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MODELOS Y SISTEMAS

CURSOControl Automático

IndustrialPrimera versión

2000

Universidad de Santiago de ChileIngeniería Ejecución Eléctrica

Automatización IndustrialPrograma Vespertino

Oscar Páez RiveraProfesor

MODELOS Y SISTEMAS Pagina 1. 2

Oscar Páez Rivera Profesor Asociado Departamento Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago

1.1. SISTEMAS

Los sistemas tienen una existencia propia, y se comportan según sus leyes, el Ingenieríaresponsable de la operación puede no estar consciente de esto y muchos de los problemas delos procesos industriales tienen su origen en el funcionamiento defectuoso de algún sistema yno se percibe que la causa de la falla reside en la estructura y no en el dispositivo que parecefallar. Por ello es altamente conveniente tener una visión de sistema al enfrentar una falla deoperación. Esta unidad esta dedicada a los procesos industriales vistos como sistemas

Definición :

Un sistema es una colección de elementos organizados de tal modoque su interacción tiene un sentido y que como un todo puede responder a los estímulosprovenientes del medio que lo rodea.

Una familia forma un sistema; un grupo de trabajo forma un sistema; los componentesde un automóvil forman un sistema, etc.. Es importante señalar que muchas actividades de laingeniería se relacionan con sistemas que incluyen a individuos y procedimientos. Sinembargo, la gran mayoría de los sistemas con que se relaciona la ingeniería, son sistemasartificiales.

Bajo la idea de sistema artificial están los conceptos:

♦ Elementos (órganos, mecanismos, dispositivos) que interactúan entre sí.♦ Interacción y causalidad.♦ Estimulo – respuesta y relación con el medio.♦ Sentido final del conjunto.

a. Elementos de un sistema. En general los elementos que constituyen el sistema le dan laestructura o soporte material. Estos elementos pueden ser realmente simples o bien tener unnivel de complejidad que los convierte en otro sistema. Esta situación hace que los sistemasformen clases de distintos niveles de complejidad e inclusividad. En la ingeniería, seencuentran clases de sistemas tales como: dispositivos, equipos, plantas, industrias, etc.

b. Interacción y causalidad. Lo que hace que el conjunto de elementos se convierta en unsistema es la interacción entre ellos. La relación que se establece es del tipo causa - efecto.

Cada elemento tiene la posibilidad de cambiar sus atributos y la interacción lleva que estoscambios estimulen a otros componentes del sistema a cambiar también. Por ejemplo, en unautomóvil el aumento de potencia liberada por el motor aumenta el flujo de calor que debeevacuar el radiador.

c. Estimulo respuesta y relación en el medio. Un sistema puede ser visto como una porciónaislada de la realidad. Esto quiere decir, que un sistema forman parte de un sistema másamplio y las variaciones externas pueden influirlo como entradas; a su vez los cambios queocurren en el sistema pueden ser vistos como su respuesta y que también influyen en elexterior. En el ejemplo del automóvil; el viento en contra es una influencia del medio exterior;en cambio la turbulencia que el coche genera puede ser victo como una respuesta hacia elmedio.



d. Sentido final del conjunto. A pesar que son muchas las cosas que pueden variar en unsistema, la finalidad del mismo o sentido del conjunto, define que cambios son importantes queocurran. Es muy importante que los elementos del sistema y sus interacciones apunten acumplir con el sentido del sistema.

Los sistemas que producen bienes y servicios constituyen una clase muyinteresante de sistemas . A estos se les denomina plantas industriales, en adelante plantas.

Definición:

Una planta industrial es un conjunto de elementos que cumplen connormas y que como conjunto está destinada a realizar Procesos industriales .

Definición:Se llama proceso industrial a cualquier transformación de la materia o

energía (o ambos).

Ejemplo de sistema: Los siguientes elementos forman en conjunto un sistema llamadoCaldera: un quemador, el estanque de petróleo, las tuberías, las válvulas, las bombas (de aguay petróleo), él depósito de agua, el domo, el conjunto de tubos, el hogar; la electrónica de ignicióny control, los instrumentos de vigilancia y protección.

A su vez, el estanque de petróleo, las tuberías, las válvulas y la bomba impulsora formanel sistema de suministro de combustible.

Bajo el nombre: electrónica de ignición y control, se designa en realidad a un complejosistema de control que incluye una fuente de poder (que es otro sistema); un micro procesador,un software, un programador, interfaces varias etc.

Las plantas industriales están orientadas a la producción de bienes y servicios. Secaracterizan por ser principalmente:

− Artificiales.− Modulares.− Conectables.− Expansibles.

La creación de plantas industriales (nuevos sistemas) genera actividad en las áreas de:

a. Diseño.b. Construcción.c. Puesta en servicio.d. Control.e. Mantención.f. Explotación.

Los Ingenieros se relacionan principalmente con las cuatro primeras y los técnicosprincipalmente con las cuatro ultimas. la actividad de control requiere la frecuente interacciónde estos dos tipos de profesionales



1.1.1. Propiedades generales de los sistemas.

Todas las plantas tienen un cierto número de propiedades comunes, ellas se refieren a:

• Su estructura material.• Transformaciones de la materia y energía.• Su organización.• El manejo de la energía.• La necesidad de control.

