Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Escuela de Ingeniería Química

Alumno: Héctor Domínguez.

Profesor: Javier Silva.

Modelación de estanque

alimentado por flujo de

agua y flujo de saturado de

sal. EIQ 540 – CONTROL DE PROCESOS

1

Contenido

Modelación ........................................................................................................................................2

Grados de libertad del sistema ......................................................................................................5

Simulación en Matlab ......................................................................................................................5

Conclusión ........................................................................................................................................9

2

Modelación

Se requiere modelar un estanque alimentado por dos corrientes F1 compuesta por agua, y la

corriente F2 con una concentración saturada de sal en agua, dando como resultado una tercera

corriente F3, compuesta por agua y sal.

Para la modelación del sistema se tomaron las siguientes suposiciones:

Nivel del estanque variable, por lo que el volumen dentro de él también cambiará

respecto al tiempo.

Flujo F2 posee un composición de 360 Kg/m3 para que esté saturado de sal.

Se asumieron las densidades iguales y constantes para efectos de cálculos.

Consideramos una mezcla homogénea dentro del estanque por lo que tanto la

concentración de sal dentro y en F3 es similar.

Acentuación definiremos las unidades del sistema:

𝐹1: [𝑚3/𝑠]

𝐹2: [𝑚3/𝑠]

𝐹3: [𝑚3/𝑠]

ρ: [𝐾𝑔/𝑚3]

ℎ: [𝑚]

Balance de masa global:

𝜕(ρ ∗ V)

𝜕𝑡= ρ ∗ 𝐹1 + ρ ∗ 𝐹2 − ρ ∗ 𝐹3

F1 F2; C2

F3 ; C

C3

h

3

ρ𝜕𝑉

𝜕𝑡= ρ ∗ 𝐹1 + ρ ∗ 𝐹2 − ρ ∗ 𝐹3

𝜕(𝐴 ∗ ℎ)

𝜕𝑡= 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹3

𝐴𝜕ℎ

𝜕𝑡= 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹3

𝜕ℎ

𝜕𝑡= 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹3

Relación entre F3 y h:

(ℎ − ℎ0) ∗𝑔

𝑔𝑐+

∆𝑃

ρ+

(𝑣22 − 𝑣1

2)

2𝑔𝑐+ ℎ𝑓 + 𝑤 = 0

(−ℎ0) ∗𝑔

𝑔𝑐+

(𝑣22 − 𝑣1

2)

2𝑔𝑐= 0

Utilizando la ecuación de continuidad:

𝑄1 = 𝑄2

𝑣1 ∗ 𝐴1 = 𝑣2 ∗ 𝐴2

Reemplazamos:

(−ℎ0) ∗𝑔

𝑔𝑐+

(𝑄2

𝐴22 −

𝑄2

𝐴12)

2𝑔𝑐= 0

𝑄2 (1

𝐴22 −

1

𝐴12) = 2 ∗ ℎ ∗ 𝑔

𝑄2 =2 ∗ ℎ ∗ 𝑔

(1

𝐴22 −

1

𝐴12)

𝜕ℎ

𝜕𝑡=

𝐹1

𝐴+

𝐹2

𝐴−

𝐹3

𝐴

Ecuación 1 Modelación de altura respecto a tiempo

4

𝑄 =√

2 ∗ ℎ ∗ 𝑔

(1

𝐴22 −

1

𝐴12)

𝐹3 =√

2 ∗ ℎ ∗ 𝑔

(1

𝐴22 −

1

𝐴12)

𝐾 =√

2 ∗ 𝑔

(1

𝐴22 −

1

𝐴12)

𝐹3 = 𝐾 ∗ √ℎ

𝜕ℎ

𝜕𝑡=

𝐹1

𝐴+

𝐹2

𝐴−

𝐾 ∗ √ℎ

𝐴

Ecuación 2 Modelo diferencial altura respecto a tiempo considerando ecuación de Bernoulli.

