UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

MODELADO DE CADENAS DESLIZANTES

Teniendo un sistema de poleas con masa significativa dispuesto en la siguiente forma:

Observamos que la cadena de longitud L esta inicialmente equilibrada pero al correr un extremo en una cantidad X, el sistema se desequilibra y empieza a moverse. Nuestro objetivo es predecir este movimiento. Para esto usamos lo siguiente:

1. Determinamos la cantidad o longitud de cadena que origina el desequilibrio. Ejm:

( L2 +x )−( L2−x )=2 x Longitud desequilibradora2. Calculamos el peso mediante la suposición de una carga uniformemente distribuida.

(2 x)( m∗gLtotal

) Fuerza neta desequilibradora en Newtons3. Basándonos en la Segunda Ley de Newton podemos establecer el modelo.

md2 xd t2

=(2 x)( m∗gLtotal

)

d2 xd t 2

=2xmgL

Ejemplo #1

Una cadena colocada sobre una clavija pulida pende 8 dm de un lado y 10 dm del otro. Si la fuerza de rozamiento es igual al peso de 1 dm de cadena, hallar el tiempo que tarda la cadena en resbalarse.

Segmento desequilibrador:

(10 + x) – (8 – x) = 2+ 2 x

Entonces

md2 xd t2

= [ (10+ x )−8+x ]

¿ 1+2x mg18

d2 xdt2

−19gx= 1

18g

m2−19g=0

m2−19g=0

m=±√ g9Operadores anuladores

D ¿)=0

A=−12

Entonces,

x (t )=c1 e√ g9 t+c2 e−√ g9 t−12

Cuando t = 0, x = 0

0=c1+c2−12

c2=(12−c2)Cuando t = 0, v = 0

0=√ g9 c1-√ g9 c2

c2=c1

x (t )= 14e√g9t+14e

−√ g9 t−12

Entonces, la cadena cae cuando x = 8 dm

x (t )= 142 [Ch(√ g9 t)]-12

x (t )=12 [Ch(√ g9 t) ]-12

8=12Ch(√ g9 t )-12

17=Ch(√ g9 t )t=Ch−1 17

√ g9

t=3ch−1 (17 )

√ gsegundos

Operadores Anuladores

D( 16 g)=0 A=-1

EJEMPLO #2Una cadena de 6 dm de largo empieza a moverse colgando 1 dm sobre el borde. Despreciando el rozamiento, calcular el tiempo necesario para que se resbale por completo.

Fuerza desequilibradora

(1+x )mg6

Entonces

md2 xd t2

=(1+x )6

mg

d2 xd t 2

−16gx=1

6g

m=±√ g6x (t )=1

2e√g6t+ 12e−√ g6 t−1

Ahora la caída se da cuando x=5

2 x=Ch(√ g6 t)−2( x+1 )=Ch(√ g6 t)√ g6 t=Ch−1(x+1)

t=√ 6g ln ( x+1+√x2+2x )

t=√ 6g ln (6+√35) Segundos

Ejemplo 33. Se ha colocado una cadena sobre una clavija pulida, colgando de un lado, 8 m y del otro 12 m. Hallar la distanciaa) A los 0.5 segundosb) Al segundo

Cuandot=0 .5x ( t )=0 .24mCuandot=1x ( t )=1m

(12+x )−(8−x )=4+2 x

(4+2 x )mg20

=F .Desequilibrio

d2 x

dt 2−4g20

−2 gx20

=0→d2 x

dt 2−110gx=1

5g

Entonces

n=±√g10x( t )=C1e

√g10 t+C2e−√g10 t−2Parat=0 , x=00=C1+C2−2→C2=2−C1Parat=0 , x '(0 )

0=√g10 C1e√g10 t−√ g10 C2e−√g10 t

0=√g10 C1−√g10 C2C1=1 ,C2=1

x( t )=e√g10t

+e−√g10 t−2