modelizaciÓn policristalina del proceso de trefilado …
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MODELIZACIÓN POLICRISTALINA DEL PROCESO DE TREFILADO DE ALAMBRES
Alicia Durán C.a, Diego Celentanoa , Javier Signorellib y Marcela Cruchagac
aDepartamento de Ingeniería Mecánica y Metalúrgica, Pontificia Universidad Católica de Chile, Av.
Libertador Bernardo O'Higgins 340, Santiago, Chile, [email protected], [email protected]
bInstituto de Física Rosario, Universidad Nacional de Rosario, Bv. 27 de Febrero 210b, Rosario
Argentina, [email protected]
cDepartamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Santiago de Chile, Avenida Libertador
Bernardo O'Higgins nº 3363 [email protected]
Palabras Claves: trefilación, textura, modelo policristalino
Resumen. El objetivo de este trabajo es describir el comportamiento mecánico de un alambre de cobre
de estructura FCC cuando se lo somete al proceso de trefilado utilizando plasticidad cristalina. Para tal
fin se propone aplicar, en esta primera etapa, un modelo de viscoplasticidad policristalina con el objeto
de simular el desarrollo de textura de deformación como resultado de dicho proceso. Se realiza en
primera instancia la simulación policristalina del ensayo de tracción de este material para poder
derivar, a partir de la curva tensión-deformación medida experimentalmente, parámetros del modelo
que proporcionen una respuesta realista. En una segunda etapa se lleva a cabo la modelización del
comportamiento del material durante el proceso de trefilado para una dada evolución de la distribución
no homogénea (en la sección transversal del alambre) de la tasa de deformación plástica obtenida
previamente por medio de un modelo viscoplástico fenomenológico de elementos finitos definido a
nivel macroscópico. Se modela en particular la evolución del desarrollo de textura en distintos puntos
del alambre y para diferentes velocidades de trefilado. Se presentan y discuten las texturas finales
predichas por el modelo.
Mecánica Computacional Vol XXX, págs. 651-662 (artículo completo)Oscar Möller, Javier W. Signorelli, Mario A. Storti (Eds.)
Rosario, Argentina, 1-4 Noviembre 2011
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1 INTRODUCIÓN
El trefilado es un proceso de conformado en frío que consiste en deformar
homogéneamente el alambre haciéndolo pasar por un dado de menor diámetro mediante una
fuerza de tiro, disminuyendo su sección transversal y alargando su longitud debido a la
deformación plástica del material. En consecuencia, los granos del material rotan a la vez que
se alargan, haciendo que ciertas direcciones y planos cristalográficos se alineen con la
dirección en la que se aplica el esfuerzo. Si la orientación de los granos en un policristal
obedece a una distribución aleatoria, el material se comporta de manera isótropa con respecto
a sus propiedades físicas. Cuando el material presenta una orientación preferencial de sus
granos, se dice que el material está texturado y, por lo tanto, las propiedades físicas de los
mismos mostrarán un carácter anisótropo. Entre algunas de las propiedades que dependen de
la orientación cristalográfica de los granos en material se pueden mencionar al módulo de
elasticidad, la dirección de crecimiento cristalográfico durante la solidificación, la resistencia
a la cedencia (límite elástico), la ductilidad, la resiliencia y la resistencia a la corrosión. Los
materiales más empleados en trefilación son aceros, cobre y latones, aunque puede aplicarse a
cualquier material o aleación dúctil.
Los mecanismos de deformación plástica suelen clasificarse como difusivos y no
difusivos; los primeros son importantes en los procesos que involucren tiempos considerables
mientras que los segundos se producen siempre que las tensiones aplicadas sean lo
suficientemente altas. El principal mecanismo no difusivo de deformación es el
deslizamiento, el cual está asociado con la movilidad de las dislocaciones en la red cristalina.
