monografÍa de matemÁtica
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Título
ANÁLISIS DINÁMICO DE LA BIELA MANIVELA Y LA
TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA A ENERGÍA
ELÉCTRICA, PARA UN MEJOR FUNCIONAMIENTO DE UNA
ASPIRADORA.
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
¿EN QUÉ MEDIDA PODEMOS REALIZAR UN MODELO
MATEMÁTICO PARA ANALIZAR LA VELOCIDAD, LA ACELERACIÓN
Y TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA PARA UN MEJOR
FUNCIONAMIENTO DE LA BIELA MANIVELA CON RESPECTO A UN
PISTÓN EN UNA ASPIRADORA?
Código del candidato: 004727 - 0006
N.° de palabras:4000
Supervisor: José Chapoñan
Chiclayo, Perú
MONOGRAFÍA DE MATEMÁTICA
Convocatoria: noviembre 2020
AGRADECIMIENTO
Agradezco de manera cordial a mi supervisor: José Chapoñan que me ayudó a
enfocarme mejor en el tema elegido, y poder aceptar mi idea al principio y así
poder combinar la matemática y física con lo que quiero estudiar en el futuro,
qué es ingeniería mecánica. También, al profesor José Rubio, por asesorarme y
ayudarme con consejos y recomendaciones sobre la transformación de energía.
Sinceramente, este proyecto es complicado, pero con las ganas, esmero,
responsabilidad y dedicación que mantuve a lo largo del proyecto pude afrontar
este proyecto de la mejor manera y aprender un poco más de la aplicación de la
matemática en casos reales. Me apoyaron y me dieron una idea de cómo puedo
modelar y acomodar esta aplicación.
Además, debo de agradecer a mis amigos que no pertenecen a la escuela,
porque me dieron a entender un poco más el tema de matemática, porque eran
temas antiguos que había aprendido en el colegio y un tema nuevo que fue el
uso de las derivadas, a lo largo del tiempo se hacían más fáciles y manejables.
Finalmente, agradecer a todos los que me apoyaron porque hacían aportes a la
revisión, corrección, de principio a fin.
RESUMEN
Este trabajo se refiere a responder a la pregunta ¿En qué medida podemos
realizar un modelo matemático para analizar la velocidad, la aceleración y
transformación de energía para un mejor funcionamiento de la biela manivela
con respecto a un pistón en una aspiradora?
Decidí realizar este proyecto, porque mis cursos preferidos son matemática y
física, y quiero estudiar ingeniería mecánica, entonces relacioné estos 3
aspectos para saber los datos necesarios de la biela manivela en una aspiradora
y así apoyar a mi comunidad que no tiene conocimientos de tecnología.
Este trabajo, tratará sobre la aplicación de las matemáticas para resolver
problemas reales y abstractos, y analizaré cuáles son las mejores dimensiones
para un mejor rendimiento de la aspiradora. Con este modelamiento matemático,
se podrá apreciar cómo es importante la velocidad con respecto al ángulo, la
aceleración con respecto al ángulo y las fórmulas de la transformación de
energía. La propuesta que se lanza, es el análisis del dispositivo biela manivela
en vista práctico y dar a conocer como con dimensiones simples se puede llegar
a la transformación de energía.
Este trabajo estará divido en tres capítulos para responder la pregunta de
investigación. El primer capítulo abarcará toda la historia, la evolución de la biela
manivela, el descubrimiento de los dos tipos de energías. Con respecto al
segundo capítulo, abarcará sobre los conceptos de las partes de la biela
manivela, el funcionamiento, la relación con la velocidad, aceleración,
dimensiones y la transformación de energía. En el tercer capítulo, con lo hallado
en el segundo capítulo se trabajará la transformación de energía.
INTRODUCCIÓN
En Matemáticas NM, estudiamos cálculo en el segundo año de IB. Utilizamos las
derivadas, límites, trigonometría, pero sólo nos dejan algunas fichas y libros, pero
no sabemos cómo aplicarlo en la vida real. Tenemos que estudiar estos temas a
profundidad, para poder conocer más el mundo y la importancia de las
matemáticas.
Este método de las derivadas es utilizado en la física, para hallar las
velocidades y las aceleraciones. Sin embargo, en física, realizamos varios
experimentos, y nos damos cuenta de que cada tema tiene un objetivo en el
mundo que nos rodea.
Por estas razones, en esta investigación se pretende investigar el uso de las
derivadas en los objetos que nos rodean, y que pueda servir a toda mi
comunidad, ya sean mis familiares y amigos. Para profundizar este tema, he
decidido conveniente trabajar con mi aspiradora, que nos ayuda en la limpieza
de mi casa.
