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UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

MODELO APLICADO DE TEORIA DE JUEGOS PARA EL ESTUDIO DELCRIMEN EN LA VIA PUBLICA

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER EN GESTION DE OPERACIONES

MEMORIA PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL

JOSE LUIS LOBATO VARGAS

PROFESOR GUIA:RICHARD WEBER H.

MIEMBROS DE LA COMISION:NICOLAS FIGUEROA G.

JOSE MIGUEL BENAVENTE H.FERNANDO ORDONEZ

SANTIAGO, CHILEJULIO 2009

En memoria de Andres “Sam” Cifuentes,estudiaremos matematicas en el mas alla.

I

Agradecimientos

Este trabajo culmina una etapa de mi vida que duro siete anos. Esta, sera recordada no solo porla formacion profesional que obtuve, sino por las grandes personas que me acompanaron y conocı,que me dieron amistad, sabidurıa y experiencias inolvidables.

En primer lugar, quiero agradecer a los profesores Richard Weber y Nicolas Figueroa, que meguiaron en el desarrollo de este trabajo. Valoro la formacion que me entregaron, distinta a la ob-tenida en todos los cursos que realice, con entusiasmo, sabidurıa, agrado y confianza. Agradezcotambien la mirada cientıfica y la sed de investigacion que me trasmitieron en las reuniones y traba-jos que participe junto a ellos. Tambien quiero dar un especial agradecimiento a los otros miembrosde la comision: Fernando Ordonez por aportar significativamente en la formalizacion de los mode-los matematicos aca planteados y Jose Miguel Benavente por contribuir en la fuente de datos en estainvestigacion y en el trabajo de ellos. De la misma manera, agradezco al Director del grupo CEA-MOS, el profesor Raul Manasevich por darme la oportunidad de trabajar y ser partıcipe del grupoy tambien aportar en mi experiencia conociendo centros de estudios extranjeros. Destaco tambienel apoyo del Ministerio del Interior, tanto en el financiamiento parcial como en la transmision deexperiencia para este estudio.

Por otra parte, quiero agradecer a Fernanda, por su presencia durante toda mi carrera, comopareja, amiga y companera. Su companıa fue indispensable para mi goce (y desempeno) en laUniversidad. Quiero dar un especial agradecimiento a ella por el peer review que hizo en esteescrito. Gracias por tu infinita paciencia.

Agradezco a mis grandes amigos presentes en este perıodo, de plan comun Gaston, Mey, Dibi,

II

Rodrix, Pancho, Pauli y Daniel. De industrias, Cristian, Felipe, Fernando, entre otros. Tambien aSebastian, Tania y los otros miembros del PHD por el aprendizaje y los gratos momentos vividos.

Finalmente agradezco a mi familia, por el apoyo incondicional y comprensivo sobre todo en losmomentos difıciles, que permitieron dedicarme principalmente en mi rol como joven estudiante.

III

Resumen Ejecutivo

La criminologıa es el estudio cientıfico del crimen e integra multiples disciplinas, tales comola sociologıa, la economıa y las matematicas entre otras. Todas estas materias aportan desde susvisiones en el entendimiento del fenomeno y evidencian la complejidad inherente del problema.Por su parte, la teorıa de juegos ha contribuido en la comprension del crimen desde un punto devista de interaccion entre agentes con intereses contrapuestos (e.g., cometer y evitar delitos). Sinembargo, la mayorıa de sus estudios han carecido de evidencia empırica que la consolide como unateorıa con aplicabilidad practica en criminologıa.

En este trabajo se plantea un modelo de teorıa de juegos que emula la interaccion entre crimi-nales y policıas y una metodologıa para su aplicacion, basada en minerıa de datos, para ajustar talmodelo segun datos reales de denuncias de delitos, permitiendo plantear y calcular estrategias deaccion optimas para la policıa, considerando la reaccion criminal a posteriori.

El modelo se construye en base a teorıa de juegos en grafos, conocido en la literatura comoselfish routing en redes. La aplicacion del modelo, se realiza segun una metodologıa que utilizaherramientas de clustering (particularmente k-medias) para determinar las estrategias criminalessegun datos reales y un algoritmo de calibracion de parametros del grafo, especıficamente sobre lasfunciones de costos, que minimiza las diferencias entre el equilibrio de Nash teorico y el empırico.Las estrategias optimas de la policıa se determinan maximizando el costo total del grafo, conside-rando en la formulacion la reaccion criminal posterior.

La metodologıa se aplica utilizando los datos de denuncias de delitos de la Primera Comisarıade Santiago para la obtencion de estrategias criminales y para la simulacion de datos de asignacionde recursos policiales. Esta metodologıa se realiza sobre cinco escenarios, con el fin de alcanzaruna comprension amplia del fenomeno y resultados mas robustos. Los resultados para cada es-cenario se analizaron en terminos de los valores de los parametros obtenidos y en las estrategiasoptimas de la policıa. En todos ellos, se obtuvieron distribuciones optimas de recursos policialescon mejoras significativas respecto a los casos originales y permitieron evaluar las diferencias deestas asignaciones bajo los escenarios propuestos.

Este trabajo sugiere futuros desafıos tanto en dimensiones teoricas como practicas. Desde elpunto de vista teorico, la profundizacion en el modelo teorıa de juegos en grafos, los modelosde optimizacion y los algoritmos de calibracion de parametros, permitiran robustecer y validar lainvestigacion. En la dimension practica, dada la flexibilidad en la metodologıa de aplicacion, elmodelo puede complementarse con conocimiento experto, abriendo las puertas a posibles imple-mentaciones y aplicaciones reales.

IV

Indice general

Resumen Ejecutivo IV

1. Introduccion 1

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Metodologıa del Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Estructura del Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Estudios Cuantitativos del Crimen 7

2.1. Criminologıa Cuantitativa en los Tiempos Modernos . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. La Economıa y el Crimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2. Otros Enfoques Matematicos en Estudio del Crimen . . . . . . . . . . . . 11

V

INDICE GENERAL

3. Marco Teorico: Teorıa de Juegos y Selfish Routing 17

3.1. Selfish Routing en Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. El Precio de la Anarquıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Funciones de Costos con Efectos de Congestion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Modelo de Teorıa de Juegos para los Agentes Criminales y la Policıa 27

4.1. La Interaccion entre los Criminales y la Policıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2. El Modelo: Un Enfoque Selfish Routing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1. El Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2. Estrategia Policial Optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Metodologıa de Aplicacion del Modelo Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Aplicacion del Modelo Teorico 40

5.1. Metodologıa aplicada en la Primera Comisarıa de Santiago . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Robustez de la Metodologıa de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6. Resultados y Analisis 51

6.1. Resultados del Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2. Resultados del Caso Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

VI

INDICE GENERAL

6.2.1. Calibracion de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2.2. Calculo de la Estrategia Optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3. Resultados del Analisis de Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3.1. Calibracion de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3.2. Calculo de la Estrategia Optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7. Conclusiones y Trabajos Futuros 69

7.1. Modelo de Teorıa de Juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.2. Metodologıa de Aplicacion del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.3. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4. Futuros Desafıos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.4.1. Extensiones Teoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.4.2. Extensiones Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Bibliografıa 80

Anexos 86

A. Estadısticas y Analisis de los datos 86

VII

INDICE GENERAL

A.1. Estadısticas de denuncias de delitos enero 2001- febrero 2008 . . . . . . . . . . . 86

A.2. Estadısticas de la Primera Comisarıa de Santiago junio 2006 - mayo 2007 . . . . . 89

B. Resultados Clustering 93

B.1. Centroides para Clusters de 5, 6 y 9 Clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

B.2. Analisis Detallado Clustering C7 y C8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.2.1. Clustering C7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.2.2. Clustering C8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

C. Complemento de Resultados Analisis de Robustez 100

D. Algoritmos y Codigos 102

D.1. Algoritmo k-medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

D.2. Codigos Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

D.2.1. Funciones BPR y CCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

D.2.2. Equilibrios de Wardrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

D.2.3. Algoritmo de Calibracion de Parametros con Equilibrio de Wardrop . . . . 103

D.2.4. Algoritmo de Calibracion de Parametros con Mınimo Costo . . . . . . . . 106

D.2.5. Algoritmo de Optimizacion de Recursos Policiales frente a Criminales Or-ganizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

VIII

Indice de figuras

1.1. Grafo del Modelo de Interaccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Mapa de Guerry del estudio del crimen en Francia e Inglaterra (1864). . . . . . . . 8

2.2. Hot-spots en el Centro de Santiago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Simulacion dinamica de hot-spots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1. Ejemplo de Pigou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Paradoja de Braess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Grafico de la funcion BPR para distintos valores de β. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Grafico de la funcion CCF para distintos valores de β. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Comparacion grafica entre las funciones BPR y CCF . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1. Grafo de elecciones criminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1. Area responsable de la Primera Comisarıa de Santiago. . . . . . . . . . . . . . . . 42

IX

INDICE DE FIGURAS

6.1. Transformacion de variable “Rango Horario”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2. Serie de Matrices Xreal y A para C7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1. Grafo de elecciones con acciones lıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2. Grafo basado en Red Espacio-Temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.1. Tipos de delitos denunciados enero 2001 - febrero 2008. . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2. Distribucion anual de denuncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.3. Distribucion mensual de denuncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.4. Distribucion semanal de denuncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.5. Tipos de delitos denunciados primera comisarıa desde junio 2006 a mayo 2007. . . 89

A.6. Serie junio 2006 - mayo 2007 de denuncias de delitos primera comisarıa. . . . . . 89

A.7. Distribucion semanal de denuncias datos primera comisarıa junio 2006 - mayo 2007. 90

A.8. Distribucion horaria de denuncias de delitos primera comisarıa junio 2006 - mayo2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.9. Distribucion de denuncias por cuadrantes datos primera comisarıa junio 2006 -mayo 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.1. Serie de Matrices Xreal y A para C8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

C.2. Grafico β calibrados C7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

X

Capıtulo 1

Introduccion

El estudio del crimen visto como un fenomeno social es llamado en las ciencias sociales cri-

minologıa. Recientemente, esta materia ha logrado tener su propia identidad cientıfica aunque laproblematica ha sido estudiada desde muchos siglos atras, incluso en los tiempos de la Grecia an-tigua. En general, los estudios criminologicos se realizan desde las ciencias que se encargan deentender el comportamiento humano y provienen de las mas diversas opticas, como por ejemplo,la filosofıa, sociologıa y economıa entre otras. Actualmente, los enfoques de la criminologıa in-cluyen elementos multidisciplinarios, que consideran no solo elementos cualitativos sino tambiencuantitativos.

Las primeras investigaciones criminologicas cuantitativas provienen del ambito de la estadısti-ca. Estos estudios se enfocaron en encontrar patrones de comportamiento de los agentes involu-crados a traves de la exploracion de datos. En la actualidad, los estudios matematicos junto conlos avances tecnologicos han hecho posible el uso de modelos mas complejos para la busqueda depatrones de comportamiento, utilizando por ejemplo, tecnicas de minerıa de datos como clustering,redes neuronales, etc. Sin embargo, estas tecnicas en gran mayorıa estudian el fenomeno de mane-ra aislada del medio, olvidando que el problema es basicamente un fenomeno de interaccion entreindividuos.

Dado lo anterior, algunos investigadores han aprovechado los avances cientıficos y han intro-

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Capıtulo 1: Introduccion

ducido elementos de interaccion entre los distintos agentes del crimen mediante herramientas desimulacion y teorıa de juegos. No obstante, la comunidad cientıfica acepta que estos avances sonaun precoces debido a la gran complejidad que presenta el fenomeno dada la naturaleza humana delos agentes.

En la presente tesis, se propone un enfoque innovador del estudio del crimen, visto como unfenomeno de interaccion entre individuos. Especıficamente, se plantea el modelo de teorıa de juegosque simula el fenomeno de interaccion entre criminales y la policıa.

El modelo se disena en base a teorıa de juegos en grafos, en donde bajo la configuracion par-ticular del grafo representada en la figura 1.1, los caminos disponibles representan las opcionesde crimen y el flujo que los atraviesan, a los criminales. El comportamiento criminal es simuladoen base a la congestion de los caminos y en la minimizacion individual del costo de atravesar aestos. En consecuencia, el resultado del sistema es un flujo que simula el comportamiento de loscriminales en equilibrio, en donde ninguno de ellos tendra incentivos a desviarse de la opcion decrimen que escogio.

Figura 1.1: Grafo del Modelo de Interaccion.

El fenomeno de interaccion entre los criminales y la policıa, se representa incluyendo a lapolicıa como un agente que distribuye recursos sobre los arcos del grafo, de manera de incrementarlos costos de atravesar estos caminos y ası influenciar en las decisiones de los criminales.

El modelo planteado anteriormente se lleva a la aplicacion y calibracion usando datos reales dedenuncias de delitos y tecnicas de minerıa de datos respectivamente. Ademas, el estudio incluyeun analisis de robustez respecto de los supuestos del modelo, para ası aportar con una vision mas

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amplia en el entendimiento del fenomeno.

El trabajo realizado se presenta como una contribucion cientıfica desde dos dimensiones. Teori-camente se plantea un modelo novedoso de teorıa de juegos que simula la interaccion entre losagentes. Luego de manera aplicada, se plantea una metodologıa que utiliza datos reales para llevara la aplicacion este modelo y aportar con nuevos puntos de observacion de este fenomeno.

1.1. Objetivos

1.1.1. Objetivo General

Desarrollar un modelo aplicado de interaccion entre criminales y policıas en la vıa publica eincorporar datos reales de manera de calibrar los parametros del modelo utilizando tecnicas deminerıa de datos y teorıa de juegos.

1.1.2. Objetivos Especıficos

1. Plantear un modelo de teorıa de juegos que modele la interaccion entre criminales y policıas.

2. Proponer una metodologıa que permita la aplicacion del modelo teorico con datos reales decrimen, utilizando minerıa de datos.

3. Proveer sugerencias relacionadas a la distribucion de recursos policiales usando criterios deoptimalidad.

1.2. Metodologıa del Estudio

Los pasos que se llevan a cabo en este estudio se enuncian a continuacion:

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Estudios de modelos de teorıa de juegos

Los modelos de teorıa de juegos permiten explicar fenomenos competitivos entre agentes. Espor ello que se realiza una revision bibliografica de esta disciplina para conocer los modelosya existentes y aplicables al fenomeno de interaccion entre criminales y policıas.

Con lo anterior, se construye un marco teorico del estado del arte de esta materia y se com-prenden los elementos esenciales que deben considerarse al momento de construir el modelode teorıa de juegos.

Estudio de datos disponibles

Los datos disponibles para este estudio son las denuncias de delitos de la Region Metro-politana de Santiago desde enero 2001 a febrero 2008. En esta parte se realizan estudiosexploratorios sobre los datos, con el objetivo de aportar con una primera mirada la naturalezade la informacion que se tiene disponible.

Planteamiento del modelo de teorıa de juegos

En este punto, se plantea el modelo de teorıa de juegos que simula la interaccion entre cri-minales y la policıa. Para ello, se considera un trade-off natural en el modelamiento: la com-plejidad versus la aplicabilidad. Mientras mas complejo sea el modelo, mayor es el desafıode adecuarlo a los datos. Al mismo tiempo, si se plantea un modelo simple pero con faciladecuacion, es posible que los resultados obtenidos se ajusten poco a la realidad y no sejustifique el trabajo realizado.

Planteamiento de metodologıa de aplicacion del modelo

Luego de plantear el modelo de teorıa de juegos, se propone una metodologıa de caractergenerica que tiene por objetivo la aplicacion del modelo a los datos reales disponibles. Estaconsta de cinco pasos y cada uno de ellos posee un caracter flexible e independiente. Estohace que el metodo sea potencialmente mejorable por partes y ademas aplicable a diversassituaciones.

La metodologıa se basa en criterios de seleccion de datos, tecnicas de minerıa de datos, desa-rrollo de algoritmos de calibracion de parametros y modelos de optimizacion. Adicionalmen-te, se realizan analisis de robustez con el objetivo de comprender el fenomeno modelado bajodistintos escenarios.

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Obtencion de resultados y analisis

La obtencion de resultados se lleva a cabo aplicando la metodologıa planteada en el punto an-terior. Para ello, se emplean los Softwares SPSS 16.0, MATLAB 2007 y MS Excel 2007. Losanalisis se hacen en base a los resultados y diferencias obtenidas bajo los distintos escenarios.

1.3. Estructura del Trabajo

En el siguiente capıtulo se presenta el estado del arte de los estudios del crimen desde la eco-nomıa, matematicas y computacion. El objetivo es contextualizar el estudio del crimen y el rol dela ciencia en su comprension. Ası tambien exponer el caracter multidisciplinario del fenomeno ysu complejidad de modelacion.

En el capıtulo 3 se presenta el marco teorico del modelo exponiendose los conceptos de teorıade juegos en grafos que son utilizados en esta tesis. Tambien se hace una breve referencia a laslıneas de investigacion mas avanzadas relacionadas con esta materia.

El capıtulo 4 presenta los puntos teoricos centrales de este trabajo. En este, se presenta en detalleel modelo de teorıa de juegos que simula la interaccion entre los criminales y la policıa, ademas seenuncian todos los supuestos considerados y se explica de que manera son incluidos en el modelo.Luego, se plantea genericamente una metodologıa para llevar a cabo una aplicacion del modelo coninformacion real.

En el capıtulo 5 la metodologıa antes planteada es llevada a la practica utilizando datos realesde denuncias de delitos. Adicionalmente, se crean multiples escenarios de manera de realizar unanalisis de robustez de la metodologıa y obtener conclusiones mas amplias.

El capıtulo 6 presenta los resultados y analisis de la aplicacion de la metodologıa para todos losescenarios planteados. Esta seccion es la mas extensa pues presenta en detalle todo los elementosobtenidos de cada paso de la metodologıa.

Finalmente, en el capıtulo 7 se muestran las conclusiones generales englobando los principales

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hallazgos y aportes de este estudio. Ademas, se presentan los posibles trabajos futuros que puedendesprenderse de esta investigacion.

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Capıtulo 2

Estudios Cuantitativos del Crimen

La definicion mas adecuada para la palabra criminologıa es el estudio del comportamiento delcrimen. Este tema ha sido estudiado desde muchos siglos atras y ya los filosofos griegos hablaronrespecto a su relacion con el castigo, factores fısicos y mentales de las personas. Sin embargo, laformalizacion de la criminologıa como ciencia, aparece recien en el siglo XVIII con la publicaciondel ensayo “Dei delitti e delle pene” (de los delitos y las penas) del autor Cesare Beccaria. Esteartıculo teoriza acerca del crimen y el trabajo, y su relacion con la tortura y la pena de muerte.

Los primeros estudios en criminologıa provinieron del ambito cualitativo y carecieron de fac-tores cuantitativos a pesar de las potenciales conexiones. Mas aun, los primeros intereses en aplicarla metodologıa cuantitativa en el crimen provinieron de investigadores de otras areas, que se encar-gaban de recolectar estadısticas generales de la sociedad mas alla de este caso particular.

Uno de los investigadores pioneros en la investigacion cuantitativa en las ciencias sociales fueAdolphe Quetelet. Sus estudios en criminologıa se concentraron en la investigacion de los factoressociales como la edad, genero, educacion y pobreza entre otros y su relacion con el crimen [5].

Uno de los aportes principales de Quetelet fue la introduccion del concepto de “hombre medio”en el actuar humano, en donde la propension al crimen es un caso particular. En su publicacion“Sur l’homme et le developpement de ses facultes, ou essai de physique sociale” en 1835, enuncia

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Capıtulo 2: Estudios Cuantitativos del Crimen

lo siguiente [29]:

Los asuntos humanos (e.g. propension al crimen) obedecen una curva normal, resultado de

innumerables causas que afectan a cada individuo de forma diferente. Sin embargo, como colecti-

vidad siguen una ley bien definida.

