módulo n°4 introducción a la geometría plan de nivelación

Módulo N°4

Introducción a la Geometría

Plan de Nivelación

Para resolver ejercicios de geometría tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos básicos, los que facilitarán la comprensión y resolución de dichos ejercicios.

En esta guía de nivelación, definiremos conceptos como punto, recta, semirrecta, rayos, ángulo, etc., y los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. También encontrarás aquellas fórmulas para cálculos de áreas y perímetros de polígonos, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, como cilindros, cubos, conos, etc.

Cabe recordar que ésta es una “nivelación” y que queda mucho por aprender y reforzar. Estoes sólo una invitación para continuar estudiando junto a tu profesor.

Introducción

I. Geometría Plana - Generalidades• Punto, recta, semirectas y rayos

• Trazo y segmento

Contenidos

II. Polígonos• Definición y Clasificación

• Área y Perímetro

• Rectas paralelas y perpendiculares

• Ángulos, relaciones angulares y clasificación

• Ángulos entre paralelas

III. Circunferencia y Círculo

IV. Cuerpos Geométricos

• Definición

• Radio y diámetro

• Área y perímetro

• Caras, aristas y vértices

• Áreas y Volúmenes

Aprendizajes esperados

• Definir conceptos como: recta, ángulo, cuerpo geométrico, etc.

• Aplicar fórmulas de áreas y perímetros, tanto de polígonos como de algunos cuerpos geométricos, en ejercicios propuestos.

• Descubrir formas didácticas para calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos como

prismas y cilindros.

I. Geometría Plana - Generalidades

Módulo N°4, página 6

• Ángulo:

Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común, llamado vértice.

Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( …) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo. Su lectura es en sentido antihorario.

• Relaciones angulares:

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Ángulos Suplementarios:


100° y 80°

46° y 134°

20° y 160°

Ejemplos:

Ángulos Opuestos por el vértice: Son iguales.

Ángulos Complementarios:

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.


48° y 42°

60° y 30°

20° y 70°

Ejemplos:

• Ángulos entre paralelasCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida).

Si L1 // L2 y L3 una transversal, entonces se forman ocho ángulos, que corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten.


II. Polígonos• Áreas y Perímetros

En la siguiente tabla se resumen las fórmulas para calcular las áreas y perímetros de los polígonos más comunes: triángulo, cuadrado y rectángulo (más adelante estudiaremos otros polígonos, como rombos, trapecios, pentágonos, hexágonos, etc.)


a

b

ch

a a

a

a

a

b

FIGURA ÁREA PERÍMETRO

P = a+b+c

A = a2 P = 4a

P = 2a + 2b

A= 2hb

baA =


Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19.

III. Circunferencia y Círculo

Circunferencia:Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un puntofijo llamado “centro”.

• Definición

Círculo:Es la porción del plano limitado por una circunferencia.


Diámetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasandopor el centro.

• Radio y diámetro

Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.


A

BC

OC: Radio(r)

AB: Diámetro (d)

• Área y Perímetro: Área⊗ = r2

Perímetro⊗ = 2r

Ejemplo:

Si el diámetro de una circunferencia mide 10,6 cm, entonces, ¿cuál es su área y perímetro?

Perímetro⊗ = 2∙(5,3)

Solución:

Si el diámetro de la circunferencia mide 10,6 cm, entonces el radio mide 5,3 cm. Luego:

Área⊗ = ∙(5,3)2

Área⊗ = ∙(28,09) cm2 Perímetro⊗ = 10,6 cm


IV. Cuerpos Geométricos

El área o superficie de un prisma se obtiene sumando las áreas de su(s) base(s) y las áreas de sus caras laterales.

Ejemplo:El área del prisma de base cuadrada de la figura, es:

• Áreas y volúmenes de algunos cuerpos geométricos


El área o superficie del prisma se obtiene sumando las áreas de sus 2 bases cuadradras de lado 8 cm, más sus 4 caras laterales (rectángulos).

A = 2·(82) + 4·(8·20)

A = 2·(64) + 4·(160)

A =128 + 640

A = 768 cm2

El lado de la base cuadrada de la pirámide mide 3 cm. Sus caras laterales son triángulos de altura 5 cm. ¿Cuál será su área total?

Ejercicio propuesto:


El área o superficie de la pirámide se obtiene sumando el área de su base (cuadrada), con sus 4 caras laterales.

A = (32) + 4·(3·5)2

A = 1 + 4

A = 39 cm2

Los cilindros están formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectángulo de ancho igual al perímetro de la circunferencia basal (2r).

¿Cómo se calcula el área de un cilindro?

Luego, el área de un cilindro se expresa como:

A = 2·(r2) + 2r·h


¿Cuál es el área del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm?

Ejercicio propuesto:

A = 2·(r2) + 2rh

A = 2·(·102) + 2·10·15

A = 2·(·100) + 2·150A = 200 + 300A = 500


¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?

Para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el área de la base circular (r2), por su altura (h).

Vcilindro = r2·h

Vcilindro = 100·15

Vcilindro = 1500cm3

Módulo N°4, páginas 16 y 17

Ejercicios propuestos:


1. ¿Cuál es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas están en razón 2 : 3 : 6, si la arista mayor mide 12 cm?

Solución:

Si el alto, ancho y largo de la caja están en razón 2:3:6, entonces:

alto = 2k, ancho = 3k y largo = 6k

Luego, alto = 4, ancho = 6 y largo = 12

Por lo tanto, el volumen de la caja es:

V= 12·6·4

V= 288 cm3

2k

3k6k

Como la arista mayor (largo) mide 12 cm, entonces: 6k = 12 k = 2.


2. Si las bases triangulares del prisma de la figura tienen área igual a 12 cm2 y su altura h,mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen?

Solución:

V= 12·15 cm3

V= 180 cm3


Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, desde la página 19. (Solucionario en página 25)

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