modelado y simulación de fatiga en materiales adhesivos
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Modelado y simulación de fatiga en materiales adhesivos usando la teoría de mecánica del daño continuo CDM
—Continuum Damage Mechanics—
IVÁN CAMILO CÁBULO PÉREZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA ENERO DE 2011
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Modelado y simulación de fatiga en materiales adhesivos usando la teoría de mecánica del daño continuo CDM
—Continuum Damage Mechanics—
IVÁN CAMILO CÁBULO PÉREZ
Asesor
JUAN PABLO CASAS RODRIGUEZ PhD
Jurados
LUIS MARIO MATEUS MSc
DORIAN LUIS LINERO SEGRERA PhD
Documento para optar por el título de maestría en ingeniería con énfasis en mecánica
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA ENERO DE 2011
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TABLA DE CONTENIDO
AGRADECIMIENTOS ................................................................................................................. VLISTA DE TABLAS ................................................................................................................... VI
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................ VII
NOTACIÓN .............................................................................................................................. IX1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 1
1.1. Conceptos de iniciación y propagación de fatiga ................................................................. 21.2. Consideraciones experimentales en adhesivos..................................................................... 31.3. Motivación ........................................................................................................................... 4
2. OBJETIVOS ...................................................................................................................... 52.1. General ................................................................................................................................. 52.2. Específicos ........................................................................................................................... 5
3. MARCO TEÓRICO ............................................................................................................. 63.1. Conceptos básicos de fatiga ................................................................................................. 63.2. Fundamentos de mecánica del daño ..................................................................................... 7
3.2.1. Definición de la variable daño ..................................................................................... 93.2.2. Consideraciones generales del concepto de daño ...................................................... 113.2.3. Concepto de esfuerzo efectivo ................................................................................... 133.2.4. Hipótesis de deformación equivalente ....................................................................... 133.2.5. Efectos del daño ......................................................................................................... 143.2.6. Marco termodinámico ................................................................................................ 143.2.7. Definición de las variables de estado ......................................................................... 193.2.8. Potencial de daño isotrópico ...................................................................................... 223.2.9. Medición del daño ...................................................................................................... 283.2.10. Preliminares de la tasa de daño .................................................................................. 303.2.11. Evolución del daño..................................................................................................... 323.2.12. Comentarios finales.................................................................................................... 34
4. FASE EXPERIMENTAL .................................................................................................... 364.1. Identificación de parámetros para el modelo de daño de lamaitre ..................................... 36
4.1.1. Ejemplo de aplicación ................................................................................................ 384.2. Modelo de evolución de daño de bonora ........................................................................... 384.3. Montaje experimental ........................................................................................................ 39
4.3.1. Metodología de fabricación de probetas .................................................................... 414.3.2. Relación de Poisson ................................................................................................... 434.3.3. Ensayos y variables de daño ...................................................................................... 44
4.4. Cuantificación de la porosidad ........................................................................................... 454.5. Resultados experimentales ................................................................................................. 46
4.5.1. Condiciones estáticas ................................................................................................. 46
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4.5.2. Ensayos de Fatiga....................................................................................................... 48Daño en probetas de material adhesivo .................................................................... 48
Daño en probetas SLJ............................................................................................... 54
5. MODELADO POR ELEMENTOS FINITOS ........................................................................... 575.1. Daño en fatiga .................................................................................................................... 58
5.1.1. Modelos de plasticidad y curva esfuerzo deformación .............................................. 585.1.2. Efectos de daño en el rango elástico .......................................................................... 605.1.3. Efectos del daño en el rango plástico ......................................................................... 605.1.4. deformación incremental (historial de deformación) ................................................. 62
5.2. Algoritmo del modelo ........................................................................................................ 655.3. Resultados del modelo FEA y discusión ............................................................................ 66
6. CONCLUSIONES .............................................................................................................. 697. TRABAJO FUTURO ......................................................................................................... 70BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 71ANEXOS ................................................................................................................................ 74I. MÉTODOS DE VIDA TOTAL ............................................................................................. 74II. MÉTODOS FENOMENOLÓGICOS...................................................................................... 77III. MÉTODOS PROGRESIVOS ........................................................................................... 79IV. MÉTODOS DE MECÁNICA DEL DAÑO .......................................................................... 83V. CÓDIGOS DE LA SUBRUTINA DE SIMULACIÓN ................................................................ 84
Simulación incremental ................................................................................................................. 84Simulación alternativa para carga del 80%Su ................................................................................ 91Efecto del daño en la curva esfuerzo-deformación ........................................................................ 97
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AGRADECIMIENTOS
El autor desea reconocer su gratitud a sus padres, José Alcides Cábulo y María Raquel Pérez por haberlo motivado y apoyado durante cada nuevo reto que supuso haber llegado hasta este punto de su formación personal y académica. También desea resaltar el apoyo recibido por su hermano Diego Cábulo y su novia quienes lo acompañaron con buena voluntad durante este periodo de formación.
Finalmente, el autor quiere agradecer a su director de tesis Dr. Juan Pablo Casas Rodríguez por su supervisión, su tiempo para debatir las ideas de este trabajo y su amistad. Sus ideas y consejos fueron importantes para la formación profesional y personal del autor.
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LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Parámetros de caracterización CAF. Adaptado de [1] ........................................................... 6Tabla 2. Desarrollos históricos de CDM, Adaptado de [2] .................................................................. 8Tabla 3. Variables termodinámicas de daño [14]............................................................................... 19Tabla 4. Métodos de medición de daño. Tomado de [33] .................................................................. 29Tabla 5: Porosidad ............................................................................................................................. 51Tabla 6: Parámetros para modelos de plasticidad .............................................................................. 59
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Curva típica de CAF. Tomado de [1] ................................................................................... 6Figura 2. Daño físico y modelo CDM. Tomado de [14] .................................................................... 10Figura 3. Esfuerzo deformación (a) sin daño (b) con daño. Tomado de [22] .................................... 11Figura 4. Esquema de evolución del daño. Adaptado de [22] ........................................................... 12Figura 5. Tamaños de defectos y dos definiciones de iniciación de grieta. Tomado de [22] ............ 12Figura 6. Esfuerzo equivalente según Chaboche [22] ........................................................................ 14Figura 7. Esfuerzo efectivo y deformación equivalente. Adaptado de [22] ....................................... 24Figura 8. Ejemplo de medición de daño [33] ..................................................................................... 29Figura 9. Límite de daño, deformación plástica y energía almacenada [14] ..................................... 31Figura 10. Ejemplo de parámetros de daño en acero ferrítico. Tomado de [14] ................................ 38Figura 11. Esquema del modelo de daño de Bonora .......................................................................... 39Figura 12. (a) Dimensiones (mm) del adhesivo (b) probeta final. (c) Probeta SLJ (mm) ................. 40Figura 13. Alistamiento del molde ..................................................................................................... 41Figura 14. Preparación de superficie del molde y láminas ................................................................ 42Figura 15. Mezcla de componentes.................................................................................................... 42Figura 16. Probetas antes y después del curado ................................................................................. 43Figura 17. Desmolde de probetas ....................................................................................................... 43Figura 18. Montaje relación de Poisson ............................................................................................. 44Figura 19. Ensayo de fatiga con esfuerzo controlado ........................................................................ 45Figura 20. SEM para Grupo A (izq.), Grupo B (der.) y carga 85%Su ............................................... 46Figura 21. Curva esfuerzo-deformación especímenes K, L, M .......................................................... 47Figura 22. Relación de Poisson Sikadur® Injection Gel .................................................................... 48Figura 23. Degradación del módulo, carga 90% Su (Grupo A) .......................................................... 48Figura 24. Daño en fatiga de bajo ciclo (Grupo A)............................................................................ 49Figura 25. Evolución de daño (Grupo A) .......................................................................................... 50Figura 26: D vs N para Grupo B de probetas ..................................................................................... 51Figura 27: Correlación de deformación crítica y porosidad ............................................................... 52Figura 28: Influencia de la porosidad en el modelo de daño ............................................................. 53Figura 29: Curva S-N ......................................................................................................................... 54Figura 30. Fatiga en uniones adhesivas ............................................................................................. 55Figura 31. Evolución del daño para junta SLJ ................................................................................... 56Figura 32. Condiciones de frontera y malla ....................................................................................... 57Figura 33: Modelos de plasticidad ..................................................................................................... 59Figura 34: Simulación en condiciones estáticas ................................................................................ 59Figura 35. Acople de daño en rango elástico y plástico ..................................................................... 60Figura 36: Efecto del daño en rango plástico y elástico ..................................................................... 61Figura 37: Incremento en ep por ciclo ................................................................................................ 63Figura 38: ∆* en función del nivel de carga ....................................................................................... 64Figura 39. Algoritmo para modelo de daño ....................................................................................... 65
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Figura 40: Evolución de daño (simulación) ....................................................................................... 66Figura 41: Cambio del daño con el número de ciclos ........................................................................ 67Figura 42: Curva S-N (simulación) .................................................................................................... 68Figura 43. Curva S-N para unión DLJ epoxy/CFRP. Tomado de [1] ................................................ 75Figura 44. Regiones de fatiga en curvas S-N. Tomado de [6]. ........................................................... 75Figura 45. Crecimiento de grieta en fatiga. Adaptado de [1] ............................................................. 80Figura 46. Modelo de desplazamiento del daño. Tomado de [8] ....................................................... 82
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NOTACIÓN
G Tasa de liberación de energía de deformación
K Factor de intensificación de esfuerzos
aS Amplitud de Esfuerzo
mnS Esfuerzo medio
f* Frecuencia
T Periodo
ijδ Delta de Kronecker
CAF Fatiga de amplitud constante
maxS Esfuerzo máximo
minS Esfuerzo mínimo
S∆ Rango de esfuerzos
R Relación de esfuerzos
RVE Elemento representativo de volumen
CDM Mecánica continua del daño
GIE Grupo de integridad estructural
D Variable de daño
Sδ Área de sección transversal RVE
DSδ Área de defectos en el RVE
Sδ Área efectiva
n Vector normal
Dc Daño crítico
FM mecánica de la fractura
ijσ Esfuerzo efectivo (componente i j)
ijσ Esfuerzo(componente i j)
E Módulo de elasticidad inicial
eε Deformación elástica
pε Deformación plástica
E Módulo de elasticidad instantáneo
Ω Cuerpo continuo
′Ω Parte o fracción de un cuerpo continuo
u Vector de velocidad
b Fuerza volumétrica sobre un cuerpo
s Fuerza de superficie sobre un cuerpo
r Fuente interna de calor
q Flujo de calor por unidad de área
e Energía interna
ρ Densidad
T Temperatura absoluta
η Entropía
ψ Energía libre de Helmholtz
iξ Variable termodínamica interna
iχ Fuerza termodinámica generalizada
ψ∗ Energía libre de Gibbs
r Variable interna de endurecimiento isotrópico
R Variable asociada de endurecimiento isotrópico
ijα Variable interna de endurecimiento cinemático
ijX Variable asociada endurecimiento cinemático
Y Tasa de liberación de energía de daño
sw Energía plástica almacenada
F Potencial de disipación
f función de fluencia
DF Potencial de disipación de daño
p Deformación plástica acumulada
ν Relación de Poisson
kkσ Traza del tensor de esfuerzos
x
Hσ Esfuerzo hidrostático
eqσ Esfuerzo equivalente
D
ijσ Esfuerzo deviatórico (componente i j)
Rν
Función triaxial
h Parámetro de cierre de micro defectos
γ Valor propio
ζ
Vector propio
Rσ Esfuerzo de ruptura
uσ Esfuerzo último
λ Multiplicador plástico
E Módulo de elasticidad instantáneo
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1. INTRODUCCIÓN
El fenómeno de fatiga se presenta en ingeniería cuando una estructura falla mediante la aplicación de cargas cíclicas cuyas magnitudes son considerablemente menores a la carga de falla en régimen cuasi-estático [1]. El daño progresivo y localizado debido a este estado de cargas se le denomina fatiga. Junto a esta característica, el estudio de fatiga es importante por varias razones. En primera medida, puede presentarse falla catastrófica de una estructura que soporta cargas en fatiga incluso cuando se piensa que esta se encuentra en un régimen de operación seguro. Esto ocurre porque las cargas que causan falla por fatiga suelen ser menores que la carga estática de falla. Además, el fenómeno de fatiga es muy frecuente en estructuras de ingeniería: puentes, edificios, aviones, submarinos, barcos, ejes de automóviles, rodamientos, troqueladoras o también partes de uso común en equipos deportivos; patines o bicicletas e incluso partes del cuerpo humano como las articulaciones. Por último, el fenómeno de fatiga puede ser excitado por factores como corrosión, humedad, temperatura o sobrecargas por impacto que incrementan el daño por fatiga.
Muchas investigaciones atribuyen ventajas al uso de adhesivos estructurales en condiciones de fatiga, entre ellas, el hecho que los concentradores de esfuerzo se distribuyen de manera más uniforme que en remaches o pernos —uniones mecánicas en general. Además, que el proceso de unión (pegue) no debilita explícitamente el adherente (sustrato). También, por su relación de resistencia por unidad de densidad. En general, el comportamiento en fatiga de los adhesivos es bueno pero también se tienen desventajas, entre ellas: los adhesivos son en su gran mayoría materiales poliméricos susceptibles a la fatiga por diferentes mecanismos. Adicionalmente, pueden existir concentradores de esfuerzo en el adherente o en el área de unión debido al proceso de manufactura. Por lo tanto si se utilizan adhesivos en condiciones de carga cíclica se deben investigar en detalle diferentes escenarios del material. Por ejemplo, se sabe que la región de interfase adhesivo-adherente es sensible a efectos ambientales y esto reduce la resistencia en fatiga de la unión adhesiva, también, el comportamiento viscoelástico de algunos adhesivos hace que se presente deformación progresiva (creep) y falla acelerada en fatiga.
Si se piensa con cuidado, un consumidor espera que una estructura sea usada por mucho tiempo y bajo diferentes condiciones de operación de tal forma que un diseñador tiene la tarea de satisfacer estas necesidades para un cliente potencial. Lo que el consumidor espera está fuertemente relacionado con las características de fatiga; i.e., cargas periódicas durante la vida útil de la estructura y en consecuencia la falla de la misma (que preocupa principalmente al diseñador) como resultado de la degradación de sus propiedades. Por lo tanto, la acumulación de daño por cargas cíclicas, y por ende la fatiga, es un fenómeno de
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ingeniería observado con gran frecuencia en la vida diaria —no necesariamente el más entendido. Ashcroft y Crocombe [1] resaltan que es complicado diseñar contra fatiga sin incurrir en grandes factores de seguridad debido a la dificultad para predecir la falla con precisión. Adicionalmente, monitorear el daño por fatiga tiene complicaciones tanto a nivel de ubicación de la pieza en servicio, por la dificultad y costo de pruebas no destructivas o porque el tamaño crítico de grieta puede ser muy pequeño y la falla se propaga rápidamente.
1.1. CONCEPTOS DE INICIACIÓN Y PROPAGACIÓN DE FATIGA
Existe, en términos mecánicos, diferencia entre daño y grieta. Una región se considera dañada —y no agrietada— cuando contiene micro-defectos que deterioran las propiedades macroscópicas del material incluyendo el caso en el cual una grieta no es apreciable. Por otro lado, una macro grieta es una irregularidad geométrica en el material con ubicación espacial y dimensiones conocidas. Desde luego estas consideraciones dependen del material y puede variar desde 1mm para polímeros hasta magnitudes cercanas a 100 mm para el concreto [2]. Con estas diferencias en mente se puede definir en términos de modelado dos aspectos de análisis: cuántos son los ciclos necesarios antes de la formación de una macro grieta y cómo se propaga una grieta; de esta forma se diferencian dos etapas de fatiga: iniciación y propagación, respectivamente.
Contrario a la fase de modelado, en la realidad los materiales adhesivos no presentan gran diferencia entre ambas etapas (i.e., inicio y propagación) y por lo tanto, en materiales adhesivos una diferenciación puramente mecánica es irrealista y por ello se entiende en un sentido pragmático; la iniciación se asocia con la detección de defectos [1]. Esto ocurre porque la unión adhesiva es un sistema multi-componente y el daño en fatiga debe involucrar la falla o daño (definido en la sección 3.2.1) en el adhesivo, el adherente o la unión de ellos. También, a nivel experimental algunos materiales fallan aceleradamente luego de presentar una grieta y puede presentarse el caso en que luego de evidenciada la grieta la vida útil de la estructura es de pocos segundos o pocos ciclos. De esta forma, detectar el daño previo a la formación de una grieta pude ser más útil porque analiza la mayor parte de la vida de una estructura, en este caso particular un adhesivo estructural.
En algunas investigaciones una diferenciación útil —en términos del modelo— es tratar la fase de iniciación como mecánica del daño hasta que se ha formado una grieta evidente y el crecimiento posterior mediante mecánica de la fractura. Algunas generalidades de diferentes modelos de fatiga en uniones adhesivas se presentan en la sección de anexos. Por ejemplo, con modelos de zona de cohesión (cohesive zone modelling) se utilizan elementos
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especiales para unir elementos continuos (continuum elements) logrando modelar comportamientos de iniciación y propagación de grietas
Es importante mencionar que la precisión de los diferentes modelos y la diferenciación de ambas etapas se ven afectadas por diferentes factores. Por ejemplo, los adhesivos comerciales contienen partículas de relleno como plastificantes (toughening particles) y el daño de estos materiales está asociado con mecanismos de formación, crecimiento y coalescencia de micro-grietas, fractura y segregación o desunión de partículas de relleno (particle debonding), entre otros. El fenómeno de fatiga en adhesivos es diferente a los metales debido a su proceso de manufactura y la naturaleza del material adhesivo en el cual se presenta porosidad (o micro-grietas) desde el inicio de la vida en fatiga.
1.2. CONSIDERACIONES EXPERIMENTALES EN ADHESIVOS
Ashcroft [1] menciona la importancia de la experimentación: “es imposible modelar fatiga sin usar resultados de pruebas experimentales”. Principalmente porque los resultados experimentales son usados para obtener las propiedades de cada componente de la unión. Una complicación en este sentido tiene que ver con que las propiedades de los adhesivos presentan dependencia del tiempo y la tasa de deformación varía temporal y espacialmente. Incluir estos efectos es difícil y con frecuencia se compromete algún factor, un caso particular se presenta al despreciar los efectos viscoelásticos lo cual ha presentado buenos resultados con temperaturas inferiores a la región de transición vítrea [3].
Adicionalmente, los ensayos se usan para encontrar los parámetros de los modelos a utilizar. Por ejemplo, en el caso de un modelo de crecimiento de grieta se usan ensayos de mecánica de la fractura para relacionar la tasa de liberación de energía de deformación (G)con la velocidad de propagación de grietas. Otro tipo de ensayos son aquellos que se hacen para validar los modelos de fatiga, en ellos se observa el número de ciclos hasta la falla. También, se ha intentado monitorear el crecimiento de grieta o el daño mediante técnicas ópticas o medición de deformación en la cara anterior de la unión (backface strain) en este campo se destacan Zhang y Shang, Crocombe, Graner-Solana y Shenoy [4-6]. Una propuesta diferente consiste en examinar probetas parcialmente fatigadas, se han utilizado dos grupos de técnicas: seccionamiento parcial [5-7] y mediante ultrasonido y fractografía de rayos x [8-9].
Las probetas más usadas en ensayos de uniones adhesivas son de tres tipos: de traslape simple (single-lap joint, SLJ) de traslape doble (double-lap joint, DLJ) o traslape alargado (lap-strap joint, LSJ) este último se prefiere para el estudio de iniciación y propagación de fatiga debido a que esta configuración extiende los puntos de carga y no hay “un punto” de
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falla en la unión, también porque se restringe la acumulación de creep [1]. En términos de normatividad existen dos documentos guía para la realización de ensayos de fatiga: BS EN ISO 9664:1995 y ASTM D3166-99 en los que se recomienda el uso de cuatro probetas ensayadas a tres diferentes amplitudes de esfuerzo (Sa) para un esfuerzo medio dado (Smn), de tal forma que la falla se produzca de 104-106 ciclos. Se recomienda el manejo estadístico de los datos BS 3518-5:1966.
En esta investigación se usan probetas del material adhesivos según la norma ASTM D638 para caracterizar algunas propiedades en fatiga del material. Más detalles se presentarán en la sección de resultados de este documento.
1.3. MOTIVACIÓN
¿Para qué puede ser interesante el estudio de fatiga en uniones adhesivas? Indudablemente para ser una herramienta y soporte de diseño de uniones adhesivas, garantizando que la falla por fatiga no ocurra durante el periodo de servicio.
Es de esperar que los modelos de fatiga se conviertan en una herramienta práctica de diseño eficiente, en términos de estructuras económicas, seguras y de alto rendimiento. Sin embargo, el estado de desarrollo de diferentes modelos no es aún preciso lo cual implica que en la mayoría de los casos se necesita un programa de experimentación complementario a la secuencia de modelado. Este análisis conjunto es importante para entender los mecanismos involucrados en la falla por fatiga. De esta forma, entender los mecanismos y poder monitorearlos en servicio será fundamental para crear estructuras más seguras.
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2. OBJETIVOS
2.1. GENERAL
Analizar la vida en fatiga de materiales adhesivos mediante el uso de la teoría CDM teniendo en cuenta la relación de: iniciación y propagación de grietas en condiciones de carga cíclica.
2.2. ESPECÍFICOS
Plantear un modelo de comportamiento de la variable daño como función de las cargas aplicadas y el material.
Caracterizar la variable daño en un adhesivo y calibrar el modelo con datos experimentales.
Determinar la exactitud de la predicción del modelo frente a los resultados experimentales en condiciones dinámicas.
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3. MARCO TEÓRICO
3.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE FATIGA
La característica principal de fatiga es la variación de la carga en el tiempo. Por lo tanto, se utilizan técnicas de caracterización de espectro de carga definiendo un ciclo (T) como el tiempo entre picos de carga adyacentes y la frecuencia (f=1/T) como el número de ciclos por unidad de tiempo.
Las pruebas experimentales, en laboratorio, reproducen condiciones de fatiga con cargas cíclicas de amplitud constante con diferentes formas de onda —comúnmente con ondas sinusoidales—. Este escenario se denomina fatiga de amplitud constante (CAF). Para describir este espectro de carga son necesarios tres parámetros, los más usados son la frecuencia, amplitud (Sa) y el esfuerzo medio (Smn). Otros parámetros utilizados se observan en la Figura 1 y Tabla 1. Es importante observar que esta curva también se puede construir en términos de carga, desplazamiento, factor de intensificación de esfuerzo o tasa de liberación de energía de deformación. En el caso de probetas simples, La caracterización del espectro de fatiga se puede realizar en términos de la carga aplicada o el desplazamiento. Para estructuras complejas, resulta conveniente hablar en términos de esfuerzo cíclico u otro parámetro como la tasa de liberación de energía de deformación (G).
Figura 1. Curva típica de CAF. Tomado de [1]
Tabla 1. Parámetros de caracterización CAF. Adaptado de [1]
Esfuerzo máximo Smax
Esfuerzo mínimo Smin
Amplitud de esfuerzo Sa
Esfuerzo medio Smn
Rango de esfuerzos ∆S Relación de esfuerzos R
Periodo T Frecuencia f
En el caso de adhesivos, debido al comportamiento viscoelástico, se puede presentar creepcuando el esfuerzo medio no es cero. Esta tendencia se acrecienta si se tienen bajas frecuencias. En el extremo opuesto, frecuencias altas pueden causar falla prematura debido al calentamiento por histéresis [9-11]. Finalmente, se bebe tener cuidado en el diseño de la
Str
ess
Time
Smax
Smn
Smin
∆S
T
S a
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unión, debido a que la mayoría de estas se diseñan a tensión y las cargas de compresión pueden generar pandeo accidental [1].