En general, el deslizamiento ocurre sobre los planos más compactos y en las direcciones más
compactas. Así, en la estructura cúbica centrada en las caras FCC el deslizamiento siempre se
produce sobre los planos {111} pero solamente en las direcciones <110>. Esto significa que si
se produce el deslizamiento sobre el plano (111), será en alguna de las tres direcciones ±
[101], ±[110], ±[011]. Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que
tienen cuatro grupos {111} con tres direcciones <110> en cada uno de ellos. Los metales que
presentan este tipo de estructura son Cu, Al, Ni, Pb, Au, Ag y Fe. Microscópicamente, el
endurecimiento por deformación está relacionado con el desarrollo de textura cristalográfica
que se produce principalmente como resultado de tratamientos térmicos y mecánicos.
Existen muchos estudios sobre la evolución de la microestructura y las propiedades
mecánicas en el proceso de trefilado de alambres. Sin embargo, hay muy poca información
sobre el mecanismo de deformación plástica que se genera durante el mismo. En los procesos
de trefilado de alambres y extrusión, se produce una estructura de fibra en donde los granos se
alargan en la dirección paralela al eje del alambre. Así se obtiene la máxima resistencia a lo
largo del eje del alambre o del extruido. Rajian and Petkie (1998) y Gerber et al. (2005) desarrollaron una amplia investigación sobre la evolución de textura de alambres trefilados de
cobre usando difracción de rayos X (DRX), difracción de neutrones y difractometría de
dispersión (EBSD). En particular, Gerber et al. (2005) demostraron que el cobre trefilado en
frío tiene texturas típicas consistente en su mayoría <111> y una minoría <100>, encontrando
que para el cristal simple se produce textura de fibra mientras que para el policristal aparece la
textura bimodal. English and Chin (1965) mostraron que la relación de intensidad relativa de
textura de fibra <111> y <100 > es diferente en alambres de distintos materiales y depende de
su energía de falla de apilamiento. Por otro lado, Kraft et al. (1996) establecieron la relación
entre el ángulo del dado y la textura de fibra para conductores de Cu ETP (Electrolytic Tough
Pitch) a una reducción promedio total de 65,6% concluyendo que el aumento del ángulo del
dado promueve un aumento de textura al azar (probablemente en la estructura del grano cerca
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de la superficie) que se produce a expensas de la textura de fibra (111) (200) la que a su vez
se reduce la temperatura de recocido del alambre y causa la recristalización no uniforme.
Waryobar (2003) ha reportado que la evolución de la textura en los cables de cobre trefilado
se ve afectada por la temperatura durante la deformación tal que la relación de intensidad es
mayor a temperaturas superiores a 0°C. Bolmaro et al. (2006) y Brokmeier et al. (2007) simularon el desarrollo de las texturas de trefilado de cables de Cu-Fe por medio de un micro
mecánico viscoplástico autoconsistente contratando y validando los resultados numéricos con
las texturas medidas mediante difracción de neutrones. Baudin et al. (2007) demostraron que
para el cobre electrolítico trabajado en frío y después recristalizado se pueden desarrollar,
para bajas reducciones, todas las componentes de texturas mientras que, para reducciones
altas, los granos crecen preferentemente en <100>; además, los resultados indicaron que la
fracción de límite de grano disminuye con el aumento de la cantidad de deformación. Jakani
et al. (2007) estudiaron el efecto de las impurezas, especialmente azufre, en la textura de
recristalización y en la microestructura de los cables de cobre ETP (38% de reducción de
área) demostrando que la textura de recristalización se compone de texturas de fibras <001> y
<111> independientemente del contenido de impurezas.