Otro investigador importante contemporaneo a Quetelet, fue Andre-Michel Guerry quien in-trodujo el estudio estadıstico del crimen desde un punto de vista espacial y multivariado bajo elcontexto de las “estadısticas morales” [23]. Una de sus principales investigaciones fueron los es-tudios espaciales de la criminalidad en Francia y las diferencias comparativas con lo observado enInglaterra [19] (figura 2.1). Sus aportes en este campo inspiraron la conceptualizacion de los es-tudios georeferenciales, que estan vigentes y en donde los avances tecnologicos siguen aportandopara lograr estudios mas efectivos y precisos.

Figura 2.1: Mapa de Guerry del estudio del crimen en Francia e Inglaterra (1864).

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2.1. Criminologıa Cuantitativa en los Tiempos Modernos

Actualmente, la gran mayorıa de los estudios criminologicos se apoyan en datos estadısticos.Esto es consecuencia de la formalizacion de instituciones responsables especıficamente de la ge-neracion de informacion en el crimen y a los avances tecnologicos en la captacion de informaciony disponibilidad de softwares para el analisis. Generalmente, estos estudios se han centrado enambitos muy especıficos siendo difıcil de generalizar y extrapolar a nuevas situaciones.

Sin embargo, se han logrado avances en conceptualizaciones generales. Uno de los mas im-portantes fue realizado por Gary Becker en su ensayo “Crime and Punishment: An Economic Ap-

proach” [3] que enfoca desde un punto de vista economico el fenomeno del crimen estudiando nosolo correlaciones de comportamiento, sino profundizando en los incentivos involucrados en losagentes.

Esta seccion enmarca los avances de la criminologıa cuantitativa contrastando estos dos hechos.Primero se explica como la economıa logra desarrollar un espectro general del fenomeno delictualy luego, como otros estudios han usado otros modelamientos matematicos y tecnicas para cubrirpuntos especıficos de la criminologıa.

2.1.1. La Economıa y el Crimen

Becker recibe el premio nobel de economıa en 1992 por sus estudios del comportamiento hu-mano que entre otras cosas incluyeron el crimen. Especıficamente, sus teorıas rompieron con elparadigma general de la epoca, la que se sostenıa que el acto criminal era una accion cometida porpersonas socialmente oprimidas o mentalmente enfermas.

En los modelos planteados por Becker, se asume que los criminales son agentes racionales yque poseen una funcion de utilidad que desean maximizar. Los factores que influyen en la accionde delinquir son entre otras cosas, la probabilidad de ser atrapado, el castigo potencial que reci-birıan y las otras opciones de actividades que tienen disponibles. Ademas, se desarrolla un analisiseconomico para inferir estrategias optimas de conveniencia publica y privada en el combate del

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crimen, en donde se entiende por “decisiones optimas” a la minimizacion de la perdida social delos ingresos de los ciudadanos.

Segun el autor, la principal contribucion de su ensayo es la demostracion de que las polıticasoptimas para combatir el comportamiento ilegal son parte de una decision eficiente de asignacionde recursos. En su estudio utiliza la teorıa economica clasica, en donde existen multiples modelospara la asignacion eficiente de recursos, pero agregando a tales modelos, aspectos particulares delfenomeno del crimen (e.g. el castigo) los cuales son elementos no monetarios que afectan los costosque enfrenta la sociedad.

Las contribucion adicional de Becker aparecio posteriormente, y fue que su teorıa abrio unanueva lınea de investigacion que ha servido de sustento teorico para multiples estudios actuales. Sedestacan investigaciones en donde se determinan equilibrios generales entre ciudadanos1 y crimina-les y tambien estudios aplicados de ındole econometrico que se encargan de identificar y examinarfactores influyentes en el crimen.

Entre los estudios de equilibrio general, destaca Herschell Grossman que plantea que los indi-viduos eligen ser productores o predadores (criminales) [22]. Su modelo mas basico plantea quelos productores gastan parte de sus recursos en disuadir a los predadores. El resultado es que elequilibrio entre la cantidad de personas que eligen ser productores y predadores depende de facto-res como la tecnologıa utilizada por los criminales para cometer delitos, la distribucion de riquezainicial de la sociedad y si los productores reparten sus recursos disuasivos individual o colectiva-mente. Existen otras variantes de modelamiento en donde se introducen elementos como el rol delestado, la educacion y el efecto de las leyes [20, 21].

Los estudios econometricos en esta materia son abundantes. Las primeras investigaciones fue-ron contemporaneas a los estudios de Becker y destacan Leibowits, Fleisher y Ehrlich en los anos60. Estos autores utilizaron distintos metodos de regresion para estudiar por ejemplo, la relacionentre la delincuencia juvenil y la variacion del salario y desempleo [18] y el efecto de la probabili-dad y seriedad del castigo en las tasas de criminalidad entre los distintos estados de Estados Unidos[16, 42]. Actualmente los paıses utilizan metodologıas similares junto con sus propios datos para

1Ciudadanos en este contexto se refiere a personas que no comenten actos ilıcitos.

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llevar a cabo investigaciones que intentan explicar los determinantes del crimen [7, 10, 37].

2.1.2. Otros Enfoques Matematicos en Estudio del Crimen

Como se ha mencionado, la alta complejidad que posee el estudio del crimen hace una tareadifıcil el desarrollar teorıas generales. Esta seccion muestra otras lıneas de investigacion cuantitati-vas relativas a esta problematica, que se albergan sobre herramientas y disciplinas provenientes deotras ciencias, como la teorıa de juegos, la minerıa de datos y la computacion.

Teorıa de Juegos y Criminalidad

La teorıa de juegos posee un razonamiento analıtico altamente aplicable al fenomeno criminalpuesto que en todo delito coexisten al menos dos agentes con intereses contrapuestos: el criminal yla vıctima. El desarrollo profundo de estos modelos comienza en los anos 90 y destacan los juegosde inspeccion, estudios de relaciones sociales y de comportamiento terrorista [27].

El juego de inspeccion mas basico proviene del modelo de George Tsebelis [47], quien planteaque existen infractores en potencia que podrıan ser disuadidos mediante la aplicacion de una multa.La medida busca aumentar los costos para aquellos quienes infringen la ley, pero al mismo tiempose generan costos asociados al hecho de aplicar la multa. Paradojicamente, los resultados obtenidosde la interaccion (equilibrio de Nash) muestran que la aplicacion de una multa no tienen ningunefecto sobre el comportamiento del potencial infractor. Este modelo es criticado dado que no reflejael comportamiento real. Luego se han planteado diversos modelos alternativos para evitar aquello:juegos tipo Stackelberg [14, 45], juegos repetidos [1] y juegos con informacion incompleta [36].Sin embargo, todos estos enfoques han llevado a resultados contrapuestos y falta aun evidenciaempırica para su validacion.

Los modelos basados en relaciones sociales estudian el efecto que tiene un grupo de indivi-duos sobre las acciones (nivel de esfuerzo) de una persona que pertenece a dicho grupo. Estosmodelos determinan la existencia de un jugador “clave” en donde su eliminacion provoca una re-

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duccion maxima en la actividad global del grupo. El modelo basico supone que la influencia grupalpromedio se distribuye de forma homogenea entre todos los individuos del grupo. La variante deCalvo-Armengol plantea que existe una influencia heterogenea, que varıa de uno a otro en fun-cion de su exposicion [2]. Descubrimientos sobre este modelo dicen que los delincuentes hacen unesfuerzo criminal mayor cuando estan conectados.

La gran mayorıa de los modelos de teorıa de juegos no llegan a una aplicacion real o al testeoempırico, puesto que son complejos de manipular y resolver. A pesar de ello, algunos modeloshan logrado ser aplicados con exito en situaciones reales. Un trabajo reciente se llevo a cabo enel aeropuerto de Los Angeles (LAX) [35], en donde mediante un sistema computacional en base aun modelo de Stackelberg, se determina eficientemente cuales puntos de monitoreo del aeropuer-to deben ser abiertos cada dıa y hora de manera de que los criminales no detecten el patron decomportamiento de seguridad.

Minerıa de Datos para el Estudio del Crimen

El concepto general de la minerıa de datos puede definirse como el estudio no trivial de datospara extraer informacion relevante de ellos [17]. Multiples tecnicas de minerıa de datos han sidoutilizadas en criminologıa con este fin, incluyendose tanto modelos supervisados como no supervi-sados.

Como se ha mencionado, las organizaciones que trabajan en el estudio del crimen han apro-vechado los avances en tecnologıa para almacenar una gran cantidad de informacion relativa alcrimen. En un inicio la estadıstica aprovecho este hecho y ahora la apertura a la minerıa de datospara ampliar el descubrimiento de informacion. En general, las tecnicas de minerıa de datos que sehan utilizado para el estudio del crimen son la prediccion, clustering y clasificacion.

La prediccion del crimen se ha usado como cualquier problematica en donde se tiene datosen una serie de tiempo. La tecnica mas utilizada para esto son las redes neuronales [12, 28] enreemplazo de tecnicas de series de tiempo tradicionales. Las series de datos que usualmente semanejan en criminologıa son a nivel de denuncias de delitos. La tecnica se basa en la hipotesis de la

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existencia de patrones de comportamiento de los criminales, como por ejemplo el aumento de robosen la vıa publica el dıa de pago de salarios. En general, la prediccion se hace construyendo seriesde denuncias de delitos sobre zonas geograficas delimitadas en donde hay una alta concentracionde delitos, llamadas hot-spots.

La utilizacion de clustering en el crimen se ha usado de muchas maneras. La mas utilizada esla identificacion de hot-spots (imagen 2.2 [6]), la cual se realiza mediante algoritmos de analisis dedensidad de puntos para formar los clusters [12]. La busqueda de hot-spots ademas de ser utilizadacomo un dato para la prediccion del crimen, se ha utilizado para el entendimiento del crimen en lasciudades mediante categorizaciones de las zonas segun peligrosidad en tipos de delitos y momentosdel dıa [15]. Otra tecnica de clustering que se ha empleado es el analisis del crimen es el algoritmok-medias. En particular, se ha utilizado para identificar distintos tipos de delitos que a simple vistaparecen ser los mismos. Por ejemplo, en [33] se usa este algoritmo sobre datos de homicidiosy se llega a la conclusion de que estos tipos de delitos se clasifican en tres clases y no dos comooriginalmente se pensaba, estas clases fueron homicidios en ocasion de robo, homicidios en ocasionde rina y ajuste de cuentas y homicidios en ocasion de emocion violenta.

Las tecnicas de clasificacion en general se han utilizado para los crımenes “de cuello blanco”,en donde la expresion se utiliza para los delitos cometidos por personas de nivel socioeconomicoalto, en el cuadro de sus actividades profesionales y con el objetivo de llegar a una ganancia masimportante [51]. Ejemplos de estos delitos son el blanqueo de dinero, falsificacion de dinero y esta-fas en general. Su objetivo es identificar de la manera mas certera posible cuales montos de dinerosen transacciones son ilıcitas. El desafıo en este campo es amplio, puesto que se trabaja con grandesvolumenes de datos y con gran cantidad de atributos, lo cual requiere de metodologıas eficientes,tanto en el preprocesamiento y seleccion de atributos como en los algoritmos de minerıa de datos.Las tecnicas conocidas que se han empleado son entre otras, las Support Vector Machines [40, 46]y redes bayesianas [31], aunque tambien en otras investigaciones se han creado metodologıas paraproblemas especıficos, con el objetivo de mejorar el desempeno de la clasificacion en comparaciona las tecnicas tradicionales [53].

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Figura 2.2: Hot-spots en el Centro de Santiago.

La Criminalidad y la Computacion

La computacion cada vez se vuelve mas indispensable en el trabajo contra la criminalidad. Yase menciona su aporte en el almacenamiento y procesamiento de informacion, que ha permitidoa la estadıstica y minerıa de datos obtener resultados importantes. Pero ademas, ha contribuidoenormemente en la visualizacion del fenomeno con los analisis georeferenciales e identificacion dehot-spots.

La computacion ha permitido tambien el desarrollo de herramientas de simulacion, lo que con-siste en la emulacion de situaciones reales, con el objetivo de observar virtualmente fenomenos yevitar experimentos en la vida real. En la criminologıa actual, esta tecnica se ha convertido en unaherramienta crucial, ya que permite crear laboratorios en donde se simulan situaciones de crimen y

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no se compromete la integridad de las personas y evita cuestiones eticas o morales.

Figura 2.3: Simulacion dinamica de hot-spots.

Una de las tecnicas de simulacion que mas se esta usando en esta materia son los agent based

models (modelos basados en agentes) [25]. Estos modelos combinan elementos de teorıa de jue-gos, ecuaciones diferenciales y sistemas complejos. La base de estos modelos es la construccionde agentes definidos por una serie de caracterısticas, que se relacionan con otros individuos y conel medio. En el caso de la criminalidad, las simulaciones se efectuan bajo el marco geografico,en donde se construyen agentes ciudadanos, entre ellos potenciales criminales. Mediante las simu-laciones, se van registrando las evoluciones del sistema, con el objetivo de revelar patrones en elcomportamiento de los agentes [30]. Ejemplos de estos sistemas se han empleado para el estudiodinamico de los hot-spots bajo distintos escenarios de cantidad de criminales en una zona (figura2.3) [41, 48].

Desde otra lınea, la computacion ha contribuido en el desarrollo de sistemas computaciona-les desarrollados especıficamente para el uso de instituciones contra la criminalidad, en donde sususuarios no necesariamente tienen el conocimiento de sistemas complejos o modelamiento ma-tematico (e.g. ejemplo la policıa). La importancia principal del desarrollo de herramientas compu-tacionales, esta en la complementacion de conocimiento y facilitacion de herramientas para usua-rios convencionales, para el apoyo efectivo y eficaz en la toma de decisiones en el combate contra la

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criminalidad. Ejemplos son los ya mencionados en el aeropuerto de Los Angeles y el apoyo visualde hot-spots entre muchas otras [33].

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Capıtulo 3

Marco Teorico: Teorıa de Juegos y SelfishRouting

La teorıa de grafos es una disciplina de la matematica que se estudia desde muchos siglos atras.Las primeras formalizaciones nacieron con Leonhard Euler en 1736 y actualmente sus aplicacionesestan presentes en las mas diversas areas de la ciencia. Uno de los fenomenos que se han tratadodesde esta optica es la congestion en redes, lo que en terminos generales significa que el flujo quepasa a traves del grafo va saturando los caminos incrementando el costo de pasar por el.

Formalmente, el modelo matematico de trafico en redes congestionadas es llamado selfish rou-

ting. Sus aplicaciones nacieron en las redes de trafico de automoviles pero ultimamente sus estudiosse han expandido hacia otras ciencias como la computacion y la teorıa de juegos [38].

El objetivo principal del estudio de estas redes esta orientado a los equilibrios que alcanzan losflujos del grafo. Donde en la mayorıa de los casos corresponde a un valor ineficiente en terminosde la optimizacion de la red. Esto significa que los usuarios (representados por los flujos) tienenun comportamiento “egoısta” y cada uno de ellos prefiere minimizar su propio costo en vez del dela red completa. Existen dos buenos ejemplos que ilustran tal fenomeno: El ejemplo de Pigou y laparadoja de Braess.

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Capıtulo 3: Marco Teorico: Teorıa de Juegos y Selfish Routing

El ejemplo de Pigou [34] considera dos vertices s y t unidos por dos arcos de costos c(x) = 1 yc(x) = x, donde x es el flujo que pasa por los arcos (figura 3.1). El modelo supone que se envıa unaunidad de flujo desde el arco s al t por lo que cada usuario representado por una unidad infinitesimalde flujo, elige independiente alguna de las dos rutas, minimizando su propio costo de viaje. Esası como todos los usuarios en comportamiento egoısta, razonan diciendo que la ruta de abajosiempre tiene un costo inferior a la de arriba mientras algun otro usuario tome la ruta de arriba. Masaun, los costos de ambas rutas solo se igualan cuando la ruta de abajo esta totalmente congestionada.Entonces, se espera que en el equilibrio selfish todos los usuarios de la red paguen una unidad decosto eligiendo el arco de abajo.

Figura 3.1: Ejemplo de Pigou.

En la paradoja de Braess [8] se consideran ademas de los nodos s y t dos adicionales: v yw como lo muestra la figura 3.2. Se observa en 3.2(a) que existen dos rutas posibles desde s a t

las cuales ambas tienen un costo 1 + x, por lo que es de suponer que en el flujo de equilibrio losusuarios se repartiran de manera igual en ambas rutas (1/2). La paradoja se da cuando se agregael arco v→ w con costo c(x) = 0 (figura 3.2(b)) que intuitivamente ayuda a reducir el costo totalde la red, pero en realidad provoca una situacion similar al ejemplo de Pigou: ahora el costo de laruta s→ v→ w→ t nunca es peor que las dos rutas originales, lo que genera que todos los usuariosde la red se desvıen hacia ella y en consecuencia cada uno de los usuarios pague dos unidades decosto.

La ineficiencia en ambos ejemplos puede ser cuantificada. En el caso del ejemplo de Pigou elcosto total del grafo es de 1, pero si se calculara el flujo a mınimo costo este serıa 1/21 por cada

1mın x2 +(1− x)⇔ 2 · x−1 = 0⇒ x = 12 .

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(a) Red inicial. (b) Red aumentada.

Figura 3.2: Paradoja de Braess.

arco y el costo total de la red se reducirıa a 3/4. En el caso de la paradoja de Braess al agregarel nuevo arco el costo asciende desde 3/2 a 2, cuando en ambos casos se esta en la condicion deequilibrio.

Los ejemplos anteriores muestran que hay veces que los usuarios en las redes no poseen uncriterio que minimiza el costo de un grafo como conjunto, sino mas bien se comportan como indi-viduos independientes que se preocupan de su propio beneficio.

A continuacion se formalizan los conceptos basicos de las redes selfish routing y se pone enfasisen los elementos mas utiles en el marco de la investigacion de esta tesis.

3.1. Selfish Routing en Redes

Una red multicommodity se define como un grafo dirigido G = (V,E) con V los nodos (o verti-ces), E los arcos y un conjunto de (s1, t1), . . . ,(sK, tK) pares de vertices fuente-demanda, llamadoscommodities. Ademas se considera lo siguiente:

Para cada par (sk, tk) con k ∈ {1, . . . ,K}, sea Pk el conjunto de rutas (simples) de G que vandesde sk a tk.

Se define P =⋃K

k=1 Pk como el conjunto total de rutas.

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Se define dk > 0 la tasa de demanda asociada asociada al commodity k.

Un flujo factible f asigna un valor no negativo fP para cada ruta P ∈ P tal que ∑P∈PkfP = dk

para cada k ∈ K.

Se denota al conjunto { fe}∈E donde fe = ∑P∈Pi:e∈P fP, que representa al flujo total que atra-viesa el arco e.

Ademas, la consecuencia negativa del aumento de congestion en la red es modelada por fun-

ciones de costos continuas, no negativas y no decrecientes en cada arco del grafo. Estas funcionesson denotadas como ce para el arco e y representan el costo incurrido por el trafico que atraviesa e,como funcion de la congestion fe del arco.

Con todo lo anterior, una red selfish routing se define con la tripleta (G,d,c), donde G es unared multicommodity, d es el vector de tasas de demanda y c es el vector de funciones de costosindexadas por los arcos de G.

3.2. Equilibrio

Como se muestra en el ejemplo de Pigou y en la paradoja de Braess, muchas veces las decisio-nes de los usuarios de una red no tienen como objetivo la minimizacion del costo total de la red,sino la minimizacion del costo personal de viaje de cada uno de ellos. En esta parte se formalizanestos conceptos y se evidencia la conexion de que existe entre este fenomeno y la teorıa de juegostradicional.

El equilibrio selfish routing en redes representa un flujo factible de la red en donde ningunusuario puede estar mejor sin empeorar a otro. Formalmente, se define f el flujo factible parala instancia (G,d,c) y el costo cP( f ) = ∑e∈P ce( fe) como el costo incurrido por el trafico f queatraviesa la ruta P. Con esta informacion, se define un equilibrio en una red selfish routing de lasiguiente manera [49]:

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Definicion 3.1 (Equilibrio de Wardrop). Sea f un flujo factible para la instancia (G,d,c). El flujof es un equilibrio de Wardrop si para cada commodity i ∈ {1,2, . . . ,K} y cada par P, P ∈ Pi de lassi− ti rutas con fP > 0,

cP( f )≤ cP( f ).

