módulo de pl

INVERSION DE MATRICES

El método consiste en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad. Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible. Vamos a ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener la inversa y otro en el que la matriz no es inversible. Ojo a lo siguiente, pues es muy importante: hemos de decidir si haremos nuestras transformaciones elementales por filas o por columnas, pues la forma que elijamos debe mantenerse a lo largo de todo el proceso de inversión de la matriz.

1) 2 -1 1 0 1 1 0 1

1 - 1/2 1/2 0 0 1 1/2 - 1/2 1

1 0 1/3 1/3 0 1 - 1/3 2/3

2) 3 2 1 0 1 4 0 1

1 2/3 1/3 0 0 3 1/3 - 1/3 1

1 0 2/5 - 1/5 0 1 - 1/10 3/10

3) 2 3 1 0 4 3 0 1

1 1 1/2 1/2 0 0 -3 -2 1

1 0 - 1/2 1/2 0 1 2/3 - 1/3

4) 2 1 1 0 1 -1 0 1

1 1/2 1/2 0 0 -1 1/2 - 1/2 1

1 0 1/3 1/3 0 1 1/3 - 2/3

5) 2 3 1 0 4 5 0 1

1 1 1/2 1/2 0 0 -1 -2 1

1

1 0 -2 1/2 1 1/2 0 1 2 -1

6) 3 2 1 0 2 4 0 1

1 2/3 1/3 0 0 2 2/3 - 2/3 1

1 0 1/2 - 1/4 0 1 - 1/4 3/8

MATRICES DE TERCER ORDEN

7) 2 3 4 1 0 0 4 3 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 1 1/2 2 1/2 0 0 0 -3 -6 -2 1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 -1 - 1/2 1/2 0 0 1 2 2/3 - 1/3 0 0 0 -2 - 2/3 1/3 1

1 0 0 - 1/6 1/3 - 1/2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1/3 - 1/6 - 1/2

12 -2 0 4 Matrix Calculator 4 0 -2 -6 12 -6

1/12 -2 4 -6 - 1/6 1/3 - 1/2 0 0 12 0 0 1 4 -2 -6 1/3 - 1/6 - 1/2

8) 2 -2 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 3 -2 2 0 0 1

1 0 0

2

0 1 0 0 0 1

1 0 - 1/2 1/2 0 0 1 2/3 - 1/3 0 0 0 - 2/3 1/3 1

1 0 0 -1 0 1 0 1 0 2 1 -2 0 0 1 3 1/2 1 -3

-2 2 -4 -7 Matrix Calculator 0 -2 -2 -2 4 6

- 1/2 2 0 -2 -1 0 1 -4 -2 4 2 1 -2 -7 -2 6 3 1/2 1 -3

METODO SIMPLEX

PROBLEMAS DE MAXIMIZACION

1. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los del tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 dólares por cada paquete que venda del tipo A y 5 dólares por cada uno que vende del tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios de éste.

TIPOSAx

By

Con cafeína 3 2 120Sin cafeína 3 4 180Ganancias $ 6 $ 5

Z 6x+5y

1.2. 3. 3x+2y 1204. 3x+4y 180

3

Z 6x+5y

Vértices(0,0)

(0,45)(40,0)

(20,30)

Vértices Utilidades(0,0) 0(0,45) 225(40,0) 240

(20,30) $ 270 ¡ SOF !

4

6 5 0 0x y u1 u2

0 u1 120 3 2 1 00 u2 180 3 4 0 1

0 -6 -5 0 0

6 x 40 1 2/3 1/3 0 0 u2 60 0 2 -1 1

240 0 -5 2 0

6 x 20 1 0 2/3 - 1/35 y 30 0 1 - 1/2 1/2

270 0 0 1,5 1/2

2. En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. De bizcocho y produce un beneficio de 250 centavos de dólar, mientras que una torta Real necesita medio Kg. De relleno por cada Kg. De bizcocho y produce 400 centavos de dólar de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. De bizcocho y 50 Kg. De relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuántas tortas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

TIPO DE TORTASVienesa

xReal

yBizcocho 1 1 150Relleno 0,250 0,5 50Nº de tortas 1 0 125Nº de tortas 0 1 125Utilidad $250 $400

(Siempre hay que cuidar que las unidades de reducción sean o en gr. o en Kg.)

Z 250x+400y

1. x+y 1502. 0,25x+0,5y 503. x 1254. y 1255. x 06. y 0

5

Vértices(0,0)

(125,0)(125,25)(0,100)(100,50)

Reemplazando en la Función Objetivo:

Z 250x+400y

Vértices Utilidades(0,0) $ 0

(125,0) $31.250(100,50) $45.000 ¡ SOF !(0,100) $40.000

(125,25) $41.250

METODO SIMPLEX

6

TIPO DE TORTASVienesa

xReal

yBizcocho 1 1 150Relleno 0,250 0,5 50Nº de tortas 1 0 125Nº de tortas 0 1 125Utilidad $250 $400

Función Objetivo: Z 250x+400yCondiciones:

x 0 Condición de no negatividady 0 Condición de no negatividad

Condiciones numéricas:

x+y 1500,25x+0,5y 50 x 125 y 125

250 400 0 0 0 0x y u1 u2 u3 u4

0 u1 150 1 1 1 0 0 00 u2 50 0,25 0,5 0 1 0 00 u3 125 1 0 0 0 1 00 u4 125 0 1 0 0 0 1

Z-c 0 -250 -400 0 0 0 0

0 u1 50 0,5 0 1 -2 0 0400 y 100 0,5 1 0 2 0 0

0 u3 125 1 0 0 0 1 00 u4 25 -0,5 0 0 -2 0 1

Z-c 40.000 -50 0 0 800 0 0

250 x 100 1 0 2 -4 0 0400 y 50 0 1 -1 4 0 0

0 u3 25 0 0 -1 4 1 00 u4 75 0 0 1 -4 0 1

45.000 0 0 100 600 0 0

3. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar a lo sumo 5.000 plazas de dos tipos: Turista (T) y Primera (P). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 dólares, mientras que la

7

ganancia del tipo P es de 40 dólares. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4.500 y las del tipo P deben ser como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.

