“La principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matemáticas es en problemas de soluciones”. . Autor Pendiente

Ennemond Camille Jordan: Nació el 5 de enero de 1838

en Lyon, Francia. Su padre era ingeniero y su madre artista. Ingresó a la Escuela Politécnica en 1855 para estudiar matemáticas. Seis años más tarde ya era matemático e ingeniero. A partir de 1861 trabajó como matemático en Paris. Estudió en la Escuela Politécnica (promoción 1855). En 1876 entró como profesor en el Colegio de Francia, sustituyendo a Joseph Liouville.

Dentro de sus trabajos encontramos la teoría de grupos, el teorema de la curva de Jordan (un resultado topológico recogido en análisis complejo). La forma normal de Jordan y método matemático para resolver sistema de ecuaciones en álgebra lineal. El teorema de Jordan-Holder, que es el resultado básico de unas series de composiciones. El 4 de abril de 1881 fue elegido miembro de la Academia de la Ciencia y de 1885 a 1921 dirige la «Revista de matemáticas puras y aplicadas» fundado por Liouville. Murió el 22 de enero de 1922 en Paris, Francia.

Relación entre matemáticas puras y aplicadas

La matemática aplicada se focaliza principalmente en el empleo de instrumentos matemáticos en disciplinas de diversos órdenes, mientras que la Matemáticas pura se encarga del estudio de si misma como verdades abstractas. Según el matemático Hardy La matemática aplicada busca expresar verdades físicas dentro de un marco matemático, mientras que las matemáticas puras buscan expresar verdades independientes del mundo físico. Para Hardy, la matemática pura es la verdadera matemática, que ostenta un valor estético permanente, una belleza intrínseca que la hacen comparable a la pintura o a la poesía.

Instituto Tecnológico de Las Américas ITLA

Página | 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Historia e Importancia.

Los babilonios fueron los primeros en resolver sistemas de ecuaciones, su

procedimiento se basaba en el manejo de grandes tablas.

Los sistemas de ecuaciones son de mucha importancia por sus aplicaciones

en física, ingeniería y economía y su estudio está principalmente dentro del

algebra lineal.

Por medio de dicho sistema se expresan las condiciones de equilibrio de una

estructura en ingeniería, mediciones para levantamientos topográficos y

los sistemas no lineales nos pueden ayudar a buscar posibles soluciones a

muchos problemas relacionados con la dinámica de las poblaciones.

Solamente un 5% de los problemas que se presenta con sistema de

ecuaciones tienen solución exacta, todos las demás tienen soluciones

aproximadas, por lo que hay que dominar diferentes métodos para llegar a

través del camino más fácil, pues si tenemos un sistema de n=10 incógnitas

por el método de Kramer se nos cogera un promedio de 40,000

multiplicaciones, mientras que por el método de Gauss Jordan llegaremos a

solo 300 multiplicaciones y divisiones.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser

escrito en forma ordinaria como:

Página | 2

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes

del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema

separando con coeficientes con notación matricial:

Sistema de ecuaciones:

Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas.

Clasificación:

a) Sistema de ecuaciones compatible:

Es aquel que tiene solución. 3 5 5

2 1

u w

u w

b) Sistema de ecuaciones incompatibles:

Es aquel que no tiene solución

2 6 2 8

2 8 10

4 12 4 6

m n w

m n

m n w

c) Sistema de ecuaciones compatibles determinado:

Es aquel que tiene al menos una solución.

2 3 8

4 2

x y

x y

d) Sistema de ecuaciones compatibles Indeterminado:

Es aquel que tiene infinitas soluciones. 6 2 8

6 2 4

m n

n w

Página | 3

e) Ecuaciones dependientes: Es cuando en un sistema una ecuación

depende de la otra.6 2 8

18 6 24

j k

n w

f) Sistema independiente: Es cuando en un sistema una ecuación no

depende de la otra. 6 2 8

5 7 24

j k

n w

Métodos para resolver sistema de ecuaciones.

