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ModeladoTRANSCRIPT
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Unidad I. Modelos
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Principios de formulacin.
Diseo de Procesos II
Bases. Las bases para los modelos matemticos son las leyesfundamentales de la fsica y qumica, tales como la ley de la conservacin dela masa, energa y momento. En el estudio de sistemas dinmicos se usan ensu forma general con su derivada en el tiempo incluida.
Balance de materia:
Acumulacin = Entradas Salidas + Generacin Consumo
Ley de enfriamiento de Newton:
)( aTTSdt
dQ
dTmcdQ Vm
)( aTTSdt
dTVc )( aTTk
dt
dT
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Diseo de Procesos II
Suposiciones. Posiblemente el rol ms importante que elingeniero juega en el modelado es el ejercicio de su juicio pararealizar las suposiciones que sean vlidas. Un modelo riguroso que incluya cada fenmeno incluso microscpico
podra ser tan complejo que su solucin sera extremadamente tardaday compleja incluso con la capacidad de cmputo actual.
Un modelo demasiado simple, por el contrario podria dejar efectoscruciales de lado y conducir a un erroneo modelamiento de los aspectosbsicos del fenmeno.
El desarrollo de un modelo que incorpore el fenmeno bsico queocurre en el proceso requiere mucha habilidad, ingenio y prctica. Es unrea donde la creatividad e inovacin del ingeniero es un elemento claveen el xito del modelado.
Las suposiciones deben ser cuidadosamente consideradas y listadas, yaque son las limitaciones del modelo.
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Diseo de Procesos II
Tartakovsky, AM; Meakin, P. 2005. A smoothed particle hydrodynamics model for miscible flow in three-dimensional fractures and the two-dimensional Rayleigh-Taylor instability. JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS 207 (2): 610-624.
A visualization (created by Kwan-Liu Ma's Ultra-Scale Visualization group at UC Davis) of water particles in a 3D porous medium, calculated using PNNL's new parallel SPH code. In the visualization, fluid particles are colored by the local velocity magnitude, with red tones representing high velocity, and solid particles have been removed for visual clarity. This simulation used seven million computational particles and was run on the MPP2 supercomputer at PNNL's Environmental Molecular Sciences Laboratory using 500 processors.
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Diseo de Procesos II
Computational Fluid Dynamics (CFD)
Mesh-based (e.g., finite volume) numerical methods for simulating fluid flow in complex geometries have been applied to pore-scale flow simulation. Using both commercially-available codes (e.g., StarCD) and our own in-house code (Tethys) to simulate these complex problems on parallel computing systems. Below are some visualizations of streamlines (indicated by particle paths) and velocity distributions (colored plane) in simulated pore-scale flow systems.
Tim Scheibe (Science Application Lead)Pacific Northwest National LaboratoryP.O. Box 999(Courier: 3200 Q Avenue)MS K9-36Richland, WA 99352
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Diseo de Procesos II
Modelo de gas
ideal
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Diseo de Procesos II
Consistencia matemtica del modelo. Una vez
que todas las ecuaciones del modelo matemtico han
sido escritas, generalmente es una buena idea,
particularmente con sistemas de ecuaciones grandes
y complejos revisar que el nmero de variables sea
igual al nmero de ecuaciones.
Los llamados grados de libertad deben ser cero para poder
obtener una solucin nica (sobre especificacin o sub
especificacin).
Revisar la consistencia de unidades, parece trivial pero es
crucial en la consistencia de los resultados.
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Diseo de Procesos II
Solucin a las ecuaciones del modelo.
Llevar el modelo a formas estndar para la aplicacin de alguna
tcnica de solucin.
Un modelo sin alternativa de solucin no es de mucha ayuda.
Verificacin.
Comprobar la prediccin del modelo con algo conocido.
bAx 0)( xf
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Diseo de Procesos II
Problema Real
Abstraccin
Modelo matemticoAnlisis numrico
o
Simulacion
Interpretacin
de
resultados
Variables,
condiciones
Leyes fundamentales
Mtodos
numricos
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Diagrama de proceso, lo que vemos modelos, nos dice como se comporta lo que
vemos
Diseo de Procesos II
Reactor
F kg/hr
T C
P Pa
xi
Tren de separacin
Pureza
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Diseo de Procesos II11
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Problema de motivacin
Diseo de Procesos II
Variacin de la concentracin sangunea de glucosa.La infusin de glucosa por va intravenosa es una tcnica mdica importante. La concentracin de glucosa en el torrente sanguneo depender de la cantidad de glucosa inyectada y la cantidad de glucosa presente en el paciente, las que variarn en funcin del tiempo transcurrido.Para estudiar este proceso, definimos G (t) como la cantidad de glucosa presente en el torrente sanguneo de un paciente a tiempo t. Suponga que la glucosa se suministra al sistema sanguneo a un ritmo constante de c gramos por minuto. Al mismo tiempo la glucosa se metaboliza y se separa de la sangre a una tasa proporcional a la cantidad de glucosa presente. Entonces la funcin G (t) satisface la ecuacin:
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Diseo de Procesos II
Problema de motivacin
Un tanque es utilizado para remover una pequea cantidad de partculasslidas (impurezas) de salmuera en un proceso en estado estable.Normalmente, una corriente de salmuera (20% de sal en peso) esbombeada dentro de un tanque a razn de 10 kg/min y una corriente desalida es bombeada del tanque a la misma razn de flujo. La operacinnormal guarda un nivel constante con la masa total en el tanque de 1000 kgque est muy debajo de la capacidad mxima del tanque.
