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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS

JEAMMY JULIETH SIERRA HERNNDEZ

(Director Nacional de Curso)

100403 INFERENCIA ESTADSTICA

Vol. 2

IBAGU

FEBRERO 2013

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA

CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100403 INFERENCIA ESTADISTICA

2

COMITE DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Constanza Abada Garca

Vicerrectora Acadmica y de Investigacin

Gloria Herrera

Vicerrector de Medios y mediaciones Pedaggicos

Maribel Crdoba Guerrero

Secretaria General

Inferencia Estadstica

Tercera Versin

Actualizacin por Jeammy Julieth Sierra Hernndez

Autores Primera Edicin: Jorge Rondon Danis Brito

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2012

Unidad de Ciencias Bsicas UNAD



3

CAMPOS DE

FORMACIN

Bsica CRDITOS: 2 TRABAJO INDEPENDIENTE: 72

Horas TIPO DE CURSO Terico CDIGO:100403 ACOMPAAMIENTO TUTORIAL: 24

Horas

OBJETIVO GENERAL:

Que el estudiante comprenda, aplique y desarrolle la teora y las tcnicas de la

inferencia estadstica en diversos campos de su saber formativo, y que dicha

aplicacin se convierta en una herramienta de uso matemtico para la toma de

decisiones sobre hiptesis cuantitativas de datos, basado en la informacin

extrada de una muestra.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

Que el estudiante identifique las tcnicas y procedimientos que se

deben emplear para que las muestras sean representativas de la poblacin

que se pretende estudiar, de forma que los errores en la determinacin de

los parmetros de la poblacin objeto de estudio sean mnimos.

Que el estudiante comprenda el comportamiento de una poblacin a

partir del anlisis metdico de una muestra aleatoria de la misma, y que

entienda que la inferencia inductiva de los parmetros estadsticos que

estime sobre dicha muestra, conlleva un error, el cual es posible de ser

cuantificado.

Conocer los criterios tcnicos que hay que tener en cuenta antes

de seleccionar un tamao de muestra.

Identificar el tipo de muestreo de acuerdo a los objetivos del estudio.

Diferenciar y analizar las ventajas y desventajas de la estimacin

por intervalos de confianza y las pruebas de hiptesis.

Determinar la prueba o tcnica apropiada a aplicar en las diferentes

pruebas de hiptesis paramtricas y No paramtricas.

COMPETENCIA GENERAL DE APRENDIZAJE:

Identificar un procedimiento adecuado para seleccionar de una poblacin una

parte de ella, con el fin de obtener resultados confiables y poder generalizar los

resultados obtenidos a toda la poblacin.

Determinar los estadsticos necesarios para el anlisis y solucin de situaciones

que implican conjuntos de datos de su disciplina de formacin, por medio del



4

conocimiento de la teora elemental del muestreo y de las distribuciones

muestrales.

Plantear y desarrollar el proceso de la inferencia estadstica para resolver

problemas concretos de investigacin en el mbito de otras disciplinas.

Aplicar apropiadamente los resultados tericos y metodolgicos de la inferencia

estadstica de estimacin y prueba de hiptesis en el marco de la modelacin.

Habilidad para planear una investigacin, diseo de instrumentos, definicin de

variables, recoleccin de la informacin, resumen y presentacin de los datos.



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UNIDADES DIDCTICAS

UNIDAD DOS: ......................................................................................................................................... 6

PRUEBA DE HIPTESIS, ANLISIS DE VARIANZAS Y ESTADSTICAS NO PARAMTRICAS ..................... 6

CAPITULO CUATRO: PRUEBAS DE HIPTESIS ................................................................................... 7

Leccin 16: Conceptos Bsicos ..................................................................................................... 8

Leccin 17: Pruebas para la Media y la Diferencia de medias con grandes muestras. ............. 14

Leccin 18: Pruebas para la proporcin y la Diferencia de proporciones (siempre con grandes

muestras). .................................................................................................................................... 26

Leccin 19: Pruebas para la media y la diferencia de medias (muestras pequeas). ............... 34

Leccin 20: Pruebas para la varianza.......................................................................................... 44

CAPITULO CINCO: ANLISIS DE VARIANZA .................................................................................... 47

Leccin 21: Generalidades .......................................................................................................... 49

Leccin 22. Anlisis de Varianza de un Factor ............................................................................ 50

Leccin 23. Comparacin Mltiple de Medias (Pruebas a Posteriori) .................................. 60

Leccin 24. Anlisis de varianza con dos factores (diseo de bloques aleatorizados). ........... 61

Leccin 25. Anlisis de varianza de dos factores con interaccin. (Diseo factorial). ............. 66

CAPITULO SEIS: PRUEBAS NO PARAMETRICAS .............................................................................. 80

Leccin 26. Generalidades .......................................................................................................... 82

Leccin 27. Prueba de Bondad de Ajuste de Ji-cuadrado ................................................... 83

Leccin 28. Prueba de Kolmogorov-Smirnov ............................................................................. 87

Leccin 29. Prueba de Wilcoxon ................................................................................................. 88

Leccin 30. Prueba de Mann-Whitney para muestras independiente y prueba de Kruskal-

Wallis para comparar k muestras independientes..................................................................... 89



6

UNIDAD DOS:

PRUEBA DE HIPTESIS, ANLISIS DE VARIANZAS Y

ESTADSTICAS NO PARAMTRICAS



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CAPITULO CUATRO: PRUEBAS DE HIPTESIS

Introduccin

En casos relacionados con situaciones especiales en las cuales se desea

comprobar la efectividad de estndares preestablecidos, la tcnica de prueba de

hiptesis resultaba bastante apropiada, por cuanto permite comprobar con

bastante certeza el grado de acierto en la fijacin de stos.

Una hiptesis estadstica se define como un supuesto hecho sobre algn

parmetro de la poblacin. Por ejemplo, los siguientes enunciados podran ser

tomados como hiptesis:

- El ingreso promedio de los trabajadores de la fbrica es de $X.

- El rendimiento promedio de los empleados de dos fbricas es

diferente.

- El promedio de duracin de las bombillas es de 1.000 horas.

- El promedio de duracin de las llantas es de 100.000 kilmetros.

Ya se ha recabado en muchas ocasiones, que el objetivo es tomar muestras

para extraer alguna conclusin o inferencia sobre la poblacin y que el nico

objetivo de examinar muestras, es que las poblaciones suelen ser demasiado

grandes y costosas de estudiar.

Objetivo general.

Contrastar la validez de una hiptesis o conjetura que se haya planteado en relacin con una situacin determinada de la empresa, analizando errores estadsticos posibles en las pruebas de hiptesis Objetivos especficos.

Examinar que se entiende por hiptesis y qu por prueba de hiptesis.

Describir los pasos que se siguen para demostrar una hiptesis.

Describir los errores estadsticos que se pueden presentar.

Realizar pruebas en relacin con una y dos medias poblacionales, con una

y dos colas.

Realizar pruebas con una y dos proporciones poblacionales.

Realizar pruebas de hiptesis para datos que se encuentran en una escala

nominal u ordinal con aplicacin de la distribucin chi cuadrado.



8

Leccin 16: Conceptos Bsicos

16. DECISIONES ESTADSTICAS

En la prctica, con frecuencia se tienen que tomar decisiones acerca de una

poblacin con base en informacin muestral.

A tales decisiones se les llama decisiones estadsticas. Por ejemplo, tal vez se

tenga que decidir, con base en datos muestrales, si determinado suero es

realmente eficaz en la curacin de una enfermedad, si un mtodo educativo es

mejor que otro, o bien si una moneda est alterada o no.

16.1. Hiptesis

Hiptesis estadsticas: Cuando se trata de tomar una decisin es til hacer

suposiciones o proposiciones (o conjeturas) acerca de la poblacin de que se

trata. Muchos problemas de ingeniera, ciencia, y administracin, requieren que se

tome una decisin entre aceptar o rechazar una proposicin sobre algn

parmetro. A estas suposiciones, que pueden ser o no ciertas, se les llama

hiptesis estadsticas. Estas hiptesis estadsticas son por lo general afirmaciones

acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Este es uno de los aspectos ms tiles de la inferencia estadstica, puesto que

muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el

mundo de la ingeniera, pueden formularse como problemas de prueba de

hiptesis. Consultado en la Web de ITC (s.f).

