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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELAGEM NÃO HOMOGÊNEA E NÃO ESTACIONÁRIA

DE MÁXIMOS ANUAIS DE VAZÃO

CAMILA SANTOS BUENO DA SILVA

ORIENTADOR: CARLOS HENRIQUE RIBEIRO LIMA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM TECNOLOGIA AMBIENTAL E

RECURSOS HÍDRICOS

BRASÍLIA/DF: JUNHO – 2015

ii

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

MODELAGEM NÃO HOMOGÊNEA E NÃO ESTACIONÁRIA

DE MÁXIMOS ANUAIS DE VAZÃO

CAMILA SANTOS BUENO DA SILVA

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE

TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU

DE MESTRE EM TECNOLOGIA AMBIENTAL E RECURSOS

HÍDRICOS.

APROVADA POR:

_________________________________________________

Prof. Carlos Henrique Ribeiro Lima, PhD (ENC-UnB)

(Orientador)

_________________________________________________

Prof. Dirceu Silveira Reis Junior, PhD (ENC-UnB)

(Examinador Interno)

_________________________________________________

Prof. Eber José de Andrade Pinto, Dr. (CPRM-MG/UFMG)

(Examinador Externo)

FICHA CATALOGRÁFICA

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

BUENO, C. S.S. (2015). Modelagem não Homogênea e não Estacionária de Máximos Anuais

de Vazão. Dissertação de Mestrado em Tecnologia Ambiental e Recursos Hídricos,

Publicação PTARH.DM-172/2015, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental,

Universidade de Brasília, Brasília, DF, 105p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTORA: Camila Santos Bueno da Silva

TÍTULO: Modelagem não Homogênea e não Estacionária de Máximos Anuais de Vazão.

GRAU: Mestre ANO: 2015

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de

mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação de

mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor.

____________________________ Camila Santos Bueno da Silva SHCGN 707 Bloco D, Asa Norte 70740-734 Brasília – DF – Brasil.

BUENO, CAMILA SANTOS DA SILVA.

MODELAGEM NÃO HOMOGÊNEA E NÃO ESTACIONÁRIA DE MÁXIMOS

ANUAIS DE VAZÃO.

xiv, 105p., 210 x 297 mm (PTARH/FT/UnB, Mestre, Tecnologia Ambiental e Recursos

Hídricos, 2015).

Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia.

Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.

1. Homogeneidade 2. Estacionariedade

3. Cópulas 4. Sazonalidade

I. PTARH/FT/UnB II. Título (série)

ii

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por me proporcionar tudo!

Agradeço também à minha família e amigos, pois me amam e acompanham a cada dia novas

conquistas e obstáculos vencidos.

Agradeço ao professor orientador Carlos Lima, pela paciência e pelos ensinamentos, pois ele

é uma pessoa fundamental no desenvolvimento desse trabalho.

E um muito obrigado aos professores do Programa de Tecnologia Ambiental e Recursos

Hídricos da Universidade de Brasília, por incentivar os estudos e estimular o crescimento

acadêmico e profissional.

iii

RESUMO

As cheias são a principal causa das inundações, por esse motivo, seu comportamento vem

sendo estudado durante as últimas décadas. Nesse sentido, destacam-se o estudo e a

modelagem de eventos de cheia ou picos de vazão num contexto de mudanças climáticas

globais e variabilidade natural do sistema que tem levado a violações nas hipóteses básicas de

métodos clássicos de análise de frequência de cheias. Metodologias tradicionais de análise de

frequência de cheias vêm sendo complementadas por propostas mais adequadas nos casos em

que as suposições de homogeneidade, independência e estacionariedade são violadas. No

presente trabalho, é estudada e modelada a dependência existente entre máximos sazonais de

vazão provenientes de populações distintas. Particularmente, o estudo foca no máximo

advindo de uma população do período de chuvas de inverno e outro máximo decorrente de

chuvas de verão, na bacia do rio Paranapanema. Fazendo uso dos avanços já apresentados na

área de análise de frequência de cheias e com o intuito de agregar conhecimento na área de

previsão de cheias, este trabalho desenvolve um modelo que leva em consideração a não-

homogeneidade e a não-estacionariedade das séries com a identificação de picos sazonais e da

dependência entre os picos de cheias inserindo essas particularidades na estatística que irá

representar a amostra de interesse. É então proposta uma metodologia inovadora para a área

de estimação de cheias, por meio da aplicação das chamadas cópulas na modelagem da

relação existente entre os picos sazonais. Os resultados obtidos mostram que, para períodos de

retorno superiores a 50 anos, o método tradicional leva a superestimação de quantis de cheias

quando comparados com as estimativas produzidas pelo método das cópulas, que é uma

representação mais adequada num contexto de analise sazonal. A aplicação da metodologia

proposta para prever a distribuição do máximo sazonal de inverno, condicional ao máximo

observado no período anterior, mostrou-se como uma ferramenta promissora para

gerenciamento do risco de cheia nesse período, particularmente por propiciar a

implementação de sistemas de aviso de cheias.

Palavras-chave: análise de frequência de cheias, sazonalidade, estacionariedade,

homogeneidade, cópula, distribuição bivariada

iv

ABSTRACT

Peak river flows are the main cause of floods; therefore, their behavior has been the focus of

various studies in the past decades. A global climate change context and natural variability of

the system has led to violations of the basic assumptions of classical methods of flood

frequency analysis, with this perspective, studies and modeling of peak flows has to be

reavaluated in order to incorporate those changes. Traditional methodologies of flood

frequency analysis have been complemented by more appropriate proposals where the

assumptions of homogeneity, independence and stationarity are no longer valid. In this study,

the focus was studying and modeling the dependency between seasonal maximum flow from

distinct populations. In particular, we focus on maximum arising from a population of winter

rains and another maximum period due to summer rains in the Paranapanema River basin

(South of Brazil). Making use of advances already made in the flood frequency analysis, and

in order to increase knowledge in the area of flood forecasting, this paper develops a model

that takes into account the non-homogeneity and non-stationarity of the series with identifying

peaks and seasonal dependency between the flooding of these peaks considering the statistical

characteristics that will represent the sample of interest. We propose an innovative

methodology for the flood frequency analysis, with the application of copula methodology

between seasonal peaks. The results show that, for return periods longer than 50 years, the

traditional method leads to overestimation of quantile floods when compared with the

estimates produced by the copula, which is also a better representation in the context of

seasonal analysis. The application of the proposed methodology to forecast seasonal winter

maximum distribution, conditional to the maximum observed in the previous period (summer

maximum distribution), proved to be a promising tool for managing flood risk in this period,

particularly for providing the implementation of flood warning systems.

Key-words: flood frequency analysis, seasonal flow analysis, stationarity, homogeneity,

copula, bivariate distribution

v

SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1

2 - OBJETIVOS ....................................................................................................................... 9

2.1. OBJETIVO GERAL .................................................................................................... 9

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................... 9

3 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................ 10

3.1. ANÁLISE DE FREQUÊNCIA DE CHEIAS COM DISTRIBUIÇÕES NÃO

HOMOGÊNEAS E INDEPENDENTES ......................................................................... 11


HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES ............................................................................. 12

3.2.1. Análise multivariada e o uso de Cópulas ........................................................ 14

3.3. CHEIAS E ESTACIONARIEDADE NA BACIA DO RIO PARANAPANEMA 15

4 - TEORIA DAS CÓPULAS ............................................................................................... 17

5 - METODOLOGIA ............................................................................................................. 23


HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES (ANÁLISE VIA CÓPULAS) ........................... 24

5.1.1. Bootstrap ........................................................................................................... 29

5.2. TESTES ESTATÍSTICOS PARA ESTACIONARIEDADE DE SÉRIES

TEMPORAIS ..................................................................................................................... 30

5.2.1. Teste de Mann-Kendall .................................................................................... 31

5.2.2. Teste de Spearman ........................................................................................... 31

5.3. ANÁLISE NÃO ESTACIONÁRIA DE FREQUÊNCIA DE CHEIAS COM

DISTRIBUIÇÕES NÃO HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES (ANÁLISE VIA

CÓPULAS) ......................................................................................................................... 32

6 - REGIÃO DE ESTUDO E DADOS HIDROCLIMÁTICOS ........................................ 34

6.1. SAZONALIDADE DOS PICOS DE VAZÃO ......................................................... 36

7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................... 38

7.1. SAZONALIDADE DOS PICOS DE VAZÃO ......................................................... 38

7.2. ESTACIONARIEDADE DOS PICOS DE VAZÃO ............................................... 42


HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES (ANALISE VIA CÓPULA) .............................. 46

vi



CÓPULA) ........................................................................................................................... 55

8 - CONCLUSÕES ................................................................................................................. 58

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 60

APÊNDICES ........................................................................................................................... 65

A. . ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE JURUMIRIM ................................................. 66

B. . ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE CANOAS......................................................... 74

C. . ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE CAPIVARA .................................................... 82

D. . ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE TAQUARUÇU ............................................... 90

E. . ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE ROSANA ......................................................... 98

vii

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMECLATURA E ABREVIAÇÕES

ANA Agência Nacional de Águas ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica α=5% nível de significância α parâmetro de posição β parâmetro de escala γ parâmetro de forma µ média σ desvio padrão C(u,v) cópula bidimensional �� função distribuição acumulada �� função distribuição acumulada � função geradora da cópula GEV Generalized Extreme Value

H(x,y) função distribuição conjunta � números reais [0,1] N número de dados ONS Operador Nacional do Sistema Elétrico P probabilidade de ocorrência ou superação ∏�, �� cópula produto Q vazão coeficiente de correlação de Kendall � parâmetro da função geradora da cópula UHE usina hidrelétrica

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Tendência monotônica crescente da série de vazões máximas do posto Jurumirim

no rio Paranapanema. (Anjos e Bueno,2011) ............................................................................. 4

Figura 1.2 - Vazão máxima mensal sobre a bacia do rio das Fêmeas (nordeste do país) a

esquerda e sobre bacia do rio Paranapanema (sudeste do país) ................................................. 5

Figura 1.3 - Correlação entre os picos de vazão da bacia do rio Paraná (Lima, 2011). Período

1: Setembro - Dezembro, período 2: Janeiro - Abril) - os círculos sólidos indicam correlações

estatisticamente significantes ao nível de significância de 5%, enquanto os círculos vazados

não apresentam correlação estatisticamente significativa. ......................................................... 6

Figura 3.1 - Curva de frequência para o posto do reservatório Furnas para a) períodos 1

(círculo) e período 2 (quadrado) e b) máximo anual. (Adaptado de Lima, 2011) ................... 11

Figura 4.1 - Representação gráfica da equação 4.3. (Marchi, 2010) ........................................ 18

Figura 4.2 - Gráficos das cópulas M, ∏ e W. (Nelsen, 2006) .................................................. 19

Figura 4.3 - Diagramas de contorno das cópulas M, ∏ e W, sendo a) máxima correlação

positiva, b) independência e c) máxima correlação negativa. (Nelsen, 2006) ......................... 19

Figura 4.4 - Estrito (a) e não estrito (b) geradores e inversas. (Nelsen, 2006) ......................... 21

Figura 6.1 - Mapa de localização da bacia do rio Paranapanema. ........................................... 34

Figura 6.2 - Precipitação total média mensal sobre a bacia do rio Paranapanema (1939-2005)

(Anjos e Bueno, 2011) ............................................................................................................. 36

Figura 7.1 - Curva de frequência para o posto UHE Chavantes para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total. ........................................................................................................................... 39

Figura 7.2: Curva de frequência para o posto fluviométrico Tibagi para os períodos 1 e 2. ... 40

Figura 7.3: Mapa com representação geológica da bacia do rio Paranapanema.A linha preta

delimita a bacia do rio Paranapanema, a linha vermelha indica a delimitação da bacia do rio

Tibagi (afluente pela margem esquerda do rio Paranapanema). A área em rosa indica litologia

Granito Santa Rita, em cinza Itaiococa carbonática, em vermelho Granito Conceição, em

cinza Arenito, e em verde escuro Basalto. ............................................................................... 41

Figura 7.4 - Diagrama de dispersão das vazões de pico do período 1 (novembro-abril) e do

período 2 (maio-outubro) para o posto da UHE Chavantes. .................................................... 42

Figura 7.5 - Série de máximos sazonais de vazão observadas para o período 1 (novembro-

abril) do posto da UHE Chavantes (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos

dados observados). ................................................................................................................... 44

ix

Figura 7.6 - Série de máximos sazonais de vazão observadas para o período 2 (maio-outubro)

do posto da UHE Chavantes (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados

observados). .............................................................................................................................. 45

Figura 7.7 - Série (novembro-outubro) de máximos anuais de vazão observadas do posto da

UHE Chavantes (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

.................................................................................................................................................. 45

Figura 7.8 - Gráfico quantil-quantil (Q-Q plot) aplicado para a distribuição estacionária de

Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita. ........................................................... 48


Gumbel (Período Total) ........................................................................................................... 48

Figura 7.10 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1) no gráfico de distribuição

acumulado de Gumbel .............................................................................................................. 49


acumulado de Gumbel .............................................................................................................. 49

Figura 7.12 - Gráfico de dispersão da cópula para θ=0,1 no extremo esquerdo, θ=1,474 no

centro e θ=5 no extremo direito. .............................................................................................. 50

Figura 7.13 - Diagrama de dispersão de 1000 valores aleatórios da cópula de Gumbel com

τkendal = 0,321 e θ=1,474 ........................................................................................................... 51

Figura 7.14–Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,321 e θ=1,474 . 51

Figura 7.15: Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional . 53

Figura 7.16 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula .................................................................................................................. 55

Figura 7.17- Vazões máximas esperadas para a UHE Chavantes nos anos 1931 – 2008 ........ 56

Figura A.1 - Curva de frequência para o posto UHE Jurumirim para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total. ........................................................................................................................... 66

Figura A.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Jurumirim. R=0,34 ............................................................................................ 67

Figura A.3 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período 1 do posto da UHE

Jurumirim (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ...... 67


Jurumirim (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ...... 68

x

Figura A.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Jurumirim (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

.................................................................................................................................................. 68

Figura A.6 - Gráfico quantil-quantil (Q-Q plot) aplicado para a distribuição estacionária de

Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Jurumirim. ........................ 69


Gumbel (Perío-do Total) para UHE Jurumirim ....................................................................... 70

Figura A.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Jurumirim ............. 70

Figura A.9 - ScatterPlot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2901 e θ=1,408 UHE Jurumirim ........................................................................................... 71

Figura A.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,2901 e θ=1,408

UHE Jurumirim ........................................................................................................................ 71

Figura A.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Jurumirim ........................................................................................................................ 72

Figura A.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Jurumirim ....................................................................................... 73

Figura A.13 - Vazões esperadas para UHE Jurumirim. (Legenda vide Figura 7.17) (KScop =

0,11;KStrad=0,59) ...................................................................................................................... 73

Figura B.1 - Curva de frequência para o posto UHE Canoas para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total. ........................................................................................................................... 74

Figura B.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Canoas. R=0,38................................................................................................. 75

Figura B.3 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período 1 do posto da UHE

Canoas (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ........... 75


Canoas (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ........... 76

Figura B.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Canoas (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). .. 76

Figura B.6 - Gráfico quantil-quantil (Q-Q plot) aplicado para a distribuição estacionária de

Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Canoas. ............................. 77


Gumbel (Período Total) para UHE Canoas .............................................................................. 78

xi

Figura B.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Canoas .................. 78

Figura B.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,3074 e θ=1,444 UHE Canoas ................................................................................................ 79

Figura B.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal 0,3074 e θ=1,444

UHE Canoas ............................................................................................................................. 79

Figura B.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Canoas ............................................................................................................................. 80

Figura B.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Canoas ............................................................................................ 81

Figura B.13 - Vazões esperadas para UHE Canoas. (Legenda vide Figura 7.17)(KScop =

0,14;KStrad=0,62) ...................................................................................................................... 81

Figura C.1 - Curva de frequência para o posto UHE Capivara para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total. ........................................................................................................................... 82

Figura C.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Capivara. R=0,36 .............................................................................................. 83

Figura C.3 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período 1 do posto da UHE

Capivara (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ......... 83


Capivara (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ......... 84

Figura C.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Capivara (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). 84

Figura C.6 - Gráfico quantil-quantil (Q-Q plot) aplicado para a distribuição estacionária de

Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Capivara. .......................... 85


