modelosmétricosde superﬁciescompactaso toro é homeomorfo ao cociente r 2=z . por outra banda, a...

Traballo Fin de Grao

Modelos métricos desuperficies compactas

Adrián Pérez Bote

2013-1014

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA

GRAO DE MATEMÁTICAS

Traballo Fin de Grao

Modelos métricos desuperficies compactas

Adrián Pérez Bote

4 de xullo do 2014

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA

iii

Traballo proposto

Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía

Título: Modelos métricos de superficies compactas

Director/a: Xosé María Masa Vázquez

Breve descrición do contido

O plano proxectivo é un cociente métrico da esfera. O toro e a garrafa deKlein son cocientes métricos do plano euclidiano. Non ocorre o mesmopara as restantes superficies compactas, de xénero maior.O traballo consiste en presentar estas superficies como cocientes do planohiperbólico pola acción de subgrupos do seu grupo de isometrías.

Recomendacións

Para iniciar o traballo convén ter superada a materia de Topoloxía deSuperficies.

Outras observacións

Grupo movimentos plano Lobachesvki Dubrovin-Fomenko-Novikov II §20(57-253A/2)

Índice xeral

Resumo vii

Introdución ix

1. Conceptos previos 11.1. Accións dun grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espazos de revestimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. O plano hiperbólico 52.1. Introdución ao plano hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Modelo do semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Disco de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Reflexións e xeodésicas no plano hiperbólico . . . . . . . . . . . . 82.5. Isometrías do plano hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. Clasificación das isometrías de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7. Exemplos notábeis de isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. As superficies compactas 153.1. Definición e clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Curvatura e Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Presentación das superficies como cocientes 194.1. Unha aproximación: o dobre toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. As superficies como cocientes dun polígono . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1. Área dun polígono hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . 244.3. Construción de Γn no caso orientábel . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4. Construción de Γn no caso non orientábel . . . . . . . . . . . . . 324.5. A superficie é un cociente do plano hiperbólico . . . . . . . . . . 354.6. Relación entre Γn e π1(Sn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bibliografía 39

v

vi ÍNDICE XERAL

ÍNDICE XERAL vii

ResumoA partir do Teorema de Gauss-Bonnet e do coñecemento da característica

de Euler das superficies conclúese que as superficies compactas de xénero sufi-cientemente grande non se poden presentar como cociente nin da esfera nin doplano euclidiano. A continuación, aplicando o Teorema de Clasificación de Su-perficies, expresaranse como cociente de polígonos hiperbólicos regulares. Destapresentación dedúcese un subgrupo de isometrías do plano hiperbólico de xeitoque o cociente do plano hiperbólico por este grupo é a superficie. Para isto se-rá preciso realizar, previamente, un estudo detallado do plano hiperbólico e doseu grupo de isometrías; así como introducir os conceptos de revestimento e deacción dun grupo.

AbstractFrom the Gauss-Bonnet Theorem and the knowledge of the Euler characte-

ristic of the surfaces it will be concluded that compact surfaces with big enoughgenus can not be presented as metric quotients neither of the sphere nor of theeuclidean plane. Afterwards, using the Surface Classification Theorem, they willbe expressed as quotient of regular hyperbolic polygons. From this presentationa subgroup of hyperbolic isometries will be deduced so that the quotient of thehyperbolic plane by this group is the surface. With this purpose it will be ne-cessary to develope, previously, a detailed study of the hyperbolic plane and itsisometry group, as well as introduce concepts like convering and group action.

viii ÍNDICE XERAL

Introdución

Unha superficie é un espazo topolóxico conexo por camiños, localmente cone-xo por camiños e mais semilocalmente simplemente conexo, polo que admite unrevestimento universal. Como os revestimentos dunha superficie son superficies,temos garantido que, en particular, o revestimento universal é unha superficie.

As únicas superficies simplemente conexas son a esfera e mais o plano. Oplano proxectivo admite a esfera como revestimento universal métrico, quer di-cir, o grupo de transformacións de revestimento son isometrías, neste caso aidentidade e mais a aplicación antipodal. O toro e mais a garrafa de Klein ad-miten como revestimento universal métrico o plano euclidiano. Por unha banda,o toro é homeomorfo ao cociente R2/Z2. Por outra banda, a garrafa de Kleinpode expresarse como R2/Γ, sendo Γ un subgrupo do grupo de isometrías deR2 xerado por ϕ(x, y) = (x, y + 1) e ψ(x, y) = (x+ 1, 1− y).

As superficies de xénero maior non poden presentarse como cociente métricoda esfera nin do plano euclidiano. Isto débese a que a súa característica de Eu-ler é negativa. No caso das superficies orientábeis, o Teorema de Gauss-Bonnetgarántenos, por tanto, que a súa curvatura é negativa, polo que sabemos quenon poden ser cocientes métricos do plano euclidiano nin da esfera, por terencurvatura nula e positiva respectivamente. No caso das superficies non orientá-beis o argumento é similar, xa que para xénero grande teñen característica deEuler negativa, polo que o seu revestimento de orientación será unha superficieorientábel de característica negativa.

O Teorema de Uniformización garántenos que só existen tres estruturas mé-tricas esencialmente distintas: a esfera, o plano euclidiano e mais o plano hiper-bólico. Sabemos, así, que as superficies de xénero suficientemente grande sonnecesariamente cociente do plano hiperbólico.

O obxectivo deste traballo é encontrarmos subgrupos de isometrías do planohiperbólico de xeito que poidamos expresar as superficies de xénero grande comoH/Γ.

Comezaremos cun capítulo de preliminares onde se introducen conceptoscomo espazo de revestimento, grupo de transformacións de revestimento e accióndun grupo. Despois abordaremos un estudo pormenorizado do plano hiperbólicoxunto co seu grupo de isometrías. A continuación argumentaremos formalmenteen que casos é preciso cocientar o plano hiperbólico para obtermos superficies.

Usaremos o Teorema de Clasificación de Superfices, en particular a presenta-ción das superficies compactas como cociente de rexións poligonais planas, para

ix

x INTRODUCIÓN

ver que se poden presentar como cocientes métricos de polígonos hiperbólicosregulares. Calcularemos as isometrías que identifican as súas arestas e daremosexplicitamente as matrices asociadas a elas.

Por último, verificaremos que as isometrías que usamos para identificar asarestas do polígono xeran un grupo de isometrías do plano hiperbólico do que opolígono é rexión fundamental, o que permite concluír que a superficie é cocientedo plano hiperbólico pola acción dese grupo.

Capítulo 1

Conceptos previos

Neste capítulo introduciremos ferramentas teóricas moi potentes para o es-tudo de espazos topolóxicos e, en particular, das superficies compactas; as calesdefiniremos despois dun xeito formal para afondarmos no seu estudo. Primeiroexplicaremos o concepto de espazo cociente. Despois introduciremos as acciónsdun grupo sobre un espazo. Por último, definiremos espazo de revestimento eespazo de revestimento universal xunto cos que trataremos as transformaciónsde revestimento. Tamén salientaremos a relación entre estes conceptos e o grupofundamental.

O obxectivo deste traballo é expresarmos certas superficies compactas comocociente do plano hiperbólico. Por tanto, comezaremos dando a definición, bencoñecida, de espazo cociente.

Definición 1.1. Sexa E un espazo topolóxico e p : E → X unha función so-brexectiva. Entón defínese a topoloxía cociente en X inducida por p como atopoloxía cuxos abertos son os conxuntos U tales que p−1(U) é aberto en E. Oconxunto X equipado coa topoloxía cociente inducida por p denomínase espazocociente de E.

1.1. Accións dun grupoAs superficies compactas van ser construídas cocientando por un grupo. Para

comprendermos isto, precisamos estudar brevemente as accións dun grupo sobreun conxunto.

Definición 1.2. Unha acción dun grupo G sobre un conxunto X é unha apli-cación

ψ : G×X → X

que cumpre:

ψ(e, x) = x para todo x ∈ X, sendo e o elemento neutro do grupo.

1

2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS

ψ(g ∗ h, x) = ψ(g, ψ(h, x)) para todo x ∈ X, g, h ∈ G

En particular, para cada elemento g ∈ G, ψ(g, ·) : X → X é unha bixección.

Sexa X un espazo topolóxico e G un grupo que actúa sobre X. Denotamospor X/G o espazo cociente de X dado pola proxección p : X → X/ ∼, sendo ∼a relación de equivalencia dada por:

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : ψ(g, x) = y,

sendo x, y ∈ X.Imos definir agora órbita e estabilizador, conceptos naturais a partir da de-

finición de acción.

Definición 1.3. Sexa x0 ∈ X.A órbita de x0 defínese como Gx0 := {x ∈ X : ∃g ∈ G : ψ(g, x0) = x}.O estabilizador de x0 defínese como Gx0

:= {g ∈ G : ψ(g, x0) = x0}.

Neste traballo empregaremos a miúdo un concepto chamado rexión funda-mental dunha acción. As definicións de rexión fundamental varían entre distintostextos. A partir de aquí nós consideraremos que é un conxunto pechado e conexoque contén un representante de cada órbita da acción agás na súa fronteira.

Fainos falta definir, tamén, acción libre e acción transitiva.

Definición 1.4. Unha acción dun grupo G sobre un conxunto X dise libre se,dadas g, h ∈ G, a existencia dun x ∈ X tal que ψ(g, x) = ψ(h, x) implica queg = h.

Definición 1.5. Unha acción dun grupo G sobre un conxunto X dise transitivase, dados x, y ∈ X arbitrarios, existe un elemento g ∈ G tal que ψ(g, x) = y.

Damos agora a definición de acción propiamente discontinua e un resultadoa partir desta, que empregaremos posteriormente.

Definición 1.6. Unha acción do grupo de transformacións G sobre o espazotopolóxico X dise propiamente discontinua se cada x ∈ X ten unha veciñanzaU tal que gU ∩ U = ∅ para todo g ∈ G, g 6= id.

A partir da definición a seguite proposición obtense de xeito inmediato:

Lema 1.7. Se G actúa de forma propiamente discontinua, entón a órbita{gp : g ∈ G} para todo x ∈ X é discreta.

1.2. Espazos de revestimentoContinuamos este capítulo abordando o estudo dos espazos de revestimento

e das transformacións de revestimento. Para consultar estas definicións ou obtermáis información sobre estes conceptos acúdase a [6].