Otras definiciones

Una hiptesis estadstica es una afirmacin para verificar acerca de las

caractersticas de una o ms poblaciones. Alvarado, J. & Obagi, J. (2008)

Una hiptesis estadstica es una aseveracin o conjetura acerca de la distribucin

de la poblacin, afirmacin que generalmente est asociada a un subconjunto del

espacio del parmetro correspondiente al modelo probabilstico que representa

la citada poblacin. Mayorga, J. (2004, p. 189)

Una hiptesis estadstica es un enunciado provisional referente a uno o ms parmetros de una poblacin o grupo de poblaciones. En el proceso de estadstica inferencial hay dos tipos de hiptesis:



9

1. Hiptesis nula, designada mediante Ho y se lee H subcero. La letra H

significa hiptesis y el subndice cero indica no hay diferencia. Por lo

general en la hiptesis nula se plantea en trminos de no hay cambio, no

hay diferencia, se plantea con el objetivo de aceptarla o rechazarla.

2. Hiptesis alternativa, describe lo que se considerar si se rechaza la

hiptesis nula. A menudo tambin se le denomina hiptesis de investigacin,

y se designa por H1, que se lee h subuno

Otras definiciones

Hiptesis Nula: Es la conjetura inicial, es la suposicin que se hace sobre la

base de la experiencia del pasado, el conocimiento a priori y las necesidades

empresariales, es, en un comienzo la respuesta ms lgica al problema que

se ha planteado; es el valor que se asumira como cierto de no poderse hacer

la investigacin. La aseveracin se enuncia despus de la abreviatura y

Mayorga, J. (2004, p. 189).

Hiptesis Alternativa: A toda hiptesis que difiera de la hiptesis dada se le

llama hiptesis alternativa. Por ejemplo, si una hiptesis es p = 0.5, la

hiptesis alternativa puede ser 7 5 . La hiptesis

alternativa a la hiptesis nula se denota H1. Murray, R. ()

16.2. Prueba de hiptesis

Prueba de hiptesis: Segn Mayorga, prueba de hiptesis es una de las

acepciones ms comunes, al igual que Contraste de hiptesis o Docimacia, para

lo que l prefiere llamar, como justifica en su libro, juzgamiento de hiptesis, que

define como, el proceso que culmina con una decisin de rechazar o de no

rechazar una hiptesis con base en la informacin de una muestra aleatoria

de una poblacin para la cual se ha asumido un modelo probabilstico

cuya funcin de densidad es ( ).

Si se supone que una hiptesis es verdadera, pero se encuentra que los

resultados que se observan en una muestra aleatoria difieren marcadamente de

los resultados esperados de acuerdo con la hiptesis (es decir, esperados con

base slo en la casualidad, empleando la teora del muestreo), entonces se dice

que las diferencias observadas son significativas y se estar inclinado a rechazar

la hiptesis (o por lo menos a no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida).

Murray, R. ()



10

Pasos en una prueba de hiptesis

La prueba de hiptesis consiste en aplicar tcnicas estadsticas que

permitan aceptar o rechazar una hiptesis. Este procedimiento se conoce como

contraste de hiptesis. Las pruebas de hiptesis utilizan un procedimiento

de cinco pasos, los cuales se mencionan a continuacin:

1. Plantear las hiptesis nula y alternativa. Definiendo la lateralidad de la

prueba.

2. Determinar el nivel de significancia. (valores aceptables de error I y II)

3. Estimar el valor estadstico de prueba. (a partir de la muestra)

4. Establecer la regla de decisin. (al comparar el valor crtico o terico con el

de prueba)

5. Tomar la decisin.

Grfico 1. Pruebas de Hiptesis

16.3. Tipos de error.

La hiptesis nula y alternativa son entonces aseveraciones sobre la poblacin

que compiten entre s, en el siguiente sentido: la hiptesis nula (Ho) es

verdadera, o lo es la hiptesis alternativa (H1), pero no ambas. En el caso ideal,

el procedimiento de prueba de hiptesis debe conducir a la aceptacin de Ho

cuando sea verdadera y al rechazo de H1. Desafortunadamente no siempre es

posible puesto que como las pruebas de hiptesis se basan en la informacin de

la muestra, se debe considerar la posibilidad de cometer errores. La siguiente

tabla muestra los dos tipos de errores que se pueden cometer:

PRUEBAS DE HIPTESIS

Muestras Grandes (Z-normal)

*Meias

*Proporciones

*Diferencia de Medias

*Diferencia de Proporciones

Muestras pequeas n



11

Tabla No.1 Tipos de errores

DECISIN SOBRE Ho VERDADERA FALSA

Aceptar H0 Correcta 1 Error tipo II

Rechazar H0 Error tipo I Nivel de significancia

Correcta 1 Potencia de la prueba

Cuando se tiene una hiptesis esta puede ser verdadera o falsa y la decisin que

se toma en la prueba es aceptar o rechazar la hiptesis. Si la decisin que se

toma est de acuerdo con la realidad no se cometen errores, en este caso las

dos buenas decisiones son: aceptar la hiptesis nula cuando es cierta o rechazar

la hiptesis nula cuando es falsa.

Pero cuando la decisin no est de acuerdo con la realidad se pueden comete r

dos tipos de errores vistos anteriormente: rechazar la hiptesis nula cuando en

realidad es cierta, llamado error tipo I representado por alfa ( ); aceptar la

hiptesis nula cuando en realidad es falso, llamado error tipo II representado por

beta ( ), llamados tambin nivel de significancia. El procedimiento utilizado

consiste en limitarlos a un nivel preestablecido pequeo, generalmente 0.01

0.05. Este planteamiento se le denomina la potencia de la prueba y se

representa as:

Probabilidad de cometer el error tipo I

Probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera. Probabilidad de NO cometer el error tipo I (1 - ) Probabilidad de acertar la Ho cuando es verdadera.

Probabilidad de cometer el error tipo II

Probabilidad de aceptar Ho cuando es falsa. Probabilidad de NO cometer el error tipo II

(1 - ) Probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa.

Toda prueba de hiptesis determina una regin de rechazo de la hiptesis

llamada regin crtica, la cual depende del tipo de hiptesis que se pruebe y se

determina utilizando un nivel de significancia .



12

16.4. El Nivel mnimo o de rechazo.

Al establecer una prueba de hiptesis una de las formas de llegar a una

conclusin es a travs de la comparacin del valor crtico (o terico) con el de

prueba. Otra forma de poder tomar una decisin es, usar en lugar del valor crtico, es decir, observar la probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera

(error tipo I), o como afirma Alvarado, J.A y Otros (2008), responder a la pregunta:

cul es el riesgo que debo correr para poder rechazar Ho? Si ese riesgo es

grande, no se puede rechazar Ho; si es pequeo se rechaza Ho.

El p-valor

El mnimo de rechazo recibe tambin el nombre de valor p en el cual Ho sera rechazado. Si el p-valor es menor que el nivel de significancia, la hiptesis nula se

rechaza. Lo puede encontrar en algunos textos como p-value en ingls. Ms

adelante puede verse un ejemplo dnde se utiliza el p-value para rechazar la

hiptesis nula.

16.5. Lateralidad de las pruebas

Dependiendo del planteamiento de la hiptesis alternativa (H1) se distingue dos

tipos de pruebas:

Pruebas bilaterales.

Pruebas unilaterales

Prueba Bilateral: El investigador desea comprobar la hiptesis de un cambio en

el parmetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de

rechazo.

En una prueba de hiptesis unilateral derecha, no se puede rechazar la

hiptesis nula Ho, si el estadstico de prueba (o calculado) es menor o igual

que el terico (tabulado). O lo mismo es, se rechaza la hiptesis nula cuando

el valor calculado es mayor que el tabulado

<

Una prueba de hiptesis es significativa si el p-value es menor que el nivel de

significacin, es decir:



13

Prueba Unilateral Derecha: El investigador desea comprobar la hiptesis de un

aumento en el parmetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo

hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptacin y de rechazo

Prueba Unilateral Izquierda: El investigador desea comprobar la hiptesis de una

disminucin en el parmetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo

hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptacin y de rechazo.

