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MODELO HÍBRIDO DE ELEMENTO FINITO PARA EL ANÁLISIS MECÁNICO
DE REDES DE PERCOLACIÓN
M. L. Pérez-Rea.UAQE. Martínez González. IIE
Octubre de 2005
Flory [4] y Stockmayer [5] desarrollon los procesos de percolación paradescribir la reacción de moléculas ramificantes que formabanmacromoléculas.
Broadbent y Hammersley [6] trataron con el concepto de la dispersión de partículas de fluido hipotéticas a través de un medio aleatorio, utilizando la teoría de percolación.
Mecanismos de la dispersión de un fluido a través de un mediodesordenado:
A) Proceso de difusiónB) Se atribuye al medio, en un proceso de percolación.
El medio, donde se lleva el fluido puede ser el espacio poroso de una roca, un suelo, un arreglo de árboles o el mismo universo.
El rápido desarrollo de la teoria se consider que se debio se apreció el papel de la interconectividad de elementos microscópicos y sus efectos en las propiedades macroscópicas.
TEORIA DE PERCOLACIÓN
La teoría de percolación clásica se centra alrededor de dos problemas.
- En el problema de percolación enlazada (o consolidada) donde los lazos de la red están ocupados aleatoriamente e independientemente de los otros con probabilidad p.
- O están vacantes (están cerrados al flujo o corriente, o han sido conectados, son elementos aislantes de un compuesto, etc.) con probabilidad 1-p.
“umbral de percolación enlazada (ó consolidada) pcb”(valores de p bien definidos, transición una estructura macroscópicamentedesconectada a una conectada; )
“ umbral de percolación de sitio pcs(para una red grande, estas asignaciones son equivalentes a remover una fracción 1-p para todas las ligas al azar)
TEORIA DE PERCOLACIÓN
La fig. 1 muestra algunas redes bidimensionales regulares. En las tablas 1 y 2 se resumen estimaciones típicas de pcb y pcs para redes bi- y tri-dimensionales respectivamente. En general, pcb≤pcs.
TEORIA DE PERCOLACIÓN
Fig. 1 Algunas redes regulares. (A) Red de Bethe (Z=3). (B) Red de panal (Z=3).(C) Red cuadrada (Z=4). (D) Red Kagomé (Z=4). (E) Red triangular (Z=6). Z es la
conectividad del sistema.
Tabla 1. Valores típicos aceptados del umbral de percolación de algunas redes bi-dimensionales.
TEORIA DE PERCOLACIÓN
Red Z pcb pcs Panal 3 1 - 2 sen (π/18) ≅ 0.6527* 0.6962 Cuadrada 4 1/2* 0.5927 Kagomé 4 0.522 0.652 Triangular 6 2 sen (π/18) ≅ 0.3473* 1/2*
Red Z pcb pcs Diamante 4 0.3886 0.4299 Cúbica simple 6 0.2488 0.3116 BCC 8 0.1795 0.2464 FCC 12 0.198 0.119
Tabla 2. Valores típicos del umbral de percolación de algunas redes tridimensionales.
Probabilidad de percolación P(p). Esto es, la probabilidad que, cuando una fracción de ligas ocupadas es p; un sitio dado pertenece al racimo (muestra-puente) infinito de ligas ocupadas.
Fracción accesible XA(p). Esto es, la fracción de ligas ocupadas pertenecientes al racimo infinito.
Fracción de soporte XB(p) Esto es, la fracción de ligas ocupadas en el racimo infinito, el cual actualmente lleva el flujo o la corriente, desde alguna de las ligas en el racimo son terminadas y no pueden llevar ningún flujo.. Longitud de correlación ξp(p), Esto es el radio típico de los racimos
conectados para p<pc, y la escala de longitud sobre la cual la red aleatoria es macroscópicamente homogénea Conductividad eléctrica efectiva ge. Esto es la conductividad eléctrica de una red de resistencia aleatoria en la cual una fracción p de ligas es conducente y el resto son aislantes.
