modulo factorización

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  • 1.

2. Oaaaaaaaaa!!Bienvenidos al mundo de la factorizacion somos los teletubbies y te acompaaremos en esta tarea de aprender a factorizar buena suerte y adelante!!! 3.

  • Algo de historia:
  • Los primeros vestigios del desarrollo de la ciencia matemtica se encuentran 5000-500 AC en Egipto. Pitgoras, Tales de Mileto, Euclides son algunos de los matemticos que fueron dando realce al estudio de la matemtica. Establecieron un mtodo riguroso para la demostracin geomtrica e hicieron del numero el principio universal por excelencia.

4.

  • Mtodos para factorizar un polinomio

Antes de comenzar debes tener en claro que la factorizacin lo que se busca es expresar una o varias cantidades como el producto de dos o ms factores, dando la posibilidad de factorizar de diferentes formas expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorizacin.Pero Qu es factorizar? En pocas palabras, la factorizacin de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas. 5. Casos de Factorizacin

  • Subsecciones:
  • 1.-Factor Comn
  • 2.-Factor Comn por agrupacin de trminos
  • 3.-Casos para Trinomios
  • 4.-Diferencia de cuadrados
  • 5.-Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin
  • 6.-Trinomio cuadrado de la forma
  • 7.-Trinomio cuadrado de la forma
  • 8.-Cubo perfecto de Binomios
  • 9.-Suma o Diferencia de Cubos perfectos
  • 10.-Suma o Diferencia de dos potencias iguales
  • 11.-Casos para Polinomios
  • 12.-Relacin con la Geometra.
  • 12.-Prueba de diagnostico:I parte
  • 13.-Prueba diagnostico:II parte

6. Factor Comn

  • Explicacin:
  • Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresin en la cual todos los trminos tienen algo en comn (puede ser un nmero, una letra, o la combinacin de los dos).
  • Factor comn monomio:Es el factor que est presente en cada trmino del polinomio :
  • Ejemplo:

Casos de factorizacin. 7.

  • Factor comn polinomio:Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin :
  • Ejemplos:
  • 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a (m - 2n)- b(m - 2n )
  • =(m - 2n )( 2a - b )
  • 3x(2z - 5z) + x (2z 5z) = 3x (2z 5z)+ x (2z 5z)
  • = (2z 5z) (3x + x)
  • mnx + mny - mnz =mn x +mn y mn z
  • = mn (x + y z)

8.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

9.

  • Algunos Ejercicios:
  • Factor comn monomio:

12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 = 10.

  • Factor comn polinomio:

x2( p + q ) + y2( p + q )= a(2 + x ) - ( 2 + x )= (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 )= (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )=Factor Comn. 11. Factor Comn por agrupacin de trminos

  • Explicacin:
  • Aqu utilizaremos el caso anterior:adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor comn.
  • Ejemplos:

Casos de factorizacin. 12.

  • 3a + 5a + 3b + 5b = (3a + 5a) + (3b + 5b)
  • = a (3 + 5) + b (3 + 5)
  • = (a + b)(3 + 5)
  • 2m 5m + 2n 5n = (2m 5m) + (2n 5n)
  • = m (2 5) + n (2 - 5)
  • = (m + n) (2 5)

13.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

14.

  • Algunos Ejercicios:

6ab + 4a - 15b - 10 = ac - a - bc + b + c2- c = a3 + a2 + a + 1 = 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z = 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = Factor Comn por agrupacin de trminos. 15. Casos para Trinomios

  • Explicacin:
  • Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes caractersticas:
  • El primer y tercer trmino se tiene raz cuadrada exacta y son positivos.
  • El segundo trmino es igual a dos veces el producto de las races cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo trmino, elevado al cuadrado, se factoriza as:

Casos de factorizacin. 16.

  • Ejemplos:
  • x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
  • 9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2
  • 4x2 4x + 1 = (2x 1)2

Aqu tienes algunos ejemplos aclaratorios!! 17.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

18.

  • Algunos ejercicios:
  • 25x2 + 55x + 121/4 =
  • x2 + x + =
  • a2 + 8a + 16 =
  • 4b2 4b + 1 =
  • z2 + 12z + 36 =
  • 25m2 + 18m + 81 =
  • n2 + 14n + 49 =

Casos para Trinomios . Vamos amigo trabaja con todas las ganas! 19. Diferencia de cuadrados

  • Explicacin:
  • Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los trminos que la componen tengan diferentes signos y ambos trminos tengan raz cuadrada exacta.
  • Ejemplo:

Casos de factorizacin. 20.

  • Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

si n es par : si n es impar : y 21.

  • se factoriza as: si n pertenece a z

si n es par : si n es impar : 22.

  • Ejemplos:
  • 25 - 9 = (5 3) (5 + 3)
  • a2 b2 = (a b) (a + b)
  • (7x 9) (7x + 9) = 49x 81

23.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

24.

  • Algunos Ejercicios:

36m2n2 - 25 = 121 x2 - 144 k2 = 3x2 - 12 = 5 - 180f2 = Diferencia de cuadrados. 25. Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin

  • Explicacin:
  • En este caso se intenta transformar una expresin (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
  • Ejercicio:

Casos de factorizacin. 26.

  • Resolvindolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados: 27.

  • Ejemplos:
  • 16m2 40mn + 25n2 = (4m 5n)2
  • 4mx2x5n =40 mn
  • 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2
  • 2bx2x1 =4b
  • 1 + 6x + 6x2 = (1 + 3x)2
  • 1x2x 3x =6x

28.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

29.

  • Algunos ejercicios:

x2 + 6x + 9= 16x2 + 8x + 1 = y2 + 10y + 25 = 81y2 - 180y + 100 = 81z2+ 108zw + 36w2 = 49x2 + 112x + 64 = 4y2 - 24y + 36 = Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin. 30. Trinomio cuadrado de la forma

  • Explicacin:
  • Este trinomio debe cumplir con las siguientes caractersticas:
  • Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).
  • El primer trmino debe ser positivo y tener raz cuadrada exacta.
  • La variable que esta acompaando el segundo trmino debe ser la raz cuadrada del trmino nmero uno.

Casos de factorizacin. 31.

  • Existen dos nmeros que :

es decir: 32.

  • Ejemplos:
  • x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2)
  • 4 x 2 =8
  • 4 + 2 =6
  • x2 11x 26 = (x 13) (x + 2)
  • -13 x 2 =-26
  • -13 + 2=-11
  • x2 -17x + 30 = (x 15) (x 2)
  • -15 x -2 =30
  • -15 + -2 =-17

33.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

34.

  • Algunos Ejercicios:
  • x2 + 12x + 6 =
  • a2 24a + 15 =
  • f2 15f + 18=
  • x2 + 6x +5=
  • r2 12r +27=
  • m2 + 19m + 48=
  • w2 + 20w 6=

Trinomio cuadrado de la forma: 35. Trinomio cuadrado de la forma

  • Explicacin:
  • Debe cumplir con las siguientes caractersticas:
  • Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).
  • El primer trmino debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raz cuadrada exacta.
  • La variable que esta acompaando el segundo trmino debe ser la raz cuadrada del trmino nmero uno.

Casos de factorizacin. 36.

  • Cumpliendo con todas las caractersticas anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

De la siguiente forma: 37.

  • luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaa al primer trmino (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

y se opera, dando como resultado: y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior. 38.

  • Ejemplo:
  • 12x2 + 16x 3 = /x 12
  • (12x)2 + 16(12x) 36 = (12x + 18) (12x 2)
  • 18 x -2 =-36
  • 18 + -2 =16
  • (12x + 18)(12x 2)6 (2x + 3)2 (6x 1)
  • ______________= ______________ = (2x + 3)(6x 1)
  • 12 12

39.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

40.

  • Algunos Ejercicios:

4x2 + 7x + 3 = 4h2 + 5h + 1 = 2x2 + 5x - 12 = 6x2 + 7x - 5 = 8x2 - 14x + 3 = 6a2 + 23ab - 4b2 = Trinomio cuadrado de la forma: Que divertido es factorizar!! Hagamos una ronda por elloHeeeeeee!!!!!!! 41. Cubo perfecto de Binomios

  • Explicacin:
  • Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

y Casos de factorizacin. 42.

  • Es decir que debe cumplir con las siguientes caractersticas:
  • Debe tener cuatro trminos.
  • Que tanto el primero como el ltimo trmino sean cubos perfectos
  • Que el segundo trmino sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raz cbica del primer trmino multiplicado por la raz cbica del ltimo trmino.
  • Que el tercer trmino sea ms que el triple de la raz cbica del ltimo .

43.

  • Raz cbica de un monomio:Esta se obtiene tomando la raz cbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.Factorizar una expresin que es el cubo de un binomio:

44.