Gumbel (Período Total) para UHE Capivara ........................................................................... 86

Figura C.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Capivara ............... 86

Figura C.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2404 e θ=1,3165 UHE Capivara ........................................................................................... 87

Figura C.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal =0,2404 e θ=1,3165

UHE Capivara .......................................................................................................................... 87

Figura C.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Capivara .......................................................................................................................... 88

xii

Figura C.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Capivara ......................................................................................... 89

Figura C.13 - Vazões esperadas para UHE Capivara. (Legenda vide Figura 7.17)(KScop =

0,24;KStrad=0,59) ...................................................................................................................... 89

Figura D.1 -Curva de frequência para o posto UHE Taquaruçu para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total. ........................................................................................................................... 90

Figura D.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Taquaruçu. R=0,36 ........................................................................................... 91

Figura D.3 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período 1 do posto da UHE

Taquaruçu (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ...... 91


Taquaruçu (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ...... 92

Figura D.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Taquaruçu (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

.................................................................................................................................................. 92

Figura D.6 - Gráfico quantil-quantil (Q-Q plot) aplicado para a distribuição estacionária de

Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Taquaruçu. ........................ 93


Gumbel (Perío-do Total) para UHE Taquaruçu ....................................................................... 94

Figura D.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Taquaruçu ............. 94

Figura D.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2412 e θ=1,3178 UHE Taquaruçu ......................................................................................... 95

Figura D.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,2412 e θ=1,3178

UHE Taquaruçu ........................................................................................................................ 95

Figura D.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Taquaruçu ........................................................................................................................ 96

Figura D.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Taquaruçu ....................................................................................... 97

Figura D.13 - Vazões esperadas para UHE Taquaruçu. (Legenda vide Figura 7.17) .............. 97

Figura E.1 - Curva de frequência para o posto UHE Rosana para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total. ........................................................................................................................... 98

Figura E.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Rosana. R=0,36................................................................................................. 99

xiii

Figura E.3 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período 1 do posto da UHE

Rosana (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ........... 99


Rosana (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). ......... 100

Figura E.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Rosana (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados). 100

Figura E.6 - Gráfico quantil-quantil (Q-Q plot) aplicado para a distribuição estacionária de

Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Rosana. ........................... 101


Gumbel (Período Total) para UHE Rosana ............................................................................ 102

Figura E.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Rosana ................ 102

Figura E.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2318 e θ=1,3017 UHE Rosana ............................................................................................ 103

Figura E.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,2318 e θ=1,3017

UHE Rosana ........................................................................................................................... 103

Figura E.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Rosana ........................................................................................................................... 104

Figura E.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Rosana .......................................................................................... 105

Figura E.13 - Vazões esperadas para UHE Rosana. (Legenda vide Figura 7.17) .................. 105

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 4-1 - Funções geradoras, Nelsen (2003) ....................................................................... 22

Tabela 6-1 - Características das UHE's onde estão localizados os postos fluviométricos

selecionados para esse estudo. ................................................................................................. 35

Tabela 7-1 - Valor-p para os testes de estacionariedade .......................................................... 43

Tabela 7-2 - Características das séries UHE Chavantes .......................................................... 46

Tabela 7-3 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Chavantes ................... 47

Tabela 7-4- Valores de vazão em m³/s para diferentes tempos de retorno via cópula e

metodologia tradicional ............................................................................................................ 53

Tabela A.1 - Características das séries UHE Jurumirim .......................................................... 69

Tabela A.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Jurumirim .................. 69

Tabela A.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Jurumirim ...................................................................................................... 72

Tabela B.1 - Características das séries UHE Canoas ............................................................... 77

Tabela B.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Canoas ....................... 77

Tabela B.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Canoas ........................................................................................................... 80

Tabela C.1 - Características das séries UHE Capivara ............................................................ 85

Tabela C.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Capivara ..................... 85

Tabela C.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Capivara ........................................................................................................ 88

Tabela D.1 - Características das séries UHE Taquaruçu ......................................................... 93

Tabela D.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Taquaruçu .................. 93

Tabela D.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Taquaruçu ..................................................................................................... 96

Tabela E.1 - Características das séries UHE Rosana ............................................................. 101

Tabela E.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Rosana ...................... 101

Tabela E.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Rosana ......................................................................................................... 104

1

1 - INTRODUÇÃO

As cheias são a principal causa das inundações, por esse motivo, seu comportamento vem

sendo estudado durante as últimas décadas. Dentre seus principais estudos, encontram-se os

seus aspectos hidrológicos e hidráulicos, assim como projetos de controle estrutural das ondas

de cheia. Para a gestão de riscos provocados pelas inundações, é necessário identificar a

tipologia das cheias e os riscos a elas associados. Pelo fato do risco de inundação ser um

conceito ao qual está inerente alguma incerteza, é simples compreender que para prever a

cheia com a sua respectiva incerteza, surge a necessidade de conhecê-la e descrevê-la

estatisticamente.

Uma aplicação importante no conhecimento das vazões extremas é o dimensionamento de

projetos de engenharia, como barragens, diques, irrigação, drenagem, dentre outros. Essa

vazão de dimensionamento, por vezes conhecida como cheia de projeto, é a vazão máxima

com certa probabilidade de excedência ou a sequência de vazões extremas que a obra pode

suportar sem danos significativos para si e para as populações de suas proximidades.

Nos últimos tempos, foram registrados inúmeros desastres no Brasil e no mundo, dentre eles,

destacam-se a enchente que sofreram os estados de Alagoas e Pernambuco em 2010, as fortes

chuvas que acarretaram deslizamento de terra na região Serrana do Rio de Janeiro em 2011,

as milhares de casas e hectares inundados no norte e centro da Europa após os rios alcançarem

níveis históricos, provocados pelas fortes chuvas e as águas do degelo em 2013, as cheias do

rio Uruguai no Rio Grande do Sul onde foi decretado estado de calamidade pública em 2014,

dentre outros. Além das grandes perdas econômicas, essas tragédias causaram grande impacto

na vida das comunidades afetadas, inclusive com perda de vidas humanas. Nesse contexto, é

fundamental o aperfeiçoamento da gestão de riscos de desastres naturais, de modo a garantir a

devida prevenção, preparação e resposta a esses eventos, podendo minimizar as mortes e

impactos socioeconômicos e ambientais. Dentre esses motivos, destaca-se a necessidade da

correta estimação da curva de frequência de cheias de modo que se possa avaliar os benefícios

advindos de diferentes estratégias de controle de cheias.

Para a determinação da vazão extrema associada a certo risco ou probabilidade de ocorrência,

é comum, na literatura, a utilização de métodos estatísticos de análise de frequência de cheias

2

(e.x.: Holtz, 1976; Eletrobrás, 1985; Lanna, 2007). A maior parte dos estudos de frequência

de cheias tem como base métodos estatísticos, em que dados históricos de vazão são

utilizados para se obter detalhes da magnitude e frequência de ocorrência de vazões extremas,

sendo que, na maioria dos casos, são estimados parâmetros de uma distribuição estatística

para extrapolar valores de vazões extremas que ocorrem com baixa frequência, ou seja,

vazões poucos usuais onde o período de recorrência, é substancialmente maior do que o

número de anos com dados históricos de vazão disponíveis.

Em geral, nessas análises são utilizados dados de vazão máxima anual ou dados de pico de

vazão acima de um nível pré-determinado (séries parciais de vazões máximas). Esses métodos

de análise de frequência de cheias tem sido aplicados em diversas áreas, como no

dimensionamento de estruturas hidráulicas (vertedouro, estruturas de desvio do rio, diques,

pontes, etc.), na gestão de riscos de cheias, no mapeamento de área de riscos, na segurança e

proteção de regiões alagáveis, na segurança de barragens, dentre outras aplicações. Descrições

detalhadas dessa metodologia são apresentadas em diversos livros de hidrologia (Maidment,

1992; Naghettini e Pinto,2007; Tucci,2007) e, também, em tutorias padrões utilizados nos

Estados Unidos (U.S. Water Resources Council, 1981), os quais indicam que, para a aplicação

da metodologia geral de análise de frequência de cheias, são necessários que os dados

observados satisfaçam as condições de homogeneidade, independência e estacionariedade.

A condição de homogeneidade assegura que todas as observações tenham sido extraídas de

uma única população (Naghettini e Pinto, 2007). Essa premissa pode ser violada no caso de

locais com mais de um período de cheia anual (por exemplo, máximos anuais que podem

ocorrer tanto no inverno como no verão), as quais seriam advindas de diferentes populações,

apresentando assim diferentes parâmetros estatísticos, e eventualmente diferentes funções de

probabilidade. A aplicação de duas ou mais distribuições de probabilidade para melhor

representar a frequência de ocorrência de cheias anuais é uma das alternativas quando a

suposição de homogeneidade é violada (por exemplo, veja Waylen e Woo, 1982; Alila e

Mtiraoui, 2002; Fill et al., 2008; Balakrishnan e Lai, 2009).

O termo independência significa, essencialmente, que nenhuma observação presente na

amostra pode influenciar a ocorrência, ou a não ocorrência, de qualquer outra observação

seguinte (Naghettini e Pinto, 2007). No contexto de variabilidade climática, é possível que o

pressuposto de independência seja violado e os resultados para análise de frequência de cheias

3

convencional se torne duvidosa. Sob tais circunstâncias, é importante fazer uso de outras

abordagens mais adequadas que atendam a questão apresentada. A suposição de

independência é violada quando ocorre uma correlação serial entre os dados, o que é pouco

provável em séries de máximos anuais de vazão, mas que pode ser comum em séries parciais

de máximos de vazão. Em seus estudos, Khalic et al. (2006) apresentam metodologias que

removem o efeito da dependência da série para obter observações independentes, e também

metodologias que envolvem a estimativa de probabilidade de kernel e wavelet.

A suposição de estacionariedade da série de dados é válida quando, excluídas as flutuações

aleatórias, as observações amostrais são invariantes com relação à cronologia de suas

ocorrências (Naghettini e Pinto, 2007). Porém, as alterações no uso do solo e na cobertura

vegetal de bacias hidrográficas, assim como as mudanças nos padrões climáticos regionais,

por exemplo, podem comprometer o estudo de frequência de cheias ao levarem a uma

violação da suposição de estacionariedade. Alterações como essas podem influenciar no

escoamento das bacias, levando a aumentos ou diminuições graduais ou abruptas nas séries de

vazões. A Figura 1.1, por exemplo, mostra um aumento gradual ao longo do tempo numa

série de máximos anuais de vazões, com tendência monotônica e ausência de estacionariedade

na série (Anjos e Bueno, 2011). A análise de frequência de cheias de uma série temporal não

estacionária requer uma abordagem diferente do convencional estacionário, pois os

parâmetros da distribuição e a própria distribuição podem mudar com o tempo. Assim fazer as

estimativas de probabilidadede de excedência e incerteza assumindo estacionariedade em uma

série de dados não estacionários pode afetar significativamente a validade dos resultados da

análise de frequência. Buscar modelos plausíveis, que abordem a não estacionariedade da

série de dados, é muito importante para prever a ocorrência de eventos de cheias por que a

utilização de pressupostos inadequados pode levar a catástrofes em caso de subestimação e

desperdício de recursos econômicos em caso de superestimação do valor de cálculo de

interesse.

4

Figura 1.1 - Tendência monotônica crescente da série de vazões máximas do posto Jurumirim

no rio Paranapanema. (Anjos e Bueno,2011)

Metodologias tradicionais de análise de frequência de cheias vêm sendo complementadas por

novas propostas devido às violações das suposições supracitadas. Em seu trabalho, Lima

(2011) identifica na bacia do rio Paraná a violação dessas premissas e conclui que a suposição

de independência é violada quando ocorre uma correlação serial entre os dados e que a

suposição de dados identicamente distribuídos, ou seja, dados que pertençam a uma mesma

distribuição de probabilidades com um mesmo conjunto de parâmetros estacionários no

tempo (dados homogêneos), tende a ser violada mais facilmente. Por exemplo, pode ocorrer

que, em um determinado local, as cheias sejam provocadas por diferentes mecanismos

atmosféricos (convecção local, ocorrência de frentes, etc.) e a série de dados anuais de vazão

máxima reflita valores oriundos de diferentes distribuições de probabilidade, possivelmente

com diferentes conjuntos de parâmetros estatísticos.

As incertezas associadas à estimação desses novos parâmetros devem ser avaliadas com

relação à "intensidade" da violação da premissa de metodologias já consagradas. Além disso,

é importante avaliar se a complexidade inserida no processo de estimação desses parâmetros

agrega um avanço ou um retrocesso na análise de frequência de cheias. Coles (2007) discute

que, como o modelo precisa da descrição do processo de geração dos dados, e não dos dados

em si, então é necessário avaliar a intensidade das evidências por uma estrutura mais

1940 1960 1980 2000

50

01

00

01

50

02

00

0

UHE Jurumirim

Ano

Va

zã

o (

m³/

s)

5

complexa. Se a evidência não é particularmente forte, então, de preferência, deve ser

escolhido o modelo mais simples.

No presente trabalho busca-se estudar e modelar a dependência existente entre máximos de

vazão provenientes de populações distintas, particularmente a relação existente entre a vazão

máxima de inverno e a vazão máxima de verão para um mesmo ano hidrológico. A Figura 1.2

ilustra o comportamento dos picos de cheias em duas regiões distintas do Brasil, o rio das

Fêmeas (nordeste do país) apresenta um pico de cheia anual, indicando uma única população,

já o rio Paranapanema (sul do país) ilustra dois picos de cheias, o que pode indicar mais de

uma população a série hidrológica.

Figura 1.2 - Vazão máxima mensal sobre a bacia do rio das Fêmeas (nordeste do país) a

esquerda e sobre bacia do rio Paranapanema (sudeste do país)

Lima (2011), em seu estudo na bacia do rio Paraná, também área de estudo desse trabalho,

observou uma correlação significativa entre os picos de diferentes períodos do ano, como

mostra a Figura 1.3. Segundo o autor, a causa dessa associação pode ser tanto um processo

hidrológico devido à persistência das vazões (acúmulo do escoamento de base do evento

anterior), quanto um processo climático (mecanismos geradores dos eventos de cheias),

devido à associação entre picos de precipitação. Nesse caso, a constatação dessa dependência

entre os períodos viola a suposição de independência sazonal no caso da modelagem de

máximos anuais como realizada em Fill et al. (2008), o que pode comprometer ou até mesmo

inviabilizar a modelagem via metodologia tradicional de análise de frequência de cheias,

levando a uma subestimação ou superestimação dos quantis de cheias.

0

20

40

60

80

100

120

140

Ago Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

Q(m

³/s)

0

500

1000

1500

2000

2500

Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out

Q(m

³/s)

6

Figura 1.3 - Correlação entre os picos de vazão da bacia do rio Paraná (Lima, 2011). Período

1: Setembro - Dezembro, período 2: Janeiro - Abril) - os círculos sólidos indicam correlações

estatisticamente significantes ao nível de significância de 5%, enquanto os círculos vazados

não apresentam correlação estatisticamente significativa.

As distribuições de probabilidade que melhor se ajustam ao dados de máximos de vazão dos

períodos de inverno e verão são distribuições extremais, e nesses casos, ferramentas

comumente utilizadas de análise bivariada, como a distribuição normal bivariada, não são

adequadas para modelar a relação entre vazões extremas, sendo necessário recorrer a outros

métodos. Nesse contexto, Favre et al. (2004) apresentam modelagem multivariada de valores

extremos fazendo uso das cópulas, a abordagem utilizada permite modelar a estrutura de

dependência independentemente da distribuição marginal ajustada, o que não é possível com

métodos clássicos padrões. Os autores aplicaram a metodologia para estudos na bacia do rio

Que'bec no Canadá, avaliando a associação dos picos de vazão com o volume. Michele et

al.(2004) também fazem uso das cópulas em seu trabalho para associar a dependência

existente entre o pico de cheia e o volume de inundação, os autores aplicaram a metolodogia

para a barragem Ceppo Morelli de uma usina hidrelétrica na bacia do rio Toce no norte da

Itália.

7

Apesar da metodologia que faz uso de distribuições mistas de probabilidade que considera a

dependência dos picos de cheias ser apresentada nos trabalhos descritos, não são conhecidos

na literatura estudos que analisem a modelagem de frequência de ocorrência de eventos

extremos de vazão considerando a violação das premissas de homogeneidade, independência

e estacionariedade.