A t=0 un operador, accidentalmente!!, abri una vlvula que causa queagua pura fluya continuamente dentro del tanque a razn de 10 kg/min (enadicin a la salmuera alimentada) y el nivel del tanque comienza a subir.
Determine la cantidad de agua y sal en el tanque como funcin del tiempodurante la primera hora despus que la vlvula fue abierta. Suponga que sesaca la misma cantidad y el contenido esta bien mezclado.
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Diseo de Procesos II
10 kg/min
20% sal en peso
10 kg/min
10 kg/min
tiempo
Masa
Sal
1 hora!!
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Diseo de Procesos II
Hacemos balances de materia
Ac = entradas salidas
dM/dt = existe??
dS/dt= existe??
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Diseo de Procesos II
Hacemos balances de materia
Ac = entradas salidas
dM/dt = 10+10-10 = 10 kg/min
dS/dt= 10(0.2) 10 (S/M) kg/min
dM/dt= 10 dS/dt= 2-10(S/M)
Ahora que tenemos las ecuaciones que describen el cambio de sal en el tanque en funcin del tiempo, qu ms sabemos?
La concentracin inicial S= (1000 kg)(0.2)
La masa inicial en el tanque M = 1000 kg
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Diseo de Procesos II
Modelo
dM/dt= 10dS/dt= 2-10(S/M) kg/min
Condiciones iniciales
@t=0 M=1000 kg, S=200 kg
Ahora como lo resolvemos?
Integracin numrica:
Euler
Runge-Kutta
Adams-Mouler
Etc, etc
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Diseo de Procesos II
Mtodo de Euler Forma del problema
y(t)=f(t,y(t))
y(0)=y0
Mtodo:
yn+1=yn + h f(tn,yn)
Para calcular el proximo valor de la variable (y), necesito el valor anterior
mediante una proyeccin de la curva tangente con un tamao de paso,
que puede ser fijo o variable.
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Diseo de Procesos II
Efecto del tamao de paso
195
200
205
210
215
220
225
0 10 20 30 40 50 60
t, min
S, k
g
h=0.1
h= 1
h=2
h=5
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Diseo de Procesos II
Sin embargo considere la ecuacin:
y(t)=-15y(t), t>=0, y(0)=1
por el metodo de Euler
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
h=0.05
h=0.125
h=0.25
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Balance de materia en una destilacin por lotes
Diseo de Procesos II
Un destilador pequeo esta separando propano y butano a135C, en un principio contiene 10 kg mol de una mezcla cuyacomposicin es x=0.30 (x=fraccin molar de butano). Sealimenta mezcla adicional (xF=0.3) a razn de 5 kg mol/h. Si elvolumen total del lquido en el destilador es constante y laconcentracin del vapor del destilador (xD) esta relacionadacon xS como sigue:
S
S
Dx
xx
1
Cunto tardar el valor de xS en cambiar de 0.3 a 0.4?
Cul ser el valor de estado estacionario (equilibrio) de xS en el destilador?
condensadordestilador
Flujo 5kg mol/h
xF=0.30
xD
xS
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Diseo de Procesos II
Suposiciones razonables?
El butano y el propano forman soluciones ideales, entonces no
tenemos por que preocuparnos por cambios en el volumen
por cambios de composicin.
Acumulacin = entradas salidas consumo + generacin
))(5()3.0)(5()(
D
s xdt
Mxd
M= 10 kg mol
)1
)(5()3.0)(5()(
S
Ss
x
x
dt
Mxd
dos variables
una ecuacin, una variable
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Solucin por Euler
Diseo de Procesos II
Las ecuaciones diferenciales se dice que son Autnomas cuando la funcin f
del lado derecho no depende explcitamente de la variable independiente del
tiempo t. En trminos ms claros, la ecuacin diferencial es autnoma cuando
f(t,x) = g(x).
Cuando f depende de manera explcita de la variable independiente del
tiempo t, la ecuacin diferencial se denomina no autnoma.
Hay dos formas de visualizar el resultado de la integracin numrica de as
ecuaciones diferenciales: las grficas de serie de tiempo y las grficas de
espacio fase. Ambos se basan en interpretar la derivada dx/dt como la
pendiente de una recta tangente o como la velocidad de una partcula.
),( xtfdt
dx
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Diseo de Procesos II
En un reactor isotrmico tienen lugar las siguientes reacciones:
BY
YYX
XXA
k
k
k
3
2
1
2
2
Donde A es el reactivo inicial, X e Y son especies intermedias y B es el producto
final de la reaccin. El reactivo A se mantiene en un valor constante
comenzando con tal cantidad de A que slo X, Y y B varan con el tiempo.
Deduzca las ecuaciones de balance de materia en estado no estacionario que
predicen el cambio de X e Y en funcin del tiempo para las condiciones iniciales
CX(0)=30 y CY(0)= 90 (C denota concentracin). Los valores de las constantes k
son: k*1=70, k2=1 y k3=70.
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Diseo de Procesos II
Primero, qu est cambiando?
La concentracin producto de la reaccin.
De quin nos estn preguntando?
De X e Y.
YYXY
Y
YXXAX
X
CkCCkdt
dC
consumogeneracinsaleentradt
dC
CCkCCkdt
dC
consumogeneracinsaleentradt
dC
32
21
00
00
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Diseo de Procesos II
Podemos simplificar las ecuaciones a:
YYXY
YXXX
CkCCkdt
dC
CCkCkdt
dC
32
2
*
1
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Diseo de Procesos II
CX
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
CY
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
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Diseo de Procesos II
Espacio fase
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200
CX
CY
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Diseo de Procesos II
Campo de vectores
M N( )29