Lo que quiere decir en otras palabras, que todas las rutas utilizadas por un equilibrio de War-drop f tienen el costo mınimo posible (dado su fuente, demanda y congestion causada por f ). Enparticular, todas las rutas de un commodity usadas por el equilibrio de Wardrop tienen igual costo[38]. Este equilibrio, es llamado tambien el flujo de Nash.

Un elemento de especial interes es el estudio de la existencia y unicidad del equilibrio de War-drop en una instancia. La siguiente proposicion, desarrollada por Beckmann, McGuire y Winsten[4] plantea lo siguiente:

Proposicion. Sea (G,d,c) una instancia y las funciones del vector c son continuas, no negativas y

no decrecientes.

1. La instancia (G,d,c) admite al menos un equilibrio de Wardrop.

2. Si f y f son dos equilibrios de Wardrop para (G,d,c), entonces ce( fe) = ce( fe) para cada

arco e.

La primera sentencia garantiza que el equilibrio de Wardrop existe en cualquier instancia. Lasegunda, plantea que dos equilibrios de Wardrop inducen identicos costos en los arcos, pero notienen necesariamente que generar flujos identicos sobre los arcos.

Es de destacar que estos conceptos han sido supuestos bajo individuos que controlan una por-cion insignificante de flujo. Esto se interpreta en que las acciones de un individuo esencialmente notienen efectos sobre la congestion de la red, aunque si lo tienen cuando muchos agentes eligen lamisma estrategia. En la literatura, los juegos que presentan esta propiedad son llamados nonatomic

[39].

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Existen en la literatura estudios mas profundos acerca de la definicion de un equilibrio de War-drop, la existencia y unicidad de ellos, la formalizacion entre este equilibrio y el equilibrio de Nashen juegos finitos en forma normal y otros temas afines [4, 24, 43].

3.3. El Precio de la Anarquıa

Falta ahora formalizar el concepto de “ineficiencia” comentado en las secciones anteriores. Paraello, es conveniente recordar la definicion clasica de flujo a costo mınimo.

Definicion 3.2 (Flujo a Costo Mınimo). Sea (G,d,c) una instancia. El flujo f ∗ es optimo sobre lainstancia si y solo si

C( f ∗) = mınf

C( f ) = mınf

∑e∈E

ce( fe) fe

s.a. lbe ≤ fe ≤ ube ∀e ∈ E

∑Pk∈Pk

∑e∈Pk

fe = dk ∀k ∈ K

En donde dado que las funciones de costos son continuas y el espacio de flujos el compacto,todas las instancias admiten un flujo optimo [38].

Luego, se define el precio de la anarquıa como sigue.

Definicion 3.3 (Precio de la Anarquıa). Sea (G,d,c) una instancia. El precio de la anarquıa

ρ(G,d,c) es

ρ(G,d,c) =C( f )C( f ∗)

donde f es el equilibrio de Wardrop y f ∗ es el flujo optimo para la instancia.

Esto quiere decir que a mayor valor de ρ(G,d,c), mayor es el precio que se esta pagando porel efecto “egoısta” de los usuarios. Por el contrario, mientras ρ(G,d,c) sea mas cercano a 1, esteefecto genera que la ineficiencia del equilibrio de Wardrop sea menos efectiva.

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Estudios en [38] respecto al precio de la anarquıa, se han orientado en el impacto de su valordependiendo de las funciones de costos de una instancia. En general se intenta encontrar cotasinferiores del precio de la anarquıa para formas particulares de grafos y diferentes familias defunciones de costos (lineales y polinomiales entre otras).

Los esfuerzos en profundizar teoricamente en el estudio de estas redes, han generado una com-pleta lınea de investigacion. Ademas de los ya mencionados, se han destinado estudios para definirestrategias que reduzcan el precio de la anarquıa. En general, plantean la problematica con funcio-nes de costos arbitrarias y desarrollan mecanismos de accion alterando las capacidades de los arcoso bien, agregando impuestos sobre ellos alterando la instancia (G,d,c) por (G,d,c+τ) [38]. Otrostrabajos han estudiado variantes como el efecto de la incertidumbre [32] o cuando las funciones decostos son no convexas, no diferenciables e incluso discontinuas [13].

Aquellas investigaciones escapan el objetivo de esta tesis, pero sı orientan la investigacion pa-ra que sea cumplida con exito. Es por ello, que la siguiente seccion esta destinada al estudio defunciones de costos potencialmente utiles para el modelamiento final de este trabajo.

3.4. Funciones de Costos con Efectos de Congestion

En ingenierıa de transporte, el estudio de funciones de atraso2 son ampliamente utilizadas. Estasson un mecanismo natural para modelar el costo de un viaje (expresado en tiempo) en funcion delvolumen de trafico en una calle. Usualmente, estas funciones son expresadas como el productoentre el tiempo de viaje con trafico libre y una funcion de congestion f (x)

t(v) = t0 · f(v

c

)Donde el ratio v

c es el argumento de la funcion de costos, siendo v el volumen de trafico y c unamedida de la capacidad del camino.

2En ingles son llamadas volume-delay functions [44].

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Acorde a [44], la funcion atraso mas utilizada en esta disciplina es llamada Bureau of Public

Roads (BPR) [11] y es definida como

tBPR(v) = t0 ·(

1+(v

c

)β)

Donde β > 1 y a mayores valores de este parametro, se provocan efectos de congestion mas subitos.

El especial interes por estas funciones esta en el efecto de congestion y es por ello que el estudiode ellas se enfoca principalmente en aquellas de la forma

f BPR(x) = 1+ xβ (3.1)

El cual para mayores valores de β los valores de f BPR decrecen cuando x < 1. La figura 3.3muestra estos efectos.

Figura 3.3: Grafico de la funcion BPR para distintos valores de β.

Existen diversos motivos de porque la funcion BPR es tan usada, siendo el principal su simpli-cidad e interpretacion. Sin embargo, estas funciones presentan ciertos inconvenientes, en especialcuando los valores de x comienzan a ser mayores que 1, lo cual a pesar de ser casos no muy realistas,

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pueden obtenerse durante las primeras iteraciones en la busqueda de equilibrios. En particular, losproblemas ocasionados son de calculo numerico, perdida de precision y ademas pueden presentarsesituaciones en las que no se garantiza la unicidad del equilibrio.

Por lo anterior, Spiess enuncia siete condiciones que debiesen cumplir las funciones de conges-tion f (x), de manera de evitar tales complicaciones [44]. Estas son:

1. f (x) debe ser estrictamente creciente ( f ′(x) > 0).

2. f (0) = 1 y f (1) = 2.

3. f ′(x) existe y es estrictamente creciente ( f ′′(x) > 0).

4. f ′(1) = β. En este caso, β es similar al exponente de la funcion BPR, el cual es el parametroque representa cuan subito es el efecto de la congestion.

5. f ′(x) < M ·β, donde M es una constante positiva. Lo que representa que la brusquedad de lacurva es limitada.

6. f ′(0) > 0.

7. La evaluacion de f (x) no debe tomar mayor tiempo de computar que la evaluacion corres-pondiente de la funcion BPR.

Los puntos 1, 2, 3 y 4 son satisfechos por la funcion BPR. Los puntos 5, 6 y 7 fueron disenadospara evitar las complicaciones mencionadas anteriormente. Para ello, Spiess propone y demuestrauna clase de funciones que sı cumple ıntegramente con todos ellos, llamadas funciones conicas decongestion (CCF):

fCCF(x) = 2+√

β2 · (1− x)2 + γ2−β · (1− x)− γ (3.2)

Donde γ = 2β−12β−2 y β≥ 1.

Esta funcion es derivada de la interseccion entre un cono 3-D obtuso y un plano 2-D. La deriva-cion matematica es simple, pero requiere de largos trabajos algebraicos y de conceptos geometricos.

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Graficamente, las funciones CCF tienen la misma apariencia que las funciones BPR (figura 3.4),pero presentan diferencias en la curvatura. Estas diferencias pueden ser evidenciadas graficamenteen las figuras de 3.5.

Figura 3.4: Grafico de la funcion CCF para distintos valores de β.

(a) BPR v/s CCF β ∈ {2,4}. (b) BPR v/s CCF β ∈ {6,8}.

Figura 3.5: Comparacion grafica entre las funciones BPR y CCF .

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Capıtulo 4

Modelo de Teorıa de Juegos para losAgentes Criminales y la Policıa

4.1. La Interaccion entre los Criminales y la Policıa

Para plantear el modelo teorico, es importante definir los elementos y supuestos que contextua-lizan el modelo como uno de teorıa de juegos. Para ello, se consideran las siguientes bases:

Agentes: Criminales y la policıa.

Los criminales son entendidos como una masa continua de agentes y la policıa se entiendecomo un agente que controla un conjunto continuo de recursos.

Estrategias

Las estrategias de los criminales son entendidas como las opciones de delitos disponibles.Estas pueden ser por ejemplo, distintas opciones de ataque segun areas geograficas, tipos dedelitos, momentos del dıa o combinaciones de estas.

La estrategia de la policıa es distribuir sus recursos sobre las opciones de delito de manera dedificultar a los criminales a que efectuen los delitos.

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Capıtulo 4: Modelo de Teorıa de Juegos para los Agentes Criminales y la Policıa

Utilidades de los agentes

Los criminales obtienen un beneficio por delinquir en alguna de las opciones.

La policıa obtiene un beneficio por prevenir el crimen.

Supuestos

Congestion: Las opciones de crimen se tornan menos atractivas a medida que mas criminaleslas escogen. Es decir, se produce un efecto de congestion entre los criminales. Los recursospoliciales tambien provocan un efecto de congestion sobre las opciones de delito.

En otras palabras, las estrategias se congestionan ya sea porque mas criminales las escogeno porque hay recursos policiales asignados.

Criminales egoıstas: Los criminales actuan como agentes desorganizados, es decir, cada unode ellos maximiza su propio bienestar.

Secuencialidad de las decisiones: Los agentes no deciden sus estrategias simultaneamente.Primero lo hace la policıa enunciando su distribucion de recursos y luego los criminalesactuan optimamente de acuerdo a aquella distribucion1.

Se destaca que es posible cambiar el supuesto del actuar desorganizado de los criminales poruno que suponga que son organizados (mafiosos). En ese caso, se entiende que los criminales tienencomo objetivo maximizar el botın total obtenido.

4.2. El Modelo: Un Enfoque Selfish Routing

El modelamiento que se utiliza para simular la situacion descrita anteriormente es basado en lateorıa de juegos en grafos, mostrado en el capıtulo 3. En detalle, se plantea un modelo en base a unared selfish routing, en la que existe un nodo fuente, un nodo demanda y E arcos que los conectan,con costos asociados ce con e ∈ E (ver figura 4.1). A continuacion, se presenta la relacion entre loselementos y supuestos definidos en la seccion 4.1 y el modelo de grafos.

1 Es decir, el juego puede entenderse de tipo Stackelberg [45].

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Figura 4.1: Grafo de elecciones criminales.

Los arcos representan las estrategias de los criminales (opciones de crimen).

Los flujos factibles a traves de la red representan la cantidad de criminales que escogen cadauna de las estrategias.

La tasa de trafico es unitaria, lo que se interpreta como que la cantidad de criminales queatraviesan el grafo es 1.

Las utilidades de los criminales son vistas como los costos asociados a cada arco. Es decir,los criminales en vez de maximizar su utilidad, minimizan su costo de viaje a traves de lared.

La distribucion de flujo resultante debido a los efectos de congestion, se supone que es unasituacion de equilibrio de Wardrop, lo cual simula el hecho que el comportamiento de loscriminales no es organizado. Sin embargo, este supuesto puede modificarse y suponer colu-sion entre los criminales, la cual provoca que la situacion de equilibrio sea el flujo a costomınimo.

Los recursos policiales modifican el valor de las funciones de costos lo cual afecta en lacongestion de cada arco. Se considera que se cuenta con una unidad de recursos policialesque se distribuyen en las estrategias.

En sıntesis, las estrategias son representadas por los arcos de la red, los criminales son el flujoque atraviesa el grafo, las utilidades son vistas como los costos de los arcos y la policıa administralos recursos que alteran ex-ante estos costos. La desorganizacion criminal es entendida como el

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equilibrio de Wardrop del grafo, y el efecto de congestion queda representado por las variacionesde la funcion de costos segun el flujo o asignacion de recursos policiales.

La siguiente seccion formaliza matematicamente los puntos anteriores.

4.2.1. El Grafo

Para este trabajo, la instancia de la red selfish routing para el modelo planteado se denota(G,d,c)crimen y se especifica como sigue:

Grafo: G = (V,E) es un grafo dirigido donde V = {s, t} representa a los vertices fuente ydemanda (s y t respectivamente).

Arcos: Todos los arcos e ∈ E = {1, ...,E} estan conectados desde s a t y se denotan como(s, t)e ∀e ∈ E.

Funcion de Costos: ce ∀e ∈ E, funciones continuas, no negativas y no decrecientes.

G posee un solo commodity, el cual es representado por los flujos −→x = [x1, . . . ,xE ]t .

Tasa de trafico: d = 1, es decir ∑e∈E xe = 1.

La secuencia de interaccion entre entre los criminales y la policıa en el contexto de la formula-cion como grafo se explica en los siguientes pasos:

1. Estrategia Policial

La policıa distribuye su unidad de recursos sobre las opciones de crimen de manera de modi-ficar el valor de las funciones de costos. Se denota−→α = [α1, . . . ,αE ]t a los recursos policialesy ∑e∈E αe = 1, donde αe es la cantidad de recursos asignados a la estrategia e.

Se le llama −→α ∗ a la asignacion de recursos escogida ex-ante.

Entonces, las funciones de costo quedan definidas por ce(xe,α∗e) ∀e ∈ E.

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Ademas, para cumplir con el efecto de congestion provocado por la policıa, se debe satisfacerque ∂c(x,α)

∂α≥ 0, pues a mayor cantidad de recursos policiales en un arco, mayor es el costo

de atravesarlo.

2. Estrategia Criminal

Dada la distribucion de recursos policiales, los criminales escogen individualmente la manerade minimizar su costo del viaje a traves del grafo. Esto conlleva a un flujo en equilibrio deWardrop para (G,d,c), el cual se alcanza cuando los costos de todos los arcos tienen el mismovalor.

Cabe destacar que esta condicion es valida si y solo si todas las opciones de delitos sonescogidas, es decir, pueden existir arcos sin flujo si el valor de su costo es lo suficientementealto para nunca igualarse a los valores de los costos de los arcos escogidos.

Con lo anterior, se define el equilibrio de Wardrop de esta problematica como sigue:

Definicion 4.1 (Equilibrio de Wardrop en Modelo de Crimen). Sea la instancia (G,d,c)crimen

con funciones de costos ce(xe,α∗e) ∀e ∈ E donde ∑e∈E α∗e = 1.

El flujo −→x ∗ es un equilibrio de Wardrop si se cumplen los siguientes puntos:

ce(x∗e ,α∗e) = C ∀e ∈ E tal que x∗e > 0.

ce(x∗e ,α∗e)≥C ∀e ∈ E tal que x∗e = 0.

Para algun C > 0.

Y en el caso que los criminales sean organizados, el flujo resultante se obtiene de la minimi-zacion del costo grafo. Es decir, −→x ∗ es el flujo a costo mınimo si y solo si:

∑e∈E

x∗e · ce(x∗e ,α∗e) = mın−→x ∑

e∈Exe · ce(xe,α

∗e)

s.a. ∑e∈E

xe = 1

xe ≥ 0 ∀e ∈ E

(4.1)

31


4.2.2. Estrategia Policial Optima

Hasta ahora, el modelamiento anterior no supone que la policıa actua de manera optima en ladistribucion de sus recursos. En esta seccion se define la formulacion matematica que representa laestrategia optima de la policıa tanto en situaciones de criminales desorganizados o mafiosos.

Para obtener este proposito, se entiende que la policıa quiere lograr que los criminales actuen dela manera mas ineficiente posible, interpretado como “el beneficio de la anarquıa”. En otras palabra,se quiere maximizar el costo social de los criminales. Esto se obtiene asignando los recursos demanera de maximizar el costo del grafo a sabiendas de la actuacion criminal posterior.

Si los criminales actuaran de forma desorganizada, la estrategia optima de la policıa serıa ma-ximizar el costo del grafo sujeto a que los criminales alcanzaran posteriormente el equilibrio deWardrop, es decir:

max−→α ,−→x ,−→y ,C

∑e∈E

xe · ce(xe,αe)

s.a. ce(xe,αe) ≥ C ∀e ∈ E

ce(xe,αe)− (1− ye) ·M ≤ C ∀e ∈ E

xe ≤ ye ∀e ∈ E

∑e∈E

xe = 1

∑e∈E

αe = 1

C > 0

xe ≥ 0 ∀e ∈ E

αe ≥ 0 ∀e ∈ E

ye ∈ {0,1} ∀e ∈ E

(4.2)

Donde M >> 0 y las variables binarias ye ∀e ∈ E obligan a que los costos se igualen solo

32


sobre los arcos ocupados.

Cabe destacar que la formulacion anterior puede ser altamente compleja de resolver ya que elproblema tiene funciones de costos no lineales y presenta variables del tipo continuas y binarias.No obstante, esta puede ser simplificada si se agregan condiciones sobre las funciones de costos.

En particular, si ce(0,αe) = c1(0,α1) y ∂ce(xe,αe)∂xe

> 0 ∀e ∈ E (todas las funciones de costostienen el mismo punto de origen y son estrictamente crecientes), todos los arcos en equilibrio tienenun valor positivo y en consecuencia, la formulacion 4.2 se simplifica al siguiente problema:

max−→α ,−→x ,−→y ,C

∑e∈E

xe · ce(xe,αe)

s.a. ce(xe,αe) = C ∀e ∈ E

∑e∈E

xe = 1

∑e∈E

αe = 1

C > 0

xe ≥ 0 ∀e ∈ E

αe ≥ 0 ∀e ∈ E

(4.3)

Lo que es equivalente a que el resultado de la ecuacion 4.2 se cumpla que y∗e = 1 ∀e ∈ E. Esdecir, en el optimo todos los arcos del grafo son utilizados (x∗e > 0 ∀e ∈ E).

Demostracion 4.1. Por contradiccion.

Sea −→x ∗ equilibrio de Wardrop para la instancia (G,d,c)crimen. Sean los conjuntos E y Ec tal que

E = {e ∈ E | x∗e > 0} y

Ec = {e ∈ E | x∗e = 0}⇒ce(x∗e ,αe) = C0 ∀e ∈ E y

ce(x∗e ,αe)≥C0 ∀e ∈ Ec.

33


Por otro lado, si ce(0,αe) = c1(0,α1) y ∂ce(xe,αe)∂xe

> 0 ∀e ∈ E.

⇒ce(0,αe) = C y ce(0,αe) < ce(xe,αe) para xe > 0 ∀e ∈ E.

En particular para −→x ∗, si Ec 6= /0 entonces ∃ j,s tal que j ∈ Ec y s ∈ E.

⇒cs(0,αs) < cs(x∗s ,αs) = C0 y

cs(0,αs) = c j(x∗j ,α j) = C.

⇒ C < C0.

Pero como −→x ∗ es un equilibrio de Wardrop, c j(x∗j ,α j) = C ≥C0, lo que es una contradiccion.

En consecuencia, para que −→x ∗ sea un equilibrio, E = E y Ec = /0.

⇒ x∗e > 0 ∀e ∈ E.

Finalmente, si los criminales actuaran como mafia (organizadamente), la estrategia optima dela policıa estarıa dada por la maximizacion del costo mınimo del grafo:

max−→α

mın−→x ∑e∈E

xe · ce(xe,αe)

s.a. ∑e∈E

xe = 1

∑e∈E

αe = 1

xe ≥ 0 ∀e ∈ E

αe ≥ 0 ∀e ∈ E

(4.4)

Las tres formulaciones anteriores entregan los valores optimos −→α ∗ de recursos policiales y losflujos de criminales −→x ∗ como mejor respuesta a dicha distribucion de recursos.

