modelado de sistemas en matlab unidad i objetivo describir las propiedades de modelos físicos...

Modelado de Sistemas en MatLab

UNIDAD I

Objetivo Describir las propiedades de modelos físicos mediante el uso de técnicas matemáticas para observar su comportamiento en espacios orto normales.

UNIDAD IModelado de Sistemas en MatLab

TEMA No. 1

Fundamentos del modelado Matemático

UNIDAD 1. Modelado de sistemas en MatLab PROCESAMIENTO Y CONTROL VIRTUAL

Fundamentos del modelado matemático

Que es un modelo?

Un Modelo es una abstracción de la realidad que se hace para interpretarla. Ejemplos: lenguaje, escritura, artes, matemáticas, etc.



Que es un modelo?



Que es el modelado matemático?• El modelado es la habilidad para describir una situación problemática

que confronta un analista. Genéricamente la modelación implica crear una representación explícita de la idea que una persona tiene sobre una situación.

• El modelado matemático es una descripción en lenguaje matemático de un objeto que existe en un universo no matemático.

• Un buen modelado matemática involucra el establecimiento de relaciones entre el mundo real y el mundo matemático y la habilidad para moverse entre cada uno de ellos.



Existen tres formas de modelados:

- Icónico: Versión a escala del objeto real y con sus propiedades relevantes más o menos representadas.

- Analógico: Modelo con apariencia física distinta al original, pero con comportamiento representativo.

- Analítico: Relaciones matemáticas o lógicas que representen leyes físicas que se cree gobiernan el comportamiento de la situación bajo investigación.



El modelo matemático Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas. El éxito o fracaso de un modelo matemático depende de la precisión con la que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y el efecto de variables relacionadas entre sí.

Ejemplos:

- Las previsiones del tiempo- Los pronósticos económicos- Los movimientos de un robot



Básicamente, en un modelo matemático advertimos 3 fases:

• Construcción del modelo. Proceso mediante el cual se convierte el objeto no-matemático a lenguaje matemático.

• Análisis. Estudio del modelo matemático confeccionado.

• Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático.



Factores que permiten optimizar un modelo matemático.

a) Exactitud de los datos iniciales.

b) Considerar el tipo de fenómeno a estudiar.

c) Exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno.

d) Aproximar las ecuaciones.

e) Evolución del modelado. Puede ocurrir que durante los cálculos los errores que se producen se vayan transmitiendo o acumulando.



Ventajas

1. El proceso de modelado es en si una experiencia de aprendizaje. 2.- La rapidez del proceso de modelado permite considerar un mayor número de alternativas3.- Los modelos proporcionan una capacidad de predicción.4.- La aplicación de un modelo permite evitar costos por experimentación de ensayo y error.

Desventajas

1.- Podrían no tenerse contempladas todas las influencias sobre el objeto del estudio.2.- Se requiere un alto grado de habilidad matemática para crear modelos más complejos e interpretar correctamente las salidas 0.

Ventajas y desventajas del modelado como método lógico



Ejemplo 1:

• Desarrolle un modelo matemático para determinar el incremento de volumen de gas en un globo esférico a partir del incremento de su radio.

Volumen de la esfera de referencia:

Suponiendo que r=10cm y dr=0.5cmdV = (4)(3.1416)

628



Tarea:

• Desarrolle un modelo matemático que muestre un fenómeno físico y que permita determinar la forma en que varía una variable dependiente respecto a una variable independiente.

1) Describa el fenómeno.2) Determine la ecuación que describe matemáticamente al fenómeno

seleccionado.

3) Ingrese el modelos matemático a Matlab y muestre gráficamente la dependencia entre una de las variables independientes respecto a la variable dependiente.

4) Anexe el programa en Lenguaje M.


TEMA No. 2

Matemáticas avanzadas para la localización espacial



Que es MatLab? MATLAB (MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de software matemático que ofrece un IDE (Entorno de Desarrollo Integrado) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Hoy en día, MatLab es un programa muy potente, con un entorno agradable, que incluye herramientas de cálculo científico y técnico y de visualización gráfica, así como un lenguaje de programación de alto nivel.



Matlab es un programa command-driven, es decir, que se introducen las órdenes escribiéndolas una a una a continuación del símbolo » (prompt) que aparece en una interfaz de usuario.