Adicional a las ondas sinusoidales, se utilizan formas diferentes de onda: cuadradas, trapezoidales, diente de sierra o triangulares; por ejemplo. Estas formas de onda se usan para estudiar la influencia de algunos comportamientos de los adhesivos. Por ejemplo, con un diente de sierra se presenta mayor crecimiento de grieta durante la carga y creep durante la descarga [1].
En situaciones reales el espectro de carga no es constante y en general se presenta cambio en una o todas la variables definidas en la Tabla 1, esto se conoce como fatiga de amplitud variable. Entonces, se debe caracterizar este tipo de espectros y reproducirlos en el laboratorio con fines de diseño. Esto se puede hacer mediante simulación pero generalmente se lleva a cabo con mediciones. Debido a que los ensayos pueden tomar bastante tiempo se escogen las secciones del espectro de carga relevantes para el análisis. Por ejemplo, si se monitorea el espectro de carga de un vuelo comercial se observa que algunas regiones poco interesantes para el análisis (e.g., un vuelo en el cual 80% del tiempo no hubo turbulencia). Una de las técnicas de aceleración más utilizadas es la reducción del espectro mediante superposición de bloques de amplitud constante que sean comparables a las zonas de interés del espectro medido.
Ahora bien, en el caso de los adhesivos se debe tener cuidado debido a que la naturaleza de su respuesta depende del tiempo. Por ejemplo, para metales —que en su mayoría son insensibles a efectos del tiempo— se suele acortar el tiempo de prueba aumentado la frecuencia del espectro. En un adhesivo se debe garantizar el espectro mantenga la secuencia de carga y los efectos del tiempo. Los trabajos de Al-Ghamdi, Ashcroft, Erpolat, Crocombe y Shenoy [5-6, 8, 10, 12-13] han modelado estos efectos mostrando parámetros importantes a tener en cuenta al utilizar técnicas de aceleración en adhesivos.
3.2. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DEL DAÑO
El objetivo de estudio, de la teoría CDM, es el de predecir la iniciación de grietas en estructuras sujetas a cargas elevadas. Los conceptos necesarios para desarrollar este objetivo están organizados en: la definición de una variable daño que puede ser escalar o tensorial, conceptos termodinámicos, esfuerzo efectivo y consideraciones del efecto del daño en tensión o compresión, mediciones del daño, leyes de daño y evolución, el acople de elasto-(visco)-plasticidad con la variable daño y el fenómeno de localización. Todos estos conceptos deben ser formalizados y en conjunto explican la etapa de iniciación de grietas.
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Antes de explicar cada concepto es importante aclarar tres puntos de partida. Primero, el desarrollo teórico se hace en el marco de medios continuos. Esto es importante porque el sentido físico del daño se asocia con la creación y crecimiento de micro huecos que son discontinuidades del material. En términos de ingeniería el medio continuo se representa mediante un elemento representativo de volumen (RVE) en el cual todas las propiedades están representadas por variables homogéneas (ver Figura 2). La ventaja de este RVE radia en que las discontinuidades son pequeñas comparadas con el tamaño del mismo.
Segundo, desde el punto de vista físico, el daño está relacionado con deformaciones plásticas o irreversibles [14] a escala meso —RVE— o escala micro —escala de discontinuidades—. En el primer caso se observa plasticidad a escala meso y se presentan los fenómenos de daño dúctil, daño por creep y daño por fatiga de bajo ciclo. En el segundo caso se conoce como falla frágil y se asocia con el caso de daño cuasi-frágil.
Tercero, las relaciones constitutivas de evolución del daño se han identificado para los tres tipos de daño principal: daño por fatiga, daño dúctil y daño por creep [15].
Tabla 2. Desarrollos históricos de CDM, Adaptado de [2]
1958 Reducción de la rigidez en creep asociada con una variable continua (Kachanov) 1968 Concepto de esfuerzo efectivo (Rabotnov) 1971 Principio de deformación equivalente: acople de daño y deformación (Lemaitre) 1972 Introducción del nombre “Continuum Damage Mechanics” (Hult) 1974 Primera aplicación de CDM a estructura en creep (Leckie, Hayhurst) 1975 Interacción creep-fatiga (Chaboche, Lemaitre, Chranowski) 1976 Relación teórica entre daño y elasticidad (Budiansky)
Medición de daño por pérdida de rigidez (Duffailly, Lemaitre) 1978 Variable de daño en el marco de termodinámica de procesos irreversibles (Chaboche, Lemaitre) 1979 Principio de energía equivalente para daño anisotrópico (Cordebois, Sidoroff) 1981 Definición de variables anisotrópicas de daño fenomenológicas y físicas (Murakami, Krajcinovic) 1981 Daño dúctil en estructuras (Tvergaard, Rousselier) 1983 Daño anisotrópico en materiales compuestos (Ladeveze)
1980/90
Aplicación de conceptos de daño a: Falla dúctil de estructuras Fatiga de bajos ciclos Compuestos Problema de localización del daño
1990/2000
Aplicación de conceptos de daño a: Falla frágil de estructuras Fatiga de altos ciclos Cerámicos Micro-mecánica del daño
Históricamente, el desarrollo de la teoría se ha dado en Europa, en gran medida. La introducción de los conceptos de CDM se inicia en Rusia con Kachanov, Murzewski (1958) y Rabotnov (1969). También en la década de 1970 se destacan trabajos realizados por
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investigadores ingleses (Leckie y Hayhurst, 1974), polacos (Chrzanowski, 1976) y japoneses (Murakami y Ohno, 1980)1. Sin embargo, es en Francia, durante la década de 1980, donde se formalizan los desarrollos teóricos de CDM; utilizando el marco termodinámico (Germain et al. [16]) y la búsqueda de aplicaciones sistemáticas en diferentes tipos de cargas y materiales (Lemaitre [15, 17] y Chaboche [18-19]). En estados unidos se hacen los primeros desarrollos teóricos en la década de 1980 (Krajcinovic [20], Voyiadjis y Kattan [21], Ju (1989), entre otros). La Tabla 2 presenta una línea histórica de algunos de los desarrollos hechos durante las últimas décadas según Lemaitre [2].
Los contenidos de este capítulo toman como base las explicaciones de dos autores principalmente; Lemaitre [14] y Chaboche [22]. La estrategia de explicación está enfocada en los desarrollos de la teoría para el caso de una variable de daño de tipo isotrópica (escalar). Siendo este el primer trabajado de investigación en utilizar esta teoría (en este grupo de investigación, GIE) se considera que el mejor camino a seguir es el de entender el caso más simple y presentar un modelo del cual se puedan extraer respuestas físicas y no puramente matemáticas. No obstante, la naturaleza de la variable daño es de tipo anisotrópico (tensorial) lo cual adiciona complejidad matemática y detalles conceptuales de los cuales se darán algunas generalidades. Para profundizar más en este tema se pueden consultar Chaboche et al. [18-19, 22-24], Voyiadjis y Kattan [25-27], Simo y Ju [28] o Krajcinovic [20].
3.2.1. DEFINICIÓN DE LA VARIABLE DAÑO
En un material se encuentran defectos de tipo volumétrico como micro-huecos o de superficie por ejemplo micro-grietas. La variable daño (D) se asocia con la densidad superficial de micro-grietas o micro-huecos que intersecan un plano de corte del RVE con sección transversal δS como se muestra en la Figura 2; este plano está orientado en la dirección de máxima densidad de defectos. Es claro entonces que la variable daño es de tipo tensorial debido a la orientación del plano de corte. En un caso isotrópico la densidad de defectos es la misma independientemente de la dirección de corte del RVE, es decir que las micro-grietas (o micro-defectos) están igualmente distribuidos en el RVE [15].
1 Las referencias completas pueden encontrarse en Chaboche [19]. No hacen parte de las referencias de este trabajo debido a que no se consultaron directamente y solo se utilizan como citas históricas.
10
Figura 2. Daño físico y modelo CDM. Tomado de [14]
Asumiendo un área de sección transversal δS definida por el vector normal n y el área de
defectos δSD. Entonces, el área efectiva de resistencia está dada por D
S S Sδ δ δ= − .
Kachanov (1958) fue el primero en definir la variable daño como:
DdS
DdS
= (3.1)
Esta definición asume la variable daño de tipo escalar e isotrópica. De esta forma D=0 corresponde al estado sin daño y D=1 describe la ruptura total del elemento. En el caso de metales se ha encontrado que el valor crítico de daño Dc se encuentra entre 0.2 y 0.8 [19].
A continuación se hace una pequeña explicación sobre la naturaleza tensorial de la variable daño. Debido a que la orientación natural de las micro-grietas es aproximadamente perpendicular a la dirección de esfuerzos principales positivos más grandes [14] (e.g. el círculo de Mohr bidimensional la dirección del cortante máximo). Entonces, se busca un operador que convierta la superficie Sδ con normal n —discontinua debido a los defectos
presentes en el material—en un área continua pero más pequeña D
S S Sδ δ δ= − con una
nueva normal n , ver Figura 2. Para conservar el sentido físico de la ecuación (3.1) se
utiliza el operador ( )1 - D . Expresando en forma matemática esta relación se obtiene la
ecuación tensorial expresada en cada componente.
( )ij ij j iD n S n Sδ δ δ− = (3.2)
Se observa que la variable D es un tensor de segundo orden en este caso. En forma más general esta variable es un tensor de cuarto orden según lo demuestra Chaboche (1978).
Una forma de observar la afirmación anterior—sin necesidad del formalismo matemático— es pensar en el daño como un operador que actualiza las propiedades reales de material, reduciéndolas en la medida en que se hace mayor el daño. De esta forma y ayudándose del
tensor de elasticidad rskl
E , se puede escribir:
11
( )ijrs ijrs rskl ijklI D E E− =
(3.3)
Donde I es el tensor unitario de cuarto orden, (I-D) es el operador de daño; desde luego un
tensor de cuarto orden y ijkl
E es el actual tensor de elasticidad “suavizado” por el daño.
Claramente, estas consideraciones adicionan complejidad en el modelo y por tal motivo no se considerará posteriormente la variable daño como un tensor.
3.2.2. CONSIDERACIONES GENERALES DEL CONCEPTO DE DAÑO
En esta sección se exponen comportamientos observados en la variable daño cuando se piensa en conjunto con procesos de deformación y propagación de grietas. A pesar de que la discusión utiliza principalmente materiales metálicos, y no adhesivos, resulta interesante porque aclara el concepto de daño. Al final de la explicación se hacen algunos comentarios relacionados con la mecánica de la fractura (FM). Se toma como base la explicación de Chaboche [22].
Figura 3. Esfuerzo deformación (a) sin daño (b) con daño. Tomado de [22]
La deformación irreversible se describe en el marco de medios continuos. Puede decirse que a nivel macroscópico la deformación no es completamente irreversible ya que podría re-deformarse el material a su forma original. Por el contrario en CDM se asume que el daño es una degradación definitiva del material a menos que el mismo se reprocese. En la Figura 3 se observa el comportamiento mecánico de un material sin daño y uno dañado. Para el material dañado se observa que el comportamiento no lineal del material se debe a la pérdida de rigidez (módulo de elasticidad) debido al daño incluso para una pequeña deformación plástica (durante la descarga). El concepto de continuo en la mecánica del daño tiene relación con la posibilidad de utilizar las variables de esfuerzo o deformación y sus promedios sobre el RVE para el análisis estructural.
12
En la Figura 4 se presenta un esquema de regiones asociadas con la evolución de daño característico de metales y polímeros [22], este gráfica está en función del número de ciclos pero tiene la misma forma en función de la deformación plástica [15, 19], por ejemplo, en el caso en una curva de esfuerzo-deformación con pasos de carga y descarga intermedios. En la región I el deterioro del material no es aparente y su efecto no es medible (e.g. como reducción de propiedades del material). La región II presenta nucleación y crecimiento de los efectos del daño. Por ejemplo, desunión o ruptura de partículas, ruptura de fases frágiles, acumulación de deformación muy localizada o en general micro-grietas (cavidades) dentro del RVE. Esto se evidencia mediante la reducción macroscópica de propiedades que además pueden ser medidas. En la región III los efectos del daño se concentran es decir presenta coalescencia en un defecto principal que puede considerarse una grieta mayor. Se considera entonces un estado final de ruptura del RVE y en este caso D=Dc. El algunos casos el uso de CDM cerca de esta región puede ser cuestionable [22].
Figura 4. Esquema de evolución del daño. Adaptado de [22]
Figura 5. Tamaños de defectos y dos definiciones de iniciación de grieta. Tomado de
[22]
Finalmente, para FM se considera una grieta macroscópica con tamaño y geometría identificados con claridad. Esta grieta crece en la estructura, el material se considera continuo y sin efectos de daño. A continuación se presenta un ejemplo tomado directamente de [22]. En el caso de fatiga en metales, como se observa en la Figura 5, las micro-grietas se desarrollan (nucleación) de forma cortante en las bandas de deslizamiento, generalmente en la superficie del espécimen. La iniciación de micro grietas puede ubicarse entre la región I y II; la profundidad de la grieta es del orden de magnitud del tamaño de grano. Luego la grieta se propaga de forma trasgranular convirtiéndose eventualmente en una propagación de modo I. Con un tamaño de grieta entre 5 a 10 veces el tamaño de grieta, cuando la interacción con los defectos adyacente es despreciables, en este momento es aceptable el uso del campo macroscópico de esfuerzos para analizar la macro-grieta y su propagación.
Daño
CiclosI II III IV
cD
nucleación
Interacción entre grietas y defectos
Localización de deformación y daño
No medible Reducción significativaen macro propiedades
CoalescenciaLocalización
Macrogrieta
13
3.2.3. CONCEPTO DE ESFUERZO EFECTIVO
Es el esfuerzo neto que actúa sobre el área efectiva D
S S Sδ δ δ= − .Rabotnov (1968)
relacionó la variable daño con el esfuerzo efectivo mediante un balance de fuerzas.
S Sσδ σδ= (3.4)
Utilizando (3.1) y (3.4) se obtiene el esfuerzo efectivo ij
σ para el caso isotrópico.
1
ij
ijD
σ
σ =
−
(3.5)
Un volumen dañado de material bajo un esfuerzo aplicado muestra la misma respuesta que un material sin daño aplicando el esfuerzo efectivo [19].
Sólo a manera de comentario, la generalización de este concepto, considerando el daño de tipo anisotrópico, es compleja. Se debe tener en cuenta la compatibilidad física y termodinámica de la variable D, la cual presenta un comportamiento particulares para cada caso a considerar, i.e., como tensor de segundo o cuarto orden. Los trabajos mencionados anteriormente de Chaboche y Lemaitre profundizan en este sentido.
3.2.4. HIPÓTESIS DE DEFORMACIÓN EQUIVALENTE
Todo comportamiento de deformación de un material dañado está representado por las ecuaciones constitutivas del material sin daño en cuyo caso el esfuerzo se reemplaza por el esfuerzo efectivo [15]. Por ejemplo, para un material dañado la ley de Hook puede escribirse mediante
eEσ ε= (3.6)
En palabras textuales de Chaboche, esta hipótesis puede reescribirse con ayuda del concepto de esfuerzo efectivo: “el esfuerzo efectivo σ es aquel que tendría que ser aplicado a un elemento del material sin daño para que se deforme de la misma forma que un elemento dañado aplicando el esfuerzo actual σ ” la Figura 6 muestra esta afirmación.
14
Figura 6. Esfuerzo equivalente según Chaboche [22]
Utilizando las ecuaciones (3.5) y (3.6) se observa que para un material dañado el módulo de elasticidad se afecta debido al daño D.
( )1E E D= − (3.7)
Es importante mencionar que también se puede utilizar un principio de equivalencia diferente para relacionar el estado actual del daño y el estado sin daño. Este principio se conoce como principio de energía equivalente (información más detallada puede encontrarse en Voyiadjis [26] y Chaboche [22]). No obstante, este trabajo sólo utilizará el principio de deformación equivalente.
3.2.5. EFECTOS DEL DAÑO
Al observar la ecuación (3.7) Se observa entonces un rasgo importante de la variable daño, esta actúa como un operador que reduce las propiedades del material [14].
Reduce el módulo de elasticidad Reduce el esfuerzo de fluencia antes y después del endurecimiento Reduce la dureza Aumenta la tasa de deformación por creep Reduce la velocidad de propagación del sonido Reduce la densidad Incrementa la resistencia eléctrica
Estas características pueden ser utilizados para medir la variable daño mediante métodos inversos, teniendo en cuenta las diferencias mecánicas del daño en tensión y compresión.
3.2.6. MARCO TERMODINÁMICO
La plasticidad y el daño al ser procesos de naturaleza irreversible pueden ser modelados con variables termodinámicas. Es decir, estudiar la conservación y trasformación de cada término energético asociado al proceso. El marco termodinámico es la herramienta que permite describir formalmente la teoría que se desarrollará en los siguientes capítulos. En
15
este sentido, esta sección se trata de la forma más general enunciando las variables en su forma primitiva. Las secciones de potencial de daño (sección 3.2.8) y evolución del daño (sección 3.2.11) muestran las soluciones específicas del modelo.
Para empezar, será necesario describir la primera y segunda ley de la termodinámica y luego hacer una pequeña generalización mediante la teoría de termodinámica de procesos irreversibles con variables internas.
Primera ley de la termodinámica. Esta ley es en esencia un balance de energías que puede ser descrito así: para cualquier parte del cuerpo, la tasa de cambio de su energía interna más su energía cinética es igual a la tasa de trabajo hecho sobre el cuerpo por las fuerzas mecánicas y las fuentes de calor. Suponiendo que un cuerpo Ω (o cualquiera de sus
partes ′Ω ) se mueve a una velocidad u y está sometido a una fuerza de volumen b , un
fuerza de superficie s —por ejemplo la tracción de un esfuerzo aplicado—, también una fuente interna de calor r —radiación— y flujo de calor por unidad de área que atraviesa la superficie q . De esta forma el balance de energía se puede expresar matemáticamente mediante:
( ) ( ) ( ) ( )21
ˆ2
de dx dx ds r dx ds
dtρ
′ ′ ′ ′ ′Ω Ω ∂Ω Ω ∂Ω
⎛ ⎞⎟⎜ + = ⋅ + ⋅ + − ⋅⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫u b u s u q n (3.8)
Donde e corresponde a la energía interna por unidad de volumen,ρ es la densidad, n el
vector normal exterior de la frontera ′∂Ω . El último término de esta ecuación tiene signo
negativo para representar el flujo de calor que entra en el cuerpo. Utilizando el teorema de la divergencia para convertir las integrales de superficie en integrales de volumen, el
teorema de Cauchy i ij js nσ= y la simetría del tensor de esfuerzos se puede simplificar la
ecuación (3.8). El desarrollo completo se pude encontrar en [29] páginas 25-34.
( )ˆ 0ij ij
e r dxσ ε
′Ω
− − +∇ ⋅ =∫ q (3.9)
En la ecuación (3.9) se ha usado que: el tensor tasa de deformación ijε es igual al gradiente
del vector de velocidad u . El último término de esta ecuación corresponde a la divergencia del flujo de calor. El cálculo de variaciones asegura que la única solución a esta igualdad es la nulidad dentro del término de la integral, por lo tanto se obtiene la primera ley de la termodinámica:
ˆij ij
e rσ ε= + − ∇ ⋅ q (3.10)
16
Segunda ley de la termodinámica. Se requiere la noción de entropía η—por unidad de volumen—. Para la explicación se utilizarán dos postulados:
La tasa de incremento de entropía en un cuerpo no es menor que la entropía total suministrada por las fuentes de calor, Han W. [29]
Desigualdad de Clausius-Duhem: la tasa de generación de entropía irreversible debe ser mayor o igual a cero, Valanis [30].
Ambos postulados son equivalentes. Para mirar esto se partirá del primero y se llegará al segundo. El flujo de entropía que cruza la superficie del cuerpo hacia el interior del mismo
se debe al flujo de calor ( )1T ds
′
−
∂Ω
− ⋅∫ q n , con T la temperatura absoluta. Por otro lado la
entropía suministrada hacia el exterior se relaciona con las fuentes internas de calor
( )1ˆT r dx
′
−
Ω
∫ . Por lo tanto del primer postulado se desprende:
( ) ( )1 1ˆ
ddx T r dx T ds
dtη
′ ′ ′
− −
Ω Ω ∂Ω
≥ − ⋅∫ ∫ ∫ q n (3.11)
Nuevamente, mediante el teorema de la divergencia y el cálculo de variaciones la ecuación (3.11) se puede escribir en forma simplificada como:
( )1 1ˆ 0T T rη
− −+ ∇ ⋅ − ≥q (3.12)
La ecuación (3.12) es en esencia el postulado de Clausius-Duhem. Ahora bien, para expresar la segunda ley de la termodinámica en su forma clásica, se debe hacer uso de la
energía libre de Helmholtz ψ que se define mediante:
e Tψ η= − (3.13)
Utilizando las ecuaciones (3.10), (3.12) y (3.13) se llega a la forma clásica de la segunda ley de la termodinámica (Chaboche [19], Han [29], Valanis [30] o Coleman [31])
0i
ij ij
i
q TT
T xσ ε ψ η
∂− − − ≥
∂
(3.14)
El último término de la desigualdad (3.14) es simplemente el producto punto del flujo de calor por el gradiente de la temperatura —escrito en sus componente— divido en la temperatura.
17
Termodinámica de procesos irreversibles con variables internas. Para terminar con la descripción de los fundamentos se hace una breve explicación de la teoría de termodinámica de procesos irreversibles con variables internas. Una explicación más detallada puede ser encontrada en Germain [16] y Han [29]. La idea principal en este campo es adicionar, a las variables convencionales; por ejemplo, temperatura o deformación, un grupo de variables internas que se relacionen con varios “mecanismos” —en las palabras de los autores mencionados anteriormente varias “reacciones”—.
Esta explicación parte de asumir un material en el cual la energía libre de Helmholtz y el
esfuerzo son función de la deformación y un conjunto de m variables internas iξ con i entre
1 y m. Estas variables pueden ser de naturaleza escalar o tensorial según el mecanismo que representen.
( )( )
1
1
, , ,
, , ,
m
m
ψ ψ ε ξ ξ
σ σ ε ξ ξ
=
=
…
…
(3.15)
En este caso la historia o antecedentes de las variables son importantes. Entonces, es necesario adicionar una ecuación de evolución en la cual la tasa de cambio de cada variable interna tiene la forma:
( )1
, , , 1i m
f i mξ ε ξ ξ= ≤ ≤ … (3.16)
De esta manera, se completa la descripción del comportamiento constitutivo de las variables internas. Ahora, si se presta atención al caso isotérmico y sin flujo de calor —con la finalidad de simplificar la ecuación (3.14)— se puede reescribir la segunda ley de la termodinámica teniendo en cuenta las variables internas2. Esto es, escribir la ecuación (3.14) con ayuda de las ecuaciones (3.15) y (3.16).
: 0ij ij i
ij i
ψ ψσ ε ξ
ε ξ
⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜ ⎟− − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.17)
Se pueden asumir ambos términos de la ecuación (3.17) como desacoplados (según
Chaboche [19, 23] e Ibijola [32]). Además, debido a la arbitrariedad del término ijε que
aparece en la ecuación (3.17) entonces se puede concluir que
2 Esto se puede hacer si las funciones son suficientemente suave que su derivada es continua, i.e., las funciones seleccionadas son diferenciables.
18
ij
ij
ψσ
ε
∂=
∂ (3.18)
Y definiendo las fuerzas termodinámicas i
χ asociadas con las variables internas iξ como:
i
i
ψχ
ξ
∂= −
∂ (3.19)
Resulta claro entonces de la ecuación (3.17) que
: 0i i
χ ξ ≥ (3.20)
La ecuación (3.20) es en esencia la tasa de disipación de los fenómenos modelados con las variables internas. Se observa además que estas disipaciones —que son un producto escalar— nunca son negativas. Finalmente, la importancia de las ecuaciones (3.18) y (3.19) es que permiten calcular la fuerzas termodinámicas como la derivada del potencial con respecto a su variable de estado (variable interna). Esto no es un resultado totalmente nuevo, por ejemplo, si se toma la derivada de la energía potencial gravitacional con respecto a su variable de estado (i.e., altura) se obtiene la fuerza (i.e., peso).