34


4.3. Metodologıa de Aplicacion del Modelo Teorico

Anteriormente se plantea el modelo teorico que explica la interaccion entre los criminales y lapolicıa usando un enfoque selfish routing en redes. En esta seccion, se presenta una metodologıagenerica para aplicar tal modelo a situaciones reales.

A continuacion, se describe en detalle la metodologıa de aplicacion del modelo, esta consta decinco pasos y son enumerados en lo que sigue:

1. Seleccion de datos.

2. Construccion de estrategias.

3. Seleccion de funciones de costos.

4. Calibracion del modelo.

5. Calculo de la estrategia optima de recursos policiales.

1. Seleccion de datos

Datos de informacion criminal

El primer paso de la metodologıa, es establecer una seleccion de datos relacionados con elcomportamiento criminal que se adecuen de la mejor manera posible a los supuestos delmodelo teorico. Para ello, se deben considerar elementos del tipo espacial, temporal y deltipo de crımenes seleccionados, de manera de mantener una homogeneidad en los datos yminimizar sesgos de comportamiento de los criminales. En general, los datos con los que secuenta respecto a esta informacion son a nivel de denuncias de delitos.

La zona geografica a seleccionar, se debe definir por ejemplo en base a delimitaciones natu-rales, de manera de que haya coherencia espacial en cuanto a la movilidad del crimen. Estasdelimitaciones pueden basarse en las definidas por la autoridad publica y/o por el conoci-miento experto. Ademas, hay que considerar que la zona establecida contenga una densidad

35


significativa de informacion delitos, puesto que se pretende utilizar dicha informacion comoun aproximador del nivel real de crimen.

El perıodo de tiempo a considerar, debe ser escogido de manera de contar con registros sufi-cientes para hacer una exploracion compleja de los datos utilizando por ejemplo estadısticao minerıa de datos. En esta parte se debe tener en cuenta tambien, los elementos exogenosque pudiesen afectar el comportamiento del delito y con ello desencadenar a conclusionesinfluenciadas por esos efectos2.

Los tipos de delitos a seleccionar, deben tener un grado de homogeneidad entre sı, de mane-ra de modelar a los criminales como agentes que efectivamente puedan escoger cualquierade las estrategias disponibles3. Ademas, los delitos seleccionados deben tener la propiedadde ser potencialmente disuadidos con presencia policial, de manera de que sea efectiva lamodelacion de interaccion entre los agentes.

Datos de informacion policial

Los datos de recursos policiales deben ser relacionados con la informacion de delitos y queproporcionen informacion respecto a los esfuerzos que se toman para la disuasion del cri-men. Esto quiere decir que esta informacion debe poder ser asociada a las mismas zonasgeograficas e intervalos temporales que se seleccionaron para la informacion criminal.

Finalmente, se debe poder caracterizar esta informacion en una unidad comun, de manera detratar los esfuerzos policiales de manera objetiva para el modelo4.

2. Construccion de estrategias

Una estrategia de delito puede ser vista como una combinacion de multiples variables queescoge un criminal al momento de delinquir (e.g. dıa de la semana, hora, lugar y tipo de delito).Entonces, luego de realizar una adecuada seleccion de datos, debe decidirse como se utilizaran estos

2 Por ejemplo, un intervalo que contiene elementos exogenos podrıa ser uno que incluya reformas penales en elsistema judicial.

3 Es decir, que el costo de cambio de los criminales de escoger otra estrategia sea despreciable.4 Hay que considerar que este trabajo puede ser complejo en ciertas situaciones considerando que existen multiples

tipos recursos policiales (policıas, casetas, vehıculos, camaras, etc.)

36


datos para la construccion de las estrategias de manera de incluir al mismo tiempo la multiplicidadde variables.

Para ello, en esta metodologıa se propone utilizar metodos de clasificacion mediante clustering.Ası, se asume que existen patrones en los datos de modo que puedan ser clasificados en base asimilitudes subyacentes. De esta manera, cada cluster y su magnitud representaran respectivamente,una estrategia de delito y la intensidad (o proporcion de criminales) con la que fue escogida.

Como se menciona en la seccion 2.1.2, el enfoque de estudio de datos de crımenes medianteclustering, en general ha sido para para la obtencion de hot-spots mediante tecnicas de segmen-tacion georeferenciales [12]. Sin embargo, como este trabajo pretende obtener una interpretacionde los datos que resulten en la construccion de opciones de delitos, se propone utilizar el enfoquerealizado en [33], que aprovecha mayor informacion respecto a las caracterısticas de los crımenesy no solo las relativas a la localizacion geografica.

Finalmente, es importante destacar que como consecuencia de utilizar clustering para la cons-truccion de las estrategias, debe definirse un numero de clases a priori y una medida de similitud.Para la determinacion del numero de clases Xu y Wunsh [50] muestran que existen diversos cri-terios para determinar un efectivo numero de clases, sin embargo, sostienen que la decision finaldepende en gran medida, del juicio del modelador y del conocimiento experto de la problematicaparticular. Para la determinacion de la medida de similitud, plantean que en general se escoge de-pendiendo de la tecnica de clustering que se use, pues su efectividad esta altamente ligada a estadecision

3. Seleccion de funciones de costos

Luego de que se tienen seleccionadas las estrategias, se escogen las funciones de costos para losarcos de manera de modelar el efecto de congestion producido por los criminales y por los recursospoliciales. Para esto, se imponen tres condiciones que deben satisfacer las funciones de costos:

1. Funcion no decreciente: ∂c(x,α)∂x ≥ 0.

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A mayor numero de criminales, mayor es el costo que paga cada uno de ellos.

2. Funcion convexa: ∂2c(x,α)∂x2 ≥ 0.

Congestion por efecto de mayor cantidad de criminales (condicion 3. de Spiess mostrada enla seccion 3.4).

3. Efecto policial : ∂c(x,α)∂α≥ 0.

Incremento del costo al aumentar los recursos policiales (planteado en 4.2.1).

De esta manera, en esta metodologıa se recomienda utilizar funciones que cumplan con almenos las cuatro primeras condiciones de Spiess ya que satisfacen con todas las observacionesanteriores.

4. Calibracion del modelo

La calibracion del modelo consiste en determinar los parametros de las funciones de costos quemejor se ajusten a los datos. Para este objetivo, se debe utilizar toda la informacion disponible delos pasos previos (1-3): los datos de informacion criminal y policial, las estrategias definidas y lasfunciones de costos.

Existen multiples metodos de calibracion de parametros, sin embargo para esta problematica,cualquiera sea el escogido, este debe considerar la unidad de tiempo en la cual se asume la existen-cia de un equilibrio entre criminales y la policıa. Este supuesto debe ser cuidadosamente escogidoen base al estudio de los datos y al conocimiento experto.

Finalmente, el desempeno del metodo de calibracion puede medirse en base a las diferenciasentre los resultados reales y los empıricos.

38


5. Calculo de la estrategia optima de recursos policiales

Una vez calibrado el modelo, se quiere calcular la estrategia optima de recursos policiales, estoes, la mejor asignacion de recursos con el fin de encarecer la accion criminal.

Especıficamente basandose en tecnicas de optimizacion sobre las ecuaciones 4.2 y 4.4, las cua-les pueden volverse altamente complejas. Por ello, para simplificar el problema 4.2, se proponeutilizar el la formulacion 4.3 si se hacen los supuestos adecuados sobre las funciones de costos, loscuales son cumplidos si se utilizan las funciones de Spiess, propuestas en la seccion 3.4.

Adicionalmente, se debe tener en cuenta que es posible obtener optimos locales en la optimiza-cion, puesto que las funciones de costos son no lineales. Para evitar lo anterior, los algoritmos deoptimizacion deben realizarse con multiples valores iniciales de las variables para obtener resulta-dos cercanos al optimo global del sistema.

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Capıtulo 5

Aplicacion del Modelo Teorico

A modo de ejemplo, se experimenta con datos reales la metodologıa planteada en el capıtuloanterior. Para ello, se cuenta con los datos de denuncias de delitos de mayor connotacion social dela Region Metropolitana desde las fechas enero 2001 a febrero 2008 y contiene mas de 500.000registros.

Los atributos y los valores que caracterizan esta base de datos se presentan a continuacion:

Fecha del delito: Ano, mes y dıa

Tipo de delito: Robo con fuerza, robo con violencia, hurto, lesion, violencia intra-familiar,violacion, drogas y homicidio.

Subtipos de delito: Mas de 100 subtipos de delitos.

Cuadrante: Cuadrante en el que ocurrio el delito, aproximadamente 250 cuadrantes.

Hora: Hora y minutos del momento de ocurrencia del delito, con pasos de 5 minutos.

Rango horario: Rango de hora en el que ocurrio el delito. Un dıa esta particionado en 6rangos de 4 horas.

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Capıtulo 5: Aplicacion del Modelo Teorico

Dıa de semana: Lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado o domingo.

A continuacion, se presenta la aplicacion de la metodologıa planteada en 4.3 utilizando losdatos antes descritos.

5.1. Metodologıa aplicada en la Primera Comisarıa de Santiago

1. Seleccion de datos

Se seleccionaron los datos de la Primera Comisarıa de Santiago (cuadrantes 1, 2 y 3) duranteel perıodo junio 2006 a mayo 2007 (51 semanas). La cual esta delimitada en el norte por el rıoMapocho, en el sur por la Avenida General Libertador Bernardo O’Higgins (Alameda) y por elponiente por la autopista “ruta 5”, esto forma un area triangular de aproximadamente de 3.000mts2. (ver figura 5.1). La cantidad total de datos que contiene esta seleccion es de 5.770 registrosde denuncias.

El cuadrante 1 se ubica en la parte oriental del area y contiene al Parque Forestal y el Cerro SantaLucıa. El cuadrante 2 es la zona centro, se encuentra la Plaza de Armas, gran parte del comercio(bancos, oficinas y galerıas), paseos peatonales y la mayor afluencia de personas durante el dıa. Elcuadrante 3 representa a la zona poniente, contiene al Palacio de la Moneda, el mercado central yla Estacion Mapocho.

Esta zona fue escogida debido a su importancia en terminos de denuncias de delitos, siendo elarea de Santiago que posee mas denuncias por m2.

El rango de fechas fue escogido debido a que los registros alcanzan un ciclo anual y se corto enmayo del 2007 porque durante junio del 2007 se puso en marcha un sistema computacional predic-tor del nivel de crimen en esas zonas1, lo que podrıa afectar exogenamente el comportamiento de

1 Este trabajo fue en el marco del proyecto FONDEF D03I1025 “Modelo predictivo del Crimen para la RegionMetropolitana” el ano 2003.

41


Figura 5.1: Area responsable de la Primera Comisarıa de Santiago.

carabineros.

Los delitos se seleccionaron segun su tipo, de manera de utilizar solo aquellos que son poten-ciales a escoger por una masa homogenea de criminales. Estos son el hurto, robo con violencia yrobo con fuerza.

La limpieza de datos se efectua previamente a la seleccion de la comisarıa y se eliminaronprincipalmente las inconsistencias de la base de datos como fechas mal escritas u horas imposibles.

En terminos interpretativos, los datos presentan ciclos en multiples unidades temporales. Estoes, en terminos anuales, mensuales, semanales y diarios se presentan peacks de denuncias de de-litos. Por ejemplo, semanalmente la mayorıa y minorıa de los delitos ocurren los dıas viernes ydomingo respectivamente y en cada dıa, la mayorıa y minorıa de los delitos ocurren entre las 12:00y 16:00 horas y 4:00 y 8:00 horas respectivamente.

Ası mismo, la distribucion de las denuncias de delitos tambien se distribuye segun su tipo ylugar. La mayorıa de las denuncias son robos con violencia y hurtos y aproximadamente el 55%del total de denuncias, son delitos cometidos en el cuadrante 2.

En el anexo A se presentan en detalle algunas estadısticas graficas, en terminos del total de datos

42


disponibles y de la Primera Comisarıa de Santiago, tambien se muestran en detalle los subtipos dedelitos escogidos.

Finalmente, respecto a la informacion policial, para este trabajo no se cuenta con informacionrespecto a los recursos que empleo la policıa durante el perıodo y lugar en cuestion, por lo que seemplea una simulacion de datos basados en una heurıstica del autor. Esta heurıstica es explicada enla seccion de calibracion de parametros.

2. Construccion de estrategias

Como se menciona en la seccion 4.3, se propone utilizar la metodologıa de clustering hechaen [33], que se orienta mas al analisis multivariado de los datos que al georeferencial. En base aello, se emplea el algoritmo k-medias [26] con distancias euclidianas, ya que ademas de favoreceren lo antes mencionado, su utilidad esta en que construye categorıas no difusas y tambien permitedesarrollar multiples experimentos en corto tiempo2. El algoritmo k-medias se presenta en el anexoD.1.

Las variables escogidas para considerar en el clustering, son tipo de delito, cuadrante, rangohorario y dıa de la semana.

3. Seleccion de funciones de costos

Las funciones de costos empleadas son las funciones BPR y CCF (ecuaciones 3.1 y 3.2) modi-ficadas para tomar en cuenta el efecto policial. Esto se hizo considerando un β real ajustado, queincorpora la asignacion de recursos policiales α. Luego, se plantea βreal = β−α, con lo que lasfunciones quedan definidas como sigue:

2 Se aclara que para efectos de este trabajo, no se conto con ayuda experta en el comportamiento del crimen en elsector de la Primera Comisarıa para la construccion de las clases, por lo que en esta parte se utilizo principalmente laintuicion del autor.

43


f BPR(x,α) = 1+ x(β−α) (5.1)

fCCF(x,α) = 2+√

(β−α)2 · (1− x)2 + γ2− (β−α) · (1− x)− γ (5.2)

Donde γ = 2(β−α)−12(β−α)−2 y β ≥ 1. Luego se verifica que se cumplan las tres condiciones impuestas

en 4.3:

Funcion BPR:∂ f BPR(x,α)

∂x = (β−α) · x(β−α−1) ≥ 0.∂2 f BPR(x,α)

∂x2 = (β−α) · (β−α−1) · x(β−α−2) ≥ 0.

∂ f BPR(x,α)∂α

=−α · ln(x) · x(β−α) ≥ 0.

Funcion CCF:∂ fCCF (x,α)

∂x = (β−α) ·(

1+ (β−α)·(x−1)√(β−α)2·(1−x)2+γ2

)≥ 0

∂2 fCCF (x,α)∂x2 = (β−α)2((β−α)2·(1−x)2+γ2)+(β−α)3·(1−x)2

(β−α)2((β−α)2·(1−x)2+γ2)32

≥ 0.

∂ fCCF (x,α)∂α

= 1− x+ 1β−α−1 −

2(β−α)−12(β−α−1)2 +A ≥ 0.

donde A =−2(β−α)(1−x)2− 2(β−α)−1

(β−α−1)2+ (2(β−α)−1)2

2(β−α−1)3

2·√

(β−α)2(1−x)2+ (2(β−α)−1)2

(2β−2α−2)2

.

En ambas funciones las condiciones se cumplen solo si β−α > 1 y 0 < x < 1. La primeracondicion asociada a la funcion CCF se demuestra usando el teorema de pitagoras, que muestraque el segundo termino del parentesis esta contenido entre -1 y 1 [44]. La tercera condicion, sedemuestra evaluando numericamente sobre todo el dominio.

Cabe destacar que ambas funciones son utiles para la obtencion del equilibrio de Wardrop demanera simplificada (descrito en la demostracion 4.1), pues cumplen con la igualdad de valores enx = 0 independiente de sus parametros y son estrictamente crecientes en todo el dominio.

44


Ademas, es posible agregar un grado de sensibilidad sobre el modelo considerando que losrecursos policiales son decrecientes a escala. En ese caso, los parametros pueden ser modificadosplanteando βreal = β−αδ para 0 < δ < 1 (dado que α≤ 1).

4. Calibracion del modelo

Dado el analisis previo de los datos de denuncias de delitos, se escoge la unidad de tiempo sema-nal como supuesto de la existencia de equilibrio. Como consecuencia, la calibracion de parametrosse basa en 51 equilibrios de Wardrop. El motivo principal de este supuesto esta en la presenciasistematica del patron cıclico semanal y tambien en la cantidad significativa de datos en cada unode estos ciclos.

Ademas, se menciona anteriormente que no se cuenta con informacion respecto a la distribucionde recursos policiales y por ello, se simulan en base a una heurıstica. A continuacion se enuncianlas consideraciones hechas para la creacion de esta heurıstica:

Se asume que los recursos policiales se asignan tomando en cuenta el nivel de crimen que seobservo en las cuatro semanas previas.

Las asignaciones policiales se asocian a las estrategias de delitos definidas en el punto 2.

Se considera la estimacion de crimen para una semana como la ponderacion entre el promediodel nivel de crimen de las tres semanas previas y la cuarta semana previa. Ası, se consideraque el promedio de las tres semanas previas marca la tendencia del nivel de crimen y la cuartasemana marca el ciclo mensual.

Los recursos policiales se determinan normalizando las estimaciones de la intensidad decrimen en cada estrategia.

Con lo anterior, la heurıstica que simula el comportamiento de distribucion de recursos policia-

45


les se formaliza como sigue:

Pte = η

(Pt−1

e +Pt−2e +Pt−3

e3

)+(1−η)Pt−4

e ⇒ αte =

Pte

∑e∈E Pte∀e ∈ E. (5.3)

Donde Pte representa el nivel de crimen (cantidad de denuncias) estimado para la estrategia e

en la semana t. Esto se basa en la cantidad de denuncias observadas Pe de los cuatro perıodosprevios y η es el ponderador de la serie. Luego, la asignacion de recursos policiales αt

e se determinanormalizando los valores de Pt

e.

Luego de tener construidos los datos de la estrategia policial, se procede a la calibracion delmodelo. Para este trabajo se utiliza el mecanismo de busqueda de parametros dentro de una grillade valores.

Especıficamente, se plantea un metodo que itera sobre una grilla de valores de los parametrosde las funciones de costo, de manera de seleccionar todas las combinaciones posibles que ofrecela grilla. En cada iteracion, el algoritmo selecciona un conjunto de parametros y la informacionde recursos policiales para ası determinar los parametros de las funciones de costos en cada arco.Luego, en base a esos costos parametrizados, se computa el flujo de Nash correspondiente y secompara con el flujo real observado3. Luego se registra con alguna medida de error la diferenciaentre el valor observado y la del equilibrio computado. Finalmente, entre todas las ejecuciones seselecciona aquel conjunto de parametros de la grilla que minimiza el error.

En este punto es importante aclarar que la seleccion de las funciones BPR y CCF no implicaque estas sean utilizadas simultaneamente sobre un mismo modelo. Para este trabajo en un modelose utiliza solo una familia de funciones de manera de facilitar la calibracion de parametros.

Con lo anterior, el algoritmo se formaliza como sigue:

1. ENTRADA: A, Xreal , B.

• A = {αte}: Matriz E ×T , en donde el elemento αt

e representa la cantidad de recursos

3 El cual se obtiene segun la intensidad (cantidad de delitos normalizada) de cada cluster.

46


policiales asignados a la estrategia e en el tiempo t.

• Xreal = {xtreal,e}: Matriz E ×T , en donde el elemento xt

real,e representa la cantidad decriminales que escogieron la estrategia e en el tiempo t.

• B = {bse}: Matriz E × S, es la grilla de parametros que configuran las funciones de

costos. El vector fila e de la matriz representa a los posibles valores que configuran lafuncion de costos ce. La cantidad de valores posibles esta determinada por S. Ası, elelemento bs

e representa al s-esimo valor del parametro asociado al costo ce.

SALIDA: Bmin, Err.

• Err: Error mınimo obtenido de la calibracion (escalar). Comienza con un valor M >> 0.

• Bmin: Vector E×1 que entrega el conjunto de parametros que minimiza Err.

