MODELACIÓN 2D y 3D DE OBJETOS DE LA NATUTAREZA Vivas Nancyi, Martínez Sergioii y Suárez S. Publioiii

Miembros del grupo de investigación Pirámide, categoría B Colciencias

“Objetos naturales muy diversos, muchos de los cuales no son familiares, tales como la tierra, el cielo y el océano, se estudian con la ayuda de una amplia familia de objetos geométricos, que hasta ahora, habían sido considerados esotéricos e inutilizables, pero que, por la simplicidad, la diversidad, y la extensión extraordinarias de sus nuevas aplicaciones, merecen ser integrados hasta en la geometría elemental. Si bien su estudio corresponde a diferentes ciencias, la geomorfología, la astronomía y la teoría de la turbulencia, entre otras, los objetos naturales en cuestión tienen en común el hecho de poseer una forma sumamente irregular o interrumpida ; a fin de estudiarlos, he concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva geometría de la naturaleza”

Benoit Mandelbrot, 1993

Resumen: La Geometría Fractal de la Naturaleza, fue creada como herramienta para caracterizar, modelizar y comprender las formas y fenómenos que nos rodean. En este artículo, se presentan algunos aspectos básicos de esta teoría y se describen los algoritmos mas populares para representación aproximada de atractores de tipos diferentes de Sistemas Iterados de Funciones (IFS’s). Se describe una aplicación en computador, que permite experimentar y simular las estructuras y modelos de tipo algebraico y geométrico que subyacen en los objetos naturales del entorno, susceptibles de ser modelados en ambientes de geometría dinámica. Palabras Claves: fractal, IFS’s (Sistemas de iterado de funciones), determinístico y aleatorio, atractor. Abstract: The Fractal Geometry of the Nature was created how tool for to characterize, model and understand the forms and phenomenon’s that they surround us. In this article, we are show some basic aspects of this theory and we are described the most popular algorithms for representation of attractor of different types of Iterates Functions Systems (IFS's). an application in computer is described, that allow to experience and simulate the structures and models of algebraic and geometric type that they are in the natural objects of the environment, subject to be modeled in atmospheres of dynamic geometry. Key words: fractal, IFS's (Iterate Functions Systems), deterministic and aleatory, attractor.

1. INTRODUCCIÓN

Uno de los usos que tradicionalmente se ha dado a la matemática, es el de proveer modelos que caractericen los fenómenos, principalmente del mundo físico, los cuales se transforman en sistemas y se abstraen en estructuras propias del ámbito teórico, explicados en esquemas formales de tipo axiomático deductivo. Pocas veces un cambio de paradigma ha sido enfatizado, al crear la geometría fractal de la naturaleza y teoría del caos, en contraposición a la geometría diferencial y los sistemas ordenados, para representar de manera realista los objetos y fenómenos del entorno. La incorporación de potentes computadores en donde se implementan algoritmos, con diversos tipos de representación, constituyen el complemento ideal para este nuevo tipo de trabajo en matemáticas. La teoría matemática es el soporte de los ambientes virtuales creados por la computación gráfica, como por ejemplo la geometría dinámica, que sirve para experimentar y descubrir nuevo conocimiento matemático, que a su vez es usado para fundamentar y retroalimentar dichos ambientes; una simbiosis que asegura el permanente desarrollo de ambas disciplinas.

Diversos campos de la computación grafica y su constante avance ha llevado a la búsqueda de modelos matemáticos que describan la realidad, consolidando estructuras que se pueden representar en computador y que explicarán algunos de los fenómenos que se dan en la naturaleza, como por ejemplo, la simulación de ecosistemas, la modelación de paisajes naturales, la representación realista de plantas y sus partes, la caracterización de curvas y superficies no diferenciables. También desde la teoría del caos, los sistemas dinámicos sensibles a las condiciones iniciales, se representan en diagramas de fases y espacios en donde surgen los fractales y atractores extraños como ejemplares fascinantes en el ámbito de la frontera entre el orden y el caos. Este conjunto de fenómenos y de formas son susceptibles de modelación y pueden ser descritos mediante métodos numéricos, es decir tienen una explicación geométrica, no tan evidente a la luz de los enfoques geométricos tradicionales, pero que si surgen como consecuencia de la adopción de la teoría fractal de la naturaleza, como la bautizó Benoit Mandelbrot, al desenterrar teorías creadas a principios del siglo XX, correspondientes a las áreas de la topología, dinámica no lineal, teoría de la medida, geometría, análisis matemático y análisis numérico, entre otras. A partir del establecimiento de la geometría fractal como nuevo campo científico en la

