movimiento circular

Misión de la universidad: Formar profesionales líderes cuyas decisiones y acciones contribuyan al

bienestar e interés de la sociedad además del suyo propio.

VELOCIDAD ANGULAR:

Consideremos ahora el caso especial en

el cual la trayectoria es un círculo; esto

es, movimiento circular. La velocidad v ,

siendo tangente el círculo, es

perpendicular al radio R AC . Cuando

medimos distancias a lo largo de la

circunferencia del círculo a partir de O ,

tenemos, de la figura, que s R , de

acuerdo a las ecuaciones y

demostraciones anteriores consideramos

que:

(1)

d Rds dv R

dt dt dt

La cantidad:

(2)d

dt

se denomina velocidad angular, y es igual

a la variación del ángulo descrito en la

unidad de tiempo. Se expresa en radianes

por segundo, rads

, o simplemente

1s , luego:

(3)v R

R

A

C O

s

v

Figura 1: Movimiento Circular

La velocidad angular puede expresarse

como una cantidad vectorial cuya

dirección es perpendicular al plano del

movimiento en el sentido de avance de un

tornillo de rosca derecha girado en el

mismo sentido en que se mueve la

partícula.

XY

Z

O

ku

r

R

v r

Figura 2: Relación vectorial entre la velocidad

angular, la velocidad lineal y el vector de posición en

el movimiento circular

De la figura vemos que R rsen y que

k

du

dt

; por lo tanto podemos

escribir, en lugar de la ecuación (3): v rsen

indicando que la siguiente relación

vectorial cumple, tanto en magnitud

como en dirección.

(4)v r

Nótese que esto es válido solamente para

movimiento circular o rotacional

(movimiento con r y constante)

De interés especial es el caso de

movimiento circular uniforme; esto es,

movimiento en el que constante. En

este caso, el movimiento es periódico y la

partícula pasa por cada punto del círculo

a intervalos iguales de tiempo. El periodo

P es el tiempo requerido para realizar

una vuelta completa o revolución y la

frecuencia es el número de revoluciones

por unidad de tiempo. Así si en el tiempo

t la partícula realiza n revoluciones, el

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FISICA 1



periodo es tPn

y la frecuencia es

nft

. Ambas cantidades están

entonces relacionadas por la siguiente

expresión, que usaremos a menudo:

1(5)f

P

Cuando el periodo se expresa en

segundos, la frecuencia debe expresarse

en 1s , unidad denominada hertz ,

abreviada Hz . El término usual es

revoluciones por segundo (RPS) en lugar

de 1s o Hz .

Los conceptos de periodo y frecuencia

son aplicables a todos los procesos

periódicos que ocurren en forma cíclica;

esto es, aquellos procesos que se repiten

después de completar cada ciclo. Por

ejemplo, el movimiento de la tierra

alrededor del sol no es ni circular ni

uniforme, pero es periódico. Es un

movimiento requerido para completar un

ciclo, y la frecuencia es el número de

ciclos por segundo, correspondiendo un

hertz a un ciclo por segundo.

Si es constante, tenemos, integrando la

ecuación (2):

0 0 0

0 0( )

t t

t t

d dt dt

t t

Si tomamos como condiciones iniciales

que 0 0 y 0 0t la expresión anterior

se reduce a:

(6)tt

Para una revolución o una vuelta tenemos

t P y 2 , tenemos:

22 (7)f

P

ACELERACION ANGULAR:

Cuando la velocidad angular de una

partícula cambia con el tiempo, la

aceleración angular está definida por el

vector:

(8)d

dt

Como el movimiento circular es un

plano, la dirección de permanece

invariable, y la expresión (8) también

cumple para las magnitudes de las

cantidades involucradas. Esto es, 2

2(9)

d d

dt dt

Cuando la aceleración angular es

constante (esto es cuando el movimiento

circular es uniformemente acelerado),

tenemos, integrando la ecuación anterior:

0 0 0

0 0( ) (10)

t t

t t

d dt dt

t t

donde 0 es el valor de para el tiempo

0t . Sustituyendo la ecuación (10) en la

ecuación (2) obtenemos

0 0

dt t

dt

e integrando nuevamente obtenemos:

0 0 0

0 0( )

t t

t t

d dt t t dt

De modo que:

2

0 0 0 0

1( ) ( ) (11)

2t t t t

Esto da la posición angular de la partícula

en cualquier tiempo.