  • Ejemplos:
  • x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 =/ se saca raz cbica del 1 termino = x
  • se saca raz cbica del 2 termino = z
  • x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = (x + z)3
  • 8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 =
  • / raz cbica 1 termino = 2m2n
  • raz cbica 2 termino = 4mn2
  • 8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 = (2m2n + 4mn2)3
  • (x + z)3 = x3 + 3x2z + 3ab2 + b3

45.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

46.

  • Algunos ejercicios:

(2x 3z)3 = (5y + 1)3 = (2 + a2)3 = (1 a)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 = 27 27x + 9x2 x3 = c2 + 3c2 +3c + 1 =Cubo perfecto de Binomios. Aqu tienes ejercicios para trabajar!! Haz tu mayor esfuerzo!! 47. Suma o Diferencia de Cubos perfectos

  • Explicacin:
  • Para esto debemos recordar que:

y Casos de factorizacin. 48.

  • Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
  • La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus races cbicas 2. El cuadrado de la primera raz, menos el producto de las dos races, ms el cuadrado de la segunda raz.
  • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus races cbicas. 2. El cuadrado de la primera raz, ms el producto de las dos races, ms el cuadrado de la segunda raz.

49.

  • Ejemplos:
  • x3 + z3 = (x + z)(x2 xz + z2)
  • x3 z3 = (x z)(x2 + xz + z2)
  • 2m3 + z3 = (2m + z)(2m2 - 2mz + n2)
  • 2m3 z3 = (2m z)(2m2 + 2mz + n2)
  • (3b + 3c)(3b2 3b 3c + 3c2) = 3b3 + 3c3
  • (3b 3c)(3b2 + 3b 3c + 3c2) = 3b3 3c3

50.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

51.

  • Algunos Ejercicios:
  • 9x3 + 27 =
  • 16m3 + 25n3 =
  • 4b3 1 =
  • 1 + 9x3 =
  • 9m3 3n3 =
  • 4w3 + 64z3 =
  • 25f3 + g3 =

Suma o Diferencia de Cubos perfectos. 52. Suma o Diferencia de dos potencias iguales

  • Explicacin:
  • Debemos tener en cuenta una pequea recapitulacin de:
  • es divisible por siendo n un nmero par o impar
  • es divisible por siendo n impar
  • es divisible por siendo n par
  • nunca es divisible por

Casos de factorizacin. 53.

  • Demostracin:

se divide por: y tenemos: y obtenemos como respuesta: ) 54.

  • Ejemplos:
  • x4 + z4 = x4 + z4/x + z
  • = x3 x2z + xz2 z3
  • x4 + z4 = (x + z)(x3 x2z + xz2 z3)
  • m6 + n6 = m6 + n6/m + n
  • = m5 - m4n + m3n2 m2n3 + mn4 n5
  • m6 + n6 = (m + n)(m5 - m4n + m3n2 m2n3 + mn4 n5)
  • b3 + c3 = b3 + c3/b+c
  • = b2 bc + c2
  • b3 + c3 = (b + c)(b2 bc + c2)

55.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

56.

  • Algunos ejercicios:

m3 + n3 = x4 z4 = b2 + c2 = f6 g6 = 2x3 + z3 = 4m2 2n2 = 6x3 + 12n3 = Suma o Diferencia de dos potencias iguales. 57. Casos para Polinomios

  • Explicacin:
  • Agrupacin de trminos:Aqu se intenta agrupar los diferentes trminos de una expresin para factorizar utilizando los diferentes mtodos vistos. Para utilizar este mtodo se debe tener en cuenta que la expresin debe tener un nmero de trminos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de trminos.

Casos de factorizacin. 58.

  • Demostracin:

resolvindolo nos queda: 59.

  • Ejemplos:
  • Factorizar: ax + bx + aw + bw
  • Agrupamos: (ax + bx) + (aw + bw)
  • Factor comn en cada binomio: x (a + b) + w (a + b)
  • Factor comn polinomio: (a + b)
  • Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
  • Factorizar: 2x2 - 4xy + 4x - 8y
  • Agrupamos: ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )
  • Factor comn en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
  • Factor comn polinomio: (x - 2y)
  • Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)

60.

  • Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n
  • Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )
  • Factor comn en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )
  • Factor comn polinomio: ( 2n + 8m )
  • Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)

61.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

62.