El objetivo de este trabajo es describir el comportamiento mecánico, en el marco de la
plasticidad cristalina, de un alambre de cobre de estructura FCC cuando se lo somete al
proceso de trefilado. Para tal fin se propone simular el desarrollo de textura de deformación
en dicho proceso aplicando un modelo de viscoplasticidad policristalina. El modelo
policristalino se describe brevemente en la Sección 2. En el modelo se adopta la hipótesis de
homogeneidad de deformación de Taylor y se considera una ley de tipo potencial para la
relación constitutiva entre la tensión aplicada en un dado plano cristalográfico y la tensión
crítica de activación de dicho sistema. La velocidad de deformación total en el grano se
obtiene como la suma de las velocidades de deformación de corte simple aportadas por cada
uno de los sistemas de deslizamiento potencialmente activos. La respuesta constitutiva del
agregado policristalino se calcula mediante la homogeneización de la respuesta individual de
cada cristal. La caracterización del material realizada a partir de la medición experimental en
el ensayo de tracción de la curva tensión-deformación la cual se detalla en la Sección 3. La
Sección 4 presenta los resultados en términos de desarrollo de textura asociados al proceso de
trefilado. El modelo se aplica a tres puntos del alambre (situados en el centro, en la mitad del
radio y en borde externo del mismo) para tres velocidades de trefilado crecientes. Las
variables de entrada del modelo son los gradientes de velocidades obtenidos a partir de un
modelo viscoplástico fenomenológico definido a nivel macroscópico y, además, los
parámetros del material derivados en la Sección 3. Se presentan y discuten las figuras de
polos calculadas con el modelo. Finalmente, la Sección 5 resume las conclusiones de este
trabajo.
2 MODELO POLICRISTALINO
La formulación del modelo utilizado corresponde al trabajo desarrollado por Lebensohn et
al. (1993). A continuación se presentan sólo algunos aspectos del mismo.
2.1 Regla de flujo
La ley constitutiva a nivel del cristal simple puede ser definida a través de una ley de tipo
potencial la cual relaciona el esfuerzo aplicado en un dado plano cristalográfico y la tensión
crítica de activación de ese sistema s
cτ . La velocidad de deformación total en el grano d se
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obtiene como una suma de las velocidades de deformación de corte simple Sγ& aportadas por
cada uno de los sistemas de deslizamiento potencialmente activos s:
( )s
r
m
s
c
s
r
s
ss
s
s signS ττ
τγγ ∑∑ == mmd 0&& (1)
donde ( )sssssnbbnm ⊗+⊗=
21 es el tensor de Schmid ( s
n y sb son los vectores normal y
tangencial al plano de deslizamiento del sistema s, respectivamente), s
0γ& es velocidad de corte
de referencia, m es un parámetro material de sensibilidad a la velocidad de deformación y la
tensión resuelta en el sistema s puede escribirse como σm :ss
r =τ , donde σ es el tensor de
tensiones de Cauchy en el grano.
2.2 Modelo de endurecimiento
El comportamiento a nivel del cristal simple se completa al describir la ley de
endurecimiento. En la mayoría de los metales es ampliamente aceptada la idea que durante el
proceso de deformación más de un sistema de deslizamiento se activa simultáneamente y que,
además, la activación de un sistema implica una mayor dificultad en la activación del resto.
Las principales variables que afectan el endurecimiento son: la energía de falla de
apilamiento, la densidad de dislocaciones, el camino libre medio entre éstas, la temperatura,
etc. El endurecimiento por deformación corresponde a la evolución de la tensión s
cτ que se
supone puede escribirse como:
∑='
''
s
s
ss
s
c h γτ && (2)
donde 'ssh es la matriz de endurecimiento que relaciona la interacción entre los sistemas s y
s’. En la matriz de endurecimiento, los coeficientes de la diagonal describen el efecto de
autoendurecimiento que se debe principalmente al apilamiento de las dislocaciones en el
sistema s; el resto de los coeficientes, asociados al efecto de endurecimiento latente,
cuantifican la influencia de los otros sistemas que provocan las interacción descrita
anteriormente. Diversas formas funcionales han sido propuestas para esta matriz, en el
presente trabajo utilizaremos una ley de endurecimiento isótropa de tipo potencial:
1
1
−
′
+
Γ=
n
s
c
ssn
hhh
τo
o (3)
donde o
h es el parámetro de endurecimiento inicial, n es el exponente de endurecimiento y
∑=Γs
sγ es la deformación de corte acumulada. Si bien es una ley simple que, tal como se
ve de la Figura 1, reproduce muy adecuadamente el comportamiento del material.
