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MODELOS DE CÁLCULO DE LA VOLATILIDAD *

Uno de los objetivos principales perseguidos en el análisis de series temporales es poder predecir de la manera más aproximada el comportamiento futuro que pueden presentar las variables, no solo en la tendencia que ésta pueda tomar en el largo plazo sino también en las características inherentes de toda serie, principalmente su valor esperado y varianza, buscando con estos elementos una estimación más cercana de posibles valores, o rangos, a observar en el futuro. De igual manera, el cálculo del Valor en Riesgo (VAR) se encuentra asociado a la estimación de la pérdida máxima esperada para un portafolio de activos financieros en un horizonte de tiempo. El pronóstico adecuado de los retornos asociados a los factores de riesgo definidos para el portafolio dependerá del modelo que se asuma para describir la dinámica de los retornos. T&A plantea 3 modelos para el cálculo de la volatilidad de los precios de los activos financieros seleccionados, con la cual es calculado el Valor en Riesgo asociado a cada factor. Los modelos planteados presentan enfoques distintos para la estimación de los pronósticos. En primer lugar, se presenta el modelo Log-Normal basado en el supuesto de normalidad y en la información histórica de la serie para la estimación de los retornos esperados. Un segundo modelo utiliza Simulación de Monte Carlo, bajo el cual se genera un gran número de simulaciones para llegar al cálculo de las volatilidades esperadas, bajo el supuesto de normalidad en los retornos. El tercer modelo se trabaja bajo el análisis de series de tiempo, empleando modelos Arma-Garch para el cálculo de la volatilidad esperada. Con el presente documento, T&A pretende entregar al lector un soporte técnico sobre la estimación de cada uno de los modelos que sustenten la validez y confiabilidad de los resultados entregados en el σ−Boletín.

* PROPIEDAD INTELECTUAL. Este documento se encuentra protegido por las leyes de Propiedad Intelectual de la República de Colombia. Su uso se encuentra restringido a la lectura y análisis por parte del lector. Su contenido no puede ser reproducido ni utilizado con fines comerciales sin autorización previa por escrito de T&A.




MODELO LOG-NORMAL La distribución normal juega un papel importante en la medición de riesgos financieros, ya que se constituye como la distribución sobre la cual trabajan gran parte de los modelos financieros. T&A ha considerado el modelo log-normal para la medición de la volatilidad, ya que es un modelo sencillo, fácil de entender y de uso frecuente, que trabaja sobre los retornos logarítmicos de las series de tiempo, asumiendo que la distribución de los mismos tiene un comportamiento normal. Bajo este supuesto, las estimaciones del valor esperado de los retornos y la volatilidad asociada se reducen al cálculo de los dos parámetros más importantes que definen la distribución normal, la media μ y la varianza muestral σ2. Con el cálculo de estos dos parámetros a partir de los retornos logarítmicos de las series históricas, se construye el valor esperado de los retornos como:

μ + Zα*σ En donde Z corresponde al valor de una normal estándar para un determinado nivel de confianza (95% ó 99%) y σ corresponde a la desviación estándar de la muestra seleccionada. La volatilidad calculada bajo este modelo considera la información histórica de la serie, lo cual hace que las variaciones más recientes se vean suavizadas por efecto de la tendencia que arrastran los datos. Es así, como la volatilidad calculada puede estar influenciada por periodos pasados de volatilidades elevadas, cuyo efecto en el tiempo tarda en disolverse. Las volatilidades con las cuales se calcula el VaR para los diferentes activos financieros se calculan tomando las series históricas del último año de los retornos logarítmicos, incluyendo diariamente el último retorno observado. A partir de esta información y con un 99% de nivel de confianza, se calcula la media y la varianza muestral, obteniendo los retornos esperados a partir de la siguiente ecuación: En donde corresponde a la media muestral de la serie, calculada como el promedio simple, corresponde a la desviación estándar muestral de la serie, calculada como la raiz cuadrada de la varianza de los datos.