1.2. ESPAZOS DE REVESTIMENTO 3

Definición 1.8. p : E → X é unha proxección de revestimento se cada x ∈ Xten unha veciñanza aberta U de xeito que p−1(U) é unha unión disxunta deconxuntos abertos Si en E; e p leva homeomorficamente cada un deles a U . Echámase espazo de revestimento.Temos, como consecuencias inmediatas:(1) A fibra p−1(x) sobre cada punto é discreta, quer dicir, non ten puntos deacumulación en E;(2) p é un homeomorfismo local;(3) p é sobrexectiva e X está equipado coa topoloxía cociente de E (por ser paberta).A condición (2) garántenos que X e E teñen as mesmas propiedades localmente.

Sexa X un espazo topolóxico e G un grupo que actúa sobre X de formapropiamente discontinua. Entón, a proxección p : X → X/ ∼ é unha proxecciónde revestimento, xa que para calquera punto x ∈ X existe unha veciñanza Ucuxas preimaxes por p (quer dicir, os gU para calquera g ∈ G) son disxuntos.

Definición 1.9. Sexa p : E → X unha proxección de revestimento. O cardinalda fibra p−1(x) sobre un punto calquera denomínase grao da proxección derevestimento p, que non varía se tomamos a fibra sobre outro punto. Dicimosque unha proxección de revestimento ten n follas cando o seu grao é n.

Se un espazo X é conexo por camiños, localmente conexo por camiños esemilocalmente simplemente conexo, entón ten un espazo de revestimento sim-plemente conexo que se chama espazo de revestimento universal.

Definición 1.10. Unha transformación de revestimento (dunha proxección derevestimento p : E → X) é un homeomorfismo f : E → E tal que p ◦ f = p.

Cada transformación de revestimento permuta os elementos de cada fibra. Oconxunto das transformacións de revestimento forma un grupo coa composicióncomo operación.

Sexa G o grupo das tranformacións de revestimento da proxección de reves-timento p : E → X. Como G actúa sobre E permutando os elementos de cadafibra, temos que X ∼= E/G.

Supoñamos agora que p : E → X é unha proxección de revestimento e E,e por tanto X, son conexos e localmente conexos por camiños. A acción dogrupo de transformacións de revestimento en cada fibra é libre. Se é transitivanalgunha fibra, entón éo en todas, e chamamos a proxección de revestimentoregular. Todo revestimento universal é regular, con grupo de transformacións derevestimento isomorfo ao grupo fundamental π1(X).

Para as superficies non orientábeis, será útil recorrermos a un tipo especialde espazo de revestimento, o espazo de revestimento de orientación. Se temosunha variedade X n-dimensional non orientábel (en particular, unha superficienon orientábel), podemos construír unha outra variedade orientábel X e unhaproxección de revestimento de dúas follas p : X → X. Neste caso dicimos queX é o espazo de revestimento de orientación. A transformación de revestimento

4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS

non trivial deste revestimento intercambia a orientación. Como hai precisamentedúas orientacións locais, as fibras desta aplicación teñen cardinal 2.

Por último, salientamos un aspecto dos cocientes. En xeral, que o espazo Eda definición 1.1 sexa un espazo métrico non implica que o espazo cociente deX o sexa tamén. Neste texto traballaremos con cocientes pola acción dun grupode isometrías, e neste caso si que herda a métrica. Se p (tamén de 1.1) é unhaproxección de revestimento é localmente isometría. De xeito informal podemosdicir que p "conserva a métrica".

Capítulo 2

O plano hiperbólico

2.1. Introdución ao plano hiperbólico

A orixe das xeometrías non euclidianas está ligada ao cuestionamento dundos cinco postulados estabelecido por Euclides, máis precisamente, o quintopostulado. Ese postulado, tamén coñecido como postulado das paralelas, afirmaque "se unha recta, cortando outras dúas rectas no plano, forma ángulos internosdun mesmo lado menores que dous rectos, entón as dúas rectas prolongadas aoinfinito encontraranse na parte na que os dous ángulos son menores que dousrectos".

Desde o inicio, ese postulado foi criticado por ter unha elaboración máis com-plexa ca os demais, e sobretodo por dar impresión de redundancia. Non parecíater a evidencia abonda para ser aceptado sen demostración. Sospeitábase quepuidese ser probado a partir das nocións primitivas e dos catro primeiros postu-lados. Á parte disto, outro feito intrigante era o tardío do uso deste postuladopor parte de Euclides, xa que probou vinteoito proposicións sen usalo. Iniciá-ronse entón tentativas para probar o quinto postulado. Estas xurdiron logo trasa aparición dos Elementos e non terminaron até a primeira metade do séculoXIX. Nestas tentativas, xeómetras a miúdo facían suposicións e usábanas paraprobaren o quinto postulado. O que acontece é que cada unha destas hipótesesfoi probada como equivalente ao postulado das paralelas. Unha delas atribúeseao matemático xeólogo inglés John Playfair (1748-1819) e di o seguinte: "por unpunto fóra dunha recta pódese trazar unha única recta paralela á recta dada".Tempo despois foi probado que o quinto postulado é independente dos catro pri-meiros. Ou sexa, descubriron que existen xeometrías nas cales a substitución doquinto postulado por outro referido ao número de rectas paralelas a unha dadaé un axioma. Estas xeometrías son coñecidas como xeometrías non euclidianase de entre elas destaca a xeometría hiperbólica.

A xeometría hiperbólica, tema que nos ocupa neste capítulo, está baseadanos postulados un, dous, tres e catro da xeometría euclidiana, e mais nunhanegación do axioma de Playfair, "por un punto fóra dunha recta pódense trazar

5

6 CAPÍTULO 2. O PLANO HIPERBÓLICO

máis dunha recta paralela á recta dada". Así, todos os resultados que dependendo quinto postulado sofren alteracións nesta nova xeometría.

A descoberta da xeometría hiperbólica débese en particular ao matemáticoruso Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) e mais ao matemático húngaroJános Bolyai (1802-1860) que publicaron os seus traballos independentemente en1829 e 1832, respectivamente. Outro matemático que traballou con profundidadea xeometría hiperbólica foi Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Porén, este nonpublicou os resultados obtidos.

No tocante ao estudo das superficies compactas que desenvolveremos nasseguintes seccións é moi salientábel o extraordinario traballo do matemáticoalemán Georg Bernhard Riemann (1826-1866). Baseado nos traballos de Gauss,Riemann propuña unha xeometría fundada no concepto de curvatura. As xeo-metrías euclidiana e hiperbólica, onde a curvatura é constante, pasaron a serdescritas despois como casos especiais da xeometría de Riemann. O traballode Riemann foi publicado en 1868. Neste mesmo ano, Beltrami mostrou quenunha superficie de curvatura constante negativa, tomando un concepto apro-piado de rectas (as xeodésicas), todos os resultados obtidos por Lobachevskyeran localmente verificados. Modelos para a xeometría hiperbólica son os da-dos por superficies con curvatura constante negativa, en canto para a xeometríaencludiana son os dados por superficies con curvatura constante cero.

Non é posíbel expresar o plano hiperbólico como superficie do espazo usual.O modelo, neste caso, é desenvolvido de xeito abstracto, pola introdución de di-ferentes nocións de distancia e ángulo. O francés Henri Poincaré (1854-1912) in-troduciu modelos locais abstractos para a xeometría hiperbólica a través dunhanova noción de distancia para puntos do plano. Eses modelos foron utilizadospor el no estudo de variábeis complexas. Un destes modelos é coñecido comomodelo do semiplano superior (ou modelo do semiplano de Poincaré) e seráo modelo que adoptaremos para o estudo das isometrías do plano hiperbólico.Outro modelo que tamén usaremos, máis adiante, é o do disco de Poincaré, máisvisual para algúns resultados.

2.2. Modelo do semiplano

Chámase modelo do semiplano ao semiplano complexo superior,

{z ∈ C : Im(z) > 0}

xunto coa distancia local definida como

ds =

√dx2 + dy2

y.

Este modelo denótase por H.H é homeomorfo ao plano R2, xa que é homeomorfo ao semiplano real supe-

rior (mediante o homeomorfismo que leva z = x+ iy ∈ C a (x, y) ∈ R2) e este éhomeomorfo ao plano real. Porén, H non é isométrico a R2.

2.3. DISCO DE POINCARÉ 7

Imos expresar as isometrías de H, que denotaremos Isom(H), como funcións

complexas en termos de z = x+ iy. A distancia infinitesimal ds =

√dx2 + dy2

y

tamén se pode expresar como|dz|Im z

.Algunhas funcións que deixan a distancia infinitesimal invariante son:

(1) tα(z) = α+ z para calquera α ∈ R,(2) gλ(z) = λz para calquera λ ∈ R positivo,(3) f(z) = −z.

Nótese que estas funcións son translacións, dilatacións e mais unha reflexióneuclidianas, respectivamente. Porén, as translacións e mais as dilatacións eucli-dianas teñen unha interpretación diferente en H. Unha dilatación euclidiana éunha translación hiperbólica e unha translación euclidiana é, en H, un tipo deisometría propio do plano hiperbólico. Veremos que estas tres isometrías nonson abondas para xerar todas as isometrías hiperbólicas.

2.3. Disco de PoincaréO Disco de Poincaré é un modelo alternativo ao do semiplano que empre-

garemos ao longo deste traballo, especialmente porque ofrece interpretaciónsxeométricas máis intuitivas ca as do semiplano. Este modelo ven definido por

D = {z ∈ C : |z| < 1}

xunto cunha distancia que definiremos a continuación a partir da distancia enH.

Para transformar H en D empregamos a función

j : H→ D, j(z) =iz + 1

z + i

A partir desta transformación, obtemos a súa inversa:

j−1 : D→ H, j−1(w) =−iw + 1

w − i

Os puntos da fronteira do semiplano, ∂H = R∪∞, transfórmanse, mediantej, na fronteira do disco, ∂D = {z ∈ C : |z| = 1}.

Definimos a distancia no Disco de Poincaré entre os puntos w1, w2 ∈ D comoa distancia en H entre as súas preimaxes por j, j−1(w1), j−1(w2) ∈ H. Por tanto,as isometrías no disco de Poincaré veñen dadas por jhj−1, sendo h ∈ Isom(H).

Como sabemos z = j1(w) =−iw + 1

w − i, obtemos que a distancia en D é

|dz|Im z

=|d−iw + 1

w − i|

Im(−iw + 1

w − i)

=|2dw|

(1− |w|2).