1. Método de Sustitución

2. Método de Igualación

3. Método de Reducción

4. Método Gráfico

5. Método de Cramer (Determinantes)

6. Método de inversión de matrices.

7. Método de Gauss (Reducción)

8. Método de Gauss-Jordan (Eliminación)

9. Método de Gauss-Seidel

10. Método de Jacobi

Página | 4

1. Método de sustitución

Consiste en despejar una incógnita en cualquiera de las ecuaciones y

sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita.

Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en

cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial para calcular el valor de la

otra incógnita.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema2 3 8

4 2

x y

x y

a) Despejamos x en I. 8 3 / 2x y

b) Sustituimos en la otra ecuación. 8 3

4( ) 22

yy

c) Resolvemos la ecuación obtenida 16 6 2

7 14 2

y y

y y

d) Sustituimos e y=2 en la ecuación 2 3 8x y eso implica que ser

2x+3(2)=8 por lo que tenemos que 2x=2 dividiendo será x=1. Por lo

tanto este sistema se satisface para X=1 y Y=2.

Página | 5

2. Método de igualación:

Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones

e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer

grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones

iníciales.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2 3 8

4 2

x y

x y

.Despejamos Y de la primera y segunda ecuación.

8 32 3 8

2

24 2

4

yx y x

yx y x

1. Igualamos ambos despeje: 8 3 2

2 4

y yx x

2. Resolvemos

4 8 3 2 2 32 12 4 2

12 2 4 32 14 28 2

y y y y

y y y y

Sustituyendo a y=2 en la ecuación II.

4 2 4 2 2

4 4 1

x y x

x x

3. La solución obtenida es 1^ 2x y

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3.Método de Reducción o suma y resta:

Consiste en multiplicar ambas ecuaciones por escalares que permitan

eliminar una de las variables, y luego realizar las operaciones indicadas.

Para resolver un sistema de ecuación por el método de reducción o se

igualan los coeficientes salvo el signo de una de la incógnita mediante

multiplicación por numero apropiados de la ecuación. O se suma o se resta

las dos ecuaciones del sistema resultante.

Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que

convenga.

Ejemplo: Resolver este sistema de ecuaciones 5 2 1

3 7

x y

x y

por escalares 3^2

5 2 1 15 6 33

2 6 142 3 7

17 17

Sustituyendo x=1 en ecuacion

2

x=1^ 2

II

7 1 6 3 7

3 3

1

x=

Multiplicando

x y x

y

y

x yx

x y

y

yx

y

Página | 7

4. Método de Gabriel Cramer.

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de

incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de

cero. Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y,

por tanto, tiene siempre una solución única.

Pasos:

1. Calcular la determinante del sistema s , se formara una matriz solamente con los

coeficientes de la variable.

2. Buscar a x para eso se quedan en el mismo sitio los valores de Y, y los de X, se

sustituyen por los términos independientes, y luego se calcula la determinante.

3. Buscar a y para eso se quedan en el mismo sitio los valores de X, y los de Y, se

sustituyen por los términos independientes, y luego se calcula la determinante.

4. x

xs

, de esta forma encontramos el valor de la incógnita X.

5. y

ys

y aquí la de Y.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 4 2 14

3 7

x y

x y

1) Buscando a 4 214

1 3s

2) Luego encontramos a 14 242 14 28

7 3x

3) Mientras que 4 14

28 14 421 7

y

4) Por lo que 42

314

yy

s

y 28

214

xx

s

5) Solucion: 2^ 3x y

Página | 8

2 0

4 10

5 3 14

Resolviendo

Ejemplo 2 : Resolver el siguiente si

este sistema por el metodo de Cramm

stema compatibl

er tenemos que:

1 2 1 0

0 1 4 10

5 0

e determi

3 14

nado

x y z

y z

x z

s

1 2 1

0 1 4 3 40 0 5 0 0 43 5 38

5 0 3

0 2 1

10 1 4 0 112 0 14 0 60 112 74 38

14 0 3

1 0 1

0 10 4 30 0 0 50 0 56 30 106 76

5 14 3

1 2 0

0 1 10 14 100 0 0 0 0 114

5 0 14

x

y

z

xx

381

38

762

38

1143

38

solución:

1; 2

;

3

s

yy

s

z

s

x

z

y z

Página | 9

5. Método gráfico

Para este método solamente enfocaremos los sistemas de m

ecuaciones con dos incógnitas. Cuya solución será la intersección

que hay en las diferentes graficas.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

2 0

3

x y

x y

Si localizamos los intercepto de cada grafica o dos puntos cualesquiera

podremos hacer el grafico y ver rápidamente la intercepción.

