Modelo deLagrangeDefinicin:Sean f , g: IR IRdosfuncionesenunavariablecontinuaydiferenciable definida en todo su dominio. Entonces todo modelo de la forma:y=xf ( y ) +g( y ) x=yf ( x ) +g(x )Se llama modelo de Lagrange.Observaciones:i. f y gson funciones diferenciables y continuas.ii. f y ges una funcin en una variable.iii. Para determinar su integral general se hace un cambio de variable.y =p, p es un par metro Si y =pdy=pdxiv. El cambiodevariabley=ptransformael modelodeLagrangeaelmodelo de una ecuacin lineal no Homognea.v. La solucin general de este modelo es:x=( p, c) y=( p, c) f ( p)+g( p) , donde pesun parmetroModelo deClairautDefinicin: Sean f , g: IRIR dos funciones en una variable continua y diferenciable definida en todo su dominio. Entonces todo modelo de la forma:y=xy +g( y )Se llama modelo de Clairaut.Observaciones:i. ges una funcin continua diferenciable.ii. Este modelo es una consecuencia del modelo de Lagrange.iii. Entoncesparadeterminarsusolucingeneral sehaceuncambiodevariable.y =pdy=pdxiv. Este modelo tiene dos tipos de soluciones:a) Solucin general en su forma paramtrica.b) Solucin singular que es un protector de la solucin general.PROB. 1: Determinar la Ecuacin eneral de y=xy +a1+( y )2 ! a es una constante. a0Resolucin:i. Es un modelo de CLAIRAUT.Entonces hacemos un cambio de variable y =p donde ! es un !ar"metro.y =p dy=pdxii. Tomemos: y=xy +a1+( y )2y=xp+a1+p2dydx=p dxdx+x dpdx +a 2 p dpdx21+p2dydx=(pdx+xdpdx)+apdp1+pxdxdy=pdx+xdp+ apdp1+p2pdx=pdx+xdp+ apdp1+p20=xdp+ap1+p2dpxdp+ap1+p2 dp=0 (x+ap1+p2)dp=0 x+ap1+p2=0dp=0iii. Tomemos:dp=0dp=c p=civ. Tomemos:x+ap1+p2=0x= ap1+p2Pero p"cx= ac1+c2v. Pero: y=xp+a1+p2y=xc+a1+c2y= ac21+c2+a1+c2y=ac2+a( 1+c2)1+c2y=ac2+a+ac21+c2y=a1+c2La SolucinGeneral es:x= ac1+c2y=a1+c2LaSolucin parametricax= ap1+p2y=xp+a1+p2vi. Hallando la solucin singular !ara esto debemos eliminar la constante #c$ o el !ar"metro #!$.Tomemos: y=a1+c2y 1+c2=a y2( 1+c2)=a21+c2=a2y2c2=a2y21c2=a2y2y2Tomemos:x= ac1+c2x2= a2c21+c2x2( 1+c2)=a2c21+c2=a2c2x2x0 1+c2c2 =a2x2 1c2+1=a2x2 1c2=a2x21 1c2=a2x2x2c2=x2a2x2vii. %e:c2=a2y2y2c2=x2a2x2a2y2y2=x2a2x2&a2y2( a2x2)=x2y2a4a2x2a2y2+x2y2=x2y2a2( a2x2y2) =0 a2x2y2=0x2+y2=a2(!sla solucin singular es decir un protector)