En el caso particular del movimiento

uniforme, encontramos combinando las

ecuaciones de aceleración con la

ecuación (9) 2

2(12)

T

dv d da R R R

dt dt dt




Y que la aceleración normal (o

centrípeta) es: 2

2 (13)N

va R

R

Las componentes tangencial y normal de

la aceleración en el movimiento circular

se ilustran así:

2

N

va

R

Ta R

a

C

A

v Rv

Figura 3: Aceleración Tangencial y Normal en el

movimiento circular

Nótese que en el movimiento circular

uniforme (aceleración angular es nula) no

hay aceleración tangencial, pero sí hay

aceleración normal o centrípeta debido al

cambio de dirección de la velocidad.

En este caso de movimiento circular

uniforme podemos calcular la aceleración

directamente la ecuación (4). Luego

como es constante:

(14)dv dr

a vdt dt

Si reemplazamos nuevamente en la

expresión (4) tenemos:

(15)a r

Como el movimiento es circular

uniforme, la aceleración dad por la

ecuación (14) o (15) debe ser aceleración

centrípeta. Esto puede verificarse

fácilmente. Refiriéndose a la figura 4,

vemos que el vector v señala hacia el

centro del círculo, y su magnitud es 2v v R , ya que y v son

perpendiculares y v R y esto coincide

con la ecuación (13)

VELOCIDAD RELATIVA:

Sin duda han observado que un auto que

avanza lentamente parece moverse hacia

atrás cuando usted lo rebasa. En general,

si dos observadores miden la velocidad

de un cuerpo, obtienen diferentes

resultados si un observador se mueve

relativo al otro. La velocidad que un

observador dado percibe es la velocidad

relativa a él, o simplemente velocidad

relativa.

Primero consideraremos la velocidad

relativa en línea recta, y luego la

generalizaremos a un plano. Recuerde

que el movimiento rectilíneo

(unidimensional), velocidad se refiere a

la componente del vector velocidad sobre

la línea de movimiento, y puede ser

positiva, negativa o cero.

Velocidad Relativa en una Dimensión:

Una mujer por ejemplo, camina con

velocidad constante 1.0ms

por el pasillo

de un vagón de ferrocarril que se mueve a

3.0ms

(ver figura 4-a). ¿Qué velocidad

tiene la mujer? Es una pregunta sencilla

pero no tiene una sola respuesta. Para un

pasajero sentado en el tren, se mueve a

1.0ms

. Para un ciclista parado junto al

tren, la mujer se mueve a

1.0 3.0 4.0m m ms s s . Un

observador en otro tren que va en la

dirección opuesta diaria otra respuesta.

Debemos especificar quien es el

observador y dar la velocidad relativa a

él. La velocidad de la mujer relativa al

tren es 1.0ms

, relativa al ciclista es

4.0ms

, etc. Cada observador, equipado

en principio con un metro y un

cronómetro, constituye lo que podemos

llamar un marco de referencia. Así, un

marco de referencia es un sistema de

coordenadas mas una escala de tiempo.



Llamaremos A al

marco de referencia del

ciclista (respecto al

suelo) y B al del tren

en movimiento (ver

figura 4-b). En el

movimiento rectilíneo,

la posición de un punto

P relativa al marco de

referencia A está dada

por la distancia /P AX

(la proyección de P

respecto a A ), y la

posición respecto al

marco B está dada por

/P BX . La distancia

del origen de A al

origen de B (posición

de B respecto a A ) es

/A BX . Vemos que en

la figura que:

/ / / (16)P A P B B AX X X

Esto nos dice que la distancia total del origen de A al punto P es la distancia del origen

de B a P más la distancia del origen de A al origen de B .

La velocidad de P relativa al marco A , denotada con /P Av , es la derivada de /P AX

respecto al tiempo. Las otras velocidades se obtienen igual, así que la derivada respecto al

tiempo de la ecuación (16) nos da la relación entre las velocidades.