2.4. Reflexións e xeodésicas no plano hiperbólico

As rotacións en D arredor da orixe conservan a distancia xa que |w| se manténfixo, polo que temos as seguintes isometrías de D(4) rθ(w) = eiθw, para algún θ ∈ R.

Alén disto,|2dw|

(1− |w|2)é invariante baixo calquera reflexión euclidiana sobre

unha recta que pase pola orixe. Por tanto tamén temos a isometría de D(5)f(z) = z.

Dicimos que as isometrías de (4) son rotacións de D e que a isometría en (5)é a reflexión de D sobre o eixe real.

Consideremos a función f ′ en H asociada a (5), f ′ = j−1f j. Temos

f ′(z) =−iw + 1

w − i=

1

z,

ou o que é o mesmo, f ′ é a inversión sobre o círculo unidade. Esta aplicación éunha isometría en H, xa que f é unha isometría en D.

A inversión sobre calquera circunferencia de centro α e radio λ, Cα,λ pode ex-presarse como composición de isometrías estudadas até o de agora, tαgλf ′g−1

λ t−1α .

Estas reflexións son tamén isometrías deH. As reflexións sobre as rectas euclidia-nas x = α dadas por tαft−1

α pertencen tamén a Isom(H). Temos así o conxuntode todas as reflexións no modelo do semiplano.

A importancia destas isometrías é dobre: por unha banda, no seguinte apar-tado veremos que xeran todas as isometrías de H. Por outra banda obtemos,a partir delas, que as rectas en H (formadas por puntos fixos das reflexións),que denominaremos xeódesicas, están dadas por semicircunferencias euclidianascentradas nun punto do eixe real ou ben por rectas x = α ortogonais ao eixereal.

Dados dous puntos z1, z2 ∈ H, hai unha única xeodésica que contén ambos.Se a súa parte real é a mesma, trátase da única recta euclidiana x = α. Sepola contra teñen partes reais diferentes, a xeodésica é a única circunferenciaeuclidiana con centro no eixe real e que pasa por eses dous puntos intersecadaco semiplano superior. Estas xeodésicas exténdense indefinidamente, xa que aoachegárense ao eixe real a distancia tende a infinito.

Como se dixo na introdución, hai infinidade de xeodésicas disxuntas dunhadada. Por cada punto exterior a unha xeodésica pasa unha única xeodésicadisxunta da primeira e que tende ao mesmo punto do eixe real. Estas xeodésicasdenomínanse paralelas.

Considerando de novo o disco de Poincaré temos que as xeodésicas de Dson as circunferencias ortogonais á fronteira do disco intersecadas con D. Osdiámetros do disco son tamén xeodésicas, que podemos considerar como "cir-cunferencias de raio infinito". As reflexións en D poden obterse a partir dasreflexións xa estudadas en H, e resultan ser as reflexións sobre as xeodésicas dodisco de Poincaré.

2.5. ISOMETRÍAS DO PLANO HIPERBÓLICO 9

Damos, para rematarmos esta sección, unha proposición que resulta naturala partir da noción de xeodésica,

Proposición 2.1. A xeodésica de H que contén z1, z2 ∈ H é a curva de menorlonxitude hiperbólica que pasa por z1 e z2.

Demostración. Sen perda de xeneralidade podemos supoñer que o segmentode xeodésica z1z2 é un segmento do eixe imaxinario. Isto pode facerse porque,se non o é, podemos levar z1 ao eixe imaxinario por tα e despois aplicar unharotación até que z2 estea tamén neste eixe.

Se C é outra curva de z1 a z2, a súa lonxitude en H é∫C

√dx2 + dy2

y≥∫ z2

z1

dy

y,

lonxitude en H de z1z2. Queda probado o que queríamos ver.

2.5. Isometrías do plano hiperbólicoNesta sección imos tratar o conxunto de todas as isometrías do plano hi-

perbólico, que veremos que forman un grupo. Tamén veremos como se podenexpresar, e daremos as matrices asociadas a elas.

En primeiro lugar, daremos un lema, que non imos demostrar, para podermosprobar o teorema posterior.

Lema 2.2. O conxunto de puntos en H equidistantes de dous puntos z1, z2 ∈ Hé unha xeodésica L, e a reflexión sobre esta xeodésica intercambia z1 e z2.

Teorema 2.3. Cada isometría de H é composición dunha, dúas ou tres refle-xións de H.

Demostración. Cada isometría está determinada pola súa imaxe en tres pun-tos A, B, e C que non se atopen nunha mesma xeodésica, xa que cada puntoz ∈ H está determinado pola distancia hiperbólica entre el e os puntos A, B, eC (de non ser así, habería dous puntos z e mais z′ equidistantes aos tres puntosanteriores, polo que A, B, e C pertencerían ao conxunto equidistante a z e z′,contradición co lema anterior).

Sexa γ ∈ Isom(H) unha isometría calquera. Para expresala como composi-ción de reflexións, o que hai é que tomar unha, dúas ou tres reflexións que levenA a γ(A), B a γ(B) e C a γ(C), usando o intercambio de puntos equidistantescomo no caso euclidiano.

Como as reflexións son inversas de si mesmas, temos o seguinte corolario:

Corolario 2.4. As isometrías de H forman un grupo.

Imos dar agora un teorema salientábel que nos permitirá identificar cadaisometría do plano hiperbólico cunha matriz 2× 2.


Teorema 2.5. As isometrías de H son da forma

γ(z) =az + b

cz + d

onde a, b, c, d ∈ R e ad− bc = 1 ou

γ(z) =az + b

cz + d,

onde a, b, c, d ∈ R e ad− bc = −1.

Demostración. A inversión sobre unha circunferencia Cα,λ é

η(z) =αz + λ2 − α2

z − α

. Temos que −α2 − (λ2 − α2) = −λ2, polo que multiplicando numerador e

denominador por 1/λ obtemos unha aplicación da forma γ(z) =az + b

cz + d, onde

a, b, c, d ∈ R e ad− bc = −1.De xeito análogo, a reflexión sobre a xeodésica x = α dada por tαft−1

α é

a aplicación ϑ(z) = α − (−α+ z) =−z + 2α

1, que é da forma γ(z) =

az + b

cz + d,

onde a, b, c, d ∈ R e ad− bc = −1.Por tanto, a composición de dúas reflexións de H é unha aplicación da forma

γ(z) =az + b

cz + donde a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1. Por último, a composición

dunha función γ(z) cunha reflexión será da forma γ(z) =az + b

cz + d, onde a, b, c, d ∈

R e ad− bc = −1.Polo teorema 2.3, temos garantido que expresamos así todas as isometrías

de H.

Imos probar agora o recíproco, quer dicir, que as todas as funcións γ e γ dadasno enunciado do teorema son isometrías. Escribamos γ(z) como segue:

γ(z) =az + b

cz + d=az + (ad/c) + b− (ad/c)

cz + d=a

c+

bc− adc(cz + d)

=a

c− 1

c(cz + d).

Supoñamos que c > 0. Esta función é composición de isometrías de H z 7→zc, z 7→ z + d, z 7→ z + a/c e z 7→ −1/z, todas elas isometrías xa estudadas(z 7→ −1/z é a composición de z 7→ 1/z e z 7→ −z). As composicións obtéñenseobservando o seguinte:

z 7→ cz 7→ cz + d 7→ c(cz + d) 7→ −1

c(cz + d)7→ −1

c(cz + d)+a

c.

Probamos así que para c > 0, a función é unha isometría.

Supoñamos agora c < 0. Abonda escribir γ(z) =−az − b−cz − d

e repetir o argu-mento anterior.

2.5. ISOMETRÍAS DO PLANO HIPERBÓLICO 11

Finalmente, se c = 0 temos γ(z) =a

dz +

b

dcon ad = 1 polo que temos

a/d > 0 e trátase da isometría tb/dga/d.

Sexa agora o caso no que temos γ(z) =az + b

cz + d, con ad − bc = −1. Trátase

dunha composición de f(z) = −z e de γ(z) =az + b

cz + dcon ad − bc = 1. Queda

probado así que é unha isometría.

As isometrías denotadas por γ correspóndense coas que conservan a orien-tación, Isom+(H), e as isometrías denotadas por γ correspóndense ás que nonconservan a orientación, Isom−(H). Por tanto,

Proposición 2.6. Isom(H) = Isom+(H) ∪ Isom−(H), onde ∪ denota a unióndisxunta.

Tendo isto, centrarémonos agora na relación entre as isometrías de (H, dH)e o grupo PSL(2,R). Definiremos, primeiro, SL(2,R).

Definición 2.7. O grupo linear especial SL(2,R) é o grupo das matrices 2× 2con elementos reais, determinante 1 e co produto como operación.

Pois ben, o grupo PSL(2,R) é SL(2,R) cocientado polo subgrupo

{[

1 00 1

],

[−1 00 −1

]} de xeito que

[a bc d

]e[−a −b−c −d

]se consideran

equivalentes.A cada γ ∈ Isom(H), ben de Isom+(H) ou ben de Isom−(H), asociámoslle

a matriz [γ] =

[a bc d

]. No caso de que a isometría pertenza a Isom+(H),

esta matriz pertence ao subgrupo SL(2,R) de GL2(R). Porén, a cada isometríacorrespóndenlle dúas matrices, [γ] e mais a súa oposta. Cobra aquí significadoempregarmos PSL(2,R), pois a cada isometría correspóndelle un único elementodeste conxunto, existindo un isomorfismo entre ambos grupos.

As isometrías que non conservan a orientación son composición de isometríasque si a conservan cunha isometría de Isom−(H) fixada. Por comodidade, adói-tase tomar con este fin a reflexión sobre o eixe imaxinario, f(z) = −z. Nóteseque o comportamento da composición de isometrías con respecto á orientacióné similar á regra dos signos para o produto de números enteiros.

Tomemos agora o grupo R, formado polas matrices 2 × 2 con determi-nante ±1. Engadindo os elementos de Isom−(H) aos que conservan a orien-tación, obtemos que Isom(H) é un grupo isomorfo a R/{I,−I}. O isomorfismoφ : Isom(H)→ R/{I,−I} entre ambos grupos vén dado por

φ(γ) = [γ] =

[a bc d

]onde γ(z) =

az + b

cz + dcando h ∈ Isom+(H) e γ(z) =

az + b

cz + dcando h ∈ Isom−(H).