PLAZASTurista

xPrimera

yNº de plazas 1 1 5.000Plazas T 1 0 4.500* condición -1 3 0Ganancias $ 30 $ 40

Z 30x+40y

1.2. 3. x+y 5.0004. x 4.500

5. y ; 3y<x ; -x+3y<0

Vértices(0,0)

(4500,0)

8

(4500,500)(3750,1250)


Z 30x+40y

Vértices Utilidades(0,0) 0

(4500,0) 135.000(4500,500) 155.000

(3750,1250) 162.500 ¡ SOF !

METODO SIMPLEX

PLAZASTurista

xPrimera

yNº de plazas 1 1 5.000Plazas T 1 0 4.500* condición -1 3 0Ganancias $ 30 $ 40

30 40 0 0 0 x y u1 u2 u30 u1 5.000 1 1 1 0 00 u2 4.500 1 0 0 1 00 u3 0 -1 3 0 0 1

En esta vez tomamos como el cociente más bajo CERO por ser cocientes entre cantidades positivas

0 -30 -40 0 0 0

0 u1 5.000 1 1/3 0 1 0 - 1/30 u2 4.500 1 0 0 1 0

40 y 0 - 1/3 1 0 0 1/3

0 -43 1/3 0 0 0 40/3

30 x 3.750 1 0 3/4 0 - 1/40 u2 750 0 0 - 3/4 1 1/4

40 y 1.250 0 1 1/4 0 1/4

162.500 0 0 32,5 0 2,5

4. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha. con olivos de tipo A, ni más de 10 ha. con olivos del tipo B. De olivos de tipo A necesita 4 m de agua anuales y cada una de tipo B, 3

9

m . Se dispone anualmente de 44 m de agua. Cada ha. de tipo A requiere una inversión de $500 dólares y cada una de tipo B, 225 dólares. Se dispone de $4.500 para realizar dicha inversión. Si cada ha. De olivar tipo A y B producen, respectivamente 500 y 300 litros anuales de aceite:a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se

deben plantar para maximizar la producción de aceite.b) Obtener la producción máxima.

OLIVARESAx

BY

Terreno 1 1 0 8 ha.Terreno 2 0 1 10 ha.Agua 4 3 44 mInversión $500 $225 $4.500Ganancias $ 500 $ 300

Z 500x+300y

1.2. 3. x 84. y 105. 4x+3y 44 6. 500x+225y 4.500

Z 500x+300y

Vértices Utilidades(0,0) 0(0,10) 3.000

(3.5, 10) 4.750(6, 6.67) $ 5.000 SOF!(3,2.22) 2.166.67

(8,0) 4.000

10

500 300 0 0 0 0x y u1 u2 u3 u4

0 u1 8 1 0 1 0 0 00 u2 10 0 1 0 1 0 00 u3 44 4 3 0 0 1 00 u4 180 20 9 0 0 0 1

0 -500 -300 0 0 0 0

500 x 8 1 0 1 0 0 0 0 u2 10 0 1 0 1 0 0 0 u3 12 0 3 -4 0 1 0

0 u4 20 0 9 -20 0 0 1

4000 0 -300 500 0 0 0

500 x 8 1 0 1 0 0 0 0 u2 7 7/9 0 0 2 2/9 1 0 - 1/90 u3 5 1/3 0 0 2 2/3 0 1 - 1/3

300 y 2 2/9 0 1 -2 2/9 0 0 1/9

4666 2/3 0 0 .-166.67 0 0 33.33

500 x 6 1 0 0 0 - 3/8 1/80 u2 3 1/3 0 0 0 1 - 5/6 1/60 u1 2 0 0 1 0 3/8 - 1/8

300 y 6 2/3 0 1 0 0 5/6 - 1/6

5000 0 0 0 0 62.5 12.5

11

5. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 dólares respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cuál sería este?

FUNDASAx

BY

Capacidad 1 0 9Horas trabajo 4 3 48Tela 3 5 60Ganancias $ 40 $ 20

Z 40x+20y

1.2. 3. x 94. 4x+3y 48 5. 3x+5y 60

Z 40x+20y

12

Vértices Utilidades(0,0) 0(9,0) 360

(60/11,96/11) 392.72(9,4) $ 440 SOF!(0,12) 240

40 20 0 0 0x y u1 u2 u3

0 u1 9 1 0 1 0 00 u2 48 4 3 0 1 00 u3 60 3 5 0 0 1

0 -40 -20 0 0 0

40 x 9 1 0 1 0 0 0 u2 12 0 3 -4 1 0 0 u3 33 0 5 -3 0 1

360 0 -20 40 0 0

40 x 9 1 0 1 0 0 20 u2 4 0 1 -1 1/3 1/3 0 0 u3 13 0 0 3 2/3 -1 2/3 1

440 0 0 13.33 6.66 0

6. La fábrica Gepetto S.A., construye soldados y trenes de madera. El precio de venta al público de un soldado es de 2700 pesos y el de un tren 2100 pesos. Gepetto estima que fabricar un soldado supone un gasto de 1000 pesos de materias primas y de 1400 pesos de costes laborales. Fabricar un tren exige 900 pesos de materias primas y 1000 pesos de costes laborales. La construcción de ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar un soldado se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Un tren necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. Gepetto no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, Gepetto fabrica, como máximo, 40 soldados a la semana. No ocurre así con los trenes, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas.