El objetivo de este trabajo es estudiar y describir el mecanismo biela-manivela y
sus principales aplicaciones, que ayuden a mi comunidad y determinar las
ecuaciones de las posiciones críticas del pistón, sus aceleraciones; velocidades;
cantidad de movimiento y la transformación de la energía mecánica a eléctrica.
En este proyecto utilizaremos matemática y física, para así poder realizar la
transformación de energía. Tendremos que utilizar algunos temas de
matemáticas, como, ecuaciones del movimiento de dispositivos que usan el
mecanismo Biela-manivela; movimiento circular; movimiento rectilíneo;
derivadas; geometría y trigonometría. Y en física, los temas de energía potencial,
cinética, energía mecánica y lo que corresponde a electromagnetismo.
En este modelamiento matemático se apreciará la importancia del ángulo, para
hallar el funcionamiento. Se hará un análisis y modelamiento en Geogebra,
dando a conocer la fórmula de posición del pistón referido al punto medio,
velocidad y aceleración de la biela manivela.
Índice
Agradecimientos ............................................................................................... 1
Resumen .......................................................................................................... 2
Introducción ...................................................................................................... 3
1. Capítulo 1: Descubrimiento de los algoritmos que describe el
funcionamiento de biela manivela ...................................................................... 8
1.1. Descubrimiento de la velocidad ............................................................. 8
1.2. Descubrimiento de la energía cinética:........................................................... 8
1.3. Descubrimiento de la energía potencial ......................................................... 9
1.4. Descubrimiento de la energía mecánica ........................................................ 9
1.5. Corriente alterna ............................................................................................. 9
1.6. Historia de la energía eléctrica ...................................................................... 9
2. Capítulo 2 ......................................................................................................... 10
2.1. Descripción y aplicación de la biela manivela ...................................... 10
2.2. Funcionamiento de las partes de la biela manivela ................................... 10
2.3. Relación proporcional del radio y la longitud de la biela de 3 a 5: ........ 11
2.4. Descripción de la aspiradora Electrolux SON 10 Sonic ........................ 11
2.5. Imagen 1: Ficha técnica de la aspiradora. ................................................. 11
2.6. Imagen 2: Aspiradora Electrolux Beetle. ................................................... 12
2.7. Características de la biela manivela. .................................................... 12
2.8. Imagen 3: Diseño y simulación de la biela manivela en GeoGebra: .... 13
2.8.1 Imagen 4: Simulación en GeoGebra con ángulo de 38 grados. ........... 13
2.8.2 Imagen 4.1: Simulación en GeoGebra con ángulo de 73 grados. ..... 14
2.8.3 Imagen 4.3: Simulación en GeoGebra con ángulo de 105 grados. .... 15
2.8.4 Imagen 4.4: Simulación en GeoGebra con ángulo de 181 grados. ..... 16
2.9. Desarrollo matemático para hallar la posición del pistón referido al punto
medio: ...................................................................................................... 17
2.9.1 Expresar en función de ............................................................................ 17
2.10. Imagen 5: Modelamiento en GeoGebra utilizando la fórmula de n. ..... 18
2.11 Hallar la velocidad angular. ..................................................................... 19
2.12 Desarrollo matemático para hallar la velocidad de la biela manivela ...... 19
2.12.1 Descripción de la velocidad instantánea: ...................................................... 20
2.13 Derivamos la función de la posición del pistón referido al punto muerto ... 20
2.13.1 Factorizar r de la función anteriormente hallada, para hallar la velocidad:
......................................................................................................................... 20
2.14 Imágenes 6: Modelamiento en GeoGebra de la velocidad, reemplazando
los valores de los ángulos en la fórmula de velocidad: .................................... 21