A composición de isometrías correspóndese co produto de matrices.


Cada clase de equivalencia[a bc d

]está formada pola matriz

[a bc d

]e

mais a súa oposta, que teñen mesmo determinante mais traza oposta. Por tanto,

definimos a traza de[a bc d

]como o número real positivo |a+d|, e denotámola

por tr[γ].

2.6. Clasificación das isometrías de HAgora veremos como as isometrías que conservan a orientación de H poden

ser caracterizadas pola traza das súas matrices.

Proposición 2.8. Cada isometría de Isom+(H) con matriz [γ] ∈ PSL(2,R),[γ] 6= identidade, ou ben ten un punto fixo en H, un punto fixo na recta realextendida R = R ∪ {∞} = ∂H, ou dous puntos fixos en ∂H. Isto correspóndesecon tr[γ] < 2, tr[γ] = 2, ou tr[γ] > 2, respectivamente.

En base a esta clasificación, nomeamos cada un dos tipos do seguinte xeito:

Definición 2.9. Unha isometría de Isom+(H) cun punto fixo en H chámaseelíptica ou rotación, e o punto chámase centro de rotación. Unha isometría cunpunto fixo en R dise parabólica ou rotación límite, sendo o punto fixo o centrode rotación límite. Por último, unha isometría con dous puntos fixos en R disehiperbólica ou translación. Os dous puntos fixos obtéñense ao intersecar R coaxeodésica l, que se chama recta de translación.

Caractericemos tamén as isometrías que non conservan a orientación polatraza das súas matrices.

Proposición 2.10. Cada isometría de Isom−(H) con matriz [γ] ∈ R/{I,−I},ou ben deixa fixos todos os puntos dunha xeodésica l e intercambia as dúascompoñentes conexas do seu complementario ou ben deixa fixos somente douspuntos de R. Isto correspóndese con tr[γ] = 0 e tr[γ] 6= 0, respectivamente.

Tamén definimos cada un dos tipos obtidos por esta clasificación:

Definición 2.11. Unha isometría de Isom−(H) que deixa fixos todos os puntosdunha xeodésica l chámase reflexión sobre l. Unha isometría que non conserve aorientación que só deixa fixos dous puntos de R chámase reflexión límite sobrel, sendo l a xeodésica que interseca R nos dous puntos fixos.

2.7. Exemplos notábeis de isometríasNesta sección imos dar matrices asociadas a certas isometrías de H que pos-

teriormente teremos que empregar. Lembremos que de tomarmos as opostas, aisometría definida sería a mesma.

2.7. EXEMPLOS NOTÁBEIS DE ISOMETRÍAS 13

En primeiro lugar vexamos cal é a matriz asociada á translación que deixafixos a orixe e ∞, ambos pertencentes a ∂H. Esta é unha isometría que conser-

va a orientación. Ao deixar fixa a orixe, temosa0 + b

c0 + d=b

d= 0⇒ b = 0. Como

estamos a traballar con matrices con determinante ±1, neste caso ad− bc = 1,por conservar a orientación. Mais, como b = 0, ad = 1 ⇒ d = 1/a. Así, temosque a matriz ten que ser da forma[

a 0

c1

a

].

Agora imos usar a hipótese de que non ten máis puntos fixos en R ⊂ ∂H. Portanto, non pode existir ningún r ∈ R tal que

ar

cr + 1a

= r. Este r sempre existe,

a menos que tomemos c = 0 (sabemos a 6= 1 porque a traza é a +1

a> 2).

Concluímos así que a matriz asociada é[a 0

01

a

]

, que conserva o eixe imaxinario e leva o punto i a a2i.

En segundo lugar imos estudar a rotación cuxo centro de rotación é opunto i, e que move o resto de puntos un ángulo θ en sentido positivo. Para istoseranos útil empregar o modelo do Disco de Poincaré, D. No disco de Poincaré,cuxo centro se corresponde co punto i do modelo do semiplano, a rotación é daforma r′(z) = eiθz.

Lembremos que as transformacións entre o semiplano e o Disco de Poincaréson:

j : H→ D, j(z) =iz + 1

z + i

j−1 : D→ H, j−1(w) =−iw + 1

w − iA isometría de H que nós buscamos é r = j−1r′j. Efectuando cálculos obte-

mos:

r(z) = j−1r′j(z) =(eiθ + 1)z + i(z + 1)

i(eiθ − 1)z + eiθ + 1

Dividimos numerador e mais denominador entre 2eiθ/2 para normalizar-

mos, e simplificamos tendo en conta as igualdadeseiθ/2 + e−iθ/2

2= cos

θ

2,

i(e−iθ/2 − eiθ/2)

2= sen

θ

2. Obtemos finalmente

r(z) =z cos θ/2 + sen θ/2

−z sen θ/2 + cos θ/2


con matriz asociada R =

cos

θ

2sen

θ

2

− senθ

2cos

θ

2

.

Nótese que os puntos de H non se desprazan sobre circunferencias concén-tricas senón que o fan en circunferencias cuxo centro (no sentido euclidiano) seafasta da orixe conforme a distancia a i é maior.

Por último trataremos a reflexión sobre o eixe imaxinario, isometríanon orientábel. Como xa se afirmou, trátase da isometría f(z) = −z = −z

1 , conmatriz asociada [

−1 00 1

].

A comprobación disto é sinxela: sabemos que esta reflexión deixa fixos os puntos

no eixe imaxinario. Por tanto,b

d= 0 ⇒ b = 0. Por outra banda, d = −a, xa

que a traza é nula. Tendo en conta que o punto i tamén queda fixo, aseguramos

queai

ci− a= i⇒ c = 0. Por último, ao ser ad− bc = ad = −a2 = −1, a = ±1.

Queda así probado.

Capítulo 3

As superficies compactas

Neste capítulo introduciremos conceptos básicos sobre as superficies com-pactas que máis adiante empregaremos para xustificar o feito de cocientarmos oplano hiperbólico, xa que distinguiremos as superficies para as que este é precisodas que se obteñen a partir da esfera ou do plano euclidiano.

3.1. Definición e clasificaciónImos dar agora unha definición formal de superficie, concepto que aparecerá

constantemente a partir de agora.

Definición 3.1. Unha superficie é unha variedade bidimensional (quer dicir,localmente homeomorfa a R2), conexa, 2o numerábel e mais Hausdorff.

Por ser unha variedade conexa sabemos que é conexa por camiños. É local-mente conexa por camiños por ser localmente euclidiana (por ser variedade),e tamén é semilocalmente simplemente conexa, polo que temos garantido queadmite un revestimento universal.

É preciso definirmos suma conexa de superficies, concepto que usaremos acontinuación.

Definición 3.2. Sexan S1 e S2 dúas superficies. SexanDi ⊂ Si, i = 1, 2 subcon-xuntos das superficies homeomorfos a discos abertos. Sexa φ o homeomorfismoentre D1 e D2. Entón

S1]S2 := [(S1 −D1) ∪ (S2 −D2)]/ ∼

onde x ∼ φ(x) ∀x ∈ ∂D1.

Xustificaremos a necesidade de empregarmos o plano hiperbólico. Teñamosen conta, neste punto, o seguinte

Teorema 3.3. Teorema de Clasificación de SuperficesToda superficie compacta e conexa é homeomorfa a unha e somente unha dasseguintes superficies:

15

16 CAPÍTULO 3. AS SUPERFICIES COMPACTAS

1. S2,

2. Mg := T 2] ··· ]T 2, onde sumamos g ≥ 1 toros

3. Ng := P 2] ··· ]P 2, onde sumamos g ≥ 1 planos proxectivos

O caso 2. é o das superficies orientábeis agás a esfera. O 3. o das non orien-tábeis. O enteiro g chamámolo xénero da superficie. O xénero da esfera é 0.

Pois ben, expresaremos como cociente do plano hiperbólico as superficiesorientábeis de xénero maior ou igual que 2 e as superficies non orientábeis dexénero maior ou igual que 3. Para xustificar isto precisamos introducir algúnsconceptos, que se expoñen a continuacion.

3.2. Curvatura e Teorema de Gauss-BonnetNa seguinte definición, tomada de [5], chamamos triángulo a un conxunto

pechado homeomorfo a un triángulo xeométrico. Nestes conxuntos distínguen-se vértices, arestas e interior, en correspondencia co triángulo xeométrico polohomeomorfismo.

Definición 3.4. Unha triangulación dunha superficie S é unha colección T detriángulos T = {T1, ... , Tn} que cumpren:(1) S =

⋃ni=1 Ti

(2) Para cada i 6= j, a intersección Ti ∩ Tj é un punto (que corresponde cunvértice dos triángulos), unha aresta ou o conxunto baleiro.(3) Cada aresta está na fronteira de exactamente dous dos triángulos.(4) Cada vértice está na fronteira de varios triángulos que poden ser ordenadosnunha orde cíclica; isto é, dado un vértice x0, o conxunto dos Ti que o conteñenpoden pórse nunha lista Ti1 , ... , Tik de xeito que Tij ∩ Tij+1

é unha aresta paracada 1 ≤ j ≤ k (onde Tik+1

= Ti1).

Definición 3.5. Dada unha triangulación T , sexa F o número triángulos, E onúmero arestas, e V o número de vértices. Entón a característica de Euler datriangulación está dada por

χ(T ) = F − E + V

Co seguinte teorema, que non demostraremos, aseguramos que a caracterís-tica de Euler é un invariante por triangulacións diferentes.

Teorema 3.6. Dada unha superficie S, dúas triangulacións calquera T1 e T2

de S teñen a mesma característica de Euler.

Agora que temos claros os conceptos de xénero e de característica de Euler,vexamos que están relaciónados dun xeito moi estreito e sinxelo:

Lema 3.7. Para unha superficie orientábel, a característica de Euler pódesecalcular a partir do xénero como χ = 2−2g. Para unha superficie non orientábel,a característica de Euler pódese calcular a partir do xénero como χ = 2− g.

3.2. CURVATURA E TEOREMA DE GAUSS-BONNET 17

Agora xustificaremos, a través do Teorema de Gauss-Bonnet, que relacionaa característica de Euler coa curvatura, que determinadas superficies de xénerogrande non se poden obter cocientando a esfera nin o plano euclidiano. Deixa-remos o teorema sen demostrar, pois para isto precisaríamos introducir máisferramentas teóricas que se afastan moito do obxectivo deste traballo.