Obtener el número de soldados y de trenes que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

13

TIPO DE JUGUETESoldados

xTrenes

yCarpintería 1 1 80 horasAcabados 2 1 100 horasNº unidades 1 0 40 unid.Utilidades $ 300 $ 200

Utilidad = Precio de venta – Costos 300 = 2.700 – l.000 – 1.400 200 = 2.100 – 900 – 1.000

Z 300x+200y

1.2. 3. x+y 804. 2x+y 100 5. x 40

Vértices Utilidades(0,80) 16.000

(20,60) $ 18.000 ¡ SOF!(40,20) 16.000(40,0) 12.000(0,0) 0

14

300 200 0 0 0x y u1 u2 u3

0 u1 80 1 1 1 0 00 u2 100 2 1 0 1 00 u3 40 1 0 0 0 1

0 -300 -200 0 0 0

0 u1 40 0 1 1 0 -1 0 u2 20 0 1 0 1 -2

300 x 40 1 0 0 0 1

12000 0 -200 0 0 300

0 u1 20 0 0 1 -1 1 200 y 20 0 1 0 1 -2 300 x 40 1 0 0 0 1

16000 0 0 0 200 -100

0 u3 20 0 0 1 -1 1 200 y 60 0 1 2 -1 0 300 x 20 1 0 -1 1 0

18000 0 0 100 100 0

7. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesos y de 3 millones por cada coche. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

CARROCERÍAS

Camionesx

Autosy

Nave A 7 2 300 díasNave B 3 3 270 díasUtilidades $ 6 $ 3

Z 6x+3y

1.2. 3. 7x+2y 3004. 3x+3y 270

15


(42.85,0) 257.14(0,90) 270

(24,66) $ 342 ¡ SOF!

6 3 0 0 x y u1 u20 u1 300 7 2 1 00 u2 90 1 1 0 1

0 -6 -3 0 0

6 x 42 6/7 1 2/7 1/7 0 0 u2 47 1/7 0 5/7 - 1/7 1

257.14 0 -1.28 0.85 0

6 x 24 1 0 1/5 - 2/53 y 66 0 1 - 1/5 1 2/5

342 0 0 3/5 1 4/5

8. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa

16

emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

CARROCERÍASChaquetas

xPantalones

yCortar 1 1 7Coser 3 1 12Teñir 1 0 3Utilidades $ 8 $ 5

Z 8x+5y

1.2. 3. x+y 74. 3x+y 125. x 3


17

(0,7) 35(3,0) 24(3,3) 39

(2.5, 4.5) $ 42.5 ¡ SOF!

6 3 0 0 x y u1 u2 u30 u1 7 1 1 1 0 00 u2 12 3 1 0 1 00 u3 3 1 0 0 0 1

0 -8 -5 0 0 0

0 u1 4 0 1 1 0 -10 u2 3 0 1 0 1 -38 x 3 1 0 0 0 1

24 0 -5 0 0 8

0 u1 1 0 0 1 -1 25 y 3 0 1 0 1 -38 x 3 1 0 0 0 1

39 0 0 0 5 -7

0 u3 1/2 0 0 1/2 - 1/2 1

5 y 4 1/2 0 1 1 1/2 - 1/2 0 8 x 2 1/2 1 0 - 1/2 1/2 0

42,5 0 0 3,5 1,5 0

9. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

IMPRESOSA B

Bolso 1 1 0 120Bolso 2 0 1 100Cantidad 1 1 150Utilidad $ 5 $ 7

Z 5x + 7y

1.2.

18

3. x 1204. y 1005. x + y 150


(50,100) $ 950 ¡SOF!(0,100) 700

(120,30) 810(120,0) 600

5 7 0 0 0 x y u1 u2 u30 u1 120 1 0 1 0 00 u2 100 0 1 0 1 00 u3 150 1 1 0 0 1

0 -5 -7 0 0 0

0 u1 120 1 0 1 0 07 y 100 0 1 0 1 00 u3 50 1 0 0 -1 1

700 -5 0 0 7 0

0 u1 70 0 0 1 1 -17 y 100 0 1 0 1 05 x 50 1 0 0 -1 1

950 0 0 0 2 5

10. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para

19

transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas., contestar justificando las respuestas:

a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?

b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

NARANJASA B

Compras 50 80 50.000Cantidad 1 1 700Utilidad $ 8 $ 10

Z 8x + 10y

1.2. 3. 50x+80y 50.000 5x+8y 5.0004. x + y 700


(200,500) $ 6.600 ¡SOF!(700,0) 5.600

20

(0,625) 6.250

8 10 0 0 x y u1 u20 u1 5.000 5 8 1 00 u2 700 1 1 0 1

0 -8 -10 0 0

10 y 625 5/8 1 1/8 0 0 u2 75 3/8 0 - 1/8 1

6.250 -1 3/4 0 1 1/4 0

10 y 500 0 1 1/3 -1 2/38 x 200 1 0 - 1/3 2 2/3

6.600 0 0 2/3 4 2/3

TAREA EXTRACLASE

1. Un productor agrícola dispone de los siguientes recursos: 12 acres de tierra, 48 horas de trabajo familiar y 360 US $ de capital, para sembrar Maíz, Soya y Avena, respectivamente. Él está interesado en saber que cantidad de acres debe sembrar de cada producto, a fin de obtener el máximo ingreso posible por el uso de sus recursos. La producción de Maíz requiere un acre de tierra, seis horas de trabajo y 36 dólares de capital. La producción de Soya requiere un ácre de tierra, seis horas de trabajo y 24 US $ de capital. La producción de Avena requiere un acre de tierra, dos horas de trabajo y 18 US $ de capital. Los precios netos son los siguientes: Maíz $ 40, Soya $ 30 y Avena $ 20 por acre.

2. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kg. de A, 90 kg. de B y 150 kg. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg. de A, 1 kg. de B y 2 kg. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kg. de A, 2 kg. de B y 1 kg. de C.

a. Si se venden las tartas T1 a 1000 pesos la unidad y las T2 a 2300 pesos. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?

b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1500 pesos. ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricara 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

3. Las restricciones impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 ptas/kg y el precio del

21

rape es de 1.500 ptas/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?