2. Construir conjunto de todas las combinaciones de parametros a partir de B. Cada estrategiae tiene S valores posibles de parametros, por lo que el numero de combinaciones es C =ES. A este conjunto se le denota como B = {b•,i}Ci=1 donde b•,i es el vector i-esimo de lacombinacion de parametros.

Se le llama cie a la funcion de costos del arco e configurada con el parametro be,i.

3. Se itera sobre i = 1 a i = C.

3.1 Erraux = 0.

3.2 Se itera sobre t = 1 a t = T .

3.2.1 Se configuran las funciones de costos: cie(xe,α

te) ∀e ∈ E.

3.2.2 Se obtiene x?te ∀e ∈ E computando el equilibrio de Wardrop (o el flujo a costo

mınimo).

3.2.3 Erraux = Erraux +∑e∈E |xtreal,e− x?t

e |.

3.3 Si Erraux < Err entonces Err = Erraux y Bmin = b•,i.

Notar que la cantidad de equilibrios computados puede ser un numero considerablemente alto(T ·ES). Esto tiene como consecuencia que la decision del tamano de los valores de entrada reper-cuten en el tiempo de obtencion del vector de parametros optimo. Por ello, el algoritmo se computa

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multiples veces, pero en cada corrida se utiliza una grilla de parametros de menor paso en tornoal valor Bmin obtenido en la corrida anterior. De esta manera, la grilla final tiene un paso entre susvalores que no causa un alto impacto respecto al desvıo del valor optimo real. Para este estudio sedefine arbitrariamente realizar este proceso hasta obtener pasos en la grilla de 0.01 de distancia.

Finalmente, debe tenerse en consideracion un estudio posterior de sensibilidad de los resultadosobtenidos y ası saber si se esta bajo un resultado de multiples optimos o uno global. Para efectosde este trabajo, el analisis de sensibilidad se realiza implıcitamente al realizar la evaluacion de lagrilla de parametros, aunque queda propuesto el trabajo de la formalizacion matematica.

El algoritmo planteado fue implementado en el Software MATLAB 2007. Los codigos se pre-sentan en el anexo D.2.

5. Calculo de la estrategia optima de recursos policiales

Para el modelo teorico en que los criminales no son organizados (ecuacion 4.3), se realizanlos modelos de optimizacion con el solver de MS Excel 2007 ejecutandolo de diferentes puntosiniciales.

Para el modelo teorico en que los criminales estan coludidos (ecuacion 4.4), la maximizacion seobtiene utilizando el algoritmo de calibracion de parametros pero iterando sobre grillas de valoresde los recursos policiales y computando el flujo a costo mınimo. Ası, el mayor valor obtenido delmınimo costo del grafo es la mejor aproximacion a los recursos policiales optimos.

Especıficamente, el algoritmo se modifica de la siguiente manera:

1. ENTRADA: A, B.

• A = {αse}: Matriz E × S, en donde el elemento αs

e representa al valor s-esimo de lacantidad de recursos policiales asignados a la estrategia e4.

4Se debe considerar que ∑e∈E αse = 1 ∀s ∈ S.

48


• B: Vector E×1 de valores β obtenidos de la calibracion.

SALIDA: cmin, Amin.

• cmin: Costo mınimo obtenido de la calibracion (escalar). Comienza con un valor M >>

0.

• Amin: Vector E×1 que entrega el conjunto de parametros α que configuran cmin.

2. Construir conjunto de todas las combinaciones de parametros a partir de A. Cada estrategiae tiene S valores posibles de parametros, por lo que el numero de combinaciones es C =ES. A este conjunto se le denota como A = {a•,i}Ci=1 donde a•,i es el vector i-esimo de lacombinacion de parametros.

Se le llama cie a la funcion de costos del arco e configurada con el parametro ae,i.

3. Se itera sobre i = 1 a i = C.

3.1 caux = 0.

3.2 Se configuran las funciones de costos: cie(xe, ae,i) ∀e ∈ E.

3.3 Se obtiene x?e ∀e ∈ E computando el flujo a costo mınimo.

3.4 caux = ∑e∈E x?e · ci

e(x?e , ae,i)

3.5 Si caux > cmin entonces cmin = caux y Amin = a•,i.

5.2. Robustez de la Metodologıa de Aplicacion

Como se muestra en la secciones 4.3 y 5.1 que en cada paso de la calibracion se deben escogeralternativas tales como la funcion de costos, el metodo de clustering y el desempeno de los recursospoliciales. Estas decisiones se toman en base criterios del modelador y a la experiencia que setiene respecto a la problematica. En consecuencia, los resultados obtenidos seran producto de estasdecisiones. Por ello, con el objetivo de abarcar varias opciones, se propone realizar un analisis derobustez de los resultados variando distintos elementos de los pasos metodologicos.

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Se plantea un caso base que considera un conjunto decisiones fijas y luego, se analizan otrosresultados sensibilizando algunas de estas decisiones. El caso base considera lo siguiente:

Estrategias de crimen: Se obtienen utilizando k-medias y con un numero definido de clasesa priori.

Funciones de Costos: Se considera la funcion de costos BPR modificada.

Heurıstica de recursos policiales: Se utiliza el modelo de suavizacion exponencial plantea-do.

Comportamiento criminal: Se consideran criminales no organizados.

Y para el analisis de robustez se varıan sobre el caso base los siguientes elementos:

Clases del clustering: Se prueba con otra cantidad de estrategias de manera de observarcambios en el modelo cuando existen otras magnitudes e interpretaciones de las estrategias.

Funcion de costos: Se cambia a la funcion CCF .

Rendimiento de recursos policiales: Se prueba con una potencia de α distinta de la unidad,de manera de simular los recursos policiales con rendimientos decrecientes a escala (0 < δ <

1).

Criminales organizados: Considera el caso cuando los criminales se organizan.

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Capıtulo 6

Resultados y Analisis

En esta seccion se presentan los resultados obtenidos del caso base y de sus variaciones, con elobjetivo de comprender bajo distintas perspectivas el fenomeno de interaccion criminal y policial.

Los escenarios propuestos son cinco: caso base, variacion en numero de clases del clustering,variacion en la funcion de costos, rendimientos decrecientes a escala de los recursos policiales yconsideracion de criminales organizados. La tabla 6.1 muestra la notacion y el detalle de cada unode los escenarios propuestos.

Escenario Clustering Func. Costos Rend. Policial (β−αδ) Org. CriminalesCaso Base (C-base) Cluster base BPR δ = 1 DesorganizadosCaso C-estrategias Cambio en N◦ clases BPR δ = 1 DesorganizadosCaso C-costos Cluster base CCF δ = 1 DesorganizadosCaso C-rendimientos Cluster base BPR δ = 0.95 DesorganizadosCaso C-mafia Cluster base BPR δ = 1 Organizados

Tabla 6.1: Notacion escenarios investigados.

En base a lo anterior, este capıtulo se organiza en tres secciones: resultados y analisis de clusterspara la construccion de las estrategias, resultados y analisis del caso base y resultados y analisis delos otros casos.

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Capıtulo 6: Resultados y Analisis

6.1. Resultados del Clustering

Se emplea el metodo k-medias con distancias euclidianas para construir los clusters. Para ello,las variables a utilizar son clasificadas segun su tipo para luego transformarlas para minimizar losefectos de magnitud. La clasificacion de las variables es la siguiente:

Variable espacial: Cuadrantes.

Variables temporales: Dıa de la semana y rango horario.

Variable circunstancial: Tipo de delito.

La transformacion se basa en las clasificaciones mostradas. Las variables espacial y circuns-tancial son transformadas en variables categoricas. Las variables temporales presentan un caractercıclico (el ultimo estado antecede al primero) por lo que pueden ser transformadas de diversasmaneras. Por ejemplo, en [33] se propone transformar estas en variables de orden escogiendo ade-cuadamente el valor que sera el inicial de manera de minimizar el efecto cıclico. Se utiliza estecriterio sobre la variable dıa de la semana, pero sobre la variable rango horario, se propone unatransformacion novedosa que la transforma en dos variables, basadas en las coordenadas de unhexagono. Como consecuencia, el efecto del ciclo horario se vuelve mas influyente que el efectocıclico semanal. A continuacion es explicada en detalle esta transformacion.

Clustering priorizando el efecto cıclico del rango horario

Este procedimiento consiste en transformar la variable rango horario en dos variables circuns-critas en los vertices de un hexagono de radio 1. Ası, el efecto cıclico de las horas es perfectamentesimulado si se aısla del efecto de la variable dıa de la semana (cada rango horario tiene dos rangosseparados a una misma distancia y otro separado a una maxima distancia). La figura 6.1 muestra latransformacion de la variable junto con su interpretacion geometrica.

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Figura 6.1: Transformacion de variable “Rango Horario”.

La variable dıa de la semana es ignorada como variable cıclica puesto que se asume que si bienlos dıas son consecutivos, existen diferencias que no los hace asumirlos como tal. El mas claroejemplo es evidenciado entre los dıas domingo y lunes, en donde se asume que la brecha de denun-cias de delitos se debe a que existe una gran diferencia entre esos dıas respecto al comportamientocriminal. Por ello, esta variable es tratada como una variable de orden normalizada en donde el va-lor 0 corresponde al dıa lunes, el valor 1 al dıa domingo y los otros dıas estan ubicados ordenadosy equidistantes entre estos dos valores.

El resumen de las transformaciones de todas las variables se presenta en la tabla 6.2.

Atributo Tipo Variable ValoresCuadrante 1 {0,1}

Cuadrante Categorico Cuadrante 2 {0,1}Cuadrante 3 {0,1}

Hurto {0,1}Tipo de delito Categorico Robo con Fuerza {0,1}

Robo con Violencia {0,1}Rango horario Continuo XRango [-1,1]

Continuo YRango [-0.866,0.866]Dıa de semana Continuo DSemana [0,1]

Tabla 6.2: Transformacion de las variables.

Luego que se tienen las variables transformadas, se emplea el algoritmo k-medias utilizandoel Software SPSS 16.0. El criterio para la seleccion del numero de clases fue principalmente la

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magnitud de cada clase y la interpretacion que entrega. El procedimiento comienza utilizando elalgoritmo con 5 clases a priori y se detiene cuando se llega a 9 clases debido a la baja cantidad dedatos de algunas clases (menor al 5%). La tabla 6.3 muestra la magnitud porcentual de datos quecontiene cada uno de los clusters.

Clusters 5 Clases 6 Clases 7 Clases 8 Clases 9 Clases1 29% 11% 9% 8% 5%2 29% 16% 15% 14% 13%3 13% 15% 26% 17% 16%4 11% 34% 20% 17% 10%5 19% 15% 9% 14% 16%6 8% 8% 12% 10%7 13% 6% 13%8 13% 9%9 10%

Tabla 6.3: Resultados del analisis de cluster.

Posteriormente, para escoger la cluster mas adecuado para el modelo, se examina la distribucionen magnitud de los datos junto con una breve interpretacion de las clases basado en los valores desus centros de clase. Los resultados de los centroides se encuentran en el anexo B.

Seleccion de Cluster

En base al analisis de magnitud de las clases se escogen como numero de clusters candidatoslos de 7 y 8 clases (C7 y C8 respectivamente). El motivo principal es porque estos clusters poseentanto clases de tamanos grandes como pequenos sin que la brecha entre el mayor y el menor seasignificativamente alta y se escape de la realidad de la situacion que se quiere modelar. Ademas, estehecho se complementa con el analisis interpretativo de las clases, que es basado en los resultadosmostrados en el anexo B.2. A continuacion, son presentadas las interpretaciones de las clases paraC7 y C8.

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Cluster C7

Cluster 1 (8.8%): Espacialmente, esta clase se distribuye de manera proporcional en lostres cuadrantes. Temporalmente, se cometen en su mayorıa los dıas lunes, martes y fin desemana durante las mananas (de 04:00 a 12:00 horas) y en terminos de tipos de delitos solopresenta robos con fuerza y violencia. Este cluster se puede bautizar con el nombre “el robotemprano”.

Cluster 2 (14.8%): Este cluster presenta delitos unicamente del cuadrante 3. Se distribuyenproporcionalmente durante toda la semana y son cometidos en la tarde (12:00 a 20:00 horas).Estos son casi en su totalidad hurtos y robo con violencia. Este cluster se bautiza como “roboen la tarde en cuadrante 3”.

Cluster 3 (26.3%): Este segmento es el mas numeroso y representa a delitos unicamentedel cuadrante 2. Estos delitos predominan los dıas de semana excluyendo el viernes y soncometidos en la tarde (12:00 a 20:00 horas). Son casi en su totalidad hurtos y robos conviolencia. Este cluster se bautiza como “robo de hora de almuerzo o vuelta del trabajo”.

Cluster 4 (19.9%): Al igual que el cluster anterior, este representa unicamente delitos delcuadrante 2. Predominan en la tarde-noche (20:00 a 00:00 horas) de los viernes y en la ma-yorıa son hurtos y robos con violencia. Este cluster se denomina “robo en la tarde-nocheen cuadrante 2”.

Cluster 5 (8.6%): Este cluster se distribuye proporcionalmente en todos los cuadrantes. Sucaracterıstica principal es que presenta unicamente hurtos. Predominan mayoritariamente losdıas de semana y se presentan en las horas laborales (08:00 a 16:00 horas). Esta cluster esbautizado como “hurto durante el horario de trabajo”.

Cluster 6 (8.3%): Estos delitos se distribuyen en todos los cuadrantes, aunque mayormenteen el cuadrante 3. Predominan especialmente los fines de semana durante la noche (20:00a 04:00 horas) y son en la mayorıa robos con violencia. Este cluster es bautizado como“cogoteo durante el carrete”.

Cluster 7 (13.3%): Estos delitos son cometidos unicamente en el cuadrante 1, predominanlos fin de semana y sobre todo el domingo. Los horarios en donde se cometen son en la tarde

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y la noche (12:00 a 04:00 horas). Estan presentes todos los tipos de delito aunque predominael robo con violencia. Esta clase se caracteriza con el nombre de “robo en paseo o carretede fin de semana”.

Cluster C8

Cluster 1 (7.6%): Este cluster pertenece casi en su totalidad al cuadrante 1. Temporalmente,la mayorıa de ellos son cometidos los fines de semana en la noche y en la madrugada (20:00a 08:00 horas). Predomina el robo con violencia y el robo con fuerza. Este cluster se bautizacomo “robo en carrete en cuadrante 1”.

Cluster 2 (13.7%): Este cluster contiene delitos del cuadrante 2 y 3. Ocurren por lo generalen la semana en la noche predominando antes de media noche (20:00 a 04:00 horas) y en sumayorıa son robos con violencia. Esta clase se bautiza como “robo de vuelta del trabajo ohappy hour”.

Cluster 3 (17.2%): Ocurren en casi su totalidad en el cuadrante 2. Predominan durante lasemana sin incluir el viernes y durante el dıa (04:00 a 16:00 horas) y casi la totalidad de ellosson hurtos. Este cluster se caracteriza con el nombre “hurto en el horario de trabajo”.

Cluster 4 (17.1%): Este segmento se distribuye en los cuadrantes 1 y 2 con mayorıa en elcuadrante 2. Predominan en la semana y durante la tarde (12:00 a 20:00 horas) y son en lagran mayorıa robos con violencia. Esta clase es llamada “robo violento durante la tarde”.

Cluster 5 (14.1%): Este cluster contiene todos los cuadrantes aunque predomina el cua-drante 3. Se distribuyen proporcionalmente los dıas de la semana y en los tipos de delito. Loshorarios de ocurrencia son durante el dıa (04:00 a 16:00 horas). Esta clase se bautiza como“cogoteo durante el dıa”.

Cluster 6 (11.7%): Estos delitos ocurren unicamente en el cuadrante 3. Predomina el hurtoy hay robos con violencia. Mayoritariamente estan en la semana sin incluir los viernes yocurren durante la tarde (12:00 a 20:00 horas). Esta clase es bautizada como “robo en latarde en cuadrante 3”.

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Cluster 7 (6.0%): Se distribuye proporcionalmente en los tres cuadrantes. Predominan loshurtos y en mayorıa durante el dıa viernes en la noche temprana (20:00 a 00:00 horas). Estaclase es bautizada como “robo de viernes en la tarde-noche”.

Cluster 8 (12.7%): Se presentan en los cuadrantes 1 y 2. Predominan los hurtos los dıasde semana y en la tarde (12:00 a 20:00 horas). Esta clase se le caracteriza con el nombre de“hurto a la hora de almuerzo o vuelta del trabajo”.

Para finalizar esta seccion, se concluye que ambas posibilidades de clusters posibilitan un facilentendimiento del fenomeno del crimen, ya que captura los multiples factores que influyen en ladecision criminal, haciendolos interpretables bajo patrones especıficos.

En terminos de la transformacion de las variables, se observa que se prioriza el efecto cıclicodiario utilizando dos variables normalizadas sobre la variable hora y a las otras tratandolas comocategoricas o de orden. Como resultado, se obtienen clases perfectamente separadas por rangoshorarios consecutivos y con marcadas tendencias en las otras variables. Este hecho permite carac-terizar las decisiones de los criminales en conjuntos distintivos. Los bautizos de cada una de lasclases muestran efectivamente como las variables se combinan y pueden ser interpretadas con unaconceptualizacion general.

Los analisis detallados de C7 y C8 muestran las similitudes y diferencias que hay entre algunasclases. Por ejemplo, la clase 7 de C7 representa el tipo de crimen del fin de semana y viernes durantela tarde-noche, pero en C8 no existe tal clase pero si puede distinguirse que la combinacion de lasclases 1, 2 y 7 conforman en parte ese tipo de delito.

Como decision final, el autor escoge arbitrariamente la configuracion de 7 clases para el casobase y el de 8 para el escenario de robustez C-estrategias1.

En este punto, es importante destacar que la tecnica entrega un gran poder de analisis de los da-tos, que puede ser aprovechada gracias a la flexibilidad y simpleza. De esta manera, combinandolacon conocimiento experto, el aporte en el entendimiento del crimen puede ser altamente beneficiosopara investigadores e instituciones relacionados con esta problematica.

1 De esta manera se disminuyen los tiempos de calibracion de parametros en todos los otros escenarios.

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6.2. Resultados del Caso Base

En esta seccion se presentan y analizan los resultados obtenidos de la metodologıa de aplicaciondel modelo sobre el caso base. Este escenario esta conformado por siete arcos, que representan lostipos de delitos descritos en la seccion anterior. Junto con esto, en cada arco se asocia una funcionde costos BPR modificada, como se muestra en la ecuacion 5.1. Ademas, el escenario base asumeque los criminales no son organizados, por lo que el equilibrio alcanzado es representado por elFlujo de Nash del grafo.

6.2.1. Calibracion de Parametros

La calibracion consiste en ajustar los parametros de las funciones de costos del modelo de ma-nera que se ajusten optimamente a los datos de denuncias observados y a la heurıstica de asignacionde recursos policiales. Para este trabajo se plantea un algoritmo basado en iteraciones sobre una gri-lla de valores de parametros, que requiere de datos de entrada respecto de los ataques criminales(Xreal) e informacion de la distribucion de recursos policiales (A) en cada tipo de delito.

Obtencion de los Parametros de Entrada

La matriz Xreal se obtiene de los datos que se utilizaron para la obtencion de los clusters, en elson agrupados por semanas y por las clases a las que pertenecen y luego normalizados para que elflujo total sea de valor 1.

La entrada A se calcula configurando el parametro de la suavizacion exponencial η (ecuacion5.3) de manera de que los recursos policiales sean un buen aproximador de los ataques de loscriminales. El valor determinado para este parametro es de 0.8 con un error promedio por clase ysemana de 2.75%.

Las series de ambas matrices son mostradas en la figura 6.2. Las desviaciones estandar son de

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3.9% y 1.9% para Xreal y A respectivamente y se refleja que la accion criminal es mas irregularque la distribucion de recursos policiales. Este hecho muestra que el modelo de simulacion provocaque los recursos policiales presenten una mayor inercia de distribucion e impide cambios bruscosen los datos.

Figura 6.2: Serie de Matrices Xreal y A para C7.