Teorema 3.8. Teorema de Gauss-BonnetPara calquera métrica de Riemann nunha superficie compacta orientábel S,∫

S

kdS = 2πχ(S)

Observamos que χ(S) < 0 para superficies orientábeis con g ≥ 2. Isto implicaque k < 0, estas superficies teñen curvatura negativa. Como ao conservar amétrica a curvatura pasa ao cociente, temos que estas superficies non podenser cociente do plano euclidiano nin da esfera, de curvatura nula e positiva.Xustificaremos máis adiante que si se poden describir como cociente do planohiperbólico, de curvatura negativa.

No caso das superficies S non orientábeis imos aplicar o Teorema de Gauss-Bonnet ao seu espazo de revestimento de orientación, que é unha superficieorientábel S. Temos o seguinte resultado:

Lema 3.9. Sexan E, X espazos topolóxicos para os cales está definida a ca-racterística de Euler. Dada unha proxección de revestimento p : E → X, ascaracterísticas de Euler dos espazos E e mais X están relacionadas do seguintexeito, cando o cardinal das fibras é finito:

χ(E) = k · χ(X),

sendo k o cardinal de cada fibra.

Por tanto a característica de Euler dunha superficie non orientábel S é ametade da característica de Euler do seu espazo de revestimento de orientación.

Cando S teña curvatura negativa, ao pasar ao cociente conservarase a curva-tura negativa, de xeito que S non será cociente da esfera nin do plano euclidiano.Así, as superficies non orientábeis que non son cocientes da esfera nin do planoeuclidiano serán aquelas cuxo revestimento universal ten característica de Eulernegativa. Como precisamos χ(S) < 0, χ(S) ≤ −2, polo que χ(S) ≤ −2/2 = −1.Por 3.7 deducimos que g ≥ 3. Así, as únicas superficies non orientábeis que sepoden presentar como cociente do plano euclidiano ou da esfera son o planoproxectivo e a suma conexa de dous planos proxectivos, quer dicir, a Garrafa deKlein.

Para finalizar este capítulo imos enunciar un teorema moi forte de amplasimplicacións en topoloxía alxébrica e mais topoloxía de superficies. Neste tra-ballo realizaremos este estudo valéndonos doutras ferramentas máis sinxelas.Porén, ten interese enuncialo e telo presente para unha mellor comprensión dotexto.

18 CAPÍTULO 3. AS SUPERFICIES COMPACTAS

Teorema 3.10. Teorema de UniformizaciónToda superficie orientábel é un cociente por unha acción libre, propia e holomorfadun grupo discreto no seu revestimento universal, e este revestimento universalé holomorfamente isomorfo a un dos seguintes conxuntos:

A esfera de Riemann (a compactificación por un punto do plano complexo).

O plano complexo C.

O disco unitario no plano complexo.

Deste teorema séguese que unha superficie orientábel é cociente da esfera deRiemann cando ten curvatura positiva, do plano Euclidiano cando a curvaturaé nula e do disco unitario (equivalentemente, plano hiperbólico) cando ten cur-vatura negativa. O resultado é análogo para superficies non orientábeis, xa queestas admiten o revestimento de orientación.

Capítulo 4

Presentación das superficiescomo cocientes

A partir de aquí veremos como se obteñen as superficies compactas comocociente métrico do plano hiperbólico por un subgrupo de isometrías Γ. Paracomezar introduciremos un exemplo concreto, o do dobre toro, que nos axu-dará a comprender dun xeito intuitivo a necesidade de empregarmos o planohiperbólico. Continuaremos co estudo das superficies, e partindo do teorema declasificación de superficies compactas e dos símbolos destas imos achegarnos aosubgrupo de isometrías. A continuación daremos explícitamente Γn para cadasuperficie compacta orientábel de xénero maior ou igual que 2 e cada superficiecompacta non orientábel de xénero maior ou igual que 3. Por último daremosas relacións en Γn relacinándoo do grupo fundamental da superficie correspon-dente.

4.1. Unha aproximación: o dobre toro

Nesta sección introduciremos un exemplo concreto desenvolvido con detalle,o do dobre toro, ou o que é o mesmo, unha esfera con dúas asas. Tratáse dasuperficie compacta orientábel máis sinxela (a que ten un xénero menor) quenon se pode expresar como cociente métrico de R2, senón que precisa do planohiperbólico. Deste xeito facilitaremos a comprensión do desenvolvemento teóricoposterior.

Comezaremos co caso do toro, superficie que se expresa como R2/Z2. Ospuntos do toro correspóndense coas órbitas en R2 do subgrupo de isometríasde R2 que comprende as traslacións enteiras en horizontal e en vertical. Veseclaramente que este subgrupo discreto está xerado polas translacións (x, y) 7→(x + 1, y) e (x, y) 7→ (x, y + 1), e a órbita do punto (x, y) ∈ R2 baixo a acciónde Z2 é o conxunto de todas as imaxes de (x, y) compoñendo estas aplicaciónse mais as súas inversas. Isto é, cada punto do toro ten asociados infinidade depuntos de R2, todos eles obtidos dun calquera da órbita desprazándoo certo

19

20 CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DAS SUPERFICIES COMO COCIENTES

Figura 4.1: Imaxes da rexión fundamental de Z2 por algúns elementos do grupode isometrías

número de veces unha unidade en horizontal ou unha unidade en vertical.Para comprender por que se introduce o plano hiperbólico en superficies de

xénero maior, debemos restrinxir a nosa atención á rexión fundamental do to-ro. Unha rexión fundamental está dada polo cadrado unitario [0, 1] × [0, 1], eos lados opostos están identificados polas dúas translacións mencionadas antes,que xeran Z2. Tomando esta rexión fundamental, as imaxes del polas traslaciónsenteiras son os cadrados unitarios con arestas nas coordenadas enteiras, como seaprecia en 4.1. Nótese que calquera outro cadrado unitario [x, x+ 1]× [y, y+ 1]con x, y ∈ R podería tomarse tamén como rexión fundamental, mais entón assúas imaxes polas traslacións enteiras non serían cadrados unitarios coas ares-tas en coordenadas enteiras. Obsérvase que as imaxes da rexión fundamental[0, 1]× [0, 1] por Z2 recobren todo o plano euclidiano.

O seguinte paso é preguntármonos se esta construción funciona igual de benpara superficies de xénero maior. Como exemplo concreto, consideremos comorexión fundamental o octógono con lados opostos identificados mediante as catrotranslacións

f1 : (x, y) 7→ (x+ 2, y)

f2 : (x, y) 7→ (x+√

2, y +√

2)

f3 : (x, y) 7→ (x, y + 2)

f4 : (x, y) 7→ (x−√

2, y +√

2)

Sería razoábel pensar que se consideramos o subgrupo Γ ∈ Isom(R2) xeradopor {f1, f2, f3, f4} e tomamos o espazo cociente R2/Γ, obteríamos a superficieorientábel de xénero dous, o dobre toro. Porén, neste caso, non obtemos o

4.1. UNHA APROXIMACIÓN: O DOBRE TORO 21

Figura 4.2: Mostra de que é imposíbel que tres ou máis octógonos euclidianosteñan un vértice en común

que queremos. Imos ver dun xeito moi sinxelo e visual por que co dobre toro oprocedemento non é satisfactorio.

Temos que, se funcionase, as imaxes do octógono polas isometrías de Γ en-cherían todo o plano, como no caso do toro. Isto é imposíbel (ver 4.2), xa queos ángulos do octógono que compartan vértice teñen que sumar máis de 2π. Defeito, se só tres octógonos se xuntan nun vértice común, a suma dos seus ángulossería 9π/4, maior que 2π.

Atopámonos aquí con que, para que a superficie herde a xeometría do espazoque recubrimos coa súa rexión fundamental, os catro lados que forman unhaveciñanza dun vértice da rexión fundamental deben ser situados conxuntamentenun disco que rodea este vértice: para isto os seus ángulos deben sumar 2π, non6π como no caso do modelo euclidiano.

É imposíbel que os ángulos dun octógono non sumen 6π se se atopa no planoeuclidiano. Isto acontece polo simple feito de ser un octógono. Este problematampouco se soluciona na esfera. De feito, agrávase, pois neste caso os ángulosdo octógono serían aínda maiores. Porén, sabemos que as cousas se compor-tan de maneira diferente no plano hiperbólico. Sen extendérmonos neste punto,que se desenvolverá máis adiante, o certo é que un octógono hiperbólico conárea 4π terá ángulos cuxa suma é 2π. H pode recubrirse con ditos octógonos,e o procedemento efectuado co toro funciona de xeito análogo. Para isto, debe-mos encontrar isometrías que identifiquen os lados do octógono, pois no planohiperbólico non hai translacións no sentido euclidiano.

Tomemos agora o modelo do disco de Poincaré para o plano hiperbólico.Consideremos as xeodésicas a través da orixe (o centro do disco) que formanángulos de 0, π/4,π/2 e 3π/4 coa horizantal. Tracemos tamén máis oito xeodé-sicas, cada unha ortogonal ás catro orixinais, de xeito que cada unha das novas


Figura 4.3: Distintas posibilidades para a escolla das oito xeodésicas coas quese forma o polígono

oito xeodésicas ten o mesmo raio euclidiano.Para pequenos valores deste raio, as xeodésicas son disxuntas mais non pa-

ralelas. Cando o raio se incrementa, as xeodésicas próximas convértense en pa-ralelas e intersécanse no infinito. Neste caso, o ángulo entre xeodésicas veciñas é0. Se aumentamos o raio aínda máis, o ángulo tamén se fai máis grande, e agoraas xeodésicas intersécanse formando un octógono. As tres situacións pódenseobservar, respectivamente, na figura 4.3.

No límite, cando o raio se aproxima a 1, o octógono faise máis e máis se-mellante ao euclidiano. Ao tempo, a área achégase a 0. Cada un dos ángulosaproxímase, aínda que non acada, 3π/4 e a súa suma aproxímase a 6π. Polo Teo-rema do Valor Medio temos asegurado que para algún valor do raio euclidianoa suma dos ángulos do octógono é 2π. Este é exactamente o que procuramos.