Fazendo uso dos avanços já apresentados na área de análise de frequência de cheias, e com o

intuito de agregar conhecimento na área de previsão de cheias, esse trabalho visa desenvolver

um modelo que leve em consideração a não-homogeneidade e a não-estacionariedade das

séries com a identificação de picos sazonais e dependência entre os picos de cheias inserindo

essas particularidades na estatística que irá representar a amostra de interesse, de forma a

propor uma metodologia inovadora para a área de estimação de cheias.

Objetiva-se então avaliar aqui o uso da modelagem proposta utilizando dados hidrológicos da

bacia do rio Paranapanema, onde o máximo anual pode ser proveniente do período do verão

ou do inverno, sendo assim oriundos de populações distintas e ainda correlacionados entre si,

como indicado nos estudos de Lima (2011). Assumindo a existência de populações distintas é

possível ajustas distribuições estatísticas diferentes para cada período de dados, como sugere

os estudos de Fill et al.(2008) para a mesma bacia em questão, onde são considerados

máximos sazonais independentes e são estimados conjuntos de parâmetros estatísticos

diferentes para cada série de máximo sazonal. Nesse trabalho busca-se avançar na

metodologia de estimação de quantis de cheia para a região a partir da modelagem da

dependência existente entre os picos de vazão de verão e inverno com uso das chamadas

cópulas, que são funções apropriadas para capturar a dependência entre variáveis aleatórias

dos mais diversos tipos (por exemplo, veja os trabalhos de Embrechst et al.,2001; Favre et al.,

2004; Fermanian et al., 2004; Karmakar e Simonovic, 2007), incluindo distribuições

extremais (e.x. GEV), o que não é possível de se obter com as distribuições multivariadas

mais comuns, como a distribuição normal bivariada. Num segundo momento, busca-se

introduzir uma modelagem não-estacionária, essa análise é relativamente nova, mas o número

de estudiosos interessados nessa abordagem vem aumentando continuamente, talvez, devido à

vulnerabilidade da sociedade e do ecossistema às mudanças climáticas globais previstas pelos

modelos climáticos. A modelagem não estacionária tratada nesse estudo busca a previsão de

vazões de inverno, dado a vazão de verão ocorrida na estação corrente e o uso da função

8

cópula condicional para obter o valor da previsão da próxima estação, levando em

consideração a dependência histórica apresentada pelos dados entre os períodos envolvidos.

Na primeira parte do estudo é apresentada uma revisão bibliográfica sobre os métodos que

vêm sendo utilizados para aplicação de distribuição conjunta assumindo independência e

estacionariedade dos dados, bem como propostas metodológicas recentes de estimação de

quantis de cheias considerando a dependência entre os picos sazonais e não estacionariedade

das séries, seguida então de um referencial teórico acerca da metodologia de cópulas. Após o

referencial teórico, é apresentada a proposta metodológica para estimativa de frequência de

máximos anuais de vazão num contexto de violação das premissas básicas. Em sequência, são

apresentadas as características da região de estudo e os resultados e discussões obtidos.

9

2 - OBJETIVOS

2.1.OBJETIVO GERAL

Modelar e estimar quantis de cheias anuais e suas incertezas considerando não-

homogeneidade e não-estacionariedade das séries de vazão.

2.2.OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Identificar e modelar séries de máximo anual de vazão quando os máximos podem

ocorrer em períodos distintos do ano e serem portanto de populações diferentes;

• Desenvolver um modelo estatístico que considere a estrutura de dependência entre os

máximos sazonais de vazão;

• Desenvolver um modelo não-estacionário para as cheias que ocorrem no segundo

período (ex. inverno) considerando a cheia observada para o primeiro período (ex.

verão) e a estrutura de dependência entre os máximos de cada período.

10

3 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

As vazões extremas são comumente estimadas por meio do ajuste de uma distribuição

estatística à amostra de dados de vazão. Esse ajuste pode estar propenso a erros decorrentes da

escolha da distribuição a ser ajustada, ou da consequência de premissas assumidas, que

podem não refletir as características da população em estudo. Dentre esses pressupostos

assumidos, encontra-se a homogeneidade da amostra.

Há algumas décadas, cientistas vêm estudando os processos físicos que estão envolvidos na

escolha da distribuição. Waylen e Woo (1982) propõem um método de estimação de

frequência de cheias que incorpora características distintas do processo de geração de vazão.

Os autores estudaram uma região em que a vazão é decorrente de diferentes processos

hidrológicos (chuvas intensas e derretimento de neve), assim como Hirschboeck (1987), que

em seu estudo faz uso de distribuições mistas utilizando, como critério de separação da vazão,

subgrupos climáticos com divisões sazonais. Mais recentemente, Villarini (2010) identifica

uma “mistura” de picos de cheias anuais devido a processos inverno-primavera de sistemas

extratropicais e tempestades das estações quentes, como populações distintas na identificação

de distribuição de frequência de cheia na região leste dos Estados Unidos.

No Brasil, Fill et al. (2008) fizeram uma avaliação de cheias no sul do País, considerando

distribuições sazonais. Eles aplicaram um teste estatístico de Wilcoxon para definição da faixa

temporal que pode ser considerada estocasticamente distinta e, portando, proveniente de

distribuições de probabilidades distintas. Em outro estudo na região, Lima (2011) identifica

variabilidade interanual de vazões de pico na Bacia do Paraná mostrando que os picos de

vazão podem ocorrer em qualquer mês do ano. A ocorrência de picos de vazão em diferentes

épocas do ano sugere que as cheias são provenientes de diferentes mecanismos atmosféricos

de precipitação. A curva empírica de frequências de cheias da vazão sazonal máxima para

cada um dos períodos (Figura 3.1) mostra claramente duas curvas distintas, sendo que os

valores maiores de picos de vazão tendem a ocorrer no período 2. Apesar da diferença

significativa nas curvas para os dois períodos, a variabilidade interanual do sistema climático

responsável por tais cheias faz com que o pico possa também ocorrer no período 1

(Lima,2011). A curva empírica de frequência para os dados de vazão máxima anual (Figura

3.1 - b) mostra que para tempos de retorno de até 20 anos ambos os períodos 1 e 2 são

responsáveis pelos picos de vazão, com uma maior ocorrência no período 2, como era

11

esperado em virtude das diferenças encontradas (Figura 3.1 - a). Para tempos de retorno

superiores a 20 anos, as cheias ocorrem exclusivamente no período 2.

Figura 3.1 - Curva de frequência para o posto do reservatório Furnas para a) períodos 1

(círculo) e período 2 (quadrado) e b) máximo anual. (Adaptado de Lima, 2011)

Segundo Alila e Mtiraoui (2002), historicamente os cientistas usaram uma abordagem física

para demonstrar que os picos de cheias são gerados por mais de um mecanismo, sem muito

apoio dos testes estatísticos de significância. Isto se dá porque esses testes não são robustos o

suficiente para detectar homogeneidade significativa na população, quando aplicados a

amostras de curto período de tempo. No entanto, segundo os autores, possuindo informações

hidrometeorológicas, é possível detectar populações mistas, e, nesses casos, os pressupostos

de homogeneidade da população e estacionariedade são violados.

3.1.ANÁLISE DE FREQUÊNCIA DE CHEIAS COM DISTRIBUIÇÕES NÃO

HOMOGÊNEAS E INDEPENDENTES

Técnicas vêm sendo desenvolvidas para ajuste de distribuições a dados amostrais que

apresentem heterogeneidade, ou seja, advindos de diferentes populações. Um exemplo é a

12

técnica apresentada por Alila e Mtiraoui (2002), que faz uso de uma série de duração anual ou

parcial de cheias para cada população gerada por mecanismos distintos (degelo e chuva, por

exemplo), ajustada por distribuições homogêneas. A interpretação da metodologia proposta

pelos autores leva a afirmar que os dois picos de cheia ocorrem sequencialmente a cada ano.

Essa afirmação é passível de questionamento, pois, segundo Gupta et al. (1976, apud Alila e

Mtiraoui, 2002) inundações causadas por diferentes tipos de tempestade podem coexistir na

mesma temporada.

Essa técnica também foi utilizada por Waylen e Woo (1987) e os autores consideram que há

dois processos que operam na sua área de estudo e que esses processos são conjuntos e

mutuamente exclusivos por condições físicas. Ocorrem vazões extremas mínimas após um

período de inverno frio e de evaporação elevada devido à entrada de muita energia com o

crescimento das plantas no verão, e esses dois períodos são sempre separados pelo degelo da

primavera, evitando ambiguidade na classificação das vazões extremas mínimas.

Uma outra técnica para compor a equação de probabilidade de excedência apresentada nos

estudos de Alila e Mtiraoui (2002), não requer uma prévia separação das vazões devido a

processos físicos. O método considera que as vazões máximas anuais pertencem a várias

populações com distribuições homogêneas distintas. Uma das dificuldades dessa abordagem é

a duplicação (no caso de uma mistura de duas distribuições) do número de parâmetros a

serem estimados em conjunto a partir da mesma série de vazões, além da diminuição da

confiabilidade na estimativa desses quantis.


HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES

A modelagem conjunta de variáveis aleatórias que seguem modelos extremos, como por

exemplo a distribuição de Gumbel ou Pearson 3, requer o uso de distribuições multivariadas

ou metodologias específicas, e nesse caso a abordagem via cópulas aparece frequentemente na

literatura. Segundo Nelsen (2006), uma cópula equivale a uma função de distribuição

multivariada com marginais uniformes em [0,1], que contém a estrutura de dependência entre

as variáveis aleatórias envolvidas.

13

Zhang (2005) levantou um histórico, até a última década quando o conceito de cópula

começou a surgir na análise hidrológica de frequência multivariada, das abordagens de análise

hidrológica multivariada utilizadas na literatura:

• Distribuição conjunta de variáveis correlacionadas se as distribuições marginais são

normais;

• Distribuição mista de Gumbel se as marginais seguirem a distribuição Gumbel, sendo

essa abordagem limitada a variáveis aleatórias correlacionadas positivamente (Yue et

al., 1999);

• Distribuição Log-Normal bivariada, Gama bivariada, e Gumbel bivariada onde as

marginais tem o mesmo tipo de distribuição (Yue, 2000);

Nos estudos sobre eventos extremos, como, por exemplo, no estudo do valor de pico de

vazões, uma distribuição estatística é ajustada a série amostral, sendo bastante utilizada a

distribuição Gumbel (e.x.: Holtz, 1976; Arnold et al., 1998; Yue, 2001). Assim, é útil

desenvolver uma distribuição de valor extremo bivariada para representação de uma

distribuição bivariada que represente duas variáveis aleatórias de Gumbel correlacionadas, por

exemplo.

Yue (2001) trouxe uma abordagem para o uso do modelo logístico de Gumbel (a distribuição

de valores extremos bivariada com marginais Gumbel). O autor faz uso do modelo para

representar a distribuição de probabilidade conjunta de precipitação com valores de picos

positivamente correlacionados. Os resultados encontrados pelo autor mostram que o modelo

utilizado foi adequado para representar a distribuição conjunta de picos de chuvas com a

precipitação total.

Stewardson and McMahon (2002) trabalharam a distribuição conjunta de variáveis

independentes na área da hidráulica, os autores em seu trabalho apresentaram um modelo

estocástico que relaciona a profundidade e a velocidade de um canal, o modelo de entrada é

restrito à geometria do canal em estudo. Essas variáveis por eles consideradas independentes

variam longitudinal ou lateralmente dentro do canal de fluxo. O modelo por eles proposto

fornece uma ferramenta útil para explorar as relações entre as variáveis hidráulicas e a

geometria do canal.

14

O método utilizado por Stewardson and McMahon (2002) já trabalhava no conceito da

cópula, pois eles utilizavam um método de transformação que correlaciona variáveis

aleatórias independentes, o princípio das cópulas.

3.2.1. Análise multivariada e o uso de Cópulas

Zhang (2005) afirma que a cópula de Arquimedes é a mais importante para análises

hidrológicas por algumas razões: elas podem ser facilmente construídas, possuem diversas

famílias de cópulas que a ela pertencem (apresentam uma variedade de funções geradoras das

cópulas o que permite a escolha de qual função geradora apresenta melhor ajuste a sua

amostra), além de apresentarem boas propriedades (convexas, simétricas, associativas).

O estudo de cópulas vem sendo discutidos há décadas na literatura (Genest e MacKay,1986;

Muller e Scarsini, 2001). Nos últimos tempos, o conceito de cópula vem recebendo atenção

na hidrologia. Michele e Salvadori (2003) indicaram como cópulas bidimensionais podem ser

usadas para reproduzir tanto a variabilidade marginal da intensidade média de uma

tempestade, quanto a duração dessa tempestade e sua variabilidade conjunta, descrevendo a

dependência estatística.

Michel et al. (2004) aplicaram o conceito de cópula bivariada em picos de vazão e volume

correlacionados positivamente para avaliar a adequabilidade do vertedouro de uma barragem.

Eles apresentaram que a distribuição de valores extremos bivariada considerou o conceito de

cópula bidimensional para as marginais de valores extremos generalizados, e que esse método

funcionou bem para adequação do vertedouro à barragem.

Ainda em 2004, Favre et al. (2004) aplicaram o método da cópula na análise de frequência

bivariada em diferentes problemas de hidrologia (combinação de vazão e junção de modelo de

vazão e volume). Eles concluíram que as cópulas podem levar em consideração a ampla gama

de correlação que pode existir em uma análise hidrológica e pode ser utilizada para modelar e

estruturar a dependência.

Mais recentemente, Li et al. (2013), assim como Favre et al. (2004), fazem uma análise de

frequência de cheias multivariada. Porém, os autores levantam a questão das inundações

consistirem de picos de cheias e volumes de inundação, que são mutuamente correlacionados

15

e que precisam ser descritos através de métodos de análise multivariada, dos quais as funções

de acoplamento são mais desejáveis. Até o trabalho apresentado por Li et al. (2013), os

métodos de análise de frequência de cheias multivariada não consideravam enchentes

históricas ou informações paleológicas. Assim, os autores estimaram os parâmetros da

distribuição marginal e conjunta com a incorporação de informações históricas. O modelo por

eles apresentado foi aplicado no reservatório de Três Gargantas na China. O método proposto

proporciona uma forma alternativa para a análise multivariada de frequência com informação

histórica.

Segundo Favre et al. (2004), uma grande variedade de técnicas têm sido desenvolvidas e

aplicadas em hidrologia para realizar análises univariadas de eventos extremos. No entanto, a

análise multivariada de tais variáveis aleatórias raramente é realizada, em parte, devido ao

número limitado de modelos multivariados adequados para representar valores extremos. Os

autores afirmam haver casos mais complexos de distribuições marginais, tais como misturas

finitas de distribuições, que estão sendo utilizados na prática de modelagem para representar

fenômenos heterogêneos, onde não é possível o uso de distribuições multivariadas padrão.

O uso de cópulas tem sido implementado para superar essas deficiências citadas na literatura

sobre os modelos de distribuições multivariadas. Porém, o passo crucial no processo de

modelagem de cópulas (Favre et al.,2004; Michele et al., 2004; Zhang, 2005; Ouyang et al.,

2009, Marchi, 2010; Li et al.,2013) é a escolha e a estimação dos parâmetros da função

cópula que melhor se ajusta aos dados.

3.3.CHEIAS E ESTACIONARIEDADE NA BACIA DO RIO PARANAPANEMA

A região é de grande interesse para estudos de cheias, pois várias cidades situam-se ao longo

das margens dos principais reservatórios, sendo necessária cautela no controle do nível d’água

desses reservatórios em períodos e condições favoráveis a cheias. Diversos estudos (citados

abaixo) apontam para não estacionariedade das vazões na região.

Por se tratar de um assunto de relevante importância social, alguns estudos têm sido

realizados nessa região a respeito da variabilidade climática e o efeito nos padrões de cheia,

como o estudo de Araújo e Rocha (2010), que analisam, diretamente, o regime fluvial e

concluem que este varia não somente com a precipitação, mas, também, com o uso do solo.

16

O rio Paranapanema é um contribuinte da bacia da Usina Hidrelétrica de Itaipu, que está

localizada no rio Paraná. Müller et al. (1998) analisam a estacionariedade da vazão na bacia

dessa usina, concluindo que existe uma tendência positiva nessa região, a qual pode ser

explicada pela precipitação na região a montante, como também pelo uso do solo. Itaipu

Binacional (1995), apud Müller et al. (1998), concluiu, em síntese, que o aumento de vazões

afluentes a Itaipu é permanente e que esse aumento ocorre devido ao processo de

desmatamento ocorrido neste século em grande parte da bacia.