2 (0,0);(2,4

3 (0,3);(3,0)

y x

y x

Como vemos la intersección de las gráficas es x= 1 ^ y=2 esa es la solución del

sistema.

x

yy = 2x

y = 3-x

Página | 10

Despejándo la variable en cada ecuación y luego asignando valores

obtendremos que

Ejemplo 2 : Resolver el siguiente sistema compatible determinado

por el método gráfico.

4 1

2x 3

l

y

11

-5y 14

a

x y

y

x

s graficas se cortarán en un mismo punto, dicho

punto es la s

4x y 11

oluci n de la ecuaci n.

;         ;       

ó ó

x 5y 22x 3y 9

Haciendo las gráficas obtenemos:

Haciendo un análisis veremos que es un sistema compatible

determinado cuya solución es el punto de intersección (3, 1).

Página | 11

6. Método de Gauss por medio de (Reducción) o matriz

aumentada.

Antes de entrar en materia con este método es necesario que el lector

recuerde lo que es una combinación lineal y cuando dos vectores son

linealmente dependientes e independientes.

Una Combinación lineal de dos o más vectores: Es el vector que se

obtiene al sumar dos vectores multiplicados por escalares. Podemos ver que

dados los vectores ^u v y los escalares , , entonces el vector u v es

una combinación lineal de ^u v .

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si

ninguno de ellos puede ser escrito como una combinación lineal de los

restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son

linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2)

no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Ahora si ya estamos preparados para empezar a trabajar con este método

de resolución de ecuaciones por lo que dado un sistema de "m" ecuaciones

con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya 1ª

ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así

sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola

incógnita. Hecho esto, resolvemos la última ecuación, a continuación la

penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss

consiste en triangular superiormente la matriz de coeficientes. Siempre

debemos tratar de que el coeficiente de la variable de la primera ecuación

sea la unidad.

Recomendamos que para trabajar con los vectores ( filas, renglones o

columnas) cuando vayamos a hacer cero los elementos por debajo de la

diagonal secundaria hagamos la combinación utilizando las filas que nos

indique el subíndice donde vayamos a hacer cero, es decir que si vamos a

hacer cero el elemento 31a debemos combinar la fila 3 y la 1 a través de

operaciones matemáticas para así obtener otro vector o fila.

Página | 12

Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de

gauss 2 3 8

5 6 7

x y

x y

a) Si formamos la matriz aumentada se formara con los coeficientes de

las variables por lo que

2 3 8

5 6 7

Tiene esta forma

11 12

21 22

8

7

a a

a a

b) Ahora se realiza la búsqueda de ceros a la izquierda de la línea

trabajando con las celdas, solo que como la matriz es de orden 2*2

solo se hará un cero que estará ubicado en 21a .

2 2 121 2 5

2 3 8

5 6 7F F Fa

al operar obtenemos

2 3 8

0 27 54

c) Volviendo a reponer las variables tenemos que 2 3 8

0 27 54

x y

y

resolviendo ahora tenemos que 54

227

y buscando el valor de la otra

variable 2

2 3 8 2 3(2) 8 12

x y x x por lo tanto 1^ 2x y

Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema por el método de Gauss.

4 2 2 4

6 2 4 18

2 4 10 10

x y z

x y z

x y z

a) forma la matriz aumentada.

4 2 2 4

6 2 4 18

2 4 10 10

Página | 13

b)Realizar la búsqueda de ceros a la izquierda de la línea intermitente, en las

celdas correspondientes a 31 21 32, ,a a a

11

31 3 3 1

22 21 2 2 1

33

32 3 3 2

2 4 2 2 4 2 1 1 2 2

6 2 4 18 3 1 2 9 2 32

2 4 10 10 1 2 5 5

2

2 1 1 2 2 1 1 25 3

0 5 7 12 0 5 7 12

0 3 11 8 0 0 76 76

FF

a F F FF

F a F F F

FF

a F F F

c) el sistema ha quedado de esta forma

2 2

5 7 12

76 76

x y z

y z

z

Buscando a z tenemos que 76 76 1z z

Ahora resoviendo en la 2da

5 7 12 5 7( 1) 12

12 7 51

5 5

y z y

y

Para x obtendremos 2 2

2 1 1 2 2 4 2

x y z

x x x

d) Solución: 2, 1, 1x y z

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7. Método de Gauss- Jordán.

Es una variante del método de Gauss, y resulta ser más simple al final del

proceso, ya que no es preciso despejar las variables pues la solución se

obtiene directamente.

Este método se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes, triangularizarla inferior y superiormente , es decir hacerla cero tanto por

arriba como por abajo y se obtendrá el resultado en la diagonal principal.

Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de

Gauss-Jordan.

4 2 2 4

6 2 4 18

2 4 10 10

x y z

x y z

x y z

a) forma la matriz aumentada.

4 2 2 4

6 2 4 18

2 4 10 10

b)Realizar la búsqueda de ceros a la izquierda de la línea intermitente, en las celdas correspondientes a

31 21 32 13 23, 12, , , ,a a a a a a .

11

31 3 3 1

22 21 2 2 1

33

332 3 3 2 3

2 4 2 2 4 2 1 1 2 2

6 2 4 18 3 1 2 9 2 32

2 4 10 10 1 2 5 5

2

2 1 1 2 2 1 1 25 3

0 5 7 12 0 5 7 12 76

0 3 11 8 0 0 76 76

2 1 1

0

FF

a F F FF

F a F F F

FF

Fa F F F F

12 1 2 1

13 1 3 1

23 2 3 2

2 2 1 0 3 55 7 12 0 5 0 5

70 0 1 1 0 0 1 1

10 0 0 20

0 5 0 5

0 0 1 1

a F F Fa F F F

a F F F

Página | 15

c) Como ya tenemos la matriz diagonal ahora la convertimos en escalar

unidad.

11

22

10 0 0 20 1 0 0 210

0 5 0 5 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 15

FF

FF

d)La solución es 2, 1, 1x y z

Ejercicio para el estudiante 2: Resolver por Gauss-Jordan

X    Y Z 11

2X    Y Z 5

3X  2Y Z 24

sabiendo que el resultado es: x=4; y=5; w= 2

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ECUACIONES NO LINEALES.

Usualmente este tipo de ecuaciones se resuelven por el método de

sustitución. Vamos a ilustrarnos con un ejemplo.

8) Método de Sustitución para sistema no lineales

Resuelve el sistema 2 4

3

x y

xy

a) Despejando Y en la Ec.2 3

yx

luego sustituimos en la ec1 y operamos

2 2 334 4 4 3 0x y x x x

x

Realizando por Paolo Ruffini veremos que esta ecuación solo tiene una raíz

real x=-1.

Sustituyéndola en la otra ecuación para encontrar el valor de la incógnita y

obtendremos

3 ( 1) 3 3xy y y 1^ 3x y

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9) Sistemas de ecuaciones exponenciales

Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las

incógnitas aparecen en los exponentes. Lo que hay que hacer es eliminar las

bases y resolverlo de formas anteriormente visto.

Pasos para resolver un sistema:

a) Igualar los exponentes si los dos miembros tienen potencias con la

misma base.

b) Cuando en el sistema no se puedan eliminar directamente las bases,

se hace cambio de variables.

Ejemplo 1: Resolver el sistema 4 2 14

2 4 2

5 5

5 5

x y

x y

Eliminando la base tenemos que quedarán los exponentes.4 2 14

2 4 2

x y

x y

Resolviendo el sistema tenemos que x=3 ^ y=1.