Grfico No. 1. Prueba bilateral (o a dos colas)

Pro

bab

ilid

ad

valor crtico Valor crtico

Regin de rechazo

/2

1

Regin de rechazo

/2

Regin de aceptacin

Ho

Verdadera)

Prueba de hiptesis:

Prueba de hiptesis:

<

Prueba de hiptesis:



14

Grfico No. 2. Prueba unilateral izquierda (inferior)

Grfico No. 3. Prueba unilateral derecha (superior)

Leccin 17: Pruebas para la Media y la Diferencia de medias con

grandes muestras.

17. Prueba para la media y diferencia de medias (Muestras grandes

( )

En las pruebas para la media de poblacin de muestra grande se distingue dos

situaciones:

Conocida la desviacin estndar de la poblacin.

Desconocida la desviacin estndar de la poblacin.

17.1. Prueba para la media (conocida la desviacin estndar poblacional).

Cuando se tiene la oportunidad de conocer

Pro

ba

bil

ida

d

Valor crtico

1

Regin de rechazo Regin de aceptacin

Ho (Verdadera)

Pro

bab

ilid

ad

1

Valor crtico

Ho (verdadera)

Regin de aceptacin Regin de rechazo



15

17.1.1. Prueba bilateral (para la media)

El procedimiento de prueba de hiptesis para pruebas bilaterales a cerca de la

media de una poblacin, cuando se considera el caso de muestra grande 3

en que el teorema del lmite central permite suponer que la media de la

distribucin muestral de medias se puede aproximar a una distribucin normal de

probabilidad, y la desviacin estndar de la poblacin es conocida, sigue la

siguiente forma general:

Muestra grande ( 3 ) Planteamiento de hiptesis:

01

00

:

:

H

H

Estadstico de prueba para desviacin estndar poblacional conocida:

Ecuacin No.1

Regla de rechazo a un nivel de significancia :

220 Z Zsi o -Zz si HRechazar

Ejemplo

La empresa coca cola ha establecido como poltica general para su produccin en

pequea escala, un promedio ( ) de llenado para sus envases de 200

centmetros cbicos con una desviacin estndar ( ) de 16 centmetros cbicos.

Dado que recientemente se han contratado y diseado nuevos mtodos de

produccin, utilizando un nivel de significancia del 0.01, se desea probar la

hiptesis, que el promedio de llenado sigue siendo de 200 centmetros cbicos.

Para tal efecto se tom una muestra de 100 envases llenos, los cuales mostraron

una media de llenado de 203.5 centmetros cbicos.



16

En los intervalos de confianza el alfa siempre se divide en

dos, para distribuirlo en las dos colas, en las pruebas de

hiptesis el alfa slo se divide, si la prueba es a dos colas

Paso 1: Planteamiento de hiptesis

Planteamiento de la hiptesis nula: la media poblacional es 200

Planteamiento de la hiptesis alternativa: La media poblacional es

diferente a 200. Estas hiptesis se expresan como sigue:

Esta es una prueba de dos colas, debido a que la hiptesis alternativa ( ) es

planteada en palabras de diferencia, es decir, la hiptesis no indica si la media

es mayor o menor que 200.

Paso 2: Nivel de significancia

El nivel de significancia es de 0.01 que es el alfa ( ), la probabilidad de

cometer el error de tipo uno, es decir la probabilidad de rechazar la hiptesis

siendo verdadera. Para ste tipo de problema se utiliza la distribucin normal

estandarizada en Z.

Paso 3: Estadstico de prueba (o calculado)

El valor estadstico de prueba para este tipo de problema es utilizando la

distribucin normal estandarizada en Z:



17

Se concluye que el llenado de los envases cumple con las polticas generales de

la empresa, y la diferencia de promedios se atribuye a variaciones aleatorias.

Paso 4: Estadstico terico (o tabulado) y regla de decisin

La formulacin de la regla de decisin consiste en hallar el valor crtico de Z

con una prueba de dos colas. En la tabla de la normal estndar (descargar

tabla) se identifica el valor de Z correspondiente a una probabilidad igual

1 2 1 5 995. El valor ms cercano a 0,995 es 0.995059 que

corresponde a un valor de Z igual a 2.58, que es el valor crtico para la prueba

de hiptesis. Dado que es una prueba de dos colas, se tendrn dos valores

crticos, tal como se indica en el siguiente grfico:

Grfico No. 4. Prueba bilateral (a dos colas)

La regla de decisin es aceptar la hiptesis nula (Ho), puesto que el valor

estadstico de prueba (2.19) ha cado en la zona de aceptacin de dicha

hiptesis

Paso 5: Tomar la Decisin

Prueba de

hiptesis para la

media (Bilateral)



18

17.1.2. Prueba unilateral (para la media)

Con anterioridad de dijo que la hiptesis alternativa indica una direccin ya sea

mayor que o menor que, la prueba es de una cola. El procedimiento para

demostrar la hiptesis es por lo general igual a la prueba de dos colas, excepto

que el valor crtico es diferente. Ahora se modificar la hiptesis alternativa del

problema anterior, sobre el llenado de los envases de una factora de coca cola,

pues se sospecha que el promedio de llenado est por encima de lo que la

empresa determina (por eso en la hiptesis alterna se plantea una relacin mayor

que).

200:

200:

1

0

H

H

Igual al ejemplo anterior.

Igual al ejemplo anterior.

El valor crtico cambia. En la tabla de la distribucin normal se identifica el valor

de Z correspondiente a una probabilidad igual 0,99. El valor ms cercano a 0,99

corresponde a un valor de Z igual a 2.33, que es el valor crtico para la prueba de

hiptesis. Dado que es una prueba de una cola, se tendr el valor crtico, tal como

se indica en la siguiente grfica:





Prueba de

hiptesis para la

media (unilateral)



19


Igual, puesto que el valor estadstico de prueba est ubicado en la zona de

aceptacin de la hiptesis nula, es decir, se est diciendo que el promedio de

llenado es de 200, tal como est planteada la hiptesis nula.

17.2. Prueba para la media (desconocida la desviacin estndar

poblacional).

En la mayora de los casos se desconoce la desviacin estndar de la poblacin

, la cual debe calcularse en estudios previos o se estima utilizando la desviacin

estndar de la muestra (s). En estos casos se utiliza la desviacin estndar de la

muestra, quedando la frmula para el estadstico de prueba as:

Ecuacin No.2

Ejemplo

Una cadena grande de almacenes expide su propia tarjeta de crdito y Ud. desea

saber si los saldos promedios por crditos de los clientes son mayores que 400

unidades monetarias. El nivel de significancia se fija en 0.05. Una revisin

aleatoria de 172 clientes, revel que el promedio por crdito de los clientes es de

407 unidades monetarias y la desviacin estndar de la muestra es de 38

Pro

bab

ilid

ad

200

Escala Z |2.33

Ho (verdadera)





20

unidades monetarias. Concluye UD. que la media poblacional es mayor que 400

unidades monetarias?

400:

400:

1

0

H

H

Dado que la hiptesis alternativa se enuncia mayor que, se aplica una cola a la

derecha, y como la muestra es grande (n >= 30), se aplica la distribucin normal

estandarizada en Z.

El nivel de significancia se fija en 0.05

42.2

172

38

400407

n

S

XZ


El valor crtico es 1.645 y la ubicacin del estadstico de prueba se encuentra en la

zona de rechazo de la hiptesis nula, por lo tanto se acepta la hiptesis

alternativa.

Pro

bab

ilid

ad

200

Escala Z |2.42

Ho (verdadera)


|1,645

Unidades monetarias de crdito

1- =0,95 = 0,05







21

La decisin a tomar por Ud. es que el promedio de los crditos es mayor que 400

unidades monetarias con un grado de confianza del 95%.

17.3. Prueba para la diferencia de medias (desconocida la desviacin

estndar poblacional).

En la mayor parte de los casos no se conoce la varianza o desviacin estndar

real de ninguna poblacin. En general la nica informacin que es posible obtener

se relaciona con las medias muestrales y , las varianzas muestrales y

y las desviaciones estndar de las muestras y . Si se hacen las suposiciones

que las muestras se obtienen de manera aleatoria e independiente a partir de las

poblaciones respectivas que tiene una distribucin normal y que las varianzas

poblacionales son iguales, es decir,

, se puede utilizar una prueba de

distribucin normal de varianzas combinadas para determinar si existe una

diferencia significativa entre las dos poblaciones.