Ejemplo:

»2+2 ans =

4

» x=2+3 x =

5

» x x =

5

»clc [Limpiar pantalla]»quit [Salir]


Comandos de MatLab

Operadores aritméticos:x + y Sumax - y Restax * y Multiplicaciónx / y Divisiónx \ y División inversa

x^n Potenciaexp(x ) Exponencial (e)log(x) Logaritmo natural base esqrt(x) Raíz cuadrada


Comandos de MatLab

Operadores relacionales> Mayor que< Menor que== Igual a~= Diferente a>= Mayor o igual<= Menor o igual

Operadores booleanos| Or& And


Comandos de MatLabProgramaciónCondicion if

r = 2;if r==2, volumen=(4/3)*pi*r^3;end>>

r = 2;if r ~= 3, volumen=(4/3)*pi*r^3;end

a=3,b=3,c=8;if a<5 & c>5, b=10;endb>>


Comandos de MatLabProgramaciónCondicion if

r=2;If r >3 b=1;elseif r==3 b=2;else b=0;end



Abrir MatLab e ingresar a la ventana de commandos (Command Window)>> radio=0.5; ENTER>> volumen=(4/3)*pi*radio^3; ENTER>> volumen ENTER

volumen =

>>

Ejemplo: Ingresando una función en MatLab

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏=(𝟒𝟑 )𝝅 𝒓𝟑 ,𝒓=𝟎 .𝟓


Modelado mediante Gráficas

Estilos de gráficas


Gráficas en MatLab

>>x=0:0.05:10; % crear una serie de datos de 0 a 10 con incrementos de 0.05>>y=sin(x).*exp(-0.4*x);>> plot(x,y)>>

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

𝐲=𝐬𝐢𝐧 (𝒙)𝒆−𝟎 .𝟒𝒙



Gráficas en MatLaby = sen(x)Matemáticas avanzadas para la localización espacial

%Grafica de una función simple%Función Seno

x=linspace(0,2*pi,200);y=sin(x);grid onhold onplot(x,y,'r')

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Gráficas en MatLab

𝐲=𝐜𝐨𝐬 (𝟒 𝒙 )/𝒆(𝟏−𝟎.𝟓𝒙 )


%Grafica de un producto de funciones%RESORTEx=linspace(0,2*pi,500);y=cos(4*x)./exp(1-x/2);

grid on hold onplot(x,y,'b','linewidth',4)

title('ESPIRAL','fontsize',18)xlabel('eje OX','fontsize',14)ylabel('eje OY','fontsize',14)

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10ESPIRAL

eje OX

eje

OY


Gráficas 3DEjemplo. Grafica de una espiral 3D

x = tCos(t), y = tSin(t) z = t

clft=linspace(0,8*pi,200);plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t,'r-','linewidth',2)grid on %dibujo de la rejillatitle('Curva espiral')xlabel('eje OX','fontsize',14)ylabel('eje OY','fontsize',14)zlabel('eje OZ','fontsize',14) -40

-200

2040

-40

-20

0

20

400

5

10

15

20

25

30

eje OX

Curva espiral

eje OY

eje

OZ


Modelado para la localización espacialEjemplo. Localización espacial y representación de vectores

% PRIMERO SE ESTABLECE UN MARCO DE REFERNCIA FIJO (X, Y, Z).XO=[-10,10];XYO=[0,0];XZO=[0,0];YO=[-10,10];YXO=[0,0];YZO=[0,0];ZXO=[0,0];ZYO=[0,0];ZO=[-10,10];axis([-10,10,-10,10,-10,10])grid onhold on %% comando para mantenerxlabel('X')ylabel('Y')zlabel('Z')plot3(XO,XYO,XZO,'b')plot3(ZXO,ZYO,ZO,'b')plot3(YXO,YO,YZO,'b')


Modelado para la localización espacialEjemplo. Localización espacial y representación de vectores

% PROCEDIMIENTO PARA GENERAR UN VECTOR, CON COORDENADAS INICIALES EN EL% ORIGEN% Se determinan las coordenadas iniciales y finales del% vector, respecto a cada uno de sus ejes.CROX=[0,5];CROY=[0,6];CROZ=[0,3]; % Se grafica de la siguiente maneraplot3(CROX,CROY,CROZ,'r')

-10-5

05

10

-10

-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

XY

Z


TEMA No. 3

Análisis cinemático



Problema cinemático directo de un robot El problema cinemático directo consiste en determinar la posición y orientación final del extremo de un robot a partir de las articulaciones y parámetros geométricos del robot.

MatLab es una herramienta apropiada para el análisis y simulación de problemas en robótica.

Un manipulador RR plano es un mecanismo articulado formado por una base fija, que representamos por un punto O, y dos segmentos rectos, de longitudes L1 y L2, respectivamente, cada uno de los cuales tiene en su origen un motor de tipo rotacional.


