Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento

Ejercicio resuelto

Ejercicio:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función

Creciente: f’(x)>0

Decreciente: f’(x)<0

Ya sabemos que para estudiar el crecimiento y el decrecimiento tenemos que trabajar con la derivada de la función.

Paso 1: Hallar la derivada

Calculamos la derivada de

Para estudiar el signo de la derivada de un polinomio, igualamos a cero y resolvemos la ecuación

Paso 2: Estudiamos el signo

Las soluciones que hemos obtenido dividen la recta real en varios intervalos. En cada uno de ellos el signo es constante.

Para saber qué signo hay en cada intervalo, tomamos un valor cualquiera y lo sustituimos en f’(x). Si es positivo, lo será en todo el intervalo, e igualmente si es negativo:

2 4

Tomamos del

intervalo (-,2) el

valor x=0 por

ejemplo:

f’(0)=-8 NEGATIVO

Tomamos del

intervalo (2,4) el

valor x=3:

f’(3)=1 POSITIVO

Tomamos del

intervalo (4,+) el

valor x=5 por

ejemplo:

f’(5)=-3 NEGATIVO

2 4

Como hemos dicho, el signo se mantiene en cada intervalo, por lo que podemos asegurar que:

Podemos comprobarlo por la gráfica: