modelación en flotación ii

41
Universidad de Atacama Modelación de la Flotación Modelación en Flotación Mario A. Guevara Departamento de Metalurgia Universidad de Atacama Noviembre de 2001.

Upload: rodrigo-ormeno

Post on 13-Jun-2015

9.729 views

Category:

Technology


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación en Flotación

Mario A. GuevaraDepartamento de MetalurgiaUniversidad de Atacama

Noviembre de 2001.

Page 2: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Objetivos

Conocer y representar mediante ecuaciones el fenómeno de flotación

Evaluar los parámetros de los modelos

Simular el proceso

Page 3: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Temario

Conceptualización del sistema

Modelación flotación semibatch

Funciones de distribución continua

Funciones de distribución discreta

Evaluación de parámetros

Modelación contínua

Page 4: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Conceptualización del sistema de flotación

Partículas

libres

Partículas

unidas a

burbujas

Partículas

unidas a

burbujas

Partículas

libres

Esp

uma

Pul

pa

Alimentación Aire Relave

Concentrado Aire

Page 5: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Conceptualización del sistema de flotación

Tres son los enfoques

Existencia de cuatro fases Una de partículas libres en la pulpa Partículas adheridas a burbujas en la pulpa Partículas libres en la espuma Partículas adheridas a burbujas en la espuma

Dos fases Una de pulpa Otra de espuma

Enfoque cinético

Page 6: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Enfoque cinético

Se considera que el evento de flotación ocurre análogo a una reacción química.

+

nC(t)K dt

dC(t)

Page 7: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

Planteando el modelo en términos del componente residual en la celda

M(t)K dt

dM(t)

donde:

M(t) = masa residual del componente en un tiempo t=t

M0 = masa residual del componente para t=0

Integrando:

t

0

M(t)

MdtK

M(t)

dM(t)

0

Page 8: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

Resulta:

tK-

0

e MM(t)

F(t)

F(t)

t

1

Page 9: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

Primer problema: La evidencia experimental muestra que, aún cuando el tiempo tienda a

infinito, siempre existe una fracción de componente que no es flotable.

0

0

M

m R

donde:

m0 = masa residual flotable del componente en un tiempo t=0

M0 = masa residual del componente para t=0

Solución: Se define un parámetro R, que representa la fracción de masa flotable

del componente de la mena (recuperación máxima obtenible)

Page 10: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

Aplicando el modelo ahora para el componente flotable remanente en la celda, m(t), queda:

tK-

0

e mm(t)

f(t)

f(t)ln

[min]t 100

10-1

10-2

10-3

t1 t2 t3 t4

K = 1,0

K = 0,5

Page 11: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

En flotación, la variable habitual que se utiliza es la recuperación, R, por lo tanto:

0

0

0

0

Mm(t) - m

M

M(t) - M

inicial masarecuperada masa

R

como:

se obtiene

tke1R R

Rm

M 00

Page 12: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado:

f(t)ln

t1

2

Page 13: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado:

Si bien los valores tienden a representar un comportamiento lineal, la curva no tiende a f(t) = 1 en t=0.

Esto se debe a que es difícil determinar el tiempo cero real de la experiencia

Solución

Se agrega un nuevo parámetro , que permite obtener el tiempo real

) -t (K-

0

e mm(t)

f(t)

Page 14: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch Tercer problema

Para tiempos grandes, la pendiente varía haciéndose cada vez menos negativa, especialmente para f(t) < 0,1.

Esto es debido al parámetro K, y puede deberse a dos factores

Que K es función del tiempo

Que K está estadísticamente distribuído

Intuitivamente, es más razonable que K esté estadísticamente distribuído

Page 15: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch Se define como especie a todas aquellas partículas que tienen la misma velocidad de flotación

Este concepto agrupa la partícula misma como el medio ambiente, tanto químico como hidrodinámico.

Este concepto está basado en la respuesta de la mena frente a la flotación y no a las características de las partículas como individuos.

O sea, dos especies serán iguales si tienen la misma velocidad de flotación

Por lo tanto, cada mena en particular se caracterizará por una distribución inicial de especies que irá cambiando a medida de transcurra la flotación

Page 16: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución

(t)

pp p+dp

.dx(x)b)XP(a3.

.1dx(x)2.

R.xtodopara0(x)1.

adprobabilid de contínuaFunción

b

a

(t)

pp1 p2 p3

1

3

2

.(x)x)P(X3.

.1(x)2.

0.(x)1.

adprobabilid de discretaFunción

x

Page 17: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación flotación semi-batch

Estas funciones representan la probabilidad o frecuencia con que se presenta una cierta propiedad p.

(p)dp representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la propiedad p, en el intervalo diferencial p a p+dp, en forma contínua.

j, representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la propiedad pj en forma discreta.

Page 18: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

Ψ(t)f(t)

t

f(0)

k

k

f(t1)

f(t2)

f(t3)

f(t4)t1

t2

t3

t4

k + dk

max

min

k

k

dkt)Ψ(k,f(t) f(t)

remanentefracción -.dk t)Ψ(k,f(t)

frecuencia -. dk t)Ψ(k,

Page 19: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

La ecuación fundamental de modelación de flotación para una distrubución contínua de velocidades es, entonces:

max

min

k

k

dkt)Ψ(k,f(t) f(t)

el problema para resolverla es que la función distribución, (k,t), depende del tiempo

La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación sigue una cinética de primer orden, por lo tanto:

t)Ψ(k,f(t)k- t)Ψ(k,f(t)dtd

Page 20: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

reordenando

y resolviendo para:

dtk-

t)Ψ(k,f(t)t)Ψ(k,f(t)d

t)Ψ(k,f(t)t)Ψ(k,f(t) t t

Ψ(k,0)Ψ(k,0)f(0)t)Ψ(k,f(t) 0t

tenemos:

t-keΨ(k,0) t)Ψ(k,f(t)

Page 21: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene:

esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de velocidades inicial, (k,0), para el mineral.

max

min

k

k

tk- dkeΨ(k,0) f(t)

Page 22: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

(k,0)

k

Rectangular simple (k,0)

k

Rectangular doble

(k,0)

k

Triangular (k,0)

k

Triangular invertida simple

Page 23: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

(k,0)

k

(k,0)

k

Triangular invertida doble

(k,0)

k

Gamma simple (k,0)

k

Gamma doble

Triangular invertida simple

Page 24: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

(k,0)

kqxkm

Rectangular simple

km

Ejemplo

Encontrar la función distribución si la distribución de velocidades iniciales corresponde a una función rectangular simple

Page 25: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución continua

Solución

para esta ecuación, existen dos casos particulares cuando q toma los valores de cero y uno, y se obtiene:

tktkq

m

mm e etkq)(1

1 f(t)

tk

tk

m

m

m

e f(t)

1 q si

e 1tk

1 f(t)

0 q si

Page 26: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución discreta

(t)F(t)

t

1

k

t1

t2

t3

n

1jj

j

j

F(t)t)(k,Φ F(t)

remanentefracción -. F(t)t)(k,Φ

frecuencia -. t)(k,Φ

k1

2

k2

Page 27: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución discreta

La ecuación fundamental de modelación de flotación para una distribución discreta de velocidades es, entonces:

n

1jj F(t)t)(k, F(t)

el problema para resolverla es que la función distribución, (k,t), depende del tiempo

La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación sigue una cinética de primer orden, por lo tanto:

F(t)t)(k,k- F(t)t)(k,dtd

Page 28: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución discreta

reordenando

y resolviendo para:

dtk-

F(t)t)(k,F(t)t)(k,d

F(t)t)(k,F(t)t)(k, t t

(k,0)F(0)(k,0)F(t)t)(k, 0t

tenemos:

t-ke(k,0) F(t)t)(k,

Page 29: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución discreta

Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene:

esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de velocidades inicial, (k,0), para el mineral.

n

1j

tk-j

je(k,0)Φ F(t)

Page 30: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelo de García-Zúñiga

