Juan Pablo Cantillana Abarca

Seccin 6

Modelando la velocidad lmite de una gota

de lluvia.

La siguiente ecuacin diferencial modela la evolucin de la velocidad de cada de una gota de lluvia de forma ovalada bajo el efecto de la gravedad:

= 2 , =1

2

donde es el coeficiente de roce, la densidad del aire, el rea de la seccin transversal de la gota de agua.

1. Resolviendo la EDO, calcule la velocidad terica de cada v(t) y verifique que la velocidad lmite est dada por:

=

Respuesta: Tenemos la EDO

=

2

Dividimos por el lado derecho

+

2= 1

Aplicamos la primitiva respecto a la variable t

+

2 = 1

Recordamos la forma de la Tangente hiperblica

(

)

= +

Multiplicamos por el dividendo de la izquierda

=

+

Aplicamos la funcin tangente hiperblica

= tanh(

+

)

Normalizamos

=

tanh(

+

)

Ahora:

:

lim

=

1 =

Y se tiene lo buscado

2. Los valores mks de las constantes son:

=1

2

= 0,3 ; = 1,161 ; = 3,3108 ; = 1000 ; = 2,21672 = 3,09275

donde A y m dependen del dimetro d de la gota (en metros) con = 2;21672 y =3;09275. Usando los mtodos de Euler y de Runge Kutta, discretice la ecuacin y estime la velocidad lmite para gotas de lluvia de dimetros entre 1 y 8 milmetros. Compare con la solucin terica. Nota: los mtodos los debe programar usted y no se pueden utilizar rutinas de resolucin de EDO preexistentes en matlab. Respuesta: Defino

=

2

= 10 ; = 0.1

0 = 0 0 = 0

Desde matlab:

%definicin de constantes a=2.21672; b=3.09275; %memoria para que nada explote memo=zeros([101 2]); %iteradores i=1; j=1; d= [1:0.5:8]; %ms constantes y algunas variables C= 0.3; A= 3.3108.*(d(j)*0.001).^a; r= 1.161; m= 1000.*0.957251.*(d(j)*0.001).^b; g= 9.81; k=(1/2).*C.*A.*r; %casos iniciales memo(1,1)=0; memo(1,2)=-g; %aproximacin progresiva

while j

r= 1.161; m= 1000.*0.957251.*(d(j)*0.001).^b; g= 9.81; k=(1/2).*C.*A.*r; %casos iniciales memo(1,1)=0; memo(1,2)=-g; %aproximacin progresiva while j

Grafo comparativo

Seccin diferencia

Al comparar, es evidente que una aproximacin de orden superior se acerca ms a la curva deseada. La convergencia es bastante rpida, pues los valores de la abscisa

corresponden a 1

10 de segundo, y es entorno a -6.2.

Nota: La recta es la funcin a valores reales aproximada por matlab.

Si se pierde una fraccin de masa por evaporacin a medida que la gota cae, modifique la ecuacin para considerar este efecto y discretice como antes. Compare las velocidades lmites con el caso en que no hay evaporacin para diferentes dimetros de la gota.

En ste caso, tenemos que m tiende a 0. Lo exagerar con una prdida constante del 1% de la masa inicial. Progresivo %definicin de constantes, slots y variables a=2.21672; b=3.09275; memo=zeros([101 2]); i=1; j=1; d= [1:0.5:8]; C= 0.3; A= 3.3108.*(d(j)*0.001).^a; r= 1.161; m= 1000.*0.957251.*(d(j)*0.001).^b; g= 9.81; k=(1/2).*C.*A.*r; %casos iniciales memo(1,1)=0; memo(1,2)=-g; %iteraciones, j para dimetros, i para aproximaciones while j

Modificado (R-K) %definicin de constantes a=2.21672; b=3.09275; %creacin de slots e iteradores memo=zeros([101 3]); i=1; j=1; d= [1:0.5:8]; %definicin de constantes y variables C= 0.3; A= 3.3108.*(d(j)*0.001).^a; r= 1.161; m= 1000.*0.957251.*(d(j)*0.001).^b; g= 9.81; k=(1/2).*C.*A.*r; %casos iniciales memo(1,1)=0; memo(1,2)=-g; %iteraciones, j para dimetros, i para aproximaciones while j

end hold on plot(memo(:,1),'+') i=1; j=j+1; end

Grafo comparativo

Nota: Las rectas son la funcin sin modificar del primer punto y la funcin modificada, todo esto desde la aproximacin de matlab. Es fcil notar que llegado cierto tiempo t, la prdida de masa se vuelve notoria con un efecto distinto al de masa constante, pues la convergencia de velocidad es a un valor mayor, y si decrece a tasa constante converge a 0 con notable velocidad. Es por ello que se deduce que masas muy pequeas deberan alcanzar velocidades menores bajo las mismas condiciones. Sin embargo, no se ha dado elasticidad al dimetro ni al rea, por lo que se trata de una gota en constante expansin tambin, lo que vuelve la solucin en un caso particular.