Adicionalmente, en algunos casos se desea calcular la variable interna como la derivada del potencial con respecto a la fuerza termodinámica. Esto se pude hacer si se utiliza para ello
el potencial como energía libre de Gibbs ψ∗ . En términos matemáticos esto corresponde a
una transformación de Legendre-Fenschel de la ecuación (3.17), con lo cual:ij
ij
ψε
σ
∗
∂=
∂
Con esto en mente, el modelado se desarrolla en tres etapas:
Definición de la variables de estado Definición del potencial de estado Definición del potencial de disipación
Las variables de estado permiten definir el estado del sistema para cada mecanismo del proceso. A partir del potencial de estado se hallan las leyes termo-elásticas y con ellas las variables asociadas a cada variable de estado. Finalmente, con el potencial de disipación se encuentran las leyes de evolución para las variables de estado.
19
3.2.7. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE ESTADO
Se definen las variables de estado y las variables asociadas según la Tabla 3:
Tabla 3. Variables termodinámicas de daño [14].
Variables de estadoVariables asociadas Mecanismo
Observable Interna
ijε
ijσ Termo-elasticidad
T η Entropía específica
p
ijε ij
σ− Plasticidad
r R Endurecimiento isotrópico
ijα
ijX Endurecimiento cinemático
D Y− Daño
Puede resultar obvio, pero es importante resaltar que según la discusión anterior las variables de estado observables son las variables convencionales, las variables de estado internas son “ellas mismas” (i.e. variables internas definidas en la sección anterior) y las variables asociadas son las fuerzas termodinámicas.
Se toma el potencial de estado como la energía libre específica3 de Helmholtz en función de las variables de estado. Lemaitre plantea que el potencial de estado se puede escribir como
la suma del potencial elástico e
ψ , el potencial plástico p
ψ y el potencial térmico T
ψ . Sin
embargo resulta conveniente realizar una transformación —de Legendre— a la función
potencial para que pueda ser escrita en términos de la energía libre específica de Gibbs *ψ .
*1
ij ijψ σ ε ψ
ρ= − (3.21)
Esta ecuación dice que la energía libre o energía disponible es igual al trabajo realizado sobre el material menos la energía recuperable. En la ecuación (3.21) se separan los
términos de la deformación total en su parte plástica y elástica — p e
ij ij ijε ε ε= + — y cada
potencial de Helmholtz.
3 El término “específico” tiene en cuenta que la energía se define por unidad de densidad. Esto es importante al momento de comparar algunas de las referencias bibliográficas en las cuales no aparece el término 1/ρ
20
* *
*
1
1
p
e ij ij P T
e
e ij ij e
ψ ψ σ ε ψ ψρ
ψ σ ε ψρ
= + − −
= −
(3.22)
La contribución elástica, *
eψ , se ve afectada por el daño debido al concepto de esfuerzo
equivalente y el principio de deformación equivalente. El término asociado a la
temperatura, T
ψ , define parcialmente la capacidad calorífica del material. La parte
asociada con el componente plástico es la contribución debido al endurecimiento —isotrópico y cinemático— y por lo tanto sólo depende de las variables de plasticidad definidas en la Tabla 3.
A partir del potencial de estado se definen todas y cada una de las variables de estado: derivando el potencial con respecto a cada una de sus variables asociadas. Este resultado obtiene directamente de las ecuaciones (3.18) y (3.19):
**
*
*
*
*
*
ij
pe
ij ij
ij ij
e e
ij
ij
ij
X
T
Rr
YD
ψψε ρ ρ ε
σ σ
ψε ρ
σ
ψη
ψρ
ψρ
α
ψρ
∂∂= = +
∂ ∂
∂=
∂
∂=
∂
∂= −
∂
∂= −
∂
∂− = −
∂
(3.23)
Los signos de las ecuaciones en (3.23) son arbitrarios [22] y corresponden a la idea intuitiva que el daño reduce la rigidez del material. Es por esto que se selecciona como variable interna de daño Y− . Hasta este punto se ha dado respuesta a la pregunta ¿qué es cada variable? O ¿cómo se calcula cada variable?
De ahora en adelante, la explicación busca responder ¿en qué forma cambia cada variable? o ¿Hacia dónde se mueven las variables? esto se logra mediante la segunda ley de la termodinámica escrita en términos de las variables internas.
21
¿En qué forma cambia cada variable? En este punto es conveniente definir la energía almacenada
sw en un RVE: la energía neta del potencial de plasticidad
Pψ .
( )0
t
s p ij ijw Rr X dtρψ α= = +∫ (3.24)
Por lo tanto resulta evidente
s p ij ijw Rr Xρψ α= = +
Utilizando el segundo principio de la termodinámica escrito mediante la desigualdad de Clausius-Duhem teniendo en cuenta que existe flujo de calor —i.e., ecuación (3.14)—. Se obtiene directamente de la ecuación (3.20).
0p i
ij ij s
i
q Tw YD
T xσ ε
∂− + − ≥
∂
(3.25)
La deducción formal de la ecuación (3.25) puede encontrarse en [32] en combinación con [29]. Esta ecuación dice que la suma del término de disipación debido a la potencia plástica
—energía por unidad de tiempo— ( p
ij ijσ ε ), menos la tasa de energía almacenada —por
unidad de densidad— (s
w ), más la disipación debido al daño (YD ), memos la energía
térmica, es convierte en calor.
El cambio en las variables asociadas se define a partir de una función que depende de la tasa de cambio de las variables internas, i.e., pseudo-potencial de disipación [16]. El potencial de disipación (F) es una función convexa de las variables de estado para garantizar el cumplimiento de la ecuación (3.25).
( ), , , ,ijij
XF F R Yσ η=
Lemaitre propone el potencial de disipación como la suma de los siguientes términos: endurecimiento cinemático no lineal (FX), el potencial de daño (FD) y la función de fluencia (f). F = f+ FX+ FD. La función de fluencia es cero cuando el esfuerzo aplicado es igual al esfuerzo de fluencia independientemente de que se presente o no endurecimiento, la función de fluencia es negativa en el rango elástico incluso cuando este ha cambiado por el endurecimiento —descarga elástica—.
De esta forma las leyes de evolución para las variables de estado se escriben formalmente en término de la derivada del potencial de disipación F con respecto a las variables
22
asociadas teniendo en cuenta el multiplicador plástico que aparece por la regla de normalidad4 (normality rule):
( ) ( )
( )
( )
( )
p
ij
ij ij
ij
ij
F F
Fr
R
F
X
F FD
Y Y
ε λ λσ σ
λ
α λ
λ λ
∂ ∂= − =
∂ − ∂
∂= −
∂
∂= −
∂
∂ ∂= − =
∂ − ∂
(3.26)
Para el caso de plasticidad el multiplicador plástico se calcula mediante las condiciones de
consistencia 0f = y 0f = . Y las condiciones de carga o descarga conocidas como
condiciones de Kuhn-Tucker 0λ ≥ , 0f ≤ y 0fλ = .
En el caso de visco-plasticidad el multiplicador plástico es una función explicita del esfuerzo y las variables de endurecimiento —función de viscosidad (viscosity function)—
Finalmente, se define la tasa de deformación plástica acumulada (p ) como:
2
3
p p
ij ijp ε ε= (3.27)
Con esto se completa la definición formal del comportamiento elasto-(visco)-plástico acoplado con daño. Las variables del problema y su evolución.
3.2.8. POTENCIAL DE DAÑO ISOTRÓPICO
Tomando el potencial de estado como la energía libre de Gibbs, se propone una función potencial en términos de las variables internas, a partir de la ecuación (3.22) se tiene:
( ) ( )* *, , , , , ,
e p
e ij ij P ij ijD T r Tψ ψ ε σ ψ ε α= + (3.28)
En esta ecuación se observa que el componente plástico del potencial no está acoplado con el daño. Esto implica que incluso cuando se almacena energía en el RVE debido al
4 En el espacio de esfuerzos, el tensor de tasa de deformación plástica p
ijε es perpendicular a la superficie de
fluencia f.
23
endurecimiento, las variables de este mecanismo (i.e., ij
α o r ) no son una función explicita
del daño D . Por otra parte el componente elástico de potencial sí depende del daño, esto es un resultado directo de la hipótesis de deformación equivalente. En el rango elástico el esfuerzo y la deformación presentan una relación lineal en cuyo caso la relación debe escribirse en términos del esfuerzo equivalente. La energía específica almacenada en el rango elástico puede escribirse como —área bajo la curva esfuerzo-deformación—
*1 1
(1 )2 2
e e e
e ij ij kl ijkl ijE Dρψ σ ε ε ε= = − (3.29)
Otra forma clásica de presentar este potencial [14] resulta de reemplazar la relación entre el esfuerzo y la deformación, para un material elástico e isotrópico, y sus propiedades mecánicas módulo de elasticidad E y la relación de poisson ν .
( )( )11
e
ij ij kk ijEε σ ν νσ δ
−
= + − (3.30)
Utilizando la ecuación (3.29) y (3.30), además teniendo en cuenta el efecto de deformación por gradientes de temperatura se puede reescribir la función potencial mediante.
( )( )
2
*1
2 (1 ) (1 )
ij ij kk
e ref kkT T
E D D
ν σ σ σρψ ν α σ
+= − + −
− − (3.31)
El objetivo final de este potencial es poder encontrar la forma analítica de la variable Ysólo a manera de ejemplo se presentan los resultado para otras variables de tal forma que sea fácil familiarizarse con la función potencial. Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.23) y (3.28) es importante observar que.
**
e e
ij
ij ij
ψψε ρ ρ
σ σ
∂∂= =
∂ ∂
Realizando la derivada se encuentra la forma analítica para la deformación en rango elástico.
( )( )
1e
ij ij kk ij ref ijT T
E E
ν νε σ σ δ α δ
+= − + − (3.32)
De igual manera se puede calcular el esfuerzo:
24
*
(1 )e
ij kl ijkle
ij
E Dψ
σ ρ εε
∂= = −
∂ (3.33)
Estos resultados eran de esperarse y se muestran, para el caso unidimensional, en la Figura 7.
Figura 7. Esfuerzo efectivo y deformación equivalente. Adaptado de [22]
Ahora, para encontrar una función analítica para Y se toma la derivada parcial del potencial con respecto a la variable de estado D . Reorganizando los términos se obtiene:
( )( ) ( )
22*
2
21 3 1 2
32 1
eq H
eq
YD E D
σ σψρ ν ν
σ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟= = + + − ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (3.34)
Donde eq
σ es el esfuerzo equivalente de Von mises, H
σ es el esfuerzo hidrostático. El
término entre paréntesis se conoce como función triaxial Rν
y puede verificarse fácilmente
que esta función es positiva.
( ) ( )2
3
3
2
21 3 1 2
3
kk
H
D D D
eq ij ij ij ij H ij
H
eq
Rν
σσ
σ σ σ σ σ σ δ
σν ν
σ
=
= → = −
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
(3.35)
ε
ε
σ
σ
(1 )E E D= −
0
E
25
Donde el componente deviatórico del tensor de esfuerzos esta denotado por D
ijσ . De esta
forma Y se escribe analíticamente mediante:
2
2
eqR
YE
νσ
=
(3.36)
¿Cuál es el significado de Y? Es importante resaltar algunas propiedades de Y : es una función cuadrática del esfuerzo equivalente y siempre es una cantidad positiva. A partir de las ecuaciones (3.20) y (3.25) se puede escribir
0YD ≥
Lo cual, junto a la discusión que se acaba de hacer, implica que el daño siempre es incremental lo que se denominará irreversibilidad del daño. Ya conociendo algunas particularidades de la variable se quiere responder cuál es el sentido físico deY . Para empezar, se observa de la ecuación (3.29) que:
*1 1
2 2
ijkle e e e
kl ij kl ijkl ij
EY E
D D
ψρ ε ε ε ε
∂∂= = − = −
∂ ∂
(3.37)
Es claro entonces que Y− se parece a una energía (ver Figura 7). Utilizando una variable
intermedia que defina la variación de energía elástica — ( )e ij ijdW dσ ε= — se puede
demostrar [22, 32] que
1
2
edW
YdD
= (3.38)
Por analogía con la teoría de mecánica de la fractura y el parámetro G. Se denomina Ycomo tasa de liberación de energía de daño. Se puede entender esta variable como la energía necesaria para propagar el daño.
Un comentario adicional es importante en este punto, la afirmación hecha anteriormente
tiene como punto de partida asumir que el potencial asociado con la plasticidad P
ψ es
independiente del daño. Chaboche [22] generaliza este punto y bajo esta generalización Ypierde parcialmente la interpretación presentada. No obstante, en cualquier caso Y es una variable de estado que describe el mecanismo de daño.
Concepto de esfuerzo de daño equivalente. Si se observa el caso multiaxial y el uniaxial, se desea responder la pregunta ¿bajo un esfuerzo aplicado existe una equivalencia
26
energética entre estos dos casos? Lemaitre [14-15] define el esfuerzo de daño equivalente *
σ como el esfuerzo que en el caso uniaxial tiene la misma cantidad de energía elástica de
deformación eW que un estado de esfuerzo multiaxial.
En el caso elástico isotrópico e isotérmico es fácil observar; de las ecuaciones (3.29), (3.37) y (3.38), que.
* (1 )e e
W Y Dρψ= = − (3.39)
Desde luego en el caso uniaxial 1Rν= . Entonces *
σ se escribe analíticamente mediante
2*2
2 (1 ) 2 (1 )
eqR
E D E D
νσσ
=
− −
(3.40)
* 1/2eqR
νσ σ= (3.41)
El esfuerzo de daño equivalente se puede usar para escribir cualquier ecuación constitutiva de daño tridimensional (isotrópica) de la misma forma que en el caso unidimensional [15].
Efectos del daño en compresión y tensión. Finalmente, para terminar de explicar el comportamiento de la variable daño se hace una breve discusión sobre el efecto de la dirección de la carga. Se ha observado que en algunos materiales el efecto en tensión y en compresión sobre la variable daño tienen diferentes magnitudes. Este comportamiento es característico de materiales frágiles. Lemaitre muestra que no es necesario el uso de una nueva variable de estado para evaluar este comportamiento. En cambio, se utiliza un parámetro que modifica la magnitud del comportamiento del daño en tensión y compresión.
Para el caso unidimensional el esfuerzo efectivo se comporta diferente en tensión y en compresión. El “daño total” se puede evaluar midiendo los módulos efectivos en tensión
E+ y compresión E− en relación con el módulo del material sin daño E .
En tensión se tiene la ecuación (3.5), donde el daño se puede evaluar mediante:
1E
DE
+
= −
(3.42)
En compresión se tiene
1E
hDE
−
= −
(3.43)
27
Siendo h parámetro de cierre de micro defecto el cual se puede deducir a partir de las anteriores ecuaciones.
E Eh
E E
−
−
−
=
−
(3.44)
Se observa entonces que h depende del material. Sin embargo en muchos experimentos se ha encontrado un valor cercano a 0,2.
En forma general, el comportamiento distintivo entre compresión y tensión se denomina condición cuasi-unilateral de cierre de micro-defectos y ocurre por el incremento en el área efectiva de carga en compresión con lo cual se recupera parcialmente la rigidez del material. La complicación de este concepto es evidente en el caso multiaxial con la necesidad de definir qué está en tensión y qué en compresión. El fundamento teórico para tratar esta situación se relaciona con la definición de la parte positiva y negativa del tensor de esfuerzos; definidos a partir sus valores y vectores propios.
Primero, se define el operador . —corchetes de Macaulay o función rampa—
0
0 0
x si xx
si x
⎧ ≥⎪⎪= ⎨⎪ ≤⎪⎩
(3.45)
La parte positiva del tensor simétrico +
h se puede escribir para cada uno de sus
componentes —ij
+
h — en términos de sus valores propios n
γ y vectores propios nζ
.
3
1
n n
n i jijn
γ ζ ζ+ − +
=
= ⇒ = −∑h h h h (3.46)
Con este fundamento teórico se puede reescribir el potencial de estado para que se tenga en cuenta el comportamiento en tensión y compresión. En este trabajo solo se presentará el resultado para la variable Y el cual será de utilidad más adelante. La deducción completa se puede encontrar en [14]. En forma general, luego de plantear el potencial de estado se deriva con respecto a D y se obtiene.
( )2 2
2 2 2 2
1
2 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
kk kkij ij ij ijY h h
E ED hD D hD
σ σ σ σ σ σν ν
+ + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(3.47)
28
En conclusión, se han definido funciones analíticas para las variables del problema y se han hecho consideración del comportamiento de estas variables en tensión y compresión. Con esto se responde la pregunta ¿Qué es cada variable? Más adelante se discutirá cómo cambia cada variable.
3.2.9. MEDICIÓN DEL DAÑO
Se discuten a continuación las generalidades de los métodos de medición de la variable daño. No se pretende explicar en detalle las diferentes técnicas porque algunas de ellas no son aplicables al objetivo de este trabajo. Sin embargo, se hará una lista de referencias que tratan los diferentes métodos en detalle.
Los métodos de medición pueden ser clasificados en dos grandes grupos, mediciones directas e indirectas. El primer grupo parte de la definición de la variable daño —ecuación (3.1)— con esta técnica se busca medir la densidad superficial de microdefectos mediante microscopía. Implementar esta técnica resulta difícil porque se necesitan laboratorios con equipos especializados y mucha destreza técnica para interpretar los datos. Está técnica no se utiliza frecuentemente pero algunos ejemplos pueden observarse en [33].
El segundo grupo, mediciones indirectas, aprovecha el sentido físico de la variable daño. Esto es, la forma en que el daño afecta las propiedades macroscópicas del material (sección 3.2.5) de esta forma se pueden realizar diferentes ensayos y medir el cambio de las propiedades durante diferentes condiciones del experimento.
La necesidad de medir el daño es interesante en tres diferentes dominios de aplicación [33]
Formular las leyes de evolución de daño e identificarlas en cada material. A partir de estas relaciones constitutivas se realizan cálculos predictivos del funcionamiento de estructuras en servicio.
Con propósitos de seguridad y control, realizando mediciones directas durante el servicio de una estructura.
La necesidad de evaluar el daño de partes que hayan fallado con la finalidad de determinar las causas del accidente.
Uno de los métodos más usado es el de medir el cambio en el módulo de elasticidad mediante un ensayo de tensión para el cual se aplican ciclos de carga y descarga hasta que ocurre la falla de la probeta. Para el caso de daño isotrópico la ley de elasticidad para tensión uniaxial se escribe.
29
(1 )e
E D E
σ σ
ε = =
−
(3.48)
Midiendo el módulo de elasticidad durante la descarga se puede calcular el daño mediante.
1E
DE
= −
(3.49)
El daño puede ser graficado como función de la deformación plástica acumulada p . En
este caso Lemaitre [14] recomienda que se realice un ensayo de bajo ciclo —ruptura de 10 a 100 ciclos— a deformación constante. La deformación plástica para este caso se puede
calcular mediante 2p
p N ε≈ ∆ . La Figura 8 muestra un ejemplo de medición del daño con
este método. En este caso se observan algunas características interesantes de la gráfica de evolución del daño; existe un rango de deformación plástica en el cual no hay daño y en la medida en que el daño se acerca a la unidad se presenta la falla del espécimen —RVE—.
Figura 8. Ejemplo de medición de daño [33]
Tabla 4. Métodos de medición de daño. Tomado de [33]
Daño Frágil Ductil Creep
Fatiga de bajo ciclo
Fatiga de alto ciclo
Micrografía DS
DS
∂=
∂
* ** ** * *
Densidad 2/3
1Dρ
ρ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
** * *
Módulo de Elasticidad 1
ED
E= −
** *** *** ***
Ondas de Ultrasonido
2
1Dυ
υ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
*** ** ** * *
30
Amplitud de Esfuerzo cíclico *
1Dσ
σ
∆= −
∆
* * ** *
Creep ternario
1/*
1
N
p
p
Dε
ε
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
* *** *
Microdureza *
1H
D
H
= − ** *** ** *** *
Resistencia eléctrica 1
VD
V= −
* ** ** * *
*** Muy bueno ** Bueno * Podría intentar No lo intente
La Tabla 4 presenta el resumen de varias formas de medición de daño. No presenta mayor detalle al respecto pero la deducción formal de cada caso y ejemplos específicos pueden encontrarse en: Bonora [34], Lemaitre et al. [14-15, 33], Chandrakanth [35], Celentano y Chaboche [36].
3.2.10. PRELIMINARES DE LA TASA DE DAÑO
En la Figura 4 y Figura 8 se observan dos puntos extremos del comportamiento de la evolución del daño. El primero corresponde al punto en el cual el daño es cero incluso cuando la deformación plástica acumulada no es cero y un segundo punto en el cual no hay más daño. Estas condiciones se conocen como límite de daño (damage threshold) e iniciación de una mesogrieta, respectivamente.
El límite de deformación plástica acumulada D
p es el punto a partir del cual el daño deja de
ser nulo. Este punto depende del tipo de material pero más aún está fuertemente relacionado con el tipo de carga. Este comportamiento, de iniciación del daño, se produce porque se debe acumular una determinada cantidad de energía —como deformación plástica— que al llegar al límite genera daño. Se denomina la energía almacenada de daño
límite como D
w y es una propiedad del material [14]. La Figura 9 muestran las
características explicadas anteriormente —es importante recordar que s
w es la energía
almacenada por endurecimiento y está dada por la ecuación (3.24)—
31
Figura 9. Límite de daño, deformación plástica y energía almacenada [14]
A partir de observaciones fenomenológicas se han desarrollado expresiones analíticas para
las variables D
w y D
p [14]. No se presentan estas ecuaciones porque pueden confundir y
sobrecargar la discusión cualitativa que se está desarrollando. Además, porque incluso con estas expresiones se debe tener en cuenta que la forma más precisa para encontrar estos parámetros es mediante experimentación; se realiza un ensayo en el cual se calcula la
energía almacena s
w , durante el experimento también se registra el punto en el cual el daño
deja de ser cero, entonces.
max en el inicio del dañoD s
w w= (3.50)
Como D
w es una propiedad del material entonces se observa, de la Figura 9, que se puede
hallar gráficamente el valor del límite de deformación plástica acumulada para diferentes tipos de carga.
Iniciación de una mesogrieta. En este punto la densidad de defectos alcanza un valor de saturación que genera inestabilidad y ruptura del RVE. El valor de daño crítico
cD es
una propiedad del material que se puede calcular con facilidad, con una prueba de tensión, aplicando el concepto de esfuerzo efectivo en el punto del esfuerzo último. Cuando se observa el daño en el punto de saturación de endurecimiento, el esfuerzo se reduce del esfuerzo último
uσ hasta el esfuerzo de ruptura
Rσ de tal forma que en condiciones
isotrópicas de daño se tiene.
1
R
R u u
cD
σ
σ σ σ= ⇔ =
−
(3.51)
El daño crítico se puede calcular a partir de una prueba de tensión a partir de la ecuación (3.51) mediante.
32
1R
c
u
Dσ
σ
= − (3.52)
El valor del daño crítico es una cantidad que encuentra entre 0.2 y 0.5 para muchos materiales [14].
3.2.11. EVOLUCIÓN DEL DAÑO
Finalmente, en esta sección se presentará la construcción total del modelo a utilizar en este trabajo. Es evidente que el modelo no es una invención propia. De hecho, este modelo se conoce como modelo de daño de Lemaitre. El esfuerzo hasta este punto se ha enfocado en presentar el modelo de la forma más detallada posible describiendo los principios fundamentales con los cuales se construye.
Tal como se mencionó anteriormente (sección 3.2.7), Lemaitre propone que el potencial de
disipación F es la suma de función de fluencia f y el término de disipación de daño D
F .