2.15 Desarrollo matemático para hallar la aceleración: ................................... 22
2.15.1 Derivación de la velocidad .................................................................... 23
2.16 Imagen 7: Modelamiento de la velocidad en GeoGebra. ........................ 23
3. Capítulo 3 ................................................................................................. 25
3.1. Esquema general de la transformación de energía mecánica a eléctrica.
................................................................................................................. 25
3.2. Suministro de energía mecánica y salida de energía eléctrica ........... 25
3.3. Máquinas eléctricas rotativas .............................................................. 26
3.4. Generador eléctrico: ............................................................................ 27
3.5. Corriente alterna: .................................................................................. 27
3.6 Variable de entrada y salida ....................................................................... 28
3.6.1 Imagen de características del generador ................................................ 28
3.7 Desarrollo matemático de la energía mecánica ........................................ 29
3.8 Imagen de la función seno de la corriente alterna. ..................................... 29
3.9 Ley de Ohm ................................................................................................ 30
3.10 Conclusiones ............................................................................................ 31
3.10.1 Ecuaciones del equilibrio: ...................................................................... 32
CAPÍTULO 1: DESCUBRIMIENTO DE LOS ALGORITMOS QUE
DESCRIBE EL FUNCIONAMIENTO DE BIELA MANIVELA
1. Descubrimiento de la velocidad:
Existió un científico, llamado Galileo Galilei, el cuál había realizado un
experimento y su objetivo fue analizar el movimiento del plano inclinado, y con
varios intentos, intentó realizar el concepto de la velocidad. Él, trabajó con un
objeto, y desarrolló que la velocidad es la razón entre la distancia recorrida y el
tiempo que emplea en hacerla. Para esto, Galileo Galilei trabajó midiendo la
distancia y tomó el tiempo. Pero, muchos mencionan, que su investigación no
tenía buenos resultados, porque, carecía del apoyo del procedimiento
matemático, le resultaba difícil hallar con datos que no eran constantes. Pero
alrededor del siglo XVI, se descubrió el cálculo y permitió la eficacia de la
aplicación de la matemática en el mundo real, los dos científicos que hallaron
esto fueron Isaac Newton y Gottfried Leibniz, los cuales tuvieron el objetivo de
hallar la velocidad instantánea de un objeto, el cuál es la derivada del lugar o
posición del cuerpo con respecto al tiempo.
1.2 Descubrimiento de la energía cinética
La energía cinética fue descubierta por el físico Gaspard Coriolis, en 1829, en el
cuál en sus experimentos llega a una conclusión que la energía cinética se
transforma y transforma otros tipos de energía. También se usa el cálculo en la
energía cinética, pero depende del tamaño y velocidad, en este caso utilizaremos
la mecánica clásica de Newton, porque la velocidad es menor a la de la velocidad
de la luz.
1.3Descubrimiento de la energía potencial
El físico que hizo varios experimentos sobre la energía potencial es William
Rankine, que, en 1853, dio a conocer este tema importante, que hace relación a
la gravedad, altura y masa. Se dice que la energía potencial se utiliza en
sistemas donde interactúan fuerzas disipativas.
1.4Descubrimiento de la energía mecánica:
El físico James Joule, relacionó el magnetismo con el trabajo mecánico y con
estos dos aspectos, se llega a la teoría de la energía. En sí la energía mecánica,
guarda una relación con la energía cinética y potencial. Ambos trabajan con un
cuerpo, el cual tiene masa, velocidad y posición.
1.5Corriente alterna:
Nicola Tesla, en el 1882, desarrolló un motor con inducción de la corriente
alterna. Muchos años después, utilizaron este descubrimiento para poder
interactuar dos circuitos eléctricos separados, por el medio de la inducción de la
corriente alterna. Estos funcionaron, porque era mejor que la corriente continua,
ya que, la corriente alterna permitía el paso de la potencia.
1.6Historia de la energía eléctrica:
Se dice que los antiguos egipcios, ya habían encontrado de una manera la
electricidad, mediante los peces, porque estos transmitían una descarga
eléctrica. Posteriormente, se habían realizado proyectos sobre la electricidad y
magnetismo, pero fue Maxwell, aquel que juntó llamándolos como fenómenos
electromagnéticos.
CAPÍTULO 2
2.1 Descripción y aplicación de la biela manivela
El mecanismo biela manivela es un método mecánico que tiene como principal
manejo cambiar un desplazamiento rotatorio en uno recto uniforme o constante
y, al contrario. El siguiente tema se puede aplicar en la ingeniería y en la
transformación del mundo, como en la producción de motores de combustión
interna, pistones y en compresores.
2.2. Funcionamiento de las partes de la biela manivela
En este caso la manivela, que es la parte que gira, también, tiene un cilindro que
es una guía rectilínea que se une mediante la biela. Además, las manivelas se
encuentran junto al eje. La recta se usa para equilibrar la dificultad de laterales
que se generan de las diferentes direcciones de la fuerza que se ejerce sobre el
pistón. Para equilibrar tendremos en cuenta diferentes maneras, en las grandes
máquinas, el pistón se encuentra junto a una línea recta y perpendicular, que con
la ayuda de una cruceta se apoya a la manivela; para poder aprender mejor,
podemos tener una manera fácil que trata en desviar el cuerpo correspondiente
al giro del cigüeñal. Para así tener claro que el ángulo de biela tenga una relación
con el cilindro, ya que, si hay más, va a haber menor en la siguiente carrera. Por
otro lado, sabemos que fuerza lateral presentaba una relación, sobre la presión
que se ejerce en el pistón y la pendiente de la biela. Finalmente, se puede
presentar una reducción de la fuerza, cuando la pendiente es menor en la fase
de expansión.