4. En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 ptas. y cada saco de Q a 800 ptas. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los máximos ingresos?

5. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs. de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

6. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje es el mismo para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria). ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea máximo? (Aunque es un absurdo, se lo cita por razones didácticas).

7. Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?

8. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

9. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?

10. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere de 2 horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de

22

moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen cada una de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600. Si el modelo Bae se vende a 10 dólares y el modelo Viz a 12 dólares, ¿Qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual?

11. Cada mes una empresa puede gastar como máximo 1’000.000 de dólares en salarios y 1’800.000 dólares en energía (electricidad y gas oil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 dólares y 50 dólares por cada unidad de B. El costo salarial MS Sans Serif, Helvética y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A, y una del B, aparece en la siguiente tabla:

A BCosto salarial 200 100Costo energético 100 300

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.

PROBLEMAS DE MINIMIZACION

11. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:

Dieta 1: 2 unidades de A y 3 unidades de BDieta 2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.

Sabiendo que el precio de la Dieta 1 es $2,5 dólares y el de la Dieta 2 es $1,45 dólares ¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo?

DIETAS1x

2Y

Componente A 2 1 70Componente B 3 2 120Ganancias $ 2,5 $ 1,45

Z 2,5x+1,45y

1.2. 3. 2x+y 704. 3x+2y 120

23

Z 2,5x+1,45y

Vértices Utilidades(0,70) 101,5(40,0) 100

(20,30) $ 93,50 ¡ SOF !

2.5 1.45 0 0 M Mx y u1 u2 A1 A2

M A1 70 2 1 -1 0 1 0M A2 120 3 2 0 -1 0 1

190M 5M 3M .-M .-M 0 0

2.5 X 35 1 1/2 - 1/2 0 1/2 0 M A2 15 0 1/2 1 1/2 -1 -1 1/2 1

15M 0 3.5M 1/2M -2M -1.5M M

2.5 X 20 1 0 -2 1 2 -1 1.45 Y 30 0 1 3 -2 -3 2

93.5 0 0 - 2/3 - 2/5 12. Una compañía posee dos minas. La mina A produce cada día 1 tonelada de

hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo

24

diario de operación es de 2.000 dólares en cada mina ¿Cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?

TIPO DE MINASAx

By

Calidad Alta 1 2 80Calidad Media 3 2 160Calidad Baja 5 2 200Costos $ 2.000 $ 2.000

Z 2000x+2000y

1.2. 3. x+2y 804. 3x+2y 1605. 5x+2y 200


Z 2.000x+2.000y

Vértices Utilidades

25

(0,100) 200.000(80,0) 160.000

(20,50) 140.000(40,20) 120.000 ¡ SOF !

Inecuaciones:1.2. 3. x+2y 804. 3x+2y 1605. 5x+2y 200

Ecuaciones:1.2. 3. x + 2y – u1 + A1 = 804. 3x + 2y – u2 + A2 = 1605. 5x + 2y – u3 + A3 = 200

2000 2000 0 0 0 M M Mx y u1 u2 u3 A1 A2 A3

M A1 80 1 2 -1 0 0 1 0 0M A2 160 3 2 0 -1 0 0 1 0M A3 200 5 2 0 0 -1 0 0 1

440M 9M-2000 6M-2000 -M -M -M 0 0 0

M A1 40 0 8/5 -1 0 1/5 1 0 - 1/5M A2 40 0 4/5 0 -1 3/5 0 1 - 3/5

2000 x 40 1 2/5 0 0 - 1/5 0 0 1/5

80.000 0 6M-1200 -2M -2M -0.2M M M -0.8M

2000 y 25 0 1 - 5/8 0 1/8 5/8 0 - 1/8M A2 20 0 0 ½ -1 ½ ½ 1 - ½

2000 x 30 1 0 ¼ 0 - ¼ - ¼ 0 ¼Eliminados los adicionales de M, sus columnas igual se eliminan y se hace innecesario el continuar con los cálculos de dichas columnas.

20M+110.000 0 0 1/2M-750 -2M 1/2M-250 2000 y 20 0 1 - 3/4 1/4 0

0 u3 40 0 0 1 -2 1 2000 x 40 1 0 1/2 - 1/2 0

120.000 0 0 -500 -500 0

13. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T.

26

La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

CRUDOLIGERO

xPESADO

YGasolina 0.3 0.3 900.000Calefacción 0.2 0.4 800.000Turbinas 0.3 0.2 500.000Costos $ 35 $ 30

Z 35x+30y

1.2. 3. 0.3x+0.3y 900.000 x+y 3’000.0004. 0.2x+0.4y 800.000 x+2y 4’000.0005. 0.3x+0.2y 500.000 3x+2y 5’000.000

Z 35x+30y

Vértices Utilidades(0,3) 90 ¡SOF!(2,1) 100(4,0) 140

27

35 30 0 0 0 M M M x y u1 u2 u3 A1 A2 A3M A1 3 1 1 -1 0 0 1 0 0M A2 4 1 2 0 -1 0 0 1 0M A3 5 3 2 0 0 -1 0 0 1

12M 5M 5M .-M .-M .-M 0 0 0

-35 -30

M A1 1 1/2 0 -1 1/2 0 1 - 1/2 030 y 2 1/2 1 0 - 1/2 0 0 1/2 0M A3 1 2 0 0 1 -1 0 -1 1

2M+60 5/2M+15 30 -M 3/2M-15 -M M -3/2M+15 M

15/2M-20 0 -2M 1/2M-15 -2M M -3/2M+15 M

Es un absurdo el que en la columna de respuestas salga PRODUCCION negativa. M A1 ¾ 0 0 -1 ¼ ¼ 1 - ¼ - ¼30 y 1 ¾ 0 1 0 - ¾ ¼ 0 ¾ - ¼35 x ½ 1 0 0 ½ - ½ 0 - ½ ½