MODELO DE SIMULACIÓN DE MONTECARLO T&A ha incluido en los modelos de volatilidad el modelo de Simulación de Monte Carlo para el cálculo de las volatilidades esperadas de los factores de riesgo, dado que es uno de los modelos de uso frecuente en la estimación de pronósticos de este tipo de series. Los fundamentos y la metodología seguida en la adecuación de modelos de Simulación de Montecarlo son expuestos en las siguientes secciones, para ofrecer al lector una lectura y entendimiento más amplio de la estructura bajo la cual fueron generadas las simulaciones. JUSTIFICACION Varios han sido los modelos propuestos para la realización de pronósticos sobre series temporales, los cuales son trabajados desde dos enfoques principales. De un lado, se encuentra el enfoque paramétrico sobre el cual se trabajan modelos asociados a distribuciones de probabilidad conocidas, mientras que en el enfoque no paramétrico los modelos propuestos se desarrollan sin necesidad de considerar distribución sino que se basan en los datos históricos de las series para caracterizarlos como tal. El objetivo del presente documento es presentar los fundamentos y la metodología propuesta por un modelo de Simulación de Montecarlo, el cual es empleado como uno de los modelos de cálculo de las volatilidades de los factores de riesgo. SIMULACIÓN DE MONTECARLO El proceso de Simulación de Montecarlo es un proceso basado en la generación de números aleatorios a partir de los cuales se busca crear posibles valores observables en un futuro a partir de un gran número de ensayos. El proceso de simulación asume como tal una distribución de probabilidad a partir de la cual se definen los parámetros que serán tomados como insumo para dar inicio a la simulación. El factor aleatorio será el que permita asignar una probabilidad de ocurrencia a las variaciones basadas en las observaciones históricas de una serie. Esta variación permitirá reconstruir el camino de la serie de acuerdo a las probabilidades de su variación. Cada reconstrucción se denomina simulación y el valor pronosticado corresponde al promedio de un gran número de simulaciones o ensayos (T&A utiliza 10.000). Un ejemplo de los resultados puede observarse en la siguiente gráfica, en la cual se presentan algunas de las simulaciones de Montecarlo para la TRM.




Cada línea corresponda a una simulación sobre la variación del valor del dólar, a partir de la cual se realiza la proyección mediante el cálculo del promedio de los resultados en el periodo determinado. Puede observarse además que, debido a que los datos se dispersan a medida que se alarga la proyección, el intervalo de confianza es cada vez mayor. Explicación de una Simulación de Montecarlo para el caso de Variables Discretas Una variable aleatoria discreta presenta un número limitado de posibles valores, cada uno sujeto a una probabilidad determinada. Suponga que w fuese una variable discreta con 4 valores posibles: En este caso, su función de densidad corresponderá a:

1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

Ago

-05

Sep

-05

Oct

-05

Nov

-05

Dic

-05

Ene

-06

Feb-

06

Mar

-06

Abr

-06

May

-06

Jun-

06

Jul-0

6

Ago

-06

Meses

Valo

r de

la T

RM




La función de distribución sería una gráfica con forma escalonada, que recogería las probabilidades acumuladas: La simulación se realizaría, proyectando horizontalmente los números aleatorios sobre la función de distribución. Por ejemplo, si 0.61 fuese un número aleatorio, al proyectarlo horizontalmente la abscisa correspondiente sería 150. De igual modo se procedería para cualquier otro número entre 0 y 1 generado por el computador. No es necesario elaborar la gráfica anterior para simular una variable de tipo discreto, sino que bastaría con calcular la tabla de probabilidad acumulada y proyectar sobre la misma los números aleatorios. Por ejemplo, el número 0.61 encajaría en el intervalo 0.50-0.85, por lo que le correspondería el valor simulado de 150; si el número aleatorio fuese 0.27, el intervalo sería 0.25-0.50, por lo que w tomaría un valor de 120. METODOLOGÍA SIMULACIÓN DE MONTE CARLO: UN CASO APLICADO A LA TRM Antes de describir la metodología de cálculo de los modelos de simulación de Montecarlo, es necesario tener en cuenta varios aspectos sobre los datos.

Se debe seleccionar una serie de datos suficientemente larga para realizar una

proyección confiable.

El número de periodos a proyectar dependerá del tamaño de la muestra n. Se considera confiable la proyección para un número de periodos aproximadamente igual a la raíz de n.




En caso de que la serie de datos presente fluctuaciones generadas por intervenciones o variaciones bruscas en la economía, se revisan los cambios marcados y se realizan los ajustes al modelo.

Para las proyecciones, se puede trabajar con la serie de variaciones discretas o

continuas de la variable original. Para el ejemplo que será desarrollado, se tomarán los datos de la TRM entre Enero/2002 y Mayo 16/2005, lo cual constituye un tamaño de muestra n = 809. Las proyecciones serán realizadas sobre variaciones discretas de acuerdo con la siguiente formula:

Metodología 1. Definición de intervalos de la serie Inicialmente, la serie de variaciones se divide en un número adecuado de intervalos dependiendo del tamaño de muestra a tomar. Esto es importante para que los datos aleatorios queden distribuidos conservando la distribución propia de la serie. 1 Para el ejemplo, fueron tomados 6 intervalos. Una división menor disminuye la calidad de la simulación, una mayor división no da un aporte significativo. 2. Determinación del Punto Medio en los intervalos Una vez definidos los grupos, se toma el punto medio de cada una de estas partes, ya que éste será el valor de la variación asignada de acuerdo a los números aleatorios generados en el proceso de simulación.