1.1.2. Fallas y tecnologías.

Las plantas industriales se basan en un soporte físico y material. La civilización en laque estamos inmersos es básicamente tecnológica y ha logrado desarrollar ampliamentediferentes especialidades. Algunas íntimamente relacionadas con estos sistemas son:

• Diseño estructural y mecánico• Desarrollo de tuberías (piping)• Desarrollo de canalizaciones• Electricidad industrial• Diseño de mecanismos• Electrónica análoga• Electrónica digital• Electrónica de potencia• Neumática• Oleohidráulica• Iluminación• Climatización• Control automático• Instrumentación• Instalación de computadores, etc.

Todo sistema está sujeto a fallas; por lo tanto, dependiendo de sus características se lesdebe incorporar a un plan de mantenimiento a las plantas industriales.

Las fallas a las que se hace mención se deben a fallas materiales de los elementos queconstituyen el sistema y pueden ser detectadas desconectando el elemento (o aislarlo) y someterloa pruebas establecidas por el fabricante. Para hacer esto es importante la experticia que se halogrado en la tecnología involucrada.

1.1.3. Transformaciones y procesos.

Las plantas industriales están diseñadas para producir transformaciones de la materiade la energía (o ambos, estas transformaciones deben seguir un procedimiento (receta detrabajo) y se las llama simplemente “Procesos”.

Definición:

Un proceso industrial, es una transformación controlada de la materia o dela energía (o ambos) que ocurre en un sistema llamado planta industrial.



En una planta industrial (sistema) pueden ocurrir varios procesos. Lo que se controlason los procesos.

1.1.4. Causalidad

Los sistemas artificiales cumplen con el principio de causalidad; es decir, un efecto se generapor una causa; la causa de un efecto no puede encontrarse en el futuro. En palabras simples unsistema artificial no puede anticiparse y responder antes de que ocurra la causa.

Esta causalidad es también una notable característica de esta clase de sistemas. Cadaelemento recibe un estimulo (causa, entrada) proveniente de otro elemento; y responde con unefecto el que a su vez es la causa para otro elemento.

Esta misma causalidad permite descubrir fallas debidas a la interacción; cuando se sospechadel mal funcionamiento de un elemento; si es posible, se le debe probar aisladamente; si funcionabien; es posible que la causa de la falla sea él estimulo que llega; es decir, la respuesta de otraparte del sistema.

1.1.5. Estabilidad y energía.

Las transformaciones que ocurren en las plantas industriales significan consumo ytransformación de la energía. Estas energías provienen de redes de suministro, en algunos casosla energía es liberada por la transformación en sí misma (combustión, reacciones químicasexógenas).

En la operación de una planta, la fase de llevarla desde la detención hasta su nivel de trabajonormal, se llama inicialización. En esta fase, la planta incrementa su energía, lo que manifiesta enlas velocidades de las turbinas y motores; las temperaturas y presiones de sus fluidos, los nivelesde sus estanques.

Luego, en su operación normal se tienen equilibrios energéticos; es decir, la energía quela planta demanda de las redes de suministros, se emplea en las transformaciones propias desus procesos.

Bajo ciertas condiciones de la interacción (se cae en una mala organización), la planta puedecomenzar a perder su energía (las máquinas se detienen; las reacciones se enfrían; los nivelesdescienden; las presiones se vienen abajo, etc.) o puede comenzar a incrementar anormalmentesu energía lo que es altamente peligroso (las máquinas se embalan; las reacciones se sobrecalientan; los niveles ascienden; las presiones se disparan, etc.).

Se define la condición de equilibrio energético como una condición de operación estable entorno del punto de operación.

Se define como una condición inestable de operación a la situación en la que la planta pierdeo aumenta consistentemente su energía, sin que se haya programado esto.

Algunas interconexiones o calibración inadecuada de los parámetros del sistema puedensuscitar la forma de operación inestable.

En condiciones de inestabilidad, no es posible lograr que el sistema se equilibre en un puntocualquiera de operación. Por el contrario, el sistema evoluciona por sí mismo.



El resultado puede ser la saturación (alguna(s) variable(s) alcanza(n) el máximo de su rango)y se detiene la evolución. O bien el sistema puede tomar una forma de evolución que lo lleva a ladestrucción parcial o total de sus componentes o el medio que los rodea al superar algunas de susvariables los rangos permitidos .

La estabilidad segura es una condición básica de la operación de los sistemas artificiales.

1.1.6. Control y sistema de control

Los sistemas artificiales se han construido con un fin específico. Usualmente son operadospor personas, lo que significa que reciben comandos (causas) para generar respuestas (efectos).

Las plantas industriales deben funcionar de modo que sean técnicas y económicamenteadecuadas; en realidad el aspecto tecnológico debe evolucionar de modo que la producción searentable. Esto último supone economías de materiales, energía y calidad de sus productos.

Lo anterior, se logra haciendo interactuar al sistema A, con otro sistema dual llamadosistema de control para A.