década de los sesenta, del siglo anterior, su desarrollo, inicial fue principalmente intuitivo. Los matemáticos Hutchinson y Barnsley se encargaron de contextualizar en teorías matemáticas formales, los conceptos que surgieron del campo experimental con la ayuda de los poderosos equipos de cómputo, a disposición de su creador en los laboratorios de IBM. En el campo de la investigación actual, se han consolidado algunas líneas, sobre el uso de la teoría fractal en la solución de problemas científicos. Abarcan la simulación y modelación de ambientes y fenómenos naturales, creación de ambientes de realidad virtual y juegos de computador cada vez mas realistas, la modelación de gran variedad de plantas, especialmente árboles, hojas y flores (tanto su morfología como su fisiología), la inteligencia artificial particularmente en el campo de los autómatas celulares, el reconocimiento de imágenes y patrones, la compresión de imágenes, los métodos de simplificación y refinamiento de superficies volumétricas para representar objetos 3D, la modelación de terrenos para simuladores de vuelos o la creación de paisajes virtuales, el arte fractal, o las estructuras geométricas inmersas en las creaciones artísticas, o simplemente el desarrollo de software para crear fractales. La introducción de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC’s) en la investigación científica, se ha convertido en una herramienta poderosa para obtener en el ordenador las formas fractales que se pueden explorar. Además brindan la oportunidad para desentrañar los secretos de los fractales y experimentar sobre sus propiedades, como la rotación de colores, el movimiento y la determinación de su dimensión; las TIC’s serán el fundamento para modelar algunas estructuras fractales utilizando sistemas de funciones Iteradas. El propósito del trabajo, cuyos avances serán descritos, es el de diseñar e implementar ambientes gráficos en computador para modelación 2D y 3D de objetos de la naturaleza, que sirvan como soporte para la búsqueda de sistemas y estructuras matemáticas de forma experimental e intuitiva, que puedan ser posteriormente formalizados y clasificados como herramientas para modelación de la naturaleza, usando los sistemas iterados de funciones sus propiedades y su taxonomía. También se traduce en algunos documentos como sistema de funciones iteradas. En adelante, se usará la expresión: sistemas iterados de funciones, y se denotará IFS’s, por sus siglas en ingles. Se implementaron métodos numéricos en el lenguaje de programación orientado a eventos, Visual Basic 6.0, correspondientes a dos grandes grupos, los métodos determinísticos, y los métodos estocásticos, dentro de los cuales esta el famoso “juego del caos”. Actualmente se hace un estudio sobre la complejidad y optimización de los algoritmos implementados, ya que de su eficacia y eficiencia dependen la calidad y rapidez con que se representen los objetos naturales, lo que genera la creación de ambientes virtuales robustos.

2. BREVE CONTEXTUALIZACION TEORICA

2.1 El concepto de fractal.

En primer lugar el término fractal fue introducido por Benoit Mandelbrot en su libro “The Fractal Geometry of Nature”, derivado de la palabra latina fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o uniformemente “roto”; por ejemplo si se refiere a una línea, esta no es diferenciable en todos sus puntos, es decir, es sumamente quebrada e irregular (contraponiendose a las líneas diferenciables o “suaves”). Los fractales se caracterizan por algunas nociones fundamentales: autosemejanza (autosimilitud o sibisemejanza), la noción de retroalimentación y recurrencia (auto referencia o iteración), el concepto de dimensión (como alternativa para medir el espacio que ocupa un fractal o su tamaño), la noción de órbita de un sistema dinámico y el concepto de atractor (como limite de una sucesión). Existen múltiples clasificaciones de fractales dependiendo del tipo de modelo o estructura matemática, especialmente geométrica o topológica, que los genera. Los fractales en tiempo de escape al infinito, del tipo Mandelbrot (Fig3) y Julia o en tiempo de escape finito, tipo Newton (Fig4). Así mismo se contemplan los fractales autosemejantes, que son los atractores de los famosos sistemas iterados de funciones (IFS’s) (Fig1) y sus diversas clases, los fractales tipo bifurcación (Fig5), como atractores extraños de de ecuaciones en diferencias, como por ejemplo la ecuación logística; finalmente los atractores como límites de las órbitas de sistemas dinámicos estables y los atractores extraños, como límites de sistemas dinámicos inestables (Fig2).