Guetter (2002), ao analisar o comportamento das bacias do Sul e Sudeste brasileiros,

identifica um degrau climático (não estacionariedade) em 1970-1971, com isso, faz um estudo

para a remoção desse degrau e então retoma a série como uma série estacionária para que

possa fazer diagnósticos entre anomalias hidrológicas e teleconexões climáticas. Em outro

trabalho, Alexander et al. (2006), fazem uma análise global nas mudanças climáticas extremas

de temperatura e precipitação e concluem que esses índices apresentam tendências

significativas ao longo do século 20. Liebmann et al. (2004) relacionam a temperatura do

Atlântico Sul com a variação da precipitação da região Sudeste Brasileira, e outros, como Re

e Barros (2009), fazem estudos relacionados a variação climática na região Sudeste Brasileira.

Esses estudos indicam que a região tem uma potencial não estacionariedade no deflúvio da

bacia devido a diversos fatores como a precipitação, a temperatura e a urbanização (uso do

solo).

Fill et al. (2008), assim como Lima (2011), identificaram em seus estudos nessa região que os

máximos anuais são provenientes de diferentes processos de cheias. Fill et al. (2008) em seu

estudo de caso na bacia do rio Iguaçu demonstraram a existência de uma sazonalidade para

vazões máximas, e definiram subperíodos do ano propondo diferentes distribuições para cada

período. Lima (2011), em seu estudo na bacia do Paraná, mostra que as vazões de pico

tendem a ocorrer em diferentes épocas e que as cheias produzidas em diferentes períodos do

ano são correlacionadas, porém, provenientes de diferentes populações. Nesse mesmo estudo

Lima (2011) também identificou tendências temporais de aumento dos picos sazonais de

vazão na região, que influenciam na tendência dos máximos anuais já observados em estudos

anteriores de Müller et al. (1998).

17

4 - TEORIA DAS CÓPULAS

Em seu livro, Nelsen (2006) apresenta um estudo sobre cópulas, o qual aqui será descrito para

compreensível introdução à metodologia do uso das cópulas.

As cópulas são descritas por Nelsen (2006) por duas visões, a primeira delas como sendo

“funções que juntam ou englobam funções de distribuições multivariadas às suas distribuições

marginais” e a segunda como “funções de distribuição cujas suas marginais unidimensionais

são uniformes”. Porém, nenhuma dessas afirmações é uma definição. Uma cópula equivale a

uma função distribuição multivariada com marginais uniformes em [0,1], que contém a

estrutura de dependência entre as variáveis aleatórias envolvidas.

Considerando um par de variáveis aleatórias X e Y, com funções de distribuição F(x) =

P[X≤x] e G(y) = P[Y≤y], respectivamente, e a função de distribuição conjunta H(x,y) =

P[X≤x, Y≤y]. Para cada par de números reais (x,y) pode-se associar três números: F(x), G(y)

e H(x,y). É possível notar que cada um desses números encontra-se no intervalo [0,1]. Em

outras palavras, cada par (x,y) de números reais leva a um ponto (F(x), G(y)) da unidade

quadrada [0,1]X[0,1], e este par ordenado por sua vez corresponde a um número de H(x,y) em

[0,1]. Esta correspondência, que atribui o valor da função de distribuição conjunta para cada

par ordenado de valores das funções de distribuição individuais, é, de fato, uma função, e tais

funções são cópulas.

Uma cópula C bidimensional cujo domínio é ��, sendo �� o produto ��, onde � = [0,1], apresenta as seguintes propriedades, para todo u1,u2,v1,v2 em � tal que u1<u2 e v1<v2 :

��, 0� = 0 = ��0, �� (4.1)

��, 1� = ��1, �� = � (4.2)

��, �� − ��, �� − ��, �� + ��, �� ≥ 0 (4.3)

As propriedades descritas pelas equações (4.1) e (4.2) mostram que a cópula tem distribuições

marginais uniformes em �. A propriedade da equação (4.3) mostra que a cópula é uma função

crescente, e pode ser representada graficamente na Figura 4.1.

18

Figura 4.1 - Representação gráfica da equação 4.3. (Marchi, 2010)

Além de propriedades importantes existem teoremas que tratam das cópulas:

• Teorema 1 (Limites de Fréchet): Seja C(u,v) uma cópula, então para todo (u,v)

ϵ ��

max� + � − 1,0� ≤ ��, �� ≤ min�, �� (4.4)

Os limites de Fréchet são úteis na comparação das curvas de nível das cópulas. Os limites da

equação (4.4) são designados por M(u,v) = min(u,v) e W(u,v) = max(u + v – 1,0), e esses

limitantes são a máxima correlação positiva e negativa. Assim para cada cópula C e todo (u,v)

em �� tem-se:

W�u, v� ≤ C�u, v� ≤ M�u, v� (4.5)

A inequação (4.5) é a versão da cópula Fréchet-Hoeffding, refere-se M como Fréchet-

Hoeffding limite superior e W como Fréchet-Hoeffding limite inferior. Uma terceira cópula

importante é a cópula produto ∏�, �� = �. Na Figura 4.2 são apresentados os gráficos das

cópulas M e W, assim como o gráfico de ∏, uma porção hiperbólica do parabolóide z = uv.

19

Figura 4.2 - Gráficos das cópulas M, ∏ e W. (Nelsen, 2006)

Uma maneira simples e útil de apresentar o gráfico de uma cópula é com o diagrama de

contorno Conway (1979, apud Nelsen, 2006) que são gráficos estilo curva de nível em um

conjunto de �� dado por C(u,v) como uma constante para constantes selecionadas de �. A

Figura 4.3 apresenta os diagramas de contorno das cópulas M, ∏ e W.

Figura 4.3 - Diagramas de contorno das cópulas M, ∏ e W, sendo a) máxima correlação

positiva, b) independência e c) máxima correlação negativa. (Nelsen, 2006)

a) b) c)

20

• Teorema 2 (Teorema de Sklar): Seja H(x,y) a função distribuição conjunta de

X e Y, com função distribuição marginais F(x) e G(y), respectivamente. Então,

existe uma cópula C(u,v) tal que, para todo (x,y) ϵ ℝ�

*��, �� = ��, �� (4.6)

Ainda, se F(x) e G(y) são contínuas, a cópula C(u,v) é única.

O Teorema de Sklar mostra que para cada função distribuição conjunta existe uma cópula

associada e, como consequência, é possível obter uma cópula associada a esta função

distribuição conjunta.

Corolário 1: Seja H(x,y) a função de distribuição acumulada conjunta de X e Y com

função de distribuição acumulada F(x) e G(y) respectivamente. Então, para qualquer

(u,v) ϵ ℝ� ��, �� = *��+��, �+�� (4.7)

Para determinar a cópula a ser utilizada para analisar um conjunto de dados é comum

considerar uma cópula com características conhecidas, ou que tenha as funções marginais

conhecidas. A cópula de Arquimedes é uma classe importante de cópulas. Essas cópulas

encontram uma grande variedade de aplicações, pois, são de fácil construção e muitas das

famílias de cópulas pertencem a essa classe.

Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função de distribuição conjunta H e funções

de distribuição marginais F e G, respectivamente. Quando X e Y são independentes,

H(x,y)=F(x)G(y) para todo x, y em ℝ, e este é o único caso em que os fatores da função de

distribuição conjunta são um produto das funções F e G. É possível escrever H como uma

soma de funções das marginais F e G, por exemplo

�*��, �� = �� + �� (4.8)

Ou como cópulas

21

��, �� = �� + �� (4.9)

O interesse com o uso da função geradora é encontrar expressões que se possam utilizar para

construção de cópulas. O que se quer resolver é a equação 4.9 para C(u,v), que é definida

como a inversa de � representada por �[+�]. Assim, é possível obter

��, �� = �[+�],�� + ��- (4.10)

• Teorema 3: Sendo � uma função contínua, estritamente decrescente de � em

[0,∞] tal que ��1� = 0. A pseudo-inversa de � é a função �[+�] com domínio �[+�] = [0,∞] e �[+�] ∈ �. Então a função C de �� para � é uma cópula se e

somente se � for convexa.

A função � é chamada de gerador da cópula. Se ��0� = ∞, então � é um gerador estrito.

Nesse caso �[+�] = �+� e C(u,v) = �+�� + �� é chamada de cópula de Arquimedes

estrita, a Figura 4.4 ilustra geradores e suas inversas nos casos estritos e não estritos. Para ser

mais preciso, a função � é um aditivo gerador de C.

Figura 4.4 - Estrito (a) e não estrito (b) geradores e inversas. (Nelsen, 2006)

22

A Tabela 4-1 apresenta algumas famílias importantes de cópulas de Arquimedes, junto com

seus geradores, e o intervalo dos parâmetros. Como supracitado, uma das razões para a

utilidade de cópulas de Arquimedes em modelagem estatística é a variedade de estruturas de

dependência presentes.

Tabela 4-1 - Funções geradoras, Nelsen (2003)

Função Geradora 01 Cópula 2�3� = �3+0 − 4�/0 [−1,∞� Clayton

2�3� = 67[4 − 0�4 − 3�3 ] [−1,1� Ali-Mikhail-Haq

2�3� = �−893�0 [1,∞� Gumbel-Hougaard

2�3� = −67[:+03 − 4:+0 − 4] [−∞,∞� Frank

A cópula capta as propriedades da distribuição conjunta que são invariantes quando

submetidas a transformações estritamente crescentes. Propriedades de dependência e medidas

de associação estão inter-relacionadas. O tipo de dependência mais comumente encontrada é,

na verdade, uma “falta de dependência”, a independência.

Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas com função de distribuição conjunta H, assim, a

independência de X e Y é uma propriedade da função de distribuição conjunta H, ou seja, o

produto dos fatores das marginais. Assim, X e Y são precisamente independentes quando H

pertence a um determinado subconjunto do conjunto de todas as funções de distribuição

conjunta, o subconjunto caracterizado pela cópula ∏. Uma variável aleatória é uma função

monótona da outra sempre que a função de distribuição conjunta é igual a um dos limites de

Fréchet-Hoeffding, ou seja, a cópula M ou W. Uma "propriedade de dependência" de pares de

variáveis aleatórias pode ser pensada como um subconjunto de todas as funções de

distribuição conjuntas. Existem algumas propriedades de dependência: “positivo” e

“negativo”. Propriedade de dependência positiva expressa a noção de que valores “grandes”

(ou “pequenos”) das variáveis aleatórias tendem a ocorrer juntos, e a propriedade de

dependência negativa expressa a noção de que valores “grandes” de uma variável tendem a

ocorrer com os valores “pequenos” da outra variável.

23

5 - METODOLOGIA

Devido ao número limitado de modelos multivariados adequados para melhor representar

valores extremos, a função cópula vem sendo desenvolvida para suprir essa lacuna. A teoria

das cópulas se torna bastante atrativa devido à abrangência de um grande leque de estruturas

de dependência e a possibilidade de modelar completamente a estrutura de dependência dos

dados.

A modelagem tradicional univariada é amplamente utilizada por sua simplicidade analítica e

consagração no meio acadêmico. A modelagem multivariada vem ganhando espaço na área de

hidrologia, porém algumas de suas características (dependência dos dados, função de

distribuição pré-determinada) ainda apresentam algumas restrições para sua utilização na

análise de frequência de cheias. O método das cópulas é útil para hidrologia, pois, leva em

consideração a ampla gama de correlação que pode existir em uma análise hidrológica,

independente da distribuição marginal (o que não é possível com métodos clássicos padrão), e

pode ser utilizada para modelar e estruturar a dependência, aplicando distribuições de

probabilidade que proporcionem o melhor ajuste para cada período de dados desejado (ex.:

verão e inverno).

A contribuição com esse trabalho visa fornecer ferramentas para ir um passo além: criar um

modelo para análise de frequência de cheias considerando a não homogeneidade da amostra,

ou seja, a existência de mais de uma população, fazendo uso da teoria das cópulas. A escolha

desse método para a análise de frequência de cheias dar-se pela flexibilidade que o modelo

possui em representar mais de uma variável aleatória e a distribuição de probabilidade

conjunta em comparação às funções de distribuição acumulada marginais associadas à tais

variáveis aleatórias.

A função de distribuição acumulada conjunta pode ser obtida através de suas funções de

distribuição acumulada e da cópula. Por exemplo, ajustar F(x) como distribuição marginal de

probabilidade acumulada para a amostra X e G(y) como distribuição marginal de

probabilidade acumulada para a amostra Y, e fazendo uso dessas distribuições realizar uma

análise conjunta na qual a cópula C(F(x),G(y)) apresenta como uma das suas vantagens a

captação da dependência existente entre as amostras.

24

Vale observar que a cópula é uma função de (U1,...,Un) onde Ui=F(Xi), i=1,...,n. Isto significa,

por exemplo, quando se tem valores observados de duas variáveis aleatórias X e Y, a cópula

modela a ordem de valores observados das variáveis aleatórias X e Y pois considera a função

de distribuição acumulada de cada variável aleatória, sendo que a ordem da amostra é algo

inerente à esta função. Nesse caso, assume-se que tais valores observados transmitem a

informação de dependência através, por exemplo, de um gráfico de dispersão.

O conceito de cópulas é relativamente fácil de ser usado para construir distribuições

multivariadas oriundas, em sua maioria, na escolha de quaisquer marginais e qualquer tipo de

estrutura de dependência. Uma outra motivação para se considerar o uso de cópulas para

modelagem é que frequentemente a única medida de dependência usada para explicar a

associação entre as variáveis é o coeficiente de correlação, o qual com a utilização do

conceito de cópulas, permite conhecer após uma modelagem adequada, como é a estrutura de

dependência entre estes dados multivariados.

É utilizado nesse trabalho para implementação da rotina da modelagem o software R. R é uma

linguagem e um ambiente de desenvolvimento integrado, para cálculos estatísticos e gráficos,

o qual possui rotinas devidamente implementadas e testadas que permitem a estimação dos

parâmetros desejados no modelo. Dentre os pacotes utilizados estão os pacotes ismev, MASS,

vcd, Kendall, copula, dentre outros já inclusos no software.

A bacia hidrográfica em que será aplicada a metodologia aqui proposta é a bacia do rio

Paranapanema, localizada na bacia do rio Paraná, que será brevemente descrita no item 6 -.

Para aplicação do método das cópulas se faz necessário a prévia separação da amostra, de

acordo com as características das populações que a compõem, baseada na metodologia

utilizada em (Fill et al., 2008) aplicada para mesma região e descrita no item 6.1.


HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES (ANÁLISE VIA CÓPULAS)

A cópula é uma distribuição bivariada de um vetor aleatório composto por distribuições

marginais univariadas U(0,1). Para tal distribuição bivariada C, onde F(x) e G(y) são as

25

funções de distribuição marginais univariadas, a cópula associada a C é uma função de

distribuição C:[0,1]m→[0,1], sendo m o fator dimensional da copula.

A função cópula C(u,v) contém todas as informações da distribuição de probabilidade que

independem das distribuições marginais. Dessa forma, pode-se dizer que as cópulas codificam

a dependência entre as variáveis. Com essa construção temos que a distribuição conjunta de

variáveis aleatórias podem ser decompostas em distribuições marginais de cada uma das

variáveis, que contém todas as informações sobre cada uma das variáveis correspondentes,

cópula, que contém toda a informação de como as variáveis dependem uma das outras.

Para determinar a cópula a ser utilizada na análise de um conjunto de dados é comum

considerar uma cópula com características conhecidas, ou que tenha as funções marginais

conhecidas, (Nelsen, 2006). Nos estudos de Salvadori et al. (2007) os autores afirmam que

sendo as funções de distribuições marginais contínuas da distribuição conjunta, então, como

consequência, elas fazem parte da família GEV. Partindo desse pressuposto, assume-se, para

esses estudos, a utilização da distribuição Gumbel para as marginais da cópula. O próximo

passo é determinar os parâmetros das distribuições marginais F(x) e G(y).