El eje organiza un giro que se transfiere a la manivela, la manivela transforma el
movimiento giratorio del eje en uno circular. La cabeza de la biela, está unida a
la manivela y genera un movimiento circular. Entonces, en el movimiento circular,
se puede visualizar que la cabeza y el pie de la biela generan un movimiento
lineal alternativo. Al transformar el movimiento giratorio en alternativo, el eje es
el elemento motriz, y el pie se conecta a la potencia útil.
2.3 Relación proporcional del radio y la longitud de la biela de 3 a 5:
El movimiento del pistón no es regular, al tener la relación del radio y longitud,
se aleja a un movimiento armónico, para tener una simetría en donde se ve el
incremento de la relación X.
Para que el sistema funcione de la mejor manera posible, la relación entre el
radio y la longitud deben ser 4 veces el radio, pero se calcula y se recomienda
que sea de 3 veces a 5 veces, incluyendo el 4 veces. En este caso vamos a dar
el ejemplo, con 4 veces. (r=10 y z=40)
2.4 Descripción de la aspiradora Electrolux SON 10 Sonic
En esta parte, vamos a describir la aspiradora con la cual trabaré.
2.5 Imagen 1: Ficha técnica de la aspiradora.
Se puede dar a conocer que el voltaje es 220 V, la frecuencia es 60 Hz y potencia
1400 W. Estos datos, nos permitirá trabajar más adelante.
2.6 Imagen 2: Aspiradora Electrolux Beetle.
Esta imagen es de la aspiradora con la que se va a trabajar el proyecto. Para
comprobar que el proyecto es del alumno y que se trabaje con una aspiradora
de mi casa.
2.7 Características de la biela manivela:
Frecuencia: 50 / 60 Hz es recomendable, en este caso trabajaremos con 60 Hz.
Masa de la aspiradora (kg): 4 kg
2.8 Imagen 3: Diseño y simulación de la biela manivela en GeoGebra:
En esta parte de la monografía se analizará las siguientes imágenes que
consisten en la simulación de la biela manivela en GeoGebra con respecto a la
velocidad. En general, se reemplazarán los ángulos presentados en la animación
en la fórmula de la velocidad. Una posible hipótesis, es que, a más valor del
ángulo, hay más velocidad. Finalmente, tenemos se debe tomar en cuenta lo
más importante y es que hay una velocidad máxima y se verificará si las
velocidades de esta simulación cumplen con el valor de límite. El valor límite de
la velocidad en esta aspiradora es 8000.
z longitud de la biela
r radio de la biela
m carrera de pistón
n posición del pistón referido al punto medio
ángulo que va junto al eje x y la circunferencia pequeña
ángulo que va al otro extremo del
triángulo
2.8.1 Imagen 4: Simulación en GeoGebra con ángulo de 38 grados.
12(38)
4120 10(( (38) )2
17400.14328
senv sen
v
En este caso, se va a analizar solamente la fórmula de la velocidad, donde se
puede observar que se ha a reemplazar sólo el ángulo, y se puede ver el
recorrido y el rastro del pistón, como se ve en la figura, dando a conocer el
movimiento circulatorio. El ángulo es muy importante, porque, en este caso sí
se cumple con la hipótesis planteada y se verifica que a más ángulo hay más
velocidad. Pero con lo que no se cumple, es con el valor de la velocidad.
Porque el límite es de 8000, y este valor sorpresa, ya que el resultado final es
de 17.400.
2.8.2 Imagen 4.1: Simulación en Geogebra con ángulo de 73 grados.
12(73)
4120 10(( (73) )2
28728.861
senv sen
v
El ángulo es muy importante, porque, en este caso sí se cumple con la
hipótesis planteada y se verifica que a más ángulo hay más velocidad. Pero
con lo que no se cumple, es con el valor de la velocidad. Porque el límite es de
8000, y este valor sorpresa, ya que el resultado final es de 28728.
2.8.3 Imagen 4.3: Simulación en GeoGebra con ángulo de 105 grados.
12(105)
4120 10(( (105) )2
41333.28151
senv sen
v
El ángulo es muy importante, porque, en este caso sí se cumple con la
hipótesis planteada y se verifica que a más ángulo hay más velocidad. Pero
con lo que no se cumple, es con el valor de la velocidad. Porque el límite es de
8000, y este valor sorpresa, ya que el resultado final es de 41333.