Observemos que as catro xeodésicas que pasan pola orixe, xunto coa distan-cia dada polo diámetro do octógono, son abondas para especificar catro isome-trías g1, g2, g3 e g4. Se tomamos como Γ o subgrupo de Isom(H) xerado por{g1, g2, g3, g4} e o espazo cociente H/Γ cuxos puntos son órbitas de Γ, obtemosa superficie de xénero dous desexada. O octógono hiperbólico que obtivemos éa rexión fundamental.

Comprobaremos posteriormente que aínda que as isometrías gj , j ∈ {1, 2, 3, 4}non conmutan, verifican a única relación

g1 g2 g3 g4 g−11 g−1

2 g−13 g−1

4 = 1

Para rematar con este exemplo, expoñamos brevemente como a superficieconstruída herda, localmente, a métrica hiperbólica. No interior do octógono, asuperficie obtén a súa métrica directamente do plano hiperbólico. Ao longo doslados, obtemos un parche usando unha das isometrías gj e voltamos a herdar amétrica do plano hiperbólico. Finalmente, no vértice non atopamos problemas,xa que o ángulo é π/4, e por tanto, baixo as isometrías apropiadas, as imaxes dos

4.2. AS SUPERFICIES COMO COCIENTES DUN POLÍGONO 23

oito conxuntos no dominio fundamental enchen, conxuntamente, a veciñanza dovértice no plano hiperbólico, e a métrica pasa ao cociente sen problemas.

4.2. As superficies como cocientes dun polígonoNesta sección pasamos a tratar o resto de superficies de xénero grande, dun

xeito máis formal ca como estudamos o dobre toro.Partiremos do Teorema de Clasificación de Superficies. Polo dito teorema,

sabemos que unha superficie compacta Sn de xénero n é homeomorfa a unpolígono plano coas arestas identificadas a pares, segundo algún dos símbolosdas sumas conexas:

a esfera: aa−1

a suma conexa de n toros: a1b1a−11 b−1

1 ... anbna−1n b−1

n

a suma conexa de n planos proxectivos: a1a1 ... anan

Así, para calquera superficie compacta Sn temos Sn ∼= Pn/ ∼, sendo Pn opolígono plano e ∼ a relación de equivalencia entre as súas arestas. TomaremosPn un polígono regular, quer dicir, coas súas arestas e ángulos iguais. Nóteseque o polígono ten 2 arestas no caso da esfera, 4n no caso da suma de n torose 2n no caso da suma de n planos proxectivos.

Sempre se pode escoller un símbolo para Sn de forma que todos os vérticesdo polígono estean identificados. Ao darse isto, nunha veciñanza do único vér-tice de Sn encóntranse veciñanzas de cada vértice de Pn, que se pegan unha acontinuación da outra para formar a veciñanza do vértice en Sn. Como a nosaintención é identificarmos as arestas por isometrías para obtermos un cocientemétrico, os ángulos de Pn deben sumar 2π. Ao ser Pn regular, no caso da esfera

cada ángulo entre arestas debe de ser π, no caso da suma de n toros,2π

4n=

π

2n,

e no caso da suma de n planos proxectivos,2π

2n=π

n.

É claro que estes polígonos, en xeral, non se poden construír no plano eu-clidiano. Xa déramos unha aproximación a isto no exemplo do dobre toro. Enxeral, os ángulos interiores dun polígono regular no plano euclidiano son

π − 2π

m, (4.1)

sendo m o número de lados. No caso da esfera cada ángulo é π, polo que nonatopamos ningún polígono encludiano para este caso. No caso da suma conexa

de n toros, substituímos en (4.1) m = 4n, polo que π − 2π

4n=

π

2n⇒ n = 1, co

que só se pode usar un polígono euclidiano no caso dun único toro. Por último,para a suma conexa de n planos proxectivos, substituíndo en (4.1) m = 2n,

π − 2π

2n=

π

n⇒ n = 2, de xeito que só se pode usar un polígono no plano

euclidiano para a suma conexa de dous planos proxectivos.


Nos casos restantes, será preciso usarmos planos de curvatura constante dis-tinta de cero: a esfera, de curvatura positiva, para a esfera e mais o plano pro-xectivo, e o plano hiperbólico, de curvatura negativa, para os restantes casos.

Imos probar agora que, para n ≥ 2 no caso orientábel (suma de n toros)e n ≥ 3 no caso non orientábel (suma de n planos proxectivos) efectivamenteexiste o polígono regular que procuramos no plano hiperbólico. Para isto imoscalcular a expresión da área dun polígono hiperbólico de m lados e ángulosαi, i = 1, ... ,m.

4.2.1. Área dun polígono hiperbólico

Co obxectivo de acharmos esta área, imos primeiro dar a fórmula que nospermite calcular a área dun triángulo. Este desenvolvemento presentase en [1].Despois consideraremos o polígono como unión de m triángulos hiperbólicos,sendo a área do polígono a suma das áreas dos m triángulos.

Sexa un triángulo asintótico un triángulo hiperbólico con dúas arestas pa-ralelas que non se chegar a cortar en H, ou o que é o mesmo, un triángulohiperbólico cun dos seus ángulos de amplitude nula. Un triángulo hiperbólicosempre se pode expresar como a diferenza entre dous triángulos asintóticos,como se mostra na figura 4.5. Por tanto, se os dous triángulos asintóticos consi-derados teñen área finita (a continuación veremos que é así), a área do triánguloinicial pódese calcular restando ambas as áreas.

Para o cálculo das áreas empregaremos o modelo do semiplano. En H, unrectángulo infinitesimal de ancho euclidiano dx e altura euclidiana dy ten anchohiperbólico dx/y e altura hiperbólica dy/y. Por tanto, a súa área hiperbólica é

dA =dx dy

y2.

Por tanto, para acharmos a área dun triángulo hiperbólico T temos que integrar1/y2 en T . Isto é o que faremos na proba do seguinte

Teorema 4.1. Un triángulo asintótico Tαβ con ángulos α, β (e un terceiro deamplitude nula) ten área π − (α+ β).

Demostración. Consideremos Tαβ no Disco de Poincaré. Rotámolo arredorda orixe de xeito que o vértice asintótico está en i. Por ser esta rotación unhaisometría, a área mantense invariante.

A imaxe de Tαβ no modelo do semiplano ten dúas arestas verticais (as quecorresponden cos lados asintóticos) e unha aresta que, ao estar nunha xeodé-sica non vertical, está nun semicírculo cuxo centro está no eixe real. Medianteunha traslación (tamén isometría) podemos levar o centro á orixe, e por outraisometría podemos facer que o raio sexa 1.

Calculemos agora a área desta rexión, que é a mesma que a área do triángulotomado no comezo. Como os raios son ortogonais á circunferencia temos que osángulos que forman os raios co eixe real son α e β, como se mostra en 4.4. Entón,


Figura 4.4: Representación da rexión isométrica a Tαβ a partir da cal calculamosa área


Figura 4.5: Triángulo hiperbólico expresado como diferenza de dous triángulosasintóticos

λ = cos(π − α) e µ = cosβ. A fórmula calculada antes para a área hiperbólicadános:

Area(Tαβ) =

∫∫Tαβ

dx dy

y2=

∫ µ

λ

dx

∫ ∞√

1−x2

dy

y2=

∫ µ

λ

dx√1− x2

=

∫ cos β

cos(π−α)

dx√1− x2

Aplicando o cambio de variábel x = cos θ, obtemos:

Area(Tαβ) =

∫ β

π−α

− sen θdθ

sen θ=

∫ β

π−α−1 = π − α− β.

A partir deste resultado vainos ser doado achar a área dun triángulo hiper-bólico calquera de ángulos non nulos α, β, γ, que denotamos Tαβγ . Prolongandoun dos seus lados ao infinito, podemos representar o triángulo como a diferenzade dous triángulos asintóticos Tα,β+δ e mais Tπ−γ,δ como se pode observar nafigura 4.5.


Por todo isto, temos:

Area(Tαβγ) = Area(Tα,β+δ)−Area(Tπ−γ,δ) =

= π − (α+ β + δ)− (π − (π − γ + δ)) = π(α+ β + γ)

Consideramos agora un polígono hiperbólico de m lados e m vértices. Osángulos que forman as súas arestas son αi, i = 1, ... ,m. Para achar a súa áreaimos dividilo en m triángulos Ti, i = 1, ... ,m que se constrúen unindo un puntointerior do polígono a cada un dos vértices. Unha das arestas de cada tríanguloé compartida co polígono e dúas son segmentos que unen os vértices co puntointerior.

A área do polígono hiperbólico, A, é a suma das áreas dos m triángulos.Non podemos calcular as áreas de cada triángulo porque descoñecemos os seusángulos. Porén, sabemos que a suma de todos os ángulos centrais é 2π e que osdous ángulos dos vértices contiguos de dous triángulos suman αi para algún i.Por tanto, temos

A =

m∑i=1

Area(Ti) = mπ −m2π

m−

m∑i=1

αi

Concluímos, así:

A = (m− 2)π −m∑i=1

αi

Unha vez calculada a área dun polígono hiperbólico a partir dos seus ángulos,veremos que para superficies de xénero suficientemente grande existen polígonosno plano hiperbólico cuxos ángulos son os dados ao comezo desta sección. Coneste obxectivo, imos substituír na fórmula da área os ángulos e imos obter aárea, que ten que ser 0 < A ≤ (m− 2)π.

No caso orientábel, m = 4n e cada ángulo αi =π

2n. Substituíndo, A =

(4n− 2)π − 2π = (4n− 4)π. Obsérvese que, para n ≥ 2 o polígono existe.Analogamente, no caso non orientábel, m = 2n e cada ángulo αi =

π

n. Subs-

tituíndo, A = (2n− 2)π − 2π = (2n− 4)π. O polígono existe para n ≥ 3.

Agora imos calcular, para cada superficie Sn, un subgrupo Γn do grupo deisometrías do plano hiperbólico de xeito que

Sn ∼= H/Γn.

Comezaremos para as superficies orientábeis e depois abordaremos o caso dasnon orientábeis.


Figura 4.6: Rexión fundamental de Γn para n = 2 e dous dos seus xeradores.

4.3. Construción de Γn no caso orientábel

Imos dar explicitamente o subgrupo de isometrías Γn tal que H/Γn é unhasuperficie orientábel de xénero n ≥ 2. Para isto, imos obter os seus xeradores.Este desenvolvemento pode consultarse en [2].