Fig1: Fractal autosemejante generado por un IFS.

Fig2:Atractor de un sistema dinámico.

Fig3: Conjunto de Mandelbrot . Ejemplo de fractal en tiempo de escape infinito.

Fig4: Fractal de Newton. Ejemplo de fractal en tiempo de escape finito

Los fractales autosemejantes clásicos, son el objeto de estudio de este trabajo de investigación. Los mas conocidos son los fractales (triangulo, carpeta y tetraedro) de Sierpinski, curva de Koch, conjunto de Cantor, copo de nieve, entre otros. Algunos de estos fractales son relativamente fáciles de caracterizar, mediante una colección de transformaciones afines aplicadas a un compacto inicial, dentro de un espacio métrico completo. Algunos autores conceptúan respecto a sus características “…La autorreferencia determina que el propio objeto aparece en la definición de sí mismo, con lo que la forma de generar el fractal necesita algún tipo de algoritmo recurrente. La autosemejanza implica invarianza de escala, es decir, el objeto fractal presenta la misma apariencia independientemente del grado de ampliación con que lo miremos. Por más que se amplíe cualquier zona de un fractal, siempre hay estructura, hasta el infinito, apareciendo muchas veces el objeto fractal inicial, contenido en sí mismo”1. De la literatura actual, en este trabajo se contemplan y experimentan algunas clases de IFS’s, como los clásicos Sistemas iterados de Funciones (IFS’s), los Sistemas Iterados de Funciones Ponderados (o con Probabilidad, PIFS’s) y algunas familias especiales de IFS’s cuyas estructuras se modelan en programas de geometría dinámica.

3. ASPECTOS REFERENTES DE EDUCACIÓN

MATEMATICA

El aprendizaje de la geometría fractal ha estado dedicado inicialmente a los seminarios especiales en niveles de posgrado y con su masificación se han desarrollado cursos de pregrado, con el propósito de incluir esta nueva geometría en la formación de cualquier profesional. Ya es común que los estudiantes estén familiarizados con la teoría de fractales y del caos junto con sus aplicaciones, como ejemplos, en ciencias médicas, en cuanto a la forma de nuestros órganos, que son inspiradas en fractales tipo ramificación, en economía, el estudio de las series temporales y sus test para determinar si obedecen a características de caos determinístico, en donde los atractores de bifurcación son usados para analizar su comportamiento, en arquitectura, son usadas las variadas formas fractales en sus nuevos

1 PEREZ, J. (1998). Codificación Fractal de Imágenes. p. 3.

diseños, en ciencias biológicas, para comprender las formas naturales, su crecimiento y la simulación de la interacción de las plantas en sistemas ecológicos, en ciencias de la información, desde los algoritmos para crear ambientes virtuales o el uso para la compresión de imágenes digitales, para optimización en el uso de los recursos de memoria, hasta en algoritmos genéticos y autómatas celulares para simular eventos de vida artificial en el ordenador. Así mismo, la relación arte y matemática ha sido ampliamente estudiada para comprender los mundos imposibles, tipo grabados de Escher y para el naciente arte fractal en pleno apogeo en Internet. Solamente mencionando estos pocos ejemplos, es evidencia que la geometría fractal se constituye un tópico en la formación de cualquier estudiante universitario. En los últimos años esta geometría ha incursionado en la colegios de formación básica y media, tal y como lo había deseado su inspirador. En la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, se ha experimentado una propuesta didáctica para el aprendizaje de este nuevo paradigma geométrico, con estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas de Tunja, fundamentada en principios de corte constructivista y cognitivista. Se contemplan en esta propuesta las etapas de exploración, modelación-representación, construcción formal y estudio de aplicaciones. En la primera etapa, se han realizado varias practicas de campo, en parques naturales, museos de ciencia natural y arqueológicos, jardines botánicos y paisajes naturales, museos de arte y sitios de producción artesanal, con el fin de describir, seleccionar y clasificar los elementos de nuestro medio natural (Fig. 7,8,9 y 10) en los cuales subyace la geometría fractal en su forma, comportamiento o interacción y que son susceptibles de ser modelados con programas de computador. En la segunda etapa de representación-modelación se usan diversos programas para simular estructuras fractales y se hace el trabajo de encontrar los modelos que caracterizan los objetos naturales seleccionados. En la tercera etapa de construcción formal, se hace un estudio de los conceptos, sistemas y estructuras que fundamentan la teoría fractal que contextualiza el trabajo en las etapas previas. Y finalmente, en el estudio de las aplicaciones, se hace un análisis de las aplicaciones más populares y sus avances científicos en los ámbitos de interés.

Fig5: Fractal de bifurcación Ecuación logística

Fig6: Fractal de Pitágoras Ejemplo de fractal tipo ramificacion

Fig7: Fotos tomadas en la etapa de exploración

Fig8: Atractores para modelar

Producto de esta forma de trabajo, se han desarrollado diversas trabajos de tesis de grado o monografías, en temas como: simbiosis matemática-arte, de manera particular el estudio de la obra de Escher, la simulación de paisajes naturales con VistaPro 4, la modelación de plantas con lenguaje sintónico L-system y Fractal Vision, la modelación de fractales clásicos usando 3DMax y Cabri, y sobre estrategias de aprendizaje de teoría fractales en ambientes de geometría dinámica, tanto en colegios de educación media, como a nivel universitario. Una vez hecha la exploración de gran parte de los programas existentes en el medio, surge la necesidad de emprender trabajos para elaborar nuestras propias aplicaciones, que no contengan las limitaciones, para una exhaustiva experimentación de las formas naturales, con el propósito de crear un banco de modelos geométricos, que caractericen y representen los objetos naturales de nuestro entorno. Es por ello, que las metas del presente trabajo de investigación obedecen a estas aspiraciones.

4. GENERAR FRACTALES CON LOS SISTEMAS

ITERADOS DE FUNCIONES

Las estructuras geométricas, algebraicas y topológicas enmarcan la construcción teórica de los sistemas iterados de funciones. Se presentan, de manera sucinta, los conceptos necesarios para la definición de IFS’s, resumidos y adaptados de los trabajos de Barnsley y Hutchinson. Sea ),( dX un espacio métrico completo. Y se considera la

colección de subconjuntos compactos del espacio, denotada por H. Se define la métrica de Hausdorff sobre H para cualquier par de subconjuntos compactos A y B de X:

{ } { }{ }axyAdMinByBxdMinMaxBAh ∈∈= ),,(,),,(),( El espacio de subconjuntos compactos de X, con la métrica de Hausdorff, es un espacio métrico completo. Dicho espacio es llamado por Barnsley, “el espacio en donde los fractales autosemejantes viven” y es denotado ),( hdH .

Un Sistema Iterado de Funciones esta formado por: • Un conjunto compacto inicial (semilla) 0K

• Una colección finita de transformaciones afines contractivas de X en X, (Mecanismo de

reproducción), denotada { }nfff ,...,, 21 .

• Un operador )()(: XHXHF → .

• La operación usual de composición de funciones. • Una sucesión infinita de niveles, denotada por:

{ },...,...,, 10 kNNN • Un conjunto compacto A, llamado el atractor del

IFS. En resumen, un sistema iterado de funciones se denota así:

{ } { } { }{ }ANNNFfffKIFS kn ,,...,...,,,,,,...,,, 10210 o= .