El concepto de control se refiere a la interacción entre dos sistemas, entre los que seestablece una relación muestreo - esclavo. El sistema maestro asume un rol controlador delsistema esclavo. El objetivo de esta interconexión es lograr que el sistema esclavo opere en unaforma satisfactoria y alcance por tanto su sentido final.

• Control Externo: El esquema recién descrito corresponde a un control externo.

• Control Interno: En muchos sistemas, el o los sistemas controladores se insertan en el propio sistema,formando parte del mismo. El esquema que se logra es de autorregulación o autocontrol ocontrol interno.

1.1.7. Activación de sistemas.

Los sistemas reales son un conjunto de dispositivos que deben interactuar entre sí.Pasan a constituir un sistema cuando se han cumplido las siguientes etapas constitutivas:

Montaje :Los equipos han sido montados en sus estructuras civiles y mecánicas se han

establecido los ensambles y conexiones mecánicas entre ello.

Circuitos :Los circuitos de procesos y los circuitos de naturaleza eléctrica, hidráulica, neumática,

señales análogas y digitales, que permiten la conexión del sistema han sido establecidasDistribución y regulación de flujos:

Los elementos de activación y regulación de los flujos por los circuitos recién descritos estándisponibles (interruptores, contactores, electroválvulas, válvulas de control y direccionamiento etc.).

EnergíaLa energía que consume el sistema está disponible. Las conexiones del sistema hacia

las redes estándar de suministro de energía están disponibles.



Programación y controlLos dispositivos (autómatas) que controlan lógica y modulantemente al sistema han sido

instalados; los programas cargados, los parámetros requeridos (setting) han sido establecidos y elcontrol espera los comandos del usuario.

Partida :Se han encendido los elementos de potencia y se ha dado la partida al funcionamiento.La secuencia recién descrita es necesario para la puesta en marcha de una planta y no

se usa en las partidas diarias. La secuencia constituye una buena pauta para chequear laplanta en un mantenimiento preventivo.

1.1.8. Desactivación de sistemas.

La desactivación de un sistema consiste en desarmar las interacciones ya seapor una desconexión material o por corte del suministro de energía o materia , esta desactivacióndebe manejarse sin dificultad. La desactivación del sistema puede deberse a las siguientescausas:

• Proceso normal de apagado.• Activación de protecciones por sobre cargas.• Activación de condiciones lógicas de emergencias (sobrepaso de valores límites en señales,

paradas de emergencias, activación de contactos tipo tripp).• Cortes en el suministro de energía.• Fallas en algunos de los componentes.

Con la desactivación el sistema real pasa a ser un equipamiento inerte yconceptualmente deja de funcionar como sistema.

La desactivación del sistema puede ser una forma efectiva de resolver una situación deoperación inestable.

1.2. MODELOS

1.2.1. Introducción.

En una planta se procesan materiales y energías con objeto de producir bienes deconsumo. Se acostumbra a llamar planta a la estructura física y proceso al conjunto detransformaciones que en ella ocurren.

La práctica ha demostrado que no es conveniente trabajar directamente con los sistemasreales cuando se tiene el propósito de mejorar sus cualidades. Usualmente, una modificación omejora del sistema requiere un estudio previo. Se estudian los sistemas en forma indirecta,analizando una representación de este llamada modelo.

Existe la necesidad de medir los atributos físicos que intervienen en los procesos. Al sercambiantes con la ocurrencia del mismo se les identifica como “variables de proceso”. En laevolución de las variables se refleja la estructura del proceso. Para comprender la organización delproceso se necesita relacionar las variables del mismo.



Definición :Un modelo es un objeto abstracto que representa al sistema real en algún

aspecto que interesa.

Un mismo sistema puede generar muchos modelos según el interés del estudio que serequiere.

Por otra parte, existen formas abstractas generales que pueden representar a sistemasdistintos a estas formas se les denomina modelos básicos.

1.2.2. Modelos Matemáticos De Procesos

Al trabajo intelectual y experimental que logra relacionar las cualidades de un proceso sellama modelación.

La modelación se desarrolla de la siguiente manera:

• El sistema posee atributos o cualidades medibles que se relacionan con supropósito final.

• Quien modela debe tener la experiencia suficiente como para seleccionar dentro de estosatributos medibles los más relevantes para el propósito final.

• Luego los atributos deben clasificarse en parámetros y variables.

A continuación se deben encontrar las relaciones entre las variables y orientarlas bajo laperspectiva de causa y efecto. Cuando se ha logrado esto, se tiene el modelo matemático delsistema.

1.2.3. Variables.

Definición:Una variable es una función matemática V(t) del tiempo y cuyo valor

(o amplitud instantánea) representa la magnitud del atributo a la que se refiere.

Por ejemplo: La altura de un estanque es una magnitud física de longitud que puedecambiar con el efecto de llenarlo o vaciarlo.

Definición:

Parámetro es un atributo o propiedad de la materia o energía quepermanece invariable en el tiempo o, que su variación en el tiempo es despreciablerespecto de las escalas de magnitud de un proceso.

Esta propiedad puede ser ajustable según diseño.Los parámetros pueden depender de la geometría, en tal caso los sistemas se llaman de

parámetros distribuidos. Y, cuando no dependen de la geometría los sistemas se llaman deparámetros concentrados.