Recordemos que para diferencias de medias se utiliza el siguiente estadstico de

prueba:

( ) ( )

12

1 22

2

Ecuacin No.3

Ejemplo

Una obra de construccin requiere un gran nmero de bloques de concreto. Dos

empresas abastecedoras A y B licitan para su adjudicacin, y dentro del pliego de

condiciones se estipula que la resistencia mnima es de 1.000 unidades mtricas a

la resistencia, y el contrato se adjudicar a la empresa que mayor resistencia

presente su producto.

Se plantea la hiptesis nula (Ho) que no existe diferencia entre las resistencias

medias a la compresin de los bloques de concreto. La hiptesis alternativa se

plantea en trminos que hay alguna diferencia significativa entre las dos

resistencias medias a la compresin. Simblicamente se expresa as:





22

BA

BA

H

H

:

:

1

0

Dado que la hiptesis alternativa no indica una direccin especfica, la prueba es

de dos colas

Se elige un nivel de significancia de 0.01. Esto equivale a cometer un error de tipo

I. Se usar una distribucin normal estandarizada en Z, razn por la cual se debe

seleccionar una muestra que al menos contenga como mnimo 30 unidades de

bloque, cada una de las empresas licitantes.

El estadstico de prueba a aplicar est dado por la siguiente frmula:

12

1 2

2

2

Ecuacin No.4

Suponga que Ud. Seleccion una muestra de cada una de las empresas licitantes

y determin la resistencia a la compresin, con los siguientes resultados:

Tabla No.2 Resultados de muestra

Licitante A Licitante B

X = 1.070 X = 1.020

n = 81 n = 64

S = 63 S = 57

El valor del estadstico de prueba es:

01.5

98827.9

50

64

57

81

63

020.1070.122

2

2

2

1

2

1

21

n

S

n

S

XXZ





23

Recurdese que se seleccion un nivel de significancia del 0.01 y se utilizar una

prueba de dos colas. Los valores crticos y zonas de aceptacin para las hiptesis

se presentan en la siguiente figura:

Grfico No. 7. Prueba bilateral (o a dos colas)

El valor Z calculado queda en el rea de rechazo de la hiptesis nula, por lo tanto se

concluye que la media poblacional de la resistencia a la compresin es diferente en las

dos empresas y la diferencia no se debe al azar del muestreo, con un grado de confianza

del 99%.

17.4. Prueba para la diferencia de medias (Muestras independientes

desviacin estndar poblacional conocida).

( 1 2)( 1 2)

12

1 22

2

Ecuacin No.5

Pro

bab

ilid

ad

valor crtico -2.58| |2.58

Regin de rechazo

0.01/2= 0.005

|5.01

Regin de rechazo

0.01/2=0.005

Regin de aceptacin

Resistencia ladrillos

Ho (Verdadera)





24

Si < < entonces No se rechaza

Recuerde que es el estadstico de prueba (o calculado)

Ejemplo

Un constructor est considerando dos lugares alternativos (dos comunidades)

para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la

comunidad son una consideracin importante en sta seleccin, desea probar que

el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda

comunidad en cuando menos $1.500 diarios. Con la informacin de un censo

realizado el ao anterior sabe que la desviacin estndar del ingreso diario de la

primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400

Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra

que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de

la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la

hiptesis con un nivel de confianza del 95 por ciento.

15

< 15

Recordemos que el nivel de confianza es 95%

Es decir 1 95 eso indica que:

5

El tamao de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas,

por consiguiente la estadstica de trabajo a utilizar la ecuacin 5.






25

Tabla No.3 Resultados de las comunidades

Comunidad 1 Comunidad 2

4

34 6

24

12

1 22

2

(35 346 ) 15

18 2

3 24 2

4

1 195

Para un nivel de confianza del 95 %, ya que es una prueba de unilateral izquierda, lo que se busca es el valor crtico que deja por encima un 95% de rea, por tanto es lgico pensar que el valor ser un Z negativo, en la tabla de la distribucin normal se tiene un valor de Z de -1,64 (estadstico terico o tabulado). Como puede observarse en el grfico No.8, el estadstico de prueba se ubica en la zona de aceptacin de la hiptesis nula.

Grfico No. 8. Prueba unilateral izquierda (cola inferior)

Pro

bab

ilid

ad

= 0.05

Valor crtico -1.64| -1.195|

Regin de rechazo Regin de aceptacin

Ho (Verdadera)




26

Por lo tanto, con una confiabilidad del 95 por ciento, la diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades es mayor a $1.500 diarios.

En una prueba de hiptesis la confiabilidad significa la probabilidad

de no rechazar la hiptesis nula que es cierta, porque el nivel de

confianza es la probabilidad que el estadstico de prueba se

encuentre en la zona de aceptacin.

Leccin 18: Pruebas para la proporcin y la Diferencia de

proporciones (siempre con grandes muestras).

18. Prueba de hiptesis para proporciones.

Se entiende por proporcin, la porcin relativa o porcentaje que expresa la parte

de la poblacin o muestra que tiene un atributo particular de inters como el

resultado comparativo de contar algo, Se cuenta el nmero de partes defectuosas;

se cuenta el nmero de votantes por la preferencia de un candidato. As la prueba

de proporcin implica niveles nominales de medida.

18.1. Prueba para una proporcin

Para demostrar una proporcin muestral se requiere cumplir con ciertos principios

binomiales, tales como:

1. Los datos recolectados son el resultado de un conteo.

2. El resultado de un experimento se clasifica en una de las dos

categoras mutuamente excluyentes: un xito o un fracaso.

3. La probabilidad de xito se mantiene constante.

4. Los intentos para realizar cada experimento son independientes.

5. El tamao de la muestra debe ser tan grande para que se d la

siguiente condicin: (n)(p)>5 y (n)(1-p)>5

Para realizar una prueba de hiptesis a fin de evaluar la magnitud de la diferencia

entre la proporcin muestral p y la proporcin poblacional (P), se puede usar el siguiente estadstico de prueba:




27

n

PP

PPZ

)1(

Ecuacin No.6

Dnde:

P es la proporcin muestral.

P es la proporcin poblacional.

n es el tamao de la muestra.

De otra manera, en lugar de examinar la proporcin de xitos en una muestra

como en el caso anterior, es posible estudiar el nmero de xitos en una muestra,

para determinar el nmero de xitos esperados o hipotticos en la poblacin, se

utiliza el siguiente estadstico de prueba:

qpn

pnXZ

Ecuacin No.7

Dnde:

X es el nmero de xitos en la muestra.

P es la proporcin hipottica de xitos.

Ejemplo

Suponga que para que lo elijan a Ud. como alcalde, es necesario que logre al

menos el 80% de los votos del barrio donde vive. Dado su inters decide hacer

una encuesta en el barrio con una muestra de 2.000 personas, para ver la

posibilidad y 1.550 dieron respuesta favorable por sus aspiraciones. Pruebe la

hiptesis de favorabilidad, con un nivel de significancia del 0.05.

Antes de realizar el procedimiento de los cinco pasos, veamos si cumple la

condicin de:

(n)(p)>5 (2.000)(0.8)>5 1.600>5 Cierto

(n)(1-p)>5 (2.000)(0.2)>5 400>5 Cierto

La hiptesis nula se plantea diciendo que Ud. s tiene el 80% de favorabilidad de

voto en su barrio y la hiptesis alternativa en que no alcanza a tener este




28

porcentaje de favorabilidad de voto. Simblicamente se expresa como sigue:

80.0:

80.0:

1

PH

PHo

La distribucin de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un

nivel de significancia del 5%, con una cola a la izquierda.

n

PP

PPZ

)1(

Dnde:

P es la proporcin muestral.

P es la proporcin poblacional.

n es el tamao de la muestra.

Pn

PP

)1( Es el error estndar de la proporcin poblacional.

Reemplazando los diferentes valores en la ecuacin se tiene:

80.20089443.0

025.0

00008.0

80.0775.0

000.2

)80.01(80.0

80.0000.2

550.1

)1(

n

PP

PPZ

La regla de decisin se toma sobra la base de un valor critico calculado a partir de

la tabla de distribucin Z, con un rea de 0.4500 (0.5000-0.0500)






29

Grfico No. 9. Prueba unilateral izquierda (cola inferior)

Como el valor Z (-2080) est en la regin de rechazo de la hiptesis nula,

entonces se acepta la hiptesis alternativa y se concluye la favorabilidad de voto

es menos al 80%.