Cómo aún queda una columna POSITIVA, y todas deben ser negativas, si la trabajamos no arroja resultado alguno. Entonces tomamos el NEGATIVO más alto (-2M) pero como es imposible trabajar también con esa columna tomamos la que sigue con el negativo más alto. (-3/4 M-10)

3/4M+70 M+35 30 -M 1/4M-5 1/4M-10 M -1/4M+5 -1/4M+10

0 0 -2M -3/4M-5 -3/4M-10 M -1/4M+5 -1/4M+10

0 u3 3 0 0 -4 1 1

30 y 1 0 1 1 -1 0 35 x 2 1 0 -2 1 0

100 35 30 -40 5 0 0 0 -40 5 0

0 u3 1 -1 0 -2 0 1 30 y 3 1 1 -1 0 0 0 u2 2 1 0 -2 1 0

90 -5 0 -30 0 0

14. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kg. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogur de fresa es el doble que el de un yogur de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el coste de la campaña sea mínimo?

TIPO DE YOGURTLimón

XFresa

yFermento 0.5 0.2 9.000 grNº unidades 1 1 30.000 u.

28

Utilidades $ 1 $ 2

Z x+2y

1.2. 3. 0.5x+0.2y 9.0004. x+y 30.000

Vértices Utilidades(0,45.000) 90.000

(10.000,20.000) 50.000 ¡ SOF!(18.000,0) 18.000

NOTA: (18.000,0) No puede ser solución porque no se cumple con x + y 30.000

INECUACIONES ECUACIONES

0.5x+0.2y 9.000 5x + 2y – u1 = 90.000x+y 30.000 x + y – u2 + A1 = 30.000

1 2 0 0 Mx y u1 u2 A

0 u1 90.000 5 2 1 0 0M A 30.000 1 1 0 -1 1

30.000M M-1 M-2 0 -M 0

29

1 x 18.000 1 2/5 1/5 0 0 M A 12.000 0 3/5 - 1/5 -1 1

12.000M+18.000 0 8M/5-7/5 -M/5+1/5 -2M

1 x 10.000 1 0 1/3 2/3 - 2/32 y 20.000 0 1 - 1/3 -1 2/3 1 2/3

50.000 0 0 - 1/3 -2 2/3

15. En una granja de pollos se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?

DIETAX Y

Compuesto A 1 5 15 unidadesCompuesto B 5 1 15 unidadesCostos $ 1000 $ 3000

Z(mín.) = 1000x + 3000y

1. x 02. y 03. x + 5y 154. 5x + y 15

30

Z(mín.) = x + y

Vértices(0,15) 45.000(2.5,2.5) 10.000 ¡SOF!(15,0) 15.000

1000 3000 0 0 M M x y u1 u2 A1 A2M A1 15 1 5 -1 0 1 0M A2 15 5 1 0 -1 0 1

30M 6M-1000 6M-3000 -M -M 0 0

M A1 12 0 4 4/5 -1 1/5 1 - 1/5

1000 x 3 1 1/5 0 - 1/5 0 1/5

12M 0 10M -2M -4/5M M -1/5M

3000 y 2,5 0 1 - 5/24 1/24 1000 x 2,5 1 0 1/24 - 5/24

10000 0 0 -583 1/3 -83 1/3

16. Un establecimiento para el engorde de animales de granja compra 2 tipos de alimento para cubrir sus objetivos que tienen las características de la siguiente tabla:

31

TIPO DE ALIMENTOI II

Nutritivo 1 0.1 0 0.4 kg.Nutritivo 2 0 0.1 0.6 Kg.Nutritivo 3 0.1 0.2 2 Kg.Nutritivo 4 0.2 0.1 1.7 Kg.Costos 10 4

Adecuamos la tablaTIPO DE ALIMENTO

I IINutritivo 1 1 0 4 Kg.Nutritivo 2 0 1 6 Kg.Nutritivo 3 1 2 20 Kg.Nutritivo 4 2 1 17 Kg.Costos $ 10 $ 4

¿Cuántos kg. de cada uno de los alimentos conviene comprar?

1. x 42. y 63. x + 2y 204. 2x + y 17

Z = 10x + 4y

32

Vértices(4,9) 76 ¡SOF!(8,6) 104

(4.66; 7.66) 77.33

10 4 0 0 0 0 M M M Mx y u1 u2 u3 u4 A1 A2 A3 A4

M A1 0,4 0,1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0M A2 0,6 0 0,1 0 -1 0 0 0 1 0 0M A3 2 0,1 0,2 0 0 -1 0 0 0 1 0M A4 1,7 0,2 0,1 0 0 0 -1 0 0 0 1

Z 4,7M 0,4M-10 4M-4 -M -M -M -M 0 0 0 0

Z 4700 390 396 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 0 0 0 0

M A1 0,4 0,1 0 -1 0 0 0 1 0 0 04 y 6 0 1 0 -10 0 0 0 10 0 0M A3 0,8 0,1 0 0 2 -1 0 0 -2 1 0M A4 1,1 0,2 0 0 1 0 -1 0 -1 0 1

Z 2,3M+24 0,4M-10 0 -M 3M-40 -1.000 -1.000 1.000 -3M+40 0 0

Z 2324 390 0 -1.000 2.960 -1.000 -1.000 1.000 -2960 0 0

1.000 A1 0,4 0,1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0

4 y 10 0,5 1 0 0 -5 0 0 0 5 00 u2 0,4 0,05 0 0 1 -0,5 0 0 -1 0,5 0

1.000 A4 0,7 0,15 0 0 0 0,5 -1 0 0 -0,5 1

1.140 252-10 0 -1.000 0 480 -1.000 1.000 0 -480 1.000

1.000 A1 0,4 0,1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0

4 y 17 2 1 0 0 0 -10 0 0 0 100 u2 1,1 0,2 0 0 1 0 -1 0 -1 0 10 u3 1,4 0,3 0 0 0 1 -2 0 0 -1 2

468 108-10 4-4 -1.000 0 0 -40 1000-M -1000 0 40-1000

468 98 0 -1.000 0 0 -40 0 -1000 -960

10 x 4 1 0 -10 0 0 0 4 y 9 0 1 20 0 0 -10 0 u2 0,3 0 0 2 1 0 -1 0 u3 0,2 0 0 3 0 1 -2

76 0 0 -20 0 0 -40

TAREA EXTRACLASE

1. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A, a 200 dólares la unidad, y de la clase B, a 150 dólares. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1.000 unidades a los de la

33

A; Además, entre las dos clases no superan las 3.000 unidades y los de la clase B no bajan de 1.000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria.

2. En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: N1, N2, N3. Una unidad de A vale 1 dólar y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2.4 dólares y contiene 1, 2, y 3 unidades de N1, N2, y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide determinar las cantidades para lograr un costo mínimo.

3. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero solo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor, 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210 dólares, mientras que los del mayorista B cuestan 300 dólares cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor costo posible?

4. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:

PRODUCTOSA B LIMITANTES

Proteínas 2 1 8 unidadesHidratos 6 1 12 unidadesGrasas 1 3 9 unidadesCostos $ 600 $ 400

¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?

5. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.

ABONOSA B LIMITANTES

Potasio 4 1 4 unidadesFósforo 6 10 23 unidadesNitrógeno 1 6 6 unidadesCostos $ 15 $ 24

34

¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?

6. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 autobuses de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta 80 dólares y el de uno pequeño, 60 dólares. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

7. En una granja de pollos se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

PROBLEMAS SIMPLEX MIXTOS

1. Disponemos de $210.000 para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de $130.000 en las del tipo A y como mínimo $60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

TIPO DE ACCIONES

A BInversión 1 1 $ 210.000Rendimiento A 1 0 $ 130.000 Rendimiento B 0 1 $ 60.000Condición 1 -2 0Utilidad 0.1 x 0.08 y

Condiciones que deben cumplirse:

1. 2. 3.4. 5. 6.

35

Vértices(0;60.000)

(120.000;60.000)(130.000;65.000)(130.000;80.000)

(0;210.000)


Z 0.1x+ 0.08y

Vértices Utilidades(0;60.000) $ 4.800

(120.000;60.000) $ 16.800(130.000;65.000) $ 18.200(130.000;80.000) $ 19.400 ¡SOF!

(0;210.000) $ 16.800

METODO SIMPLEX

TIPO DE ACCIONES

A BInversión 1 1 $ 210.000Rendimiento A 1 0 $ 130.000 Rendimiento B 0 1 $ 60.000

36

Condición 1 -2 0Utilidad 0.1 x 0.08 y

Función Objetivo: Z 0.1 x+ 0.08 yCondiciones:

Condición de no negatividad Condición de no negatividad

Condición contextual


Las inecuaciones las procesamos en ecuaciones: El orden es indiferente, sin embargo comenzamos con las más sencillas.

Procesamos ahora la inecuación compleja (MAYOR O IGUAL QUE)

La variable artificial compensa la negatividad de la variable negativa de holgura que fue necesario introducir para llegar a la igualdad.

Finalmente x<2yx -2y <0x-2y + a =0

Armamos ahora la Matriz Simplex

0,1 0,08 0 0 0 M Mx y u1 u2 u3 A1 A2

0 u1 210.000 1 1 1 0 0 0 00 u2 130.000 1 0 0 1 0 0 0M A1 60.000 0 1 0 0 -1 1 0M A2 0 1 -2 0 0 0 0 1

PRIMERO HAY QUE MINIMIZAR. LUEGO MAXIMIZAMOS. POR ESO ESCOGEMOS EL MAS ALTO POSITIVO. Nótese que sólo se agregó otra artificial A2 dado que la negativa Y ya existe.

60.000M M-0.1 -M-0,08 0 0 -M 0 0

37

0 u1 80.000 0 1 1 -1 0 0 00,1 x 130.000 1 0 0 1 0 0 0M A1 60.000 0 1 0 0 -1 1 0M A2 -130.000 0 -2 0 -1 0 0 1

AHORA COMENZAMOS A MAXIMIZAR. SELECCIONAMOS AL NEGATIVO MÁS ALTO -70.000M 0 -2M-0,08 0 -M+0,1 -2M M M

0 u1 20.000 0 0 1 -1 10,1 x 130.000 1 0 0 1 0

0,08 y 60.000 0 1 0 0 -1M A2 -10.000 0 0 0 -1 -2

17.800 0 0 0 -M+0,1 -2M-0,08

0 u3 20.000 0 0 1 -1 10,1 x 130.000 1 0 0 1 0

0,08 y 80.000 0 1 1 -1 0M A2 30.000 0 0 2 -3 0

Como todas son CERO o POSITIVAS ya está maximizada la matriz simplex. 19.400 0 0 0,08 0,02 0

2. Disponemos de $21.000 para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un máximo de $13.000 en las del tipo A y como mínimo $6.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo B sea menor que el doble de la inversión en A. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

TIPO DE ACCIONES

A BInversión 1 1 $ 21.000Rendimiento A 1 0 $ 13.000 Rendimiento B 0 1 $ 6.000Condición -2 1 0Utilidad 0.07 x 0.09 y


1. 2. 3.4. 5. 6.

38

Vértices(3.000;6.000)

(13.000;6.000)(13.000;8.000)(7.000;14.000)


Z 0.07x+ 0.09y

Vértices Utilidades(3.000;6.000) $ 750

(13.000;6.000) $ 1.450(13.000;8.000) $ 1.630(7.000;14.000) $ 1.750 ¡SOF!