2.3 Homogeneización
La relación entre la tensión y deformación macroscópica con los estados microscópicos se
basa en la hipótesis de homogeneización, la cual vincula a las magnitudes a través del
promedio ponderado cuyos pesos son la fracción de volumen de cada cristal en el policristal:
dD = (4)
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σΣ = (5)
donde dσ − y DΣ − son los tensores de tensión y deformación en los granos y en el
agregado, respectivamente. Las ecuaciones (4-5) ponen de manifiesto que una vez conocidos
el estado microscópico, el estado macroscópico queda completamente determinado. Por otro
lado, el cálculo de evolución de textura involucra el problema inverso: a partir del
conocimiento de las condiciones de borde (macroscópicas) del problema, se deben determinar
los estados microscópicos correspondientes. A tal efecto resulta necesario formular alguna
hipótesis suplementaria al principio de homogeneización con el fin de vincular los estados
microscópicos y macroscópicos de tensión y deformación. La formulación de tal hipótesis
determina el modelo de deformación del policristal. Taylor (1938) introdujo la hipótesis de
que la tasa de deformación es homogénea en el agregado:
Dd = (6)
El modelo de Taylor impone la compatibilidad de deformación a costa de violar el
equilibrio de tensiones. Si bien el modelo utilizado está basado en una formulación
autoconsistente, la cual permite diferentes estados de deformación y tensión en los granos, en
este trabajo sólo se utilizará en la modalidad de Taylor.
3 CARACTERIZACIÓN POLICRISTALINA DEL MATERIAL A PARTIR DEL ENSAYO DE TRACCIÓN
Los datos experimentales empleados en este trabajo corresponden al ensayo de tracción en
probetas de cobre puro reportado en Celentano (2010).
3.1 Ajuste de parámetros
La curva tensión-deformación verdadera medida experimentalmente se muestra en la
Figura 1. En dicha Figura también se grafica la curva simulada con el modelo policristalino
presentado en la Sección 2 utilizando los parámetros del material, indicados en la Tabla 1, que
mejor ajustan la respuesta. Es importante notar que dichos parámetros fueron obtenidos con la
hipótesis de endurecimiento isótropo.
Figura 1: Ensayo de tracción de una muestra cilíndrica de cobre puro.
Tabla 1: Propiedades del material derivadas a partir del ensayo de tracción.
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____________________________________________________
Velocidad de corte de referencia s
0γ& 1
Parámetro de sensibilidad m 50
Parámetro de endurecimiento inicial 0h [MPa] 38
Exponente de endurecimiento n 0.22
Tensión crítica inicial 0
s
cτ [MPa] 120
_____________________________________________________
3.2 Análisis de textura
Las Figuras 2-4 representan las texturas calculadas, por medio de figuras de polos para
distintos planos, a un nivel de deformación verdadera en el ensayo de tracción de 0.7
utilizando los parámetros de la Tabla 1.
level lines
TD
ND
RD
(111) fmax= 25.7 at phi=-185.0 ,theta= 0.8
fmin= 0.0 at phi= -85.0 ,theta= 33.8
1,0
2,0
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
18,0
21,0
24,0
level lines
RD
TD
ND
(111) fmax= 11.1 at phi= -5.0 ,theta= 86.8
fmin= 0.0 at phi= 95.0 ,theta= 19.7
1,0
2,0
3,0
6,0
9,0
Figura 2 : Figuras de polos obtenidas de la textura en el ensayo de tracción en la familia de planos (111): a)
dirección de trefilado en el centro y b) dirección de trefilado a la derecha.
