modelado y solución de sistema físico

7/29/2019 modelado y solución de sistema físico

http://slidepdf.com/reader/full/modelado-y-solucion-de-sistema-fisico 1/6

David Guadiana Martínez

Un tanque cilíndrico de 1.50 metros de altura descansa sobre su base circular de 1.00 metros de

diámetro e inicialmente se encuentra lleno de agua. En el fondo del tanque hay un orificio de

2.00 cm de diámetro, el cual se abre en cierto instante, de tal modo que el agua empieza a

fugarse debido a la fuerza de gravedad. Encontrar la altura h(t) del agua del tanque en cualquier

tiempo t. Encontrar los tiempos en que el tranque tiene agua hasta la mitad, hasta la cuarta

parte y cuando queda vacío.

Experimentos indican que la velocidad del agua saliendo de un recipiente a través de un orificio es

proporcional a 0.6 y la velocidad de cualquier cuerpo en caída libre.

() () ()

La ecuación 1 es la que determina la velocidad del agua saliendo por un orificio en cualquier instante de

tiempo. Por otra parte, me gustaría demostrar que el segundo factor del segundo miembro de la ecuación es

correcto.

En la figura, podemos ver un objeto de masa m con

trayectoria vertical.

Por definición, sabemos que la aceleración es igual a la derivada con respecto al tiempo de la velocidad:

()

Correspondiente a A1:

Por variables separables aplicadas a la ecuación A1 (condiciones iniciales a 0):

∫ ∫

()

()




Ahora, por definición conocemos que la derivada de la posición respecto al tiempo es igual a la velocidad:

()

Sustituimos A2 en A4:

()

Por variables separables a A5:

∫ ∫

()

En la ecuación A6 sustituimos las ecuaciones A2 y A3:

Despejando v obtenemos:

Continuando con el problema anterior ahora no habrá dudas de utilizar la ecuación 1, manejaremos g = 980

cm/s^2.

Planteando el problema, podemos observar que una

mínima cantidad de volumen de agua que sale por el

orificio del tanque es proporcional al área del orificio, a su

velocidad y a una mínima cantidad de tiempo.




De acuerdo a lo anterior:

()

Donde

La ecuación 2 representa la cantidad de volumen que sale del cilindro, de acuerdo a esto podemosestablecer que:

()

Donde h es la altura del líquido y B es la superficie del mismo. Atacando la ecuación 3 algebraicamente:

()

Por cálculo elemental la ecuación 4 nos queda de la siguiente manera:

()

En la ecuación 5 sustituimos el valor de :

()

Ahora pasamos a sustituir en 6 los valores que conocemos y hacemos las operaciones correspondientes,

para este caso el valor conocido es el de la gravedad (el análisis dimensional se los dejo a ustedes):

√ ()

La ecuación 7 es el modelo matemático que describe el problema, en base a esta ecuación podemos obtener

los resultados que solicita el problema. Como primer paso calculamos las áreas A y B:

Sustituimos el último valor en la ecuación 7:

√ ()




Aplicamos variables separables a la ecuación 8:

∫ ∫√

∫

√ ∫

La solución de la ecuación diferencial corresponde:

() () ()

La ecuación 9 corresponde a la solución de la ecuación diferencial que describe nuestro problema, donde C

es la constante de integración, para obtener la ecuación que nos permita saber la altura h en cualquier

instante de tiempo es necesario calcular el valor de C, el problema nos indica que en el instante de tiempo

0(condición inicial) el tanque se encuentra lleno, ósea a 150 cm de altura está el agua, por lo tanto:

() ()

√

Por lo tanto la solución para el caso particular de este problema:

() ( ) ()

Ahora sólo resta calcular el tiempo en que el tanque queda a la mitad, a la cuarta parte y vacío. Esto es fácil

de conseguir a partir de la ecuación 10:

()

()

()




Suponer que el tanque del problema anterior es semiesférico, de radio R, que inicialmente está

lleno de agua y que en el fondo tiene una salida cuya sección transversal tiene un área de 5

centímetros cuadrados. La salida se abre en cierto instante de tiempo. Encontrar el tiempo que

transcurre para vaciar el tanque a) para cualquier R dado. b) para R = 1 metro.

Para este caso, es posible usar la ecuación 7 del problema anterior.

√

La diferencia para este caso es que el área de la superficie del líquido es variable, dependiente de la altura

del líquido.

En la imagen podemos observar que el área de la superficie

del líquido depende del radio R dado y de la altura h(t). Del

problema sabemos que la altura máxima es igual a 150 cm.

Por lo tanto el área B quedaría de la siguiente manera:

()

()

[ ( )] ()

Del problema sabemos que A = 5 cm^2, Sustituimos este valor y la ecuación 11 en la ecuación 5:

√

[

(

)]

Al tratar la ecuación algebraicamente:

√

()




Resolviendo la ecuación diferencial 12 por variables separables:

( )√

∫( )

√ ∫

√ √ √ ()

En la ecuación 13 tenemos C como la constante de integración, del problema sabemos que cuando el

tiempo es 0, h es igual a 150. Sustituimos estos valores para conocer el valor de C:

√ √ √

()

Para el inciso a, se pide el tiempo para vaciar el tanque para cualquier R dado, por lo tanto h es igual a 0,

Sustituimos 14 en 13 y el valor de h:

√ √ √

Por lo tanto la respuesta del inciso a es:

()

La respuesta al inciso b es posible obtenerla, sustituyendo el valor de R (en centímetros) dado en la ecuación

14:

()

modelado y solución de sistema físico

Documents