( ) ( ), , ,ij ij D
F f X R F Y Dσ= + (3.53)
A partir del desarrollo termodinámica presentado en la sección 3.2.6, utilizando la segunda ley de la termodinámica, se puede encontrar la forma analítica para la evolución de cada variable de estado a partir del potencial de disipación F —ecuación (3.26)—. La variable que gobierna la evolución del daño es la tasa de liberación de energía de daño Y . por lo tanto en esencia el potencial de disipación es una función de Y . Adicionalmente, se ha observado experimentalmente que el daño cambia con la deformación plástica, esta variable
es introducida mediante el parámetro multiplicador plástico λ .
DFF
DY Y
λ λ∂∂
= =∂ ∂
(3.54)
Como primera medida se debe encontrar la relación entre el multiplicador plástico λ y la deformación plástica p acumulada de tal forma que el modelo se puede representar en
términos de variables naturales —que se puedan medir—, para ello se necesita la función de fluencia.
33
La función de fluencia se puede escribir a partir de la teoría de plasticidad, para el endurecimiento isotrópico y cinemático5, bajo el criterio de Von mises.
( )ij ij yeqf X Rσ σ= − − − (3.55)
Con y
σ el esfuerzo de fluencia y
( )3
2 1 1
D D
ij ij
ij ij ij ijeqX X X
D D
σ σ
σ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− = ⎜ − ⎜ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠
(3.56)
A partir de la ecuación (3.26) se encuentra el tensor de tasa de deformación plástica p
ijε
( )3 1
2 1
D
ij
ijp
ij
ij ij ij ij eq
XF f D
X D
σ
λε λ λ
σ σ σ
−∂ ∂ −
= = =∂ ∂ − −
(3.57)
Recordando la definición de p —ecuación (3.27)— y el resultado de la ecuación (3.57).
( )
22
2
1 12 3
3 2 1
D D
ij ij
ij ij
ij ij eq
X XD D
pDX
σ σ
λ
σ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟⎟ ⎜⎜= ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠−
(3.58)
1p
D
λ=
−
(3.59)
Retomando la ecuación (3.54) ahora es necesario plantear la disipación de daño D
F . Este es
un punto divergente en el sentido que podrían existir muchas funciones para este potencial. Lemaitre hace la siguiente propuesta argumentando “bajo resultados experimentales una
buena función para D
F debe ser no lineal en Y , una buena opción es”
( )( )
1
1 1
s
D
S YF
s D S
+
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜+ − ⎝ ⎠ (3.60)
5 Sólo se hace un comentario en este sentido. En el espacio de esfuerzos —e.g. los ejes coordenado de las gráficas de teorías de falla en dos dimensiones— el endurecimiento isotrópico es el responsable del crecimiento de la superficie de fluencia. El endurecimiento cinemático permite el cambio de origen de la superficie de fluencia.
34
Donde s y S son parámetros que dependen del material. Si se observa la Figura 4 y Figura 8 se ve claramente que la ecuación (3.60) es “una buena función de disipación”. Para hacer explícita esta afirmación se resuelve la ecuación (3.54) —con ayuda de la ec. (3.59)—.
s
YD p
S
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (3.61)
Dependiendo del valor de s el daño puede ser una función lineal o potencial de Y . Adicionalmente, qué tanto cambia el daño, dependiendo de la cantidad de energía necesaria para hacer crecerlo (i.e.,Y ), depende del material y es controlado por la magnitud de S .
La deformación plástica acumulada p unifica varios modelos:
Para daño dúctil: está gobernado por teoría de la plasticidad. Daño por creep: gobernado por leyes de viscoplasticidad (e.g., Norton). Daño por Fatiga: calculado por plasticidad cíclica. Daño cuasi-frágil: plasticidad a escala micro.
Este modelo es válido mientras 0c
D D≤ ≤ fuera de este rango no tiene sentido físico; en
un caso el daño no es apreciable y en el caso opuesto el RVE se ha roto. Con esto se termina la descripción formal de modelo.
3.2.12. COMENTARIOS FINALES
Se presenta a continuación un resumen del modelo.
si max
0 de lo contrario
inicio de una mesogrieta
s
s D
c
YD p w w
S
D
D D
⎛ ⎞⎟⎜= ≥⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠=
= →
(3.62)
Donde
( )0
t
s ij ijw Rr X dtα= +∫ (3.63)
Con D
w un parámetro del material.
Si no hay diferencia en el comportamiento en tensión y compresión
35
( ) ( )
2
2
2
21 3 1 2
3
eq
H
eq
RY
E
R
ν
ν
σ
σ
ν ν
σ
=
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
(3.64)
Siendo eq
σ el esfuerzo de Von mises y H
σ el esfuerzo hidrostático.
Si hay diferencia en el comportamiento en tensión y compresión
( )2 2
2 2 2 2
1
2 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
kk kkij ij ij ijY h h
E ED hD D hD
σ σ σ σ σ σν ν
+ + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(3.65)
Finalmente, 0.2h ≈ y c
D es un parámetro del material.
En la bibliografía revisada este es el modelo más sencillo y además se ajusta bien a resultados experimentales [2, 14-15, 22, 26]. Como se mencionó en la sección 3.2 esto se considera suficiente para este trabajo. Modelos que tienen en cuenta consideraciones más generales pueden ser encontrados en Chaboche [22].
El autor desea hacer una anotación personal: espera que el lector de este documento haya encontrado interesante la discusión. Principalmente porque es una forma novedosa —e ingeniosa— de plantear el problema de la influencia de los defectos en el comportamiento del material ante diferentes estados de carga.
El autor considera que el valor real de este documento está en describir un grupo de conceptos y sus implicaciones de una forma conjunta. Más que haber innovado con un nuevo punto de vista este marco teórico agrupa las ideas, el ingenio y el aporte de diferentes autores que desarrollan de forma sólida una teoría que puede llegar a ser de gran utilidad para la mecánica. En conclusión, este documento puede ser un buen punto de partida para estudiar la teoría de mecánica del daño.
36
4. FASE EXPERIMENTAL
El primer paso será exponer la metodología planteada por Lemaitre [14] para la identificación rápida de los parámetros de daño del material (capítulo 1.4.4 en Engineering damage mechanics). Luego se hará una presentación de cada fase experimental realizada para la identificación de estos parámetros, i.e., curva esfuerzo deformación y de Whöler.
4.1. IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS PARA EL MODELO DE DAÑO DE LAMAITRE
Los parámetros de daño pueden identificarse en dos ensayos comunes mediante de datos de tensión y fatiga. También pueden identificarse estos parámetros en libros o fichas de especificaciones técnicas. No obstante, los mejores datos provienen de ensayos de fatiga de bajo ciclo en probetas de tensión-compresión y con desplazamiento controlado [14, 33].
Los parámetros necesarios son:
De la ley de daño , , ,E S sν
Del límite de daño , , ,pD f u
mε σ σ∞
De la condición de iniciación de mesogrieta c
D
Identificación parcial a partir de un ensayo de tensión. Con este ensayo se pueden identificar los siguientes parámetros:
Modulo de Young E y relación de Poisson ν . Esfuerzo de fluencia
yσ y esfuerzo último
uσ .
Esfuerzo de ruptura R
σ y deformación plástica de ruptura pR
ε
Parámetro de encuellamiento Z a partir del área inicial o
S y el área final R
S .
Se puede desarrollar la relación [14]
( )2
*
2
s
uc pR pD
DES
σ
ε ε
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ (4.1)
con
1R
c
u
Dσ
σ
= − (4.2)
( )pD p uε ε σ σ≈ = (4.3)
37
( )*2 1 1
pR
o R
o
Z
S SZ
S
ε = − −
−
=
(4.4)
Donde S y s son parámetros desconocidos para los cuales se requiere un ensayo de fatiga.
Identificación final a partir de un ensayo de fatiga. Lemaitre [14] desarrolla una relación analítica para el número de ciclos hasta ruptura
RN del material en función de los
parámetros de daño del mismo.
La idea general es asociar el cambio en el daño para un ciclo y luego integrar la función de evolución de daño; desde la condición de límite de daño hasta el número de ciclos de
ruptura R
N . Es importante resaltar que en la condición de límite de daño existe un número
de ciclos D
N en los cuales el daño es cero o no observable.
( )
2
max
2
1
2
2 1
s
p
ciclo
DDdt
NES D
σδε
δ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ∆⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠∫ (4.5)
Donde pε∆ corresponde al rango de deformación plástica debido al esfuerzo
maxσ para el
ciclo. Ahora se reorganiza el término de daño y se realiza la integral sobre los ciclos hasta ruptura.
( )2
2max
0
1 22
c R
D
sD N
pN
D D NES
σδ ε δ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜− = ∆⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (4.6)
Con D
N
max
2
m
u f
p D pD
f
Nσ σ
ε ε
σ σ
∞
∞
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜∆ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠ (4.7)
Resolviendo la integral y despejando para R
N se obtiene —con ayuda de la ec. (4.1)—
( )( )
( )2 1 2
*
maxmax
1 1
2 2 2 1
m s s
pD u f c uR pR pD
p c pf
DN
s D
ε σ σ σ
ε ε
ε ε σσ σ
+∞
∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= + −⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎟∆ + ∆ ⎝ ⎠⎟⎜ −⎝ ⎠ (4.8)
A partir de la ec. (4.8) se pueden calcular los parámetros m y s del material usando dos resultados de fatiga ( )1 max 1
,R p
N σ ε y ( )2 max 2,
R pN σ ε .
38
4.1.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Este ejemplo fue tomado directamente del libro de Lemaitre [14] y se muestra para resumir los pasos generales para encontrar los parámetros del modelo de Lemaitre. En las Figura 10 se observan las curvas de esfuerzo deformación en tensión y curva de Whöler para un acero ferrítico. A partir de los datos de la gráfica y las ec. (4.1) a ec. (4.8)
Figura 10. Ejemplo de parámetros de daño en acero ferrítico. Tomado de [14]
Seleccionando 1
10R
N ≈ y 2
1000R
N ≈ ( )max 1,
pσ ε se obtiene
( )( )
( )
( )( )
( )
2 1 2
2 1 2
1 1 0.30.15 474 180 47410 0.6 0.15
0.027 450 180 2 2 1 (0.3)(0.027) 450
1 1 0.30.15 474 180 4741000 0.6 0.15
0.0035 340 180 2 2 1 (0.3)(0.0035) 340
sm s
sm s
s
s
+
+
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟⎜ ⎜= ⎟ + ⎟ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− +
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟⎜ ⎜= ⎟ + ⎟ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− +
Con estas dos ecuaciones se encuentra 6m = y 2.4s = , a partir de la Ec. (4.1) se despeja
S
1
*2
0.665 MPa2
spR pDu
c
SE D
ε εσ⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
4.2. MODELO DE EVOLUCIÓN DE DAÑO DE BONORA
Con el fin de poder definir un modelo de evolución de daño que se ajuste a los resultados experimentales, se utiliza el modelo desarrollado por Bonora [37], el cual tiene un comportamiento no lineal como función de la deformación. En este modelo, se requieren cuatro parámetros para caracterizarlo (ver Figura 11): 1.) el límite de deformación en el cual el daño deja de ser cero, eth; 2.) el daño crítico, Dcr, el cual en teoría es igual a uno pero
39
en la práctica la falla ocurre para valores de daño menores que D=1; 3.) la deformación crítica, ecr, que afecta la capacidad de carga y está directamente relacionado con Dcr; y 4.), el grado global de no linealidad medido por el exponente de daño, α, este parámetro determina la forma de la ley de evolución de daño. La ley de evolución de daño se define entonces en términos de la deformación plástica ep y toma la forma:
( )( )
ln /( ) 1 1
ln /
p th
p cr
cr th
e eD e D
e e
α⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥= − − ⎟⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎥⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(4.9),
las ventajas de este modelo se observan en que todos los parámetros se identifican con facilidad en un ensayo de fatiga con fuerza controlada. Además, α modifica la forma de la ley de evolución de daño con lo cual se pueden representar diferentes etapas de daño durante la vida en fatiga (explicadas más adelante). La formulación completa del modelo puede encontrarse en [37] y resulta importante resaltar que, en relación al modelo de daño isotrópico de Lemaitre, para valores pequeños de α ambos modelos tienen valores similares.
Figura 11. Esquema del modelo de daño de Bonora
4.3. MONTAJE EXPERIMENTAL
Dos tipos de probetas fueron fabricadas a partir del mismo adhesivo. Primero, probetas del adhesivo puro fabricadas bajo la norma ASTM D638, el segundo tipo de probetas fueron uniones en configuración SLJ. Las uniones se fabricaron con láminas de acero de bajo carbono y una resina epóxica comercial de la empresa Sika (Sikadur Ingection Gel) utilizando la norma ASTM D1002. El adhesivo se fabrica a partir de dos componentes y presenta un alto módulo de elasticidad (Eprom=6.65 GPa), es tolerante al agua y frágil después del curado, se utiliza en reparación de grietas en construcción, vigas de madera,
pe
0
1E
DE
= −
( )( )
ln /1 1
ln /
D
cr
cr D
e eD D
e e
α⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜= − −⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎟⎢ ⎜ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
De
cre
crD
1α
2α
3α
1 2 3α α α> >
unión mecánica y como volumétricas iguales decomo una pasta inyectabuso de gafas de seguridavapores puede causar ircurado puede resultar encancerígeno.
La Figura 12 muestra lasmuestran las dimensionedel adhesivo son más coLos poros se generan resultado la densidad dfabricar cada probeta. Eagitación mecánica con desplazamiento, la agitaadhesivo. Luego de mezse controlaron las tolerauna prensa hidráulica.
Figura 12. (a)
El sustrato de las probetchorro de arena con el finlongitud del traslape d
3
25
o sellante. La preparación del adhesivo se hace mde ambos componentes y antes del curado la mtable. Ambos componentes irritan la piel y los ojoidad y guantes de protección química. La exposici irritación en las vías respiratorias. En forma de en la exposición a un químico que bajo las ley
las dimensiones y la probeta final del material adnes para la unión adhesiva. Es de interés mencion
complicadas de fabricar porque se debe cuidar lan debido al proceso de mezclado el cual intro de poros es proporcional al volumen de mate. En esta investigación se redujo la densidad on una onda de baja frecuencia (4 Hz) y alta agitación retira el aire retenido en la etapa anteezclar los componentes, el adhesivo se inyectó enerancias dimensionales y acabado superficial apl
(a) (b)
(c)
a) Dimensiones (mm) del adhesivo (b) probeta final. (c) Probeta S
betas SLJ (ver Figura 12), fue tratado superficialml fin de aumentar el área de contacto entre el sustra de la unión se controló para que ambas lá
19
35.75
54
111
129.25
165
R 57
3
13
A
A3:1
15
101.6
101.6
3
25.4
3.6
45°0.6
40
mezclando fracciones mezcla se comporta
ojos, se recomienda el ición prolongada a los de polvo el adhesivo leyes de california es
adhesivo. También se ionar que las probetas la densidad de poros. troduce aire y como aterial utilizado para d de poros mediante a amplitud (4 cm) de nterior al curado del en un molde rígido y aplicando presión con
a SLJ (mm)
almente por medio de trato y el adhesivo. La láminas del sustrato
permanecieran paralelasdispersión de los resultad
4.3.1. METODOLO
Las probetas fueron realrígido de acero inoxidabmétodo son que se puehomogeneidad de las dimpara fabricar diferentes desventaja de este métonaturaleza adhesiva del debe prestar atención a la
Con respecto al materialmolde generan poros retrealiza con un taladro deen el molde. El mezcladoSe presenta a continuacicontrol de la porosidad e
El primer paso consiscompletamente el moldsuperficial del molde disel material de exceso resenergía superficial en ladelgadas con superficie acabado final de las proutilizadas. Finalmente, secomo se observa en la Fi
las a lo largo de espécimen. Estos pasos ayudltados experimentales.
LOGÍA DE FABRICACIÓN DE PROBETAS
ealizadas mediante la técnica de moldeo usando able que puede ser usado en repetidas ocasiones. Luede comprimir la mezcla para controlar el acadimensiones de las probetas. Adicionalmente, el
es grupos de probetas, i.e., el molde es reutilizablétodo radica en la dificultad para retirar las proel material de las probetas y a la rugosidad supera las estrategias para facilitar la remoción de las pr
ial per se, el proceso de obtención del adhesivo yretenidos en las probetas. El mezclado de los com de baja revolución (400-600 RPM) y luego el mado introduce aire al material y luego éste será inyación un procedimiento para reducir estos problemd es complicado en aplicaciones fuera del laborato
Figura 13. Alistamiento del molde
siste en alistar el montaje para el moldeo. lde rígido con cinta (ver Figura 13). Esto hacdisminuya considerablemente facilitando la remocresultante de la compresión del molde. En teoría t la interface molde-adhesivo. Adicionalmente, seie lisa que se colocarán en la parte superior e infrobetas depende directamente del acabado superf, se aplica un desmoldante de silicona sobre el moFigura 14.
41
yudan a disminuir la
o para ello un molde s. Las ventajas de este acabo superficial y la el molde se pude usar able. Por otro lado, la probetas. Debido a la perficial del molde, se probetas.
o y la aplicación en el omponentes A y B se material es inyectado inyectado en el molde. lemas, sin embargo, el torio.
. Se bebe recubrir ace que la rugosidad oción de la probeta y
a también se reduce la , se necesitan láminas inferior del molde. El erficial de las láminas
olde y las láminas tal
El segundo paso consisteprobetas tipo III con 3 mezcla de componentes coloca en un recipiente ytener en cuenta que este una mesa de vibración disminuir el porcentaje Finalmente se inyecta laparte superior para recub
El tercer y último pasoexceso y dar el acabadsuficiente para obtener mdejar curar por medio díaretirar las probetas delherramienta que magnififinales se pueden observ
Figura 14. Preparación de superficie del molde y láminas
iste en fabricar el material (ver Figura 15). Para la 3 mm de espesor se necesitan 120 ml del adheses es 1:1 (i.e., componente A 60ml e igual para ete y se mezcla por tres minutos a baja revolución.te procedimiento adiciona aire al material. Se recon de 5-7 minutos a baja frecuencia y alta ampje de aire retenido. También se puede utilizar la pasta adhesiva en el molde y se coloca una láubrimiento.
Figura 15. Mezcla de componentes
so consiste en aplicar presión al molde para rebado superficial a la probeta. Se recomienda r material de exceso en los bordes del molde lueg día. Pasado este tiempo se retiran las láminas delgdel molde. Se pude utilizar una probeta de otifique la fuerza para facilitar el proceso de remocrvar en la Figura 16 y Figura 17.
42
la fabricación de siete esivo. La relación de
a el componente B) se n. Es muy importante comienda agitar sobre
mplitud con el fin de zar agitación manual. lámina delgada en la
retirar el material de a aplicar una fuerza ego retirar la fuerza y elgadas y se procede a otro material y una oción. Los resultados
43
Figura 16. Probetas antes y después del curado
Figura 17. Desmolde de probetas
Como comentario final es bueno mencionar que de haberse realizado un buen recubrimiento inicial con la cinta es posible reutilizar el molde y únicamente es necesario colocar cinta en el borde interno del mismo y no al molde completo. También, un buen recubrimiento inicial facilita la remoción del material de exceso presente en la superficie del molde.
4.3.2. RELACIÓN DE POISSON
Se utilizaron galgas extensiométricas colocadas en la dirección longitudinal y transversal de la probeta. Mediante una configuración de cuarto de puente de Wheatstone se midió la deformación en cada dirección. La adquisición de datos se hizo mediante una tarjeta de adquisición National Instruments© y un módulo de adquisición NI9237.
Con la configuración utilizada para medir se deben aplicar cargas a muy baja velocidad ya que la vibración afecta considerablemente la medición. En consecuencia, la deviación estándar de cada punto de medición debe considerar el ruido del sistema.
El procesamiento de datos se realizó con el programa LabView® SignalExpress. En la Figura 18 se puede observar la configuración para el montaje experimental.
4.3.3. ENSAYOS Y
Los ensayos de fatiga s(Figura 19), los ensayomantuvo la relación de e(f=1Hz). Para el ensayo del material y las probetextensión y fuerza de reainstantáneo y la rigidez caracterizar el adhesivo s
Fueron usadas seis probestáticas, doce especímenprobetas del adhesivo fuárea de sección transversen relación al módulo ini
Teóricamente se puede msin embargo y como se esta variable durante la cada nuevo ciclo debidoacumulada al final de cadefine E* así:
Figura 18. Montaje relación de Poisson
Y VARIABLES DE DAÑO
se realizaron controlando el esfuerzo máximo yos se llevaron a cabo en una máquina Instrone esfuerzos R constante e igual a 0.2 la frecuenciayo se varió la carga máxima como un porcentaje betas fallaron en el rango de fatiga de bajo ciclo reacción para cada ciclo y con esta información sez para las probetas SLJ. Los ensayos en condico se realizaron en una máquina universal Instron m
obetas de adhesivo para encontrar la respuesta enenes de adhesivo en fatiga y diez uniones SLJ. Sifueron descartadas pues su porosidad superficia
ersal. Finalmente, se midió el daño a partir del mó inicial E similar a [33].
*
1E
DE
= − (4.10)
e medir E* durante la carga y descarga del experimse muestra en la Figura 19, experimentalmente sola fase de descarga en cada ciclo. Este módulodo al daño en el material y se observa que la defo cada ciclo i, puede calcularse por la regresión lin
44
o y mínimo aplicadotron modelo 8872, se cia también constante je del esfuerzo último lo (LCF). Se midió la n se calculó el módulo iciones estáticas para
n modelo 3366.
en condiciones cuasi-. Sin embargo, algunas cial superó el 8% del módulo instantáneo E*
rimento en cada ciclo, solo es posible medir
(E*) disminuye con formación plástica ep, lineal de la línea que
45
*p i
ii
be
E
−= (4.11),
donde bi corresponde al intercepto con el eje-y para la regresión lineal en la descarga del ciclo N. Es importante resaltar que en el caso de un ensayo de fatiga con deformación controlada, ep se aproxima por un función explícita del número de ciclos, ver por ejemplo [2]. Para este trabajo ep se obtuvo a partir de datos experimentales.
Figura 19. Ensayo de fatiga con esfuerzo controlado
Por otro lado, algunos autores [33-34, 38] han mostrado que es posible usar variables de daño modificadas; diferentes a la Ec. (4.10), que permiten medir el daño en diferentes configuraciones. Por simplicidad, se propone un parámetro de daño diferente DN para la junta adhesiva. Este daño se calcula a partir de la pérdida de rigidez de la unión ya que resulta difícil evaluar el módulo de elasticidad porque la distribución de esfuerzos en la junta es compleja [39].
*
1N
KD
K= − (4.12)
Donde K* es la rigidez afectada por el daño y K es la rigidez inicial de la unión.
4.4. CUANTIFICACIÓN DE LA POROSIDAD
Para conocer el efecto de la densidad de poros se utilizaron dos grupos de probetas de material adhesivo, que se diferenciarán como Grupo A y Grupo B en la sección de resultados. De cada grupo se tomaron los especímenes que fueron cargados con fuerzas equivalentes a un porcentaje del esfuerzo último de carga estática: 90%, 85% y 80 % de Su. Sobre el corte de sección transversal de cada probeta se midió la fracción de porosidad en área utilizando un programa de análisis de imagen. Las imágenes se obtuvieron con un microscopio de barrido electrónico (SEM) modelo JEOL JSM-6490LV con un aumento de
σ
ε
0E
1
NE 2
NE
3
NE
1
pe
2
pe
3
pe
minσ
maxσ
46
50X y una señal de variación morfológica de electrones secundarios (SEI) y retro-dispersados (BES).
Figura 20. SEM para Grupo A (izq.), Grupo B (der.) y carga 85%Su
En la Figura 20 se muestra un ejemplo cualitativo de la diferencia en la fracción de poros para una probeta de cada grupo. Para este caso ambas probetas se sometieron a fatiga con una carga máxima de 85% de Su.