  • Algunos ejercicios:

mx + nx + mw + nw = af + bf + ag + bg = 3x2 - 6xy + 3xy - 2y = 2m2 7my + 3m - 9y = 4x2 - 8xn + 2x 6n = 4x+y + 10x+y + 4x8x + 4y8y = 2b+c + 8b+c + 3b8b + 3c8c = Casos para Polinomios. Ya estamos casi en el final sigue esforzndote por aprender queda muy poco!! 63. Relacin con la Geometra

  • El cuadrado : Polgono de 4 lados iguales.
  • Sus segmentos se sacan ocupando la factorizacion de cuadrados perfectos.
  • Es decir, si el rea de un cuadrado es:
  • A2 + 2ab + b2. Cunto ser el valor de sus lados?
  • rea del cuadrado = lado2
  • a2 + 2ab + b= (a + b)(a + b)/factorizacion.
  • = (a + b)2

(a + b) (a + b) Casos de factorizacin. 64.

  • El rectngulo : Polgono de 4 lados. 2 y 2 lados iguales.
  • Sus segmentos se sacan factorizando su rea por una diferencia de cuadrados.
  • rea rectngulo = base x altura
  • (a2 b2)= (a + b)(a b)/factorizacion.
  • Segmento 1= (a + b)
  • Segmento 2= (a b)

(a b) (a + b) 65. Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumnate conmigo.. Buena suerte!! En tu I parte de la prueba.. 66. Prueba Diagnostico: I parte.

  • Factorizar completamente cada polinomio:
  • 2x 2- 12x + 10
  • 3x 3- 27x 2+ 54x
  • 4x 2- 32x + 60
  • 2x 3 y + 4x 2 y 2- 6xy 3
  • 4x 2- 30x + 14
  • 9y 3+ 3y 2- 6y
  • 20x 3- 5x
  • 3x 2- 27
  • 2x 3- 16
  • 24x 3+ 3

Ver Respuestas Casos de factorizacin. 67.

  • Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:
  • 2x 2- 12x + 10= 2(x - 5)(x - 1)
  • 3x 3- 27x 2+ 54x= 3x(x - 3)(x - 6)
  • 4x 2- 32x + 60= 4(x - 5)(x - 3)
  • 2x 3 y + 4x 2 y 2- 6xy 3 = 2xy(x + 3y)(x - y)
  • 4x 2- 30x + 14= 2(2x - 1)(x - 7)
  • 9y 3+ 3y 2- 6y= 3y(3y - 2)(y + 1)
  • 20x 3- 5x= 5x(2x + 1)(2x - 1)
  • 3x 2- 27= 3(x + 3)(x - 3)
  • 2x 3- 16= 2(x - 2)(x 2+ 2x + 4)
  • 24x 3+ 3= 3(2x + 1)(4x 2- 2x + 1)

Atrs. 68. Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumnate conmigo.. Buena suerte!! En tu II parte de la prueba.. 69.

  • Prueba diagnostico: II parte.
  • Factorizar completamente cada polinomio
  • 2x 2- 12x + 10
  • 3x 3- 27x2 + 54x
  • 4x 2- 32x + 60
  • 2x 3 y + 4x 2 y 2- 6xy 3
  • 4x 2- 30x + 14
  • 9y 3+ 3y2 - 6y
  • 20x 3- 5x
  • 3x 2- 27
  • 2x 3- 16
  • 24x 3+ 3

Ver Respuestas Casos de factorizacin. 70.

  • Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:
  • 2x 2- 12x + 10= 2(x - 5)(x - 1)
  • 3x 3- 27x 2+ 54x= 3x(x - 3)(x - 6)
  • 4x 2- 32x + 60= 4(x - 5)(x - 3)
  • 2x 3 y + 4x 2 y 2- 6xy 3 = 2xy(x + 3y)(x - y)
  • 4x 2- 30x + 14= 2(2x - 1)(x - 7)
  • 9y 3+ 3y 2- 6y= 3y(3y - 2)(y + 1)
  • 20x 3- 5x= 5x(2x + 1)(2x - 1)
  • 3x 2- 27= 3(x + 3)(x - 3)
  • 2x 3- 16= 2(x - 2)(x 2+ 2x + 4)
  • 24x 3+ 3= 3(2x + 1)(4x 2- 2x + 1)

Atrs. 71.

  • Integrantes: - Daniel Belmar. (3mA)
  • - Germn Soto. (3mA)
  • Fecha: 14 de Junio, 2005.