METODO SIMPLEX

TIPO DE ACCIONES

A BInversión 1 1 $ 21.000Rendimiento A 1 0 $ 13.000 Rendimiento B 0 1 $ 6.000Utilidad 0.07 x 0.09 y

39

Función Objetivo: Z 0.07 x+ 0.09 yCondiciones:

Condición de no negatividad Condición de no negatividad

Condición contextual


Las inecuaciones las procesamos en ecuaciones: El orden es indiferente, sin embargo comenzamos con las más sencillas.

Procesamos ahora la inecuación compleja (MAYOR O IGUAL QUE)

La variable artificial compensa la negatividad de la variable negativa de holgura que fue necesario introducir para llegar a la igualdad.

-2x+y<0-2x+y + =0

Armamos ahora la Matriz Simplex

0,07 0,09 0 0 0 M M x y u1 u2 u3 A1 A20 u1 21.000 1 1 1 0 0 0 00 u2 13.000 1 0 0 1 0 0 0M A1 6.000 0 1 0 0 -1 1 0M A2 0 -2 1 0 0 0 0 1 6.000M -2M-0,07 2M-0,09 0 0 -M 0 0 0 u1 15.000 1 0 1 0 1 -1 00 u2 13.000 1 0 0 1 0 0 0

0,09 y 6.000 1 1 0 0 -1 1 0M A2 -6.000 -2 0 0 0 1 -1 1

-6.000M+540 -2M 0 0 0 M -M M

40

0 u3 15.000 1 0 1 0 1 -1 00 u2 13.000 1 0 0 1 0 0 0

0,09 y 21.000 1 1 1 0 0 0 0M A2 21.000 -3 0 -1 0 0 0 1 -21.000M+1890 -3M+0,09 0 -M 0 0 0 M 0 u3 8.000 0 0 2/3 0 10 u2 6.000 0 0 - 1/3 1 0

0,09 y 14.000 0 1 2/3 0 00,07 x 7.000 1 0 1/3 0 0

1.750 0 0 0,08 0 0

COMO TODOS SON 0 O POSITIVOS, LA MATRIZ ESTA MAXIMIZADA.

3. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá?

TIPO DE ACCIONES

A BInversión 1 1 $ 10’Máximo A 1 0 $ 7’ Mínimo A 1 0 $ 2’Condición 1 -1 0Utilidad 0.09 x 0.12 y


1. 2. 3.4. 5. 6.

41

Vértices(2,0)(7,0)(5,5)(7,3)(2,2)


Z 0.09x+ 0.12y

Vértices Utilidades(2,0) 0.18(7,0) 0.63(5,5) 1.05 ¡SOF!(7,3) 0.99(2,2) 0.42

INECUACIONES ECUACIONES

1. x+y 10 x + y – u1 = 102. x 7 x – u2 = 73. x 2 x – u3 + A1=2

42

4. x y x – y + A2=0

TIPO DE ACCIONES

A BInversión 1 1 $ 10’Máximo A 1 0 $ 7’ Mínimo A 1 0 $ 2’Condición 1 -1 0Utilidad 0.09 x 0.12 y

60 80 0 0 0 0 Mx y u1 u2 u3 u4 A1

M A1 40 4 5 -1 0 0 0 10 u2 8 1 0 0 1 0 0 00 u3 10 0 1 0 0 1 0 00 u4 9 1 1 0 0 0 1 0

Procedemos a MINIMIZAR directamente 40M 4M 5M .-M 0 0 0 0

80 y 8 4/5 1 - 1/5 0 0 0 1/50 u2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 u3 2 - 4/5 0 1/5 0 1 0 - 1/50 u4 1 1/5 0 1/5 0 0 1 - 1/5

Como la columna y pivote recaerían sobre el mismo elemento (IDENTIDAD), procedemos a tomar de las columnas, la del POSITIVO que le sigue en su orden

640 64 80 -16 0 0 0 16

80 y 4 0 1 -1 0 0 -4 0 u2 3 0 0 -1 1 0 -5 0 u3 6 0 0 1 0 1 4

60 x 5 1 0 1 0 0 5

620 0 0 -20 0 0 -20 Como todos elementos son CERO y/o NEGATIVOS, esta minimizada la matriz.

4. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas, y que el número de mecánicos no supere el doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 dólares por electricista y 200 dólares por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuál es este?

OPERARIOSElectricistas

xMecánicos

y

43

Nº electricistas 1 0 30Nº mecánicos 0 1 201ª condición 1 -1 02ª condición -2 1 0Beneficios $ 250 $ 200

Z 250x+200y

1.2. 3. x 304. y 205. y x x y x-y 06. y 2x -2x + y 0


Z 250x+200y

Vértices Utilidades(0,0) 0(30,0) 7.500

(30,20) 11.500(20,20) $ 9.000 ¡ SOF !

44

(30,20)=$ 11.500 no cumple la condición y x

METODO SIMPLEX

OPERARIOSElectricistas

xMecánicos

yNº electricistas 1 0 30Nº mecánicos 0 1 201ª condición 1 -1 02ª condición -2 1 0Beneficios $ 250 $ 200

250 200 0 0 0 0 x y u1 u2 u3 u40 u1 30 1 0 1 0 0 00 u2 20 0 1 0 1 0 00 u3 0 1 -1 0 0 1 00 u4 0 -2 1 0 0 0 1

0 -250 -200 0 0 0 0

0 u1 30 0 1 1 0 -1 00 u2 20 0 1 0 1 0 0

250 x 0 1 -1 0 0 1 00 u4 0 0 -1 0 0 2 1

0 0 -450 0 0 250 0

0 u1 10 0 0 1 -1 -1 0

200 y 20 0 1 0 1 0 0250 x 20 1 0 0 1 1 0

0 u4 20 0 0 0 1 2 1

9.000 0 0 0 450 250 0

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

METODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Sea el caso de tres fábricas que producen 400,200 y 150 toneladas de hierro. Tienen que distribuir su producción hacia tres almacenes de una misma ciudad. Los almacenes requieren 200, 300 y 250 toneladas. Los costos de transportación son iguales, es decir de $25 desde el origen hasta el destino.

