paso h se mejor sustancialmente la amplitud del la oscilacin pero no as el desfase que provoc la condicion inicial /2. Se us la funcin analtica al igual que los otros grficos para apreciar mejor esto.

ngulo: /6: En este grfico se pudo apreciar que achicando el ngulo inicial para h=0.1 la oscilacin no vara mucho pero para los otros pasos se produce una aproximacon bastante asertiva con respecto a la solucion analtica.

ngulo: /10: Y por ltimo para estecaso no se producir un cambio sustancial con respecto al anterior. El cambio ms notorio corresponder al ajuste de los ceros de las oscilaciones para los distintos pasos.

Posicin en y con integrador explicito

ngulo: /2: Se puede apreciar para este grfico que a los 10 segundos aproximadamente, la oscilacin cambia laamplitud ajustandose a -4 a 4. Esto es producido por utilizar un paso muy pequeo y el ngulo muy grande. Se ve un notorio desface en este caso para todoslos pasos.

ngulo: /6: En este grfico al igual que para la posicin en x se llegar a unabuena aproximacin de la posicin esceptuando para el h=0.1, debido a que la posicion en x e y su frmula es equivalente.

ngulo: /6: Por lo dicho anteriormente este grfico es muy parecido al anterior. De acuerdo a lo que hemos visto hasta ac ya pdemos llegar a las conclusiones de que el mtodo implicito tiene menos error que el mtodo explicito y el caso ms critico seria h=0.1.

Trayectoria con h=0.01 fijo

ngulo: /2: Para calculos de estos grficosse utiliz h=0.01 para todos los grficos. Este caso en particular el mtodo explicito no pudo reflejar la realidad, si haciendolo el mtodo implicito.

ngulo: /6: En este grfico la trayectoriapartira de mas abajo porque se toma un ngulo inicial ms chico que el anterior. An se refleja las diferencias entre integradores.

ngulo /10: Para este caso puede deducirse que el mtodo explicito nunca es fiel a la realidad indepediente del ngulo.

Energa con 0.001 fijo

ngulo: /2: La energa para efectos de este trabajo debe conservarse independiente de sus condiciones iniciales o integrador ocupado. En este caso deberia ser 0 la energaya que en la condicin inicial el pndulo parteen reposo y en su punto de referencia , sin embargo, se puede apreciar que la energa nose conserv para ningun caso.

ngulo: /6: La energa se comporta negativamente porque se toma el eje de referencia en el extremo superior del pndulo, vale decir, el pndulo solo empezara con energia potencial negativa.Este caso se acerca bastante a la realidad pero an en el grfico se aprecia que la energa no se conserva.

ngulo: /10: Para este ngulo se puede concluir que la energa se conserva para los 2 mtodos.

Programacin en Fortran Descripcin del programa:

El programa bsicamente en obtener puntos de la ecuacin diferencial para describir el movimiento del pndulo.

Para esto el programa pide como variables de entrada: la longitud del pndulo, la masa, la posicin inicial, el paso del tiempo, el tiempo total,el mtodo de integracin y la variable de salida que se desea apreciar.

Luego se abrir un archivo .dat para guardar los datos de la variable de salida y la expresin analtica de este.

Luego se inicia el programa en s con un ciclo do.Se define el mtodo explcito y luego las variables de salida. En el caso de si se eligiera el ngulo, Se imprimir el ngulo pero en grados. El archivo .dat se ocupar con los datos segn la variable quese haya elegido anteriormente.Luego de esto se define el mtodo implicito puro. La razn por la que se hizo abajo de todo el programa fue para que los primeros datos que el

programa imprimiera sean las variables de salida en funcin de los datos iniciales.

Y finalmente se cierra el programa.

Conclusin

Como se mension en la introduccin, se hizo un extenzo anlisis para las casos que el profesor propuso.

Se utiliz solo hasta la quinta iteracin el Mtodo de Newton-Raphson para efectos de este trabajo.

Como solucin general el nico caso real para describir el movimiento de un pndulo es /10 y el integrador implcito, ya que, como visto anteriormente se debe cumplir estas 2 condiciones para que movimiento del pndulo sea fiel a la realidad y para que la energa se conserve.

Tras este anlisis se pudo llegar a distintas conclusiones que fueron recurrentes a medida que se avanzaba en este trabajo, las cuales son:

Se observ que entre ms chico fuera el ngulo bajo cualquier mtodo, se aproximaba mejor a la ecuacin analtica. Esto se produce porque la ecuacin analtica es la solucin a este problema cuando sen(x)=x y esto y ocurre cuando x es igual a /10.

Tambin se pudo observar que el mtodo implcito es mas eficiente y estable que el mtodo explcito, esto pasa porque el mtodo implcito es mas adaptativo, y esto produce que reduce su paso de tiempo lo suficiente como para mejorar su estabilidad.

Para cada paso de tiempo se observa un distinto tipo de aproximacin, con la conclusin de que para pasos mas chicos el mtodo explcito y implcito converge ms rapido a la amplitud real segn cada oscilacin. Esto se debe a que al ocupar un paso mas chico para que se cumplan los 30 segundos el programa deber iterar ms veces ,y al iterar mas veces los mtodos de integracin utilizados producirn que dimunuya progresivamente el error entre cada punto. Ya que las tangentes que se producen entre estos puntos seran mas cortas.

Finalmente como forma de optimizar los mtodos propuestos en este informe se puede mejorar el mtodo implcito y explcito sumandole un trmino ms de la Serie de Taylor a los terminos teta.n y phi.n correspondientemente. Esto no provocar un mejoramiento sustancial de la aproximacin, sin embargo, la perfeccionar. Cabe mencionar, el mtodo implcito tambin se puede mejorar cambiandolo por el Mtodo de Euler-Cromer Mtodo de Euler semi-implicito simpltico, que corresponde a una combinacin del mtodo implcito con el mtodo explcito.Y por ltimo se puede mejorar el Mtodo de Newton-Raphson aumentandole la cantidad de iteracines a este.