level lines
TD
ND
RD
(100) fmax= 8.8 at phi=-185.0 ,theta= 0.8
fmin= 0.0 at phi=-115.0 ,theta= 33.8
1,0
2,0
3,0
6,0
level lines
RD
TD
ND
(100) fmax= 4.8 at phi= -45.0 ,theta= 52.5
fmin= 0.0 at phi=-165.0 ,theta= 19.7
1,0
2,0
3,0
Figura 3: Figuras de polos obtenidas de la textura en el ensayo de tracción en la familia de planos (100): a)
dirección de trefilado en el centro y b) dirección de trefilado a la derecha.
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level lines
TD
ND
RD
(110) fmax= 3.7 at phi=-135.0 ,theta= 86.8
fmin= 0.0 at phi=-115.0 ,theta= 33.8
1,0
2,0
3,0
level lines
RD
TD
ND
(110) fmax= 4.5 at phi=-185.0 ,theta= 0.8
fmin= 0.0 at phi= -65.0 ,theta= 60.1
1,0
2,0
3,0
Figura 4: Figuras de polos obtenidas de la textura en el ensayo de tracción en la familia de planos (110): a)
dirección de trefilado en el centro y b) dirección de trefilado a la derecha.
De la Figura 2 se ve claramente la tendencia a alinear los planos (111) en la dirección de
trefilado (RD). Comparando la Figuras 2 y 3 vemos que se corrobora la generación de una
textura bimodal formada por los planos (111) y (110). Este tipo de textura es característico del
desarrollo de textura en materiales FCC trefilados.
4 SIMULACIÓN POLICRISTALINA DEL PROCESO DE TREFILADO
Con el objeto de analizar el efecto del camino de deformación y velocidad de trefilado
sobre la textura final del material se realizaron diferentes simulaciones utilizando
simulaciones de elementos finitos realizadas en trabajo previos (Celentano, 2010). A partir de
dichas simulaciones se extrajo la historia de deformación de tres puntos materiales situados en
el centro, medio y borde exterior del alambre. Así mismo, se analizaron tres diferentes
velocidades de trefilado diferentes: 0.042mm/s, 20mm/s y 140mm/s.
4.1 Evolución de la deformación
La Figura 5 muestra los perfiles del tensor gradiente de deformación obtenidos mediante la
simulación por elementos finitos del proceso de trefilado. La dirección 2 se corresponde con
la dirección paralela al alambre. Se incluyen sólo las componentes del tensor gradiente de
velocidad cuyo valor sea apreciablemente diferente de cero. Como puede observase a medida
que nos alejamos del centro y nos aproximamos al borde las componentes de corte L12 y L21
son claramente no nulas y aportan una rotación rígida del material la cual varía a medida que
el material avance por la hilera.
a)
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b)
c)
Figura 5: Gradientes de velocidad calculados utilizando elementos finitos para las tres diferentes velocidades
analizadas: a) correspondientes a un punto material situado en el centro de la sesión transversal del alambre; b)
punto material situado entre el centro y periferia y c) punto material situado en la periferia.
Paralelamente, al comparar la evolución de las diferentes componentes del tensor en
función de la velocidad a la cual se realiza el trefilado vemos que no hay una variación
significativa en los perfiles obtenidos. Este hecho justifica la estrategia multiescala adoptada,
es decir, primeramente se resuelve un problema clásico de elementos finitos teniendo en
cuenta la geometría del problema y, posteriormente, se extrae de estos resultados la historia de
deformación a la que se sometido el material en diferentes puntos característicos para luego
aplicar el modelo de plasticidad cristalina. En problema como el trefilado donde la geometría
impone la historia de deformación, no es necesario una estrategia de acople ‘fuerte’ entre
ambos modelos.