4.5. RESULTADOS EXPERIMENTALES
Los resultados se clasifican de la siguiente manera: dos divisiones iniciales para las condiciones estáticas y los resultados de los ensayos de fatiga con los cuales se mide el daño. La medición de daño a partir de los ensayos dinámicos se presenta para las probetas de material adhesivo y las uniones SLJ. No obstante, antes de presentar los resultados de las uniones, se subdivide el árbol de resultados para mostrar los efectos de la porosidad en las probetas de material adhesivo. Cada subdivisión de los resultados está acompañada de la discusión de los mismos con el fin de hacer más clara la presentación y el análisis de los diferentes grupos de resultados.
4.5.1. CONDICIONES ESTÁTICAS
En la Figura 21 se muestra la respuesta esfuerzo-deformación para el material. En la región elástica se encontró que el módulo del material varía entre 6.4 GPa y 7.1 GPa. También se observa que los especímenes K y L presentan deformación plástica para el rango de esfuerzos entre 10-28 MPa mientras que en este rango falla el espécimen M (SR≈ 22 MPa) por lo tanto la deformación plástica de ruptura (ep
R) para este espécimen se hace menor. El espécimen M se presenta intencionalmente para hacer énfasis en la influencia de un gran nivel de porosidad en la respuesta de una probeta. La porosidad es una condición inevitable en estos materiales debido al proceso de manufactura y se analizará más adelante en esta investigación.
47
Figura 21. Curva esfuerzo-deformación especímenes K, L, M
No se observó encuellamiento antes de la falla y puede notarse que el rango plástico del material no es grande en comparación con la región elástica; si se tiene en cuenta, por ejemplo, la curva característica de materiales metálicos.
Resulta importante mencionar que a partir de la teoría de la mecánica del daño [14] el valor crítico Dcr decrece en función de la relación del esfuerzo de ruptura (SR) y el esfuerzo último (Su) y como se observa en la Figura 21 ambas propiedades son similares con lo cual se espera que Dcr sea un valor pequeño.
Adicionalmente, en la Figura 21 se muestran los valores promedio de las propiedades medidas y es posible observar alguna dispersión en E, Su y ep
R. En este caso esta dispersión está asociada principalmente a los poros retenidos durante el curado del adhesivo. Es necesario mencionar que los parámetros de daño son sensibles a estas variaciones.
En la Figura 22 se observa el resultado para las mediciones de la relación de Poisson. Se realizó el experimento en tres probetas diferentes controlando el desplazamiento entre las mordazas de la máquina de tensión. Se realizaron diez mediciones por probeta y para cada medición se consideró una deviación estándar de 20 micro-deformaciones debido al ruido inherente a la configuración de medición.
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8
σ
[MPa]
Deformación [%]
K
L
M
epR≈ 0.3 [%]
E ≈ 6655 MPa
Sy ≈ 11 MPa
48
Figura 22. Relación de Poisson Sikadur® Injection Gel
Con relación a la primera probeta, en ella se aplicó una carga menor y por tal motivo su incertidumbre experimental es mayor. Finalmente, se encontró que 0.35 0.04ν = ±
4.5.2. ENSAYOS DE FATIGA
Daño en probetas de material adhesivo
Figura 23. Degradación del módulo, carga 90% Su (Grupo A)
El daño se midió para dos grupos de probetas con diferente porcentaje de porosidad. Los resultados del Grupo A de probetas, el cual tiene menor porcentaje de porosidad, se muestra a continuación. Los resultados del Grupo B se presentan luego en la siguiente sección donde se analiza el efecto de la porosidad en el modelo de daño.
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
0 50 100 150 200 250 300 350
E*
[GPa]
Ciclo N
E ≈6620 MPa
49
En la Figura 23 se observa el módulo instantáneo E* para cada ciclo durante una prueba a fatiga con una carga máxima de la onda sinusoidal correspondiente a 0.9Su — esta genera falla en el espécimen en 322 ciclos.
La variable daño y su valor crítico Dcr se encontraron midiendo el módulo instantáneo en los ensayos de fatiga de bajo ciclo LCF (ver Figura 23). El cálculo del daño se hizo utilizando la Ec.(4.10), en este caso se debe tener cuidado con E ya que este afecta el valor calculado para Dcr. Como se explicó anteriormente debido a los poros remanentes E se modifica ligeramente y debe evaluarse el módulo inicial de cada probeta en los primeros ciclos de fatiga para que al utilizar la Ec. (4.10) se obtenga un valor comparable de Dcr para diferentes probetas. Dcr es una propiedad del material y por lo tanto es independiente de la carga aplicada.
A partir de E* se grafica el daño en función del número de ciclos para cada nivel de carga, ver la Figura 24. Es importante observar que el daño D se representa como líneas de contorno en una gráfica contra el número de ciclos. Esto explica por qué el número de ciclos hasta falla se incremente con menores cargas aplicadas; porque para un mismo ciclo se ha dañado menos el material si la carga aplicada es menor. Se mostrará más adelante que si el daño se grafica en función de la deformación plástica acumulada entonces se obtiene una única curva de evolución de daño (i.e. no se observan líneas de contorno).
Figura 24. Daño en fatiga de bajo ciclo (Grupo A)
La Figura 24 muestra tres etapas representativas de la evolución del daño: primera etapa o de daño acelerado, etapa dos o de daño proporcional y etapa final o de daño crítico. Este comportamiento es diferente a la evolución de daño en materiales metálicos como el acero. En materiales como el acero daño crece suavemente y de manera proporcional en la mayor parte de la vida en fatiga y solo hacia el final tienen un crecimiento pronunciado (similar a α3 de la Figura 11).
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 200 400 600 800 1000
D
Ciclo
90% Su (Nf=322)
85% Su (Nf=345)
80% Su (Nf=811)
50
Se explicarán las características de las tres etapas de evolución de daño observadas en este material con base en las descripciones de Chaboche [22] y Bonora [37], quienes observaron este mismo comportamiento en materiales compuestos, materiales frágiles y aleaciones de aluminio.
En la primera etapa, luego de exceder el límite de deformación eth, una gran cantidad de micro-poros entra en una fase de nucleación alrededor de los defectos iniciales presentes en la probeta debido al proceso de manufactura. La no homogeneidad de deformación — deformación localizada — se reacomoda generando micro-grietas y esto conlleva a un crecimiento acelerado en el daño durante esta primera etapa, incluso para deformaciones moderadas. Chaboche [22] describe este comportamiento como “en esencia un comportamiento elástico-frágil”. Luego se presenta un efecto que desacelera el crecimiento del daño; la dimensión de los poros iniciales permanece casi constante mientras que los poros nucleados alrededor crecen a una tasa diferente. Esto crea una saturación en el número de micro-grietas por unidad de volumen del RVE (i.e. no se pueden crear grietas en los poros). En la segunda etapa, el daño en el RVE crece lentamente y es casi constante durante un gran periodo de la vida en fatiga; todos los poros crecen a una misma tasa y un incremento en la deformación genera un cambio proporcional en el daño. Finalmente, en la tercera etapa, la reducción del espaciamiento entre los poros da pie al proceso de coalescencia y el deterioro significativo del material disminuye el área efectiva que soporta la carga, entonces se presenta una falla súbita en el RVE.
Figura 25. Evolución de daño (Grupo A)
La Figura 25 muestra el daño medido en las probetas de adhesivo y se observa un crecimiento no lineal del daño con el incremento de la deformación plástica acumulada, la cual fue calculada a partir de la Ec. (4.11). En este caso se tiene una única curva de evolución de daño independiente de la carga aplicada. No obstante, Se observa una ligera
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 1000 2000 3000 4000
D
µ-ep
90% Su (Nf=322)
85% Su (Nf=345)
80% Su (Nf=811)
51
desviación de la curva del 90% Su pero este efecto es debido a la fracción de porosidad no al nivel de carga.
Efecto de la porosidad en la evolución del daño
Un segundo grupo de probetas de material adhesivo (Grupo B) se manufacturó para repetir el ensayo de fatiga para los diferentes porcentajes de carga del primer grupo (Grupo A). Para el Grupo B se midió nuevamente el daño como función del número de ciclos y de la deformación plástica, observando que esta última resultó ser cerca de la mitad de la ecr para el Grupo A.
Carga Porosidad [%] Promedio [%]
Grupo A 90% Su 1,3
0,67 85% Su 0,3 80 % Su 0,4
Grupo B 90% Su 2,7
3,8 85% Su 3,4 80 % Su 5,8
Tabla 5: Porosidad
La Tabla 5 agrupa la fracción de poros medida para cada grupo de probetas. La probeta del Grupo A sometida a una carga del 90% Su tienen la mayor fracción de porosidad en su grupo y por esta razón su curva de evolución de daño está trasladada (ver Figura 25).
Figura 26: D vs N para Grupo B de probetas
En la Figura 26 se observa el daño para el Grupo B como función del número de ciclos para diferentes niveles de carga. Se observan las mismas etapas de evolución de daño que en el grupo anterior (ver Figura 24) sin embargo el número de ciclos de ruptura cambia. Como resultado de una mayor porosidad en el Grupo B, las probetas resisten un menor numero de
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 100 200 300 400 500 600 700
D
Ciclo
90% Su (Nf=82)
85% Su (Nf=189)
80% Su (Nf=588)
52
ciclos. A continuación se analiza el origen de este resultado a partir de la influencia de la porosidad en el modelo fundamental de daño.
Se encontró experimentalmente que solamente el parámetro ecr del modelo de daño se ve fuertemente afectado por la porosidad. Con esta simplificación se encuentra una correlación entre la fracción de poros y ecr. Esta correlación modifica directamente la Ec. (4.9).
Figura 27: Correlación de deformación crítica y porosidad
En la Figura 27 se puede ver que al incrementar la fracción de porosidad disminuye ecr. De esta forma se acopla D con la porosidad del material y resulta simple implementar esta correlación en la subrutina de simulación. El efecto del cambio en ecr es más fuerte para pequeñas porosidades.
Comparación y análisis para los Grupos A y B
En la Figura 28 se presenta la comparación de la evolución del daño para el Grupo A (gris) y Grupo B (negro). También se presenta el modelo de daño para diferentes porcentajes de porosidad. En forma cualitativa puede verse que los parámetros de daño no se afectan en igual magnitud debido a la porosidad.
Con base en los resultados de la Figura 28 se asume que al aumentar la porosidad se disminuye ecr en el modelo de daño mientras que los parámetros restantes permanecen constantes. Por lo tanto, se propone una función de evolución de daño independiente de la carga aplicada pero modificada por la fracción de poros del material medida experimentalmente:
y = 561,82x-0,311
R² = 0,8867
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6%
µ-ecr
porosidad
53
Figura 28: Influencia de la porosidad en el modelo de daño
( )( )
ln /( , ) 1 1
ˆln /
p th
p cr
cr th
e eD e D
e e
α⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥Ω = − − ⎟⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎥⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(4.13)
( ) 0.31ˆ 562cre
−
Ω Ω (4.14)
donde Ω corresponde a la fracción de porosidad y la Ec. (4.14) está dada en micro deformaciones.
Comparando el modelo propuesto con los resultados experimentales puede decirse que el ajuste es bueno en el rango de pequeñas fracciones de porosidad y al incrementar la fracción de poros el modelo diverge ligeramente. El resultado de este distanciamiento entre el modelo y la experimentación se debe a que se despreció el efecto de la porosidad en los demás parámetros del modelo. Se considera aceptable este modelo porque pueden identificarse las diferentes etapas de daño y porque se simplifica el análisis numérico del problema.
Observando detenidamente la Figura 28 puede observarse otro resultado importante comparando las curvas de daño de las probetas con porcentajes de porosidad similar (ver Tabla 5). Para fracciones de porosidad iguales la curva de daño es independiente de la carga aplicada (i.e. no hay curvas de nivel para diferentes cargas). Esto se explica porque con menores cargas se acumula menos deformación al final de cada ciclo, debido a que la distribución de esfuerzos en el material es menor. Con este análisis es de esperar que si se
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
D
µ-ep
90% Su (Nf=322)
85% Su (Nf=345)
80% Su (Nf=811)
90% Su (Nf=82)
85% Su (Nf=189)
80% Su (Nf=588)
D (%por=3,5%)
D (%por=2,7%)
D (%por=0,4%)
0,688α ≈
ecr ≈1594 @%por=3,5%
Dcr≈0,161
eth ≈ 385
ecr ≈2168 @%por=1,3%
ecr ≈3123 @%por=0,4%
54
gráfica el incremento en deformación plástica como función del número de ciclos, con menores niveles de carga se obtengan menores incrementos por ciclo.
Adicionalmente, es interesante observar que ecr —la deformación acumulada hasta el ciclo de falla— y la deformación plástica de ruptura en régimen estático ep
R son similares cuando la fracción de porosidad se acerca a cero. Esto también es cierto sin importar en nivel de carga. Al aplicar diferentes niveles de carga, se debe llegar a un valor crítico de deformación (igual a ep
R) luego de acumular deformación e independientemente de la carga aplicada (o cantidad de ciclos realizados); porque la deformación de ruptura es una propiedad del material que no se modifica si la porosidad es constante.
Para concluir esta sección se resalta que el efecto del daño en la deformación crítica se verá reflejado en la disminución del número de ciclos hasta ruptura al incrementar la fracción de poros, por ejemplo el Grupo B de probetas. En la Figura 29 se muestra la curva S-N de ambos grupos. El Grupo B de probetas presenta una menor cantidad de ciclos de ruptura para todos los niveles de carga aplicados. Adicionalmente se resaltan los puntos experimentales correspodientes a la Figura 20.
Figura 29: Curva S-N
Daño en probetas SLJ
Por último, se presenta el comportamiento experimental de la unión adhesiva. Ensayos de fatiga de bajo ciclo (LCF) se realizaron en las probetas tipo SLJ en condiciones de carga controlada idénticas al caso de los especímenes de material adhesivo.
50%
60%
70%
80%
90%
100%
10 100 1000 10000 100000
Sm
ax/S
u
Nr [ciclos]
Grupo A Grupo BLog. (Grupo A) Log. (Grupo B)
Grupo B @ 85% Grupo A @ 85%
55
Figura 30. Fatiga en uniones adhesivas
En este experimento se aplicaron diferentes cargas hasta causar falla en la unión y en la Figura 30 se observa la curva F-N donde se muestra el número de ciclos hasta falla Nf como función de diferentes cargas; al disminuir la carga se incrementa el número de ciclos de falla de la unión.
Para cada ensayo se midió la fuerza resultante y la extensión de la unión y se construyó la gráfica de daño para la probeta SLJ a partir de la Ec. (4.12). Para las uniones adhesivas se utilizó la degradación de la rigidez porque la distribución de esfuerzos en la unión es complicada [39] y también lo es la evaluación del cambio en el módulo de elasticidad. Se sabe también que algunas regiones de la unión adhesiva se encuentran en compresión debido a la distribución de esfuerzos pero estos efectos no fueron considerados en el modelo de daño — como primera medida se despreciarán las condiciones casi-unilaterales de daño [14]. Al comparar los resultados de la Figura 25 y la Figura 31 se concluye que es viable utilizar un modelo de daño similar a la Ec. (4.9) para las uniones adhesivas.
En la Figura 31 se muestra la evolución del daño para tres probetas SLJ con cargas aplicadas diferentes. Utilizando una relación similar a la Ec. (4.9). En función del número de ciclos normalizados se propone el parámetro β para representar las diferentes etapas de evolución de daño en las uniones. Las etapas son similares a las tres etapas características de las probetas del material adhesivo; primero el daño crece aceleradamente, luego en forma proporcional y al final una etapa de crecimiento rápido hasta el valor crítico. Como el daño experimental es similar para ambas probetas, se piensa que el problema del estudio de las uniones adhesivas se puede realizar como una extensión del problema de la evolución del daño en el material adhesivo.
y = -0,66ln(x) + 10,34
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 10 100 1000 10000 100000
Fmax[kN]
Nf [Ciclo]
56
Figura 31. Evolución del daño para junta SLJ
Los resultados de esta sección son el punto de partida para un trabajo futuro que se enfoque en investigar la relación entre la evolución del daño en la unión y el número de ciclos de ruptura de la misma y se debe corroborar la hipótesis plateada mediante una estrategia de simulación.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
DNexp
N/Nf
Nf=37
Nf=1792
Nf=3200
Model
Dcr≈0.145
nth ≈0.02
ncr =1
0,235β ≈
57
5. MODELADO POR ELEMENTOS FINITOS
El modelo de elementos finitos, mostrado en la Figura 32, se desarrolló en Ansys Mechanical APDL para comparar el comportamiento de la probeta de material adhesivo con cargas de fatiga del 90%, 85% y 80 % de Su. La rutina de simulación calcula el daño en función del número de ciclos y el número de ciclos de ruptura del material.
La simulación se hizo con las siguientes características: implícita, bidimensional, esfuerzo plano y utiliza el elemento de cuatro nodos PLANE182; este elemento tiene dos grados de libertad de desplazamiento en cada nodo y puede ser usado para simular largas deformaciones y plasticidad. La geometría corresponde a la mitad de la probeta del material adhesivo (ver Figura 12) y no tiene en cuenta el cambio de sección de las probetas experimentales con lo cual se evita el concentrador de esfuerzos por cambio de sección.
Figura 32. Condiciones de frontera y malla
Las condiciones de frontera y la forma de la malla se muestran en la Figura 32, la malla está compuesta 3016 elementos rectangulares. Las condiciones de frontera restringen el desplazamiento en x para todos los nodos con coordenadas (0,y), también se restringe el desplazamiento en y para el nodo en la coordenada (0,0). A continuación se aplica una carga distribuida en los nodos del extremo opuesto a la restricción de desplazamiento. Para la solución se activaron las opciones de no-linealidad geométrica (i.e. grandes deformaciones) y material (i.e. plasticidad), con incrementos automáticos del tiempo (automatic time stepping) y búsqueda lineal en el método de iteración de Newton-Raphson (line search).
A partir de los resultados experimentales se encontró que el daño afecta tanto la región elástica como plástica del material. También, para los ensayos de fatiga con carga controlada se incrementa la deformación remanente al final de cada ciclo. Esto es análogo a trasladar la curva esfuerzo-deformación original hacia la derecha del eje de deformación actualizando las propiedades del material (debido al daño) con cada traslación. Antes de presentar los resultados finales de la simulación se analizan estas consideraciones del daño en fatiga.
X
Y
Z
58
5.1. DAÑO EN FATIGA
El estudio puede dividirse en dos secciones. Primero como cambia el daño con respecto a la deformación y luego como se incrementa la deformación plastica con el número de ciclos. En la primera parte se estudia el efecto del daño en el rango elástico y plástico con el fin de acoplar el daño con la deformación. La segunda parte es entonces la encargada de tener el cuenta el historial de carga a través del incremento en la deformación con respecto a número de ciclos. El estudio del daño en fatiga puede resumirse en la siguiente ecuacion.
p
p
edD D
dN e N
δδ
δ δ= (5.1)
En la Figura 19 se mostró que en un ensayo de fatiga con esfuerzo controlado el módulo instantáneo E* disminuye con cada ciclo. En esa figura se observa además la traslación, sobre el eje de deformación (positiva en el eje x) de la curva original del material y en consecuencia para un nuevo ciclo se incrementa la deformación plástica remanente ep
i. Con esto en mente, se analiza el comportamiento de la curva para un ciclo i y el ciclo siguiente i+1 para de esta manera cuantificar el efecto total del daño en el modelo de elementos finitos.
Más adelante se describe el daño acoplado al rango elástico y plástico de la deformación y posteriormente se propone una correlación experimental para el incremento de la deformación a lo largo del ensayo de fatiga.
5.1.1. MODELOS DE PLASTICIDAD Y CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN
El fenómeno de daño está fuermente ligado a la plasticidad. De hecho como se mostró anteriormente, el daño en función de la deformación plástica acumulada a lo largo de diferentes ciclos es una función independiente del nivel de esfuerzo aplicado en un ensayo de fatiga con carga controlada. Por tal motivo se estudian diferentes modelos para representar la región plástica de la curva esfuerzo-deformación. Los modelos bilineal, ley de potencia y plasticidad de Voce fuero usados y los resultados se presentan en la Figura 33:
(bilineal)T yE e Sσ σ= > (5.2)
(ley de potencia)by o pS R eσ = + (5.3)
( )1 exp (Voce)y o p pS R e R beσ ∞ ⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦
(5.4)
59
Figura 33: Modelos de plasticidad
Los parámetros de cada modelo de plasticidad se resumen en la Tabla 6.
ET
[MPa]Sy [MPa] Ro [MPa] R
∞[MPa] b
Bilineal 3111 9,98 - - - Ley potencia - 9,98 71,3 - 0,163
Voce - 9,98 330 18,1 1380 Tabla 6: Parámetros para modelos de plasticidad
Se utiliza el modelo de Voce porque representa con mayor precisión la curva esfuerzo-deformación en el rango de esfuerzos aplicados en el ensayo de fatiga. Los parámetros de estos modelos fueron calculados con los datos experimentales en condiciones estáticas. A continuación se presentan los resultados de la simulación utilizando los parámetros del modelo de Voce.
Figura 34: Simulación en condiciones estáticas
En la Figura 34 se observa el resultado de la simulación usando la ley de plasticidad de Voce. Los resultados experimentales y de simulación concuerdan en gran medida
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,002 0,004 0,006 0,008
σ[M
Pa]
ε [mm/mm]
Experimental Bilineal
Voce Ley potencia
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
σ[M
Pa]
e [mm/mm]
Experimental
Voce (simulación)
Voce (ajuste experimental)
60
especialmente en la región de esfuerzos entre el 80-90% Su. Los parámetros del modelo se encuentran en la Tabla 6 y serán modificados en función del daño.
El punto de partida de la simulación fue conocer la respuesta en condiciones estáticas. Luego se mostrará que la estrategia de simulación de fatiga consiste en modificar esta curva debido al daño en cada nuevo ciclo. La región plástica se define mediante cuatro parámetros segun la ley de Voce. Se acoplará el daño con la plasticidad permitiendo que los parámetros de plasticidad se modifiquen en función de D.
5.1.2. EFECTOS DE DAÑO EN EL RANGO ELÁSTICO
El daño disminuye el módulo de elasticidad para cada elemento de la estructura en función de la deformación plástica. Si se supone que el elemento ha superado el límite de deformación eth entonces se puede calcular el daño para el elemento a partir de Ec. (4.13) y el módulo instantáneo para el ciclo de solución como:
( ) *
01
p pi i th i cr
E D e E e e e⎡ ⎤= − ≤ ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.5)
en la Figura 35 se observa este cambio de forma esquemática. Para el ciclo i el elemento siente un esfuerzo σmax y deformación ei
p debido a la carga externa. Con estos resultados se actualiza el módulo del material para el siguiente ciclo i+1.
Figura 35. Acople de daño en rango elástico y plástico
5.1.3. EFECTOS DEL DAÑO EN EL RANGO PLÁSTICO
En la Figura 35 se puede ver un marco de referencia adicional para el eje y (σ*). Sobre este marco se modifica la curva esfuerzo-deformación del ciclo anterior teniendo en cuenta el módulo actual y el efecto en los parámetros del modelo de Voce. El rango plástico se modeló con la Ec. (5.4).
σ
ε
0E
*
iE
p
ie
minσ
maxσ
*σ
*p
ie
1
p
ie
+
i∆
*
iE
0E
1i+∆
61
En el nuevo marco de referencia, el efecto del daño en la región plástica es similar a una rotación de la curva esfuerzo-deformación original. El efecto de daño en los parámetros de Voce se analizó teniendo en cuenta que el daño afecta en menor escala el rango plástico en comparación con el efecto de daño en rango elástico [22]. De esta forma, si para el rango elástico la relación esfuerzo deformación se define por:
( ) ( ) 1 , ,e eo oE D f E Dσ ε σ ε= − = (5.6),
en el rango plástico se usa una relación similar entre los parámetros de plasticidad del material jχ , la deformación plástica y un efecto de menor escala en el daño. Reduciendo
las propiedades del rango plástico se permite una inclinación gradual la curva esfuerzo-deformación con cada incremento en D.
