modulo ilap octavo

Introducción

Respetados Participantes, les damos la más cordial bienvenida a este período escolar

exhortándolos, a lograr sus objetivos propuestos, a sabiendas de que los alcanzarán.

Hemos elaborado el modulo instruccional de matemática de octavo año, de tal forma, que los

temas incluidos, sean comprendidos de manera clara y precisa para que ustedes logren adquirir los

conocimientos necesarios para estudios posteriores, tomando en cuenta los esenciales mínimos del

programa de matemáticas del Ministerio de Educación de octavo año.

Culminado el trimestre, Ustedes deberán en estar en la capacidad de desarrollar y comprender

los temas tratados de tal forma que se les facilitará tener una base más sólida de matemática para

cursos más avanzados. De Ustedes dependerá el éxito de los objetivos propuestos en este modulo.

“EL ÉXITO ESTA COMPUESTO POR 5% DE INSPIRACIÓN Y UN 95% DE SUDOR”

INDICE

UNIDAD # 1

Los Números Irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin

repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3.1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así19/2 = 9.5

así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números En fracción¿Racional oirracional?

5 5/1 Racional

1.75 7/4 Racional

.001 1/1000 Racional

√2 (raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De

hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón

de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se

han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún

patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales.

Ejemplos:

√3 1.7320508075688772935274463415059 (etc)

√99 9.9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la

raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede

escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números

tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían,

¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

Actividad # 1

Complete los espacios en blanco con la/las respuestas correctas.

1. Los números irracionales se representan con la letra______.2. Características de los números irracionales:a) ____________________________________________________.b) ____________________________________________________.3. Los números irracionales no se pueden expresar como ________________________________ de dos números enteros.4. Los números irracionales más famosos son: ( anote dos en cada línea). a) _______________________________________. b) _______________________________________.

II.Parte. Escriba sobre la línea si el número es decimal periódico o no periódico: 16 puntos.0.03030303… _____________________________________0.707106781… ____________________________________0.1818… _____________________________________

* Escriba tres números irracionales: _________________ _____________________________ y _______________________

Actividad # 2

Investigue la Biografía de Hipaso y de Pitágoras. Anote en las líneas los aspectos más importantes o

relevantes de esta biografía.

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________

Actividad # 1

I. Identifica con su nombre las siguientes propiedades de la adición de los números reales: Conmutativa, asociativa, Aditiva del cero, aditiva de números opuestos y clausurativa. (10 puntos)

A) Si x ε R, entonces: - x + (+ x) ______________________________

B) Si x ε R, entonces: x + 0 = x _____________________________

C) Si x, y, z ε R, entonces (x + y) + z = x + (y+z) ______________________________

D) Si x, y ε R, entonces x + y = y + x ______________________________

E) Si x, y ε R, entonces x + y = z donde z ε R ______________________________

II. Parte. Resuelva las siguientes adiciones y multiplicaciones entre números reales: ( 6 puntos)

(-2) + (-3) = (-38) + (-41)= (-25)+ (-4)+ (-20 ) =

(4) (5) = (-7) (-11) = (-4) (-2) (3) =

Aplique la propiedad de la multiplicación de números reales que se solicita a continuación:

ELEMENTO NEUTRO: (3 puntos)

(-5) (1) = _________ (27) (1) = _________ (16) (1)= _________

ELEMENTO NEUTRO: (3 puntos)

(-7) (1) = _________ (97) (1) = ________ (36) (1)= _________

ADITIVA DEL CERO O ELEMENTO NEUTRO DE LA ADICIÓN: (3 puntos)

12 + 0 = _________ 456 + 0 = ________ - 15 + 0 = ________.

CONMUTATIVA: - 5 + 7 = _____________________

(-4) (12) = ___________________________. (2 puntos)

ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN: 9 puntos.

[2 + (-3) ] + 4 = _______ + [ ( _____) + _______]

________ + ______ = _______ + _________

________ = _________.

ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN: 9 puntos.

[ (2) (5) ] (7) = ( ________) [ ( _______ ) ( __________) ] ________ ( ______ ) = ________ ( __________ )

____________ = ______________.

DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN: 10 puntos.