Ejemplo

Probar al nivel de significancia del 0.01 la aseveracin que el 55% de las familias

que planean adquirir una residencia en Melgar desea su ubicacin en un

condominio. Para su estudio Ud. toma una muestra aleatoria de 400 familias que

planean comprar una residencia en Melgar, de las cuales 228 familias desean en

un condominio.

La hiptesis nula se plantea diciendo que el 55% de las familias desean adquirir

residencia en un condominio en Melgar.

55.0:

55.0:

1

PH

PHo

La distribucin de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un

nivel de significancia del 1%, con dos colas.






30

80.00248747.0

02.0

400

)55.01(55.0

55.0400

280

)1(

n

PP

PPZ

La regla de decisin se toma sobre la base del siguiente grfico:

Grfico No. 10. Prueba Bilateral (a dos colas)

La hiptesis nula que la proporcin verdadera es del 55% no es rechazada a un

nivel de significancia del 1%, concluyendo que el 55% de las familias planean

adquirir residencia vacacional en Melgar lo desean en un condominio.

18.2. Prueba para diferencias entre dos proporciones

Se presenta a continuacin un ejemplo donde se emplea la prueba de proporcin

para dos poblaciones, utilizando el siguiente estadstico de prueba:

21

2121

)1()1(

)(

n

PP

n

PP

PPPPZ

CCCC

Ecuacin No.8






31

Dnde:

1n Es la cantidad seleccionada en una muestra.

2n Es la cantidad seleccionada en la otra muestra.

21

21

nn

XXPC

Es la media ponderada de las proporciones muestrales.

1X Es la cantidad de xitos de la primera muestra.

2X Es la cantidad de xitos de la segunda muestra.

21yPP Proporcin de xitos de la poblacin uno y dos respectivamente.

Ejemplo

Una fbrica de perfumes ha desarrollado un nuevo producto. Varias pruebas de

comparacin indican que el perfume tiene un buen potencial en el mercado. Sin

embargo el departamento de mercadotecnia y publicidad quieren planear una

estrategia de manera que el producto llegue e impresione al sector ms grande

posible del pblico comprador. Una de las preguntas es si prefiera el perfume una

proporcin mayor de mujeres jvenes o una proporcin mayor de mujeres

maduras. Por tanto, existen dos poblaciones: una que consta de mujeres jvenes

y otra de damas maduras. Se us una prueba estndar de aroma. Se

seleccionaron aleatoriamente damas y se les pidi que olieran varios perfumes,

incluyendo el que suelen usar, y por supuesto el nuevo perfume. La persona que

realiza la prueba es la nica que conoce el nombre de los perfumes. Cada mujer

selecciona el perfume que le agrada ms.

La hiptesis nula se plantea diciendo que no hay diferencia entre la proporcin de

mujeres jvenes y maduras que prefieren el nuevo perfume. La hiptesis

alternativa se plantea que las dos proporciones no son iguales.

211

21

:

:

PPH

PPHo

Se designa P subuno como la proporcin de mujeres jvenes y P subdos como la

proporcin de mujeres maduras.

Se decidi un nivel de significancia del 0.05.





32

Los planes son tomar una muestra al azar de 100 mujeres jvenes designada por

n subuno y una muestra de 200 mujeres mayores designada como n subdos. Los

resultados una vez hecha el experimento dio los siguientes resultados: de las 100

mujeres jvenes 20 eligieron el nuevo perfume, designando este valor como X

subuno; y de las 200 mujeres maduras 100 prefirieron el nuevo perfume,

designando este valor como X subdos.

La proporcin ponderada, da como resultado:

40.0300

120

200100

10020

21

21

nn

XXPC

0.506.0

30.0

200

)40.01(40.0

100

)40.01(40.0

200100

10020

)1()1(

21

21

n

PP

n

PP

PPZ

CCCC

Los valores crticos para un nivel de significancia del 5% son 1.96 y +1.96. Igual

que en los otros casos, la siguiente grafica establece la regla de decisin:


El valor de Z calculado de 5.0 se encuentra en el rea de rechazo de la hiptesis

nula. Por tanto, la hiptesis que las proporciones son iguales se rechaza a un nivel

del 5% de significancia.






33

Ejemplo

Dos lotes de frutas conformados cada uno por 250 unidades son tratados y

almacenados en iguales condiciones salvo que el lote No 1 est a temperatura

ligeramente inferior que el lote No 2. Pasado un tiempo se encuentra que el lote

No 1 hay 225 frutas sanas y en el lote No 2 hay 200 sanas. Probar la hiptesis que

la temperatura ms baja favorece la conservacin de las frutas al nivel de

significacin de 0.05.

211

21

:

:

PPH

PPHo

Utilizando la distribucin de probabilidad normal con ensayo unilateral a la derecha

con un nivel significativo de 0.05, el valor critico es de 1.645.

13.30319.0

10.0

250

)15.0)(85.0(

250

)15.0)(85.0(

80.090.0

)1()1(

21

21

n

PP

n

PP

PPZ

CCCC

85.0250250

200225

21

21

nn

XXPC

Grfico No. 12. Prueba unilateral superior (cola derecha)







34

Como 3.12>1.645 se rechaza la hiptesis nula y se acepta la hiptesis alternativa.

La temperatura ms baja favorece la conservacin de las frutas.

Leccin 19: Pruebas para la media y la diferencia de medias

(muestras pequeas).

19. Pruebas de hiptesis para pequeas muestras.

Ahora veamos el caso en que las muestras son pequeas, 30n , pero donde la

distribucin muestral del estadstico de prueba se puede aproximar a una

distribucin t student. Dicha aproximacin es posible cuando los valores

subyacentes de la poblacin son casi normalmente distribuidos, y cuando

intervienen poblaciones donde las desviaciones estndar, aunque desconocidas,

se sabe que son iguales. Habiendo estudiado pruebas para muestras grandes con

todo detalle, podemos restringirnos a ejemplos en donde se aplique este tipo de

distribucin.

19.1. Prueba para media (pequea muestra)

Si tambin es razonable suponer que la poblacin tiene una distribucin normal de

probabilidad, con la distribucin t se puede hacer inferencia a cerca del valor de la

media de la poblacin.

Ejemplo

Una compaa de seguros revela que en promedio la investigacin por demandas

en accidentes y todos los trmites tiene un costo promedio de 60 unidades

monetarias. Este costo se considera exagerado comparado con el de otras

compaas del mismo tipo. A fin de evaluar el costo se seleccion una muestra

aleatoria de 26 demandas recientes y se realiz el estudio de costos. Se concluy

que el costo promedio es de 57 unidades monetaria con una desviacin estndar

de 10 unidades monetarias. Con un nivel de significancia del 0.01 se puede decir

que el estudio revel un costo menor al establecido por la empresa?

La hiptesis nula se plantea en el sentido que el costo promedio es de 60





35

unidades monetarias. La hiptesis alternativa que el costo es menor a 60 unidades

monetarias. Esto se expresa en la siguiente forma:

60:

60:

1

0

H

H

La prueba es de una cola a la izquierda, segn el planteamiento de la hiptesis

alternativa.

Se usa un nivel de significancia del 0.01 con una distribucin t, en consideracin

a que la muestra en menor a 30, es decir, es una pequea muestra.

Utilizando los datos de la muestra, se utiliza la siguiente frmula como estadstico

de prueba:

530.1

26

10

6057

n

S

Xt

Los valores crticos para la distribucin t se encuentran en la tabla

correspondiente (anexo D), con 25 grados de libertad (26 1), prueba de una cola

a un nivel de significancia de 0.01, correspondiendo un valor crtico de 2.485. En el

siguiente figura se indica el presente planteamiento:

Grfico No. 13. Prueba unilateral superior (cola derecha)

Puesto que 1.53 se encuentra en la regin de aceptacin de la hiptesis nula a







36

un nivel del 1% de significancia, se concluye que los costos para los tramites de

seguros de accidente no se han disminuido y se mantiene a un nivel promedio de

costo de 60 unidades monetarias.

Ejemplo

Una empresa produce elementos con un promedio de 43 mm de largo. Un ajuste

en las mquinas de produccin supone que dicho estndar ha cambiado. Se

quiere probar sta hiptesis con un nivel de significancia del 0.02.