Existe una clase de variable llamada señal, la que se origina en un instrumento demedición de otra variable.



Definición:Una señal es una especial clase de variable capaz de representar a otras

variables y que se obtiene a través de un instrumento.

Por lo general la señal está asociada a la salida de un instrumento de transducción. Loesencial de una señal es que es una variable que se presta para representar a otras variablesgracias a su facilidad para ser captada, almacenada y procesada. En control e instrumentación,finalmente se han establecido rangos de magnitud física que permiten hablar de señalesestándares de control. Esos rangos son: corriente de 4 - 20 [mA]; voltaje de 1 - 5 [volts] y presiónde aire comprimido de 3 - 15 [Psi].

Algunas variables afectan el comportamiento del sistema desde el exterior trayendo oquitando energía en forma indeseada, se llaman perturbaciones.

Definición:Perturbación Variable de fuerza no controlada y cuya aparición no es

deseada y que a lo más puede tener una cierta probabilidad de ocurrencia.

Otras variables que también afectan el comportamiento del sistema desde el exteriortrayendo o quitando energía constituyen la razón de ser del proceso . A tales variables se les llamacargas.

Definición:Carga es una variable de fuerza programable o considerada en el diseño

desde el punto de vista de su demanda de energía.

Algunas señales afectan el comportamiento del sistema desde el exterior trayendoinformación no valida, se llaman ruidos.

Definición:Ruido es señal no deseada e inmanejable desde el punto de vista de su

generación y que puede afectar la información que porta una señal.

1.2.4. Variables y señales.

Hay variables que representan directamente el nivel de energía del elemento, tal como seaprecia en la Tabla 1.1.

Tabla 1.1.- Variables y energía asociada.

Variable Energía Asociada

T: temperatura de un cuerpo Proporcional al calor acumulado por un cuerpo de masa M es:Q* = Cp MT

L: nivel de un estanque La energía acumulada por el estanque es:EtK = 1 pg A L2

2V: voltaje efectivo de una red La energía que consume una resistencia R es un período ∆t vale:

Ee = V2 ∆t R

W: velocidad angular de un rotor La energía cinética de rotación de un rotor de momento de inercia J vale:Ec = 1 J W 2

2



Aún cuando la energía queda representada por la variable de tipo gradiente; relacionadascon ella se puede establecer una variable flujo que se relaciona con la variable de gradientemediante algún circuito como se muestra a continuación:

a. Energía TérmicaSupóngase un cuerpo C1con una energía inicial Et1; se sumergedentro de un cuerpo C2 con una inicial Et2.

(T1, M1) y (T2; M2) representan la temperatura y la masa delcuerpo. Sea T10 mayor que T20. Al establecer el contacto seestablece un flujo de calor dado por:

Q12 = K12 (T1 –T2)

Este flujo cesa cuando las temperaturas se equilibran, es decir, cuando:

T1f = T2f

Considérese ahora el balance de energía (Tabla Nº 1.2):

Tabla 1.2.- Balance de energía en transferencia de calor

Cuerpo EnergíaInicial

TemperaturaInicial

EnergíaFinal

TemperaturaFinal

EnergíaTransferida

C1 Cp1 M1 T10 T10 Cp1M 1T1f T1f Cp1M1(T10-T1f)

C2 Cp2 M2 T20 T20 Cp2M 2T2f T2f Cp2M2(T20-T1f)

Sea ∆t1 en diferencia de temperatura asociada al cuerpo 1 y sea ∆t2 la diferencia asociada alcuerpo 2.

La energía cedida por C11 por Cp M1∆t1.

La energía absorbida por C2 es Cp M2∆t2 y deben ser iguales en módulo. La capacidad deacumulación de calor y la masa de cada cuerpo son importantes. Sea M1*= Cp1 M1 yanálogamente para el cuerpo C2. Entonces,

∆E1t = M1* ∆T1

∆E2t = - M2* ∆T2

Si M1* >> M2* entonces para un ∆T2 alto ∆T1 tiende a cero. Es decir, si M1* es mucho mayorque M2*; el cuerpo C1 le cede calor al cuerpo C2 sin alterar significativamente su temperatura.En cambio el cuerpo C2 cambio su temperatura igualándose a la del cuerpo C1.

T1

T2

Figura 1.1.- Intercambiode energía térmica



Bajo esta perspectiva; se puede definir a una variable fuerte a aquella que no cambiasensiblemente su amplitud al establecerseuna nueva conexión al sistema a la quepertenece, y que está conexión demandauna cuota de energía.

Bajo esa misma perspectiva; una variable esdébil si al establecerse una interconexiónque significa intercambio de energía su valorcambia ostensiblemente.

Debe entenderse que las definiciones dadasson polaridades; una variable cualquierapodría no ser ni débil ni fuerte; sin embargo,aproximarse más a ser débil o ser fuertesegún cuanto cambia su monto alintercambiar energía.

b. Energía potencial hidráulicaEn el caso de intercambiar dos estanques;en forma análoga se llega a que la condiciónde equilibrio es:

L1f = L2fSi L1f >> L2f entonces L1 casi no cambia su valor y L2 se debe igualar a este nivel; la variable L1

entonces es más fuerte y la variable L2

es débil.