1 Una manera de ver la distribución, dado que se toman variaciones, es revisar el histograma de la serie, ya que éste es construido a partir de un número apropiado de intervalos.

Mínimo -3.0%Máximo 2.8%Amplitud 0.97%

LI LS Punto MedioGrupo 1 -3.0% -2.07% -2.6%Grupo 2 -2.07% -1.09% -1.58%Grupo 3 -1.09% -0.12% -0.61%Grupo 4 -0.12% 0.86% 0.37%Grupo 5 0.86% 1.83% 1.34%Grupo 6 1.83% 2.80% 2.32%




3. Cálculo Frecuencia Relativa Para cada grupo conformado, se calcula la frecuencia relativa a partir del número de observaciones que reúne cada intervalo (Función de Probabilidad). 4. Construcción de intervalos para las proyecciones De acuerdo con la frecuencia acumulada, se construyen los intervalos que servirán de referencia para hacer las proyecciones.

Punto Medio Lim. Inf. Lim. Sup.Intervalo 1 -2,5525% 0 0,25%Intervalo 2 -1,5788% 0,25% 1,49%Intervalo 3 -0,6052% 1,49% 38,61%Intervalo 4 0,3684% 38,61% 95,54%Intervalo 5 1,3421% 95,54% 99,75%Intervalo 6 2,3157% 99,75% 100,00%

Punto Medio Obs. Particip. % Acumul.Grupo 1 -2,5525% 2 0,25% 0,25%Grupo 2 -1,5788% 10 1,24% 1,49%Grupo 3 -0,6052% 300 37,13% 38,61%Grupo 4 0,3684% 460 56,93% 95,54%Grupo 5 1,3421% 34 4,21% 99,75%Grupo 6 2,3157% 2 0,25% 100,00%




5. Generación de Proyecciones Para cada uno de los periodos a proyectar se genera un número aleatorio entre 0 y 1, a partir del cual se asigna a cada periodo la variación promedio que corresponde al intervalo donde se ubica dicho número. Tomando datos a proyectar para Mayo/2005, se tiene lo siguiente: 6. Estimación de Valores Esperados La variación calculada es aplicada al último valor de la serie, a partir de lo cual se obtiene una proyección para el siguiente valor de la serie original. 7. Cálculo de las k-simulaciones El dato real de la TRM el 16 de Mayo fue $2348.93 (última observación de la serie) y es el punto de partida para aplicar las variaciones.

Punto Medio Lim. Inf. Lim. Sup.Intervalo 1 -2,5525% 0 0,25%Intervalo 2 -1,5788% 0,25% 1,49%Intervalo 3 -0,6052% 1,49% 38,61%Intervalo 4 0,3684% 38,61% 95,54%Intervalo 5 1,3421% 95,54% 99,75%Intervalo 6 2,3157% 99,75% 100,00%

Aleatorio Valor Estimado17-May-05 0,5352 0,3684%18-May-05 0,1295 -0,6052%19-May-05 0,7016 0,3684%20-May-05 0,4383 0,3684%

Para Mayo 17, el número aleatorio generado (0.5352) multiplicado por 100 se ubica en el grupo 4 [38.61% - 95.54%], por lo que se asigna la variación promedio de 0.0037 (0.37%)

Para Mayo 18, el número aleatorio generado (0.1295) multiplicado por 100 se ubica en el grupo 3 [1.49% - 38.61%] por lo que se asigna la variación promedio de –0.0061 (-0.61%)

Aleatorio 1 Var. Proy1 Aleatorio 2 Var. Proy217-May-05 0.5352 0.0037 2357.58 0.1534 -0.0061 2334.7118-May-05 0.1295 -0.0061 2343.32 0.7561 0.0037 2343.3219-May-05 0.7016 0.0037 2351.95 0.2784 0.0037 2351.9520-May-05 0.4383 0.0037 2360.62 0.3994 0.0037 2360.6223-May-05 0.0906 -0.0061 2346.33 0.7655 0.0037 2369.3124-May-05 0.9051 0.0037 2354.98 0.1478 -0.0061 2354.9825-May-05 0.8871 0.0037 2363.65 0.6375 0.0037 2363.6526-May-05 0.9938 0.0134 2395.37 0.2252 -0.0061 2349.3527-May-05 0.9789 0.0134 2427.52 0.5294 0.0037 2358.0030-May-05 0.0080 -0.0158 2389.20 0.6054 0.0037 2366.6931-May-05 0.4518 0.0037 2398.00 0.1842 -0.0061 2352.37

1-Jun-05 0.7641 0.0037 2406.83 0.1576 -0.0061 2338.132 J 05 0 0683 0 0061 2392 27 0 5539 0 0037 2346 75

Aleatorio 85 Var. Proy850.6151 0.0037 2357.580.8688 0.0037 2366.270.8828 0.0037 2374.990.6460 0.0037 2383.740.5755 0.0037 2392.520.7204 0.0037 2401.340.0241 -0.0061 2386.810.0354 -0.0061 2372.360.3449 0.0037 2381.100.1781 -0.0061 2366.690.5584 0.0037 2375.410.5513 0.0037 2384.160 5564 0 0037 2392 95

...