2.8.4 Imagen 4.4: Simulación en GeoGebra con ángulo de 181 grados.
12(181)
4120 10(( (181) )2
74027.49484
senv sen
v
El ángulo es muy importante, porque, en este caso sí se cumple con la
hipótesis planteada y se verifica que a más ángulo hay más velocidad. Pero
con lo que no se cumple, es con el valor de la velocidad. Porque el límite es de
8000, y este valor sorpresa, ya que el resultado final es de 74027.
En estas imágenes se demuestran una simulación en GeoGebra, considerando
como el diseño de la biela manivela y podemos visualizar que se describen todas
las posiciones de la biela manivela y con las variables que se utilizarán, para
señalar cada parte. Asimismo, se describe gráficamente, lo anteriormente
mencionado en el marco teórico. También se da a conocer como se mueve la
corredora, con la ayuda del deslizador, variando los ángulos para mostrar el
recorrido, y se demuestra un movimiento circular donde participa el radio, para
mover el cuerpo junto a la biela. Se observa que el pistón, se mueve en dos
distancias, m y n, donde el primero es la carrera del pistón y el n es la posición
del pistón referido al punto medio. Pero dentro de estas simulaciones, ningún
valor cumple con la velocidad máxima para el mejor funcionamiento de la
velocidad.
2.9 Desarrollo matemático para hallar la posición del pistón referido
al punto medio:
2.9.1 Expresar en función de
También, realizamos el cambio de variable:
r
z
2 2
( ) ( )
( ) ( )
Cos( ) (1 ( ))
rsen sen
z
sen sen
sen I
Ecuación I que relaciona la posición del pistón en función del ángulo girado
.
Una vez se ha llegado a este punto, se aplican conocimientos sobre la geometría
del sistema, donde la relación del cambio de variable adquiere un valor relevante.
Para un funcionamiento óptimo, la mayoría de estos sistemas de biela manivela
presentan una relación de cambio de variable entre ⅓, como valor límite y ⅕,
garantizando así el funcionamiento uniforme. Pero, en este caso, trabajaremos
con la relación de 1 a 4, donde el radio es 1 y la longitud es 4.
Esta solución se refiere a posición del pistón referido al punto medio.
2 2(1 cos( )) (1 (1 ( )))
10
40
1 1
3 5
n r z sen
r
z
r
z
2150 10 cos( ) 40 (1 (1 ( )))
16n sen II
2.10 Imagen 5: Modelamiento en GeoGebra utilizando la fórmula de n.
Modelamiento de GeoGebra, reemplazando los valores de los ángulos en la
fórmula anterior y llegar a conocer los valores del eje y, colocando puntos, y ver
con qué ángulos. Esta solución se refiere a posición del pistón referido al punto
medio. En donde el punto G, alcanza el valor máximo, el cual equivale a 35
grados, obteniendo como valor n, 19.3.
2.11 Hallar la velocidad angular.
Se debe saber que la velocidad angular es una constante, por lo tanto, se
considera que en varios motores la velocidad estándar, guarda una relación con
la frecuencia standard que es 60. Se relaciona con el .
Entonces, la velocidad angular en este proyecto es importante, porque al realizar
la simulación en GeoGebra, nos podemos dar cuenta que es la medida de
velocidad de rotación y su unidad de medida es radián por segundo.
Para eso primero, se debe hallar la velocidad angular.
( )
( )
60
2
2 60
120
d
d t
f
f
De esta manera, la velocidad angular es fundamental, porque se utiliza como
frecuencia 60, entonces, es el valor indicado.
2.12 Desarrollo matemático para hallar la velocidad de la biela
manivela:
El siguiente método es para hallar la velocidad, se trabajará con el cambio de
variable, que se relaciona con el radio y se realizará con la longitud y el radio. un
modelado en GeoGebra. También se trabajará con la ecuación o algoritmo de
posición del pistón referido al punto medio
2.12.1 Descripción de la velocidad instantánea:
La velocidad instantánea se refiere a la relación entre la posición y el tiempo, se
dice que es la derivada que guarda relación con el vector posición y tiempo.
( )
( )
dn dn dV
dt d dt
Luego, tenemos que usar la fórmula del cambio de variable, en donde el omega
pasa a dividir y despejamos la Z.
1
2 2 2
:( )
:
cos( ) ((1 ( ))
dnHALLAMOS
d
rSUSTITUYENDO Z
r rn r r sen
2.13. Derivamos la función de la posición del pistón referido al punto
muerto.