1.2.5. Clasificación de variables.

Las variables admiten unaclasificación según como esté definida suexistencia en el tiempo y el valor de laamplitud que pueda tomar.

a. Variable análogaEsta definida en todo instante de tiempo. Puede tomar cualquier valor de amplitud dentro deun rango (a, b).

b. Variable de amplitud discretaEsta definida en todo instante de tiempo; pero suamplitud sólo puede tomar valores discretos de unintervalo; es decir, puede asumir cualquiera de losvalores de {AO, A1, A2;........ AN}.

Las más conocidas de estas variables corresponden alos casos de AO = -M; A1 = M que genera típicamente lasalida de un relaz on-off o bien cuando Ao= -M; A1=tM

A

t

b

a

Figura 1.3.- Variable análoga

L1L2

Figura 1.2.- Intercambio de energíahidráulica

A

tA0

A1

A2

A3

A4

Figura 1.4.- Variable de amplitud discreta

A

M

t

-M

Figura 1.6.- Variable discreta coninversión de polaridad



que corresponde a la salida de un relaz con inversión depolaridad.

c. Variables muestreadaEste tipo de variable está definida en estrechos intervalos(ancho del pulso) que están separados entre sí.

La amplitud puede ser cualquiera valor dentro de unintervalo (son de amplitud continua).

Si los intervalos de separación entre muestreo y muestreoes constante; entonces se habla de una variablemuestreada sincrona y cada muestreo se identifica con unnúmero entero que indica la cardinalidad del mismo.

Cuando los intervalos de muestreo son irregulares, sehabla de una variable muestreada asíncrona.

d. Variables digitales generalesSe obtienen manteniendo el valor muestreado hasta elpróximo instante de muestreo,

Se obtiene así, una variable que sólo puede cambiar suamplitud es cualquiera dentro de un intervalo.

e. Variables binariasSe trata de variables digitales tales que su amplitud se codifica mediante una base binaria y sealmacena su valor en registros de una palabra de largo (16 bits).

Es interesante observar que tanto las variables muestreadas y digitalizadas en base binariason las variables más empleadas en las controladores inteligentes.

A

t

M

0

Figura 1.5.- Variable on-off

A

tn

1

n

2

n

3................. nk

Figura 1.7.- Variable muestreada.

V

t1 2 3 4

Vm

t1 2 3 4

VD

t1 2 3 4

Muestreador RetenedorV Vm VD

Figura 1.8.- Generación de una variable digital



1.2.6. Relaciones y ecuaciones orientadas

Supóngase que para un elemento es posible establecer una ley de evolución R(x,y) = 0; en dondex e y son las variables que lo caracterizan.

Si x es la causa de la evolución de y entonces y = f (x)representa esta situación. Si el mismo elemento conectado aotro sistema evoluciona de modo que ahora y es la causa de x;es decir, x = g(y) (siendo y la función inversa de f); entonces sedice que la relación R(x,y) =0 para este elemento es noorientada; Sí por el contrario; en cualquier conexión el elementose representa por y = f(x); entonces la relación estaintrínsecamente orientada.

Por ejemplo, la relación entre corriente y voltaje en unaresistencia es una relación no orientada. Si la resistencia seconecta a una fuente de voltaje V entonces se obtiene unacorriente I = V/R si se conecta la resistencia a una fuente decorriente, entonces se obtiene un voltaje V = RI

1.2.7. Relaciones de cambio y acumulación.

El efecto de una variable x en otra variable y puede ser que suamplitud presente una tendencia de cambio con el tiempo; adiferencia del caso anterior; es que ahora aparece el tiempocomo una componente de la descripción. La relación decambio se expresa con:

xty =

∆∆

Si en t = to y vale yo entonces se asume que cuando hagatrascurrido un tiempo ∆t pequeño, entonces el valor de y en (to+ ∆t) se aproxima por y (to + ∆t) = yo + ∆γ. A su vez ∆y = X (to) ∆t

Estas relaciones de cambio; para obtener el valor de γ en untiempo t = to + n∆t; se deben sumar todos los cambios ∆y intermedios es decir,

ηy(t) = y(to) + Σ x (k) ∆t

k=1xk representa el valor de x en cada intervalo ∆t.

Esta nueva expresión puede considerarse como unaexpresión de acumulación. Se observa que ambas relacionesson reciprocas; sin embargo, siempre x causa la evolución dey. Luego este es un ejemplo de una relación intrínsecamenteorientada.

y(t)

tt1 t2t

y2

y1

x(t)

tt1 t2

x2

x1

x

Figura 1.9.- Evolución en eltiempo de dos variables

relacionadas por razón decambio.

y(t)

tt

yt

y

Figura 1.21 Taza de cambiopara y(t)



1.2.8. Relaciones de cambio y derivadas

Considérese un proceso cuya entrada es “x” y cuya salida es “y”. En la fig1.21 , cuando x1

=x (t1) pasa a x2 =x (t2) en un lapso de tiempo ∆T = t2 –t1; entonces y cambia de y1 a y2. Con objetode medir la relación de cambio que se tiene en el instante t; se debe dividir el intervalo ∆T en Nveces de modo que ∆t = ∆T/N sea una pequeña fracción de ∆T y el valor ∆y correspondientepueda ser medido con certeza por la instrumentación disponible. En tal caso, el cuociente entre ∆y, ∆T, es una nueva función de t que se denota por:

)t`(ydtdy

ty

==∆∆

Esta nueva función se dice que se derivó a partir de la función y(t) y frecuentemente se lallama la derivada de y respecto de t.