8. Obtención de las Proyecciones A partir de las series proyectadas Proy1, Proy2,..., Proy85, se calcula el promedio para cada uno de los periodos siguientes, siendo éste el valor definitivo de la proyección. Adicionalmente, se calcula la desviación y el rango de valores entre los cuales podría fluctuar la TRM en cada periodo. De acuerdo a ello, los resultados obtenidos fueron: Donde, con un α = 1.96 (NC = 95%) se calcula:

Proy1 ... Proy85 Promedio Desviación Mínimo Máximo31-May-05 2265.25 ... 2306.19 2349.80 40.48 2270.46 2429.15

30-Dic-05 2310.10 ... 2255.73 2418.59 156.51 2111.82 2725.36

Mayo 06. 2573.11 ... 2222.30 2504.76 203.77 2105.37 2904.15

ασασ

+=−=

xMáximoxMínimo




MODELOS ARMA-GARCH PARA EL CALCULO DE LA VOLATILIDAD Con el fin de ofrecer modelos de pronóstico mucho más robustos y precisos, T&A utiliza modelos de series de tiempo para el cálculo de las volatilidades, teniendo en cuenta que las series de los activos presentan dependencia en el tiempo, que debe ser tenida en cuenta. Por esto, T&A considera que los modelos más apropiados son los ARMA-GARCH que arrojan resultados mucho precisos y dinámicos en el tiempo. JUSTIFICACION Las series financieras por naturaleza presentan dos características importantes. La primera es la presencia de colas pesadas en la distribución, lo cual se manifiesta en valores elevados de curtosis y que fácilmente puede verse con valores observados que no se presentan con regularidad y que están asociados a grandes cambios no esperados en la volatilidad de las variables financieras, que es precisamente uno de los aspectos importantes que debería recoger el VaR. Un segundo aspecto se encuentra asociado a un comportamiento general que caracteriza la volatilidad de las series y se conoce como clusters de volatilidad (volatility clustering), lo cual indica que las series financieras atraviesan diferentes etapas de estabilidad y volatilidad, esto es, periodos de alta volatilidad son seguidos de periodos de estabilidad, alternando estos dos escenarios a lo largo del tiempo. Muchos de los modelos de pronóstico basan sus resultados en la validez del supuesto de independencia en el tiempo de las series. Sin embargo, las características previamente descritas son indicios de que la varianza no permanece constante en el tiempo, invalidando directamente el supuesto de homoscedasticidad y generando un problema de heteroscedasticidad condicional que es modelado a través de modelos apropiados de series de tiempo. Los modelos GARCH son modelos de volatilidad condicional, especialmente diseñados para modelar la varianza condicional de una serie que se genera por las correlaciones seriales que presentan. Estos modelos son acompañados por modelos ARMA que permiten modelar la media condicional de la serie y sus resultados conjuntos permitirán hacer pronósticos más acertados de una serie. De esta manera, T&A presenta a continuación el desarrollo y definición de los modelos ARMA-GARCH para la estimación de volatilidades esperadas asociadas a los diferentes factores de riesgo en los tres tipos de activos: Renta fija, divisas y acciones. Inicialmente se presenta una base teórica de los modelos ARMA-GARCH y luego se presenta el desarrollo realizado para la definición de modelo para un factor de riesgo en particular.




FUNDAMENTACIÓN DE LOS MODELOS ARMA-GARCH La volatilidad que presentan diversas series, como las variables financieras, hace necesaria la definición de modelos que logren capturar la dinámica temporal caracterizada por la dependencia en el tiempo que hace que la varianza fluctué y por tanto los pronósticos realizados no sean sostenibles. Bajo estas características los modelos que mejor capturan dicho comportamiento son los modelos ARMA y GARCH para modelar la media y varianza condicionales respectivamente. Inicialmente se parte de la definición adecuada de un modelo ARMA con el cual sea modelada la media condicional de la serie y cuyos errores serán el insumo para la determinación del modelo GARCH para la varianza condicional. Box y Jenkins (1970) desarrollaron un cuerpo metodológico destinado a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinámicos de series temporales en los que la variable tiempo juega un papel fundamental. La idea principal es que los propios datos temporales de la variable a estudiar indiquen las características de la estructura probabilística subyacente. Los modelos ARMA son procesos Autorregresivos de Media Móvil, que integran modelos Autorregresivos –AR- y modelos de Media Móvil –MA-, los cuales sirven para caracterizar el comportamiento de una variable yt en el tiempo, modelando la media condicional. La ecuación de un proceso ARMA(p,q) es como sigue:

qtqttptpttt ebebebyayayaay −−−−−− ++++++++= ...... 221122110

En la ecuación, la variable yt es explicada por los p rezagos de la misma variable que es la parte AR y están asociados al conjunto de parámetros ai. De otro lado, están los q rezagos de errores ruido blanco2 que corresponden a la parte MA y asocian parámetros bt. Si la estimación del modelo ARMA es adecuada para la serie, se obtienen residuos independientes en el tiempo que siguen un proceso ruido blanco, característica buscada para la obtención de pronósticos confiables. El proceso de identificación consiste en calcular las funciones de autocorrelación total (FAC) y parcial (FAP) de la serie y comparar sus correlogramas con los correspondientes a los modelos teóricos AR(p), MA(q) o ARMA(p,q). Los correlogramas son gráficos que permiten identificar el proceso que siguen los datos a partir del cálculo de las correlaciones entre los diferentes periodos de tiempo de

2 Un proceso es ruido blanco si cada valor en la secuencia de la variable tiene media cero, varianza constante y se distribuye de manera independiente de los demás valores.




una serie y que son evaluadas por una prueba Q que define los límites bajo los cuales determinar la presencia/ausencia de correlación. En principio, si el proceso está bien identificado, se procede a su estimación y se analizan los correlogramas de los residuos obtenidos en la estimación. Si los residuales no son "ruido blanco", habrá que realizar una nueva identificación del modelo. La siguiente tabla resume ciertas pautas a tener en cuenta para la identificación adecuada del modelo a partir de la revisión del correlograma de la serie. Sin embargo, a pesar de haber modelado las dependencias en el tiempo propias de la variable, es necesario conocer cómo y qué tanto una variable puede llegar a alejarse de su media a lo largo del tiempo. Y es aquí donde entran los modelos GARCH, como herramienta para modelar la volatilidad de una serie con el fin de capturar la correlación serial de los errores al cuadrado, la varianza condicional retardada y el exceso de curtosis que las caracteriza. Una vez son ajustados los errores para que sigan un proceso ruido blanco, se procede a modelar la varianza condicional a través del modelo GARCH, el cual explica la varianza condicional a partir de los errores ruido blanco modelados a través del modelo ARMA y rezagos de la misma varianza, con lo cual se busca estar capturando la volatilidad más reciente de la serie. De esta manera, la varianza condicional se define en función de los rezagos de los residuos al cuadrado y las propias varianzas condicionales rezagadas. La ecuación de un GARCH (p,q) es la siguiente:

qtqtptptt ee −−−− ++++++= 21

21

21

210

2 ...... σβσβααασ

donde σ2

t es la varianza condicional de la serie α0 corresponde a la constante de la varianza condicional α1... αp son los coeficientes del término de error al cuadrado β1... βq son los coeficientes de la varianza condicional rezagada




Para el caso de las series financieras, generalmente es utilizado un modelo GARCH(1,1), el cual puede ser suficiente para capturar la heteroscedasticidad condicional presente. Además, presenta la ventaja de estar reflejando la evolución diaria del mercado, al involucrar las observaciones del periodo inmediatamente anterior y facilitar el pronóstico a 1 día de las series consideradas. Su forma sería como sigue:

12

12

02

−− ++= ttt e σβαασ

Para que la varianza condicional sea positiva, se deben cumplir dos restricciones sobre los coeficientes:

1,0,,0 ≤+≥ βαβαα

DESARROLLO DE LOS MODELOS ARMA-GARCH USADOS POR T&A Con base en el planteamiento teórico de los modelos ARMA-GARCH, T&A presenta el análisis detallado de la manera en que son construidos los modelos de volatilidad para los diferentes factores de riesgo, con el fin de exponer al lector las bases bajo las cuales son generados los pronósticos. El análisis se presenta completo para el plazo de 7 años de la curva cero cupón en pesos (TF2520), con el cual se espera dar las pautas suficientes para analizar los resultados. Descripción de las Series El análisis parte de la selección apropiada la muestra para realizar la estimación de los modelos de volatilidad, una muestra suficientemente larga para recoger los patrones de volatilidad característicos en la serie y que a su vez pudiera explicar de manera eficiente el desempeño de las volatilidades más recientes. Para ello, fueron revisados tamaños de muestra diferentes tomando 6 meses, 1 año, 2 años, 3 años y la historia completa desde Agosto/02. Aunque los resultados obtenidos resaltaron una dinámica de dependencia en el tiempo para periodos similares, el mejor ajuste fue proporcionado por la muestra de dos años de historia. De acuerdo a ello, fueron tomadas las series de retornos logarítmicos para los diferentes factores de riesgo para el periodo comprendido entre Enero/2004 y Diciembre/2005. A continuación se presenta un cuadro resumen con la estadística descriptiva asociada a cada factor de riesgo.