Algunas consideraciones prácticas de los elementos introducidos en esta notación para IFS’s, son el resultado de la implementación de los algoritmos descritos para dibujar los fractales, desde los algoritmos determinísticos (AD), la órbita del algoritmo determinístico (OAD) (Fig11), hasta el algoritmo estocástico (AE). Se pueden sintetizar así:

• El conjunto compacto inicial 0K , no incide en el

gráfico obtenido por (AE), ni en (AD), pero si es visualmente determinante en (OAD). No olvidar que la característica discreta del computador solo permite dibujar colecciones finitas de puntos o colecciones finitas de conjuntos compactos (niveles). En sentido estricto, no podemos ver los fractales, solo observamos aproximaciones al atractor. Las características de la visión humana hacen imperceptible las diferencias entre dos niveles consecutivos de un IFS, cuyo gráfico es obtenido por (AD) ó (AE), cuando el número de iteraciones es considerablemente grande. Es lo mismo que pasa al dibujar en una pizarra electrónica una sucesión finita de puntos consecutivos de una matriz de píxeles (discreta), que con trucos apropiados, hace que nuestros cerebros la perciban como una curva continua, esto sencillamente, es una ilusión óptica.

• Cada una de las transformaciones afines contractivas if , tiene un factor de reducción,

denotado ic . Si no fuera así, la convergencia a un

único atractor no se garantiza.

Fig9: Hojas con fractales tipo ramificación en sus nervaduras

Fig10: Hojas con formas complejas Para modelar con familias de IFS’s

Fig11: Representación de un árbol 2D, usando el algoritmo OAD Elementos de un IFS

• El operador se define con base en la unión de las n funciones afines contractivas.

)()(1

1 K

n

iiK NfNF U

=+ = , en donde 00 KN =

Dicho operador es también contractivo en el espacio métrico de subconjuntos compactos de X, con factor de contracción:

{ }nicMaxc i ≤≤= 1/

Dibujar la aproximación gráfica del fractal por (AD),

en un nivel alto ( 15N ), es similar que dibujar el

fractal por (AE) para un número considerable de iteraciones (k>1000000)

• La operación de composición usual entre funciones es usada tanto para operar sobre la colección finita de transformaciones afines, como para componer la transformación F. La secuencia en la aplicación de las transformaciones afines, permite establecer un isomorfismo entre los puntos de un fractal y el espacio código (concatenación de símbolos que identifican las transformaciones), para la iteración del operador F, consigo mismo. Es decir:

))(())(()( 001

OKKK KFFKFFKF o==+

Por esta razón es que se usa la expresión “sistema iterado de funciones”, pues con este enfoque las

transformaciones afines if no son la que se iteran.

• Para modelar los fractales autosemejantes que representen objetos naturales con ramificación evidente (árboles), se deben usar apropiadamente (AE) y (OAD). Por ejemplo la mayoría de los árboles termina su nivel de ramificación entre niveles cinco (5) y ocho (8). Por eso se debe dibujar por (OAD) hasta el nivel en donde termina la ramificación del árbol y por (AE) el atractor, generalmente en colores cafés y verdes.

• La representación gráfica obtenida por (AD), es decir, dibujar solamente en el nivel kN , está

contenida en la gráfica obtenida por (OAD) es decir

dibujar los niveles kNNN ,...,, 10 . La

observación, aparentemente ingenua, tiene sus implicaciones a la hora de ahorrar costo computacional del algoritmo.

• El atractor A de un sistema iterado de funciones es único, pues el límite de una sucesión en un espacio métrico completo es único y esta determinado por:

I∞

=

=0k

kNA

Para implementar los algoritmos del programa de computador, elaborado en el lenguaje de programación Visual Basic 6.0, se seleccionaron las estructuras correspondientes a IFS’s y PIFS’s usando los métodos de (AD), (AE) y (OAD).