Obtém-se as estimativas para os parâmetros de posição e escala para todas as séries de

máximos anuais de vazão (período 1, período 2, e período total) pelo Método de Máxima

Verossimilhança. A distribuição de probabilidade cumulativa da Gumbel é dada por:

�� = �+;<=><?@ A , BCDE > 0, (5.1)

G = H + 0,5772E (5.2)

L = MN√P (5.3)

sendo µ a média, σ o desvio padrão, α o parâmetro de escala e β o parâmetro de posição. Para

verificação do ajuste do modelo de distribuição será utilizado o gráfico quantil-quantil (QQ-

plot) e o teste de aderência de Kolmogorov-Sminorv. O teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)

que tem a estatística do teste baseada na diferença máxima entre as funções de probabilidades

acumuladas, empírica e teórica, de variáveis aleatórias contínuas. A estatística do teste KS é

dada por:

26

QR = Dá��|�� > �U� − V�� > �U�|� (5.4)

Em que F(X>xi) é a frequência de superação de xi empírica e P(X>xi) é a probabilidade de

superação de xi teórica dada pela distribuição testada. DN corresponde, então, à maior

diferença entre as probabilidades empírica e teórica. A hipótese da distribuição se ajustar aos

valores observados é aceita caso o valor de DN seja menor que os valores críticos do teste, que

dependem da função e do nível de significância.

O intervalo de confiança de cada parâmetro pode ser obtido para o nível de confiança de 95%

por meio da estimação da incerteza pela distribuição de t-Student, com a equação abaixo:

W�X − Y Z√[ ; �X + Y Z√[] (5.5)

Em que �X é o parâmetro estimado, A é o quantil de t-Student para o nível de confiança γ com

n-1 graus de liberdade, ^ é o desvio padrão da amostra com n valores (Coles, 2007). Por meio

dessa metodologia, podem ser obtidos os parâmetros e intervalos de confiança almejados.

Seja então X1,...Xn os máximos sazonais observados no período 1 (verão, por exemplo),

Y1,...,Yn, os máximo sazonais observados no períodos 2 (inverno, por exemplo), e Z1,...,Zn os

valores de máximos anuais. Define-se as distribuições acumuladas marginais como sendo

F(x) a distribuição de probabilidade ajustada aos dados do Período 1, G(y) a distribuição de

probabilidade ajustada aos dados do Período 2, e ainda W(z) a distribuição ajustada aos

máximos anuais, onde Z = max(X,Y) , tal que o evento {Z>z} pode ser representado como a

união dos eventos {(X >z) U (Y>z)}. Para os eventos A = { X >z } e B = { Y>z }, tem-se que V�Y ∪ `� = V�Y� + V�`� − V�Y ∩ `�. No caso dos eventos A e B serem independentes, o

termo V�Y ∩ `� é dado por V�Y�. V�`� , e a probabilidade de excedência (ou cumulativa) do

máximo anual Z para um valor arbitrário z é dada por:

V�c > d� = V�� > d� + V�e > d� − V�� > d�. V�e > d� (5.6a) 1 −f�d� = 1 − ��d� + 1 − ��d� − ��1 − ��d��. �1 − ��d�� (5.6b) f�d� = ��d� − 1 + ��d� + �1 − ��d� − ��d� + ��d�. ��d�� (5.6c)

27

f�d� = ��d�. ��d� (5.6d)

Entretanto, se for considerada a dependência entre os períodos, o termo V�Y ∩ `� deve ser

reescrito como V�Y�. V�`|Y� ou como V�`�. V�Y|`�. Assim, a distribuição conjunta (ou

condicional) dos períodos deve ser modelada e considerada. Particularmente, a probabilidade

de um certo evento no período de inverno deve levar em consideração a vazão máxima

observada no período anterior (verão nesse caso).

Dessa forma, sendo identificada a dependência entre os períodos, a análise requer uma

metodologia que leve em consideração essa dependência existente, fazendo-se necessário o

uso da cópula.

Tomando-se como F(x) a distribuição de probabilidade marginal acumulada ajustada aos

dados do período 1 (novembro-abril) e G(y) a distribuição de probabilidade marginal

acumulada ajustada aos dados do período 2 (maio-outubro), associa-se as distribuições

acumuladas marginais F(x) = u e G(y)= v, a distribuição conjunta H podendo ser escrita como

�,*��, ��- = �,�� + ��- (5.7)

Ou por cópulas

�,��, ��- = �� + �� (5.8a)

��, �� = �[+�]�� + �� (5.8b)

Onde φ é a função geradora da cópula, uma função contínua, estritamente decrescente de

dominínio em [0,∞] e �[+�] é a sua função inversa, a qual para a família Gumbel-Hougaard

como apresentada na Tabela 4-1 é definida pela seguinte equação:

φ�t� = �−lnt�j (5.9)

E θ, o parâmetro da função geradora, sendo definido como:

28

= 1 − �+� (5.10)

em que τ é o coeficiente de correlação de Kendall entre as amostras X e Y. O coeficiente de

correlação de Kendall é definido como:

= Zkl[�[+�� (5.11)

Sendo S obtido conforme a equação:

^ = ∑ nopqrs[,�U − �t-. ��U − �t�]o < v (5.12)

onde n é o número de elementos aos quais se atribuíram postos em X e Y.

É importante analisar o gráfico de dispersão entre as variáveis aleatórias estudadas, para

avaliar o enquadramento da amostra na família de cópula previamente escolhida, pois, a

indicação de uma dependência crescente é uma característica necessária para o uso da família

Gumbel-Hougaard da classe Arquimedes.

Estimados todos os parâmetros necessários, fazendo uso das equações (5.9), (5.10) e (5.11), é

possível criar a cópula desejada (Cópula de Gumbel-Hougaard da classe Arquimedes).

Fazendo uso da equação (5.13) é possível estimar os valores de vazão para diferentes tempos

de retorno.

�w�, �� = �w��, �� = exp =−,�−log��w + �−log��w-k|A (5.13)

Para determinar o intervalo de confiança dos quantis estimados via cópulas faz-se necessário

uso da técnica de reamostragem Bootstrap, pois, não há solução uma analítica para essa

metodologia quando se faz uso da cópula de Gumbel-Hougaard da classe Arquimedes devido

à complexidade do seu equacionamento. O método Bootstrap é uma classe de método de

Monte Carlo não-paramétrico que estimam a distribuição da população por reamostragem.

29

5.1.1. Bootstrap

Bootstrapping (ou simplesmente bootstrap) é um método de reamostragem proposto por

Efron (1979). Usa-se frequentemente para aproximar o viés ou a variância de um conjunto de

dados estatísticos, assim como para construir intervalos de confiança ou realizar contrastes de

hipóteses sobre parâmetros de interesse.

A técnica de reamostragem Bootstrap é muito útil por não necessitar de muitas suposições

para estimação de parâmetros das distribuições de interesse. A reamostragem consiste em

sortear com reposição dados pertencentes a uma amostra retirada anteriormente, de modo a

formar uma nova amostra. Técnicas de reamostragem são úteis em especial quando o cálculo

de estimadores por métodos analíticos for complicado. Reamostrar permite diferentes

alternativas para se encontrar desvios padrões e intervalos de confiança através da análise de

um conjunto de dados.

Muitas vezes a distribuição de probabilidade da estatística de interesse é desconhecida. Nesse

caso o Bootstrap é muito útil, pois é uma técnica que não exige diferentes fórmulas para cada

problema e pode ser utilizada em casos gerais, não dependendo da distribuição original da

estatística do parâmetro estudado.

Segundo Davison e Hinkley (1997), repetir um procedimento de análise original com muitas

réplicas de dados pode ser denominado método intensivo computadorizado. Para realizar uma

estimação através da utilização de Bootstrap é necessária a realização de um número muito

grande de reamostragens e o cálculo de diversas estatísticas para cada uma destas

reamostragens. Isto exige o auxílio de programas computacionais para realizar as reamostras e

os cálculos de forma mais rápida e eficaz.

A reamostragem baseada nos dados da amostra mestre é utilizada pela técnica de Bootstrap

denominada não paramétrica uma vez que a distribuição de probabilidades da estatística do

parâmetro a ser estimado é desconhecida. Através desta técnica é possível obter a distribuição

amostral de um parâmetro a partir da amostra original. A forma não paramétrica é a mais

utilizada. Entretanto, quando a distribuição de probabilidades das estimativas dos parâmetros

de interesse da população da qual a amostra mestre foi extraída for conhecida, outra forma de

Bootstrap pode ser aplicada. Esta forma denominada paramétrica consiste em gerar

30

reamostras baseadas na distribuição de probabilidades conhecida utilizando como parâmetros

desta distribuição a estimativa dos mesmos obtida através da amostra mestre.

[1] Gera-se 1000 reamostras para cada período de dados (verão-inverno) totalizando 2000

novos vetores de amostras que contenham os mesmos dados da amostra original

apresentados em ordem aleatória;

[2] Para cada vetor de reamostra criado, calculam-se média, desvio padrão, coeficientes da

distribuição estatística escolhida, coeficiente de Kendall entre os períodos, e o

parâmetro θ da cópula para cada combinação de reamostra;

[3] Ajusta-se a distribuição estatística escolhida para cada vetor e cria vetores com valores

variando de 1 a 10000 para a distribuição acumulada de probabilidade.

[4] Criadas as distribuições acumuladas marginais de probabilidade para cada período no

passo 3, criam-se vetores com valores de 1 a 10000 para ajuste da cópula das

amostras;

[5] Para cada vetor da cópula criado, estima-se o quantil com probabilidade de ocorrência

de 5% e 95% para plotar em um gráfico juntamente com a cópula criada da amostra

original e obter o intervalo de confiança para o quantil estimado via cópula com 5% de

confiança.

5.2. TESTES ESTATÍSTICOS PARA ESTACIONARIEDADE DE SÉRIES

TEMPORAIS

Uma análise não estacionária de frequência de cheias requer, primeiro, a avaliação da série

temporal de eventos de cheias quanto à presença de tendências temporais. Definidos os

períodos, parte-se para a análise da correlação existente entre eles e para a avaliação da não

estacionariedade da série de vazões máximas para cada período.

Para análise da correlação, plota-se um gráfico de dispersão entre os dados dos períodos

selecionados e, a partir do coeficiente de correlação, é possível avaliar se os dados apresentam

correlação estatisticamente significante ao nível de significância de 5%, usual em estudos

hidrológicos.

Para avaliar a tendência temporal nos dados de vazão máxima anual (período 1, período 2, e

período total) aplicam-se os testes de estacionariedade da regressão linear vazão vs. tempo, de

Mann-Kendall e de Spearman.

31

5.2.1.Teste de Mann-Kendall

De acordo com Kahya e Kalayci (2004), o teste não-paramétrico de Mann-Kendall é o

teste de tendência mais usado em hidrologia. A estatística do teste é calculada por:

^ = ∑ ∑ npq��t − �}�[t~}��R+�}~� (5.14)

Com

npq,�t − �}- = �+1, n��t > �}0, n��t = �}−1, n��t < �}� (5.15)

e tem variância dada por

�r��^� = [�[+��[��+∑ ��+��k�� (5.16)

onde n é o tamanho da série (número de pontos), tp o número de repetições para o p-ésimo

valor e q o número de valores repetidos.

A estatística S é assintoticamente Normal e caso o número de dados da série seja

maior que 10, a variável normal padronizada z é dada pela seguinte equação:

d =�� Z+��Z� , n�^ > 00, n�^ = 0Z��Z� , n�^ < 0��

�� (5.17)

Se |d| ≤ dN/�, a série pode ser considerada estacionária para o nível de significância α

(normalmente tem-se α = 5% e Zα/2 = 1,96). O valor positivo de S indica uma tendência

ascendente enquanto o valor negativo de S indica uma tendência descendente.

5.2.2. Teste de Spearman

Naghettini e Pinto (2007) utilizam o teste não-paramétrico de Spearman para detectar

a tendência temporal de uma série hidrológica ao longo do tempo. A base desse teste é o

coeficiente de correlação entre as ordens de classificação mt, da sequência Xt, e os índices de

tempo Tt, esses variando de 1 a N. A estatística do teste de Spearman tem, como base, o

seguinte coeficiente:

�� = 1 − P∑��+��lR�+R (5.18)

32

Para N>10, a variância da distribuição de rs é dada por

�r�� = �R+� (5.19)

e a estatística do teste não-paramétrico de Spearman pode ser formulada como

� = �� (5.20)

Então, se |�| ≤ d�+N/�, a série pode ser considerada estacionária para o nível de significância

α.

O valor-p obtido para cada um dos testes deve ser analisado onde assume-se a hipótese nula

de nenhuma tendência temporal monotônica. Assumindo o nível de significância α =5%, é

possível avaliar se os testes realizados para cada período resultaram em valores-p menores do

que o nível de significância, o que leva à rejeição da hipótese nula e, consequentemente,

sugere fortes tendências monotônicas (não estacionariedade) nas séries de vazões máximas da

bacia em questão. Caso contrário, se os valores-p obtidos para os testes forem superiores ao

nível de significância, aceita-se a hipótese nula, e então as séries de vazões máximas não

apresentam tendências significativas, logo, são estacionárias.

Em posse dessas informações, é possível seguir para o próximo item, que trata da aplicação

da metodologia das cópulas em análise multivariada para combinar as vazões das diferentes

populações.



CÓPULAS)

A metodologia padrão empregada em estudos de análise de frequência de cheias num

contexto não estacionário consiste em assumir que os parâmetros da distribuição empregada

na análise de vazões de cheias variam com o tempo ou com outra variável aleatória (vazão

observado na estação anterior, por exemplo), enquanto a distribuição é invariante. Visando a

previsão da vazão de inverno tendo como informação o pico ocorrido no verão é utilizada a

metodologia da cópula condicional.

33

Sendo Y a variável aleatória que representa o máximo sazonal que ocorre no período do

inverno (maio-outubro) e X a variável aleatória que representa o máximo sazonal que ocorre

no período anterior (verão, novembro-abril). Sejam então, F(x) a função cumulativa de

probabilidade do período de verão, e G(y) a função cumulativa do período de inverno, então a

distribuição condicional pode ser definida usando cópulas.

Sendo F(x) =u e G(y) = v , C1(u,v) a derivada de C(u,v) com relação ao primeiro argumento,

quando a distribuição conjunta de X e Y é dada por H(x,y) = C(F(x),G(y)), a distribuição

condicional de Y|X=x é dada por :

*�|�~�(�) = ��(, �) (5.21)

Porém, se a cópula C1 não é simples o suficiente para inverter algebricamente (como é o caso

da cópula de Gumbel utilizada nesse estudo), então a simulação de probabilidade conjunta

não pode ser calculada analiticamente e é então apresentada como:

V(e ≤ �|� = �) = ��|�,�(�), �(�)- = � (¡(�),¢(£))�¢(£) |�(�) (5.22)

sendo

� (¤,¥)�¥ = ��¦ §−¨(−sq)w + (−sq�)w©�/wª �¨(−sq)w + (−sq�)w©+

|<k| (+«[¤)|<k

¤ (5.23)

Aplicando as Equações 5.21 e 5.22, tendo como dado de entrada a cópula ajustada e o dado de

vazão do período anterior (verão), são obtidas matrizes de valores em que a distribuição

condicional de probabilidades da vazão de pico do período seguinte (inverno) é estimada.

34

6 - REGIÃO DE ESTUDO E DADOS HIDROCLIMÁTICOS

A bacia do rio Paranapanema, bacia escolhida para aplicação da metodologia estudada no

presente trabalho, apresentada na Figura 6.1, drena uma área de cerca de 100.800 km², sendo

45.270 km² pertencentes à região Sudeste do Estado de São Paulo e 55.530 km² à região

Norte do Estado do Paraná, situando-se aproximadamente, entre as latitudes 22º 10’ e 25º 40’

Sul e longitudes 47º 20’ e 35º 00’ Oeste.

Neste estudo será utilizado o banco de dados de vazão diária natural do operador nacional do

sistema (ONS). O setor elétrico tem adotado o termo vazão natural para identificar a vazão

que ocorreria em uma seção do rio, se não houvesse ações antrópicas na sua bacia

contribuinte, tais como regularização de vazões realizadas por reservatórios à montante,

desvios de água, evaporações em reservatórios e usos consuntivos (irrigação, criação animal e

abastecimentos urbano, rural e industrial). A vazão natural é obtida por meio de um processo

de reconstituição, que considera a vazão observada no local e as informações relativas às

ações antrópicas na bacia (ONS, 2011).

Figura 6.1 - Mapa de localização da bacia do rio Paranapanema.