(t)F(t)

t

k

t1

t2

t3 tk

2

2

1

1

tk2

tk1

eΦ)-(1 Φ F(t)

:tenemos

k k

Φ-1 Φ

0 k

Φ Φ

:haciendo

eΦ eΦ F(t)

flota no que otray flota que una flotables,

especies dos de existencia la Propone

21

k=0

1-k=k

Page 31: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelo de Kelsall

(t)F(t)

t

k

t1

t2

t3

ks

1-kf

eΦ)-(1 eΦ F(t)

:tenemos

k k

Φ-1 Φ

k k

Φ Φ

:haciendo

eΦ eΦ F(t)

rápido flota que otray lenyo flota que una

flotables, especies dos de existencia la Propone

tktk

f2

2

s1

1

tk2

tk1

fs

21

Page 32: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelo de Jowett

(t)F(t)

t

1

k

t1

t2

t3

ks

1-1-2

kf

tk21

tk21

f3

213

s2

22

1

11

tk3

tk2

tk1

fs

321

e)-Φ-(1 eΦ F(t)

:tenemos

k k

-Φ-1 Φ

k k

Φ Φ

0 k

Φ Φ

:haciendo

eΦ eΦ eΦ F(t)

rápido flota

que otray lento flota que unaflota, no que una

flotables, especies tresde existencia la Propone

2

k=0

Page 33: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Funciones de distribución discreta Observaciones:

F(t), corresponde al sólido remanente en la celda

En términos de la recuperación, se debe utilizar la relación:

F(t)-1 R(t)

Page 34: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Evaluación de parámetrosModelo de García-Zúñiga

R

t

R

tke1R R

R

R - 1ln

t

tk R

R 1ln

k

Método gráfico

Page 35: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Evaluación de parámetrosModelo de Kelsall

F(t)

t

t

Método gráficotktk fs eΦ)-(1 eΦ F(t)

tkseΦ F(t)

:largos tiempospara

ks

tk - Φ-1ln eΦ - F(t)ln ftks

ln[1-]

kf

tkseΦ - F(t)ln

Page 36: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación de la flotación contínua

La diferencia fundamental entre un sistema discreto y uno continuo se refiere al mecanismo de transporte de masa a través de la unidad

En un sistema semibatch, las partículas permanecen un mismo tiempo dentro de la celda

En una operación continua, la partículas muestran una distribución de tiempos de residencia

Page 37: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelación de la flotación contínua

La metodología consiste en evaluar la función distribución de tiempos de residencia en una celda contínua y ponderarla de acuerdo al modelo semibatch.

0 0

tk

0

BATCH

dtE(t)dkeΨ(k,0) f(t)

dtE(t)f(t) f(t)

ó

Page 38: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Distribución de tiempos de residencia

Para caracterizar el transporte de masa a través de un reactor se han planteado dos tipos de reactores ideales:

Flujo pistón La alimentación se desplaza dentro del reactor sin mezcla axial y

con mezcla perfecta en dirección radial las partículas tienen un mismo tiempo de residencia

Mezcla perfecta El flujo de alimentación se dispersa homogenea e

instantáneamente en todo el volumen de reactor Las partículas tienen tiempos de residencia distintos

Page 39: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Mezcla perfecta

La distribución de tiempo de residencia para la mezcla perfecta tiene la expresión:

tt

et1

E(t)

donde t es el tiempo promedio de la distribución (tiempo medio de residencia).

En forma adimensional

e E(t)t )E(

Page 40: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Mezcla perfecta

para N reactores conectados en serie:

NN

1N e1)!(n

N E(t)t )E(

Se debe tomar en cuenta que si N tiende a infinito, el comportamiento de los reactores en serie es equivalente a un flujo pistón.

Page 41: Modelación en Flotación II

Universidad de Atacama

Modelación de la Flotación

Modelo de García Zúñiga flotación continua

Se debe resolver la ecuación:

NN

0

t

tNN1-N

tk

0

BATCH

tk 1

1

Nt

k 1

1 f(t)

dte1)!(N

Ntt

t1

e f(t)

dtE(t)f(t) f(t)

Solución: