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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Facultad de Ingeniería E.A.P. de Ingeniería Civil MONOGRAFÍA: Cálculo del Área de un Terreno para uso Recreativo en la E.A.P. de Ciencias de la Comunicación de la UNSPresentado en cumplimiento parcial del curso de Computación II Presentan: Aguilar Muñoz Carlos Cano Herrera Marx Morales Valdivieso Charles Otiniano Arribasplata Miguel Vara Alva Juan Viera Angulo Luis Chimbote Perú Noviembre de 2011

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

Facultad de Ingeniería

E.A.P. de Ingeniería Civil

MONOGRAFÍA:

“Cálculo del Área de un Terreno para uso Recreativo en la E.A.P. de

Ciencias de la Comunicación de la UNS”

Presentado en cumplimiento parcial del curso de

Computación II

Presentan:

Aguilar Muñoz Carlos

Cano Herrera Marx

Morales Valdivieso Charles

Otiniano Arribasplata Miguel

Vara Alva Juan

Viera Angulo Luis

Chimbote – Perú

Noviembre de 2011

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RECONOCIMIENTOS

A Dios, por darnos fortaleza y

perseverancia en los momentos de

flaqueza, y a quienes nos guían con

certeza en esta inolvidable

experiencia.

A nuestros padres quienes nos dieron la

vida y nos enseñaron el espíritu de

superación. Por sus sacrificios y

dedicación.

Mil gracias.

A nuestros profesores por sus enseñanzas

y apoyo en el transcurso de esta etapa

de formación profesional.

3

AGRADECIMIENTOS

Queremos agradecer a todas las personas que hicieron posible la realización de este trabajo.

Agradecemos de antemano la libre disponibilidad del departamento de topografía, de la

escuela de ingeniería civil, en particular al técnico Pablo, por habernos proporcionado los

instrumentos sofisticados y adecuados para la realización de este proyecto, esenciales para

la elaboración de este proyecto.

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ÍNDICE

RESUMEN DE LA MONOGRAFÍA ................................................................................................................ 5

PRÓLOGO............................................................................................................................................................ 6

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................. 7

I. Marco Teórico ........................................................................................................................................... 8

1.1. ¿Qué es la Topografía? ................................................................................................................... 8

1.2. Descripción de los métodos de cálculo de área ............................................................................. 8

1.2.1. La fórmula de Gauss .................................................................................................................. 9

1.3. Descripción de equipos e instrumentos topográficos y de medida. ............................................ 9

1.3.1. LA ESTACIÓN TOTAL ............................................................................................................ 9

1.3.2. EL TRÍPODE ............................................................................................................................ 10

1.3.3. CINTA MÉTRICA ................................................................................................................... 11

1.3.4. PRISMAS .................................................................................................................................. 11

1.3.5. JALONES .................................................................................................................................. 11

1.4. Descripción del software en el uso de cálculo de área .............................................................. 12

II. CÁLCULOS Y RESULTADOS ....................................................................................................... 13

2.1. Desarrollo del calculo ................................................................................................................... 13

2.1.1. Datos recolectados .................................................................................................................... 13

2.1.2. Plano y el área total .................................................................................................................. 16

2.2. CÁLCULOS por los métodos numéricos y analíticos ............................................................................ 18

III. CONCLUSIONES ............................................................................................................................. 18

IV. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................... 18

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RESUMEN DE LA MONOGRAFÍA

El presente trabajo tuvo como objetivo fundamental, el cálculo del área de un terreno para

la construcción de una zona recreativa al costado de la E.A.P DE CIENCIAS DE LA

COMUNICACIÓN DE LA UNS.

El estudio se enmarcó bajo la modalidad de proyecto factible sustentado, por una

investigación de campo con carácter descriptivo. La población que conforma el estudio

estuvo constituida por 50 estudiantes, tanto de la misma universidad como también

alumnado de la EXPERIMENTAL DE EDUCACIÓN, donde se aplicó una encuesta a

estos. Dichas respuestas evidencian la necesidad de crear una zona donde descansar ,

relajarse o estudiar algunas materias que demanden partición grupal, es decir donde los

estudiantes puedan reunirse ya sea para comentar sus experiencias , acordar algunos temas

o simplemente descansar después de una dura secuencia de clases.

Teniendo en cuenta estas opiniones, se comenzó a establecer la zona donde se pueda crear

esta zona recreativa, para lo cual se hizo una radiación del terreno, con ayuda de la estación

total y sus accesorios pertinentes, luego mediante un software (ProLink) se descargaron los

puntos radiados, seguidamente se hizo el trazado del plano y posteriormente se calculó el

área con la ayuda de dos software especializados en trabajos topográficos, llámese

AutoCAD y TopoCal. Paralelo a esto también se hizo uso de los MÉTODOS NUMÉRICOS

para calcular el área, para el caso se usó el método de GAUSS, llegando así a establecer

áreas aproximadas, pero tras una evaluación minuciosa se consideró el área calculada por el

software, por su mejor precisión, ya que los estudios así lo demostraron. El diseño de la

propuesta, se centró en la necesidad del estudiantado perteneciente a la E.A.P. DE

CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN por tener un lugar propicio donde descansar,

relajarse y conversar temas de acorde a sus necesidades, así también por la lógica idea de

que ambientes como el propuesto ayudan al beneficio de la universidad, por su

embellecimiento, y no está menos decir que ayuda al bienestar de los alumnos.

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PRÓLOGO

La enseñanza de los métodos numéricos, actualmente se encuentra Íntimamente ligada a la

construcción de sistemas matemáticos de alta precisión y exactitud. De aquí que ésta haya

evolucionado, y esté evolucionando continuamente, sobre todo para satisfacer las

necesidades y requerimientos de los instrumentos de control numérico, diseño de

ingeniería, y en muchos otros de los campos científicos.

La mayor parte de los ingenieros dependen de herramientas de tipo robótico, que requieren

de aproximaciones cada vez más exactas y precisas.

Es por tanto deseable que a la par de la enseñanza Teórica de los Métodos, vaya apareado,

la enseñanza de un lenguaje de programación de alto nivel, que permita escribir

directamente todos los algoritmos matemáticos que se van desarrollando durante el curso.

En el caso de la siguiente monografía se utiliza algunos métodos numéricos como el

método de Gauss para cálculos de áreas.

Esta monografía surge de la experiencia de que nos hayan enseñado la asignatura de

Computación II durante el semestre académico en la carrera de Ingeniería Civil que se

imparte en la UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA, durante el cual hemos utilizado

el método de participación iterativa, y de trabajo en equipo simultáneo, que permite al

alumno, tener un doble canal de interacción con el docente y retroalimentación con sus

compañeros.

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INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas

matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay

muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común:

invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas.

Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas,

comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible

comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas

depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos

problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los

métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar un software

costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que

son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas,

porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su

capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de

texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación

(personales) del método de Gauss para el cálculo de áreas utilizado en este trabajo.

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Cálculo del Área de un Terreno mediante los

Métodos Analíticos y Numéricos

I. Marco Teórico

1.1.¿Qué es la Topografía?

La topografía es la ciencia que determina las dimensiones y el contorno (o características

tridimensionales) de la superficie de la tierra a través de la medición de distancias,

direcciones y elevaciones. (Mc Cormac 2004)

1.2.Descripción de los métodos de cálculo de área

La elección de un método para calcular el área, dependerá del tipo de superficie que

sea, de la exigencia de precisión, de los datos de que se disponga, u otros. Los métodos,

en general para determinar áreas se clasifican en:

Métodos Numéricos

Métodos Analíticos

Métodos Gráficos

Métodos Mecánicos

Los métodos numéricos son los que se basan en la determinación de las superficies

directamente a partir de los datos tomados en el trabajo de campo, siendo los más

precisos. Entre ellos están la descomposición en triángulos y el método de radiación.

Los métodos analíticos son los que se basan en la determinación de las superficies a

partir de las coordenadas cartesianas de los vértices de las figuras cuya superficie se

pretende calcular, entre estos métodos encontramos a Bezout, Simpson y Gauss.

Los métodos gráficos se basan en el cálculo de las superficies a partir de datos tomados

gráficamente de un plano.

Los métodos mecánicos son los que se basan en el cálculo de la superficie, en un plano

utilizando instrumentos mecánicos denominados planímetros o superficiómetros.