F.R. Media Desv.Est. Mínimo Máximo Curtosis Asimetría J-B* valor-pTF1 -0.00110 0.0321 -0.133 0.123 1.74 -0.16 34.56 0.0000TF90 -0.00111 0.0246 -0.118 0.100 2.23 -0.09 12.81 0.0017TF180 -0.00112 0.0195 -0.107 0.093 3.58 -0.02 6.92 0.0315TF360 -0.00112 0.0138 -0.090 0.081 7.84 0.22 480.45 0.0000TF720 -0.00111 0.0109 -0.068 0.063 8.65 0.73 692.79 0.0000TF1080 -0.00109 0.0107 -0.054 0.056 5.57 0.83 190.39 0.0000TF1800 -0.00105 0.0101 -0.041 0.051 3.80 0.74 57.77 0.0000TF2520 -0.00101 0.0097 -0.042 0.043 3.11 0.59 28.20 0.0000TF5400 -0.00095 0.0151 -0.102 0.063 5.87 -0.63 200.69 0.0000UVR1 -0.01353 1.1421 -5.433 5.324 7.92 0.06 494.22 0.0000UVR90 -0.00478 0.2284 -1.102 1.047 5.02 -0.15 84.83 0.0000UVR360 -0.00290 0.0695 -0.365 0.344 3.88 -0.15 17.48 0.0002UVR720 -0.00228 0.0400 -0.308 0.331 17.70 0.50 4424.00 0.0000UVR1800 -0.00174 0.0290 -0.248 0.265 31.09 0.89 16142.92 0.0000UVR3240 -0.00156 0.0214 -0.197 0.194 31.97 -0.11 17103.42 0.0000UVR3600 -0.00155 0.0210 -0.187 0.180 26.41 -0.45 11182.02 0.0000TRM -0.00043 0.0043 -0.022 0.028 5.98 0.59 209.35 0.0000IGBC 0.00286 0.0138 -0.064 0.083 3.81 -0.33 22.38 0.0000

Tabla 1. Estadística Descriptiva para los factores de riesgo usados por T&A

*J-B: Prueba de Normalidad Jarque-Bera, para validar la hipótesis nula Ho: la serie se distribuye normalmente. Un valor p asociado menor a un nivel α% implica la no normalidad de la serie.

Claramente se puede ver que los vencimientos de la curva cero cupón en UVR presentan una mayor volatilidad respecto a la curva cero cupón en Pesos, ya que hay una mayor dispersión de los datos (desviaciones estándar en promedio más altas). Consecuencia de ello, los datos en la gran mayoría de los factores presentan una distribución leptocúrtica de colas gruesas, reflejada además en valores de curtosis que superan el valor de 3 que caracteriza la distribución normal. Así mismo, los niveles de asimetría se alejan de 0 en casi todos los casos, apoyando los resultados obtenidos bajo la prueba de normalidad Jarque-Bera, en la cual se rechaza en todos los casos la hipótesis de normalidad al 5% de significancia.




Construcción de Modelos ARMA-GARCH: Una aplicación para el nodo en pesos a 7 años La concepción de los modelos ARMA-GARCH apropiados parten del conocimiento de la evolución de la serie en el tiempo y de sus características estadísticas básicas que precisamente verifiquen la pertinencia de trabajar con este tipo de modelos. En esta sección se expone el desarrollo completo del análisis para uno de los nodos de la curva cero cupón en pesos que usa T&A dentro de uno de sus modelos VAR, nodo a 7 años (2520 días), considerado como uno de los factores de riesgo. Análisis Gráfico Inicialmente, resulta apropiado revisar las gráficas de normalidad considerando el histograma de normalidad y el gráfico Q-Q plot, el cual se define como gráfico cuantil-cuantil y busca comparar los cuantiles de una distribución normal para la serie de datos contra la distribución real observada. Gráfico 1. Histograma y Q-Q Plot – Nodo COP a 7 años En el gráfico de la izquierda, se muestra el histograma que refleja el exceso de curtosis que presenta la serie sobre la curva normal. Sin embargo, se resaltan algunos valores no alcanzan a ser considerados por la distribución normal. En el panel derecho, el gráfico Q-Q muestra algunos puntos que se salen de lo que sería la distribución normal (línea recta), presentando colas más pesadas en el lado derecho de la distribución, lado correspondiente a los retornos que representan pérdida para un portafolio.