Balance de masa diferencial al compuesto:

𝜕𝑀𝑠𝑎𝑙

𝜕𝑡= 𝐶2 ∗ 𝐹2 − 𝐶 ∗ 𝐹3

𝜕(𝐶 ∗ 𝑉)

𝜕𝑡= 𝐶2 ∗ 𝐹2 − 𝐶 ∗ 𝐹3

𝜕𝐶

𝜕𝑡𝑉 +

𝜕𝑉

𝜕𝑡𝐶 = 𝐶2 ∗ 𝐹2 − 𝐶 ∗ 𝐹3

𝜕𝐶

𝜕𝑡ℎ +

𝜕ℎ

𝜕𝑡𝐶 =

𝐶2 ∗ 𝐹2

𝐴−

𝐶 ∗ 𝐹3

𝐴

𝜕𝐶

𝜕𝑡ℎ + (

𝐹1

𝐴+

𝐹2

𝐴−

𝐾 ∗ √ℎ

𝐴) 𝐶 =

𝐶2 ∗ 𝐹2

𝐴−

𝐶 ∗ 𝐹3

𝐴

𝜕𝐶

𝜕𝑡=

𝐶2 ∗ 𝐹2

ℎ ∗ 𝐴−

𝐶 ∗ 𝐾 ∗ √ℎ

ℎ ∗ 𝐴− (

𝐹1

𝐴+

𝐹2

𝐴−

𝐾 ∗ √ℎ

𝐴)

𝐶

ℎ

Ecuación 3 Modelo diferencial de concentración respecto a tiempo.

5

Grados de libertad del sistema

Simulación en Matlab

Para la simulación en Matlab utilizamos los siguientes datos de flujo y condiciones iniciales:

𝐹1 = 0.002 [𝑚3/𝑠]

𝐹2 = 0.2[𝑚3/𝑠]

ℎ = 0.1[𝑚]

C = 360[𝐾𝑔/𝑚3]

𝐾 = 0.089

En esta simulación analizaremos tres casos dependiendo de las condiciones de flujo para el primer

caso, el flujo de agua F1 es menor que F2, flujo de agua F1 mayor que F2, y para flujos iguales.

Obteniendo así el siguiente gráfico en Matlab.

Grados de libertad

Variables independientes

7 F1,F2,F3,C,C2,C3,h

Ecuaciones de balance 2 BM y BMsal

Variables específicas 1 Concentración saturada

Relaciones adicionales 2 F3αh, C3=C

Total 2

F1 F2; C2

F3 ; C

C3

h

6

Figura 1 Simulación Flujo de agua menor que flujo de sal.

7

Figura 2 Simulación Flujo de agua igual que flujo de sal.

8

Figura 3 Simulación Flujo de agua mayor que flujo de sal.

9

Conclusión

Una vez obtenido el modelo para el estanque, se resolvió y analizó el comportamiento

natural del sistema. Se creo una funcion multivariable en matlab, la cual nos permite

resolver simultaneamente la variación de altura en el estanque respecto al tiempo, como

también la variación de concentración dentro de él.

Como sabemos la solubilidad es la máxima cantidad de soluto que se puede disolver en

una cantidad de solvente, a 25[°C] la solubilidad de la sal en agua es de

aproximadamente 360 [Kg/m3], por lo que como definición del problema la corriente F2

tiene una concentración saturada de sal.

Obtenido el modelo y datos para la modelación, se analizó el comportamiento de éste

para tres dintintos casos, enfocados a que pasaría con la variación de los flujos. Para el

primer caso F1 es menor que F2, arrojando como resultados una concentración de

356,43[Kg/m3] de sal en el estanque, esto quiere decir que no la concentración que

contiene el flujo F2 disminuye en cantidades pequeñas, por lo que en el caso de querer

diluir o disminuir la concentración considerablemente esto no nos serviría. Alcanzada esa

concentración el estanque alcanzó un nivel de líquido de 5.15[m], e inicialmente tenía 1[m]

solo conteniendo agua, el tiempo necesario para alcanzar estos resultados fue

aproximadamente 200 [s].

Para el caso de tener flujos iguales, la altura es considerablemente mayor 20.17[m] con

una concentración de 180[Kg/m3] , F1 y F2 tienen un valor de 0.2 [m3/s], el nivel es

constante a los 2000 [s], este caso tampoco es favorable ya que el propósito del modelo

es diluir la concentración.

Como tercer caso, se utilizó un flujo de agua F1 mayor que F2 arrojando resultados

favorables, la concentración de sal baja hasta 3.56 [Kg/m3] en un tiempo aproximado de

400 [s], y el nivel alcanzado es de 5.15 [m]. Así se comprueba que para diluir la cantidad

de sal que contiene el flujo F2 es necesario un flujo F1 mucho mayor, además de

considerar aceptable el modelo planteado matemáticamente.