1
2 2 21
( ) ((1 ( )) 2 ( ) cos( )( ) 2
dn r rrsen sen sen
d
2
2 ( ) cos( )( )
( ) 2 (1 ( ))
dn r senrsen
d sen
2.13.1 Factorizar r de la función anteriormente hallada, para hallar la
velocidad:
" ":
2( ( ) )
( ) 2
:
2(( ( ) )
2
12
4120 10(( ( ) )2
Factorizando r
dn senr sen
d
FINALMENTE
senV r sen
sen
V sen III
2.14 Imágenes 4: Modelamiento en GeoGebra de la velocidad,
reemplazando los valores de los ángulos en la fórmula de velocidad:
En este caso, se han colocado dos imágenes del modelado porque los valores
son demasiados y no alcanzan en una misma imagen, entonces, se ha colocado
de la siguiente manera, se han colocado los valores de los ángulos desde 5
grados hasta 180 grados, con una razón aritmética de 5. Al ser velocidad, solo
tenemos que tomar los valores positivos. Se pueden observar cual es el punto
más alto, el cual es la velocidad Max; el cuál es el ángulo de 20 grados y la
velocidad de 3792.85 y el punto mínimo es la velocidad mínima; con 135 grados
y la velocidad de 250.8. Se comprueba que, al estar en función de la longitud, se
comprueba que se llega la máxima, cuando el brazo de la manivela y la biela son
perpendiculares. Entonces llegamos a la conclusión que, si la biela es corta con
respecto al brazo de la manivela. Si es elevada, la velocidad será mayor, y más
baja si la inclinación es poca. Y por último que el valor máximo de este análisis
cumple con los requisitos de la velocidad máxima de aspiradores en general, el
cual es 8000.
2.15 Desarrollo matemático para hallar la aceleración:
Para hallar la aceleración se requiere del manejo de las derivadas, en sí se
reemplazan los valores anteriores, como la velocidad angular que es una
constante, el radio, y la fórmula de la velocidad. También es la derivada de la
velocidad, sobre la derivada del tiempo, que después se multiplica la derivada
de la velocidad sobre la derivada del ángulo por la derivada del ángulo sobre la
derivada del tiempo. En sí, la aceleración es como un vector, una magnitud
derivada que da a conocer el resultado de una varianza de la velocidad por
unidad de tiempo. Con respecto a la mecánica de Newton, mencionado en el
capítulo 1, se da a conocer con su módulo y la aceleración guarda una relación
con la distancia en metros y el tiempo en segundos.
:
( )
( )
( )
2( ( ) )
2
ACELERACIÓN
dv dv da
dt d dt
d
dt
senV r sen
2.15.1 Derivación de la velocidad:
2
2
(cos( ) cos 2 2)2
(cos( ) cos(2 )
(cos( ) cos(2 )
1120 10 (cos( ) cos(2 )
4
DERVANDO EN FUNCIÓN DE
dvr
d
dvr
d
a r
a IV
Se ha encontrado la fórmula de la aceleración.
2.16 Imagen 7: Modelamiento de la aceleración en GeoGebra.
En este modelamiento podemos observar que hemos reemplazado los valores
de los ángulos y analizar la función de la aceleración. Como sabemos, al ser
aceleración todos los valores que se deben tomar en cuenta deben ser positivos,
en este caso, la aceleración máxima se encuentra en el punto E, mientras que
en el punto A se encuentra la velocidad mínima. Al ser velocidad, tenemos que
solo tomar en cuenta los valores positivos. La aceleración máxima se relaciona
con 100 grados y tener la aceleración de 1398648. Mientras que la aceleración
mínima se relaciona con 20 grados y la aceleración mínima es de 343008.6. Para
el mejor funcionamiento de la aspiradora es tomar la aceleración máxima para
tener una eficacia, ahorrar tiempo y para que la limpieza sea más rápida.
CAPÍTULO 3:
DISEÑO:
3.1 Esquema general de la transformación de energía mecánica a
eléctrica
El mecanismo de alimentación en la aspiradora es eléctrico, esto sirve para la
automatización de transcurso de máquinas o mecanismo, los cuales facilitan la
electricidad a unidades de evaluación. Con la fuente de alimentación, se
transforma la potencia y la tensión.
3.2 Suministro de energía mecánica y salida de energía eléctrica
Se debe trabajar en base a la velocidad angular y la energía que se alimenta al
mecanismo, al trabajar con esta parte, se debe ir variando estas magnitudes con
el tiempo. Con respecto a la energía mecánica, se debe tener en cuenta, el
desplazamiento en función del tiempo o del ángulo que va a varias en función
del tiempo. Entonces, con la energía mecánica, tenemos que tener la masa de
la aspiradora, la velocidad, en este caso vamos a trabajar con la velocidad
máxima y con altura, que en este caso es la longitud, antes mencionado en el
capítulo 2. Una parte importante, es que la variación de la energía mecánica es
igual a la energía que necesita la aspiradora. Por lo tanto, la energía eléctrica,
hace funcionar una aspiradora.