1.2.9. Relaciones de acumulación e integrales.

Sea un valor de tiempo t =m∆t, siendo m un número entero. Sea y el valorcorrespondiente; entonces cuando el tiempo se incremente en un ∆t la variable y se incrementaráen un ∆y dado por:

t)tm(xt)tm(dtdyy ∆∆=∆∆=∆ es decir,

t)tm(xyyy)tm(yy 1m1m ∆∆+=∆+=∆= −−

A partir de un valor inicial y1 se han ido obteniendo los valores: y2, y3, y4, ym-1, ym,.

Y cada vez a intervenido el valor de x en dichos instantes, así el valor actual de y se representa porla sumatoria siguiente:

k=my(t) + Σ x(K∆t) ∆t la que se denota con:

k=1

∫=t

t0

dt)t(x)t(y

que se conoce como la integral de x(t) desde t1 a t

En resumen, si una variable y tiene una ley de razón de cambio en eltiempo que es igual a x, entonces con respecto a la orientación; es x quien causa la evolución de



es decir, dado x la variable y evoluciona a una razón de cambio xdtdy = , entonces es preferible

representar esta relación entre x e y en su forma integral ∫=t

t0

dt)t(x)t(y

Se dice que y(t) resulta ser la integral de la función x(t).

1.2.10. Orientación de las relaciones de razón de cambio y relaciones de acumulación

Las relaciones xdtdy = ; ∫=

t

t0

dt)t(x)t(y

son relaciones matemáticas reciprocas ; esto quiere decir, que en la operatoria una puedededucirse de la otra; sin embargo, desde el punto de vista de la orientación; es x quien causa laevolución de y.



1.3. DIAGRAMA DE BLOQUES

1.3.1. Diagrama de bloques

El modelo de un proceso se expresa en términos de las ecuaciones diferenciales querepresentan los fenómenos que ocurren en él.

Se conoce por diagrama de bloques a un lenguaje gráfico que permite ordenar lasecuaciones de un modelo matemático de modo que se aprecie la causalidad implícita en ellas.Para el Ingeniero es muy importante saber cuales son las causas de un fenómeno y cuales sonsus consecuencias.

1.3.2. Construcción del Diagrama de bloques

La representación de diagrama de bloques emplea a bloques para establecer a la relacióny la causalidad entre las variables correspondientes al fenómeno representado. Las variables queson las causas del fenómeno se representan por flechas de entrada al bloque. Las variables queson las consecuencias del fenómeno se representan por flechas de salida del bloque.

1.3.3. Orientación de las ecuaciones

Así, para trasladar una ecuación al diagrama de bloques es necesario saber su causalidad; sedebe expresar la variable de salida del fenómeno en términos de las variables que la causan. Estatarea se conoce como orientación de las ecuaciones.

1.3.4. Reglas para construir el diagrama de bloques de un proceso

0. - Obtenga Información de proceso1. - Obtenga las ecuaciones de los fenómenos involucrados2. - Asigne un bloque por cada ecuación3. - Parta orientando las ecuaciones integrales como la ecuación DBq 1

4. - Utilice las condiciones operativas del proceso para orientar las ecuaciones no orientadas.5. - considere que una misma variable no puede ser la salida de dos o más bloques.6. - considere que una misma variable si puede ser la entrada de dos o más bloques.7. - distinga la variable independiente agregando un circulo en el origen de la flecha que la representa.8. - distinga un salto en el diagrama de bloques agregando un triángulo lleno en el origen de la flecha que

esta usando como entrada a un bloque. .

1.3.5. Ejemplo de construcción de un diagrama de bloques para un motor de corrientecontinua

Información de proceso

Un motor de corriente continua es un dispositivo que permite transformar energía eléctrica enmovimiento. De modo que el proceso es de transformación de energía.



En el motor de corriente continua con excitación independiente (o separada) no hay ningún enlaceeléctrico entre el devanado del rotor y el devanado de campo y, por consiguiente en este motor, laintensidad de corriente del campo es independiente de la corriente del rotor. En el motor serie, lacorriente del rotor atraviesa igualmente los devanados de la excitación de los polos principales.

El campo magnético del campo se establece en una dirección estabilizado en el espacio,y el campo magnético de reacción del rotor, provocado por la corriente que atraviesa éste (graciasa su colector), se establece en una dirección en cuadratura con el anterior, a pesar del movimientodel rotor; ambos generan un par motor proporcional al producto de las corrientes de campo y armadurarespectivamente.