Finalmente, las ejecuciones iniciales del algoritmo utilizaron una grilla de valores de los parame-tros B con valores en el rango de 1.5 a 4.0 con pasos de 0.5. Luego, las ejecuciones finales tuvieronpasos de 0.01 y un ancho de 3 valores por parametro.

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Resultados de la Calibracion

Luego de la ejecucion del algoritmo de calibracion, el resultado que se obtiene es el vector devalores del parametro β de la funcion BPR. La tabla 6.4 muestra el valor promedio de las preferen-cias de los criminales en las 51 semanas (x promedio) y el valor de β obtenido.

Cluster x prom. β C-base1 9.0% 1.832 14.7% 2.373 26.0% 3.364 20.3% 2.875 8.6% 1.86 8.2% 1.797 13.3% 2.24

Tabla 6.4: Resultados β Caso Base.

Se observa que los resultados de β capturan el efecto de las preferencias de los criminales, endonde los mayores valores de β representan a las preferencias mas escogidas (clases 3 y 4). Ademas,entre las clases de menor magnitud (1, 5 y 6), los parametros β obtienen un valor distinto a pesarde la cercanıa entre ellos y de las variaciones en sus datos (ver figura 6.2), con lo que se muestraque la calibracion del modelo es capaz de capturar variaciones en los datos siendo consistente conel promedio observado.

6.2.2. Calculo de la Estrategia Optima

La estrategia optima se determina utilizando el solver de MS Excel 2007 sobre la ecuacion 4.3.La resolucion se realiza multiples veces desde distintos puntos iniciales, de manera de obtener unoptimo local que sea cercano al global. El resultado se despliega en la tabla 6.5 y compara entre elescenario actual y el optimizado los valores de la distribucion de los recursos policiales (α) y de laspreferencias criminales.

En base a lo anterior, se observa que el caso base muestra las asignaciones optimas de recursospoliciales se distribuyen solo en las estrategias intermedias (2 y 7) y en muy pequena cantidad

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Cluster Actual C7 C-baseα prom. x prom. α opt. x resultante

1 8.9% 9.0% 1.3% 9.8%2 14.7% 14.5% 56.4% 9.7%3 26.0% 26.3% 0.0% 28.5%4 20.3% 19.8% 0.0% 23.0%5 8.6% 8.7% 0.0% 9.6%6 8.2% 8.3% 0.0% 9.5%7 13.3% 13.4% 42.4% 9.8%

Tabla 6.5: Resultados de α optimo en Caso Base.

en la 1. Las magnitudes son 56.4% 46.4% y 1.3% respectivamente. Esta distribucion provocauna reaccion teorica de los criminales que disminuye los ataques en las estrategias intermedias yaumenta los ataques en todas las demas. Como consecuencia, los ataques en todas las estrategias, aexcepcion de las mayores (3 y 4), se equiparan en magnitud. (9.6%±0.1%).

Finalmente, se mide cuantitativamente las efectividad de las asignaciones optimas determinadasanteriormente. Para ello, se propone comparar las diferencias relativas del costo del grafo entre lasituacion actual, la maximizacion y la minimizacion, de manera de obtener la posicion porcentualen que se encuentra la situacion actual de la optima.

Los valores mınimos se obtienen utilizando la herramienta solver de MS Excel 2007 de maneraanaloga a la obtencion de valores maximos. El costo de la situacion actual se calcula obteniendolos valores teoricos de las reacciones criminales dada la asignacion de recursos policiales actual,promediando sobre todo el intervalo de tiempo (51 semanas). El resultado es desplegado en latabla 6.6 y muestra que la optimizacion aumenta en un 65% el costo variable del grafo respectoa la situacion actual2, con lo que se cumple ampliamente el objetivo del modelo en terminos deencarecer y dificultar el actuar criminal.

2 En el costo del grafo existe un costo fijo de valor 1.

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C-base Costo Tot. Grafo Costo Var. Grafo PosicionMin Equilibrio 1.01441 0.01441 0.00

Actual (prom. 51 semanas) 1.01453 0.01453 0.35Max Equilibrio 1.01477 0.01477 1.00

Tabla 6.6: Costos del grafo mınimo-actual-maximo en Caso Base.

6.3. Resultados del Analisis de Robustez

El analisis de robustez contempla cuatro escenarios adicionales al caso base y tienen por objeti-vo contrastar los resultados de este frente a variaciones en la metodologıa de aplicacion del modelo.Esta seccion se organiza de manera similar a la anterior, solo que los resultados de todos los esce-narios son desplegados conjuntamente y los analisis estan orientados a la comparacion con el casobase.

6.3.1. Calibracion de Parametros

La calibracion de los parametros β en cada uno de los escenarios es realizada empleando elmismo algoritmo presentado, en donde en cada caso se realiza la variacion correspondiente.

En detalle, para el escenario C-estrategias el algoritmo es el mismo pero utilizando los datos deC8, por lo que los valores de entrada Xreal , A y B cambian (ver figura C.1 en anexo C). El escenarioC-costos presenta el cambio en el algoritmo de la funcion BPR a la funcion CCF modificada. Elescenario C-rendimientos agrega en la funcion BPR modificada un factor de 0.95 sobre el parametroα. Finalmente, el escenario C-mafia modifica el calculo del equilibrio de Wardrop por el computodel flujo del grafo a costo mınimo.

Los resultados de los parametros β se despliegan en las tablas 6.7 (C7) y 6.8 (C-estrategias).Ademas, se muestra la figura C.2 (anexo C) las fluctuaciones de β en cada uno de los escenarios deC7.

Los analisis que vienen a continuacion se explican comparativamente respecto al caso base, de

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β

Cluster % promedio C-base C-rendimientos C-mafia C-costos1 8.8% 1.83 1.88 1.64 1.482 14.8% 2.37 2.43 2.23 2.293 26.3% 3.36 3.45 3.42 3.874 19.9% 2.87 2.95 2.80 3.105 8.6% 1.8 1.85 1.60 1.436 8.3% 1.79 1.84 1.62 1.437 13.3% 2.24 2.30 2.08 2.10

Tabla 6.7: Resultados β escenarios C7.

β

Cluster % promedio C-estrategias1 7.6% 1.842 13.7% 2.443 17.2% 2.734 17.1% 2.715 14.1% 2.436 11.7% 2.277 6.0% 1.658 12.7% 2.32

Tabla 6.8: Resultados β C-estrategias.

modo de aportar en el entendimiento del crimen desde una perspectiva mas amplia.

En el escenario C-mafia, la brecha entre los parametros asociados a las estrategias de crimenmenos numerosas y las mas numerosas se amplifica: las diferencias se dan entre los valores 1.62 y3.42, mientras que en el caso base los βs toman los valores 1.79 y 3.36 respectivamente. Ademas,este escenario presenta una leve diferencia entre los βs del cluster 5 y 6, en donde su relacion deorden es inversa a las demas. Este fenomeno se debe a la sensibilidad que presenta el algoritmopropuesto, en donde el criterio de minimizacion de errores absolutos provoca aquel efecto.

El escenario C-costos presenta el mismo efecto de amplificacion de C-mafia, pero aun mas pro-nunciado: los βs mınimo y maximo son 1.43 y 3.87 respectivamente. Adicionalmente, los valoresβ mınimos tienen el mismo valor (1.43), lo que se interpreta como que las pequenas fluctuaciones

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de valores no son captadas con parametros de dos dıgitos significativos.

En el escenario C-rendimientos, los βs se amplifican de manera no lineal en todas las clases, loque es consistente con el efecto inducido con el exponente γ en la expresion αγ.

El escenario C-estrategias, es equivalente al caso base en terminos de las funciones de costo,rendimientos policiales y organizacion criminal. Los comportamientos en magnitud de los parame-tros en este caso son muy similares a las del caso base.

6.3.2. Calculo de la Estrategia Optima

Analogo al caso base, se presentan los resultados de las estrategias optimas comparando losvalores promedios del escenario actual. Los resultados son presentados en las tablas 6.9 y 6.10.

Cluster C-rendimientos C-costos C-mafiaα x resultante α x resultante α x resultante

1 8,3% 8,9% 0,0% 9,5% 0,0% 9,8%2 56,1% 9,7% 0,0% 16,0% 19,3% 14,4%3 0,0% 28,6% 0,0% 27,2% 0,0% 28,2%4 3,7% 22,6% 0,0% 22,1% 76,3% 14,4%5 3,6% 9,2% 43,0% 6,1% 0,0% 9,3%6 3,4% 9,1% 0,6% 9,1% 0,0% 9,6%7 24,9% 11,9% 56,4% 10,0% 4,3% 14,4%

Tabla 6.9: Resultados de α optimo analisis de robustez C7.

El analisis de los resultados es presentado a continuacion de la misma manera como fue pre-sentado el caso base3.

C-rendimientos

Se menciona que el efecto del exponente γ sobre los recursos policiales α genera una ampli-ficacion no lineal de los parametros β. Esto provoca que los recursos policiales sean menos

3 Para facilitar la explicacion, se presenta en la tabla C.1 del anexo C un ordenamiento de las clases segun el tamanode estas.

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Cluster C-estrategiasα x resultante

1 0,0% 8,6%2 32,5% 11,8%3 0,0% 19,1%4 0,0% 18,8%5 31,5% 11,8%6 15,5% 11,8%7 0,0% 6,4%8 20,5% 11,8%

Tabla 6.10: Resultados de α optimo analisis de robustez C-estrategias.

eficientes a medida que aumentan en una estrategia. En consecuencia, los recursos que antesse repartıan en las opciones de crimen de magnitud intermedia, ahora se reparten en todaslas estrategias exceptuando en la de mayor tamano (clase 3). Ademas, se observa que elefecto de ineficiencia provoca que la reaccion criminal no sea equiparada como en el casobase, presentando una mayor varianza de magnitud de las estrategias menores e intermedias(9.8%±1.3%).

C-mafia

En el escenario que se modela a los criminales organizados, la asignacion optima de recursospoliciales prioriza tambien a las estrategias de tamano intermedio (clases 4, 2 y 7). La dife-rencia esta en que este caso, la estrategia mas efectiva para asignar recursos policiales es la4, que es la segunda en tamano.

Esto significa que bajo criminales organizados, los recursos policiales se vuelven mas eficien-tes designandolos a las clases intermedias de mayor tamano (clases 4 y 2), que en contrastede los dos escenarios anteriores, se priorizan las clases de intermedias pero de menor tamano(clases 2, 7 y 1).

C-costos

Las estrategias optimas policiales bajo este escenario son distintas a las anteriores. En estecaso, se priorizan las estrategias 5 y 7, las cuales son de categorıa intermedia y baja. Ladiferencia tambien se da en que la clase 1, que es la que en magnitud se ubica entre las clases

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5 y 7, no tiene asignado recursos policiales. Esto sugiere la posibilidad de haber obtenido unoptimo local que se encuentra cercano al optimo global.

C-estrategias

Este escenario presenta una diferencia de configuracion de cluster respecto al caso base. Elaporte de este escenario esta en observar como cambia la asignacion optima de recursospoliciales, cuando solo se cambia el tamano y el numero de estrategias criminales.

El resultado, es equivalente al obtenido en el caso base: se prioriza la asignacion de recursosen las estrategias de magnitud intermedia. Sin embargo, al haber mas estrategias en dichacategorıa, la distribucion optima resultante queda mejor distribuida: 32.5%, 31.5%, 20.5%y 15.5% en las estrategias 2, 5, 8 y 6 respectivamente.

Como conclusion general, sobre C7 se observa que las asignaciones optimas se concentransobre las clases tamano intermedio (2, 4 y 7) y dependiendo del caso, se acentuan algunos efectos:la ineficiencia policial provoca que se repartan un poco mas equiparados sus recursos, el cambioen la funcion de costos genera asignaciones menos intuitivas o con riesgo de optimos locales yla configuracion de clases mas homogeneas en intensidad (C-estrategias) genera que los recursospoliciales se distribuyan de forma mas nivelada.

Finalmente, se realiza la medicion cuantitativa de las efectividades de las asignaciones optimasdeterminadas anteriormente de la misma manera que el caso base comparando para cada escenario,las diferencias relativas del costo del grafo entre la situacion actual, la maximizacion y la minimi-zacion, de manera de obtener la posicion porcentual en que se encuentra cada situacion actual. Losresultados son desplegados en la tabla 6.11.

De lo anterior, se observa que en general los resultados de la maximizacion presentan una granbrecha en el costo del grafo respecto a la situacion actual, exceptuando el escenario C-estrategias.Se destaca el caso base, que presenta una brecha de un 65.0% entre en costo del grafo actual yel obtenido de la maximizacion, aunque la variante C-rendimientos presenta una brecha de costosclaramente menor (16.3%). Los escenarios C-costos y C-mafia presentan brechas respectivas de34.8% y 24.1% de mejora respecto a la situacion actual. Luego, todos estos casos cumplen con elobjetivo de dificultar o encarecer la reaccion criminal. La sıntesis del desempeno de cada uno de

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Escenario Valor Costo Tot. Grafo Costo Var. Grafo PosicionMin Eq. 1.01279 0.01279 0.00

C-rendimientos Actual 1.01322 0.01322 0.84Max Eq. 1.01330 0.01330 1.00

Min Cost. 1.01739 0.01739 0.00C-mafia Actual 1.01816 0.01816 0.76

Max Cost. 1.01841 0.01841 1.00Min Eq. 1.06024 0.06024 0.00

C-costo Actual 1.06061 0.06061 0.65Max Eq. 1.06081 0.06081 1.00Min Eq. 1.01014 0.01014 0.00

C-estrategias Actual 1.01079 0.01079 0.93Max Eq. 1.01084 0.01084 1.00

Tabla 6.11: Costos del grafo mınimos-actual-maximo en cada escenario.

los escenarios es presentado en la tabla 6.12.

Escenario C-base C-rendimientos C-mafia C-costos C-estrategiasDif. Actual-Maximo 65.0% 16.3% 24.1% 34.8% 7.5%

Tabla 6.12: Brecha del costo del grafo entre caso original y maximo en cada escenario.

Es de destacar que el escenario C-estrategias muestra un fenomeno interesante, ya que evi-dencia una relacion entre la distribucion del crimen entre las clases y la asignacion de recursospoliciales. En el caso base, con siete clases, la distribucion actual del crimen es mas extrema que enel escenario C-estrategias, en el que la intensidad del crimen es mas homogenea entre las ocho cla-ses. Luego, al determinar las asignaciones policiales optimas, estas se distribuyen abarcando masestrategias, lo cual podrıa interpretarse como una asignacion mas justa en la realidad. Sin embargo,este efecto positivo de la buena asignacion de recursos, se opaca por la baja ganancia en terminosdel costo del grafo.

Para concluir, es importante senalar que los resultados de la optimizacion de recursos policialesobedecen solo a los criterios planteados e ignoran todo efecto externo al modelo. Ademas, los resul-tados pueden no reflejar necesariamente una decision real y deben entenderse como un resultadoteorico que debiese complementarse con un juicio experto. Por ejemplo, puede ser una decisionpoco coherente no asignar recursos sobre algunos espacios de la ciudad, ya que podrıa afectar la

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percepcion de seguridad en la poblacion o generar focos altamente peligrosos y no deseados.

Por lo anterior, se entiende que el aporte mas significativo del estudio no es simplemente en-tregar una respuesta sobre la asignacion optima de recursos policiales. Sino entregar un analisisprofundo del fenomeno que permita comprender y evaluar cuantitativamente las estrategias de po-licıas, considerando el efecto de reaccion criminal bajo distintos escenarios. Ademas, el modelopermite complementar y ser complementado con el conocimiento experto, lo que da la posibili-dad de realizar experimentos e implementaciones reales tanto en el crimen de la vıa publica comotambien en situaciones de similares caracterısticas.

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Capıtulo 7

Conclusiones y Trabajos Futuros

La criminologıa es el estudio del fenomeno del crimen en la cual confluyen multiples discipli-nas cientıficas, desde la sociologıa, economıa hasta las ciencias aplicadas. Cada estudio entrega unaporte al entendimiento del crimen desde su propia dimension y evidencia la complejidad inherentedel problema. En particular, la teorıa de juegos ha aportado modelando matematicamente la inter-accion entre diferentes agentes con intereses contrapuestos. A pesar que esta lınea de investigaciondesarrolla una buena capacidad de analisis del fenomeno muchas veces carece de aplicabilidad yfalta de evidencia empırica para su validacion. Este estudio se centra en el planteamiento de unmodelo de teorıa de juegos para el crimen en la vıa publica y de una metodologıa de aplicacion deeste segun datos reales, utilizando tecnicas de minerıa de datos.

Especıficamente, se plantea el fenomeno del crimen en la vıa publica como una interaccioncompetitiva entre criminales y la policıa. Para esto, se presenta un modelo matematico basadoen teorıa de juegos en grafos, el cual es calibrado segun datos reales de crımenes, mediante unametodologıa que incluye tecnicas de minerıa de datos como clustering y un algoritmo de iteracionde fuente propia, especıfico para este problema.

El estudio es realizado sobre cinco escenarios distintos que representan diversos supuestos so-bre el modelo teorico. De esta manera se quiere obtener una comprension amplia del fenomeno delcrimen y evaluar la robustez del modelo y algoritmo de calibracion planteado. Como resultado, es

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Capıtulo 7: Conclusiones y Trabajos Futuros

posible determinar estrategias optimas del actuar policial considerando a posteriori el comporta-miento criminal.

7.1. Modelo de Teorıa de Juegos

La construccion del modelo de teorıa de juegos, se realiza basandose en el fenomeno del crimen,de manera de abstraer los elementos basicos del modelo de interaccion desde esta problematica.

Estos elementos son la identificacion de los agentes, las definicion de las estrategias, las utilida-des de los agentes y la secuencialidad del juego. Especıficamente, se definen los agentes como loscriminales y la policıa, las estrategias como las opciones de crimen en donde atacan los criminalesy la policıa asigna recursos. Estas estrategias sufren el efecto de congestion a medida que mas cri-minales las escogen y mas recursos policiales son asignados. El juego se lleva a cabo en dos etapas,primero la policıa distribuye sus recursos sobre las opciones de crimen de manera de hacer mascostosa la tarea de los criminales, y luego, los criminales escogen que delitos cometer minimizandoindividualmente su costo de accion.

El modelamiento formal se realiza utilizando teorıa de juego en grafos, llamado en la literaturaselfish routing en redes. Este enfoque permite considerar de manera adecuada todos los elementosantes mencionados: los criminales son representados por un flujo unitario que debe viajar desde unnodo fuente a un nodo demanda. Los diferentes caminos sobre el grafo que puede tomar el flujorepresentan a las opciones de crimen. Las utilidades son vistas como los costos de los caminosincurridos por los criminales al momento de viajar por el grafo. Los recursos policiales son repre-sentados como parametros que alteran las funciones de costos y se consideran tambien unitarios. Elefecto de congestion de los criminales es provocado por las funciones de costos y el efecto no or-ganizado de los criminales es representado por el flujo de Nash (equilibrio de Wardrop). El modeloresultante es llamado el modelo de grafos del crimen.

Luego se plantea teoricamente la estrategia optima de la policıa. Aquı, se introduce el conceptodel “beneficio de la anarquıa”, que a diferencia de la literatura de las redes selfish routing queestudia el “precio de la anarquıa”, supone que puede sacarse provecho del efecto de congestion y de

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la ineficiencia criminal dado su comportamiento no organizado. De esta manera, se considera quela policıa tiene como objetivo principal maximizar el costo social de los criminales, entendiendolocomo el costo total del grafo.

Los modelos propuestos de estrategia optima policial conllevaron a un analisis de mas profundodel equilibrio de Wardrop. Especıficamente, se demuestra que utilizando funciones de costos conciertas propiedades sobre el modelo de grafos del crimen, el flujo de Nash resultante tiene la pro-piedad que todos los flujos son estrictamente positivos (funciones estrictamente crecientes y convalores borde iguales). Lo que se interpreta como que todas las opciones de crimen del modelo sonescogidas en alguna proporcion.