3.3 Máquinas eléctricas rotativas
Para la transformación de energía mecánica a energía eléctrica y de energía
eléctrica a energía mecánica hay demasiados mecanismos. La composición y
las partes son totalmente diferentes, y también presentan una diferencia en el
movimiento. Por ejemplo, podemos tener transformadores, donde automatizan
la transformación energía constante, además, se presentan otras opciones como
los solenoides, que presentan otro tipo de composición, pero comparten el
mismo objetivo, por último, ambos son percibidos porque lo podemos tocar, en
sí, son físicos.
Para la conducción del lado de la entrada hacia el lado de la salida, se debe
tomar en cuenta, un dispositivo electromecánico de conversión de energía, o
más conocido como un motor, donde genera un trabajo que es recibida por otros
mecanismos y máquinas.
Para poder consumir toda la electricidad, se debe pasar por todo un proceso, en
el cuál, con la ayuda de una turbina se genera la energía mecánica, luego esto
se pasa al generador donde en este caso se trabaja con 10 kv porque no se va
a transmitir por grandes distancias, luego se intercepta con un transformador
elevador con 400 kv, después se transmite a transformador reductor, para que
finalmente sea consumido por los humanos. Finalmente, estos mecanismos
ayudan a los humanos a automatizar a reducir el voltaje para que la electricidad
sea suministrada a las casas, industrias, carros y electrodomésticos. La máquina
más importante de este proceso es el transformador, porque genera una eficacia
en todo el sistema, también se encargaba de tener la seguridad de la
transformación de energía, permitiendo solo lo necesario. La energía llega al
consumidor de manera segura con un máximo de 220 V.
3.4 Generador eléctrico:
El generador eléctrico permite a las personas a poder transformar la energía
mecánica a energía eléctrica, en relación a la aspiradora, se dice que se
completa este proceso con un motor o turbina. Llegando a más profundidad de
desde conocimiento mecánico se sabe que hay dos tipos de máquinas rotativas
y estáticas, en este caso de la biela manivela en la aspiradora, se debe tener en
cuenta que se utiliza un transformador y el recorrido es giratorio, entonces es
una máquina rotativa. Con estas máquinas se pueden desarrollar la corriente
alterna o continua, pero deben tener en cuenta los requerimientos adecuados
para cada necesidad.
3.5 Corriente alterna:
En este apartado hablaremos sobre la generación de corriente alterna (AC) a
partir de la transformación de la energía mecánica que se desprende del
mecanismo Biela Manivela.
Para ello se requiere generar un campo eléctrico a partir de un campo magnético
creado por la agitación de un imán, el cual en estado inerte al ponerse en
contacto con un circuito eléctrico empujará los electrones que circularán por los
cables del circuito en sentidos de ida y vuelta originando la corriente alterna. Esto
se conoce como inducción electromagnética que según lo expuesto ocurre
cuando un campo magnético perturba a un campo eléctrico y viceversa.
Para conseguirlo necesitamos un generador eléctrico cuya función principal es
transformar la energía mecánica en eléctrica.
3.6 Variable de entrada y salida
3.6.1 Imagen de características del generador
Se sabe que todo generador posee dos particiones: la armadura y el rotor y de
manera funcional presenta dos componentes; uno mecánico y otro eléctrico.
El generador a través del rotor recibe la energía mecánica y a las convierte en
energía eléctrica a través de los rodamientos.
La velocidad de giro tiene que mantenerse persistente, y lo que se puede variar
y adaptar a la situación es intensidad del campo magnético de excitación.
También puede ir cambiando los valores del voltaje.
Variable de entrada se comparte la tensión en fuentes relacionadas, luego
con estos valores, se halla la variable de salida.
J. (2017, 13 noviembre). julio_y98tz6z8. Grupoelectrogeno.net.
https://grupoelectrogeno.net/partes-generador-electrico/
Variable de salida se relaciona con los diodos y se ajustan los valores del
voltaje de salida.
3.7 Desarrollo matemático de la energía mecánica:
En este parte de la monografía, vamos a hallar la energía mecánica, el cual,
es primordial recordar lo mencionado en el capítulo 1, que la energía
mecánica es la suma de la energía cinética con la energía potencial.
Utilizaremos la masa de la aspiradora el cual son 4 kg, trabajaremos con la
velocidad máxima, con gravedad y con la longitud de la biela manivela como
la altura.