En forma general el efecto del daño en el rango plástico esta descrito por:
( ) ( ) 1 , , , 1,p n p nj j yD f D n Sσ ε χ σ ε χ σ= − = > > (5.7)
donde la Ec. (5.7) y Ec. (5.6) son similares pues el daño afecta las propiedades del material disminuyéndolas en diferente proporción dependiendo de si se trata del rango plástico o elástico del material. Por lo tanto se desea saber cuál es la proporción del efecto del daño en el rango plástico.
Figura 36: Efecto del daño en rango plástico y elástico
Comparando los resultados experimentales, de los ensayos de fatiga, con un número significativo de simulaciones (20 en total), se encontró que para este material n=2. En las simulaciones se combinaron diferentes efectos de daño con 1< n >2 (i.e. 1-Dn). La Figura 36 muestra dos de estas simulaciones para n=1 y n=2 y se observa que para n=1 la
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
σ[M
Pa]
e [mm/mm]
Exp. estática
Exp. 80%Su N=Nf
Exp. 85%Su N=Nf
Sim. (D=0)
Sim. (D=0.16; n=1)
Sim. (D=0.16; n=2)
62
deformación obtenida es considerablemente mayor que la deformación de ruptura experimental para ensayos de fatiga con esfuerzos máximos entre 80-90% Su.
Por lo tanto el efecto del daño en la región plástica se acopla mediante la reducción de propiedades del modelo de Voce en un factor (1-D2):
( )( )( )( )2 21 exp 1 1y o p pS R e R b D e Dσ ∞⎡ ⎤= + + − − −⎣ ⎦
(5.8)
esto es posible porque el término exponencial pierde importancia para valores pequeños de D logrando así que las Ec. (5.7) y Ec. (5.8) sean equivalentes. Más aún, se observó que el parámetro de plasticidad más sensible al daño es R
∞ (en el modelo de Voce).
5.1.4. DEFORMACIÓN INCREMENTAL (HISTORIAL DE DEFORMACIÓN)
Para completar la descripción de las características del ensayo de fatiga se debe tener en cuenta el efecto de traslación de la curva esfuerzo-deformación en función del número de ciclos. En la Figura 36 se muestran las curvas de esfuerzo-deformación para D=0 y D=Dcr=0,161 y para ambas curvas el eje de origen es el eje de traslación σ* (ver Figura 35). Por tal motivo se debe utilizar una variable auxiliar de deformación que tenga en cuenta la traslación de marcos de referencia (σ a σ*) o incremento de deformación por ciclo. Para visualizar esto se presenta la siguiente analogía, se parte de pensar el ensayo de fatiga con carga controlada (Figura 19) como un abanico plegable. Cada brazo del abanico es un marco de referencia (o un ciclo) sobre el cual se tiene una curva esfuerzo deformación afectada por el daño. Cuando el abanico está cerrado todos los marcos de referencia están en el mismo punto pero cada curva es diferente debido al daño. Al abrir el abanico se tiene el ensayo de fatiga completo y la distancia entre uno y otro brazo es el incremento en deformación por ciclo o contando sucesivamente en cada brazo la deformación plástica acumulada.
Haciendo uso de una variable (∆) que mida el incremento en deformación por ciclo, se garantiza que al evaluar D en la Ec. (4.13), se obtenga un incremento en el daño con cada nuevo ciclo. Por eso el efecto de traslación es necesario, pues permite que para un esfuerzo máximo constante se incremente la deformación plástica, se incremente el daño y se disminuyan las propiedades del material en función del número de ciclos. Sin este efecto el material nunca fallaría. En la Figura 37 se observa el resultado experimental de la variable ∆ y el valor promedio para el ensayo del 85% Su para el Grupo B de probetas.
63
Figura 37: Incremento en ep por ciclo
Teóricamente ∆ es una función compleja y multi-variable: depende de la carga o esfuerzo aplicado, de la fracción de poros e incluso de ciclo actual tal como se observa en la Figura 37. En este trabajo se simplifica esta la función ∆ asumiendo que únicamente depende del esfuerzo. Esto se pude hace por dos razones principales.
Primero, utilizando el incremento promedio para cada carga aplicada (i.e. constante para cualquier ciclo). Observando la Figura 37 se aprecia que ∆ decrece rápidamente hacia el valor promedio que se comporta como una asíntota de estabilización para los datos experimentales. Con esta simplificación se obtiene una función ∆* (promedio ∆) que depende del esfuerzo y la fracción de porosidad a costa de despreciar un mayor incremento de la deformación en los primeros ciclos de fatiga para cada carga (ver Figura 37).
Segundo, asumiendo que el efecto de la porosidad no es significativo en el incremento ∆*. Para esto se grafican líneas de fracción de porosidad constante (isoporosidad) para ∆*
variando la carga aplicada. Esto puede realizarse experimentalmente o con una estimación numérica. El trabajo experimental requerido en este caso es de gran dificultad ya que debe controlarse la porosidad de cada grupo de probetas y someterlo a diferentes niveles de carga para cada porosidad. La estimación numérica parte de la siguiente ecuación.
( )( )
( )*
ˆ,
p th
f
e e
Nσ
σ
Ω −∆ Ω = (5.9)
La Ec. (5.9) expresa la magnitud del paso incremental que debe hacerse para llegar desde el límite de deformación hasta la deformación crítica y alcanzar el ciclo de ruptura. Utilizando las correlaciones experimentales para la curva S-N y la deformación crítica se despejan las variables de la Ec. (5.9) en términos de la porosidad (Ω) y la carga aplicada (σ),
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200
∆ x10-6
[mm/mm]
N [ciclos]
Exp. Grupo B @85%Su
promedio
64
( )lnf
u
F N GS
σ
+ (5.10)
( )ˆR
cre QΩ Ω (5.11)
( ) ( )*, exp
R u
th
u
S GQ e
FS
σ
σ
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟∆ Ω = Ω − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (5.12)
donde F, G, Q, R son constantes de las correlaciones experimentales.
En la Figura 38 se muestran las líneas de isoporosidad para diferentes niveles de carga estimadas con la Ec. (5.12) y junto a ellas también se observan los resultados experimentales de ∆* medidos para las diferentes probetas de cada grupo.
Todas las probetas del Grupo B se encuentran dentro de los valores estimados de ∆*. Más interesante aún resulta el hecho que la porosidad no afecta significativamente el incremento promedio de deformación de este grupo y por esta razón es válido escribir una correlación muy sencilla entre ∆* y el esfuerzo:
( )* 12( ) 1,146*10 exp 18,39 [ / ]RS mm mmσσ −∆ = (5.13),
en contraste, ∆* para el Grupo A no está dentro de los valores estimados. Los puntos que corresponden al 80%Su y 90% Su están alejados en la linea de tendencia de la curva S-N(ver Figura 29) y por esto su valor promedio incremental de deformación está fuera de la estimación de la Ec. (5.12). El Grupo A no es un buen candidato para ser modelado con la estrategia de incrementos constantes e independientes del número de ciclos.
Figura 38: ∆* en función del nivel de carga
y = 1,13E-06e1,84E+01x
0
5
10
15
20
25
30
75% 80% 85% 90% 95%
∆* x10-6
[mm/mm]
Smax/Su
Grupo AGrupo B%por=0.4%por=1.3%por=2.7%por=3.4%por=5.7Expon. (Grupo B)
65
5.2. ALGORITMO DEL MODELO
Figura 39. Algoritmo para modelo de daño
La Figura 39 muestra el algoritmo de programación del modelo de daño, en él se resumen los pasos explicados anteriormente. Primero se realiza la experimentación con la cual se hallan los parámetros del modelo teniendo en cuenta el porcentaje de porosidad de la probeta. Luego se definen la geometría y las condiciones de frontera y se soluciona el problema para la deformación plástica con la cual se evalúa el daño usando la Ec. (4.13). A continuación, se modifican las propiedades en el rango elástico y plástico en función del daño. Finalmente se evalúa el criterio de daño D<Dcr. Resulta conveniente realizar la simulación con incrementos de varios números de ciclos (δN), lo cual se puede hacer ya que ∆* es función únicamente del esfuerzo y luego del primer ciclo el incremento en deformación plástica se puede aproximar por la multiplicación N ∆*. En el caso más general en el cual ∆ es función del número de ciclos, la porosidad y el esfuerzo, debe integrarse ∆para hallar la deformación acumulada con la cual se evalúa la evolución del daño, i.e. Ec. (4.13).
66
Surge en este punto un cuestionamiento importante del modelo ¿cuál es el criterio de falla? ya que al parece el material se deforma indefinidamente al aumentar los ciclos. Es cierto que cada elemento se deforma más por los efectos de traslación y rotación que se han explicado. No obstante, en la medida que se deforma más el elemento, también se acerca más al valor crítico de deformación (ecr). Por lo tanto el material falla por el criterio de daño crítico antes de deformarse infinitamente.
En la siguiente sección se muestran los resultados de la simulación utilizando la estrategia del modelo incremental con una función ∆* simplificada según la Ec. (5.13). La ventaja de esta estrategia es que se generaliza el modelo para diferentes cargas aplicadas y el efecto de la porosidad recae sobre la deformación crítica ecr.
Adicionalmente, se realiza una simulación particular para la carga del 80%Su, en la cual a partir de los resultados experimentales (ver Figura 37) se encuentra una función para ∆ en términos del número de ciclos. La función ∆(N) para la simulación alternativa permite mayores incrementos de deformación en los ciclos iniciales y decrece rápidamente hacia el promedio al aumentar los ciclos. La desventaja de esta simulación es que solo es válida para una probeta con un nivel de carga y porosidad específica.
5.3. RESULTADOS DEL MODELO FEA Y DISCUSIÓN
Figura 40: Evolución de daño (simulación)
En la Figura 40 se comparan los resultados experimentales y de la simulación en términos de la evolución del daño. Se puede ver que la curva de evolución de daño es independiente del nivel de carga cuando se grafica en función de la deformación plástica. La curva de daño solo se altera en la deformación final (ecr) debido al efecto de la porosidad. También se observa que el resultado de la simulación para 80%Su subestima ligeramente ecr y esto es consecuencia directa del calcular el valor con la Ec. (4.13) (i.e. ecr(Ω=5.8%)≈ 0.014
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 500 1000 1500 2000
D
µ-ep
Sim 80%SuSim. 80% alternativaSim 85 %SuSim 90%Su80% Su Exp85%Su Exp90% Su Exp
67
mm/mm). En la simulación alternativa para 80%Su se utiliza el valor tomando de los datos experimentales logrando mejorar el valor estimado por el modelo.
El siguiente resultado muestra la forma como cambia el daño con el número de ciclos. Como el daño es una función creciente del número de ciclos entonces cuando el ciclo Nalcanza el daño crítico Dcr se obtiene la ruptura Nf.
Figura 41: Cambio del daño con el número de ciclos
En la Figura 41 puede observarse que la curva de daño en función del número de ciclos cambia con el nivel de carga, con lo cual para un mismo ciclo hay menor daño para una carga menor y por esta razón la probeta puede soportar por más tiempo la carga. Adicionalmente pueden identificarse las diferentes etapas de crecimiento de daño. Finalmente, para menores cargas existe mayor error en el valor D(N) de la simulación, especialmente en la primera etapa de fatiga. Esta es la consecuencia principal de asumir que ∆ es función únicamente del esfuerzo. Retomando los resultados experimentales de la Figura 37 se identifica que ∆ tiene un valor mucho más grande que el promedio durante los primeros ciclos. Este comportamiento hace que al inicio de la vida en fatiga del material se acumule deformación más rápidamente y de esta forma el daño experimental es mayor que el resultado de la simulación. En una simulación alternativa particular para la carga de 80%Su se utiliza una función ∆(N) que decrece con el número de ciclos. Esta función se integra para conocer la deformación acumulada en cada ciclo N; como esta función acumula más deformación en los ciclos iniciales, se logra representar mejor los resultados experimentales.
Por otro lado, el número de ciclos de ruptura es comparable con los resultados experimentales ya que la aproximación Nf ≈ (ecr-eth)/∆(σ)prom da buenos resultados incluso cuando ∆ no es función de la porosidad o el número de ciclos. Esta relación expresa el número de incrementos uniformes que puedo hacer para llegar del límite de deformación a
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 100 200 300 400 500 600 700
D
N [Ciclos]
Sim 80%Su Sim. 80% altenativasim 85%Su Sim 90%Su80% Su Exp 85%Su Exp90% Su Exp
68
la deformación crítica. La Figura 42 muestra la curva S-N obtenida y con esto se concluyen los resultados de esta investigación.
Figura 42: Curva S-N (simulación)
En general, el modelo puede hacerse mucho más refinado si se permite que todos los parámetros de la Ec. (4.13) varíen en función de la porosidad, esto requiere de un diseño experimental con un mayor número de probetas para tener en cuenta la dispersión experimental observada normalmente en los ensayos de fatiga. Estos experimentos hacen parte del trabajo futuro que se puede desarrollar a partir de esta investigación.
Las subrutinas de simulación para las simulaciones incrementales, la simulación anternativa y la simulación en condiciones cuasi-estáticas se presentan en los anexos al final del documento.
y = -0,046ln(x) + 1,0957R² = 0,9757
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
10 100 1000
Sm
ax/S
u
Nr [ciclos]
Simulación
Experimental
Log. (Experimental)
Simulaciónalternativa
69
6. CONCLUSIONES
La evolución del daño en el material adhesivo y las uniones SLJ está caracteriza por tres etapas. Primero un crecimiento acelerado del daño, luego una etapa de cambio proporcional y crecimiento suave que abarca el mayor porcentaje de la vida en fatiga del material y finalmente una tercera etapa, con un deterioro significativo del material, donde se observa un rápido incremento del daño hasta el valor crítico en el que ocurre la falla.
El modelo de daño utilizado es capaz de representar las diferentes etapas de evolución del daño en las probetas de material adhesivo y uniones SLJ. Los parámetros del mismo se pueden hallar con un ensayo uniaxial de fatiga con rango de esfuerzos controlados.
El efecto del daño en términos numéricos pude dividirse en dos aspectos: la reducción de propiedades del material en el rango elástico y plástico (módulo de elasticidad y parámetros de Voce) mas la traslación de la curva esfuerzo-deformación afectada por el daño. Se debe tener en cuenta que el efecto del daño es diferente en la zona elástica y en la plástica. En conclusión, para una carga inferior a la de ruptura y que se mantiene cíclica en el tiempo se produce falla como consecuencia de la propagación de daño y pérdida de propiedades del material.
Las uniones adhesivas podrían ser estudiadas asumiendo que el daño solo se desarrolla para generar falla cohesiva en la unión. El modelo constitutivo del material adhesivo se usaría para predecir el número de ciclos hasta que la distribución de deformación en la interfase de la unión llegue a un valor crítico. No obstante se debe hacer una investigación adicional que soporte esta hipótesis.
70
7. TRABAJO FUTURO
Primero, se debe manufacturar un grupo de probetas con una porosidad entre 0,3-0,8% y llevarlas a un ensayo de fatiga con carga controlada con un rango de carga entre 75%-95% Su. Comparando esos resultados con los resultados de esta investigación se debe proponer una función delta que tenga en cuenta la influencia del nivel de carga y el porcentaje de porosidad. Al implementar esta función en la subrutina de elementos finitos se debe poder mejorar la tendencia de la Figura 41 y mejorar el número de ciclos de ruptura predichos en función de la fracción de poros.
El trabajo posterior deberá enfocarse en simular la unión con el modelo de daño encontrado a partir del material adhesivo, el objetivo sería encontrar como cambia la rigidez de la unión con el número de ciclos y compararlo con la Figura 31. En esencia lo que se busca es acoplar el deterioro en las propiedades del material con la distribución de deformación al interior de la junta adhesiva.
Resulta importante aclarar que a pesar de que la carga en la probeta SLJ genera esfuerzos cortantes, también se sabe que esfuerzos en el adhesivo no es uniforme [39-40]. Más aún el esfuerzo cortante promedio no es un buen criterio para evaluar el estado general de esfuerzos en la unión. Se ha encontrado que la región cercana al final del traslape de la unión SLJ, el esfuerzo normal es cerca de cuatro veces el esfuerzo cortante promedio de la junta [40-41] y en esa región (filete de la unión) comienza el crecimiento de grieta [6]. Por lo tanto es válido asumir que la falla de la unión puede estudiarse con el modelo de daño encontrado a partir de la distribución de esfuerzos y deformaciones normales.
Por último sería muy interesante combinar las teorías de mecánica de la fractura y mecánica del daño para analizar con más detalle el efecto de retirar elementos de la simulación, luego de superar ecr, y propagar grietas en la unión.
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BIBLIOGRAFÍA
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72
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73
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74
ANEXOS
Ashcroft y Crocombe [1] dividen los modelos de fatiga en cuatro grupos: métodos de vida total, métodos fenomenológicos, métodos progresivos y métodos de mecánica del daño. A continuación se presenta un resumen estos métodos, en los cuales se identifican dos metas principales:
Predecir el tiempo o número de ciclos hasta que ocurre un determinado evento, por ejemplo la formación de macro grietas, aumento de daño o falla total.
Predecir la tasa de cambio de algún parámetro de fatiga como la longitud de grieta o la tasa de liberación de energía de daño.
I. MÉTODOS DE VIDA TOTAL
En este grupo están (total-life methods): Propuesta de esfuerzo-vida, propuesta de deformación-vida, límite de endurecimiento y métodos de daño acumulado.
Esfuerzo-vida: En este método el número de ciclos hasta fractura (Nf) se grafica como función de una variable esfuerzo o amplitud de esfuerzo. Cuando la carga aplicada sólo causa deformación elástica se suele utilizar el esfuerzo (S) como variable y la gráfica que se presenta se conoce como curva S-N o curva de Wöhler. Mediante ajuste a datos experimentales se obtiene una ecuación de la forma.
logf
f
S C D N
S AN α
= +
= (1.1)
Las constantes en las ecuaciones dependen de factores como el material, geometría, condición superficial o ambiente y los datos obtenidos no se pueden extrapolar a probetas diferentes. El uso de las curvas S-N no es adecuado para predecir el comportamiento en fatiga porque no brinda información de la evolución del daño, sin embargo, es útil como herramienta de validación.
En la Figura 43 se observa la curva S-N de una unión adhesiva. Se muestran tres regiones: fatiga de bajo ciclo (LCF, low cycle fatigue), fatiga de alto ciclo (HCF, high cycle fatigue) y límite de endurecimiento (threshold o endurance limit). Adicionalmente, se muestra la influencia de la temperatura: la resistencia cuasi estática y a fatiga de la unión adhesiva, disminuye al aumentar la temperatura. Ashcroft et al. [1] atribuyen este efecto a la combinación de creep y fatiga.
75
Figura 43. Curva S-N para unión DLJ epoxy/CFRP. Tomado de [1]
En el caso de uniones adhesivas se prefiere usar la variable carga y no esfuerzo promedio ya que la distribución de esfuerzos en la unión no es uniforme [39] y no hay una relación directa entre el esfuerzo promedio en la unión y la carga de falla en fatiga o cuasi-estática.
Figura 44. Regiones de fatiga en curvas S-N. Tomado de [6].
A pesar de la naturaleza fenomenológica de los métodos de vida total, se han realizado estudios para diferenciar la fase de iniciación y propagación de fatiga. Shenoy et al. [6] mediante mediciones de deformaciones en la cara anterior del adherente (backface strain) y seccionamiento de uniones, observó el daño y propagación de grietas como función del número de ciclos. En la Figura 44 se observa un mapa de regiones características: (CI)periodo inicial en el que comienza la acumulación de daño, (SCG) región de crecimiento estable de grieta en el que se ha creado una macro grieta y crece lentamente y (FCG) la
0
2
4
6
8
10
12
14
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Cycles to fa ilure
Loa
d am
plitu
de (k
N)
22°C
90°C
22°C (unbroken)
90°C (unbroken)
Número de ciclos
Am
plitu
d de
car
ga (k
N)
(sin romper)
(sin romper)
LCF HCF thresholdN
orm
alis
ed b
ackf
ace
stra
in (
BF
S)
No. of cycles, N (BFS)
CI
Loa
d am
plitu
de
FG
No. of cycles to failure, Nf
SCG
76
región de rápido crecimiento de grieta en el cual ocurre la falla acelerada de la unión. Con bajas cargas la vida en fatiga se rige por la fase de iniciación mientras que la región de crecimiento ocurre a cargas elevadas.
Sin embargo, se observó en los cortes de la unión la presencia de daño interno considerable, que no se evidencia externamente, y para un observador externo se sobrestima la fase de iniciación. Adicional a esto, se encontró que los resultados de la simulación FEA dependen de la forma de crecimiento de la grieta (i.e. desde un filete, simétrica o asimétricamente desde los filetes de la unión). Ubicar adecuadamente la grieta es un mayor inconveniente.
Límite de endurecimiento: Para los métodos de vida total la propagación de grieta depende en gran medida de la geometría. No obstante, si se observa límite de endurecimiento en una probeta, es posible utilizar esos datos para predecir el límite de endurecimiento de una geometría diferente u otra condición de carga. Por ejemplo, utilizando el criterio de von Mises se predice el esfuerzo efectivo ( )
aeσ en fatiga de la
siguiente manera.
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
2ae a a a a a a
σ σ σ σ σ σ σ= − + − + − (1.2)
Donde ( )1 2 3, ,
a a aσ σ σ son las amplitudes de esfuerzo principales. Se determina
experimentalmente el límite de fatiga utilizando probetas calibradas y en teoría el límite en fatiga se podría encontrar para diferentes geometrías del mismo material. En la práctica se presentan problemas para seleccionar el criterio de falla apropiado y singularidades teóricas —de esfuerzo— en uniones adhesivas.
Método de acumulación de daño: Se utiliza para extender los conceptos de curva S-Nal caso de fatiga de amplitud variable. Palmgren (1924) y Miner (1945) plantearon las siguientes hipótesis: se asume que la cantidad de trabajo para causar falla en una probeta es constante (W) sin importar la amplitud de fatiga. Por lo tanto, para un espectro de fatiga
dividido en i bloques, el trabajo total de cada bloque (wi) se puede escribir mediante.
iw W=∑ (1.3)
Adicionalmente, asumiendo que el trabajo utilizado en cada ciclo es proporcional al
número de ciclos en el bloque (ni).
i i
fi
w n
W N= (1.4)
77
Donde (Nfi) es el número de ciclos hasta falla a la amplitud del espectro del bloque analizado. Utilizando los resultado de las ecuaciones (1.3) y (1.4) se obtiene la ley de Palmgren-Miner (P-M) o modelo de daño lineal acumulado.
1i
fi
n
N=∑ (1.5)
Las limitaciones principales de este modelo recaen en que la acumulación de daño es lineal y que no existe ningún efecto en relación a la historia de carga. De hecho se asume que ciclos con esfuerzos por debajo del límite de endurecimiento no contribuyen al daño y esto no es cierto cuando ya se ha formado una grieta.
Para contrarrestar estas limitaciones, se realizan modificaciones a la ley P-M de tal forma que la igualdad en la ecuación (1.5) se cumpla para un número C diferente de la unidad. Erpolat et al. [10] utilizaron una forma extendida de P-M para predecir la falla en uniones adhesivas epoxy-CFRP tipo DLJ, bajo fatiga de amplitud variable, demostrando que la suma P-M está entre 0.04 y 0.3 lo cual significa que la secuencia de carga causa daño acelerado. Sin embargo, el principal defecto de este método es que no se tiene un verdadero progreso del daño.
II. MÉTODOS FENOMENOLÓGICOS
En este grupo están: degradación del esfuerzo bajo cargas de amplitud constante y variable.
En este grupo de métodos, a diferencia de los anteriores, se caracteriza el daño en fatiga en función de la reducción del esfuerzo o la rigidez duran la vida en fatiga de una probeta. Esto permite la caracterización previa a la falla y la predicción de la respuesta a cargas posteriores. Como consecuencia se requiere mayor experimentación en diferentes porcentajes de la vida en fatiga y para diferentes cargas y amplitudes de esfuerzo.