Para el cálculo del área del terreno especificado utilizaremos la fórmula de Gauss,

debido a que radiamos la superficie a calcular para conseguir los datos de campo; es

decir, contamos con las coordenadas este y norte (las cuales consideraremos

cartesianas), donde el área que hallaremos será una buena aproximación al área real, ya

que con la ayuda de este método el área que hallaremos será la de el polígono cerrado

más cercano a la verdadera forma que tiene el terreno real.

9

Luego de hallar el área del terreno mediante la fórmula de Gauss, compararemos estos

resultados con aquellos obtenidos mediante el uso de los software los cuales tienen una

precisión mayor para así establecer comparaciones entre estos métodos.

1.2.1. La fórmula de Gauss

Este método establece que para calcular la superficie de cualquier tipo de polígono

conociendo las coordenadas de sus vértices, el área estará dada por la siguiente fórmula:

Donde “n” es el número de vértices del polígono.

1.3.Descripción de equipos e instrumentos topográficos y de medida.

1.3.1. LA ESTACIÓN TOTAL

La estación total es un instrumento, evolución del

taquímetro electrónico, diseñado para la medida

electrónica de distancias, tanto geométricas como

reducidas, así como el cifrado de ángulos verticales

y horizontales.

Se denomina estación total a un aparato electro-

óptico utilizado en topografía, cuyo funcionamiento

se apoya en la tecnología electrónica.

Algunas de las características que incorpora, y con

las cuales no cuentan los teodolitos, son una pantalla

alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de

avisos, iluminación independiente de la luz solar,

calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de

trayectoria) y en formato electrónico, lo cual permite

utilizarla posteriormente en ordenadores personales.

Vienen provistas de diversos programas sencillos

que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en campo, replanteo de

puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias

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FUNCIONAMIENTO

Vista como un teodolito; una estación total se compone de las mismas partes y funciones.

El estacionamiento y verticalización son idénticos, aunque para la estación total se cuenta

con niveles electrónicos que facilitan la tarea. Los tres ejes y sus errores asociados también

están presentes: el de verticalidad, que con la doble compensación ve reducida su influencia

sobre las lecturas horizontales, y los de colimación e inclinación del eje secundario, con el

mismo comportamiento que en un teodolito clásico, salvo que el primero puede ser

corregido por software, mientras que en el segundo la corrección debe realizarse por

métodos mecánicos.

El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas realizadas en discos

transparentes. Las lecturas de distancia se realizan mediante una onda electromagnética

portadora (generalmente microondas o infrarrojos) con distintas frecuencias que rebota en

un prisma ubicado en el punto a medir y regresa, tomando el instrumento el desfase entre

las ondas. Algunas estaciones totales presentan la capacidad de medir "a sólido", lo que

significa que no es necesario un prisma reflectante.

Este instrumento permite la obtención de coordenadas de puntos respecto a un sistema local

o arbitrario, como también a sistemas definidos y materializados. Para la obtención de estas

coordenadas el instrumento realiza una serie de lecturas y cálculos sobre ellas y demás

datos suministrados por el operador. Las lecturas que se obtienen con este instrumento son

las de ángulos verticales, horizontales y distancias. Otra particularidad de este instrumento

es la posibilidad de incorporarle datos como coordenadas de puntos, códigos, correcciones

de presión y temperatura, etc.

La precisión de las medidas es del orden de la diezmilésima de gonio en ángulos y de

milímetros en distancias, pudiendo realizar medidas en puntos situados entre 2 y 5

kilómetros según el aparato y la cantidad de prismas usada.

1.3.2. EL TRÍPODE

Es un instrumento que tiene la particularidad de

soportar un equipo de medición como un nivel,

teodolito o una estación total, su manejo es sencillo,

pues consta de tres patas que pueden ser de madera o

de aluminio, las que son regulables para así poder

tener un mejor manejo para subir o bajar las patas que

se encuentran fijas en el terreno. El plato consta de un

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tornillo el cual fija el equipo que se va a utilizar para hacer las mediciones.