4.2 Evolución de la textura cristalográfica
Las Figuras 6-14 muestran las figuras de polos de la textura final del material para las tres
velocidades de trefilado consideradas.
Como se mencionó precedentemente, el hecho que la geometría del ensayo imponga
fuertemente la trayectoria de deformación del material, hace que la textura cristalográfica
desarrollada durante el proceso de trefilado se poco sensible a la velocidad con la que se
realice. Las intensidades son más bajas que las observadas en el ensayo de tracción, si bien la
deformación acumulada es menor. Se observa que a medida que nos aproximamos al borde,
es visible el efecto de la rotación rígida sobre la textura del material. Es importante resaltar
que esta inclinación que se observa en las figura de polos es debido a que uno está observando
la textura correspondiente a un punto material, en realidad si se desea comprar con figuras de
polos obtenidas experimentalmente se debería integrar las diferentes figuras de polos
correspondientes a todo un anillo de la sección del alambre. Se optó por no realizar este
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cálculo a los efectos de mostrar claramente el efecto del corte sobre la reorientación de los
cristales.
Velocidad de trefilado de 0.042 mm/s
Figura 6: Textura final correspondiente a un punto material situado en el centro del alambre. De izquierda a
derecha Figuras de polos (111), (100) y (110) respectivamente.
Figura 7: Textura final correspondiente a un punto material situado en el radio medio del alambre. De izquierda a
derecha Figuras de polos (111), (100) y (110) respectivamente.
Figura 8: Figuras de polos para el contorno del alambre Textura final correspondiente a un punto material
situado en el contorno del alambre. De izquierda a derecha Figuras de polos (111), (100) y (110)
respectivamente.
Velocidad de trefilado de 20 mm/s
Figura 9: Textura final correspondiente a un punto material situado en el centro del alambre. De izquierda a
derecha Figuras de polos (111), (100) y (110) respectivamente.
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Figura 10: Textura final correspondiente a un punto material situado en el radio medio del alambre. De izquierda
a derecha Figuras de polos (111), (100) y (110) respectivamente.
Figura 11: Figuras de polos para el contorno del alambre Textura final correspondiente a un punto material
situado en el contorno del alambre. De izquierda a derecha Figuras de polos (111), (100) y (110)
respectivamente.
Velocidad de trefilado de 140 mm/s
Figura 12: Textura final correspondiente a un punto material situado en el centro del alambre. De izquierda a
derecha Figuras de polos (111), (100) y (110) respectivamente.
Figura 13: Textura final correspondiente a un punto material situado en el radio medio del alambre. De izquierda
a derecha Figuras de polos (111), (100) y (110) respectivamente.
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Figura 14: Figuras de polos para el contorno del alambre Textura final correspondiente a un punto material
situado en el contorno del alambre. De izquierda a derecha Figuras de polos (111), (100) y (110)
respectivamente.
5 CONCLUSIONES
En este trabajo se ha presentado una primera aproximación a la modelización multiescala
del comportamiento mecánico de un alambre de cobre durante el proceso de trefilado con el
objeto de simular el desarrollo de textura de deformación mediante la aplicación de un
modelo de viscoplasticidad policristalina. Se realizó en primera instancia una caracterización
del material a partir de la curva tensión-deformación medida experimentalmente en un ensayo
de tracción. En una segunda etapa se llevó a cabo la modelización del comportamiento del
material durante el proceso de trefilado en distintos puntos del alambre para diferentes
velocidades de trefilado obtenidos a partir de modelización de elementos finitos de forma de
simular adecuadamente la componente de rotación rígida sufrida por el material.
Varios aspectos deberán ser profundizados a fin de poder validar el modelo propuesto en
particular se están realizando mediciones de textura al final del proceso de trefilado de forma
de verificar los resultados aportados por la simulación. Así mismo, es necesario un estudio
más riguroso de la variabilidad de los parámetros a nivel del cristal simple en función de la
velocidad de deformación.
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