45

¿Cómo se deberán distribuir estas cargas? ¿Cuáles serán sus costos?

Costo: $ 18.750

Pero si los costos son distintos desde cada fábrica a cada almacén, como se indica:

46

Entonces, el costo cambia: $ 12.300

Pero entonces queda también la posibilidad de que si se distribuyen las toneladas de otro modo, se pueda rebajar los costos iniciales.

Estamos tratando de optimizar las asignaciones. Por tanto se comienza a evaluar cuadro a cuadro en búsqueda de rebajar los costos. El sistema es el de buscar crear circuitos o “loops” cuyas rutas produzcan mejorías. Estas rutas deben llegar y cerrar el circuito hasta el punto desde el cual partió. Las asignaciones deben cumplir la red fundamental:

m + n – 1

En el ejemplo, serán: 3 + 3 – 1 = 5. Caso contrario la solución es una solución degenerada.

Si movemos las cargas en esa ruta se obtiene una mejora (una reducción)Dado que: +16 – 20 + 15 – 12 + 14 – 18 = - 5

47

Movemos 100 toneladas (lo máximo que se puede mover)

Nuevo costo: $11.800

Se obtuvo un nuevo costo: $ 11.200

Costo final: $ 9.800

48

Se ha llegado a la solución óptima si evaluadas cada una de las celdas ya no es posible obtener cantidades negativas.

EJERCICIOS

1)5 3 4

85 3 4

8 6 7 2

96 7 2

9 4 5 8 17 4 5 8 17

5 3 4 8

5 3 4 8

6 7 2 9

6 7 2 9

4 5 8 17 4 5 8 17

2)37 36 36 40

8037 36 36 40

80 35 34 34 38

6035 34 34 38

60 0 0 0 0

900 0 0 0

90 30 20 140 40 230 30 20 140 40 230

3)

4 3 5 8

4 3 5 8

2 3 6 5

2 3 6 5

3 1 2 6

3 1 2 6

0 0 0 1

0 0 0 1

8 3 9 20 8 3 9 20

4 3 5 8

4 3 5 8

2 3 6 5

2 3 6 5

3 1 2 6

3 1 2 6

0 0 0 1

0 0 0 1

8 3 9 20 8 3 9 20

4)

49

3 7 6 4 5

3 7 6 4 5

2 4 3 2 2

2 4 3 2 2

4 3 8 5 3

4 3 8 5 3

3 4 2 1 20 3 4 2 1 20

50

3 7 6 4 5

3 7 6 4 5

2 4 3 2 2

2 4 3 2 2

4 3 8 5 3

4 3 8 5 3

3 4 2 1 20 3 4 2 1 20

3 7 6 4 5

3 7 6 4 5

2 4 3 2 2

2 4 3 2 2

4 3 8 5 3

4 3 8 5 3

3 4 2 1 20 3 4 2 1 20

5)10 16 14 12

1610 16 14 12

16 8 14 16 14

128 14 16 14

12 16 8 12 12

616 8 12 12

6 16 4 4 10 34 16 4 4 10 34

10 16 14 12 16

10 16 14 12 16

8 14 16 14 12

8 14 16 14 12

16 8 12 12 6

16 8 12 12 6

16 4 4 10 34 16 4 4 10 34

10 16 14 12 16

10 16 14 12 16

8 14 16 14 12

8 14 16 14 12

16 8 12 12 6

16 8 12 12 6

16 4 4 10 34 16 4 4 10 34

6)

8 6 10 9 35

8 6 10 9 35

9 12 13 7 50

9 12 13 7 50

14 9 16 5 40

14 9 16 5 40

45 20 30 30 125 45 20 30 30 125

51

8 6 10 9 35

8 6 10 9 35

9 12 13 7 50

9 12 13 7 50

14 9 16 5 40

14 9 16 5 40

45 20 30 30 125 45 20 30 30 125

7)

10 0 20 11 15

10 0 20 11 15

12 7 9 20 25

12 7 9 20 25

0 14 16 18 5

0 14 16 18 5

5 15 15 10 45 5 15 15 10 45

10 0 20 11 15

10 0 20 11 15

12 7 9 20 25

12 7 9 20 25

0 14 16 18 5

0 14 16 18 5

5 15 15 10 45 5 15 15 10 45

8)

8 5 8 10

8 5 8 10

13 12 1 20

13 12 1 20

7 9 5 12

7 9 5 12

10 6 4 13

10 6 4 13

8 32 15 55 8 32 15 55

8 5 8 10

8 5 8 10

13 12 1 20

13 12 1 20

7 9 5 12

7 9 5 12

10 6 4 13

10 6 4 13

8 32 15 55 8 32 15 55

8 5 8 10 8 5 8 10

52

13 12 1

2013 12 1

20 7 9 5

127 9 5

12 10 6 4

1310 6 4

13 8 32 15 55 8 32 15 55

9)7 9 9 6

307 9 9 6

30 6 10 12 8

106 10 12 8

10 9 8 10 14

509 8 10 14

50 0 0 0 0

160 0 0 0

16 20 24 28 34 106 20 24 28 34 106

7 9 9 6 30

7 9 9 6 30

6 10 12 8 10

6 10 12 8 10

9 8 10 14 50

9 8 10 14 50

0 0 0 0 16

0 0 0 0 16

20 24 28 34 106 20 24 28 34 106

7 9 9 6 30

7 9 9 6 30

6 10 12 8 10

6 10 12 8 10

9 8 10 14 50

9 8 10 14 50

0 0 0 0 16

0 0 0 0 16

20 24 28 34 106 20 24 28 34 106

7 9 9 6 30

7 9 9 6 30

6 10 12 8 10

6 10 12 8 10

9 8 10 14 50

9 8 10 14 50

0 0 0 0 16

0 0 0 0 16

20 24 28 34 106 20 24 28 34 106

53

módulo de pl

Documents