1.3.3. CINTA MÉTRICA

Instrumento usado para medir distancias , fabricadas

en plástico, tela, fibra de vidrio, acero, cromo,

aluminio o aleaciones especiales como el invar, son

enrollables y puede tener o no carcasa, estas últimas

se denominan rodetes, mango, manivela y

enrollamiento. Su longitud varía entre los 10m hasta

100m. Las únicas que se consideran como

instrumentos de precisión son las metálicas.

1.3.4. PRISMAS

Son espejos formando un triedro que reflejan la señal de

luz emitida por la estación o distanciómetro. Se montan

sobre los jalones y pueden llevar asociados una señal de

puntería.

1.3.5. JALONES

Son bastones metálicos, pintados cada 10cm de colores

rojo y blanco. Sirven para visulizar puntos en el terreno

y hacer bien las punterias. También sirven de soporte a

los prismas en la medición electromagnética de

distancias. Suelen llevar adosado un pequeño nivel

esferico, para controlar su verticalidad.

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1.4.Descripción del software en el uso de cálculo de área

Para hallar el área de un determinado terreno utilizando el software se hicieron los

siguientes pasos:

1. Definir el programa; para este caso el software escogido y utilizado fue el

AUTOCAD.

2. Luego medir el área del terreno en físico (levantamiento topográfico)

3. Llevar las medidas y sus coordenadas hacia el programa.

4. Trazar el polígono.

5. Determinar el área mediante comandos especializados que el programa posee.

6. Dibujar el proyecto requerido.

FIGURA Nº 01: Área calculada mediante el software AutoCad

13

En el caso del Topocal, los resultados obtenidos con la ayuda de ese software fueron:

Nº de vertices: 33

Longitud horizontal: 108.391 m.

Longitud geométrica: 108.442 m.

Superficie: 832.85m2

II. CÁLCULOS Y RESULTADOS

2.1.Desarrollo del calculo

2.1.1. Datos recolectados

Para recolectar los datos para el cálculo del área del terreno, lo primero que hicimos fue

ubicar la estación total en una esquina fuera del terreno y consideramos esas coordenadas

referenciales como el origen de coordenadas, es decir el punto (0,0); posteriormente

nivelamos la estación total y empezamos a radiar los puntos pertenecientes al terreno.

En el terreno llegamos a tomar 33 puntos los cuales consideramos principales para el

cálculo del área del terreno mediante la fórmula de Gauss.

Estos datos se muestran en el siguiente cuadro:

Cuadro N°1: Datos extraídos de la estación total.

Punto Coord. Este

(m)

Coord. Norte

(m)

Cota

(msnm) Descripción

1 7.867 14.555 50.236 Terreno

2 9.149 19.581 50.268 Terreno

3 11.288 22.403 50.298 Terreno

4 14.383 23.995 50.351 Terreno

5 14.874 29.237 50.28 Terreno

6 17.221 35.136 50.522 Terreno

7 20.431 36.457 50.183 Terreno

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8 25.22 38.323 50.222 Terreno

9 28.767 39.307 50.262 Terreno

10 31.564 38.532 50.227 Terreno

11 34.269 37.915 50.234 Terreno

12 35.83 36.547 50.151 Terreno

13 38.136 35.046 50.178 Terreno

14 40.208 35.03 50.185 Terreno

15 41.826 34.233 50.157 Terreno

16 42.6 31.425 50.138 Terreno

17 43.667 29.146 50.172 Terreno

18 44.29 27.003 50.07 Terreno

19 43.784 24.642 49.979 Terreno

20 42.079 20.955 49.938 Terreno

21 38.476 17.341 49.92 Terreno

22 35.542 13.708 49.952 Terreno

23 31.118 10.274 49.826 Terreno

24 26.709 7.96 50.158 Terreno

25 23.328 5.969 50.079 Terreno

26 20.36 4.777 50.144 Terreno

27 19.105 4.224 50.123 Terreno

28 17.804 5.421 50.209 Terreno

29 17.007 8.113 50.119 Terreno

30 14.739 9.175 50.257 Terreno

31 12.258 10.688 50.219 Terreno

32 10.645 12.292 50.201 Terreno

33 8.093 13.016 50.193 Terreno

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Para el cálculo del área del terreno los puntos en el eje X están representados por las

coordenadas en el este, mientras que los puntos en el eje Y están representados por las

coordenadas en el norte.