El aporte principal de este modelo esta en la manera novedosa en que se abstrae el fenomenoy como se aprovecha el conocimiento que existe de la teorıa de juegos en grafos. Por un lado, elefecto de congestion es una abstraccion natural que se supone en el crimen, puesto que la evidenciaempırica senala que no todos los criminales realizan las mismas acciones y que realizan una tomade decision en el momento de delinquir. Por otro lado, el supuesto de criminales no organizados esperfectamente capturado con enfoque del equilibrio de Wardrop y mas aun, el modelamiento puedemodificarse a criminales organizados, entendiendo esto como un problema de flujo a costo mınimo.

7.2. Metodologıa de Aplicacion del Modelo

Se plantea una metodologıa utilizando datos reales de crimen para realizar la aplicacion y va-lidacion del modelo teorico. La metodologıa general consta de cinco pasos: seleccion de datos,construccion de las estrategias, seleccion de las funciones de costo, calibracion del modelo y calcu-lo de la estrategia optima de recursos policiales. Estos pasos incorporan todos los requerimientosy supuestos del modelo teorico de manera de abstraer la situacion real. Los datos disponibles paraeste trabajo son denuncias de delitos de la Region Metropolitana durante un intervalo de tiempo.

La seleccion de datos se ocupa de definir cuales registros son los mas apropiados para utilizar.Para ello, se consideran criterios espacio-temporales y sobre los tipos de delitos, cerciorandose quelos datos seleccionados esten contenidos en un intervalo de tiempo tal que evite sesgos ocasionados

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por factores exogenos y que sean homogeneos en terminos del area donde se encuentren y en lostipos de delitos.

Las estrategias se construyen en base a los datos seleccionados y tecnicas de minerıa de datos.En particular, se emplea el algoritmo k-medias que permite clasificar a los datos en grupos o clases,en donde cada uno posee caracterısticas similares. De esta manera, los clusters representan lasopciones de crimen y son caracterizadas por la cantidad de criminales o intensidad de crimen decada una.

La seleccion de las funciones de costos se realiza considerando la existencia del efecto decongestion. Para este trabajo se proponen las funciones de costos que plantea Speiss, que poseenesta caracterıstica y son posibles de modificar de tal manera de que incorporen el efecto policial decongestion.

La calibracion de los parametros del modelo teorico se realiza mediante un algoritmo iterativosobre una grilla de parametros. Estos parametros son los valores que caracterizan analıticamentea las funciones de costos. El algoritmo supone que los estados de equilibrio de Wardrop se dansemanalmente al igual que la asignacion de recursos policiales. Ası, se selecciona los valores deparametros que mejor se adecuan a las observaciones reales de delitos y a los datos de asignacionde recursos policiales bajo el criterio de minimizacion de error absoluto.

Para obtener los datos de la asignacion de recursos policiales, estos son simulados con series desuavizacion exponencial, basadas en la cantidad de denuncias de delitos en cada uno de los clustersdefinidos anteriormente. Las series tienen como unidad de tiempo una semana y se construyen enbase a cuatro rezagos (un mes). Ası, en cada semana se tiene una prediccion de la cantidad de delitospor clusters y aquel valor normalizado representa a la cantidad de recursos policiales asignados acada grupo.

Finalmente, la determinacion de las estrategias optimas de recursos policiales se determinanutilizando metodos de optimizacion no lineal.

La metodologıa anterior es planteada genericamente. Esto entrega un alto grado de libertaden cada paso y permite que el juicio y la experiencia del modelador mejoren potencialmente la

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aplicacion del modelo. Por lo anterior y con el objetivo de ampliar el aporte del estudio, se analizancinco escenarios, resultantes de variaciones en los pasos de la metodologıa de aplicacion. Estosescenarios se seleccionan priorizando variantes que cubran cada una de las etapas y se establecieronlas siguientes:

Caso base: Considera una configuracion de clustering base con siete clases posibles, undesempeno de los recursos policiales lineal, comportamiento no organizado de los criminalesy una funcion de costos base.

Caso de rendimientos decrecientes de los recursos policiales (C-rendimientos): Se alterael caso base modificando las funciones de costos de manera que a medida que aumentan losrecursos policiales en una clase, el desempeno de la policıa disminuye en esa clase.

Caso de criminales organizados (C-mafia): Se varıa el caso base calibrando el modelo bajoel supuesto de que los criminales en vez de alcanzar un equilibrio de Wardrop, minimizanel costo total del grafo. La determinacion optima de recursos policiales tambien cambia y seformula como un problema maxmin.

Caso cambio de funcion de costos (C-costos): Se altera el caso base cambiando la familiade funciones de costo a otra que tambien presenta efectos de congestion.

Caso cambio en el numero de clusters (C-estrategias): Se cambia el caso base, utilizandootra configuracion de clusters ahora de ocho clases, de manera de observar resultados alcambiar tanto en numero de clusters como en la intensidad de ellos.

La principal importancia de esta metodologıa es la flexibilidad que entrega mas alla de loscasos particulares planteados. Siendo flexible al modelador y pudiendo ser readaptada en cadapaso, por ejemplo, incorporando nuevos algoritmos de resolucion o bien el conocimiento expertodirectamente.

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7.3. Resultados Obtenidos

Los resultados obtenidos provienen de la aplicacion del modelo de teorıa de juegos a datosreales de denuncias de delitos en la vıa publica. Se cuenta con mas de 500.000 registros de de-nuncias de delitos y son caracterizados por atributos espaciales, temporales y circunstanciales (tipode delito). Con la seleccion de datos, se establece utilizar los registros de la Primera Comisarıa deSantiago durante el perıodo de un ano, lo que representa 5.770 datos.

La construccion de las estrategias se lleva a cabo utilizando el algoritmo k-medias. Se empleandistancias euclidianas como medida de disimilitud y la transformacion de las variables prioriza lavariable temporal de rango horario. Como resultado, se clasifican las opciones de crimen en sietegrupos (y ocho para el escenario de cambio de cluster) y se les da una interpretacion natural dadaslas caracterısticas de los elementos que conforman cada grupo.

Como se menciona anteriormente, las funciones de costos empleadas se inspiraron en las plan-teados por Speiss, que son utilizadas frecuentemente en ingenierıa de transporte. Estas debieron sermodificadas de manera de incluir el efecto de los recursos policiales y al mismo tiempo satisfacerlas condiciones que provocan el efecto de congestion. La funcion para el caso base es la popularfuncion BPR y para el escenario C-costos, la funcion CCF . Ademas, estas funciones tienen las pro-piedades adecuadas para obtener equilibrios de Wardrop en donde todos las opciones de crımenesson escogidas, lo que simplifica los modelos matematicos que se utilizan.

La calibracion de parametros se realiza sobre los cinco escenarios propuestos. Los parametrosobtenidos capturan el efecto tanto intrınseco de la opcion de crimen como de la influencia de losrecursos policiales. Como resultado global, se observa que en general los valores obtenidos respe-tan las relaciones de orden entre las diferentes opciones de crimen. Destacan particularmente losescenarios C-costos y de C-mafia en donde se acentuan los efectos de congestion en las opcionesde crimen mas numerosas y se aminoran en las opciones menos numerosas.

Los resultados de la asignacion optima de recursos policiales entrega resultados novedosos. Pa-ra todos los escenarios, se obtuvo que las asignaciones optimas estaban en las opciones de crımenesintermedias, dejando sin recursos tanto a las mayores como a las de menor intensidad. Sin embargo,

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es posible capturar las variantes de este resultado en cada uno de los escenarios. Por un lado, en losescenarios que se consideran criminales no organizados, los recursos optimos policiales priorizanlas clases intermedias y en el caso de C-mafia, se prioriza la asignacion de recursos a las opcio-nes intermedias pero mas intensas. Tambien en C-rendimientos la asignacion es menos extrema,repartiendo los recursos en casi todos los grupos. El escenario C-estrategias obedece tambien a laasignacion optima en las clases intermedias, pero como la intensidad del crimen en las clases esmas balanceada, los recursos son repartidos mas equitativamente.

El desempeno de cada una de las estrategias optimas se determina comparando la gananciaporcentual entre el costo del grafo con la asignacion optima de recursos policiales, la original y lacon costo mınimo. Se observa que en todos los escenarios se obtienen ganancias significativamentemayores, exceptuando el escenario C-estrategias. Este hecho es natural si se entiende que la asig-nacion de recursos actual es mas parecida a la optima. Es importante destacar que esta herramientade comparacion permite no solo determinar el desempeno de la estrategia optima, sino tambien eldesempeno de cualquier estrategia y evaluar en que posicion se encuentra de la estrategia actual.

Esta aplicacion permite llevar a la practica el modelo de teorıa de juegos y al testeo y validacionde la metodologıa de aplicacion propuesta. Los resultados obtenidos por escenarios entregan un en-tendimiento mas amplio del fenomeno y permiten evaluar las variantes en los supuestos e hipotesisde manera concreta.

7.4. Futuros Desafıos

De esta tesis se han desprendido potenciales tematicas a investigar tanto en ambitos teoricoscomo aplicados. Dentro de las lıneas teoricas, destacan principalmente los elementos relacionadoscon el modelamiento selfish routing en redes, los modelos de optimizacion y los algoritmos decalibracion. De las lıneas aplicadas, los desafıos aparecen en la ampliacion del modelo y en laextrapolacion a otros fenomenos de interaccion de crimen similares.

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7.4.1. Extensiones Teoricas

El modelamiento del juego mediante selfish routing en redes permite aprovechar la vasta inves-tigacion que ya existe, como ası tambien el campo de la optimizacion. Los elementos teoricos quepropone el autor a ser examinados, provienen desde esas lıneas y se enuncian a continuacion.

Profundizacion en el estudio de selfish routing en redes

Se menciona que la mayorıa de los avances teoricos en selfish routing en redes tienen relacioncon los equilibrios y el precio de la anarquıa. Especıficamente, en la obtencion de cotasdel precio de la anarquıa, como reducir su valor y sus relaciones con las familias de costosy formas del grafo. En este caso, la modificacion de estos estudios hacia el concepto delbeneficio de la anarquıa contribuirıan con un marco conceptual mas amplio lo cual permitirıadireccionar la investigacion de manera mas eficiente y certera.

Calibracion de parametros

La aplicacion de metodos eficientes de calibracion de parametros aportarıan esencialmente enla eficiencia y eficacia de los resultados. De esta manera se podrıa experimentar con funcionesde costos mas complejas tanto en su forma funcional como en la cantidad de parametros.Aportando en mejores interpretaciones del modelo y la informacion capturada en los datos.

Modelos de optimizacion

Para la determinacion optima de asignacion de recursos policiales se emplean modelos deoptimizacion no lineal. La profundizacion e implementacion de modelos de optimizacionorientados a esta problematica aportarıan tambien en mejorar las soluciones, tanto en la rapi-dez en la obtencion de ellas como en la exactitud de sus valores. De esta manera, sera posibleplantear problemas de mayor magnitud y mejores analisis de robustez.

Un caso particular de especial interes para este trabajo es la profundizacion y desarrollo deinvestigaciones relacionadas con las funciones de costos. Se demuestra que las formulaciones rela-cionadas con los equilibrios de Wardrop, como el problema de la estrategia optima policial, pueden

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ser simplificadas utilizando funciones de costos con las propiedades antes descritas. Trabajos fu-turos orientados a utilizar funciones mas generales pueden aportar a modelamientos y resultadosmas realistas y certeros. Adicionalmente, esta lınea de investigacion propone el nuevo desafıo dela resolucion de problemas complejos de optimizacion orientados a la teorıa de juegos y teorıa degrafos.

7.4.2. Extensiones Aplicadas

Como punto mas importante, cabe destacar que es necesario un aporte de conocimiento expertoen el crimen en la vıa publica si se quiere orientar la investigacion hacia problematicas aplicadas.Los puntos principales en donde la opinion experta tendrıa gran valor es en la seleccion de datos,el trabajo de clustering y en los analisis e interpretacion de resultados. Especıficamente, se podrıatener una mejor abstraccion del juego entre criminales y la policıa, ası tambien los analisis deresultados seran mas provechosos y permitiran obtener tanto al modelador tecnico como al experto,una ganancia de conocimiento del fenomeno.

Otra extension del modelamiento es la aplicacion a otros fenomenos similares en donde ya nohaya una interaccion entre policıas y criminales. Un ejemplo de esto serıa considerar a otro agenteen contra el crimen y entender a los recursos policiales simplemente como recursos disuasivos,como por ejemplo sistemas de iluminacion, senaleticas o diseno urbano.

Como ultimo punto, se plantean exenciones en el modelamiento del grafo para considerar va-riantes a los supuestos realizados. Para este trabajo se plantean dos acercamientos: La incorpora-cion de actividades legales y el modelamiento del grafo basado en una red espacio-temporal. Eldesafıo principal que aparece en estos nuevos modelos es en como seran calibrarlos segun los datosdisponibles.

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Incorporacion de Actividades Legales

Uno de los elementos omitidos en el modelo de esta tesis, es la consideracion de una estrategiaque refleje la realizacion de actividades lıcitas. Para ello, se propone incorporar un arco adicionaldenotado (s, t)l , como lo muestra la figura 7.1.

Figura 7.1: Grafo de elecciones con acciones lıcitas.

En este caso, los criminales son entendidos como potenciales criminales, pues eventualmenteuna fraccion de ellos es disuadida y no delinque escogiendo la opcion l.

Es importante notar que la formulacion del equilibrio de Wardrop o del flujo a costo mınimono cambia, pues se mantienen los supuestos de interaccion y comportamiento criminal que se plan-tearon al inicio. Sin embargo, el objetivo policial puede ser modificado entendiendolo como unamaximizacion del flujo de personas que escoge las actividades legales.

Grafo Basado en Red Espacio-Temporal

El modelo original plantea que las estrategias de los criminales son construidas en base a com-binaciones de valores que se consideraron variables espaciales, temporales y circunstanciales. Unavariante del modelamiento, es simplificar la construccion de las estrategias mediante minerıa dedatos y simplemente basarse en una red espacio-temporal.

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De esta manera, el grafo podrıa ser construido de diversas formas. Un ejemplo podrıa ser la redmostrada en la figura 7.2, en donde se construye un grafo que representa las elecciones basadas enrangos horarios y luego areas geograficas. Para ejemplificar, se construye el grafo con seis rangoshorarios y tres zonas geograficas.

Figura 7.2: Grafo basado en Red Espacio-Temporal.

Ası, las elecciones de los criminales se presentan como caminos mucho mas complejos y fle-xibles. Tambien, la estrategia de la policıa podrıa hacerse mas efectiva, pero al mismo ser mascompleja. Esto plantea un desafıo adicional en el trabajo de calibracion del modelo y en la obten-cion de las estrategias optimas no menos despreciable.

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Anexos

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Anexo A

Estadısticas y Analisis de los datos

A.1. Estadısticas de denuncias de delitos enero 2001- febrero2008

Distribucion de Tipos de Delitos Denunciados

Figura A.1: Tipos de delitos denunciados enero 2001 - febrero 2008.

86

Anexo A: Estadısticas y Analisis de los datos

Distribucion Anual de Denuncias de Delitos

Figura A.2: Distribucion anual de denuncias.

Distribucion Mensual de Denuncias de Delitos

Figura A.3: Distribucion mensual de denuncias.

87


Distribucion Semanal de Denuncias de Delitos

Figura A.4: Distribucion semanal de denuncias.

88


A.2. Estadısticas de la Primera Comisarıa de Santiago junio2006 - mayo 2007

Distribucion de Tipos de Delitos Denunciados

Figura A.5: Tipos de delitos denunciados primera comisarıa desde junio 2006 a mayo 2007.

Distribucion de Denuncias de Delitos por Mes

Figura A.6: Serie junio 2006 - mayo 2007 de denuncias de delitos primera comisarıa.

89


Distribucion Semanal de Denuncias de Delitos

Figura A.7: Distribucion semanal de denuncias datos primera comisarıa junio 2006 - mayo 2007.

Distribucion de Delitos por Rango Horario

Figura A.8: Distribucion horaria de denuncias de delitos primera comisarıa junio 2006 - mayo 2007.

90


Distribucion de Delitos por Cuadrantes

Figura A.9: Distribucion de denuncias por cuadrantes datos primera comisarıa junio 2006 - mayo2007.

Tabla de Tipos y Subtipos de Delitos

Hurto 2505HURTO AGRAVADO (ART. 447 CODIGO PENAL) 4HURTO AGRAVADO (ART.447 CODIGO PENAL) 2HURTO DE HALLAZGO 6HURTO FALTA (494 BIS CODIGO PENAL) 21HURTO SIMPLE 1783HURTO SIMPLE POR UN VALOR DE 4 A 40 UTM 239HURTO SIMPLE POR UN VALOR DE MEDIA A MENOS DE 4 UTM 398HURTO SIMPLE POR UN VALOR SOBRE 40 UTM 52

Robo con fuerza 392APROPIACION DE CABLES DE TENDIDO ELECTRICO O DE COMUNICION 1ROBO ACCESORIOS VEHICULOS 79ROBO ACCESORIOS VEHICULOS O ESPECIES INTERIOR VEHICULOS 103ROBO DE ACCESORIOS DE VEHICULOS O ESPECIES INTERIOR VEHICULO 83ROBO DE VEHICULO MOTORIZADO 98ROBO EN BIENES NACIONALES DE USO PUBLICO 28

Robo con violencia 2873

91


ROBO CON INTIMIDACION 953ROBO CON RETENCION DE VICTIMAS O CON LESIONES GRAVES 1ROBO CON VIOLACION 2ROBO CON VIOLENCIA 417ROBO POR SORPRESA 1500

Tabla A.1: Categorıas de tipos y subtipos de delitos primera comisarıajunio 2006 - mayo 2007.

92

Anexo B

Resultados Clustering

B.1. Centroides para Clusters de 5, 6 y 9 Clases

Cluster 1 2 3 4 5Cuad. 1 0.19 0.00 0.94 0.00 0.20Cuad. 2 0.81 0.75 0.00 0.00 0.54Cuad. 3 0.00 0.25 0.06 1.00 0.26

Hurto 0.99 0.11 0.13 0.89 0.00R. Fuerza 0.01 0.06 0.16 0.11 0.09

R. Violencia 0.00 0.83 0.71 0.00 0.91

Dia Norm. 0.44 0.51 0.57 0.44 0.44

Xhora -0.75 0.11 0.35 -0.55 -0.74YHora -0.16 -0.81 -0.44 -0.18 0.32

Tabla B.1: Centro de clases 5 clusters.

Cluster 1 2 3 4 5 6Cuad. 1 0.81 0.00 0.10 0.00 0.70 0.00Cuad. 2 0.00 0.00 0.65 1.00 0.20 0.94Cuad. 3 0.19 1.00 0.26 0.00 0.10 0.06

Hurto 0.33 0.52 0.01 0.57 0.50 0.48R. Fuerza 0.14 0.05 0.07 0.02 0.13 0.10

93

Anexo B: Resultados Clustering

R. Violencia 0.53 0.42 0.92 0.40 0.37 0.43

Dia Norm. 0.48 0.45 0.56 0.44 0.52 0.43

Xhora -0.53 -0.74 0.63 -0.77 0.18 -0.27YHora 0.48 -0.30 -0.65 -0.40 -0.82 0.87


Cluster 1 2 3 4 5 6 7 8 9Cuad. 1 0.00 0.21 0.00 0.00 0.00 0.15 0.20 0.86 0.70Cuad. 2 0.72 0.79 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00Cuad. 3 0.28 0.00 0.00 0.00 0.00 0.85 0.80 0.14 0.30

Hurto 1.00 0.00 0.48 0.00 0.98 0.73 0.00 0.05 0.87R. Fuerza 0.00 0.05 0.03 0.10 0.02 0.12 0.05 0.15 0.13

R. Violencia 0.00 0.95 0.49 0.90 0.00 0.15 0.95 0.79 0.00

Dia Norm. 0.52 0.41 0.47 0.54 0.43 0.41 0.49 0.61 0.47

Xhora 0.54 -0.74 -0.50 0.57 -0.87 -0.70 -0.36 0.67 -0.53YHora -0.79 0.32 -0.87 -0.74 0.18 0.45 -0.67 -0.14 -0.60


94


B.2. Analisis Detallado Clustering C7 y C8

Distribucion de C7 y C8 segun las variables cuadrante, tipo de delito, dıa y rango horario.