/ / /P A P B B AdX dX dX

dt dt dt

O sea:

/ / / (17)P A P B B Av v v

Volviendo a la mujer en el tren, A es el marco de referencia del ciclista, B es el del tren, y

el punto P representa a la mujer. Usando la notación anterior, tenemos:

/ 1.0P Bmv

s / 3.0B A

mvs

Por la ecuación (17), la velocidad /P Av de la mujer relativa al ciclista es

/ 1.0 3.0 4.0P Am m mv

s s s

Lo cual ya era de nuestro conocimiento.

Figura 4: (a) Una mujer camina dentro de un tren. (b) En el instante que es muestra, la

posición de la mujer (partícula P) relativa al marco de referencia A es diferente de su

posición relativa al marco de referencia B




Si la mujer se asoma por la ventana, le parecerá que el ciclista estacionario se mueve hacia

atrás; llamamos /P Av a la velocidad del ciclista relativa a ella. Es evidente que ésta es el

negativo de /P Av . En general, si A y B son dos puntos o marcos de referencia

cualesquiera,

/ / (18)A B B Av v

Velocidad relativa en dos o tres dimensiones:

Podemos extender el concepto de velocidad relativa al movimiento en un plano o en el

espacio usando suma vectorial para combinar las velocidades. Suponga que la mujer del

tren no camina por el pasillo del vagón sino de un costado al otro, con rapidez de 1.0ms

(ver figura 5-a). También podemos describir su posición P en dos marcos de referencia

distintos, A para el observador terrestre estacionario y B para el tren en movimiento, pero

en vez de coordenadas X usamos vectores de posición r porque el problema es

bidimensional. Entonces, como se muestra en la figura 5-b,

/ / / (19)P A P B B Ar r r

Igual que antes, derivamos respecto al tiempo para obtener una relación entre las

velocidades; la velocidad de P relativa a A es //

P AP A

drv

dt , e igual para las demás

velocidades. Obtenemos

/ / / (20)P A P B B Av v v

Si las velocidades están en la misma línea, la ecuación (20) se reduce a la ecuación (17)

para las componentes de las velocidades en esa misma línea.

Figura 5: (a) Mujer que camina a lo ancho de un vagón de ferrocarril, vista desde arriba. (b) el vector de posición depende

del marco de referencia. (c) Diagrama Vectorial para la velocidad de la mujer relativa al suelo.




Si la velocidad del tren relativa al suero tiene magnitud / 1.0P Bv m s , su vector velocidad

/P Av relativa al suelo es la mostrada en el diagrama vectorial de la figura 5-c. El teorema

de Pitágoras nos da:

2 2

/ 3.0 1.0

10 3.2

P Av m s m s

m s m s

También es evidente en el diagrama que la dirección de su vector velocidad relativa al

suelo forma un ángulo con la velocidad del tren /B Av , donde:

/

/

1.0tan

3.0

18

P B

B A

v m s

v m s

Como en el caso dl movimiento rectilíneo, tenemos la regla general de que si A y B son

dos puntos o marcos de referencia cualesquiera,

/ / (21)A B B Av v

La velocidad de la mujer con respecto al tren es el negativo de la velocidad del tren con

respecto a la mujer, etc.

La ecuación (20) se conoce como transformada Galileana de la velocidad, y muestra que la

velocidad de un objeto P con respecto al marco A y su velocidad con respecto al marco

B ( / /P A P Bv y v respectivamente) están relacionadas por la velocidad del marco B con

respecto al marco A /P Bv .

1. Verdadero o falso: Si la afirmación es

verdadera, explicar por qué lo es. Si es

falsa, dar un contraejemplo, es decir, un

ejemplo que contradiga la afirmación.

a. La velocidad angular y la velocidad

lineal tienen las mismas dimensiones.

b. Todas las partes de una rueda en

rotación poseen la misma velocidad

lineal.

c. Todas las partes de una rueda en

rotación poseen la misma velocidad

angular.

d. Todas las partes de una rueda en

rotación poseen la misma aceleración

angular.

2. La tierra tiene 6380 Km de radio y gira

una vez sobre su eje es 24 horas, a) ¿Qué

aceleración radial tiene un objeto en el

ecuador? b) si la aceleración radial en el

ecuador fuere mayor que g, los objetos

saldrían volando al espacio ¿Cuál es el

periodo de rotación para que esto ocurra?