Consideramos o polígono fundamental centrado no punto central do discounitario (consideramos a representación do plano hiperbólico como Disco dePoincaré) con todos os seus lados e ángulos iguais. Os lados son 4n segmentosde xeodésicas. Os 4n ángulos teñen amplitude π/2n.

O símbolo que imos empregar para a superficie considerada é

a1a2 ··· a2na−11 a−1

2 ··· a−12n

Tomamos as isometrías g1, ... , gk, ... , g2n, cada unha das cales leva unha ares-ta á diametralmente oposta; e para cada k = 1, ... , 2n − 1, a dirección na quese aplica a isometría gk+1 obtense a partir da dirección na que se aplica gkrotándoa π−π/2n. Noutras palabras, sendo rn a transformación que rota o pla-no hiperbólico π − π/2n arredor do centro do Disco de Poincaré, gk+1 obtenseconxugando gk por rn, quer dicir,

gk+1 = r−1n gkrn = r−kn g1r

kn

Esta construción pode observarse na figura 4.6. Nótese que cada unha destasisometrías é, en particular, unha translación.

As isometrías g1, ... , g2n satisfán a relación

g1 ··· g2ng−11 ··· g

−12n = id.

4.3. CONSTRUCIÓN DE ΓN NO CASO ORIENTÁBEL 29

Figura 4.7: Triángulo, contido na rexión fundamental, que estudamos en H.

Para comprobar isto abonda comprobar que se dá a igualdade para un só puntoxa que o grupo actúa sen puntos fixos por seren os elementos de Γn composiciónde traslacións. Denotaremos por vi,i+1 o vértice no que se intersecan os lados ie i+ 1 no polígono fundamental considerado. Escollemos para a comprobacióno punto v1,2. Temos:

g1 ··· g2ng−11 ··· g

−12n v1,2 = g1 ··· g2ng

−11 ··· g

−12n−1v2n+2,2n+3 = ...

... = g1 ··· g2nv2n+1,2n+2 = g1 ··· g2n−1v2,3 = ...

... = g1v2n,2+1 = v1,2

.Agora imos expresar estas isometrías, xeradoras de Γn, de xeito explícito,

como matrices de PSL(2,R) (lembremos que estamos a traballar con isome-trías que manteñen a orientación). Para este estudo empregaremos o modelo dosemiplano, H.

A través da transformación z =−iw + 1

w − ientre o Disco de Poincaré e mais

o modelo do semiplano, o centro do disco correspóndese con i ∈ H. Por tanto,escollendo o polígono fundamental de xeito que no modelo do semiplano tenun lado perpendicular ao eixe imaxinario, g1 conserva o eixe imaxinario, poloque ten que ser da forma w 7→ λw, onde λ = el, sendo l o dobre da lonxitudedun cateto co triángulo de ángulos π/2, π/4n e π/4n. Abordemos o cálculo dalonxitude do cateto. Para isto consideraremos a isometría análoga á anteriorpero que leva o centro do disco á aresta perpendicular ao eixe imaxinario, e asícalcularemos l/2. Denotaremos esta isometría gl/2. Obsérvese esta situación, noDisco de Poincaré, na figura 4.7.

Imos usar o modelo do semiplano. Queremos coñecer o punto gl/2(i) = µi, dexeito que a imaxe dun punto calquera z será µz. Ao trazar o triángulo anteriorno semiplano superior, obtemos o triángulo T1 que se observa na figura 4.8,


cuxas arestas son xeodésicas, cun ángulo recto e dous ángulos β = π/4n.A continuación trazaremos varias rectas, todas elas no sentido euclidiano, e

tamén se medirán as distancias no sentido euclidiano. Tomamos a recta desdeo punto i que forma un ángulo de π/2 − β co eixe imaxinario. Por tanto, estarecta forma co eixe real o ángulo β. Obtemos así o triángulo rectángulo T2 cuxoscatetos teñen lonxitudes s e 1 e cuxa hipotenusa ten lonxitude r. Agora unimosun dos vértices de T2 cun dos vértices de T1, como se mostra na figura. Osegmento que os une tamén ten lonxitude r, porque a xeodésica (hipotenusa dotriángulo superior) é unha circunferencia centrada no vértice. Trazamos a rectaL que une a orixe e un dos vértices de T1, como se mostra na figura. Nótese quea lonxitude da recta L é µ.

Aplicando a fórmula do coseno ao triángulo T3 temos

s2 = µ2 + r2 − 2µr cosβ

sendo s e r as lonxitudes dos lados correspondentes. Resolvendo a ecuación de

segundo grao para µ, e tendo en conta que r =1

senβ, s =

cosβ

senβdeducimos

µ =cosβ ±

√cos 2β

senβ.

Como β < π/4, os outros dous ángulos de T3 que chamaremos α e δ cumprenα + δ > 3π/4. Por outra banda, α < π/2. Por tanto, δ > π/4, polo que µ > s.Así, concluímos

µ =cosβ +

√cos 2β

senβ

e, ao aplicarmos ln a ambos os lados da igualdade,

lnµ =l

2= ln

cosβ +√

cos 2β

senβ.

Concluímos así a igualdade:

l = 2 lncosβ +

√cos 2β

senβ, β =

π

4n.

Sabemos que as isometrías g1, ... , g2n poden ser expresadas por matrices 2×2.Denotaremos estas matrices G1, ... , G2n, asociadas a g1, ... , g2n respectivamente.Tamén expresamos a rotación rn, que rota o plano un ángulo de π−π/2n arredordo punto i, pola matriz Rn. Por tanto, cada unha das matrices das isometríaspódese obter a partir de G1 por conxugación sucesiva por Rn, de xeito que

Gk = R−(k−1)n G1R

k−1n , k = 2, ... , 2n.

Sabemos que as rotacións de ángulo θ arredor do centro do Disco de Poincaré

se expresan da forma[

cos θ/2 sen θ/2− sen θ/2 cos θ/2

], polo que

4.3. CONSTRUCIÓN DE ΓN NO CASO ORIENTÁBEL 31

Figura 4.8: Cálculo de µ a partir do triángulo T1 en H.

Rn =

cos

π

2(1− 1

2n) sen

π

2(1− 1

2n)

− senπ

2(1− 1

2n) cos

π

2(1− 1

2n)

Finalmente, como G1 =

[el/2 0

01

el/2

], obtemos:

Gk =

cos

π

2(1− 1

2n) sen

π

2(1− 1

2n)

− senπ

2(1− 1

2n) cos

π

2(1− 1

2n)

−k+1

×

cos π

4n +√

cos π2n

sen π4n

0

0sen π

4n

cos π4n +

√cos π

2n

×

cosπ

2(1− 1

2n) sen

π

2(1− 1

2n)

− senπ

2(1− 1

2n) cos

π

2(1− 1

2n)

k−1

.


Figura 4.9: Rexión fundamental para n = 3 e isometrías f1, r1

4.4. Construción de Γn no caso non orientábel

Sexa agora H/Γ unha superficie non orientábel de xénero n ≥ 3. Tomaremos,como no caso anterior, un polígono fundamental regular centrado no centro doDisco de Poincaré, cuxos 2n lados son segmentos de xeodésicas, e dúas das súasarestas son ortogonais ao eixe imaxinario. Numeraremos as arestas en sentidonegativo, comezando pola aresta superior. Denotaremos por vi,i+1 o vértice noque se intersecan as arestas i e i + 1, como se fixo no caso anterior. A partirdeste polígono describiremos os xeradores do subgrupo de isometrías Γn.

O símbolo canónico para estas superficies é a1a1 ··· anan. Analogamente aocaso orientábel, tomar esta representación do símbolo xunto co polígono funda-mental de 2n arestas asociado permítenos obter os xeradores h1, ... , hk, ... , hn.Porén, neste caso as isometrías non levan as arestas ás diametralmente opostas,senón a arestas que comparten un vértice con elas. A isometría hk, k = 1, ... , nleva a aresta 2k á aresta 2k − 1.

Cada isometría hk, k = 1, ... , n constrúese compoñendo dúas isometrías:rk, k = 1, ... , n, a rotación de centro o vértice v2k−1,2k e ángulo 2π − π/2g(equivalente a rotar en sentido negativo π/2g, o representado na figura); efk, k = 1, ... , n a reflexión sobre a xeodésica (correspondente a un diámetro do

4.4. CONSTRUCIÓN DE ΓN NO CASO NON ORIENTÁBEL 33

Disco de Poincaré) que pasa polos puntos medios das arestas 2k−1 e n+2k−1.Isto pode observarse na figura 4.9 para o caso n = 3, h1 = f1r1. Temos asírk ∈ Isom+(H), k = 1, ... , n e fk ∈ Isom-(H), k = 1, ... , n. Por tanto,

hk ∈ Isom-(H), k = 1, ... , n.

Os xeradores de Γn verifican a relación h1h1 ···hnhn = id. Para comprobaloimos ver que a relación se dá aplicada aos vértices. Como temos un número devértices maior que 3 e as isometrías con 3 puntos fixos son a identidade, terémoloprobado. Escollemos para comezar a comprobación o vértice v2n,1. Temos:

h1h1 ···hnhnv2n,1 = h1h1 ···hnv2n−1,2n = h1h1 ···hn−1hn−1v2n−2,2n−1 = ...

... = h1h1v2,3 = h1v1,2 = v2n,1

Para o resto de vértices o razoamento é análogo, mais para isto hai que expresara relación doutro xeito. Para o vértice vk,k+1 con k par, expresamos a relacióncomo hk/2+1hk/2+1 ···hnhn ···hk/2hk/2. Para o vértice vk,k+1 con k impar, a re-lación expresarémola como h(k+1)/2 ···hnhn ···h(k+1)/2.

Deamos agora explícitamente as matrices asociadas ás isometrías xeradorasde Γn. Denotaremos por Hk as matrices correspondentes ás isometrías hk, Fkas correspondentes ás reflexións fk e Rk as matrices asociadas ás rotacións rk,k = 1, ... , n.

En primeiro lugar, a reflexión f1 é a reflexión sobre o eixe imaxinario. Asreflexións restantes pódense expresar como

fk = r−1θkf1rθk , k = 2, ... , n

sendo rθk a rotación en sentido positivo de ángulo (k − 1)2π/n e centro a orixedo disco de Poincaré (ou i no modelo do semiplano).