El Layout físico del motor de corriente continua es el siguiente

El circuito eléctrico del motor decorriente continua con excitaciónseparada se aprecia en la Figura1.23:

Para que exista un manejo de latensión en el rotor, se usa un puenterectificador de tiristores el cual sealimenta con la tensión alterna trifásicade la red de suministro; unaelectrónica de control maneja larectificación de modo que la tensiónde salida V siga a una señal demando u.

Existe una proporcionalidad entre la tensión de control u, y la tensión del rotor V (como resultadodel control interno del puente rectificador de tiristores)

El circuito eléctrico del campo es el siguiente

Batería

SWITCH

MOTOR

CARGAMECANICA

FUENTE

cc

DISYUNTOR

REDPUBLICA

+

+ -

-

u

Figura.- 1.22 Layout físico de un motor de corriente continua

+

-u

+

-v

+

-e

RA

EF+ -

KA

wTR

J, BIa

λλ

Puente

Figura.- 1.23 circuito eléctrico del motor



Por ley de OHM la corriente de campo IF es directamente proporcional a la tensión dealimentación de campo EF.

Debido a la corriente continua del campo y el giro w se induce en el rotor una fuerzaelectromotriz e que se manifiesta en las escobillas del rotor como

e= km w if

Dinámica del motor: el motor debe mover un volante de inercia en contra de un torque resistente,este se considera una entrada independiente.

Orientación de las ecuaciones de los fenómenos y asignación de bloques

Fuente:

V es causada por u que además es una variable de entrada independiente, luego setiene el diagrama de bloques siguiente

Excitación de campo:

Se tiene que if es causada por Ef que además es una variable de entrada independiente, luego setiene el diagrama de bloques siguiente

contra fuerza electromotriz

La fuerza electromotriz e, es causado por if, y ϖ luego, se tieneel diagrama de bloques siguiente

uv λλ=

u

λλv

f

ff R

Ei =

ωωfm ike =

EF

ty =

∆∆ IF

ϖ

eifωωfmik

EF+ -

IF

RF

+

v

-u

Voltaje de

control

ELECTRONICA

DE CONTROL

ELECTRONICA DE

RECTIFICACION

- +

Voltajerectificadoresultante

Voltajetrifásico de la

red de la

Figura.- 1.24 Generación del voltaje V



corriente del rotor a

a Rev

I−

=

Evidentemente Ia, es causado por V, y e luego, se tiene el diagrama de bloques siguiente

El diagrama de bloque anterior se puede representar también por

Torque del motor

Tm, es causado por if, y ia luego, se tiene el diagrama de bloques siguiente

Dinámica del motor

Definiendo el operador p como : dtd

p =

la ecuación anterior se transforma en

También se puede expresar por:

Con lo cual El diagrama de bloques que representa ala ecuación de la dinámica es el siguiente:

Diagrama de bloques del conjunto

Uniendo los elementos desarrollados se tiene finalmente:

rm TTBdt

dJ −=+ ϖϖ

ϖϖ

rm TTtBJp −=+ )()( ϖϖ

BJp

TTt rm

+−

=)(ωω

afmm iikT =

+ -

eaR

1v ia

iaV ωωfmik

e

ϖϖ

Tr

+BJp +

1 -

Tm

Tmia afm iik

if



1.4. MODELOS DE PROCESOS INDUSTRIALES

Los procesos industriales están constituidos de fenómenos elementales , tales comocalentar, enfriar, transportar, etc., en los siguientes párrafos se revisan los modelos más básico detales fenómenos.

1.4.1. Flujos

Los flujos son fenómenos asociados al transporte de materia o energía ; cuando unelemento se transporta, es decir cambia de ubicación, transporta todas sus propiedades,

originando flujos . Un flujo medio puede definirse como Tiempoopiedad

F∆

∆= Pr , el flujo instantáneo es

limite de un flujo medio cuando el tiempo considerado en el transporte se acorta a un valorsuficientemente pequeño.

La naturaleza de la propiedad define la clase de flujo tal como se muestra en la siguiente tabla.

PROPIEDAD CLASE DE FLUJO DEFINICIÓN DEL FLUJO INSTANTÁNEO RESPECTIVO

Volumen. FlujoVolumétrico. dt

dVFV = ; V: Volumen transportado; t: tiempo

Materia Flujo másicodtdM

FM = ; M: masa transportada

Calor Flujo de calor

dtdQ

Q*

= ; Q: flujo de calor ; Q* cantidad de calor transportada

Cargaeléctrica

Corrientedtdq

i = ; i= corriente ; q carga eléctrica transportada.

iau

λλ+

-e

aR1v

afm iik

EF

FR1 IF

ωωfmik

if

ϖϖ

Tr

BJp +1 -Tm

Figura.- 1.25 diagrama de bloques del motor



Es necesario establecer que la propiedad se transporta gracias a que existe el flujo y no alrevés ; por tanto, en general, los flujos se consideran como causa y el transporte como unaconsecuencia.

Las materias más empleadas en procesos son fluidos , por ello se revisan en formaespecial.

1.4.2. Presión

La presión de un fluido se define como la fuerza normal (perpendicular al área de contacto )por unidad de área , es decir

dAdf

P = ; P. presión del fluido ; f: fuerza normal; A: área de contacto

debe establecerse que en general la presión es la causa de la existencia de la fuerza.