B.2.1. Clustering C7

Cluster 1 2 3 4 5 6 7Cuad. 1 0.31 0.00 0.00 0.00 0.42 0.18 1.00Cuad. 2 0.44 0.00 1.00 1.00 0.38 0.16 0.00Cuad. 3 0.24 1.00 0.00 0.00 0.20 0.67 0.00

Hurto 0.00 0.48 0.46 0.55 1.00 0.15 0.26R. Fuerza 0.19 0.06 0.01 0.07 0.00 0.04 0.17R. Violencia 0.81 0.46 0.53 0.38 0.00 0.81 0.57

Dıa Norm. 0.49 0.46 0.44 0.49 0.41 0.59 0.51

XHora -0.15 -0.76 -0.85 0.10 -0.54 0.72 -0.16YHora 0.87 -0.41 -0.26 -0.85 0.63 -0.48 -0.66

Tabla B.4: Centro de clases C7.

Cluster Cuad. 1 Cuad. 2 Cuad. 3 Total Cuad. 1 Cuad. 2 Cuad. 3 Total (%)1 160 226 124 510 31% 44% 24% 9%2 852 852 0% 0% 100% 15%3 1520 1520 0% 100% 0% 26%4 1150 1150 0% 100% 0% 20%5 207 189 98 494 42% 38% 20% 9%6 85 74 318 477 18% 16% 67% 8%7 767 767 100% 0% 0% 13%

Total 1219 3159 1392 5770 21% 55% 24% 100%Tabla B.5: Distribucion C7 segun cuadrante.

Cluster Hurto R. fuerza R. viol. Total Hurto R. fuerza R. viol. Total (%)1 96 414 510 0% 19% 81% 9%2 409 49 394 852 48% 6% 46% 15%3 697 18 805 1520 46% 1% 53% 26%

95


4 634 79 437 1150 55% 7% 38% 20%5 494 494 100% 0% 0% 9%6 73 19 385 477 15% 4% 81% 8%7 198 131 438 767 26% 17% 57% 13%

Total 2505 392 2873 5770 43% 7% 50% 100%Tabla B.6: Distribucion C7 segun tipo de delito.

Cluster Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab. Dom. Total general1 73 74 80 56 94 83 50 5102 119 132 144 141 144 109 63 8523 231 216 280 269 282 173 69 15204 114 164 188 183 268 146 87 11505 85 83 77 93 99 44 13 4946 33 39 64 77 98 95 71 4777 92 98 123 110 154 91 99 767

Total 747 806 956 929 1139 741 452 5770Cluster (%) Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab. Dom. Total (%)

1 14% 15% 16% 11% 18% 16% 10% 9%2 14% 15% 17% 17% 17% 13% 7% 15%3 15% 14% 18% 18% 19% 11% 5% 26%4 10% 14% 16% 16% 23% 13% 8% 20%5 17% 17% 16% 19% 20% 9% 3% 9%6 7% 8% 13% 16% 21% 20% 15% 8%7 12% 13% 16% 14% 20% 12% 13% 13%

Total (%) 13% 14% 17% 16% 20% 13% 8% 100%Tabla B.7: Distribucion C7 segun dıa.

Cluster 00:00-03:59 04:00-07:59 08:00-11:59 12:00-15:59 16:00-19:59 20:00-23:59 Total1 176 334 5102 447 405 8523 1069 451 15204 23 470 657 11505 47 310 137 4946 214 263 4777 40 144 307 276 767

96


Total 277 223 644 1797 1633 1196 5770Cluster (%) 00:00-03:59 04:00-07:59 08:00-11:59 12:00-15:59 16:00-19:59 20:00-23:59 Total (%)

1 0% 35% 65% 0% 0% 0% 9%2 0% 0% 0% 52% 48% 0% 15%3 0% 0% 0% 70% 30% 0% 26%4 2% 0% 0% 0% 41% 57% 20%5 0% 10% 63% 28% 0% 0% 9%6 45% 0% 0% 0% 0% 55% 8%7 5% 0% 0% 19% 40% 36% 13%

Total (%) 5% 4% 11% 31% 28% 21% 100%Tabla B.8: Distribucion C7 segun rango horario.

B.2.2. Clustering C8

Cluster 1 2 3 4 5 6 7 8Cuad. 1 0.99 0.00 0.06 0.16 0.26 0.00 0.20 0.39Cuad. 2 0.00 0.71 0.94 0.84 0.25 0.00 0.55 0.61Cuad. 3 0.01 0.29 0.00 0.00 0.49 1.00 0.25 0.00

Hurto 0.06 0.00 0.96 0.00 0.12 0.61 0.96 0.94R. Fuerza 0.18 0.07 0.04 0.03 0.11 0.07 0.04 0.06R. Violencia 0.76 0.93 0.00 0.97 0.77 0.32 0.00 0.00

Dıa Norm. 0.61 0.54 0.43 0.45 0.45 0.46 0.53 0.45

XHora 0.65 0.58 -0.84 -0.68 -0.57 -0.70 0.53 -0.59YHora -0.21 -0.73 0.24 -0.56 0.52 -0.52 -0.81 -0.70

Tabla B.9: Centro de clases C8.

Cluster Cuad. 1 Cuad. 2 Cuad. 3 Total Cuad. 1 Cuad. 2 Cuad. 3 Total (%)1 431 5 436 99% 0% 1% 8%2 565 226 791 0% 71% 29% 14%3 62 930 992 6% 94% 0% 17%4 157 830 987 16% 84% 0% 17%5 212 200 401 813 26% 25% 49% 14%6 673 673 0% 0% 100% 12%7 70 189 87 346 20% 55% 25% 6%

97


8 287 445 732 39% 61% 0% 13%

Total 1219 3159 1392 5770 21% 55% 24% 100%Tabla B.10: Distribucion C8 segun cuadrante.

Cluster Hurto R. fuerza R. viol. Total Hurto R. fuerza R. viol. Total (%)1 27 77 332 436 6% 18% 76% 8%2 54 737 791 0% 7% 93% 14%3 948 44 992 96% 4% 0% 17%4 25 962 987 0% 3% 97% 17%5 98 88 627 813 12% 11% 77% 14%6 409 49 215 673 61% 7% 32% 12%7 332 14 346 96% 4% 0% 6%8 691 41 732 94% 6% 0% 13%

Total general 2505 392 2873 5770 43% 7% 50% 100%Tabla B.11: Distribucion C8 segun tipo de delito.

Cluster Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab. Dom. Total1 40 39 51 51 65 96 94 4362 65 94 119 128 169 124 92 7913 148 142 177 191 206 107 21 9924 156 144 179 156 168 107 77 9875 118 127 138 119 167 99 45 8136 94 109 114 112 107 81 56 6737 32 37 51 56 93 48 29 3468 94 114 127 116 164 79 38 732

Total general 747 806 956 929 1139 741 452 5770Cluster (%) Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab. Dom. Total (%)

1 9% 9% 12% 12% 15% 22% 22% 8%2 8% 12% 15% 16% 21% 16% 12% 14%3 15% 14% 18% 19% 21% 11% 2% 17%4 16% 15% 18% 16% 17% 11% 8% 17%5 15% 16% 17% 15% 21% 12% 6% 14%6 14% 16% 17% 17% 16% 12% 8% 12%7 9% 11% 15% 16% 27% 14% 8% 6%8 13% 16% 17% 16% 22% 11% 5% 13%

98


Total (%) 13% 14% 17% 16% 20% 13% 8% 100%Tabla B.12: Distribucion C8 segun dıa.

Cluster 00:00-03:59 04:00-07:59 08:00-11:59 12:00-15:59 16:00-19:59 20:00-23:59 Total1 130 100 206 4362 124 667 7913 19 258 715 9924 354 633 9875 104 386 323 8136 268 405 6737 23 323 3468 137 595 732

Total 277 223 644 1797 1633 1196 5770Cluster (%) 00:00-03:59 04:00-07:59 08:00-11:59 12:00-15:59 16:00-19:59 20:00-23:59 Total (%)

1 30% 23% 0% 0% 0% 47% 8%2 16% 0% 0% 0% 0% 84% 14%3 0% 2% 26% 72% 0% 0% 17%4 0% 0% 0% 36% 64% 0% 17%5 0% 13% 47% 40% 0% 0% 14%6 0% 0% 0% 40% 60% 0% 12%7 7% 0% 0% 0% 0% 93% 6%8 0% 0% 0% 19% 81% 0% 13%

Total (%) 5% 4% 11% 31% 28% 21% 100%Tabla B.13: Distribucion C8 segun rango horario.

99

Anexo C

Complemento de Resultados Analisis deRobustez

C7 C8Categorıa Cluster X prom. Categorıa Cluster X prom.Mayor 3 26,3% Mayor 3 17,2%Intermedia-mayor 4 19,8% Mayor 4 17,2%Intermedia 2 14,5% Intermedia 5 14,2%Intermedia 7 13,4% Intermedia 2 13,7%Menor 1 9,0% Intermedia 8 12,7%Menor 5 8,7% Intermedia 6 11,4%Menor 6 8,3% Menor 1 7,6%

Menor 7 6,0%

Tabla C.1: Orden de los clusters C7 y C8 por magnitud.

100

Anexo C: Complemento de Resultados Analisis de Robustez

Figura C.1: Serie de Matrices Xreal y A para C8.

Figura C.2: Grafico β calibrados C7.

101

Anexo D

Algoritmos y Codigos

D.1. Algoritmo k-medias

Suponiendo K clusters a priori, el algoritmo se compone como sigue:

1. Ubicar K puntos en el espacio, que representan las ubicaciones iniciales de los K centroides.

2. Asociar a cada objeto el centroide mas cercano que tenga (con alguna medida de cercanıa).

3. Cuando todos los objetos tengan asociado algun centroide, calcular las posiciones nuevas delos centroides como los puntos medios entre los elementos de cada cluster.

4. Repetir los pasos 2 y 3 hasta que los centroides dejen de moverse (con algun criterio dedetencion).

102

Anexo D: Algoritmos y Codigos

D.2. Codigos Matlab

D.2.1. Funciones BPR y CCF

function t = BPR1(x, a)

t = 1 + xˆa;

function t = CCF(x, a)

b = (2*a - 1)/(2*a - 2);

t =2 + (aˆ2*(1-x)ˆ2 + bˆ2)ˆ(1/2) - a*(1-x) - b;

D.2.2. Equilibrios de Wardrop

function F = EqBPR1(x, n, a)

for i = 1:n-1

F(i) = BPR1(x(1), a(1)) - BPR1(x(i+1), a(i+1));

end;

F(n) = sum(x)-1;

function F = EqCCF(x, n, a)

for i = 1:n-1

F(i) = CCF(x(1), a(1)) - CCF(x(i+1), a(i+1));

end;

F(n) = sum(x)-1;

D.2.3. Algoritmo de Calibracion de Parametros con Equilibrio de Wardrop

function [errMin, errMax, Bmin, Bmax, t] = CalibrBPR1(A, B, Xreal, gamma)

103


%A: Matriz prediccion de ataques

%B: Matriz de parametros

%Xreal: Valores de x reales (ex-post)

%n: numero de clusters (i.e. numero de filas para B)

%g: Numero de parametros para B por cluster (i.e. numero de columnas)

options=optimset();

semanas = size(A,2);

g = size(B,2);

n = size(B,1);

errMin = 1000;

errMax = 0;

%Creamos X0

for i = 1:n

x0(i) = 1;

end;

for i1 = 1:g

for i2 = 1:g

for i3 = 1:g

for i4 = 1:g

for i5 = 1:g

for i6 = 1:g

for i7 = 1:g

%Recorremos las semanas

error = 0;

for j = 1:semanas

a(1) = B(1,i1) - A(1,j)ˆgamma;

a(2) = B(2,i2) - A(2,j)ˆgamma;

a(3) = B(3,i3) - A(3,j)ˆgamma;

a(4) = B(4,i4) - A(4,j)ˆgamma;

a(5) = B(5,i5) - A(5,j)ˆgamma;

a(6) = B(6,i6) - A(6,j)ˆgamma;

a(7) = B(7,i7) - A(7,j)ˆgamma;

104


% x = fsolve(@EqCCF,x0,options,n,a);

x = fsolve(@EqBPR1,x0,options,n,a);

for i = 1:n

C(i) = x(i)*BPR1(x(1,i), a(1,i));

end;

t(j) = sum(C);

%Calculamos el error de prediccion

for i = 1:n

error = error + abs(x(i)- Xreal(i,j));

end;

%almacenamos los errores y las coordenadas de los parametros

end;

if (error < errMin)

errMin = error;

Bmin(1) = B(1,i1);

Bmin(2) = B(2,i2);

Bmin(3) = B(3,i3);

Bmin(4) = B(4,i4);

Bmin(5) = B(5,i5);

Bmin(6) = B(6,i6);

Bmin(7) = B(7,i7);

disp(’Error Min:’);

disp(errMin);

end;

if (error > errMax)

errMax = error;

Bmax(1) = B(1,i1);

Bmax(2) = B(2,i2);

Bmax(3) = B(3,i3);

Bmax(4) = B(4,i4);

Bmax(5) = B(5,i5);

Bmax(6) = B(6,i6);

105


Bmax(7) = B(7,i7);

disp(’Error Max:’);

disp(errMax);

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

D.2.4. Algoritmo de Calibracion de Parametros con Mınimo Costo

function [errMin, errMax, Bmin, Bmax, xMin, xMax]

= CalibrMinBPR1(A, B, Xreal, gamma)

%A: Matriz prediccion de ataques

%B: Matriz de parametros

%Xreal: Valores de x reales (ex-post)

%n: numero de clusters (i.e. numero de filas para B)

%g: Numero de parametros para B por cluster (i.e. numero de columnas)

options = optimset(’LargeScale’,’off’);

semanas = size(A,2);

g = size(B,2);

n = size(B,1);

errMin = 1000;

errMax = 0;

%Creamos X0,lb, Aeq

for i = 1:n

x0(i,1) = 0.5;

lb(i,1) = 0;

106


Aeq(1,i) = 1;

end;

beq = 1;

for i1 = 1:g

for i2 = 1:g

for i3 = 1:g

for i4 = 1:g

for i5 = 1:g

for i6 = 1:g

for i7 = 1:g

%Recorremos las semanas

error = 0;

for j = 1:semanas

a(1,1) = B(1,i1) - A(1,j)ˆgamma;

a(2,1) = B(2,i2) - A(2,j)ˆgamma;

a(3,1) = B(3,i3) - A(3,j)ˆgamma;

a(4,1) = B(4,i4) - A(4,j)ˆgamma;

a(5,1) = B(5,i5) - A(5,j)ˆgamma;

a(6,1) = B(6,i6) - A(6,j)ˆgamma;

a(7,1) = B(7,i7) - A(7,j)ˆgamma;

[x,fval,exitflag,output] =

fmincon(@CostBPR1,x0,[],[],Aeq,beq,lb,[],[],options,a);

%for i = 1:n

% C(i) = x(i)*BPR1(x(i), a(i));

%end;

%t(j) = sum(C);

%Calculamos el error de prediccion

for i = 1:n

error = error + abs(x(i)- Xreal(i,j));

end;

%almacenamos los errores y las coordenadas de los parametros

end;

107


if (error < errMin)

errMin = error;

Bmin(1) = B(1,i1);

Bmin(2) = B(2,i2);

Bmin(3) = B(3,i3);

Bmin(4) = B(4,i4);

Bmin(5) = B(5,i5);

Bmin(6) = B(6,i6);

Bmin(7) = B(7,i7);

disp(’Error Min:’);

disp(errMin);

xMin = x;

end;

if (error > errMax)

errMax = error;

Bmax(1) = B(1,i1);

Bmax(2) = B(2,i2);

Bmax(3) = B(3,i3);

Bmax(4) = B(4,i4);

Bmax(5) = B(5,i5);

Bmax(6) = B(6,i6);

Bmax(7) = B(7,i7);

disp(’Error Max:’);

disp(errMax);

xMax = x;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

108


end;

D.2.5. Algoritmo de Optimizacion de Recursos Policiales frente a CriminalesOrganizados

function [Alpha, X, costo] = MaxMinAlpha(B, A)

options = optimset(’LargeScale’,’off’);

g = size(A,2);

n = size(A,1);

aux = 0;

%Creamos X0

for i = 1:n

% Alpha(i) = 0;

% X(i) = 0;

x0(i,1) = 0.2;

% t(i) = 1;

lb(i,1) = 0;

Aeq(1,i) = 1;

end;

beq = 1;

suma = 0;

tot = 0;

costo = 0;

for i1 = 1:g

for i2 = 1:g

for i4 = 1:g

for i5 = 1:g

for i6 = 1:g

for i7 = 1:g

tot = (A(1,i1) + A(2,i2) + A(4,i4)

109


+ A(5,i5) + A(6,i6) + A(7,i7));

suma = 1 - tot;

if (tot <= 1)

a(1,1) = B(1) - A(1,i1);

a(2,1) = B(2) - A(2,i2);

a(6,1) = B(6) - A(6,i6);

a(4,1) = B(4) - A(4,i4);

a(5,1) = B(5) - A(5,i5);

a(3,1) = B(3) - suma;

a(7,1) = B(7) - A(7,i7);



aux = GraphCost(x, a);

if(aux >= costo)

costo = aux;

X = x;

Alpha(1) = A(1,i1);

Alpha(2) = A(2,i2);

Alpha(6) = A(6,i6);

Alpha(4) = A(4,i4);

Alpha(5) = A(5,i5);

Alpha(3) = suma;

Alpha(7) = A(7,i7);

end;

suma = 0;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

110


%2da Iteracion

for i = 1:n

x0(i,1) = 0.5;

end;

for i1 = 1:g

for i2 = 1:g

for i4 = 1:g

for i5 = 1:g

for i6 = 1:g

for i7 = 1:g

tot = (A(1,i1) + A(2,i2) + A(4,i4)

+ A(5,i5) + A(6,i6) + A(7,i7));

suma = 1 - tot;

if (tot <= 1)

a(1,1) = B(1) - A(1,i1);

a(2,1) = B(2) - A(2,i2);

a(6,1) = B(6) - A(6,i6);

a(4,1) = B(4) - A(4,i4);

a(5,1) = B(5) - A(5,i5);

a(3,1) = B(3) - suma;

a(7,1) = B(7) - A(7,i7);




if(aux >= costo)

costo = aux;

X = x;

Alpha(1) = A(1,i1);

Alpha(2) = A(2,i2);

Alpha(6) = A(6,i6);

Alpha(4) = A(4,i4);

Alpha(5) = A(5,i5);

111


Alpha(3) = suma;

Alpha(7) = A(7,i7);

end;

suma = 0;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

%3da Iteracion

for i = 1:n

x0(i,1) = 0.8;

end;

for i1 = 1:g

for i2 = 1:g

for i4 = 1:g

for i5 = 1:g

for i6 = 1:g

for i7 = 1:g

tot = (A(1,i1) + A(2,i2) + A(4,i4)

+ A(5,i5) + A(6,i6) + A(7,i7));

suma = 1 - tot;

if (tot <= 1)

a(1,1) = B(1) - A(1,i1);

a(2,1) = B(2) - A(2,i2);

a(6,1) = B(6) - A(6,i6);

a(4,1) = B(4) - A(4,i4);

a(5,1) = B(5) - A(5,i5);

a(3,1) = B(3) - suma;

a(7,1) = B(7) - A(7,i7);

112





if(aux >= costo)

costo = aux;

X = x;

Alpha(1) = A(1,i1);

Alpha(2) = A(2,i2);

Alpha(6) = A(6,i6);

Alpha(4) = A(4,i4);

Alpha(5) = A(5,i5);

Alpha(3) = suma;

Alpha(7) = A(7,i7);

end;

suma = 0;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

113

modelo aplicado de teor´ia de juegos para el estudio … · este trabajo culmina una etapa de mi...

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