La cota representa la altura en la que se encuentra el terreno con respecto al mar y en este

caso las cotas de este terreno indican que este se encuentra casi nivelado.

Los datos puestos en el TopoCal se muestran de una manera similar en el siguiente cuadro:

Nº X Y Z Nombre D.Parcial D.Origen

1 7.867 14.555 50.236 1 0 0

2 9.149 19.581 50.268 2 5.187 5.187

3 11.288 22.403 50.298 3 3.541 8.728

4 14.383 23.995 50.351 4 3.48 12.208

5 14.874 29.237 50.28 5 5.265 17.473

6 17.221 35.136 50.522 6 6.349 23.822

7 20.431 36.457 50.183 7 3.471 27.293

8 25.22 38.323 50.222 8 5.14 32.433

9 28.767 39.307 50.262 9 3.681 36.114

10 31.564 38.532 50.227 10 2.902 39.016

11 34.269 37.915 50.234 11 2.774 41.791

12 35.83 36.547 50.151 12 2.076 43.866

13 38.136 35.046 50.178 13 2.751 46.618

14 40.208 35.03 50.185 14 2.072 48.69

15 41.826 34.233 50.157 15 1.804 50.494

16 42.6 31.425 50.138 16 2.913 53.406

17 43.667 29.146 50.172 17 2.516 55.923

18 44.29 27.003 50.07 18 2.232 58.154

19 43.784 24.642 49.979 19 2.415 60.569

16

20 42.079 20.955 49.938 20 4.062 64.631

21 38.476 17.341 49.92 21 5.103 69.734

22 35.542 13.708 49.952 22 4.67 74.404

23 31.118 10.274 49.826 23 5.6 80.005

24 26.709 7.96 50.158 24 4.979 84.984

25 23.328 5.969 50.079 25 3.924 88.908

26 20.36 4.777 50.144 26 3.198 92.106

27 19.105 4.224 50.123 27 1.371 93.477

28 17.804 5.421 50.209 28 1.768 95.245

29 17.007 8.113 50.119 29 2.808 98.053

30 14.739 9.175 50.257 30 2.504 100.557

31 12.258 10.688 50.219 31 2.906 103.463

32 10.645 12.292 50.201 32 2.275 105.738

33 8.093 13.016 50.193 33 2.653 108.391

2.1.2. Plano y el área total

El plano que se muestra a continuación queda ubicado digitalmente dentro del terreno

radiado y corresponde al diseño del possible terreno para el uso recreativo de los

estudiantes de la E.A.P. de Ciencias de las comunicación de la UNS.

17

FIGURA Nº 02: Plano del proyecto de la obra

El area total del terreno radiado corresponde a 832.85 m2, valor hallado con la ayuda de los

software ya mencionados, el AutoCad y el TopoCal, ya que son valores más aproximados

al valor real correspondiente.

18

2.2. CÁLCULOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y ANALÍTICOS

Para realizar el cálculo del área del terreno utilizamos la fórmula de Gauss:

Luego de reemplazar estos valores, es decir las coordenadas en el este vendrían a ser los xi,

mientras que las coordenadas en el norte vendrían a ser los yi, el área calculada fue de

800,88 m2.

III. CONCLUSIONES

Mediante el uso de software (AutoCad y TopoCal) se ha llegado a la conclusión de que

el área a utilizar es de 832.85m2, teniendo así el valor real, y mediante el uso de la

fórmula de Gauss se determinó que el área es de 800.88 m2, se usó ese método ya que la

distancia entre los puntos usados como eje X es discontinua, es decir hay un “h”

variable, por lo que el método de Simpson o del trapecio no son adecuados; además de

que los datos obtenidos en campo fueron coordenadas en el este y el norte, lo que hizo

más propicio el uso del método de Gauss para el cálculo de áreas.

Los resultados obtenidos con el uso de software son los mismos, lo que indica que

probablemente usen el mismo algoritmo o uno muy similar para el cálculo de áreas.

IV. BIBLIOGRAFÍA

Mc Cormac, Jack. Topografía. México: Limusa S.A., 2004.

Chapra Canale. Método Numéricos para Ingenieros. México: Mc Graw-Hill Interamericana Editores.