Para afrontar el problema Ud. selecciona una muestra aleatoria de 12 elementos y

procede a medir su largor con los siguientes resultados:

Tabla No. 4. Seleccin muestra aleatoria

Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Medida 42 39 42 45 43 40 39 41 40 42 43 42

Plantea sus hiptesis:

43:

43:

1

0

H

H

Como hiptesis nula que no se ha producido un cambio en las dimensiones del

producto. Como hiptesis alternativa que se ha producido un cambio en las

caractersticas internas del producto debido a los ajustes en las mquinas.

Se dispone a probar la hiptesis con un nivel de significancia del 0.02, utilizando la

distribucin t porque es una pequea muestra, con 11 grados de libertad

aplicando el principio de (n- 1) y clculo para dos colas puesto que la hiptesis

alternativa est planteada desde el punto de vista de diferente.

El estadstico de prueba a utilizar es el siguiente:






37

n

S

Xt

Procede al clculo de la media y la desviacin estndar muestral:

5.4112

498

n

XX

78.1

11

35

1

2

n

XXS

Con la informacin anterior, aplica la frmula del estadstico de prueba:

92.2

12

78.1

0.435.41

n

S

Xt

Para aplicar la regla de decisin, muestra en el siguiente grfico el planteamiento

anterior:


La hiptesis nula que la media poblacional es 43 mm se rechaza a un nivel de

significancia del 0.02 y se acepta la hiptesis alternativa, concluyendo que los

ajustes en las mquinas s causaron un cambi en la calidad de control en el





38

largor de los diferentes elementos que se producen.

Anteriormente se analiz ampliamente la prueba de hiptesis para cuando las

muestra son pequeas, es decir, el tamao de la muestra es menor a 30. A

continuacin se propone un ejercicio de aplicacin, para que Ud. los desarrolle

atendiendo las sugerencias dadas.

19.2. Prueba para dos medias muestrales (pequea muestra)

Una prueba que utiliza la distribucin t tambin puede aplicarse para comparar dos

medias muestrales que tienen las siguientes caractersticas:

1. Las poblaciones deben de distribuirse normalmente. 2. Las poblaciones deben de ser independientes. 3. Las varianzas de las poblaciones deben de ser iguales. 4. Las muestras tienen menos de 30 observaciones. 5. Las desviaciones estndar de las poblaciones no se conocen.

Cuando se est frente a estas caractersticas, el estadstico de prueba a utilizar es

el siguiente:

2121

2

2

21

2

1

2121

11

2

11

)(

nnnn

nSnS

XXt

Ecuacin No.9

Dnde:

21 XyX Las medias de las muestras

21ynn Los tamaos de las muestras

2

2

2

1 ySS Las varianzas de las muestras

G.L. Grados de libertas, igual a = 221 nn

Ejemplo

Se ha propuesto realizar un examen de estadstica a dos grupos de estudiantes,

con el propsito de saber si los grupos tienen similares conocimientos sobre

pruebas de hiptesis. Para ello Ud. seleccion el grupo A compuesto de 5



39

estudiantes de educacin a distancia y el grupo B compuesto por 6 estudiantes de

educacin presencial, y los someti a la prueba, dando como resultado los

siguientes tiempos en minutos:

Tabla No. 5. Prueba para dos grupos

Educacin a distancia Educacin presencial

2

4

9

3

2

3

7

5

8

4

3

Probar con un nivel de significancia del 0.10 si existe alguna diferencia de

habilidad en los conocimientos de los dos grupos.

Las hiptesis las plantea en los siguientes trminos:

211

21

:

:

H

Ho

La hiptesis nula consistente en que los dos grupos no tienen alguna diferencia en

la habilidad de conocimiento, y la hiptesis alternativa en que existe diferencia

entre los grupos sobre la habilidad en la aplicacin de los conocimientos.

Prueba la hiptesis con un nivel de significancia del 10%, utilizando la distribucin

t student porque las muestras son menores que 30, con 9 grados de libertad (5+6

2) y prueba de dos colas porque la hiptesis alternativa est planteada en

funcin de diferente.

Para el clculo del estadstico de prueba se requiere estimar las medias de los

grupos y sus varianzas, los cuales se presentan en el siguiente cuadro:






40

Tabla No.6. Resultados para los grupos de estudiantes

Grupo estudiantes a distancia Grupo presencial

Media = 4 Media = 5

Varianza = 8.5 Varianza = 4.4

Muestra = 5 Muestra = 6

6620.0

6

1

5

1

265

164.4155.8

54

11

2

11

2121

2

2

21

2

1

21

nnnn

nSnS

XXt

Grfico No. 15. Prueba Bilateral (a dos colas). Diferencia de dos medias

La decisin es no rechazar la hiptesis nula debido a que el valor del estadstico

de prueba 06620 ha cado en la zona de aceptacin de dicha hiptesis,

concluyendo que no existe diferencia en la habilidad de aplicacin de

conocimientos entre los estudiantes a distancia y los estudiantes de presencial,

con un nivel de significancia del 10%.





41

19.3. Prueba de hiptesis para observaciones pareadas o relacionadas

La caracterstica principal para aplicar este tipo de prueba, es que las muestras

sean dependientes y el tamao de cada muestra sea inferior a 30 elementos

seleccionados.

Ejemplo

Un grupo de alumnos registra un ndice de puntuacin en estadstica, que se

considera muy bajo para aceptarlos al siguiente nivel. Proceden a tomar un curso

de nivelacin, obteniendo los siguientes registros antes y despus del curso. Con

un nivel de significancia del 0.05 probar si el curso de nivelacin mejor las

condiciones del grupo.

Antes 128 105 119 140 98 123 127 115 122 145

Despus 135 110 131 142 105 130 131 110 125 149

En estas condiciones hay un par de ndices de eficiencia para cada miembro del

grupo, antes y despus del curso,; ste conjunto de pares es lo que se denomina

muestra por pares. La prueba de hiptesis que se realiza para determinar si hay

diferencia entre los ndices antes y despus del curso de nivelacin, es lo que

denomina prueba de diferencia por pares. Obsrvese que las dos muestras, una

antes y una despus, dependen entre s, debido a que los mismos alumnos estn

en ambas pruebas, por tanto son dependientes.

La muestra est constituida por la diferencia entre los registros de puntuacin

antes y despus del programa. As, la media de las diferencias entre los registros

de rendimiento, se designa mediante d . Se presenta a continuacin el

procedimiento de la prueba:

0:

0:

1

d

d

H

Ho

La hiptesis nula plantea que no hay diferencia de eficiencia despus del curso. La

hiptesis alternativa plantea que el programa de nivelacin mejor el nivel de los

estudiantes.




42

Se usa un nivel de significancia del 5%, la muestra seleccionada es de 10

estudiantes considerada pequea muestra, la distribucin de probabilidad a utilizar

es la t student, con n 1 grados de libertad.

El estadstico de prueba a utilizar es:

n

S

dt

d

Ecuacin No.10

Dnde:

d : es la media de la diferencia entre las observaciones por pares.

dS : es la desviacin estndar de las diferencias entre las observaciones por

pares.

n: es el nmero de observaciones por pares.

G.L: son los grados de libertad (n 1)

Para determinar el clculo del estadstico de prueba se requiere conocer la media

de las diferencias y su desviacin estndar, para lo cual procedemos a su clculo

utilizando el siguiente cuadro:

Tabla No. 7. Calculo estadstico sobre diferencia de medias

Muestra Registro

antes

Registro

despus

Diferencia

d

Diferencia al

cuadrado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

128

105

119

140

98

123

127

115

122

145

135

110

131

142

105

130

131

110

125

149

7

5

12

2

7

7

4

-5

3

4

49

25

144

4

49

49

16

25

9

16

Sumas 46 386





43

60.410

46

n

dd

40.4

110

10

46386

1

22

2

n

n

dd

Sd

Aplicando la frmula, se obtiene:

30.3

10

4.4

6.4

n

S

dt

d

El valor crtico de t para esta prueba de una cola a la derecha, es 1.833 que se

obtiene en la tabla de la distribucin t (anexo D), ubicando en la columna de la

izquierda 9 grados de libertad y recorriendo a la derecha hasta la columna de una

cola con 0.05 nivel de significancia. En la siguiente grfica se indica lo expuesto:

Grfico No. 16. Prueba unilateral superior (cola derecha). Prueba de hiptesis por pares

Como el valor t (3.30) est en la regin de rechazo de la hiptesis nula, entonces

se acepta la hiptesis alternativa y se concluye que el programa de adiestramiento

para los alumnos fue eficaz para aumenta su eficiencia.