Degradación de esfuerzo bajo CAF: se define el esfuerzo residual de una unión luego de n ciclos como Sr(n), inicialmente igual a la resistencia estática, Su, y decrece en la medida en que se acumula el daño. Se propone una función potencia para el esfuerzo residual, con k el parámetro de degradación de esfuerzo.
( )max
( )
k
R u u
f
nS n S S S
N
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (2.1)
Donde el criterio de falla utilizado cumple que el esfuerzo residual es igual al esfuerzo máximo (Smax) para el número de ciclos de falla (Nf).
78
Degradación de esfuerzo, amplitud variable: Erpolat et al. [10] usaron un modelo similar a (2.1), asumiendo acumulación de daño lineal formularon un modelo de daño en términos de carga-falla en vez de esfuerzo-resistencia.
Para ciclos por encima del límite de endurecimiento se define la degradación de carga residual, LD, como:
,
u OL
f OL
L LLD
N
−
= (2.2)
Con (Lu) la carga cuasi-estática de falla, (LOL) la carga máxima del ciclo y (Nf,OL) la vida en fatiga del ciclo correspondiente. La degradación de carga residual de fatiga, asociada con los saltos de la carga media, (CD), se define:
( )max
peak
mn
LL
L
mnCM L
β
α
⎛ ⎞∆ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∆⎝ ⎠= ∆ (2.3)
Donde (α) y (β) son constantes que dependen del material y la geometría, (∆Lmax) y (∆Lmn)son los cambios en la carga máxima y media, respectivamente, en la transición de ciclo y (Lpeak) es la carga pico en el espectro. Asumiendo que en cada bloque de carga existen knúmero de ciclos por encima del límite de endurecimiento y l número de saltos de carga
media, entonces, la carga de degradación de un bloque de carga, ∆LRB, se halla mediante:
RB k l
k l
L LD CM∆ = +∑ ∑ (2.4)
La ecuación (2.4) es simplemente la contribución de cada degradación a un bloque del espectro (i.e. cargas residuales y sobrecargas). Con estas variables se define el número de bloques hasta falla, (NB), mediante:
u peak
B
RB
L LN
L
−=
∆ (2.5)
Este modelo desarrollado por Erpolat et al. [10] es capaz de predecir con mayor precisión, con respecto a la ley P-M, la vida en fatiga de uniones adhesivas bajo cargas de amplitud variable.
Degradación de la rigidez: similar a los métodos anteriores, se considera la degradación de la rigidez como una función potencia del número de ciclos. Resulta complicado definir un criterio de falla y se utiliza una aproximación proporcional al criterio de esfuerzo:
79
( )max
0
f
u
E N S
E S= (2.6)
Con E0 la rigidez inicial.
III. MÉTODOS PROGRESIVOS
En este grupo están: límite de fatiga (fatigue threshold), fatiga de amplitud variable y fatiga por creep.
Los métodos de la mecánica de la fractura analizan el problema de propagación de grieta. Se debe asumir que la fase de iniciación ocurre en las primeras etapas del ciclo de fatiga o la existencia de una pre-grieta. El cambio o crecimiento de esta grieta —e.g. con respecto al número de ciclos— se relaciona con un parámetro de la mecánica de la fractura. Por ejemplo, el factor de intensificación de esfuerzos6 (K) o la tasa de liberación de energía de deformación7 (G). A manera de ejemplo, la ley de Paris relaciona el crecimiento de grieta con una potencia de K.
mda
C KdN
= ∆ (3.1)
Donde, (C) y (m) dependen del material, frecuencia de fatiga, R— relación de esfuerzos— y el ambiente. Para metales el parámetro de fractura más usado es K. Para uniones adhesivas es difícil usarlo debido a que las restricciones entre los adherentes y adhesivos dificultan la caracterización de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta.
Se utiliza entonces el parámetro G en el caso de plasticidad localizada, es decir, cuando se puede aplicar mecánica de la fractura lineal—LEFM, linear elastic fracture mechanics—. De ser necesario el uso de mecánica de la fractura no lineal —NLEFM, non-linear elastic fracture mechanics—, debido a una zona de plasticidad más grande, se usa la integral-J de Rice, (J). Si se observa el fenómeno de creep, entonces se debe seleccionar un parámetro de la fractura en función del tiempo como (C*) o (Ct).
En una gráfica experimental del crecimiento de grieta contra Gmax —o ∆G— se observan tres regiones. La Región I, está definida por el límite de tasa de liberación de energía de deformación, (Gth), en esta región el crecimiento de grieta es despreciable. La región II se rige por una función tipo ley de Paris —como se muestra en la Figura 45—. En la Región
6 Stress intensity factor (K). Irwin GR (1958) 7 Strain energy release rate (G). Griffith AA (1921)
80
III el crecimiento de grieta es rápido e inestable en la medida en que Gmax se aproxima al valor crítico de liberación de energía de deformación, (Gc).
Figura 45. Crecimiento de grieta en fatiga. Adaptado de [1]
En general, la relación entre la propagación de grietas en fatiga y algún parámetro de
fractura relevante, Γ, toma la forma:
( )da
fdN
= Γ (3.2)
La función f(Γ) se calcula mediante experimentación y con geometrías simples como DCB —doble viga en voladizo—, para este tipo de geometrías existen soluciones analíticas para el parámetro de fractura aunque también se pueden usar métodos numéricos. A partir de la ecuación (3.2) se puede hallar, mediante integración, el número de ciclos hasta la falla, (Nf).
( )0
fa
f
a
daN
f=
Γ∫ (3.3)
Donde, (a0) es el tamaño inicial de grieta y (af) es el tamaño final de grieta. El cálculo Nf se realiza mediante rutinas de integración numérica de crecimiento de grieta —NCGI—. A grandes rasgos, el método asume un tamaño inicial de grieta ai, y se calcula el parámetro de
fractura Γ. El tamaño de grieta luego de ni ciclos, ai+1, se calcula mediante:
log (Gmax
) [J/m2]
log
(da/dN
) [m
/cic
lo]
REGIÓN I REGIÓN II REGIÓN III(límite)
(threshold)(lineal) (rápido)
max
n
p
daC G
dN=
Gth
Gc
81
1
i
i i i
daa a n
dN+
= + (3.4)
El procedimiento se repite hasta que Γ llega a un valor crítico de ruptura cuasi-estática, en
cuyo caso falla la probeta, o hasta que Γ llega a un valor límite en cual el crecimiento de grieta es despreciable. Abdel Wahab [42], propuso un método general para predecir el crecimiento de grietas en uniones adhesivas incorporando NCGI y FEA. Para su metodología llevó a cabo experimentos en probetas DCB a partir los cuales se determinó la ley de crecimiento de grieta. Luego se usó este resultado para predecir el crecimiento de grietas en uniones tipo SLJ y DLJ. Las predicciones logradas mostraron mejores resultados en probetas sin filetes. Al remover los filetes se reduce o elimina la fase de iniciación de fatiga [5]. En el caso en que la fase de iniciación sea significativa esta metodología subestima la vida en fatiga.
Límite de fatiga (fatigue threshold): Con este método se buscan predecir las condiciones de carga para que no haya crecimiento de grieta. En materiales adhesivos las curvas de Paris presentan un comportamiento escalonado, esto hace que una grieta crezca rápidamente luego de que ha alcanzado un tamaño detectable. Abdel Wahab et al. [11] utilizaron la tasa de liberación de energía de deformación límite (Gth) — Figura 45— y demostraron que la predicción de límite de fatiga depende del tamaño inicial de grieta asumido. Además, mostró que G presenta gran sensibilidad a bajos tamaños de grieta.
Fatiga de amplitud variable: Las técnicas de integración numéricas —NCGI— pueden adaptarse con facilidad para estudiar el crecimiento de grietas bajo cargas en fatiga de amplitud variable. Sin embargo, este procedimiento tiende a subestimar el crecimiento de grieta medido en forma experimental. Esto es un indicador de que el espectro de carga acelera el crecimiento de grietas. En el trabajo de Erpolat et al. [13] se observó un crecimiento acelerado de grietas al aplicar un valor elevado de Gmax —sobrecargas periódicas—.
82
Figura 46. Modelo de desplazamiento del daño. Tomado de [8]
Ashcroft [8], atribuyó este comportamiento a la generación adicional de daño interno en la región delante de la grieta en condiciones de sobrecarga y mostró evidencias experimentales de esta situación mediante radiografía de rayos-x y microscopía. En este trabajo se propuso un modelo denominado desplazamiento del daño (damage shift), el modelo asume que se puede analizar un bloque mediante la superposición de un espectro de amplitud constante CA —ver Figura 46— y un patrón de sobrecargas OL, desplazado lateralmente, de tal forma que el daño en zonas por delante de la punta de grieta redujeran la resistencia a la fatiga. Se propuso que este daño puede ser representado por un único
parámetro (Ψ). Además, que el crecimiento de grieta en la zona dañada se propaga hasta una posición de equilibrio de la curva de crecimiento de grieta, curva FCG, en la que el
parámetro de equilibrio (ΨE) se puede escribir:
( , )E R OL
f N RΨ = (3.5)
Donde NR es el número de sobrecargas y ROL esta dado por la relación ∆Ga y ∆Gol —∆G en
la sobrecarga—. Se observa en la Figura 46, que al incrementar ∆Ga, con el valor Gmax de la sobrecarga, se podría alcanza el valor crítico Gc de la curva FCG desplazada (i.e. curva OL) y se generaría una fractura inestable cuasi-estática. Si G sigue creciendo con el crecimiento de la grieta entonces fallará la unión. De otro lado, si G decrece con el crecimiento de grieta entonces esta eventualmente se detiene pero con una energía de detención (∆Garr) menor al valor en ausencia de sobrecarga reduciendo así el crecimiento de grieta.
Fatiga por deformación progresiva (Creep-Fatigue): En materiales adhesivos se ha observado el fenómeno de fatiga en condiciones de carga en fatiga [43]. El fenómeno se
EψCA OL
Log ∆G
Log
da/
dN
(da/dN)OL
(da/dN)CA
∆GA ∆GAC
83
hace evidente a altas temperaturas y se muestra en gráficas de desplazamiento contra ciclos de carga de amplitud constante.
Se utilizan tres métodos de predicción: primero, método de daño dominante, en cual los mecanismos de crecimiento de grieta y creep se asumen en competencia y la tasa de crecimiento de grieta se determina por el mecanismo dominante. Segundo, métodos empíricos que asumen que el crecimiento de grieta se puede describir por una ley experimental de evolución cuyas constantes están determinadas por la frecuencia y la temperatura. Tercero, método de partición, donde se asume que el crecimiento de grieta puede ser particionado en componentes dependientes del ciclo y de la temperatura. Este último método puede representarse por una ecuación de tipo:
1
fatiga creep
da da da
dN dN f dt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.6)
IV. MÉTODOS DE MECÁNICA DEL DAÑO
Este grupo están: modelo de zona de cohesión y mecánica del daño continuo.
Zona de cohesión (CZM, cohesize-zone modeling): en la mecánica de la fractura, la falla está definida por un único parámetro. En CZM son necesarios mínimo tres parámetros, por ejemplo, rigidez inicial, esfuerzo de iniciación de daño y la energía de fractura. Estos parámetros permiten definir la tasa de cambio de daño —fase de iniciación— y grieta.
Los modelos CZM se construyen a partir de modelos de resortes o elementos de interface que conectan elementos planos o tridimensionales. Los elementos de cohesión deben colocarse en las regiones donde se espera que inicie el daño [44]. Lo cual puede resultar en dificultad de aplicación del método. En el caso de adhesivos, la propagación de daño se asocia a planos cerca de la interfase adhesivo-adherente o en el adhesivo, donde típicamente se utilizan elementos de cohesión.
El trabajo de Gonçalves et al. [45] utilizaron un modelo daño cohesivo de modo mixto para simular el proceso de desprendimiento (debonding) de uniones adhesivas tipo SLJ, logrando buenas predicciones de las curvas desplazamiento y cargas de falla. También, el trabajo de de Moura et al. [46], en el cual propone un esquema de caracterización del modo II de fractura en uniones adhesivas, muestra que se pueden ajustar los resultados experimentales de curvas carga-desplazamiento, con buena precisión, al utilizar un modelo de daño cohesivo en modo mixto. La metodología ha demostrado ser útil para estudiar el comportamiento en tensión de uniones adhesivas carbon-epoxy [47], teniendo en cuenta el comportamiento dúctil del adhesivo mediante un modelo trapezoidal de daño cohesivo.
84
Mecánica del daño: esta teoría se explica en detalle en la sección 3.2. En este punto se mencionan las ventajas y desventajas del método per se y con respecto a las diferentes metodologías expuestas.
Las desventajas de los métodos de mecánica de la fractura son que no se tiene en cuenta la fase de iniciación. Además, el daño se presenta en el plano de propagación de la grieta y a través de un material no degradado lo cual no es preciso en términos mecánicos.
En ocasiones resulta complicado determinar la ubicación espacial de una grieta, más aún cuando se tiene un sistema de múltiples componentes como una unión adhesiva. Teniendo en cuenta las conclusiones presentadas en los métodos anteriores, se sabe que los resultados de diferentes simulaciones dependen del punto de ubicación de la grieta inicial. Esto es cierto tanto para los métodos de mecánica de la fractura como para los modelos de zona cohesiva. En la mecánica del daño la grieta no tiene un lugar predeterminado. El daño crece en función de las condiciones de carga y por lo tanto se puede predecir la fase de iniciación.
Con respecto a los modelos fenomenológicos, es claro que debido a su naturaleza experimental se tienen limitaciones en la flexibilidad para adaptarse a diferentes escenarios físicos. Esto es debido a que el modelo fenomenológico intenta, en muchos casos, resolver situaciones particulares de la experimentación. Contrario a esto, un modelo teórico permite analizar de forma sistemática los supuestos de partida que describan los comportamientos físicos con mayor precisión. Otro punto a favor de los planteamientos teóricos es que son más económicos que los experimentales.
V. CÓDIGOS DE LA SUBRUTINA DE SIMULACIÓN
SIMULACIÓN INCREMENTAL
!***************************************************************
!***************************************************************
! MODELO DE DAÑO CON BASE A LA DEFORMACION PLÁSTICA
! UTILIZANDO EL POTENCIAL DE DISIPACIÓN DE BONORA
!***************************************************************
!***************************************************************
!****************************_NOTA_*****************************
!PARA CARGAR EL ARCHIVO DIGITAR EN LA BARRA DE COMANDOS:
!/input,main,txt
!LOS RESULTADOS SE GRABAN EN UN ARCHIVO DE TEXTO (RESULSIM)
!GENERADO AL FINAL DE LA SUBRUTINA
!***************************************************************
finish
/clear
!***************************************************************
85
! DECLARAR CONSTANTES
!***************************************************************
!MODELO RANGO ELÁSTICO
E0=6881.415 !MÓDULO DE ELASTICIDAD (INICIAL)
V=0.37 !RELACIÓN DE POISSON
SYE=9.9836 !ESFUERZO DE FLUENCIA (también en modelo de Voce)
!MODELO DE PLASTICIDAD
R0=330 !constante voce
Rinf=18.8 !constante voce
bvoce=1220 !constante voce
SRUP=29.134 !ESFUERZO DE RUPTURA
!DATOS DE ENTRADA
FRZ=1070 !FUERZA APLICADA [N]
!90%SU=1070 N;85%SU=1011 N;80%SU=951 N
PORCP=2.7/100 !PORCENTAJE DE POROSIDAD EN LA PROBETA (x)
NSIM=20 !NÚMERO DE SIMULACIONES
!PARAMETROS DE DAÑO
epth=350e-6 !Deformación plástica de threshold
Dcr=0.161 !Valor de danho para falla
alpha= 0.688 !Exponente de danho de Bonora
!NOTA: Se halló experimentalmente una relación entre el porcentaje
!de porosidad y la deforción plástica de ruptura:
!se utilizó una función potencial epcr=m*x^b con:
!x=porcentaje de porosidad/ 0.3%<x>5.8%
!m=contante del material->experimental
!b=constante del material->experimental
mporo=561.82068 !constante (m) epcr=f(%porosidad)
bporo=-0.31068 !exponente (b) epcr=f(%porosidad)
epcr=(mporo*PORCP**bporo)*1e-6 !epcr=m*x^b
!GEOMETRÍA DE LA PROBETA
TK=3.14 !ESPESOR DE LA PROBETA
DMOR=105/2 !DISTANCIA ENTRE MORDAZAS
DEXT=50/2 !DISTANCIA ENTRE EXTENSOMETRO
DLV=26 !DIVISIONES PARA LAS LINEAS-(L) VERTICALES (PAR)
LH1=46 !DIVISIONES (L) PARA EXTREMOS DE PROBETA
LH2=50 !DIVISIONES (L) EN EL CENTRO DE PROBETA
L12=20 !DIVISIONES (L) PARA CAMBIO DE SECCION
ASR=1 !RELACIÓN DE ASPECTO PARA DIVISION L12
ASR2=1 !RELACIÓN DE ASPECTO lineas verticales
ASR3=1 !RELACIÓN DE ASPECTO lineas ARCO
ASR4=1 !RELACIÓN DE ASPECTO lineas Mordaza
!ADICIONALES
!se debe hacer una pre-simulación para conocer
!el número de los siguientes elementos:
!estos números no afectan la simulación y se usan
!para comprobar algunos resultados en el proceso de
!creación de este programa
!1) elemento del extremo izquierdo
!2) elemento en el centro
!3) elememto en extremo derecho
86
!4) elemento de la esquina superior izquierda EESQ
ELMAX=1257
ELTRAN=1571
ELMEN=2457
EESQ=1257
!***************************************************************
! GEOMETRIA Y PRE-MALLADO
!***************************************************************
/PREP7
!código para generar los KP
K,1,0,-13/2,,
K,2,57/2,-13/2,,
K,3,57/2+sqrt(57*57-54*54),-13/2,,
K,4,57/2+54,-13/2,,
K,5,57/2+54,13/2,,
K,6,57/2+sqrt(57*57-54*54),13/2,,
K,7,57/2,13/2,,
K,8,0,13/2,,
k,9,57/2,13/2+57,,
!construir líneas
LSTR,1,2
LSTR,2,3
LSTR,3,4
LSTR,5,6
LSTR,7,8
LSTR,4,5
LSTR,3,6
LSTR,2,7
LSTR,1,8
LSTR,6,7
!construir areas a partir de las líneas anteriores
AL,1,8,5,9
AL,2,7,10,8
AL,3,6,4,7
!definir las divisiones de las líneas
LESIZE,3,,,LH1,1/ASR4,,,,
LESIZE,4,,,LH1,ASR4,,,,
LESIZE,1,,,LH2,-1/ASR,,,,
LESIZE,5,,,LH2,-1/ASR,,,,
LESIZE,6,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,7,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,8,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,9,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,2,,,L12,1/ASR3,,,,
LESIZE,10,,,L12,ASR3,,,,
/PNUM,LINE,1
LPLOT
!***************************************************************
! MODELO DEL MATERIAL + MALLA
!***************************************************************
!definir el elemento y propiedades de material
ET,1,PLANE182
KEYOPT,1,3,3 !esfuezo plano + espesor
87
R,1,TK,
MP,EX,1,E0 !MODULO DE ELASTICIDAD
MP,PRXY,1,V !RELACION DE POISSON
TB,NLISO,1,1,4,VOCE !rango plástico
TBDATA,,SYE,R0,Rinf,bvoce,,
!generar la malla
MSHKEY,1
AMESH,ALL
!contar el número de elementos
*GET,NElem,ELEM,,COUNT,,,,
/input,selnod,txt !seleccionar el nodo de la mordaza y extensómetro
FINISH !Cerrar el preprocesado
!***************************************************************
! OPCIONES DE SOLUCIÓN
!***************************************************************
/SOLU
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,500,1e3,1 ! 500 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,800 ! máximo 800 iteraciones
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
!***************************************************************
! CONDICIONES DE FRONTERA (CARGAS)
!***************************************************************
!Restricciones de desplazamiento
NSEL,R,LOC,X,0
D,ALL,,0,,,,UX,,,,,
NSEL,R,LOC,Y,0
D,ALL,,0,,,,UY,,,,,
NSEL,ALL
!aplicar carga distribuida
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-FRZ/(TK*13)
NSEL,ALL
SOLVE
FINISH
!***************************************************************
! POSPROCESAMIENTO (GRAFICAS)
!***************************************************************
/POST1 !Abrir el post-procesador
ETABLE,EsfEQV,S,EQV !Tabla de esfuerzo equivalente (EsfEQV)
ETABLE,DEFPLA,EPPL,EQV !Tabla de deformacion plastica (DefPla)
ETABLE,TOTDEF,EPTO,EQV !Tabla deformacion total (totdef)
88
*DIM,ESFINI,ARRAY,nelem,2,1,,, !guarda el esfuerzo de cada elemento
*VGET,ESFINI(1,1),ELEM,,ELIST,,,,3
*VGET,ESFINI(1,2),ELEM,,ETAB,EsfEQV,,,2
*DIM,RESUL,ARRAY,NSIM,10,1,,, !aqui se guardan los resultados
PLESOL,EPPL,EQV,0,1.0 !graficar la deformación plástica equivalente
FINISH
!***************************************************************
! Daño en fatiga
!***************************************************************
!secuencia para hallar el esfuerzo promedio en la probeta
zaux=ESFINI(1,2)
*do,i,2,NElem,1
zaux=zaux+ESFINI(i,2)
*enddo
esfprom=zaux/NElem
!Incremento en deformación por ciclo
C=1.1460E-12 !constante de material
B=18.3905 !constante de material
INCRM=C*EXP(B*(esfprom/SRUP)) !traslacion [y]=c*exp(b*x) con
[x]=porcentaje de carga
NFIN=NINT((epcr-epth-5e-6)/INCRM)
DNOM=0
PASO=NFIN/NSIM
*do,j,1,NSIM,1
EPB=INCRM*j*PASO
D=Dcr*(1-(1-log((EPB+epth)/epth)/log(epcr/epth))**alpha)
/PREP7
!actulizar las propiedades del material
MP,EX,1,E0*(1-D)
TBDELE,NLISO,1
TB,NLISO,1,1,4,VOCE
TBDATA,,SYE*(1-D**2),R0*(1-D**2),Rinf*(1-D**2),bvoce*(1-D**2),,
FINISH
RESUL(j,1)=NINT(j*PASO)
RESUL(j,2)=D
RESUL(j,4)=EPB+epth
!calcular el módulo instantaneo
/SOLU
SFDELE,ALL,PRES !QUITAR LA CARGA
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-20/(TK*13) !CARGA DE 20[N]
NSEL,ALL
89
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,20,100,1 ! 20 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,100 ! máximo 100 iteraciones
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
SOLVE
FINISH
/POST1
ETABLE,REFL !actualizar las tablas.
PLESOL,S,EQV,0,1.0
*GET,NDXM,NODE,NXM,U,X !desplazamiento del nodo de mordaza
ENOM1=(20/(TK*13))/(NDXM/XOM)
*GET,NDXE,NODE,NXE,U,X !desplazamiento del nodo del extensometro
ENOM2=(20/(TK*13))/(NDXE/XOE)
DNOM=1-ENOM2/E0
RESUL(j,3)=ENOM2
FINISH
/SOLU
SFDELE,ALL,PRES !QUITAR LA CARGA ELÁSTICA
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-FRZ/(TK*13) !COLOCAR CARGA ORIGINAL
NSEL,ALL
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,500,1e3,1 ! 500 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,800 ! máximo 800 iteraciones
NLGEOM,ON ! Nonlinear geometry on
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
SOLVE
FINISH
/POST1
ETABLE,REFL !actualizar las tablas
PLESOL,EPPL,EQV,0,1.0
*GET,Z1,ELEM,ELMAX,ETAB,DEFPLA !deformación plástica elemento ELMAX
RESUL(j,5)=Z1
*GET,Z1,ELEM,ELTRAN,ETAB,DEFPLA !deformación plástica elemento ELTRAN
RESUL(j,6)=Z1
*GET,Z1,ELEM,ELMEN,ETAB,DEFPLA !deformación plástica elemento ELMEN
RESUL(j,7)=Z1
*GET,z1,EX,ELMAX,TEMP,, !módulo ELMAX
RESUL(j,8)=Z1
*GET,z1,EX,ELTRAN,TEMP,, !módulo ELTRAN
RESUL(j,9)=Z1
*GET,z1,EX,ELMEN,TEMP,, !módulo ELMEN
RESUL(j,10)=Z1
FINISH
90
!mostrar datos del progreso de la simulación
/input,display,txt
*enddo
/input,grabar,txt !graba los resultados en el archivo RESULSIM
!***************************************************************
! sECUENCIA PARA SELECCIONAR NODOS (MORDAZA Y EXTENSOMETRO)
!***************************************************************
!****************************_NOTA_*****************************
!ESTA FUNCION SE LLAMA DESDE EL MAIN.