( 4 ) [ (-3) + (-2) ] = ( ______ ) (______) + (______) (______) ( _______ ) ______ =

____________ + __________

_______________ = ______________

ACTIVIDAD # 2

Resuelva las siguientes operaciones con números reales:

Sustracción:

(+2)- (-7 ) = _________ (-10) – (+5) = _________

(+32) - (15) = ________ (-4) – (-9) = _________

Potenciación:

22 . 23 = __________ 53 . 51 = ___________

42 = ________________ 64 = _______________ 41 62

(2 x 4)2 = ____________ (52)2 = ___________

Radicación:

2 √25 + 8 √25 = __________________________________.

42 √100 – 30 √100 = ________________________________.

(2 √36) (5 √49) = ______________________________________.

√100 = ____________________________________________.

√4

Unidad # 2

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1.1. Definición.Una expresión algebraica es una expresión matemática, que además, de que esta formada por números contiene letras y signos.

Ejemplo: 4x2 + 2, 5x2y3, a, mn + 3n.

1.2. TÉRMINO Y SUS PARTES.Un término es una expresión algebraica que no esta separada, de otro término, por signo, ya sean positivos o negativos.Las partes de un término son: el signo, el coeficiente, partes literales (variables) y los exponentes.Con respecto a los exponentes del término, el término puede ser de grado absoluto o relativo. El grado relativo lo determina los exponentes respecto a las variables que tenga el término, el grado absoluto lo determina la suma de los exponentes de las variables que tiene el término.Ejemplos:

Término Signo Coeficiente Variables G. relativo G. absoluto

5x2y3 + 5 x, y 2, 3 5

-abc2 - 1 a, b, c 1, 1, 2 4

Actividad #1

1) Llene los espacios en blanco, escribiendo en ellos los componentes de los siguientes términos:

Complete el siguiente cuadro relacionado con los elementos que forman una expresión algebraica:

Expresión Signo Coeficiente Variable o parte literal

exponente

- 8 x3

5 a2

4 a3b2c- 7 x5y4

5 m3

96 x9y7

- abcDetermine el grado absoluto de cada uno de los siguientes monomios:

Expresión algebraica Grado absoluto Grado relativo

4 m

6 m2

- 7 m5n3

4 x3 y2

2 a3b2

2) Escriba un término que tengan signo negativo; coeficiente 10; variables x, y, z; grado relativo 5, 4, 2; grado absoluto 11.

1.3. CLASES DE TÉRMINOS.

Existen diferentes clases de términos a saber:a) Término entero: El término es entero cuando no aparece una o varias letras en el denominador.

Ejemplos: 1) 2xy 2) 3a2bc2 3) 5m3n6

b) Términos fraccionarios: el término es fraccionario cuando aparece una letra o variables en el denominador.

Ejemplos: 1)

2xyz 2)

3a2bc2

3)

5m3

n6

c) Término racional: el término es racional cuando no contiene letras bajo un signo radical. Un término racional es también un término entero.

Ejemplos: 1) 2xy 2) 3a2bc2 3) 5m3n6

d) Término irracional: el término es irracional cuando contiene letras o variables bajo el signo radical.

Ejemplos: 1) 2√xy 2) 3a2√bc 3) 3√ x2 y

e) Términos semejantes: son aquellos que tienen las mismas variables y estas variables tienen el mismo exponente.

Ejemplos: 1) 2xy, xy 2) 3a2bcun 2 , -5a2bc2 3) 5m3n6, m3n6

1.4. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

a. Monomios.Es una expresión algébrica que tiene un solo término.

Ejemplos: 1) 2xy 2) -5a2bc2 3) m3n6

b. Polinomio.Es una expresión algebraica que contiene dos o más términos. Si la expresión algebraica tiene dos términos se le denomina binomio, si tiene tres términos se le llama trinomio y si tiene cuatro o más términos se le llama polinomio.

Ejemplos: Binomios Trinomios Polinomios2xy + 3 -5a2b + c2 + a x3 + y6 – 3z + z2

a2 – b2 6a2 + 3a + 5 3x + 5y – 2z + x2 + y9

Actividad #2

1) Escribir:a) dos términos que sean semejantes:_________________________________________________

b) dos términos irracionales:_________________________________________________________

c) dos términos racionales:__________________________________________________________

d) dos términos fraccionarios: _______________________________________________________

e) dos binomios: __________________________________________________________________

f) dos trinomios: __________________________________________________________________

g) dos polinomios:_________________________________________________________________

2) Investigue: ¿que son términos homogéneos y heterogéneos?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir tres casos:2.1. De Igual Signo.

Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo y luego se escribe la parte literal.

Ejemplos: 1) 2x + x = 3x 2) -5a2 – a2 = -6a2

2.2. De Diferente Signo.Se resta los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y luego se escribe la parte literal.

Ejemplos: 1) 2x - x = x 2) -5a2 + a2 = -4a2

Actividad #3

Reduzca los términos semejantes de las siguientes expresiones:

1. 2ax2+3ax 2+5ax 2=

2. 25 x2−60x2+11x2=

3.2 y3

+ y3− y

=

4. 2 x3+x+x3+3 x3=

5. 2ax4 y3−3ax4 y3−5ax 4 y3=

6.ab3

−ab6

+ ab2

=

3.O

PERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

a – b2a + 3b – c

-4a + 5b _________

-a + 7b - c

3x + 5y – 2z 6x – 3y + 8z

6x + 4y – 2z _________

15x + 6y + 4z

a + b -a + b _________

0 + 2b

2x – 3y – 4z + 6 -2x - 5z + 6 ______________

0 + 3y - 9z + 12

3.1. Suma.Se presentan dos casos:

a. Monomios: Para sumar monomios semejantes se suma sus coeficientes numéricos, conservando en el resultado el mismo factor literal.

Ejemplos: 1) 8a+( -7b)+( 5c) = 8a -7b + 5c2) 5a+(-8b)+(-7a)+(-5b)+(-9c) = 5a - 8b - 7a - 5b - 9c = -2a – 13b – 9c

b. Polinomios: Para sumar varios polinomios suele colocarse los polinomios uno debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columnas, se hace la reducción de estos, separándolos uno de los otros con sus propios signos.

Ejemplos:

1) sumar: a – b, 2a + 3b –c y -4a + 5b =

2) sumar: 3x + 5y – 2z, 6x – 3y + 8z, 6x + 4y – 2z =

3.2. Resta.a. Monomio: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los

signos cambiados y se reduce los términos semejantes.

Ejemplos: 1) De -18x restar -3x = 18x –(-3x) = -18x + 3x = 21x2) De -6x2y reste -2x2y = -6x2y –(-2x2y) = -6x2y + 2x2y = -4x2y

b. Polinomios: Cuando se restan polinomios hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo cambiándoles los signos.

Ejemplos: 1) De a + b restar a – b = 2) De 2x – 3y – 4z + 6 restar 2x + 5z - 6

Actividad #4

I. Efectué las siguientes adiciones:

1) -7mn2, -5m, 17mn2, -7m2) 3/4x2 – 1/2y2; 3) - x3 + 5x2 - x + 1, 5x2 - x - 3 4) 1/6x2 – 1/2x + 4 , 5/3x3 - x - 1 , 6/7x2 - x + 4, 1/3x3 - 4x – 1/5

II. Efectué las siguientes sustracciones:

1) De 15x3y2 reste 11x2y3

2) De 9x2 – 7x + 12 reste 27 – 15x + 8x2

3) De 3/4m + 4/5n – 5/6 reste 6/7 + 3/4n + 3/5m4) De - x3 + 5x2 - x + 1 reste x3 - 5x2 - x - 3

3.3. Multiplicación.

a. Ley de los signos:(+) por (+) = + (-) por (+) = - (+) por (-) = - (-) por (-) = +

b. Ley de los exponentes:Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le coloca como exponente la suma de los factores.

Ejemplos: 1) (a4)(a3)(a2) = a9 2) (x2)(x3)(x) = x6

c. Ley de los coeficientes:El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.

Ejemplos: 1) (3a4)(4b3)= 12a4b3 2) (9x2)(2y3) = 18x2y3

d. Multiplicación de Monomio:Se aplica la ley de los signos, se multiplica los coeficientes y se le aplica la ley de los exponentes.

Ejemplos: 1) (a2b3) (3a2b) = 3a(2+2)b(3+1) = 3a4b4

2) (5x2y) (-6xy) = (5)(-6)x(2+1)y(1+1) = -30x3y2

e. Multiplicación de polinomios por monomios:En este caso primero se ordena el polinomio, luego se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, aplicando la ley de signos, de los coeficientes y los exponentes.

Ejemplos: 1) x3( 2x2 - 3x + 2) = 2x5 - 3x4 + 2x3

2) ( 5x + 4) (-2x) = -10x2 - 8x

f. Multiplicación de polinomios:Primero se ordena el polinomio, luego se multiplica todos los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes.