44

Leccin 20: Pruebas para la varianza

20. Pruebas de hiptesis para la varianza

Como su nombre lo indica, consiste en comparar tres o ms medias de una

muestra para identificar su homogeneidad o variabilidad. esta tcnica estadstica,

normalmente es utilizada para analizar resultados en la investigacin con diseos

experimentales y cuasi-experimentales; muchas veces necesitamos comparar dos

o ms distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable

dependiente, afectada por una o ms variables independientes.

Comparacin de dos varianzas poblacionales

Su utilidad radica en determinar si una poblacin normal tiene ms variacin que

otra poblacin que se considera tambin normal. Como ejemplo se pueden

mencionar, si dos mquinas dedicadas a producir cierto artculo de precisin

pueden ser confiables en el control de calidad, es decir, el producto tiene el mismo

largor, el mismo dimetro y las variaciones presentadas son similares.

Ejemplo

La tasa media de rendimiento de dos tipos de acciones se puede apreciar en el

siguiente cuadro, se desea saber si el rendimiento promedio es diferente a un nivel

de significancia del 0.10.

Tabla No. 8. Tasa de rendimiento de las acciones

Acciones Rendimiento

promedio

Desviacin

estndar

Tamao de la

muestra

Tipo A

Tipo B

56

58

12

5

7

8

2

2

2

11

2

2

2

1

:

:

H

Ho

La variacin de los rendimientos promedios de las acciones es igual como la

hiptesis nula. La variacin de los rendimientos de las acciones es diferente como




45

hiptesis alternativa.

Se selecciona un nivel de significancia de 0.01 utilizando la distribucin F.

El valor del estadstico de prueba sigue una distribucin F, con la siguiente

relacin:

76.55

122

2

2

2

2

1 S

SF

Se acostumbra a colocar el mayor valor en el numerador, de tal forma que la

relacin siempre ser por lo menos igual a uno.

El valor crtico se obtiene del Anexo F, para lo cual se reproduce una parte de la

tabla. Debido a que utiliza una prueba de dos colas, el nivel de significancia para

cada cola ser de:

05.02

10.02

.

Grados de libertad para el numerador: n 1 = 7-1 = 6

Grados de libertad para el denominador: n 1 = 8 1 = 7

Para encontrar el valor crtico, se incorpora parte de la tabla F:

Tabla No. 9. Grados libertad numerador denominador

GRADOS LIBERTAD NUMERADOR

G.L

Denominador

5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

230

19.3

9.01

6.26

5.05

4.39

3.97

3.69

3.48

3.33

234

19.3

8.94

6.16

4.95

4.28

3.87

3.58

3.37

3.22

2.7

19.4

8.89

6.09

4.88

4.21

3.79

3.50

3.29

3.14

239

19.4

8.85

6.04

4.82

4.15

3.73

3.44

3.23

3.07






46

Dado que el valor de la distribucin F (5.76) se encuentra a la derecha del valor

crtico (3.87), se acepta la hiptesis alternativa y se concluye que los rendimientos

promedios de las acciones son diferentes.

Ejercicios propuestos

A continuacin se proponen dos ejercicios para que los desarrolle aplicando las

sugerencias propuestas:

1. Se lanza una moneda 200 veces y se obtienen 105 caras. Si el nivel de

significancia es de 1% probar la hiptesis que la probabilidad de caras es de

contra la hiptesis:

a. Que es mayor de . b. Que es menor de . c. Que es diferente de .

Sugerencia: En este caso utilice las propiedades de la distribucin binomial donde:

1002

1200 np 07.72121200 qpn

qpnpnX

Z

2. Un fabricante de un empaque para harinas garantiza que tiene una efectividad

de 95% en la proteccin contra la humedad durante un perodo de 6 meses. Se

observ una muestra de 100 paquetes encontrndose resultados positivos en

85 paquetes. Comprobar si la afirmacin del fabricante es verdadera con un

nivel de significancia de 0.05.

Sugerencia: Utilizar prueba de una proporcin.

3. Un fabricante de pastas alimenticias sostiene que el contenido medio de

protenas del producto es de 10.7. Un anlisis de una muestra de 8 paquetes

dio como resultado un contenido medio de 10% con una desviacin de 1. Se

puede aceptar como verdadera la afirmacin del fabricante a un nivel de 0.01?

Sugerencia:

Utilizar el siguiente estadstico de prueba:

n

S

Xt

Un ensayo unilateral con cola a la izquierda con un nivel significativo de 0.01 el

valor crtico con 7 grados de libertad es igual a 3.0




47

CAPITULO CINCO: ANLISIS DE VARIANZA

Introduccin.

En esta unidad se prosigue con el anlisis de pruebas de hiptesis. Recuerde que

en captulo anterior se examin la teora general de la prueba de hiptesis y se

describi el caso en el que fue seleccionada una muestra grande a partir de la

poblacin. Se emple la distribucin Z como base para determinar si es razonable

concluir que una media calculada a partir de una muestra, proviene de una

poblacin hipottica. Adems se prob si dos medias muestrales provienen de

poblaciones iguales. Tambin se efectuaron pruebas de una y dos muestras para

relaciones proporcionales utilizando la distribucin normal como entidad

estadstica de prueba. Se utiliz la distribucin t como entidad estadstica de

prueba para muestras pequeas (con menos de 30 observaciones)

Cuando se desea conocer la homogeneidad que existe entre tres o ms medias

muestrales, se procede a determinar la variabilidad entre esas medias, tcnica que

se conoce como anlisis de varianza. Es decir, cuando productos o individuos

son sometidos a tratamientos determinados para ver cmo stos influyen en

resultados o comportamientos, lo ms aconsejable es utilizar la tcnica de anlisis

de varianza.

El objetivo del anlisis de varianza es determinar cules son las variables

independientes de importancia en un estudio, y en qu forma interactan y afectan

la respuesta.

El Anlisis de varianza en el presente capitulo se encuentra dividido de la

siguiente forma.

Grfico No. 17. ANOVA

ANALISIS DE VARANIZA

De un Factor De dos Factores

Con interaccin



48

Objetivo general.

Reconocer la importancia principios en que se basa y campos de aplicacin de la

tcnica de Anlisis de Varianza.

Objetivos especficos.

Comprender la nocin general del anlisis de varianza.

Realizar una prueba de hiptesis para determinar si dos varianzas

muestrales provienen de poblaciones iguales.

Probar e interpretar hiptesis aplicando el anlisis simple de varianza.

Establecer y organizar datos en una tabla de ANOVA de una y de dos

direcciones.

Plantear, probar e interpretar hiptesis de anlisis de varianza de dos

factores de diseo de bloque aleatorizado.

Plantear, probar e interpretar hiptesis de anlisis de varianza de dos

factores con interaccin o diseo de factorial.

Definir los trminos tratamientos y bloques.

Dar a conocer el manejo de la herramienta de Anlisis de varianza en

Excel.



49

Leccin 21: Generalidades

Como su nombre lo indica, el ANALISIS DE VARIANZA, se utiliza para probar

hiptesis sobre la igualdad de tres o ms medias poblacionales. Al comparar las

varianzas muestrales, es posible sacar una conclusin o inferencia sobre los

valores relativos de las medias poblacionales.

21. Comparacin de ms de dos poblaciones

Del anlisis de varianza, podemos decir que esta tcnica estadstica normalmente

es utilizada para analizar resultados en la investigacin con diseos

experimentales y cuasi-experimentales; muchas veces necesitamos comparar dos

o ms distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable

dependiente, afectada por una o ms variables independientes.

El anlisis de varianza estudia la relacin entre una variable cualitativa (o variable

independiente) con ms de dos categoras y una variable cuantitativa (o variable

dependiente).

Ejemplo

Un agrnomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades

diferentes de calabacitas.

La variable cualitativa es el factor de este experimento, que en este caso es la

variedad de calabacita, los niveles son cada una de las cuatro variedades. Y la

variable cuantitativa es el rendimiento (en libras).

El factor corresponde a la variable cualitativa y los niveles a las

categoras de esa variable

El anlisis de varianza tiene como objetivo identificar, si hay evidencia de una

diferencia significativa entre los niveles, basados en las medias muestrales.