35

Os dados de vazão da ONS são consistidos, logo, foram utilizados sem necessidade de uma

prévia análise de consistência dos dados, a qual normalmente é realizada para esse tipo de

estudo no caso de dados brutos. Os postos fluviométricos a serem utilizados neste estudo

estão localizados em seis usinas hidroelétricas instaladas no rio Paranapanema. Algumas das

características dessas usinas encontram-se na

Tabela 6-1.

Tabela 6-1 - Características das UHE's onde estão localizados os postos fluviométricos

selecionados para esse estudo.

Código (ONS)

Nome Potência

(MW) Latitude

(S) Longitude

(W) Área de

drenagem (km²) Área do

reservatório (km²)

47 Jurumirim 98 23º 12’ 49º 08’ 17.891 458

49 Chavantes 414 23º 08’ 49º 44’ 27.769 416

52 Canoas I 83 22º 56’ 50º 31’ 40.920 31

61 Capivara 640 22º 40’ 51º 20’ 84.715 550

62 Taquaruçu 554 22º 32’ 52º 00’ 88.707 80

63 Rosana 372 22º 36’ 52º 52’ 100.799 220

De acordo com ANEEL (2001), o regime climático predominante na bacia do rio

Paranapanema é o da região Sudeste, caracterizado por uma sazonalidade marcante no regime

de chuvas, com um período de estiagem, que se inicia no mês de abril e estende-se até o mês

de setembro. O mês de agosto é o que apresenta as menores precipitações registradas no

histórico, enquanto que os meses de dezembro a março são os mais chuvosos. A Figura 6.2

representa essa sazonalidade sobre a bacia do rio Paranapanema.

36

Figura 6.2 - Precipitação total média mensal sobre a bacia do rio Paranapanema (1939-2005)

(Anjos e Bueno, 2011)

6.1.SAZONALIDADE DOS PICOS DE VAZÃO

Nas partes média e baixa da Bacia do Paraná é identificada um estação chuvosa bimodal (Fill

et al., 2008), com picos no verão (associados ao clima de monção) e no outono (associados

aos climas de latitude média, em particular devido a ciclones extratropicais e penetração de

frentes frias).

A ocorrência de picos de vazão em diferentes épocas do ano sugere que os máximos anuais de

cheia são provenientes de diferentes mecanismos atmosféricos de precipitação. Assim, os

dados de vazão máxima para cada período, provavelmente, são provenientes de diferentes

populações, o que viola a suposição de homogeneidade na análise tradicional de máximos

anuais de cheia.

Fill et al. (2008) em seu trabalho realizado na mesma bacia de interesse do presente estudo

apresenta metodologia utilizada para determinação dos períodos, que representam

distribuições distintas. Os autores se basearam essencialmente na ideia descrita por Waylen e

Woo (1982) verificando o número de distribuições sazonais significativamente distintas, quais

os períodos em que se aplicam e considerando famílias de distribuições de vazões máximas

distintas da Gumbel.

37

Em seu trabalho, Fill et al. (2008) aplicaram o teste estatístico de Wilcoxon e concluíram

como ano hidrológico o período de maio a abril do ano seguinte (esse período permitiu que na

grande maioria dos anos as cheias se situassem inteiramente em um mesmo ano hidrológico

evitando-se que uma mesma enchente passasse de um ano para outro). A divisão semestral

também foi realizada por Fill et al. (2008) aplicando o teste de Wilcoxon por ser considerado

por eles um teste bastante apropriado para o caso, pois, constitui-se em um teste não

paramétrico independente da distribuição subjacente das variáveis aleatórias analisadas. Os

resultados apresentados indicaram como período 1 (novembro-abril) denominado verão e

período 2 (maio-outubro) denominado inverno.

38

7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para o uso do método das cópulas se faz necessária a aplicação de testes e análise dos

resultados desses testes previamente a aplicação da metodologia fim, cópulas. A UHE

Chavantes foi escolhida para ilustrar o ajuste dos modelos de distribuição estacionários e não

estacionários, os resultados das demais UHE’s encontram-se no apêndice do presente

trabalho.

7.1.SAZONALIDADE DOS PICOS DE VAZÃO

No estudo realizado por Fill et al. (2008), os autores cogitam os período de dados, Período 1

(Novembro-Abril) e Período 2 (Maio-Outubro) como populações distintas. Lima (2011), em

estudo realizado na mesma bacia, levanta a possibilidade de que os picos de vazão decorrentes

do período de verão são produzidos por mecanismos diferentes daqueles que ocorrem no

período de inverno, apoiando também nos períodos aqui selecionados.

O resultado da plotagem das curvas empíricas de frequências de cheias da vazão sazonal

máxima para os períodos definidos (Período 1: Novembro – Abril e Período 2: Maio –

Outubro) com posição de plotagem definida pela formulação de Weibull são apresentados na

Figura 7.1, para o mesmo posto em questão (UHE Chavantes).

A Figura 7.1 mostra duas curvas distintas que são provavelmente provenientes de diferentes

populações, sendo que valores maiores de pico de vazão tendem a ocorrer no período 1.

Apesar da diferença ilustrada nas curvas para os dois períodos, a variabilidade interanual do

sistema climático responsável por tais cheias faz com que o pico possa também ocorrer no

período 2. A curva empírica de frequência para os dados de vazão máxima anual (Figura 7.1

b) mostra que, para tempos de retorno de até 10 anos, ambos os períodos 1 e 2 são

responsáveis pelos picos de vazão. Para tempos de retorno superiores a 10 anos as cheias

ocorrem preferencialmente no período 1.

39

Figura 7.1 - Curva de frequência para o posto UHE Chavantes para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total.

Para análise da existência de mais de uma população dos dados, foi realizado o teste de

Wilcoxon (Hollander e Wole, 1973), assumiu-se como hipótese nula que o parâmetro média

de cada período é proveniente de uma mesma população, ou seja, as médias são iguais, como

é possível avaliar na equação 7.1 onde são estabelecidas as hipóteses.

¬*:∆= 0*�:∆≠ 0± ¬

*:∆= 0*�:∆> 0± ¬

*:∆= 0*�:∆< 0± (7.1)

O valor-p obtido foi de 1,4x10-10, sugerindo que os valores médios de pico de vazão do

Período 1 são estatisticamente diferentes dos valores médios do Período 2 para um nível de

significância de 5%.

Como supracitado, para um mesmo período de retorno, o valor da cheia que ocorre no

Período 2 é na maioria das ocorrências inferior ao correspondente à sua ocorrência no Período

1. Pode-se inferir que as cheias estimadas pela combinação das distribuições sazonais serão

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)

Tempo de retorno (anos)

a)

Período 1 (nov-abr) Período 2 (mai-out)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


b)

Período Total (nov-out)

40

geralmente inferiores do que as obtidas pela aplicação da metodologia clássica nas séries de

máximos anuais para um mesmo período de retorno. Os resultados confirmam o que já era

conhecido na literatura, por exemplo (Fill et. al 2008), as grandes cheias de inverno são em

geral superiores as cheias de verão. Assim, a consideração das cheias sazonais na metodologia

de análise de frequência de vazões extremas, agrega os dados de condicional, a dependência

de um período da cheia com relação ao período anterior como explicitado no

desenvolvimento da formulação da equação (5.6), podendo ser essa dependência devido à

persistência da vazão (acumulo da vazão de base) ou algum outro fator climático inerente ao

escoamento. Dessa maneira, levando em consideração a relação de dependência existente

entre os períodos selecionados, é necessária a incorporação da sazonalidade da série na

análise de frequência de cheias.

Ao analisar a curva de frequência dos demais postos da bacia do rio Paranapanema

(Apêndice) é possível observar um comportamento diferente para os tempos de retorno acima

de 20 anos para os postos localizados mais a jusante da bacia (UHE Capivara, UHE

Taquaruçu e UHE Rosana), mais próximos a foz do rio Paranapanema, após a entrada do seu

afluente Tibagi. As curvas de frequência do período 2 tende a ficar menos acentuada que a do

período 1 e por vezes as vazões do período 2 se apresentam menores do que as observadas no

período 1. Esse comportamento para as usinas a jusante reflete o comportamento do rio

Tabagi que influencia no regime do rio Paranapanema a jusante da sua foz, como é possível

observar na Figura 7.2 avaliado para o posto fluviométrico 64465000 localizado no rio

Tibagi, afluente pela margem esquerda do rio Paranapenema.

Figura 7.2: Curva de frequência para o posto fluviométrico Tibagi para os períodos 1 e 2.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Q(m

³/s)


a)


41

A bacia do rio Tibagi apresenta formação geológica diferente da existente na região a

montante da UHE Capivara no rio Paranapanema, como é possível visualizar na Figura 7.3.

Pode-se encontrar justificativa para essa diferença do comportamento das vazões para esses

postos fluviométricos possivelmente nas unidades geológicas que compõe as bacias, ou na

distribuição espacial e temporal da precipitação. Porém, esse assunto fica como sugestão para

trabalhos futuros, e não será aqui aprofundado.

Figura 7.3: Mapa com representação geológica da bacia do rio Paranapanema.A linha preta

delimita a bacia do rio Paranapanema, a linha vermelha indica a delimitação da bacia do rio

Tibagi (afluente pela margem esquerda do rio Paranapanema). A área em rosa indica litologia

Granito Santa Rita, em cinza Itaiococa carbonática, em vermelho Granito Conceição, em

cinza Arenito, e em verde escuro Basalto.

A Figura 7.4 apresenta o gráfico de dispersão do posto UHE Chavantes, o qual indicou valor

de correlação R=0,36 entre o período 1 e o período 2. O posto fluviométrico da UHE Canoas

foi o que apresentou maior correlação entre os períodos (R=0,38), porém todos os postos da

bacia em questão apresentam coeficiente de correlação semelhante entre os períodos, como é

possível visualizar nos resultados dos demais postos apresentados nos Apêndices do presente

trabalho. Para 78 valores de vazão, o fator de correlação R é estatisticamente significante

quando superior a 0,23. Todos os fatores de correlação encontrados para os postos da bacia

42

em questão são superiores a esse valor, logo, podem ser considerados estatisticamente

significantes.

Figura 7.4 - Diagrama de dispersão das vazões de pico do período 1 (novembro-abril) e do

período 2 (maio-outubro) para o posto da UHE Chavantes.

7.2. ESTACIONARIEDADE DOS PICOS DE VAZÃO

Para avaliar a tendência temporal nos dados de vazão foram aplicados os testes de

estacionariedade da regressão linear vazão vs. tempo, de Mann-Kendall e de Spearman (a

análise do coeficiente angular da regressão das máximas anuais com o tempo também fornece

parâmetros para a avaliação da estacionariedade das séries em questão). O valor-p para cada

um dos testes do posto da UHE Chavantes utilizados é apresentado na Tabela 7-1, onde

assume-se a hipótese nula de nenhuma tendência temporal monotônica. Assumindo o nível de

significância α =5%, observa-se que todos os testes para todos os postos resultarem em

valores-p menores do que o nível de significância, o que leva à rejeição da hipótese nula e,

consequentemente, sugere fortes tendências monotônicas (não estacionariedade) nas séries de

vazões máximas da bacia em questão.

500 1000 1500 2000

50

01

00

01

50

0

Posto FluviométricoChavantes

Período 1 (m³/s)

Pe

río

do

2(m

³/s)

43

Tabela 7-1 - Valor-p para os testes de estacionariedade

Máximas anuais – UHE Chavantes

Valores p Regressão

linear Mann-Kendall

Spearman

Período 1 1,771-04 5,061E-04 2,42E-04

Período 2 2,26E-02 2,44E-04 7,90E-05 Máximo Anual

1,173E-03 1,090E-03 4,63E-04

A avaliação da estacionariedade das séries apresentada na Tabela 7-1, é complementada com

a análise visual nos gráficos das vazões máximas anuais do posto Chavantes para os períodos

1, 2 e total, Figura 7.5, Figura 7.6, e Figura 7.7, mostram clara tendência temporal

monotônica de aumento de vazão. Para os outros postos estudados apresentados no apêndice,

a tendência é similar.

Sendo identificada como séries não estacionárias, a princípio não seria plausível fazer uso da

metodologia de análise de frequência de cheias que tem como premissa a estacionariedade da

série. Porém, nesse estudo, inicialmente as séries serão assumidas como estacionárias para

aplicação da metodologia e posteriormente, nas próximas análises, será inserida a

consideração da não estacionariedade da série e um ajuste na metodologia para avaliação de

qual modelo melhor representa a amostra para os resultados esperados.

44

Figura 7.5 - Série de máximos sazonais de vazão observadas para o período 1 (novembro-

abril) do posto da UHE Chavantes (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos

dados observados).

Período 1Chavantes

Ano

Va

zõ

es(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

50

01

00

01

50

0

45

Figura 7.6 - Série de máximos sazonais de vazão observadas para o período 2 (maio-outubro)

do posto da UHE Chavantes (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados

observados).

Figura 7.7 - Série (novembro-outubro) de máximos anuais de vazão observadas do posto da

UHE Chavantes (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Período 2Chavantes

Ano

Va

zõ

es(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

50

01

00

01

500

20

00

Período TotalChavantes

Ano

Vazõ

es(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

50

010

00

15

00

20

00

46

Assim, os resultados obtidos aqui, em conjunto com os apresentados na literatura (como

Lima, 2011), são indicativos de que há uma tendência temporal de aumento nos picos de

vazão na bacia do rio Paranapanema.


HOMOGÊNEAS E DEPENDENTES (ANALISE VIA CÓPULA)

Com o objetivo de analisar a série de vazões extremas levando em consideração as

particularidades identificadas nos dados em estudo (heterogeneidade e dependência entre os

períodos), foram analisadas as características das séries (média, mínimo, máximo, desvio)

apresentadas na Tabela 7-2.

A distribuição Gumbel foi utilizada para ajuste aos dados da amostra, devido a sua vasta

aplicação na área de eventos extremos, e trabalhos anteriores realizados na bacia do rio

Paranapanema que apresentaram resposta satisfatória ao uso dessa distribuição (Anjos e

Bueno, 2011), a Tabela 7-3 apresenta os parâmetros da distribuição Gumbel das marginais

para a UHE Chavantes juntamente com os seus respectivos intervalos de confiança.

Vários métodos de ajuste de distribuições de probabilidades a um conjunto de dados são

propostos na literatura, sendo os mais importantes o método da máxima verossimilhança, o

método dos momentos e o método dos momentos lineares. Adotou-se aqui, como supracitado

no item 5.1, o método da máxima verossimilhança.

Tabela 7-2 - Características das séries UHE Chavantes

Estação Chavantes

Período 1 2 Total

Média (m³/s) 670 432 711

Mínimo (m³/s) 237 124 242

Máximo (m³/s) 179

0 2266 2266

Desvio (m³/s) 280 289 327

47

Tabela 7-3 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Chavantes

Estação Chavantes

Parâmetro/Período 1 2 Total

Posição

Superior (95%) 248,0 180,4 263,1

Estimado 211,0 151,9 223,4

Inferior (5%) 174,0 123,5 183,7

Escala

Superior (95%) 597,5 366,9 630,1

Estimado 547,4 331,3 577,3

Inferior (5%) 497,4 295,7 524,5

Para cada posto foi aplicada a distribuição de Gumbel para os dados do período 1, do período

2 e do período total, as características das séries, assim como os parâmetros das distribuições

para os demais postos da bacia do rio Paranapanema, encontram-se no Apêndice desse

trabalho.

Para verificação do ajuste dos dados à distribuição escolhida é realizado o teste de

Kolmogorov Sminorv o qual apresentou valor p de 0,986 para o ajuste da distribuição

Gumbel aos dados do período 1, 0,134 para o ajuste da distribuição Gumbel aos dados do

período 2 e 0,917 para o ajuste da distribuição Gumbel aos dados do período total. Como os

valores p encontrados foram superiores a 0,05, aceita-se a hipótese nula de que a distribuição

se ajusta aos dados observados.

Para avaliação visual do ajuste da distribuição é utilizado o gráfico quantil-quantil (QQ-plot)

ilustrado na Figura 7.8 e Figura 7.9. Os dados de frequência para modelagem do período 1

apresentam menor distância da reta teórica quando comparada com o ajuste realizado para a

modelagem do período 2, o qual apresenta um desvio na extremidade da distribuição,

sugerindo que a distribuição Gumbel se ajustou melhor aos dados do período 1. Porém, a

distribuição Gumbel será utilizada para a análise de frequência de ambos os períodos.