2
2
12
1398
1
2
14 ( ) 4648 9.81 40
2
3.91 10
Em m v m g h
Em
Em
En esta parte, se analizará los valores de la corriente alterna.
3.8 Imagen de la función seno de la corriente alterna.
Se verán los datos de la ficha técnica.
Rescatando saberes previos - 634 - Operación, Mantenimiento y Ensayos. (s. f.).
Rescatando saberes previos. Recuperado 11 de septiembre de 2020, de
https://sites.google.com/site/634operacion/rescatando-saberes-previos
325Valor máximo V
tan max ( )
220 (120 3600) 0
Valor ins táneo Vi V sen t
Vi sen
( ) 1 3600Periodo T h s
12.77
3600Frecuencia f
En la imagen se observa que se ha realizado una función seno, donde el valor
máximo para varias aspiradoras es de 325 V, y comparando al voltaje de mi
aspiradora, están relacionados, y el voltaje es de 220 V, entonces, sí cumple.
También se verificó el valor instantáneo que deba ser 0, reemplazo el voltaje
de la aspiradora, y una hora, en segundos. Luego, hallamos el periodo,
tomando en cuenta una hora, y finalmente la frecuencia.
3.9 Ley de Ohm
A continuación, se analizará las fórmulas sobre la ley de ohm. Se trabajará
con los datos y verificar si los datos anteriores, fueron bien desarrollados y si
la aspiradora cumple el voltaje y watts.
:
1400 706.36
220 11
Intensidad
P WI A
V V
2
Re :
(220) 24234.6
1400 7
sistencia
VR
P
1400: 220.1257862
6.36
P WTensión V
I A
2
:
( ) (220 )1399 1400
34.6
Potencia
V VP W
R
Con respecto a la intensidad, sí cumple, porque el límite es de 12 A.
También cumple con la resistencia porque el máximo también es de 34 ohm.
Luego, se verificó que la tensión es verdadera de lo de la ficha técnica, con
220 V y finalmente la potencia sí cumple, aproximadamente a lo que puso la
ficha técnica, 1400 es la potencia máxima.
: 1400 3600 5040000Energía eléctrica P t
: 1400 1800 2520000Energía eléctrica P t
3.10 Conclusiones
Finalmente, se concluye que a más tiempo hay más energía eléctrica
y que con simple pasos, hemos llegado a los objetivos de la monografía.
Por otro lado, sí se cumplió con el análisis de la velocidad, aceleración
y el estudio de la energía mecánica y eléctrica. Al principio fue difícil buscar
información, pero con la dedicación y responsabilidad, se pudo culminar de la
mejor manera esta monografía. Lo más fundamental del capítulo 2 del
proyecto fue la relación entre el ángulo y la fórmula de posición, velocidad y
aceleración, se pudo llegar a la conclusión que a más ángulo hay más
velocidad y aceleración. Como se tomaron datos positivos, los datos variaban,
pero sí se llegó al límite, con el modelamiento en GeoGebra.
En el capítulo 3, la parte más fundamental, fue ficha técnica donde
especifican valores de la potencia, voltaje y frecuencia. Con los cálculos
matemáticos, se pudo llegar a rectificar que los valores eran los verdaderos y
que cumplían con el máximo valor de cada aspecto. Tuve, varias limitaciones,
porque en mi país la cuarentena empezó desde marzo y tuve la idea de
desarmar mi aspiradora para tomar las medias exactas con la regla, pero
después, investigando cada día, pude llegar a tener más datos exactos y a
trabajar con este proyecto. Finalmente, deseo expresar mi idea para aquellos
estudiantes universitarios de ingeniería mecánica, invito a ustedes a poder
revisar y usar como base mi monografía y tomar en cuenta el punto 3.8 porque
se hacen uso de ecuaciones más complejas que permiten un grado de análisis
mayor y que se puedan desarrollar en los laboratorios.
3.10.1 Ecuaciones del equilibrio:
Con respecto a la segunda ley de Kirchhoff, se refiere a la ley de las mallas
donde la sumatoria de voltajes es igual a cero.
:
:
Re : tan
l g
Vb Ib Ib wb Er
Segunda ley de Kirchoff
dlbVb Ib Rb Lb
dt
Fuerza de imantación
F Ib wb
lación entre el flujo y fuerza Fuerza de imantación cons te de proporcionalidad
F
Fuerza electromoriz a la salida del rotor de ene
:
/ , tan de t
rador
E K
Er
K
ErF
K
F Erlb
wb K wb
Er Rb Lb dErVb
K wb K wb dt
Lb Rb Tb cons te iempo del circuit oelectromagnético
dErT Er Kr Vb
dt
k wbKr
Rb
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