50

21.1. Variabilidad producto de factores controlables e incontrolables

Tericamente es posible dividir la variabilidad del resultado de un experimento en

dos partes: la originada por factores o tratamientos que influyen directamente en el

resultado del experimento, y la producida por el resto de factores desconocidos o

no controlables, que se conoce con el nombre de error experimental. En el

ejemplo anterior los factores desconocidos pueden ser: la humedad, la

temperatura y plagas entre otros.

21.2. Tipos de modelos

Modelo de efectos fijos: Un modelo de anlisis de varianza es de efectos

fijos cuando los resultados obtenidos slo son vlidos para esos determinados

niveles del factor estudiado y lo que ocurra a otros niveles del factor puede ser

diferente.

Modelo de efectos aleatorios: Un modelo de anlisis de varianza es de

efectos aleatorios cuando los resultados obtenidos son vlidos para cualquier

nivel del factor estudiado.

Modelo replicado: Un modelo es replicado si el experimento se repite varias

veces para cada nivel del factor; en caso contrario se dice que el modelo es

por unidad de casilla.

21.3. Supuestos Del Anlisis De Varianza

Para cada poblacin la variable de respuesta est normalmente distribuida.

La varianza de la variable respuesta es la misma para todas las

poblaciones.

Las observaciones deben ser independientes.

Leccin 22. Anlisis de Varianza de un Factor

El anlisis de varianza simple se presenta cuando se tiene un solo factor

estudiado en sus distintos niveles que influyen sobre una variable respuesta que

mide el resultado del experimento, y el resto de los factores conforman el error

experimental influyendo sobre la variable respuesta de manera no controlable. El

factor se presenta con j niveles, y dentro de cada nivel se analiza una serie de

observaciones del experimento en control (unidades experimentales) y su efecto

sobre la variable respuesta, es decir, para cada nivel se repite el experimento

varias veces (replicacin).



51

El anlisis de varianza descompone la variabilidad del resultado de un

experimento en componentes independientes (variacin total descompuesta en

variaciones particulares).

Ejemplo

Se puede considerar los rendimientos de un mismo cultivo en parcelas diferentes,

que aunque labradas en las mismas condiciones, producen cosechas que son

distintas. La variabilidad de rendimientos es producida por factores o tratamientos

controlables (abono, riego, etc.), donde cada factor o tratamiento puede presentar

diferentes niveles (diferentes cantidades o calidades de abono, distinta intensidad

de riego); tambin puede ser producida por otros factores o tratamientos no

controlables (humedad relativa, clima, plagas, etc.).

Tabla No. 10. Observaciones por cada nivel

Nivel1 Nivel 2 Nivel j

X11 X12 X1j X21 X22 X2j

.

.

.

.

.

.

. . .

Xi1

Xi2

Xij

ijX : Observacin i-sima de la variable respuesta relativa al j-simo nivel de

factor.

En el ejemplo anterior, ijX es el rendimiento obtenido (variable respuesta) bajo el

nivel j del factor (abono) en la observacin i-sima (Para cada nivel j de factor se

repite el clculo de rendimiento veces para recoger el efecto del error

experimental).

: Tamao de la muestra para cada nivel (categoras de la variable cualitativa)

En esta seccin se considera el anlisis de varianza de un solo factor, en el cual

solo interviene en el experimento un solo tipo de tratamiento. Cuando se desea

contrastar las hiptesis sobre la diferencia global entre tres o ms medias de

poblacin, se aplica la distribucin de probabilidad F encontrando en cociente de



52

dos varianzas calculadas a partir de los datos experimentales. El modelo lineal en

que se basa el mtodo de anlisis de varianza de un solo factor es:

ijiiJX

Ecuacin No.11

Dnde:

Es la i-sima observacin del j-simo nivel experimental.

La media de todas las observaciones de todas las poblaciones j del tratamiento. Es

una constante.

Efecto del tratamiento en la poblacin j. Son variables aleatorias independientes.

Error aleatorio asociado a la i-sima observacin del factor de la poblacin j

El efecto i del tratamiento o factor es la diferencia entre la gran media y la media

J de la poblacin en tratamiento J, esto es:

Ji .

Ecuacin No.12

Por consiguiente, si hay J tratamientos en un experimento, la suma de todos los J

efectos de los tratamientos debe ser igual a cero:

0111

JJ

J

J

J

J

J

J

J

i

Ecuacin No.13

El ltimo trmino iK refleja la variabilidad dentro de cada una de las poblaciones

en tratamiento, y su presencia se atribuye al proceso aleatorio, y se interpreta

como lo resultante de la diferencia entre el resultado observado y la media de la

poblacin del tratamiento:

jijiJ X

Ecuacin No.14

El valor esperado o la esperanza de ij es igual a cero.



53

El modelo se basa en las siguientes suposiciones:

Admite que los errores aleatorios ij tienen una distribucin normal

para cada poblacin en tratamiento J.

Admite que los errores iJ se distribuyen independientemente tanto

entre poblaciones en tratamiento como dentro de ellas.

Acepta que la varianza 2 del error permanece constante para cada

una de las poblaciones.

Hiptesis del ANOVA de un factor.

El anlisis de varianza se usa para probar la igualdad de K medias poblacionales

y la forma general del planteamiento de las hiptesis es:

Dnde: j = Media de la j-sima poblacin.

La media general de las muestra, est representada por X , y es la suma de todas

las observaciones divida entre la cantidad total de las mismas, expresada de la

siguiente forma:

Media General:

t

K

j

n

i

ij

n

X

X

j

1 1

Ecuacin No.15

Dnde: Kt nnnn ...21

Si el tamao de cada muestra es knnn T , , la ecuacin de la media general se

reduce a:

K

X

K

n

X

n

X

X

K

j

j

K

j

n

i

ij

t

K

j

n

i

ij

jj

11 11 1

Ecuacin No.16

En otras palabras, cuando los tamaos de muestra son iguales, la media general

muestral es justamente el promedio de las medias de las K muestras.



54

Si supone que se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamao jn de cada

una de las K poblaciones, se tiene:

ijX es la i-sima observacin del grupo, nivel j.

jn es el nmero de observaciones del grupo, nivel j.

n es el total del nmero de observaciones en todos los grupos combinados.

K Es el nmero total de grupos, niveles del factor de inters.

to. tratamiensimo-j del muestra la de MediaX j

Pasos para la Realizar un anlisis de varianza.

1. Establecer la hiptesis nula y alterna.

2. Establecer el nivel de significancia

3. Realizar el ANOVA

4. Calcular el valor F o el valor crtico correspondiente al nivel de confianza

fijado con los grados de libertad.

5. Hallar el estadstico de prueba

6. Tomar la decisin teniendo en cuenta que:

crticoValor B

A si H Rechaza 0

Grfico No. 18. Distribucin F.



55

Ejemplo 1

Suponga que una empresa tiene tres dependencias diferentes en donde produce

tubos de iluminacin, y desea verificar el control de calidad en cuanto a duracin

se refiere de las bombillas, y para ello toma una muestra de 6 unidades de cada

factora y las somete a desgaste hasta que dejan de iluminar con los siguientes

resultados en horas:

Tabla No. 11. Observaciones por cada nivel

Observacin Planta 1 Planta 2 Planta 3 Total

1 2 3 4 5 6

85 75 82 76 71 85

71 75 73 74 69 82

59 64 62 69 75 67

JX 79 74 66 73

2

JS 34 20 32

JS 5.83 4.47 5.66

Jn 6 6 6 18

n

J

iJX!

474 444 396 1314

La media general es igual a:

733

219

18

667479

3

1

J

J

J

n

X

X

Se observa que se obtienen las medias para cada tratamiento (79, 74 y 66) y una

media general (73). Para llevar a cabo la prueba de la igualdad de las medias de

la poblacin, se subdivide la variacin total en dos mediciones:

Diferencia entre los grupos.

Diferencia dentro de los grupos.

La varianza de la muestra total se particiona en la varianza dentro de las plantas y

la varianza entre las plantas, tal como se indica en el siguiente grfico:

Grfico No. 18. Distribucin F.

Variacin

Total (VT) =

Variacin Dentro

del Grupo (VDG) + Variacin Entre

Grupo (VEG)



56

Variacin total (VT)

2

1 1

k

j

n

i

ij XXVT

Ecuacin No.17

6

1 22

22222

3

1 94673647359

...73757371...73757385

i

ij

J

XXVT

Variacin dentro del grupo (VD

modulo 100403_vol 2_jeammy_sierra.pdf

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