Ejemplo 2: Buscar la solución de 1

1

4 10 3

4 10 26

x y

x y

Haciendo un cambio de bases tenemos que 4 ^ 10x ym n

Arreglando la ecuación 1

4 10 34

4 (10)10 26

x y

x y

y sustituyendo 1

4 10 34

4 (10)10 26

x y

x y

Resolviendo el sistema por un método anterior obtendremos que

16 ^ 1m n , como ya sabemos que 4 ^ 10x ym n y que 16 ^ 1m n .

Ahora sustituimos y nos quedará 4 16 ^10 1x y , resolviendo estas ecuaciones

exponenciales 2 ^ 0x y . La prueba queda a consideración del lector.

Página | 17

10) Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas se resuelven esencialmente igual

que las ecuaciones exponenciales, actuando sobre cada ecuación igual que

hemos hecho y resolviendo el sistema (ya sin logaritmos que se obtenga).

2log 5log 4

log log 5

Resolviendo por el m todo de reducci n tenemos que

2log 5log 4 2 log 5log 4

5log 5log 25 log log 5

Ejemp

lo 1: Resolver

7 log 21

x y

x y

é ó

x y x y

x yx y

x

3

log 3

10 1000

Sustituyendo en la ecu. II 

log log 5 log1000 log 5

log 2 100 1000

x

x

x y y

y xy

^ 0 10y

2 21

log log 1

Podemos observar que la primera ecuaci n es lineal y la

segunda eslogar tmica por lo tanto debemos llevar una a

la otra, rec

Ejemplo 2. Resolve

omendable es llevar la logar tmic

rm n

m n

ó

í

lo í

a a lineal.

log 1 10 10

Sustituyendo en la ecuaci n 1.

log 1 10 10

2(10 ) 21 20 21 1

Sustituyendo n 1 en la ecuaci n II

log log 1 log log1

10 ^

1

log 1 1 10

m mm n

n n

ó

m

m mm n

n n

n n n n n

ó

m n m

m m n

Página | 18

ACTIVIDADES.

1. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de

ecuaciones:

a) 3w 2z 4

2w 6z 8

b)

9m 3n 8o 12

3m 3n o 9

8m n o 3

c)

2x 3y 2z 23

3x 3y z 4

2

1x 3y 8z 23

3

d) 15u 5v 5

3u v 3

e)

3s 5t 8

1378s 7t

15

2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de

igualación:

a)

6y 10

2

510x   23

3

x

y

b)

5 x y      

4

52 24  3 2 3

yx

Página | 19

c)

x – 6y – 4z 79

2x 3y 5z 62

3x 9y 20z 4

d)

 x 2y 3z 23

5x – 6y z 3

3x 7y – 8z 25

e)

– 6y 3z 31

x 5z 11   

  3x y

6 3

3

3 6

3

22

20

x

y

z

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de

reducción:

a) 4x 2y 12

2x 16y 4

b) 6x 14y 24

4x – 28y 10

c) 3x 10y 20

2x 12y 16

d) 10x – 18y 5

40x   6y 10

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de

Cramer:

a) 2 4 2

5 6 3

x y

x y

b) 9 13 5

36 4 10

x y

x y

c) 13 9 5

4 36 10

x y

x y

d) 40 15

236 8 19

x y

x y

e) 20 14 12

19 14 12

x y

x y

Página | 20

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.

a)

83 4

4

52 7

4

x y

x y

b) 5 3 25

2 5 22

x y

x y

c) 2 9 20

7 5 15

x y

x y

d)

15 13

2

37   8

4

x y

x y

e) 11x 20y 30

7x 4y 47

f)

x 3y

36 9

2

4

x y

g)

37  2

2

6  5   9 

x y

x y

Página | 21

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-

Jordán.

a)

16 3

2

72 3 3

4

        2 2 8

x y x

x y y

y z

b)

3x – 6y 5z

4  2  1

3

7 3 2

0

x y z

x y z

c)

2x

33

4

2 62

3 4

y – 4z 8

x y z

x y z

d)

4 3 1

3 4 2

2 4 8

x y z

x y z

x y z

e)

5 2 15 10

4 2 6

10 4

x y z

x y z

x y z

La educación necesita tanto de formación técnica, científica y profesional, como

de sueños y utopías. Freire

Página | 22

Bibliografía

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Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México:

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Santillana I. serie umbral, (educación media).

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