Cinemática Directa

L1 =50;L2 =50;teta1 =30;teta2 =60;th1 =teta1*pi/180;th2 =teta2*pi/180;px =L1*cos(th1)+L2*cos(th1+th2);py =L1*sin(th1)+L2*sin(th1+th2);plot(px,py,’ro’)xlabel('eje X','fontsize',12)ylabel('eje Y','fontsize',12)

Ejemplo 1:Determine la posición del efector final de un brazo robótico del tipo RR, con enlaces de longitud L1=L2= 50cm cuando los ángulos de sus articulaciones θ1 y θ2 son de 30 y 60 grados respectivamente.


Modelado para la localización espacialEjemplo 2:Muestre la trayectoria que siguen los eslabones de un manipulador robótico RR cuyas longitudes son L1=L2= 50cm, y cuyas articulaciones tienen ángulos de θ1=30 y θ2=60.

L1=50; L2=50; t1=linspace(0,(pi/3),200);t2=linspace(0,(pi/6),200);px=L1*cos(t1)+L2*cos(t1+t2); py=L1*sin(t1)+L2*sin(t1+t2); xf=L1*cos(pi/3)+L2*cos(pi/3+pi/6);yf=L1*sin(pi/3)+L2*sin(pi/3+pi/6);grid onhold onplot(px,py)plot(xf,yf,'ro')xlabel('eje X','fontsize',12)ylabel('eje Y','fontsize',12)



20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


Cinemática Directa

%Asignar valores a las variableL1=50; L2=50; teta1=30; teta2=60; %Convertir grados a radianesth1=teta1*pi/180; th2=teta2*pi/180; %Declarar formulaspx=L1*cos(th1)+L2*cos(th1+th2);py=L1*sin(th1)+L2*sin(th1+th2);hold ongrid on%Graficar puntoplot(px,py,'r.')xlabel('eje X', 'fontsize',12);ylabel('eje Y', 'fontsize',12);

%Graficar vectores v1x=[0,L1*cos(th1)]; v1y=[0,L1*sin(th1)]; plot(v1x,v1y,'g','linewidth',2); v2x=[L1*cos(th1),L1*cos(th1)+L2*cos(th1+th2)]; v2y=[L1*sin(th1),L1*sin(th1)+L2*sin(th1+th2)]; plot(v2x,v2y,'g','linewidth',2);

Graficar los vectores y las coordenadas de la posición final de un manipulador RR con L1=L2=50, 1=30 y 2=60.


Cinemática Directa

-50 0 50 100-50

0

50

100

eje X

eje

Y


Análisis cinemáticoPractica No. 2:

a) Defina la trayectoria que recorre el Efector Final de un manipulador RRR con 3GDL formados por los enlaces: L1=50cm, L2=40cm y L3=30cm. Las variables rotacionales son θ1, θ2 y θ3, las cuales varían uniformemente de 0 a 60 grados .

b) Determine y grafique la trayectoria que sigue el efector final al moverse los tres motores simultáneamente.

c) Grafique los vectores correspondientes a los tres eslabones y el vector resultante cuando todos los motores alcanzan su ángulo máximo.

d) Incorpora un cuarto motor que haga girar la base en el plano z desde 0 hasta 60 grados y grafique la nueva trayectoria.


TEMA No. 4

Análisis dinámico


Análisis dinámico% Dinamica de un manipulador RR con dos grados de libertadteta=60; L1=100; L2=100;title('Curva del manipulador','fontsize',14)xlabel('Eje OX')ylabel('eje OY')axis([-40 (L1+L2)*1.1 0 L1+L2]) for j=0:0.5:tetahold on; grid on %Grafica de vector L1 v1x=[0,L1*cosd(j)]; v1y=[0,L1*sind(j)]; plot(v1x,v1y,'b','linewidth',2); %Grafica devector L2 v2x=[L1*cosd(j),L1*cosd(j)+L2*cosd(j+j)]; v2y=[L1*sind(j),L1*sind(j)+L2*sind(j+j)]; plot(v2x,v2y,'g','linewidth',2); %Grafica de articulacion que une L1 y L2 px1=L1*cosd(j); py1=L1*sind(j); plot(px1,py1,'ro') %Grafica de Efector Final px2=L1*cosd(j)+L2*cosd(j+j); py2=L1*sind(j)+L2*sind(j+j); plot(px2,py2,'ro') pause(0.01)end


Análisis dinámico

0 50 100 150 2000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Curva del manipulador

Eje OX

eje

OY

modelado de sistemas en matlab unidad i objetivo describir las propiedades de modelos físicos...

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