Módulo elástico efectivo E. Esto es el módulo elástico de la red en el cual una fracción p de las ligas son elementos elásticos (p. ej.- resortes), mientras que el resto no tienen rigidez (están cortados).
TEORIA DE PERCOLACIÓN
El material a modelar considerado en este trabajo es suelo, pero la metodología puede aplicarse a otros medios porosos.
El comportamiento del suelo ha sido tradicionalmente modelado con teoría de elasticidad con resultados aceptables.
Las propiedades básicas del suelo pueden ser determinadas utilizando técnicas de caracterización tales como la microscopía electrónica, difracción de rayos X y análisis térmicos.
Una vez que porosidad del suelo ha sido modelada con la teoría de percolación, el método del Elemento Finito (FEM) puede ser aplicado para el análisis del comportamiento mecánico.
Análisis de micromecánica facilitan la comparación entre los resultados obtenidos con el modelo de elemento finito y los reales.
PROPIEDADES ELÁSTICAS DE SISTEMAS PERCOLANTES.
Para este trabajo se consideraron dos redes regulares en 2D:
a) La red cuadradab) La de estructura hexagonal o panaloide, en sistemas de percolación de
lazos.
Cada lazo representa partículas individuales de arcilla, las cuales tienen dos dimensiones pequeñas y una grande, de 1 y 10 micrones de tamaño medio, respectivamente.
Las dimensiones fueron determinadas mediante microscopía electrónica de barrido.
La suposición de una sección rectangular para estas vigas obedece a que las partículas de arcilla tienen forma de placas y los poros tienen paredes planas lo cual se dedujo indirectamente de la forma de la isoterma de adsorción en la caracterización de la porosimetría con nitrógeno líquido
Cada una de las partículas de arcilla (montmorilonita, en este caso), tiene E=150 GPa , Poisson ν=0.35.
PROPIEDADES ELÁSTICAS DE SISTEMAS PERCOLANTES.
Keedwell,1984 y Skempton, 1961 La hipótesis principal supone que la transmisión de los esfuerzos dentro de la masa del suelo se lleva a cabo, a nivel microscópico, a través de los puntos de contacto entre los granos, los cuales podrían ser considerados como uniones de tipo rígido (en suelos con bajos contenidos de humedad. y bajo la suposición de que todos los poros se encuentran interconectados entre sí; se tiene un compósito de dos fases:
la fase sólida, la cual constituyen los granos de arcilla dispuestos en diferentes estructuras, y la fase vacía, la cual constituye el aire dentro de los poros. En este sistema, se espera que el umbral de rigidez debe ser idéntico al umbral de percolación geométrico de la fase rígida constituida por los granos de arcilla.
El esfuerzo externo total será soportado por el esqueleto de este agregado. p, representa entonces la parte sólida del suelo, y (1-p) representa la porosidad, la cual también puede ser llamada parte “muerta” de la estructura, ya que no contribuye a la resistencia a la deformación del sistema.
PROPIEDADES ELÁSTICAS DE SISTEMAS PERCOLANTES.
MODELO DE ELEMENTO FINITO APLICADO A REDES
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+−
+−
+
+−
++−
+−
−
+−
+−
++
+
+−
+−
++
−
=
φφ
φφφ
φ
φφφφ
φφ
φφφ
φ
φφφφ
14
160
12
160
16
1120
16
1120
0000
12
160
14
160
16
1120
16
1120
0000
22
2323
22
2323
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LAE
LAE
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LAE
LAE
Kl
(1)
Donde: A= área de la sección transversal E= módulo elástico L = longitud del elemento I = momento de inercia
El factor de forma es 2
12LGA
EIs=φ ; el cual toma en cuenta el efecto de la rigidez por
cortante para vigas prismáticas de sección rectangular.