Ejemplos: 1) (3x - 2y) (x + 4y) = 3x(x) + 3x (4y) + (-2y)(x) + (-2y)(4y)

= 3x2 + 12xy - 2xy - 8y2 = 3x2 + 10xy - 8y2

3) (4x - 3) (3x - 2) = 4x (3x) + 4x (-2) + (-3)(3x) + (-3) (-2) = 12x2 - 8x - 9x + 6 =12x2 - 17x + 6

Actividad #5

Desarrolle los siguientes productos de polinomios:

1) (3x2 + 2x - 5) (x + 2)

2) (2am + 2a) (m2 - 3m + 6)

3) (15x3y2 + 3x + 1 ) (-2x + 3)

4) (3a - 2) (4 + 5a)

5) (6x4 – 3x2 + x) (x - 1)

3.4. División.

a. Ley de los signos:(+) Entre (+) = +, (-) entre (+) = -, (+) entre (-) = -, (-) entre (-) = +

b. División de monomios:Para dividir un monomio entre otro monomio se dividen los coeficientes del numerador entre el coeficiente del denominador y luego se aplica la regla de potencia y por ultimo se hace la división de los signo.

Ejemplos: 1)

24x6 y3

6x5 y2=4 xy

2)

-12x5 y3

6x6 y4=− 2

xy

3)

−9 x2 y3

−3x2 y=3 y2

4)

−25m3 n3

−5x2m2n2=5mnx2

Actividad #6Haga las siguientes divisiones de monomios:

1)

27m4 n9m3n

=

2)

15 x4 y3

5 x3 y2=

3)

8m5n3

−4m6 n2=

4)

45m4

25m3

=

5) a6b3 /a4b2=

c. División de un polinomio entre un monomio:Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio aplicando la ley de los signos invertida y a su vez se restan los exponentes de las variables de igual base.

Ejemplos:1) 4x3y -2xy2 + 8x3 ÷ 2x = 2x2y – y2 + 4

-4x3y -2xy2 + 8x3

+2xy2

+8x3

-8x3

2) 16m3 -4nm ÷ 2m = 8m2–2n

-16m3

-4nm +4nm

Actividad #6Haga las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:

1) (3a3 – 6a2b + 9ab2) entre 3a2) (4x6 – 10x6 – 5x4 ) entre 2x3

3) (10m2 – 20nm) entre 10mn4) (32a2b3 + 8b2) entre 4ab

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Introducción

Los productos y cocientes notables tienen importante aplicación al tratar de desarrollar de una manera más rápida ejercicios algebraicos.

PRODUCTOS NOTABLES

Son multiplicaciones que cumplen reglas específicas

Suma o resta de dos cantidades al cuadrado

Producto por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b)

Resolviendo el producto:

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, es igual a la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades.

Resolver:

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades, es igual a la primera cantidad elevada al cubo, más tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda cantidad elevada al cuadrado más la segunda cantidad elevada al cubo.

Resolver:

Para la resta será:

Entonces:

El cubo de la suma de dos cantidades es igual a la primera cantidad elevada al cubo, menos tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado, menos la segunda cantidad elevada al cubo.

Resolver:

Productos de la forma (x ± a) (x ± b)

Desarrollemos las siguientes multiplicaciones:

En las cuatro multiplicaciones se observa que:

El primer término del resultado de la multiplicación es el producto de los primeros términos de los binomios.

El coeficiente del segundo término del resultado de la multiplicación es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios.

El tercer término del resultado de la multiplicación es el producto algebraico de los segundos términos de los binomios.

Gráficamente:

Efectuar:

Reuniendo las tres propiedades simbólicamente:

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal muestra los coeficientes del polinomio resultado de cada uno de los binomios planteados, de manera que:

De la solución de los anteriores binomios mediante el triángulo de Pascal se deduce:

El polinomio resultado tiene un término más que el exponente al cual está elevado el binomio.

El exponente de la primera cantidad del binomio (a), disminuye de 1 en 1, a partir del exponente del binomio, mientras la segunda cantidad del binomio (b) aumenta de 1 en 1 hasta ser igual al exponente del binomio, y aparece a partir del segundo término del polinomio resultado.

El coeficiente del primero y último término del polinomio resultado es igual a 1. Los otros coeficientes son la suma de los coeficientes como lo describe el triángulo de Pascal.