3. Una partícula se mueve en una

circunferencia de radio 100 m con una

velocidad de módulo constante de 20

m/s a) ¿Cuál es su velocidad angular en

radianes por segundo alrededor del

centro de la circunferencia? b) ¿Cuántas

revoluciones realiza en 90 s? c) ¿Cuál es

el valor de su aceleración centrípeta?

4. En la figura se representa en un instante

dado, la aceleración total de una

partícula que se mueve en el sentido de

las manecillas del reloj en un círculo de

2,50 m de radio. En ese instante de




tiempo encuentre: a) la aceleración

centrípeta, b) la velocidad de la partícula

y c) su aceleración tangencial.

5. Una rueda parte del reposo y tiene

aceleración angular constante de 2

rad/s2. Después de 8 segundos: a) ¿Cuál

es su velocidad angular? b) ¿Qué

ángulo habrá girado la rueda? c)

¿Cuántas revoluciones habrá dado? d)

¿Cuál es la velocidad y la aceleración de

un punto situado a 0.4 m del eje de

rotación?

6. En una prueba de traje g, un voluntario

gira en un círculo horizontal de radio de

7.0m, ¿con que periodo la aceleración

centrípeta tiene magnitud de a) 3.0 g? b)

¿10 g?

7. Para un punto situado sobre la superficie

de la Tierra en el Ecuador, calcule: a) la

velocidad angular, b) la velocidad lineal.

8. Un disco que gira a 90 RPM Si frena

con aceleración angular constante y se

detiene al cabo de 2 minutos: a) Hallar

la aceleración angular. b) ¿Cuál es la

velocidad angular del disco? c) ¿Cuántas

revoluciones realiza antes de detenerse?

9. Un modelo de motor de helicóptero

tiene cuatro aspas, cada una de 3.20 m

de longitud desde el eje central hasta la

punta. El modelo se gira en un túnel de

viento a 550 RPM, a) ¿Qué rapidez

lineal tiene la punta del aspa en m/s? b)

¿Qué aceleración radial tiene la punta

del aspa, expresada como múltiplo de g?

10. Un ciclista parte del reposo y pedalea de

modo que las ruedas de su bicicleta

tienen una aceleración angular

constante. Al cabo de 10s las ruedas han

girado 5 revoluciones. a) ¿Cuál es la

aceleración angular de las ruedas? b)

¿Cuál es su velocidad angular al cabo de

10 s? c) Si el radio de la rueda es 36 cm

y rueda sin deslizamiento, ¿qué distancia

habrá recorrido el ciclista en 10 s?

11. Una muela de afilar en forma de disco

tiene una masa de 2 Kg y un radio de 7

cm y está girando a 700 RPM. Cuando

se desconecta el motor, una joven

continúa afilando un cuchillo

manteniéndolo contra la muela hasta

detenerla (10s). a) Hallar la aceleración

angular de la muela de afilar admitiendo

que es constante b) ¿Cuántas vueltas da

la muela hasta detenerse.

12. El satélite Westar VI está en una órbita

circular a 600 km sobre la superficie de

la Tierra. La aceleración de caída libre

en ese lugar es de 8,21 m/s2. Si el radio

de la Tierra mide 6 400 km, determine la

rapidez del satélite y el tiempo requerido

para completar una órbita alrededor de

la Tierra.

13. Imagine que, en su primer día de trabajo

para un fabricante de electrodomésticos,

le piden averiguar que hacerle al periodo

de rotación de una lavadora para

triplicar la aceleración centrípeta, y

usted impresiona a su jefe contestando

inmediatamente. ¿Qué contesta?

14. Una rueda del a fortuna de 14.0m de

radio gira sobre un eje horizontal en el

centro. La rapidez lineal de un pasajero

en el borde es constante e igual a 7.00

m/s. ¿Qué magnitud y dirección tiene la

aceleración del pasajero al pasar a) por

el punto más bajo de su movimiento

circular? b) ¿por el punto más alto? c)

¿Cuánto tarda una revolución de la

rueda?

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