1.4.3. Bombas

las bombas son equipos capaces degenerar flujos. En el ambiente de procesosindustriales , las bombas más empleadasson las bombas centrifugas.

Una bomba centrifuga secaracteriza por una curva de operación en elplano H-Q. La variable H designa la alturaa que puede elevar la bomba el fluidoproveyendo el flujo Q que se llamausualmente caudal de la bomba . por lanaturaleza de como es impelido el fluido,

una bomba centrifuga puede elevar hasta una misma altura Homáxima a cualquier clase de fluido (la potencia eléctrica que consumeel motor cambia según la clase de fluido). Usualmente H se interpretacomo la presión en metros columna del fluido que se esta manejando.De modo que no es extraño ver la curva de la bomba centrifuga en unplano caudal – presión tal como se muestra en la Figura 1.27. Existe uncaudal máximo al que se puede operar la bomba centrifuga sin queentre en cavitación. Este valor depende de la bomba y del circuitohidráulico y de los parámetros del fluido.

1.4.4. válvulas de control.

El fluido se transporta en circuitos hidráulicos desde la fuentehasta su destino. El elemento universal que se emplea para dosificar elflujo es la válvula de control. Este es una maravilla de diseño mecánico ,capaz de efectuar delicados y precisos ajuste de flujo y a la vez capaz desoportar el agresivo ambiente industriales por largos años de trabajo sindar grandes problemas.

Figura 1.27 Curvade la bomba

Q m a x

Figura 1.26 Bombacentrifuga

Figura 1.28 Válvula decontrol



Esquemáticamente hablando, una válvula de control es una estrangulación ajustable, elfluido produce una diferencial de presión ∆P entre sus extremos cuando pasa un flujo Q y se tieneuna estrangulación que se mide por Caudal. La ecuación de la válvula de control manejandolíquidos es:

21 PPcQ v −= en general la válvula ajusta su Cv siguiendo una señalde mando m, típico una corriente en el rango 4-20 mA,

con lo cual la ecuación se expresa: 21)( PPmcQ v −=

La dependencia de Cv se expresa en la formade que porcentaje del flujo máximo se obtiene cuando sevaria el recorrido del actuador a una caída constante depresión de un psi en los extremos de la válvula decontrol (es decir el porcentaje del Cv máximo que seobtiene a dicha caída de presión) .Se entiende que es una característica del cuerpo de laválvula de control, esto se muestra en la Figura 1.29.

1.4.5. El circuito hidráulico .

El fluido que impulsa la bomba se canaliza a travésde un circuito , en dicho camino se encuentra la válvula decontrol que se requiere para regular la cantidad de fluidoque debe pasar, en la Figura 1.30 se muestra un circuitohidráulico que se emplea para mantener constante el nivelde un estanque.

1.4.6. diagrama de bloques de un circuito hidráulico .

A modo de ilustración se desarrolla a continuaciónel control en lazo cerrado del nivel de un estanque que serepresenta en la Figura 2.7. Se ha dispuesto que elconsumo se represente por una válvula manual , lareposición se efectúa mediante una bomba centrifuga yuna válvula de control. La curva de la bomba se muestra en

la Figura 2.8. Se observa que la presión de salida de la bomba corresponde a y que el caudal Qcorresponde a X.

Para construir el diagrama de bloques, las ecuaciones a considerar son:

P1= f(X) Ecuación de la bomba

)LX(HHt

0A1

0 −+= ∫ Ecuación del estanque

Figura 1.29 característica delcuerpo de la válvula de control

H

L X BOMBA

P1P2

Figura 1.30.- Circuito hidráulicorelacionado con el control de nivel de un

estanque

VÁLVULA DECONTROL

ESTANQUE



21v PP)m(cX −= Ecuación de la válvula de control

gHP2 ρ=

Ecuación delefecto del nivel H en lapresión

El diagrama debloques quecorresponde sepresenta en la Figura2.9. puesto que lo quese desea mantenerconstante es la alturaH, esta pasa a ser lavariable salida decontrol

Obviamente elflujo de consumo es lacarga.

La variable quepermite equilibrar a lacarga es el caudal X de la bomba . el diagrama de bloques que corresponde se muestra en laFigura 2.9 , obsérvese que el actuador esta constituido en realidad por el circuito hidráulico . Elactuador no es la válvula de control ni es la bomba , el actuador es el sistema que ellos forman

ECUACIÓN DELESTANQUE

P2ECUACIÓN DELA VÁLVULA DE

CONTROL

m SEÑAL DEMANIPULACIÓNAL ACTUADOR

EFECTOALTURA

DELESTANQUE

H

L

X X CAUDAL DEREPOSICIÓNVARIABLE DEACTUACIÓN

ECUACIÓN DE

LA BOMBA

P1

LY

ACTUADOR: CIRCUITOHIDRÁULICO

NIVEL DEL ESTANQUESALIDA DE CONTROL

CARGA

modelos y sistemas - automaticausach.cl · embargo, la gran mayoría de los sistemas con que se...

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