Nota: cuando el binomio posee signo negativo, los signos del polinomio resultado van alternados, es decir: +, -, +, -, +, etc.

COCIENTES NOTABLES

Los cocientes notables más importantes se pueden desarrollar a partir de algunos de los productos notables vistos anteriormente.

Del producto notable:

Por transposición de términos se puede deducir:

De la misma forma realizando las divisiones:

Se puede establecer las siguientes normas:

El polinomio resultado tiene la cantidad de términos igual al exponente de las letras del dividendo.

El primer término del polinomio resultado se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. El exponente de a disminuye de 1 en 1 en cada término.

El exponente del segundo término (b) es 1 y aparece en el segundo término del polinomio resultado. Éste aumenta de 1 en 1 en cada término siguiente a éste.

Cuando el divisor es a - b todos los signos del polinomio resultado son positivos, y cuando

el divisor es a + b los signos del polinomio resultado van alternados +, -, +, -, etc.

Dividir:

MUJERES MATEMÁTICAS

¿Entienden las Matemáticas de sexos? ¿Son los grandes misterios de las Matemáticas algo exclusivo de los

hombres? ¿Por qué a lo largo de la historia hay tan pocas mujeres que se hayan destacado en una disciplina

científica tan antigua?. Aunque parece que en la actualidad existe un equilibrio entre el número de chicos y de

chicas que estudian matemáticas, esto es un fenómeno relativamente reciente. Desde luego hace cuarenta

años esto no ocurría. Para descubrir la presencia de las mujeres en el universo de las matemáticas se hará un

recorrido histórico que comienza con el nacimiento de las matemáticas, con Pitágoras y su mujer Teano, y que

continúa con Hypatia en Alejandría, con Madame de Chatelet en Francia y con María Caetana Agnesi en

Bolonia en el sigloXVIII. Incluso en el siglo XIX, Sophie Germain tuvo que adoptar la identidad de un antiguo

alumno de la Escuela Politécnica de París, Monsieur Leblanc, para conseguir los materiales y problemas y

para presentar sus propios resultados y trabajos.

Sus trabajos sorprendieron a matemáticos de la altura de Lagrange y de Gauss. Ya a finales del siglo

Sophia Kovaleskaya sufrió la marginación de la mujer en el mundo académico a pesar de ser uno de los

mejores cerebros de la época. Sólo a las puertas del siglo XIX, una mujer Marie Curie va a realizar uno de los

descubrimientos más importantes de la historia de la humanidad, un descubrimiento que va a cambiar la vida

del ser humano en el siglo XX en muchos aspectos: la radioactividad. Y consiguió algo quizás tan importante:

por primera vez en la historia de la humanidad los círculos científicos abrían sus puertas de par en par a una

mujer. Y con ella a tantas tan injustamente ignoradas durante siglos.

Actividad

Resuelva cada uno de los siguientes casos de productos notables.

Criterios de EvaluaciónOrden y Aseo Disciplina Procedimientos Contenido Total

3 puntos 3 puntos 4 puntos 30 puntos 40 puntos

PRIMER CASO : CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES.

(3/4 a + 4/5 b)2 =

SEGUNDO CASO : CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

(5 X – 9 Y)2 =

TERCER CASO : PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

(4 a3 b2 - ½ c) (4 a3 b2 + ½ c) =

Cuarto caso: CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES.

(2 x + 3 y)3 =

Quinto caso: CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

(3 x - 5 y) 3 =

Sexto caso: Producto de la Forma (x + a) (x+b) = x 2 + bx + c .

X + 5

X (por) X + 8

“Dios es nuestro amparo y fortaleza, nuestro pronto auxilio en las tribulaciones”

Salmos 46:1

Resolver los siguientes casos de productos notables:

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

(8x +10)2 =

(1/4 m + 2/6)2 =

Complete: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al _________________________ de la primera cantidad más __________________ veces la ________________________ por la _____________________________________ más la segunda cantidad al _____________________________.

CUBO DE UNA SUMA.

(3x + 2y)3 =

( 8a + 7y )3 =

Complete: El cubo de la suma de dos términos es igual al _______________ del primer término más __________________ veces el cuadrado del primer término por el ____________________término más __________________ veces del primer término por el cuadrado del ________________término más el __________________del segundo término.

CUBO DE UNA DIFERENCIA.

( 5x - 3y )3 =

(1/3 a2 - 2/4 b)3 =

Completar: El cubo de la diferencia de dos términos es igual al _________________del primer término menos _________________ el cuadrado del primer término por el ______________ término más el ______________________del primer término por el cuadrado del ____________________ término menos el ______________________ del segundo término.

PRODUCTO DE LA FORMA : (x+a) (x+b)

(a + 8)(a + 9)=

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. 5 puntos.

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al ______________del primer término menos el cuadrado del ________________________.término.

(2/4 a + 2/6 b) (-2/6 b + 2/4 a) =

II.Parte. Resuelva los siguientes casos de cocientes notables:

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES.

25 x4 - 144 y2 =

5 x2 + 12 y

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES.

225 y2 – 36 z4 =

15 y - 6 z2

COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES.

25 m 3 + 18 n 3 =5 m + 6 n

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES.

36 m 3 - 49 n 3 =6 m - 7 n

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

y 6 – b 6 = y + b

a 5 - b 5 = a - b

4. Ecuaciones De Primer Grado.4.1. Concepto Y Propiedades.

Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, las cuales, toman valores determinados que satisfacen la igualdad. La igualdad es un concepto matemático que indica que dos expresiones tienen el mismo valor.

Ejemplos: 1) 3x + 1 = 2 2) 2y + 2 = 0 3) 5x - 10 = 0

4.2. Elementos De La Ecuación De Primer Grado.a. Miembros: Toda ecuación tiene dos miembro, uno a cada lado del signo igual, los cuales se

llaman miembro izquierdo y miembro derecho.b. Términos: Son cada uno de las cantidades que están conectadas con otra con los signos positivo

(+) y los signos negativos (-).c. Grado: Es determinado por el mayor exponente que tenga la variable o incógnita. En el caso de

las ecuaciones de primer grado el grado es siempre uno (1).

4.3. Resolución De Ecuaciones De Primer Grado.La solución de una ecuación se basa en el siguiente axioma: “Sí en cantidades iguales se realizan operaciones iguales la igualdad no se altera”. Este axioma se cumple para cualquiera operación, ya sea, adición, sustracción, producto, división, potenciación y radicación.

Para resolver la ecuación de primer grado con una incógnita se suprimen los paréntesis en caso que los allá. Se transponen los términos independiente cambiándoles los signos si están al lado izquierda de la ecuación dejando en el lado derecho y al lado izquierdo de la igualdad se dejan y se transponen los términos que contienen la variable incógnita. Se reducen los términos independientes y los de la variable incógnita y por ultimo se despeja el valor de la variable incógnita.

Ejemplos:1) 3x – 5 = x + 7

3x – x = 7 + 52x = 12 x = 6

2) 4x + 8 = 2x + 16 4x – 2x = 16 – 8

2x = 8 x = 4

ILAP. MATEMÁTICA VIII.

PRÁCTICA #7Remover las siguientes ecuaciones de primer grado:1) 5x + 6 = -10x + 32) 2x + 4 = x + 73) 10y – 5 = 54) 15x + 10 = 10x + 55) 3m – 6 = -5m + 10

4.4. Grafica De La Ecuación De Primer Grado.El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis (x) y uno de las yes (y), respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Ejemplo: Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

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Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.El gráfico de una ecuación de primer grado o lineal será siempre una línea recta en el plano cartesiano.

Para la ecuación lineal: y= 4 x

3+1

, la gráfica es la siguiente:

Se puede graficar una ecuación lineal localizando dos puntos que correspondan a la ecuación pues, existe un teorema que dice: “dos puntos determinan una línea recta”.En la ecuación anterior si x = 0, el valor de es y = 1 y si x = 3, entonces y = 5

PRÁCTICA #8I. Localice en el plano cartesiano los siguientes coordenadas:

A(3,2), B(-1,2), C(5,0), D(-1,-1), E(3,-2), F(-2,-6)

II. Graficar las siguientes ecuaciones lineales:

1) y=3 x+6

2) Y= x

2−1

3) y=2x

4) y=x+2

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UNIDAD # 3

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MEDIDAS DE SUPERFICIE

Para medir superficies (áreas) se utilizan distintas unidades de medida. La más utilizada es el metro cuadrado (m2).

Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un metro.

La superficie de un cuadrado es base por altura.

