momentos y centros de masa de una lamina plana de densidad variable
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Calculo vectorial
Momentos Y Centros De Masa De Una Lamina Plana De Densidad Variable.
Alumnos: Manuel ngel pineda bustos 2011131228 Jonathan rojas 2011131235
Cuso: 3AN
Escuela colombiana de carreras industriales Mecnica automotriz 22 de mayo de 2012
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CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA.El centro de masa de una lmina plana es el punto donde el balanceo de la lmina est en equilibrio. El calcular este centro implica el calcular primero su momento (medida de la tendencia de un sistema a girar alrededor de un punto, comnmente llamado origen) y su masa, en donde aplicaremos la integral definida.
MOMENTOS Y CENTROS DE MASA.Nuestro objetivo es hallar el punto P en que una lmina plana delgada se equilibra horizontalmente. Este punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa. Vamos a suponer inicialmente que tenemos dos masas m1 y m2 ubicadas sobre una varilla de masa despreciable en los lados opuestos de un fulcro (de un balancn) y a una distancia respectivamente. De acuerdo al principio de Arqumedes, la varilla se equilibra si
Si suponemos que la varilla coincide con el eje x, con y ubicadas en y respectivamente . Supongamos que queremos hallar su centro de masa, x. Claramente , y por consiguiente
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Los
nmeros se conocen como momentos de las masas (con respecto al origen). Es claro que el centro de masa se obtiene de sumar los momentos y de dividir por la masa total .
CENTROS DE MASA: DEFINICIN DE MASA * Medida de la resistencia de un cuerpo al cambiar su estado de movimiento independientemente del sistema gravitatorio en que el cuerpo se encuentre. * La masa a veces es identificada como su peso, pero el peso es un trmino incorrecto. El peso es una fuerza y es dependiente de la gravedad. * La fuerza y la masa se relacionan por la siguiente ecuacin. Fuerza= (masa) (aceleracin) CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA Se considera una lmina plana delgada, de material con densidad constante llamada una lmina plana. La densidad es una medida de masa por unidad de volumen, como g/cm y se denota por la letra griega . Para el caso de una lmina la densidad se considera como la masa por unidad de rea. El centro de masa de una lmina plana puede visualizarse como su punto de equilibrio. Para una lmina circular, coincide con el centro del crculo. En una lmina rectangular, el centro de masa es el centro del rectngulo.
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Considerar una lmina plana irregularmente formada de densidad uniforme , limitada por las grficas de y = f(x), y = g(x), y a x b. La masa de esta regin est dada por: m= (densidad) (rea) =A
Momentos y centros de masa: Dada una particin de a una una el
lamina, regin
correspondiente plana esimo
considerar de rea
rectngulo
como se muestra en la figura 1. Suponer que la masa de en uno . El de sus puntos de se conecta interiores masa de
momento
respecto el eje por medio de
puede aproximarse
Figura 1 De manera similar, el momento de masa con respecto al eje y puede aproximarse por medio de Formando la suma de todos los productos y tomando limites cuando la norma de se aproxima a , se obtiene las definiciones siguientes y .
de momentos de masa con respecto a los ejes
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Momentos Y Centro De Masa De Una Lmina Plana De Densidad Variable:
Sea
una funcin de densidad continua sobre la lmina plana . Los y son:
momentos de masa con respecto a los ejes
Si
es la masa de la lmina, entonces el centro de la masa es:
Si representa una regin plana simple en lugar de una lamina, el punto se llama el centroide de la regin.
En algunas laminas planas con densidad constante
se puede
determinar el centro de masa (o una de sus coordenadas) utilizando la simetra en lugar de usar integracin. Por ejemplo, considerar las laminas de densidad constante mostradas en la figura 2.utilizando la simetra, se puede ver que y en la segunda lamina.
Figura 2
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Ejercicio de aplicacin: Hallar el centro de masa que corresponde a la regin parablica.
Donde la distancia en el punto (x,y) es proporcional a la distancia entre (x,y) y el eje x. Solucin: Como la lamina es simtrica corresponde al eje y y El centro de masa esta en el eje y. As, para hallar , primero calcular la masa de la lmina. .
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Hallamos el momento con respecto al eje x
Regin parablica de densidad variable.
As El centro de masa es 2.3 En conclusin esto nos permite tratar una lamina como si su masa se encontrara en un solo punto. Se puede concebir el centro de la masa como el punto de equilibrio de la lamina.
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