Por tanto, temos por unha banda

F1 =

[−1 00 1

]e, por outra banda,

Fk =

cos

(k − 1)π

nsen

(k − 1)π

n

− sen(k − 1)π

ncos

(k − 1)π

n

−1

×

−1 0

0 1

×

×

cos

(k − 1)π

nsen

(k − 1)π

n

− sen(k − 1)π

ncos

(k − 1)π

n

, k = 2, ... , n


Abordemos agora o estudo das rotacións rk, k = 1, ... , n. Expresarémolas apartir de rotacións arredor do centro do Disco de Poincaré, do seguinte xeito:

rk = r−1ϑkgdrρg

−1d rϑk , k = 1, ... , n

sendo rϑk as rotacións arredor do centro do disco de Poincaré e ángulo(k − 1)2π

n+

π

2n; rρ a rotación arredor do centro do disco de Poincaré e ángulo π− π

2g(ambas

en sentido positivo); e gd a traslación que deixa fixo o eixe imaxinario e leva ocentro do disco de Poincaré ao punto rϑ1(v1,2). Denotaremos por d ∈ R o nú-mero real tal que, empregando o modelo do semiplano, gd(i) = di. Mediante ainterpretación xeométrica destas isometrías é doado ver que a súa composicióndá efectivamente a rotación rk.

Xa podemos dar as matrices asociadas a cada unha das isometrías que com-poñemos para obter rk, k = 1, ... , n. Por tanto:

Rk =

cos

(k − 1)2π

n+

π

2nsen

(k − 1)2π

n+

π

2n

− sen(k − 1)2π

n+

π

2ncos

(k − 1)2π

n+

π

2n

−1

×

√d 0

01√d

×

×

cosπ − π

2gsenπ − π

2g

− senπ − π

2gcosπ − π

2g

×

√d 0

01√d

−1

×

×

cos

(k − 1)2π

n+

π

2nsen

(k − 1)2π

n+

π

2n

− sen(k − 1)2π

n+

π

2ncos

(k − 1)2π

n+

π

2n

, k = 1, ... , n

Por último, a matriz de cada xerador de Γn está dada por

Hk = FkRk, k = 1, ... , n.

4.5. A SUPERFICIE É UN COCIENTE DO PLANO HIPERBÓLICO 35

4.5. A superficie é un cociente do plano hiperbó-lico

Nesta sección imos xustificar que

Sn ∼= H/Γn.

Imos comezar por comprobarmos que o conxunto formado polas imaxes dospuntos do polígono por calquera isometría de Γn é o Disco de Poincaré. Paraisto é suficiente que o dito conxunto sexa aberto e pechado.

O conxunto das imaxes de Pn polas isometrías é aberto.Denotemos por T o conxunto formado polas imaxes de Pn mediante asisometrías de Γn. Sexa p ∈ T , entón p = γp0 para algún γ ∈ Γn, conp0 ∈ Pn. Queremos ver que p ∈ B ⊂ T , sendo B unha bóla aberta. Imosdistinguir tres casos:

1. No caso de que p0 estea no interior de Pn, abonda tomar B = γB0,sendo B0 unha bóla aberta en Pn tal que p0 ∈ B0.

2. Estudemos agora o caso no que p0 estea na aresta i de Pn, mais nonnun vértice. Entón hai que tomar

B0 ⊂ P ′n = Pn ∪ gPn,

sendo g a isometría que leva a aresta oposta á aresta i á aresta i (gé unha das isometrías xeradoras de Γn ou a isometría inversa a unhadelas). Tense p0 ∈ P ′n. Así, p ∈ B = γB0 ⊂ γP ′n ⊂ T .

3. Analicemos por último o caso no que p0 estea nun vértice. De ser así,aplicamos a cada aresta do polígono fundamental a isometría de Γnque leva un dos seus vértices ao vértice p0. Denotemos estas isometríaspor γj , j = 1, ... , 4n. Nótese que estas isometrías non son, en xeral,os xeradores que tomamos anteriormente (de feito son o dobre deisometrías). Temos garantida a existencia destas isometrías porquetodos os vértices están identificados entre si, xa que como vimos antesSn = Pn/ ∼. Mais, por termos isometrías, os ángulos consérvanse aolevar as arestas a p0. As imaxes dos ángulos e das arestas consideradasnon se superpoñen porque as isometrías conservan a súa posiciónrelativa. A suma destes ángulos é exactamente 4n

π

2n= 2π, polo que

podemos tomar unha bóla aberta B0 centrada en p0 tal que

p0 ∈ B0 ⊂ P ′n =

4n⋃j=1

γjPn.

Así, p ∈ γB0 ⊂ γP ′n.

Queda así probado que T é aberto.


O conxunto das imaxes de Pn polas isometrías é pechado.A unión de conxuntos pechados é un conxunto pechado se é unha colec-ción localmente finita, quer dicir, se para cada punto do conxunto existeunha veciñanza tal que esta veciñanza interseca só a un número finito dosconxuntos pechados iniciais.

Tomando p0 como no apartado anterior, distingamos os seguintes casos:

1. Se p0 ∈ Pn, unha veciñanza V suficientemente pequena só intersecaun pechado, Pn, e ao aplicarlle γ, p está nunha veciñanza γV que sóinterseca γPn.

2. Se p0 se atopa nunha aresta de Pn pero non nun vértice, unha ve-ciñanza V suficientemente pequena só interseca Pn e gPn para undeterminado g. Aplicando γ, p ten unha veciñanza γV que intersecadous pechados, γPn e mais γgPn.

3. Por último, se p0 está nun vértice de Pn, aplicando o razoamento doapartado anterior temos que existe unha veciñanza de p0 contida naunión de 4n pechados. Aplicando γ a p0 e mais á veciñanza obtemoso resultado para este caso.

Por tanto, queda probado que T é pechado.

Imos comprobar que Pn/ ∼ ∼= H/Γn.Sabemos que Pn ⊂ H, e as relacións de equivalencia ∼ e a inducida por Γn

son compatíbeis; isto é, para todo x, y ∈ Pn x ∼ y ⇔ ∃γ ∈ Γn/x = γy (porconstrución de Γn). Por tanto temos unha inxección de Pn/ ∼ en H/Γn inducidapola inclusión de Pn en H.

Pn ↪→ H↓ ↓

Pn/ ∼→ H/Γn

Vexamos que este diagrama é conmutativo. Sexan i : Pn ↪→ H a inclusión ep′ : Pn → Pn/ ∼, p : H → H/Γn as proxeccións. Para poder ver que a funciónj : Pn/ ∼→ H/Γn é a inducida por i e fai o diagrama conmutativo, hai quever que p ◦ i = j ◦ p′. Para isto comprobemos que se dous puntos de Pn sonequivalentes (coa relación ∼) entón son equivalentes en H salvo isometrías deΓn. Como as relacións son compatíbeis, queda probado o que queríamos ver.

Como xa vimos,H =

⋃γ∈Γn

γPn.

Isto implica que a aplicación é tamén sobrexectiva. Imos comprobar isto:Sexa [z] ∈ H/Γn unha clase de equivalencia dun elemento z ∈ H. Procuramos

un antecedente para esta clase en Pn/ ∼. Como H =⋃γ∈Γn

γPn, sabemos queexiste un elemento x ∈ Pn tal que x = γz para algún γ ∈ Γn. Sexa a proxecciónq : P → Pn/ ∼. Entón q(x) = [x] ∈ Pn/ ∼ é o antecedente que procurábamos,

4.6. RELACIÓN ENTRE ΓN E π1(SN ) 37

xa que o diagrama é conmutativo. Temos así que a aplicación Pn/ ∼→ H/Γn ébixectiva.

A inclusión i e máis a proxección p son continuas. Por tanto, a aplicaciónp ◦ i : Pn → H/Γn é continua, por ser composición de continuas. Como aproxección de Pn sobre Pn/ ∼ é tamén continua, concluimos que a bixecciónentre Pn/ ∼ e H/Γn é continua.

Por último, a bixección é unha aplicación pechada por ser continua dunespazo compacto (a superficie compacta Sn) nun espazo Hausdorff, H/Γn. Con-cluímos, por tanto, que existe un homeomorfismo entre ambos espazos,

Sn ∼= H/Γn

.

4.6. Relación entre Γn e π1(Sn)

O obxectivo desta sección é rematar de describir o subgrupo de isometrías Γnasociado a cada superficie Sn, relacionándoo co grupo fundamental da superficieSn. Sabemos que este grupo fundamental, para a suma conexa de n toros, ten2n xeradores α1, ... , α2n e unha única relación non trivial

α1 ···α2nα−11 ···α

−12n = id.

Para a suma conexa de n planos proxectivos, o grupo fundamental ten n xera-dores α1, ... , αn e unha relación non trivial única

α1 ···αnα1 ···αn = id.

Como espuxemos no primeiro capítulo, π1(Sn) é isomorfo ao grupo de trans-formacións de revestimento da proxección de revestimento universal. O espazode revestimento universal das superficies consideradas é o plano hiperbólico. Portanto, temos

p : H −→ H/Γn ∼= Sn,

sendo H o espazo de revestimento universal e p a proxección de revestimento.O grupo de transformacións de revestimento é Γ, o que se obtén claramente apartir da definición de trasformación de revestimento (1.10). Así,

Γn ∼= π1(Sn).

A construción dun isomorfismo entre ambos os grupos é trivial. Para o casoorientábel abonda con emparellarmos cada xerador gi, i = 1, ... , 2n co xeradorαi, i = 1, ... , 2n do grupo fundamental. No caso non orientábel emparellamoshj , j = 1, ... , n con αj , j = 1, ... , n.

Observamos como a única relación entre os xeradores de cada grupo funda-mental coincide coa relación dada na construción dos Γn.

Bibliografía

[1] John Sillwell Geometry of Surfaces. Springer-Verlag, 1992.

[2] Dubrovin, B. A., Fomenko, A. T. and Novikov, S. P., Modern Geometry.Methods and Applications. Springer-Verlag, 1985.

[3] Jürgen Jost Compact Riemann Surfaces. An Introduction to ContemporaryMathematics. Springer, 2002.

[4] Svetlana Katok Fuchsian Groups. The University of Chicago Press, 1992.

[5] Xosé Masa Topoloxía de Superficies. Notas de clase. Campus Virtual daUSC, 2013.

[6] Martin J. Greenberg, John R. Harper Algebraic Topology. A First Course.The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1981.

39

modelosmétricosde superﬁciescompactaso toro é homeomorfo ao cociente r 2=z . por outra banda, a...

Documents