momentos de inercia y centroides equipo KronosQuartet. 3marzo2011. estructuras VI. prof. arq raúl jonzález Jácome. sem 2011-2

Momento de inercia de una distribución de masas puntuales

Hay que calcular la cantidad

donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de

Un extremo De la segunda masa Del centro de masa

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular

a la varilla y que pasa por la primera partícula es IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es

IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro

de masas) es IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido ICpodemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m. La fórmula que tenemos que aplicar es

I=IC+Md2

IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que

pasa por el centro de masa I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al

anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2. IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inercia de una distribución continua de masa Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Aplicación directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de

masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la

varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un

eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un disco

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2px y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

Momento de inercia de un cilindro

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitudL, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de una placa rectangular

Se toma un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de un disco

Se toma un elemento de masa que dista x del eje de

rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de

anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable x=R·cosθ y=R·senθ Llegamos a la integral

Momento de inercia de una esfera

Se divide la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

Momento de inercia de un cilindro

Se divide el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de un paralepípedo

Se divide el paralelepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx. El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es

Centroide El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas. Se consideran tres casos específicos: VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son: X = “ x dv Y = “ y dv Z = “ z dv “ dv “ dv “ dv AREA. De manera semejante, el centroide para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de area en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = “ x dA Y = “ y dA Z = “ z dA “ dvA “ dA “ dA

LINEA. Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente: X = “ x dL Y = “ y dL Z = “ z dL “ dL “ dL “ dL

tabla de centroides de áreas comunes