La revisión de los gráficos son una señal clara de que la varianza de los datos puede no permanecer constante en el tiempo, por lo cual medidas de riesgo que dependan del supuesto de normalidad pueden arrojar conclusiones erróneas respecto al verdadero valor del VeR. Identificación del modelo ARMA Dado que la serie presenta elevados niveles de curtosis que invalidan el supuesto de normalidad, un segundo aspecto a evaluar corresponde a la dependencia en el tiempo que presenta la serie. Para ello, es generado el correlograma de la serie, en el cual se puede observar la función de autocorrelación simple –FAC y función de autocorrelación parcial FACP, de cuyo análisis podrá identificarse el mejor modelo ARMA para modelar la media condicional. Cabe recordar que el correlograma cuantifica los niveles de correlación que se dan entre los diferentes periodos del tiempo. El análisis del correlograma consiste en observar aquellas barras que sobrepasan los límites establecidos por la prueba Ljung-Box (prueba Q) para evaluar correlación temporal, teniendo en cuenta que cada una de las barras representa cada uno de los rezagos de la serie, es decir, la primera barra hará referencia a la correlación con el periodo anterior t-1, la segunda con el periodo t-2, y así sucesivamente. Una salida de las barras de la función de autocorrelación parcial (barras azules) sugiere dependencia de lo observado hoy con lo ocurrido en el periodo correspondiente a dicha barra. Es importante aclarar que, dado que se habla de correlaciones seriales, la presencia de correlaciones fuertes en determinado rezago afectan la correlación con los demás rezagos, sin que ello implique la existencia de correlación con todos los periodos. El correlograma de la serie de retornos se presenta a continuación, teniendo en cuenta hasta 25 periodos atrás.




Gráfico 2. Correlograma Nodo a 7 años El correlograma sugiere la existencia de correlación serial con el rezago 1 y 8, rezagos (señalados por las flechas) en los cuales se sobrepasan los límites de la gráfica. Para mayor precisión, se presentan de manera resumida algunos estadísticos de la prueba Q para algunos de los rezagos, en los cuales es rechazada la hipótesis nula de autocorrelación de orden p (según el rezago) en todos los casos, inclusive al 1% de significancia. Tabla 2. Resumen Pruebas Q – Nodo COP a 7 años

Ljung-Box Q-Statistics

Q(1-2) = 15.7774. Significance Level 0.00005845 Q(8-2) = 25.6969. Significance Level 0.00025352 Q(16-2)= 39.2213. Significance Level 0.00033709 Q(24-2)= 45.4359. Significance Level 0.00233565 Q(32-2)= 61.6454. Significance Level 0.00057931

Niveles de significancia asociados del estadístico de Ljung-Box mucho menores al 5% de significancia, indican la presencia de correlación serial de los datos, invalidando el supuesto de independencia de las series en el tiempo. De acuerdo a ello, es necesario modelar la dependencia en el tiempo que se presenta en la serie, para tener pronósticos acertados.




Según los resultados, el modelo adecuado para modelar la dependencia con los periodos 1 y 8 rezagados corresponde a un modelo AR(1,8), un proceso autorregresivo que explicará la media condicional a partir de los retornos observados el día anterior y 8 días atrás. Para ello, se realiza la estimación del modelo que tendrá la siguiente ecuación:

AR(1,8) → yt = b0 + b1yt-1 + b2yt-8 + et

Donde yt serán los retornos observados en el tiempo t y et serán los errores ruido blanco del modelo cuyo cálculo de acuerdo a la ecuación es el siguiente:

et = yt – (b0 + b1yt-1 + b2yt-8 ) Para verificar que el modelo planteado es adecuado, es necesario analizar cómo se comportan sus errores ya que, como fue mencionado al principio, el buen ajuste del modelo dependerá de las características que tengan los parámetros asociados a los rezagos que explican los retornos y las condiciones que tengan los errores generados en la medida en cumplan con las condiciones de ruido blanco. Esto se verá reflejado en el resumen de la estimación del AR para los parámetros y en la forma que muestre el correlograma para los residuos. Tabla 3. Estimación Modelo AR(1,8) Varias son las cosas a tener en cuenta en los resultados presentados en la tabla 3. En primer lugar, es importante que la estimación del modelo tenga convergencia y que ésta sea en un número no muy alto de iteraciones, de manera que la estimación pueda considerarse confiable y poco inestable. Los resultados muestran que el modelo fue estimado usando el Box-Jenkings planteado por Engle, cuya




maximización es realizada por el método de Gauss-Newton y a partir del cual se obtiene un proceso que converge en apenas 2 iteraciones. En segundo lugar, los parámetros del AR estimados son significativos al 5% de significancia, como bien lo refleja la última columna de la salida, al obtener probabilidades inferiores a 0.05. Esta es una característica favorable para el modelo, ya que seguramente bajo estas condiciones se obtendrán errores ruido blanco adecuados para el cálculo del GARCH. Una vez validado el modelo, es necesario verificar las condiciones de ruido blanco de los errores generados por el modelo ARMA(1,8) para que el modelo sea válido en la realización de pronósticos. Gráfico 3. Correlograma Sobre los residuos del modelo ARMA(1,8) Tabla 4. Resumen Pruebas Q sobre los errores