48


Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita.


Gumbel (Período Total)

Em outro tipo de análise, também visual, é possível verificar o ajuste da amostra a

distribuição Gumbel em seu gráfico de distribuição acumulada na Figura 7.10 e na Figura

7.11. Resultados semelhantes a esses, para o ajuste da distribuição Gumbel aos dados da

amostra, foram obtidos para os demais postos da bacia em estudo.

49


acumulado de Gumbel


acumulado de Gumbel

Como citado no item 5.1 e ilustrado na Figura 7.4 a indicação de uma dependência crescente é

uma característica a uso da família Gumbel-Hougaard. A cópula Gumbel-Hougaard é

conhecida como uma cópula extrema e é adequada para modelar a dependência na cauda

0 500 1000 1500 2000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³/s)

F(x

)

0 500 1000 1500 2000 2500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³/s)

G(y

)

50

superior. No entanto, o grau de dependência entre as marginais depende do valor do

parâmetro da cópula. A partir do valor estimado do parâmetro da cópula de Gumbel, uma

dependência positiva é esperada entre os dados. Para obter mais conhecimento na estrutura de

dependência dada por esta cópula é necessário avaliar o gráfico de dispersão da amostra

aleatória simulada a partir da cópula (Figura 7.13), assim como o gráfico de contorno (Figura

7.14).

Quanto maior a correlação existente entre os períodos, melhor é o ajuste da cópula. A xxx

ilustra o gráfico de dispersão da cópula para diferentes valores de θ, é possível visualizar que

o gráfico de dispersão com θ=5, os pontos plotados apresentam-se mais próximos, indicando

melhor representatividade do modelo.

Figura 7.12 - Gráfico de dispersão da cópula para θ=0,1 no extremo esquerdo, θ=1,474 no

centro e θ=5 no extremo direito.

A Figura 7.13 mostra o gráfico de dispersão de 1000 valores aleatórios da cópula de Gumbel-

Hougaard ajustada para os dados da amostra de interesse. O aumento da densidade dos pontos

próximos a (1,1) e (0,0) sugere claramente uma tendência a ser associada aos níveis mais

extremos. Essa associação não simétrica não pode ser capturadas por uma cópula simétrica

como por exemplo a cópula de Frank. Além disso, a dispersão razoavelmente uniforme em

outras posições sugere que as variáveis são quase independentes para valores não extremais.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u

v

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u

v

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u

v

51

Figura 7.13 - Diagrama de dispersão de 1000 valores aleatórios da cópula de Gumbel com

τkendal = 0,321 e θ=1,474

O mesmo resultado pode ser concluído a partir do gráfico de contorno, porém esse gráfico

tem que ser comparado com os gráficos padrões (dependência positiva perfeita,

independência, dependência negativa perfeita) como já ilustrada na Figura 4.3. Comparando o

gráfico de contorno da cópula estimada com os gráficos padrões correspondentes, pode ser

visto que o traçado de contorno da cópula de Gumbel para os dados em estudo (Figura 7.14)

apresenta semelhança entre aquele que mostra dependência positiva e indenpendênicia.

Figura 7.14–Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,321 e θ=1,474

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Copula de Gumbel

u

v

Copula de Gumbel

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

52

A interpretação desses gráficos leva a crer que a dependência inerente entre as marginais não

representa uma cópula com forte dependência como seria, caso o valor do τ de Kendall fosse

maior o que proporcionaria valores de teta mais elevados e uma cópula mais representativa da

dependência das amostras em questão. Para vários casos do presente estudo os parâmetros τ

de Kendall e θ se apresentaram dessa maneira.

Ajustada a cópula à amostra desejada e tendo o seu ajuste verificado pelo teste de aderência

de Kolmogorov Sminorv, faz-se o uso da Equação 5.13 e é possível estimar os valores de

vazão para diferentes tempos de retorno. A Tabela 7-4 assim como a Figura 7.15 mostram os

resultados indicando ainda a diferença percentual entre o resultado do método clássico

(máximos anuais) e o modelo proposto. Observa-se que para um mesmo tempo de retorno o

valor da cheia ocorrendo no período 2 é sempre inferior ao correspondente à sua ocorrência

no período 1. Esse efeito é mais forte sobre cheias maiores.

Também é possível observar que as cheias estimadas pela combinação das distribuições

sazonais, via cópulas, são geralmente menores do que as obtidas pela aplicação do método

clássico da série de máximos anuais para um mesmo tempo de retorno. Verifica-se que esse

efeito também é mais acentuado para as cheias mais raras. Para tempos de retorno de até 50

anos, aproximadamente, as diferenças são pequenas de modo que o método das séries anuais é

bastante razoável. Entretanto para cheias com tempo de retorno de 100 anos ou mais as

diferenças são um pouco mais significativas. Pode-se notar ainda que o tempo de retorno de

500 anos e 1.000 anos a cheia anual obtida pelo método das cópulas é praticamente igual a

cheia do período 1.

A Figura 7.15 e a Tabela 7-4 apresentam um comparativo da estimação realizada pela cópula

e pela metodologia tradicional com os máximos de vazão anual. Na seleção dos valores do

tempo de retorno considerou-se valores correspondentes a enchentes pequenas (TR = 2 e 10

anos), outro para cheias médias (TR = 50 anos) e outros para cheias grandes (TR = 100, 500 e

1.000 anos).

53

Tabela 7-4- Valores de vazão em m³/s para diferentes tempos de retorno via cópula e

metodologia tradicional

Estação Chavantes

Metodologia Tradicional

Cópulas Diferença (%)

TR Período 1 Período 2 Período Total

2 624 387 659 637 3,3

10 1022 673 1079 1027 4,8

50 1370 924 1448 1372 5,2

100 1518 1030 1604 1519 5,3

500 1858 1275 1965 1859 5,3

1.000 2005 1380 2120 2005 5,4

Figura 7.15: Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

Em busca de conhecer o intervalo de confiança existente para a metodologia proposta é

utilizada a técnica bootstrap descrita no item 5.1.1. Parte-se da amostra mestre de tamanho 78

para realizar mil reamostragens de mesmo tamanho, reamostrar permite diferentes alternativas

para se encontrar desvios padrões e intervalos de confiança através da análise de um conjunto

0 20 40 60 80 100

05

00

10

00

15

00

20

00

25

00


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)

Previsão Gumbel Série TotalVazões ObservadasPrevisão Cópula Gumbel (Gumbel-Gumbel)

Intervalo de confiança 95%

54

de dados. Uma vantagem em utilizar a técnica de reamostragem bootstrap é a generalidade

com que pode ser aplicada, pois requer que menos suposições sejam feitas.

N a análise descritiva para a amostra mestre, verificou-se a existência de alguns possíveis

outliers que foram mantidos na amostra. Cada reamostra foi gerada realizando a amostragem

com reposição. Realizadas as 1000 reamostragens com reposição é possível verificar que a

distribuição da estatística das reamostras Bootstrap se aproxima da distribuição desta mesma

estatística da população. Nestas condições foram calculados os intervalos de confiança para os

parâmetros da distribuição dos períodos que por sua vez, por iteração foi aplicada ao modelo

da cópula desejada.

Através da técnica Bootstrap, foram obtidos intervalos de confiança dos quantis de 95% e

esses resultados foram comparados com o intervalo de confiança da metodologia tradicional.

A análise visual da Figura 7.16 mostra que os intervalos de confiança obtidos para a

metodologia das cópulas por meio do bootstrap possui uma probabilidade de cobertura

sempre superior à probabilidade de cobertura dos intervalos de confiança obtidos para a

estimação pela metodologia clássica de análise de frequência de cheias (univariada) pela

técnica de t-Student utilizada. A metodologia que apresenta um intervalo de confiança menor

é mais confiável que a que resulta em um intervalo de confiança maior. Porém, pode-se levar

em consideração que quando a amostragem é repetida inúmeras vezes (caso bootstrap) e o

intervalo de confiança é recalculado para cada reamostra de acordo com o mesmo método,

uma proporção dos intervalos de confiança busca conter o parâmetro estatístico em questão

(vazão estimada).

55

Figura 7.16 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula

7.4.ANÁLISE NÃO ESTACIONÁRIA DE FREQUÊNCIA DE CHEIAS COM


CÓPULA)

Com objetivo de avaliar a eficácia dos modelos propostos para os máximos anuais de vazão

em reproduzir as séries observadas, assim como fazer uso da vazão de verão obtida no ano

corrente para prever a vazão de inverno do mesmo ano, é utilizada a validação cruzada tipo

leave-one-out, onde o restante dos dados observados é utilizada para estimativa dos

parâmetros enquanto é retirado um dado da amostra para verificar a previsão ou capacidade

dos modelos em reproduzir os dados observados.

Esse modelo estocástico de geração de vazão pode ser utilizado para sintetizar um grande

número de sequência de vazões com diferentes graus de período de cheias e abastecer, os

órgãos responsáveis pela gestão de recursos hídricos com informações relevantes visando a

redução da vulnerabilidade das populações à enchentes e como consequência a desastres. Essa

0 20 40 60 80 100

05

00

10

00

15

00

20

00

25

00


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)

Previsão Gumbel Série TotalVazões ObservadasPrevisão Cópula Gumbel (Gumbel-Gumbel)

Intervalo de confiança 95%Limites Bootstrap

56

metodologia busca otimizar a estimação da cheia seguinte fazendo uso de informações

presentes para alimentar o sistema e obter respostas mais precisas sobre o próximo evento de

cheia. Dois novos elementos são aqui incorporados quando comparados com a metodologia

usualmente utilizada para estimação de vazões univariada: o uso de cópulas para modelar

dependências temporais de vazão na escala de tempo mensal, e a análise da vulnerabilidade

do sistema para mudanças com características de persistência hidrológica.

A Figura 7.17 apresenta o resultado dessa análise, comparando a previsão obtida para o

inverno condicional aos valores observados no verão.

Figura 7.17- Vazões máximas esperadas para a UHE Chavantes nos anos 1931 – 2008

A linha preta corresponde às vazões observadas de inverno, a linha vermelha à previsão da

Cópula Gumbel, a linha azul à previsão estimada pelo método clássico estacionário com uso

do ajuste da distribuição Gumbel aos máximos anuais, a linha verde é referente ao intervalo

1940 1960 1980 2000

05

00

10

00

15

00

20

00

ChavantesValidação Cruzada

Gumbel-Gumbel

Ano

Va

zõ

es(m

³/s)

57

de confiança de 95% da metodologia clássica estacionária, e a área cinza hachurada

representa o intervalo de confiança da metodologia de previsão via cópula.

Os valores do teste de Kolmogorv Sminorv encontrados para o ajuste foi de (KScop = 0,1538;

KStrad=0,6026), sendo KScop o valor encontrado para o ajuste da cópula e KStrad o valor

calculada para a metodologia tradicional. Pode-se observar na Figura 7.17 que as vazões

previstas com a cópula ajustada aos dados, excluído o dado do ano a ser estimado, juntamente

com a informação da cheia que ocorreu no verão imediatamente anterior seguem a

distribuição F(x) com a magnitude da cheia do período 2. Ocorrem variações em torno do

valor observado e esse comportamento pode ser devido a cheias do período 2, as quais podem

ter ocorrido sem referência ao mesmo fator climático relacionado ao período 1, apresenta

respostas diferentes de deflúvio pra os diferentes períodos, e acarreta em magnitudes distintas

de vazão o qual não foi assim representado pela dependência captada pela cópula ajustada.

Se analisado o coeficiente de correlação entre as linhas vermelha e preta (previsão obtida pela

metodologia das cópulas e dados observados) obtém-se o valor de 0,25 para o coeficiente de

correlação e de 0,02 para o valor p, sendo o valor p inferior a 0,05 indicando uma correlação

estatisticamente significativa. Aplicando o teste de ajuste de Kolmogorov-Sminorv, para a

avaliação de qual o melhor ajuste na previsão de vazão de cheias, o valor p para o teste KS

obtido para a metodologia clássica estacionária univariada se apresentou como 1,004x10-12 ,

inferior portanto a 0,05 e indicando que a hipótese nula de que o modelo se ajusta bem aos

dados observados deve ser rejeitada. Já o valor p obtido pelo teste para a metodologia das

cópulas é de 0,3145, maior portanto do que 0,05 e indicando a aceitação da hipótese nula. O

mesmo é possível avaliar pela estatística do teste, em que o KS obtido para a metodologia

clássica é inferior ao obtido pela metodologia das cópulas. Sendo assim, pode-se inferir que o

modelo das cópulas não estacionária é representativa da amostra.

Esses resultados demonstram que a abordagem utilizada tem a capacidade de modelar a

estrutura de dependência histórica de dados de vazões mensais. As mudanças na variabilidade

inter-estação e função de autocorrelação são esperadas já que o parâmetro da cópula governa

a estrutura temporal de dependência da série histórica. Assim é possível prever a magnitude

da variação da cheia que está por vim, tendo como base a vazão obtida na estação anterior

com o uso da metodologia da cópula.

58

8 - CONCLUSÕES

No contexto da análise de frequência de vazões extremas, caso as premissas de

homogeneidade e estacionariedade não sejam válidas, novos métodos e teorias devem ser

utilizados em lugar dos métodos tradicionais, tendo em vista que a violação dessas hipóteses

pode levar a sub ou superestimação dos quantis de cheia. Com isso, foram estabelecidas as

bases teóricas para o estudo e desenvolvimento de modelos de análise de frequência de cheias

para os postos da região da bacia do rio Paranapanema em que não fosse necessário satisfazer

as suposições básicas dos modelos clássicos, como homogeneidade e estacionariedade dos

dados. Nesse contexto, esse trabalho abordou a análise não homogênea e não estacionária de

frequência de cheias, por meio do método das cópulas para captar a dependência entre os

diferentes períodos.

Neste trabalho é utilizada uma abordagem baseada no conceito das cópulas aplicado à análise

bivariada de frequência de cheias. Essa metodologia vem sendo bastante utilizada no meio

financeiro e na biomedicina, porém é pouco abordada na hidrologia. O método foi aplicado,

num primeiro momento, assumindo a estacionariedade da série, o qual apresentou resultados

semelhantes à metodologia tradicional, e em um segundo momento foi realizado uma

adaptação do modelo para consideração da não estacionariedade em um dos períodos. A

consideração da não estacionariedade acrescenta à metodologia a possibilidade de prever a

vazão da próxima estação com o conhecimento prévio da vazão máxima observada no período

anterior. O que se mostra uma ferramenta promissora para o gerenciamento do risco de cheias

especialmente por possibilitar a implementação de sistemas de aviso de cheias.

Observou-se que a identificação de períodos distintos de uma mesma série de dados que se

originaram de diferentes distribuições de probabilidades em virtude, por exemplo, da

existência de diferentes mecanismos atmosféricos, pode ser uma alternativa para a

determinação de cheias máximas anuais associadas a um dado risco. A estimativa da vazão

associada a um risco pode ser feita com base na combinação de distribuições de probabilidade

sazonais. Já a previsão do período do inverno baseado nos dados observados no período do

verão se mostrou melhor do que a metodologia tradicional no que diz respeito à previsão para

ação emergencial, porém essa metodologia pode ser comparada, em trabalhos futuros, com

outros modelos empíricos, para a avaliação do ganho de informação devido ao intervalo de

59

confiança apresentado para a metodologia aqui exposta ter se apresentado significativo

quando cogitada a sua utilização em um sistema de alerta de cheias. Porém, essa melhora nos

resultados é importante tendo em vista a necessidade de uma boa estimativa da magnitude da

cheia do próximo período para preparação da população e dos órgãos responsáveis. Além

disso, se observou que se a correlação apresentada nos dados utilizados fosse maior, os

resultados da previsão seriam ainda mais satisfatórios.

A análise via cópula, a qual leva em consideração a dependência entre as marginais

envolvidas, pode ser um grande avanço para área de gestão de recursos hídricos. A presente

abordagem utilizando essa metodologia se mostrou bastante promissora, uma vez que permite

a consideração de uma variedade de correlações frequentemente observadas em hidrologia.

Além disso, outras covariáveis diferentes da adotada nesse trabalho também podem ser

utilizadas em trabalhos futuros como temperatura, pressão, ou até mesmo a vazão de

escoamento de base, desde que possuam correlação com os outros dados envolvidos. A

aplicação dessas diferentes covariáveis enriquece o conhecimento para análise de frequência

de eventos extremos auxiliando na previsão de vazão. As características desse método são

importantes quando comparados com os modelos multivariados clássicos em que não é

possível reproduzir a dependência entre as variáveis, e a escolha das distribuições marginais é

bastante restrita.