1 metro cuadrado = 1 metro X 1 metro = 1 m2

Se utiliza para medir la superficie de una habitación, la superficie de un jardín, la superficie de un apartamento...

1.- Unidades menores

Hay unidades de medidas menores que se utilizan para medir áreas más pequeñas (la superficie de una loza, de un folio, de la pantalla digital de un teléfono móvil, …).

Decímetro cuadrado (dm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un decímetro.

Centímetro cuadrado (cm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un centímetro.

Milímetro cuadrado (mm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un milímetro.

La relación con el metro es:

1 m2 = 100 dm2.

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La relación de las unidades de superficie va de 100 en 100 (en lugar de 10 en 10).

1 metro cuadrado = 1 metro x 1 metro

1 metro = 10 decímetros

1 metro cuadrado = 10 decímetros x 10 decímetros = 100 decímetros cuadrados

1 m2 = 10.000 cm2

1 metro = 100 centímetros

1 metro cuadrado = 100 centímetros x 100 centímetros = 10.000 centímetros cuadrados.

1 m2 = 1.000.000 mm2

1 metro = 1.000 milímetros

1 metro cuadrado = 1.000 milímetros x 1.000 milímetros = 1.000.000 milímetros cuadrados.

La relación entre ellas es:

1 dm2 = 100 cm2

1 dm2 = 10.000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

2.- Unidades mayores

También hay unidades de medidas mayores que el metro cuadrado que se utilizan para medir grandes superficies: la superficie de una provincia, de una finca, de un lago...

Kilómetro cuadrado (km2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un kilómetro.

Hectómetro cuadrado (hm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un hectómetro.

Decámetro cuadrado (dam2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un decámetro.

La relación con el metro es:

1 km2 = 1.000.000 m2

1 hm2 = 10.000 m2

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1 dam2 = 100 m2

La relación entre ellas también va de 100 en 100:

1 km2 = 100 hm2

1 km2 = 10.000 dam2

1 hm2 = 100 dam2

3.- ¿Cómo pasar de unidades mayores a unidades menores?

Para pasar de unidades mayores a unidades menores hay que multiplicar por 100 por cada nivel que descendamos:

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Por ejemplo:

Para pasar de km2 a dam2 hay que bajar 2 niveles por lo que tenemos que multiplicar: x 100 x 100 = x 10.000

Para pasar de hm2 a dm2 hay que bajar 3 niveles por lo que tenemos que multiplicar: x 100 x 100 x 100 = x 1.000.000

Veamos algunos ejemplos numéricos:

¿Cuantos m2 son 3 km2? 3 x 1.000.000 = 3.000.000 m2

¿Cuantos mm2 son 5 dm2? 5 x 10.000 = 50.000 mm2

¿Cuantos cm2 son 7 dam2? 7 x 1.000.000 = 7.000.000 cm2

4.- ¿Cómo pasar de unidades menores a unidades mayores?

Para pasar de unidades menores a unidades mayores hay que dividir por 100 por cada nivel que subamos:

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Por ejemplo:

Para pasar de m2 a hm2 hay que subir 2 niveles por lo que tenemos que dividir : 100 : 100 = : 10.000

Para pasar de cm2 a dam2 hay que subir 3 niveles por lo que tenemos que dividir : 100 : 100 : 100 = : 1.000.000

Veamos algunos ejemplos numéricos:

¿Cuantos m2 son 60.000 cm2? 60.000 : 10.000 = 6 m2

¿Cuantos km2 son 8.000.000 m2? 8.000.000 : 1.000.000 = 8 km2

¿Cuantos dm2 son 75.000 mm2? 75.000 : 10.000 = 7,5 dm2

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ACTIVIDAD

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Resuelve las siguientes operaciones:

2.- Resuelve las siguientes operaciones:

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Medidas de superficie del Sistema Inglés

Medidas de superficie:

centímetros cuadrados (cm2)a pulgadas cuadradas (in2)

Multiplicar por:

0,16

metros cuadrados (m2)a yardas cuadradas (yd2)

1,2

kilómetros cuadrados (km2)a millas cuadradas (mi2)

0,4

hectárea (ha) (10 000 m2)a acres

2,5

Actividad

Realizar la conversión de las siguientes unidades:

Convertir 20 cm2 a pulgadas cuadradas

Convertir 250 m2 a yardas cuadradas

Convertir 450.32 km2 a millas cuadradas

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modulo ilap octavo

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