G = módulo de cortante
ss
FAA = = área de cortante
Fs= constante de deflexión por cortante
Para una armadura en 2D para el análisis de cargas y momentos, el análisis de las deflexiones en cada uno de los elementos toma en cuenta las secciones estructurales de las vigas..
Las consideraciones para desarrollar el algoritmo fueron las siguientes:las redes de lazos con un solo material con las propiedades elásticas de los granos de arcilla, al cual se llamó “Material 1”.
Se introdujo otro material con propiedades idénticas al que se denominó“Material 2” y que en el futuro representará a los huecos del suelo.
Para minimizar la participación de la parte “muerta” en el modelo, se redujo su rigidez en 1x10-8. Ésto significa que el “material 2” se vuelve una parte extremadamente “suave” dentro de una estructura rígida cuyo esqueleto resistente son todos los lazos de “material 1”..
MODELO DE ELEMENTO FINITO APLICADO A REDES
RESULTADOS
Fig. 2 Red rectangular para p=0.70. Los lazos rojos son los ocupados con probabilidad p y son de “material 1”. Los lazos verdes son de “material 2”. Cada lazo es un elemento finito viga, las presiones y las restricciones nodales también están representadas en la figura. (Original en colores)
RESULTADOS
La figura 3, es del mismo tipo que la 2 para el caso de una red hexagonal de lazos. Las figuras se encuentran tal y como aparecen en el paquete de computación; únicamente los textos fueron editados para que las leyendas aparezcan en idioma español al ilustrar el método.
RESULTADOS
Fig. 4. Resultados del análisis por el método del elemento finito de la red cuadrada. En la figura se muestran tanto la configuración original como la configuración deformada para p=0.70.
RESULTADOS
Fig. 5. Resultados del análisis por el método del elemento finito de la red hexagonal. En la figura se muestran tanto las configuración original como la configuración deformada para p=0.70.
RESULTADOS
Fig. 6. Desplazamientos verticales en los nodos para una red cuadrada en p=0.70.
RESULTADOS
Fig. 7. Desplazamientos verticales en los nodos para una red hexagonal en p=0.70.
RESULTADOS
Fig. 8 Comparación entre los resultados obtenidos con el modelo híbrido de Percolación-MEF para la red cuadrada y la red hexagonal vs. los
resultados medidos en laboratorio del módulo elástico en función de p.
CONCLUSIONES
Hasta ahora, los modelos de percolación han sido únicamente aplicados a medios porosos para modelar propiedades hidráulicas y de conductividad eléctrica; sin embargo, pueden tener un gran potencial en el campo de la modelación de comportamiento esfuerzo-deformación de materiales.
La estructura de un medio poroso depende de su heterogeneidad y la escala de longitud a la cual el medio es inspeccionado. La caracterización aquí mencionada se refiere a medios porosos macroscópicamentehomogéneos (aunque microscópicamente sean desordenados) y cuyas propiedades son, para una muestra lo suficientemente grande, independientes de su dimensión lineal.
La Percolación proporciona una herramienta para la interpretación de datos experimentales y la comprensión de la estructura de medios porosos. La teoría de percolación abre el camino para la modelación de medios porosos . Y la combinación de la teoría de precolación con herramientas numéricas poderosas como el método del elemento finito, permiten modelar el comportamiento de materiales que, si bien no son macroscópicamente continuos, pueden ser analizados como un medio contínuo a nivel microscópico.
REFERENCIAS
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M. L. Pérez-Rea.[1] Universidad Autónoma de Querétaro, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería, Cerro de las Campanas S/N, Col. Niños Héroes, Querétaro, Qro. México. C.P. 76010, e-mail: [email protected]
E. Martínez González. Instituto de Investigaciones Eléctricas. Gerencia de Materiales y Procesos Químicos. Laboratorio de Pruebas No Destructivas. Reforma No. 113, Col. Palmira, Cuernavaca, Morelos, México, C.P. 62490,
e-mail: [email protected]