O tema investigado neste trabalho, embora já tendo sido abordado em partes por outros

autores (Lima, 2011; Fill et al., 2008, Zhang, 2005), ainda pode ser aprofundado e

aperfeiçoado na prática. O método foi aplicado na bacia do rio Paranapanema, mas pode ser

igualmente aplicado para análise não estacionaria de frequência de eventos extremos em

outras bacias. No caso de rios brasileiros situados em regiões com características climáticas

diferenciadas, devem-se ainda esclarecer aspectos particulares (ano hidrológico, estações do

ano, modelo estatístico) em cada uma dessas regiões e analisar a aplicabilidade do método

proposto em comparação com outros modelos tradicionais ou empíricos de series de máximos

anuais. Assim, recomenda-se uma análise da sazonalidade das cheias em outras bacias

hidrográficas e a verificação da existência de distribuições de probabilidade distintas por

estações do ano. Visa-se assim a obtenção de modelos mais robustos e confiáveis que são

essenciais para um melhor gerenciamento do risco de cheias.

60

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65

APÊNDICES

66

A. ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE JURUMIRIM

Figura A.1 - Curva de frequência para o posto UHE Jurumirim para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


a)

Período 1(nov-abr) Período 2 (mai-out)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


b)


67

Figura A.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Jurumirim. R=0,34


Jurumirim (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

500 1000 1500

20

04

00

60

08

00

10

00

Posto FluviométricoJurumirim

Período 1 (m³/s)

Pe

río

do

2(m

³/s)

Período 1Jurumirim

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

200

40

06

00

800

100

0

68


Jurumirim (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Figura A.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Jurumirim (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Período 2Jurumirim

Ano

Vazõ

es(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

500

10

00

150

0

Período TotalJurumirim

Ano

Vazõ

es(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

200

40

06

00

800

10

00

120

014

00

160

0

69

Tabela A.1 - Características das séries UHE Jurumirim

Estação Jurumirim

Período 1 2 Total

Média 439 266 461

Mínimo 144 87 159

Máximo 980 1552 1552

Desvio 169 187 206

Tabela A.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Jurumirim

Estação Jurumirim


Posição

160,2 106,0 166,2 263,1

136,5 89,1 141,0 223,4

112,7 72,3 115,8 183,7

Escala

393,9 226,6 410,0 630,1

361,5 205,7 376,7 577,3

Inferior 497,4 295,7 524,5


Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Jurumirim.

200 400 600 800

200

600

1000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

100 300 500

500

1000

1500

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

70


Gumbel (Perío-do Total) para UHE Jurumirim

Figura A.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Jurumirim

200 400 600 800 1000

200

600

1200

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

0 500 1000 1500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

F(x

)

0 500 1000 1500 2000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

G(y

)

71

Figura A.9 - ScatterPlot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2901 e θ=1,408 UHE Jurumirim

Figura A.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,2901 e θ=1,408

UHE Jurumirim

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Copula de Gumbel

u

v

Copula de Gumbel

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

72

Tabela A.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Jurumirim

Estação Jurumirim

Metodologia Tradicional Cópulas Diferença (%)

2 TR 1 2 Total 1

2 411 238 428 411 238

10 668 406 694 668 406

50 893 553 926 893 553

100 989 615 1025 989 615

500 1209 759 1252 1209 759

1.000 1304 821 1350 1304 821

Figura A.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Jurumirim

0 20 40 60 80 100

05

00

10

00

15

00

20

00


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)

Previsão Gumbel Série TotalVazões MedidasPrevisão Cópula Gumbel (Gumbel-Gumbel)


73

Figura A.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Jurumirim

Figura A.13 - Vazões esperadas para UHE Jurumirim. (Legenda vide Figura 7.17) (KScop =

0,11;KStrad=0,59)

0 20 40 60 80 100

050

010

00

15

00

200

0


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)



1940 1960 1980 2000

02

00

40

06

00

80

01

00

01

20

0

JurumirimValidação Cruzada

Gumbel-Gumbel

Ano

Va

zõ

es(m

³/s)

74

B. ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE CANOAS

Figura B.1 - Curva de frequência para o posto UHE Canoas para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


a)


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


b)


75

Figura B.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Canoas. R=0,38


Canoas (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

500 1000 1500 2000 2500 3000

50

01

00

01

50

02

00

0

Posto FluviométricoCanoas

Período 1 (m³/s)

Pe

río

do

2(m

³/s)

Período 1Canoas

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

500

10

00

150

02

00

0

76


Canoas (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Figura B.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Canoas (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Período 2Canoas

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

50

01

00

01

50

02

00

025

00

30

00

Período TotalCanoas

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

500

10

00

150

020

00

25

00

30

00

77

Tabela B.1 - Características das séries UHE Canoas

Estação Jurumirim

Período 1 2 Total

Média 902 586 954

Mínimo 292 180 292

Máximo 2291 3153 3153

Desvio 362 390 434

Tabela B.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Canoas

Estação Jurumirim


Posição

Superior 325,7 235,1 346,5

Estimado 277,3 197,9 294,5

Inferior 228,9 160,6 242,4

Escala

Superior 807,3 500,3 848,3

Estimado 741,5 453,9 778,7

Inferior 675,7 407,6 709.1


Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Canoas.

500 1000 1500 2000

500

1500

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

200 600 1000

500

1500

2500

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

78


Gumbel (Período Total) para UHE Canoas

Figura B.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Canoas

500 1000 1500 2000

500

1500

2500

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

0 500 1000 1500 2000 2500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

F(x

)

0 1000 2000 3000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

G(y

)

79

Figura B.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,3074 e θ=1,444 UHE Canoas

Figura B.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal 0,3074 e θ=1,444

UHE Canoas

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Copula de Gumbel

u

v

Copula de Gumbel

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

80

Tabela B.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Canoas

Estação Jurumirim


2 TR 1 2 Total 1

2 843 526 886 860 2,9

10 1365 899 1441 1371 4,8

50 1823 1226 1927 1826 5,2

100 2017 1364 2133 2018 5,3

500 2464 1683 2608 2465 5,5

1.000 2657 1820 2812 2657 5,5

Figura B.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Canoas

0 20 40 60 80 100

01

00

02

00

03

00

0


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)



81

Figura B.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Canoas

Figura B.13 - Vazões esperadas para UHE Canoas. (Legenda vide Figura 7.17)(KScop =

0,14;KStrad=0,62)

0 20 40 60 80 100

01

00

02

000

300

0


TR(anos)

Va

zão

(m³)



1940 1960 1980 2000

05

00

10

00

15

00

20

00

25

00

CanoasValidação Cruzada

Gumbel-Gumbel

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

82

C. ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE CAPIVARA

Figura C.1 - Curva de frequência para o posto UHE Capivara para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


a)


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


b)


83

Figura C.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Capivara. R=0,36


Capivara (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

10

00

20

00

30

00

40

00

50

00

60

00

Posto FluviométricoCapivara

Período 1 (m³/s)

Pe

río

do

2(m

³/s)

Período 1Capivara

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

100

02

00

030

00

400

05

00

060

00

84


Capivara (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Figura C.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Capivara (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Período 2Capivara

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

10

00

20

00

300

040

00

500

06

00

070

00

Período TotalCapivara

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

10

00

20

00

30

00

40

00

50

00

60

00

70

00

85

Tabela C.1 - Características das séries UHE Capivara

Estação Jurumirim

Período 1 2 Total

Média 1982 1552 2224

Mínimo 542 395 941

Máximo 5977 7334 7334

Desvio 888 1052 1072

Tabela C.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Capivara

Estação Jurumirim


Posição

Superior 769,8 711,0 831,3

Estimado 653,7 598,7 702,7

Inferior 537,6 486,4 574,1

Escala

Superior 1753,0 1299,1 1955,2

Estimado 1598,0 1158,7 1789,3

Inferior 1443,1 1018,3 1623,5


Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Capivara.

1000 2000 3000 4000

1000

3000

5000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

500 1500 2500 3500

1000

4000

7000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

86


Gumbel (Período Total) para UHE Capivara

Figura C.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Capivara

1000 2000 3000 4000 5000

1000

4000

7000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

F(x

)

0 2000 4000 6000 8000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

G(y

)

87

Figura C.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2404 e θ=1,3165 UHE Capivara

Figura C.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal =0,2404 e θ=1,3165

UHE Capivara

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Copula de Gumbel

u

v

Copula de Gumbel

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

88

Tabela C.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Capivara

Estação Jurumirim


2 TR 1 2 Total 1

2 1837 1378 2046 1988 2,8

10 3069 2505 3370 3192 5,3

50 4148 3494 4531 4252 6,2

100 4605 3912 5022 4701 6,4

500 5660 4878 6155 5740 6,7

1.000 6113 5293 6643 6188 6,8

Figura C.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Capivara

0 20 40 60 80 100

02

00

04

00

06

00

08

00

0


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)



89

Figura C.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Capivara

Figura C.13 - Vazões esperadas para UHE Capivara. (Legenda vide Figura 7.17)(KScop =

0,24;KStrad=0,59)

0 20 40 60 80 100

020

00

400

060

00

800

0


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)



1940 1960 1980 2000

02

00

04

00

06

00

08

00

0

CapivaraValidação Cruzada

Gumbel-Gumbel

Ano

Va

zõ

es(m

³/s)

90

D. ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE TAQUARUÇU

Figura D.1 -Curva de frequência para o posto UHE Taquaruçu para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


a)


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


b)


91

Figura D.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Taquaruçu. R=0,36


Taquaruçu (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

2000 4000 6000 8000

10

00

20

00

30

00

40

00

50

00

60

00

Posto FluviométricoTaquaruçu

Período 1 (m³/s)

Pe

río

do

2(m

³/s)

Período 1Taquaruçu

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

10

00

20

00

30

00

40

00

50

00

60

00

92


Taquaruçu (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Figura D.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Taquaruçu (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Período 2Taquaruçu

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

20

00

40

00

600

08

00

0

Período TotalTaquaruçu

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

100

020

00

300

040

00

500

0600

07

00

0800

0

93

Tabela D.1 - Características das séries UHE Taquaruçu

Estação Jurumirim

Período 1 2 Total

Média 2090 1644 2354

Mínimo 565 417 992

Máximo 6403 7808 7808

Desvio 946 1123 1143

Tabela D.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Taquaruçu

Estação Taquaruçu


Posição

818,8 758,3 885,1 818,8

695,3 638,6 748,2 695,3

571,7 518,8 611,3 571,7

Escala

1845,8 1375,2 2067,6 1845,8

1681,0 1225,5 1891,1 1681,0

1516,2 1075,8 1714,6 1516,2


Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Taquaruçu.

1000 2000 3000 4000

1000

3000

5000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

1000 2000 3000 4000

2000

6000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

94


Gumbel (Perío-do Total) para UHE Taquaruçu

Figura D.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Taquaruçu

1000 3000 5000

1000

4000

7000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

F(x

)

0 2000 4000 6000 8000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

G(y

)

95

Figura D.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2412 e θ=1,3178 UHE Taquaruçu

Figura D.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,2412 e θ=1,3178

UHE Taquaruçu

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Copula de Gumbel

u

v

Copula de Gumbel

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

96

Tabela D.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Taquaruçu

Estação Taquaruçu


2 TR 1 2 Total 1

2 1935 1459 2165 2099 3,0

10 3245 2662 3574 3381 5,4

50 4393 3717 4810 4508 6,3

100 4879 4163 5332 4985 6,5

500 6001 5193 6540 6091 6,9

1.000 6483 5636 7059 6567 7,0

Figura D.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Taquaruçu

0 20 40 60 80 100

02

00

04

00

06

00

08

00

0


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)



97

Figura D.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Taquaruçu

Figura D.13 - Vazões esperadas para UHE Taquaruçu. (Legenda vide Figura 7.17)

(KScop = 0,24;KStrad=0,59)

0 20 40 60 80 100

02

00

04

000

60

00

800

0


TR(anos)

Va

zão

(m³)



1940 1960 1980 2000

02

00

04

000

60

00

80

00

TaquaruçuValidação Cruzada

Gumbel-Gumbel

Ano

Vazõ

es(m

³/s)

98

E. ANALISE VIA CÓPULA PARA UHE ROSANA

Figura E.1 - Curva de frequência para o posto UHE Rosana para a) Períodos 1 e 2 e b)

Período Total.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


a)

Período 1(nov-abr) Período 2 (mai-out)

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Q(m

³/s)


b)


99

Figura E.2 - Diagrama de dispersão do período 1 e o período 2 dos máximos de vazão para o

posto da UHE Rosana. R=0,36


Rosana (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

2000 4000 6000 8000

10

00

20

00

30

00

40

00

50

00

60

00

70

00

Posto FluviométricoRosana

Período 1 (m³/s)

Pe

río

do

2(m

³/s)

Período 1Rosana

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

10

00

200

03

00

04

00

050

00

60

00

70

00

100


Rosana (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Figura E.5 - Série de máximos anuais de vazão observadas para o período total do posto da

UHE Rosana (a linha azul mostra o ajuste de uma regressão linear aos dados observados).

Período 2Rosana

Ano

Vazõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

20

00

400

060

00

800

0

Período TotalRosana

Ano

Va

zõe

s(m

³/s)

1940 1960 1980 2000

20

00

400

060

00

800

0

101

Tabela E.1 - Características das séries UHE Rosana

Estação Jurumirim

Período 1 2 Total

Média 2319 1842 2622

Mínimo 658 479 1149

Máximo 7210 9044 9044

Desvio 1039 1275 1287

Tabela E.2 - Parâmetros da distribuição Gumbel das marginais UHE Rosana

Estação Jurumirim


Posição

Superior 885,4 836,4 962,5

Estimado 752,0 704,7 813,6

Inferior 618,7 572,9 664,7

Escala

Superior 2055,3 1543,1 2305,6

Estimado 1877,1 1378,0 2113,8

Inferior 1698,9 1213,0 1922,1


Gumbel (Período 1) a esquerda e (Período 2) a direita para UHE Rosana.

1000 3000 5000

1000

4000

7000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

1000 2000 3000 4000

2000

6000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

102


Gumbel (Período Total) para UHE Rosana

Figura E.8 - Plotagem dos dados da amostra (Período 1 – gráfico a esquerda) e (Período 2 –

gráfico a direita) no gráfico de distribuição acumulado de Gumbel UHE Rosana

1000 3000 50002000

6000

Quantile Plot

Model

Em

piric

al

0 2000 4000 6000 8000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

F(x

)

0 2000 4000 6000 8000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel

Vazão(m³)

G(y

)

103

Figura E.9 - Scatterplot de 1000 valores aleatórios da Cópula de Gumbel com τkendal =

0,2318 e θ=1,3017 UHE Rosana

Figura E.10 - Diagrama de Contorno da Cópula de Gumbel com τkendal = 0,2318 e θ=1,3017

UHE Rosana

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Copula de Gumbel

u

v

Copula de Gumbel

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

104

Tabela E.3 - Valores de vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia

tradicional UHE Rosana

Estação Rosana


2 TR 1 2 Total 1

2 2152 1636 2412 2337 3,1

10 3569 2963 3944 3730 5,4

50 4811 4127 5288 4953 6,3

100 5336 4619 5856 5470 6,6

500 6549 5756 7169 6668 7,0

1.000 7071 6245 7733 7183 7,1

Figura E.11 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional

UHE Rosana

0 20 40 60 80 100

02

00

04

00

06

00

08

00

0


TR(anos)

Va

zã

o(m

³)



105

Figura E.12 - Vazão para diferentes tempos de retorno via cópula e metodologia tradicional e

Bootstrap da cópula UHE Rosana

Figura E.13 - Vazões esperadas para UHE Rosana. (Legenda vide Figura 7.17)

(KScop = 0,26;KStrad=0,59)

0 20 40 60 80 100

020

00

40

00

60

00

80

00


TR(anos)

Va

zão

(m³)



1940 1960 1980 2000

02

00

04

00

06

00

08

00

01

00

00

RosanaValidação Cruzada

Gumbel-Gumbel

Ano

Va

zõ

es(m

³/s)

modelagem nÃo homogÊnea e nÃo estacionÁria ......tÍtulo: modelagem não homogênea e não...

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