!CREAR UN ARCHIVO DE TEXTO ADICIONAL CON EL NOMBRE “selnod”
!***************************************************************
!secuencia para seleccionar el nodo de la mordaza
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,X,DMOR-10,DMOR+10
*GET,NCON,NODE,,COUNT,,,,
*if,NCON,GT,0,then
*DIM,NODX1,ARRAY,NCON,2,1,,,
*VGET,NODX1(1,1),NODE,,NLIST,,,,3
*do,i,1,NCON,1
*GET,XOM,NODE,NODX1(i,1),LOC,X
NODX1(i,2)=XOM
*enddo
Z=ABS(DMOR-NODX1(1,2))
ZMIN=Z
*do,i,2,NCON,1
Z=ABS(DMOR-NODX1(i,2))
*if,Z,LE,ZMIN,then
ZMIN=Z
NXM=NODX1(i,1) !BUSCA EL NODO DE LA MORDAZA
*endif
*enddo
*GET,XOM,NODE,NXM,LOC,X !BUSCA UXO PARA LA MORDAZA
*endif
ALLSEL
!secuencia para seleccionar el nodo del extensometro
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,X,DEXT-5,DEXT+5
*GET,NCON,NODE,,COUNT,,,,
*if,NCON,GT,0,then
*DIM,NODX2,ARRAY,NCON,2,1,,,
*VGET,NODX2(1,1),NODE,,NLIST,,,,3
*do,i,1,NCON,1
*GET,XOE,NODE,NODX2(i,1),LOC,X
NODX2(i,2)=XOE
*enddo
Z=ABS(DEXT-NODX2(1,2))
ZMIN=Z
*do,i,2,NCON,1
Z=ABS(DEXT-NODX2(i,2))
*if,Z,LE,ZMIN,then
ZMIN=Z
NXE=NODX2(i,1) !BUSCA EL NODO DEL EXTENSOMETRO
91
*endif
*enddo
*GET,XOE,NODE,NXE,LOC,X !BUSCA UXO PARA EL EXTENSOMETRO
*endif
ALLSEL
!***************************************************************
! MOSTRAR EL PROGRESO DE LA SIMULACIÓN EN UNA VENTANA ADICIONAL
!***************************************************************
!****************************_NOTA_*****************************
!ESTA FUNCION SE LLAMA DESDE EL MAIN.
!CREAR UN ARCHIVO DE TEXTO ADICIONAL CON EL NOMBRE “display”
!***************************************************************
*MSG,UI,RESUL(j,1),RESUL(j,3),RESUL(j,4),DNOM,RESUL(j,10),RESUL(j,7),j,NS
IM
CICLO ACTUAL = %I %/&
E* ext. = %G (medido con extensometro) %/&
ep bonora = %G (para evaluar el danho) %/&
D nominal =%G (medido con extensometro) %/&
--COMPROBACIONES--%/&
E* ELEM. = %G (para un elemento) %/&
ep* ELEM. = %G (para un elemento) %/&
--PROGRESO DE LA SIMULACION--%/&
Simulacion %G de %G %/&
!***************************************************************
! GRABAR LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN EN UN ARCHIVO DE TEXTO
!***************************************************************
!****************************_NOTA_*****************************
!ESTA FUNCION SE LLAMA DESDE EL MAIN.
!CREAR UN ARCHIVO DE TEXTO ADICIONAL CON EL NOMBRE “grabar”
!***************************************************************
*cfopen,RESULSIM,txt
*VWRITE
('CICLO',' ','D(N)',' ','E*_EXT.',' ','ep_BONORA',' ','EP1',' ','EP2','
','EP3',' ','E1',' ','E2',' ','E3')
*VWRITE,RESUL(1,1), RESUL(1,2),RESUL(1,3), RESUL(1,4),RESUL(1,5),
RESUL(1,6),RESUL(1,7), RESUL(1,8),RESUL(1,9), RESUL(1,10)
(F6.0,' ',E13.5,' ',E13.5,' ',E13.5,' ',E13.5,' ',E13.5,' ',E13.5,'
',E13.5,' ',E13.5,' ',E13.5)
SIMULACIÓN ALTERNATIVA PARA CARGA DEL 80%SU
!***************************************************************
!***************************************************************
! MODELO DE DAÑO CON BASE A LA DEFORMACION PLÁSTICA
! UTILIZANDO EL POTENCIAL DE DISIPACIÓN DE BONORA
!***************************************************************
!***************************************************************
!****************************_NOTA_*****************************
!PARA CARGAR EL ARCHIVO DIGITAR EN LA BARRA DE COMANDOS:
92
!/input,main80alt,txt
!LOS RESULTADOS SE GRABAN EN UN ARCHIVO DE TEXTO (RESULSIM)
!GENERADO AL FINAL DE LA SUBRUTINA
!***************************************************************
finish
/clear
!***************************************************************
! DECLARAR CONSTANTES
!***************************************************************
!MODELO RANGO ELÁSTICO
E0=6881.415 !MÓDULO DE ELASTICIDAD (INICIAL)
V=0.37 !RELACIÓN DE POISSON
SYE=9.9836 !ESFUERZO DE FLUENCIA (también en modelo de Voce)
!MODELO DE PLASTICIDAD
R0=330 !constante voce
Rinf=18.8 !constante voce
bvoce=1220 !constante voce
SRUP=29.134 !ESFUERZO DE RUPTURA
!DATOS DE ENTRADA
FRZ=951 !FUERZA APLICADA [N]
NSIM=600 !NUMERO DE ITERACIONES (CICLOS ESPERADOS)
!PARAMETROS DE DAÑO
epth=350e-6 !Deformación plástica de threshold
Dcr=0.161 !Valor de danho para falla
alpha= 0.688 !Exponente de danho de Bonora
epcr=1640e-6 !tomado de los datos experimentales
!GEOMETRÍA DE LA PROBETA
TK=3.14 !ESPESOR DE LA PROBETA
DMOR=105/2 !DISTANCIA ENTRE MORDAZAS
DEXT=50/2 !DISTANCIA ENTRE EXTENSOMETRO
DLV=26 !DIVISIONES PARA LAS LINEAS-(L) VERTICALES (PAR)
LH1=46 !DIVISIONES (L) PARA EXTREMOS DE PROBETA
LH2=50 !DIVISIONES (L) EN EL CENTRO DE PROBETA
L12=20 !DIVISIONES (L) PARA CAMBIO DE SECCION
ASR=1 !RELACIÓN DE ASPECTO PARA DIVISION L12
ASR2=1 !RELACIÓN DE ASPECTO lineas verticales
ASR3=1 !RELACIÓN DE ASPECTO lineas ARCO
ASR4=1 !RELACIÓN DE ASPECTO lineas Mordaza
!ADICIONALES
!se debe hacer una pre-simulación para conocer
!el número de los siguientes elementos:
!estos números no afectan la simulación y se usan
!para comprobar algunos resultados en el proceso de
!creación de este programa
!1) elemento del extremo izquierdo
!2) elemento en el centro
!3) elememto en extremo derecho
!4) elemento de la esquina superior izquierda EESQ
ELMAX=1257
ELTRAN=1571
93
ELMEN=2457
EESQ=1257
!***************************************************************
! GEOMETRIA Y PRE-MALLADO
!***************************************************************
/PREP7
!código para generar los KP
K,1,0,-13/2,,
K,2,57/2,-13/2,,
K,3,57/2+sqrt(57*57-54*54),-13/2,,
K,4,57/2+54,-13/2,,
K,5,57/2+54,13/2,,
K,6,57/2+sqrt(57*57-54*54),13/2,,
K,7,57/2,13/2,,
K,8,0,13/2,,
k,9,57/2,13/2+57,,
!construir líneas
LSTR,1,2
LSTR,2,3
LSTR,3,4
LSTR,5,6
LSTR,7,8
LSTR,4,5
LSTR,3,6
LSTR,2,7
LSTR,1,8
LSTR,6,7
!construir areas a partir de las líneas anteriores
AL,1,8,5,9
AL,2,7,10,8
AL,3,6,4,7
!definir las divisiones de las líneas
LESIZE,3,,,LH1,1/ASR4,,,,
LESIZE,4,,,LH1,ASR4,,,,
LESIZE,1,,,LH2,-1/ASR,,,,
LESIZE,5,,,LH2,-1/ASR,,,,
LESIZE,6,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,7,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,8,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,9,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,2,,,L12,1/ASR3,,,,
LESIZE,10,,,L12,ASR3,,,,
/PNUM,LINE,1
LPLOT
!***************************************************************
! MODELO DEL MATERIAL + MALLA
!***************************************************************
!definir el elemento y propiedades de material
ET,1,PLANE182
KEYOPT,1,3,3 !esfuezo plano + espesor
R,1,TK,
MP,EX,1,E0 !MODULO DE ELASTICIDAD
MP,PRXY,1,V !RELACION DE POISSON
94
TB,NLISO,1,1,4,VOCE !rango plástico
TBDATA,,SYE,R0,Rinf,bvoce,,
!generar la malla
MSHKEY,1
AMESH,ALL
!contar el número de elementos
*GET,NElem,ELEM,,COUNT,,,,
/input,selnod,txt !seleccionar el nodo de la mordaza y extensómetro
FINISH !Cerrar el preprocesado
!***************************************************************
! OPCIONES DE SOLUCIÓN
!***************************************************************
/SOLU
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,500,1e3,1 ! 500 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,800 ! máximo 800 iteraciones
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
!***************************************************************
! CONDICIONES DE FRONTERA (CARGAS)
!***************************************************************
!Restricciones de desplazamiento
NSEL,R,LOC,X,0
D,ALL,,0,,,,UX,,,,,
NSEL,R,LOC,Y,0
D,ALL,,0,,,,UY,,,,,
NSEL,ALL
!aplicar carga distribuida
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-FRZ/(TK*13)
NSEL,ALL
SOLVE
FINISH
!***************************************************************
! POSPROCESAMIENTO (GRAFICAS)
!***************************************************************
/POST1 !Abrir el post-procesador
ETABLE,EsfEQV,S,EQV !Tabla de esfuerzo equivalente (EsfEQV)
ETABLE,DEFPLA,EPPL,EQV !Tabla de deformacion plastica (DefPla)
ETABLE,TOTDEF,EPTO,EQV !Tabla deformacion total (totdef)
*DIM,ESFINI,ARRAY,nelem,2,1,,, !guarda el esfuerzo de cada elemento
*VGET,ESFINI(1,1),ELEM,,ELIST,,,,3
*VGET,ESFINI(1,2),ELEM,,ETAB,EsfEQV,,,2
95
JINC=15
*DIM,RESUL,ARRAY,NSIM/JINC,10,1,,, !cuidado 15=incrementos en ciclos de
sim.
FINISH
!***************************************************************
! Secuencia de Daño en fatiga
!***************************************************************
DNOM=0
*do,j,30,NSIM,JINC !desde j=30 (ciclo inicial) hasta j=estimado
final con incrementos de 15 ciclos en cada simulacion
A80=41.07216 !esta valor es constante para el %por=5.8 y la carga de
80%Su
n80=-0.53476 !esta valor es constante para el %por=5.8 y la carga de
80%Su
EPB=((A80/(1+n80))*j**(1+n80))*1e-6
*if,EPB,GT,epth,then
*if,EPB,LT,epcr,then
D=Dcr*(1-(1-log((EPB)/epth)/log(epcr/epth))**alpha)
/PREP7
!actulizar propiedades del material
MP,EX,1,E0*(1-D)
TBDELE,NLISO,1
TB,NLISO,1,1,4,VOCE
TBDATA,,SYE*(1-D**2),R0*(1-D**2),Rinf*(1-D**2),bvoce*(1-D**2),,
FINISH
RESUL(j,1)=j
RESUL(j,2)=D
RESUL(j,4)=EPB
!calcular el módulo instantaneo
/SOLU
SFDELE,ALL,PRES !QUITAR LA CARGA
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-20/(TK*13) !CARGA DE 20[N]
NSEL,ALL
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,20,100,1 ! 20 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,100 ! máximo 100 iteraciones
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
SOLVE
FINISH
96
/POST1
ETABLE,REFL !actualizar las tablas.
PLESOL,S,EQV,0,1.0
*GET,NDXM,NODE,NXM,U,X !desplazamiento del nodo de mordaza
ENOM1=(20/(TK*13))/(NDXM/XOM)
*GET,NDXE,NODE,NXE,U,X !desplazamiento del nodo del extensometro
ENOM2=(20/(TK*13))/(NDXE/XOE)
DNOM=1-ENOM2/E0
RESUL(j,3)=ENOM2
FINISH
/SOLU
SFDELE,ALL,PRES !QUITAR LA CARGA ELASTICA
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-FRZ/(TK*13) !COLOCAR CARGA ORIGINAL
NSEL,ALL
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,500,1e3,1 ! 500 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,800 ! máximo 800 iteraciones
NLGEOM,ON ! Nonlinear geometry on
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
SOLVE
FINISH
/POST1
ETABLE,REFL !actualizar las tablas
PLESOL,EPPL,EQV,0,1.0
*GET,Z1,ELEM,ELMAX,ETAB,DEFPLA !deformación plástica elemento ELMAX
RESUL(j,5)=Z1
*GET,Z1,ELEM,ELTRAN,ETAB,DEFPLA !deformación plástica elemento ELTRAN
RESUL(j,6)=Z1
*GET,Z1,ELEM,ELMEN,ETAB,DEFPLA !deformación plástica elemento ELMEN
RESUL(j,7)=Z1
*GET,z1,EX,ELMAX,TEMP,, !módulo ELMAX
RESUL(j,8)=Z1
*GET,z1,EX,ELTRAN,TEMP,, !módulo ELTRAN
RESUL(j,9)=Z1
*GET,z1,EX,ELMEN,TEMP,, !módulo ELMEN
RESUL(j,10)=Z1
FINISH
!mostrar datos del progreso de la simulación
/input,display,txt
*endif !termina if para epb menor a epcr
*if,EPB,GT,epcr,then
!solo graba el dato para el ciclo actual
RESUL(j,1)=j
*endif !if para epb mayor a epcr
97
*endif !cerrar condicional para a aumentar danho epb>epth
*enddo
/input,grabar,txt !graba los resultados en el archivo RESULSIM
EFECTO DEL DAÑO EN LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
!***************************************************************
!***************************************************************
! SUBRUTINA PARA SIMULAR LA CURVA ESFUERZO/DEFORMACIÓN
! PARA ALGUN VALOR DE ENTRADA DEL DAÑO (D=#)
!***************************************************************
!***************************************************************
!****************************_NOTA_*****************************
!PARA CARGAR EL ARCHIVO DIGITAR EN LA BARRA DE COMANDOS:
!/input,voce,txt
!LOS RESULTADOS SE GRABAN EN UN ARCHIVO DE TEXTO (RTAvoce)
!GENERADO AL FINAL DE LA SUBRUTINA
!***************************************************************
finish
/clear
!***************************************************************
! DECLARAR CONSTANTES
!***************************************************************
D=.16 !VALOR DE ENTRADA PARA EL EFECTO DEL DAÑO
FRZ=100 !PRIMER PUNTO DE LA CURVA EN [N]
NI=10 !NUMERO DE PUNTOS DE LA SIMULACIÓN
E0=6881.415 !MODULO DE ELASTICIDAD (INICIAL)
V=0.37 !RELACION DE POISSON
SYE=9.9836 !ESFUERZO DE FLUENCIA
R0=330 !constante voce
Rinf=18.8 !constante voce
b=1220 !constante voce
SRUP=29.134 !ESFUERZO DE RUPTURA
TK=3.14 !ESPESOR DE LA PROBETA
DMOR=105/2 !DISTANCIA/2 ENTRE MORDAZAS
DEXT=50/2 !DISTANCIA/2 ENTRE EXTENSOMETRO
epth=350e-6 !Deformación plástica de threshold
Dcr=0.161 !Valor de danho para falla
alpha= 0.688 !Exponente de danho de Bonora
epcr=3400e-6 !tomado de los datos experimentales
DLV=26 !DIVISIONES PARA LAS LINEAS-(L) VERTICALES (PAR)
LH1=46 !DIVISIONES (L) PARA EXTREMOS DE PROBETA
LH2=50 !DIVISIONES (L) EN EL CENTRO DE PROBETA
L12=20 !DIVISIONES (L) PARA CAMBIO DE SECCION
ASR=1 !RELACION DE ASPECTO PARA DIVISION L12
ASR2=1 !RELACION DE ASPECTO lineas verticales
ASR3=1 !RELACION DE ASPECTO lineas ARCO
ASR4=1 !RELACION DE ASPECTO lineas Mordaza
98
!***************************************************************
! GEOMETRIA Y PRE-MALLADO
!***************************************************************
/PREP7
!código para generar los KP
K,1,0,-13/2,,
K,2,57/2,-13/2,,
K,3,57/2+sqrt(57*57-54*54),-13/2,,
K,4,57/2+54,-13/2,,
K,5,57/2+54,13/2,,
K,6,57/2+sqrt(57*57-54*54),13/2,,
K,7,57/2,13/2,,
K,8,0,13/2,,
k,9,57/2,13/2+57,,
!construir líneas
LSTR,1,2
LSTR,2,3
LSTR,3,4
LSTR,5,6
LSTR,7,8
LSTR,4,5
LSTR,3,6
LSTR,2,7
LSTR,1,8
LSTR,6,7
!construir areas a partir de las líneas anteriores
AL,1,8,5,9
AL,2,7,10,8
AL,3,6,4,7
!definir las divisiones de las líneas
LESIZE,3,,,LH1,1/ASR4,,,,
LESIZE,4,,,LH1,ASR4,,,,
LESIZE,1,,,LH2,-1/ASR,,,,
LESIZE,5,,,LH2,-1/ASR,,,,
LESIZE,6,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,7,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,8,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,9,,,DLV,ASR2,,,,
LESIZE,2,,,L12,1/ASR3,,,,
LESIZE,10,,,L12,ASR3,,,,
/PNUM,LINE,1
LPLOT
!***************************************************************
! MODELO DEL MATERIAL + MALLA
!***************************************************************
!definir el elemento y propiedades de material
ET,1,PLANE182
KEYOPT,1,3,3 !esfuezo plano + espesor
R,1,TK,
MP,EX,1,E0*(1-D) !MODULO DE ELASTICIDAD
MP,PRXY,1,V !RELACION DE POISSON
TB,NLISO,1,1,4,VOCE !rango plástico
TBDATA,,SYE/(1-D**2),R0*(1-D**2),Rinf*(1-D**2),b*(1-D**2),,
99
!generar la malla
MSHKEY,1
AMESH,ALL
!contar el número de elementos
*GET,NElem,ELEM,,COUNT,,,,
!secuencia para seleccionar el nodo del extensometro
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,X,DEXT-5,DEXT+5
*GET,NCON,NODE,,COUNT,,,,
*if,NCON,GT,0,then
*DIM,NODX2,ARRAY,NCON,2,1,,,
*VGET,NODX2(1,1),NODE,,NLIST,,,,3
*do,i,1,NCON,1
*GET,XOE,NODE,NODX2(i,1),LOC,X
NODX2(i,2)=XOE
*enddo
Z=ABS(DEXT-NODX2(1,2))
ZMIN=Z
*do,i,2,NCON,1
Z=ABS(DEXT-NODX2(i,2))
*if,Z,LE,ZMIN,then
ZMIN=Z
NXE=NODX2(i,1) !BUSCA EL NODO DEL EXTENSOMETRO
*endif
*enddo
*GET,XOE,NODE,NXE,LOC,X !BUSCA UXO PARA EL EXTENSOMETRO
*endif
ALLSEL
FINISH !Cerrar el preprocesado
!***************************************************************
! OPCIONES DE SOLUCIÓN
!***************************************************************
/SOLU
NLGEOM,ON ! no linealidad geométrica encendida
NSUBST,500,1e3,1 ! 500 pasos de carga (load steps)
OUTRES,ALL,ALL ! respuesta para todos los pasos de carga
AUTOTS,ON ! Auto time-search encendido
LNSRCH,ON ! Line search encendido
NEQIT,800 ! máximo 800 iteraciones
ANTYPE,0 !análisis de tipo estático
!***************************************************************
! CONDICIONES DE FRONTERA (CARGAS)
!***************************************************************
!Restricciones de desplazamiento
NSEL,R,LOC,X,0
D,ALL,,0,,,,UX,,,,,
NSEL,R,LOC,Y,0
D,ALL,,0,,,,UY,,,,,
NSEL,ALL
!aplicar carga distribuida
100
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-FRZ/(TK*13)
NSEL,ALL
SOLVE
FINISH
!***************************************************************
! POSPROCESAMIENTO (GRAFICAS)
!***************************************************************
/POST1 !Abrir el post-procesador
ETABLE,EsfEQV,S,EQV !Tabla de esfuerzo equivalente (EsfEQV)
ETABLE,DEFPLA,EPPL,EQV !Tabla de deformacion plastica (DefPla)
ETABLE,TOTDEF,EPTO,EQV !Tabla deformacion total (totdef)
ASEL,S,,,1
ESLA,R
PLESOL,EPTO,EQV,0,1.0 !Graficar deformación total equivalente
allsel
*DIM,DSIM,ARRAY,NI,3,1,,,
*GET,esf,ELEM,NXE,ETAB,ESFEQV !x inicial nodo A
*GET,totst,ELEM,NXE,ETAB,TOTDEF !x inicial nodo B
*GET,plast,ELEM,NXE,ETAB,DEFPLA
*SET,DSIM(1,1,1),esf !DATOS PARA EL ESFUERZO
*SET,DSIM(1,2,1),totst !DATOS PARA LA DEFORMACION UNITARIA
*SET,DSIM(1,3,1),plast !DATOS PARA LA DEFORMACION UNITARIA
FINISH
!***************************************************************
! DATOS-GRAFICA ESFUERZO DEFORMACION
!***************************************************************
Fmax=1150 !fuerza maxima aplicada
delt=(Fmax-FRZ)/(NI-1) !incremento para cada simulacion
*do,i,2,NI,1
/SOLU !ABRIR EL SOLUCIONADOR
SFDELE,all,PRES !QUITAR LA CARGA
FRZ=FRZ+delt !ACTUALIZAR LA CARGA
NSEL,R,LOC,X,57/2+54
SF,all,PRES,-FRZ/(TK*13)
NSEL,ALL
SOLVE
finish
/POST1
ETABLE,REFL
*GET,esf,ELEM,NXE,ETAB,ESFEQV
*GET,totst,ELEM,NXE,ETAB,TOTDEF
*GET,plast,ELEM,NXE,ETAB,DEFPLA
*SET,DSIM(i,1,1),esf !DATOS PARA EL ESFUERZO
*SET,DSIM(i,2,1),totst !DATOS PARA LA DEFORMACION TOTAL
*SET,DSIM(i,3,1),plast !DATOS PARA LA DEFORMACION PLASTICA
101
FINISH !CERRAR EL SOLUCIONADOR
*enddo
*cfopen,RTAvoce,txt
*VWRITE
('esfuerzo-sim',' ','deformacion-sim',' ','defplas-sim')
*VWRITE,DSIM(1,1),DSIM(1,2),DSIM(1,3)
(F6.2,' ',E13.5,' ',E13.5)