El ajuste del modelo es bueno en la medida en que los errores generados son independientes en el tiempo, ya que ninguno de los rezagos sobrepasa los límites establecidos por la prueba Q y esto se ve claramente en los altos niveles de significancia de las pruebas.




Planteamiento del modelo GARCH Validando el modelo ARMA adecuado, se construye el Garch a partir de errores ruido blanco previamente obtenidos. Se estima un modelo Garch (1,1) por el método de máxima verosimilitud. Los resultados se observan en la tabla 5. Tabla 5. Estimación de un modelo GARCH(1,1)

En primer lugar, la maximización de los parámetros fue realizada a partir de un proceso que converge en 17 iteraciones, el cual se encuentra dentro del rango esperado de iteraciones necesarias para calcular este tipo de modelos. Es importante mencionar que, particularmente en el programa bajo el cual fueron calculados los parámetros, el límite de convergencia son 40 iteraciones, después de las cuales ya no continua el proceso y arroja los parámetros que logra calcular en la maximización. Teniendo esto como punto de referencia, 17 iteraciones pueden arrojar resultados confiables. Un segundo aspecto a resaltar es la significancia de todos los parámetros considerados en el modelo, tanto la parte AR representada en los parámetros Bi, como la estimación del Garch en los parámetros Ai. Niveles de significancia menores a un 5% así lo verifican. Por último, la varianza obtenida se puede asegurar positiva y estacionaria, ya que los parámetros A1 y A2, que son aquellos asociados a las dos variables que considera el GARCH (errores al cuadrado y varianza rezagados), cumplen con la restricción establecida para estos modelos, esto es, la sumatoria de los valores de los parámetros es menor a 1. Bajo esta estimación, los errores GARCH obtenidos resultan ser independientes en el tiempo y validan las demás condicione ruido blanco buscadas por el modelo. Esto puede verse claramente en el correlograma de los residuos del modelo que se presenta en el gráfico 4.




Gráfico 4. Correlograma de los errores Tabla 6. Resumen pruebas Q – Modelo Garch



Como lo muestran la gráfica7 y la tabla 6, no se encuentra dependencia de ningún rezago en el tiempo, con lo cual el modelo Garch para calcular la volatilidad del nodo de pesos a 7 años arroja resultados confiables para la realización de los pronósticos necesarios para el cálculo del VAR. De esta manera, son calculados los pronósticos de la media esperada de los retornos μ t+1 y de la varianza condicional σ t+1, los cuales para este nodo en particular correspondería a las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta que la variable yt corresponde al retorno observado en el periodo t.

μ t+1 = 0.1184*yt - 0.0367*yt-7

σ2 t+1 = 0.00000762 + 0.2336*e2t + 0.7069*σ2

t

en donde: et = yt - μ t




Los resultados de los pronósticos pueden ser revisados verificando el comportamiento de la Tasa Observada en comparación con la Tasa Estimada mediante los modelos Garch, a manera de Back Testing a los pronósticos obtenidos.

De esta manera se observa que la estimación de la tasa esperada se encuentra por encima de lo observado, sin que se tengan que sobrestimar demasiado las tasas reales. Es así, como la estimación obtenida a partir de los modelos GARCH resultaron apropiadas para pronosticar las tasa esperadas para el nodo en pesos a 7 años. De la misma forma es como T&A a definido un modelo ARMA-GARH para cada uno de los factores de riesgo que usa en sus modelos de VAR. En resumen los factores de riesgo que T&A usa actualmente son:

• 9 vértices CCC en COP, dado en días: 1, 90, 180, 360, 720, 1080, 1800, 2520 y 5400.

• 7 vértices CCC en UVR, dado en días: 1, 90, 360, 720, 1800, 3240 y 3600. • TRM. • IGBC.

6,5

7

7,5

8

8,5

902

-Ene

09-E

ne

16-E

ne

23-E

ne

30-E

ne

06-F

eb

13-F

eb

20-F

eb

27-F

eb

T.Real T.Esp.95% T.Esp.99%

modelos t&a de volatidad - tya.com.co · serie, lo cual hace que las variaciones más recientes...

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