En este articulo, se trabajan los sistemas iterados de

funciones sobre el plano (2ℜ ) y el espacio tridimensional

(3ℜ ). En general, es considerado el espacio vectorial real n-

dimensional (nX ℜ= ,+,*), que tiene estructura de espacio

vectorial con la suma de n-uplas y el producto de un escalar por una n-upla. Como el término transformación es generalmente usado para funciones entre espacios vectoriales, se usa indistintamente la expresión “transformación afín” o “función afín”. Una transformación afín de un espacio vectorial en si mismo, es de la forma XXf →: , y puede ser vista como la composición de

una transformación lineal con una traslación. Una expresión matricial de la transformación afín en

nX ℜ= , es BAxxf +=)( , en donde A es una matriz

cuadrada nxn asociada a la transformación lineal, y B la matriz columna nx1 determinada por la traslación. De manera particular en el plano:

+

=

2

1

1221

1211

b

b

y

x

aa

aa

y

xf

Y en el espacio tridimensional la transformación se caracteriza por:

+

=

3

2

1

333231

222221

131211

b

b

b

z

y

x

aaa

aaa

aaa

z

y

x

f

Se recuerda que para los IFS’s las transformaciones afines deben ser contractivas, mas intuitivamente, la aplicación contractiva es la que hace una reducción de las distancias, entre cualquier par de puntos de la imagen obtenida por la transformación afín, aplicada a un subconjunto compacto. Se considera el modelo de un PIFS a un conjunto de parámetros y características geométricas que determinan el proceso de modelación y representación. Por ejemplo, para el triangulo de Sierpinski, su modelo es:

MODELO IFS 2D TRIANGULO DE SIERPINSKI CARACTERISTICAS ALGEBRAICAS

Coeficientes # T

11a 12a 21a 22a 1b 2b Pr

1 0.5 0 0 0.5 0 0 33.3 2 0.5 0 0 0.5 0 0.5 33.3 3 0.5 0 0 0.5 0.5 0 33.4

CARACTERISTICAS GEOMETRICAS Y METRICAS Movimientos PROPIEDADES 1 Homotecia Factor ½ Dimensión

)3(

)4(

Ln

Lnd =

2 Homotecia

Traslación Factor ½ V=( ½ ,0)

Perímetro: infinito

3 Homotecia Traslación

Factor ½ V=( 0 , ½)

Area: nula

En cuanto a la determinación del modelo, se pueden usar ambientes de geometría dinámica, para simular las transformaciones afines y generar automáticamente los coeficientes, ó resolviendo un sistema lineal 6x6 para el plano y 12x12 en el espacio tridimensional, para hallar los coeficientes de la matrices A y B, de cada transformación afín BAxxf +=)( del modelo. Al variar la distribución

discreta de probabilidad en el modelo de un PIFS, se obtiene una familia de fractales, como si se estuviera graficando el atractor en blanco y negro (gama de grises). En cuanto a los movimientos de rotaciones, reflexiones o simetrías, homotecias y rotaciones, inmersos en una transformación afín, es importante manejarlos y experimentar con ellos. Cuando se va a modelar un objeto, se deben determinar las características de autosemejanza que posee, para decidir con cuantas transformaciones se puede generar; así mismo, en cada una de las transformaciones afines contractivas, se experimenta con los movimientos geométricos, se ubican exactamente las transformaciones afines, tratando de ubicar la imagen por dicha transformación, aplicada al subconjunto compacto inicial 0K . El teorema del collage, introducido por

Michael Barnsley, lo que permite en la práctica, es adecuar un IFS tan aproximado como lo permita la habilidad del usuario en determinar las transformaciones afines subyacentes en el objeto, para que el atractor sea la representación del objeto natural que se modela.

5. IMPLEMENTACION DE LOS ALGORITMOS

Como ya se mencionó, se utilizan tres tipos de algoritmos para dibujar los fractales autosemejantes generados por IFS’s y PIFS’s. En el primer algoritmo determinístico (AD), se hallan todas las composiciones posibles de las transformaciones afines del IFS y se aplican al compacto inicial, en el nivel elegido y posteriormente se grafica. Una variante del algoritmo, es dibujar la orbita finita de la sucesión de niveles, es decir, la k-órbita del algoritmo determinístico (OAD), determinada por:

kf

F NNNKO ,...,,)( 100 =

De los dos algoritmos descritos, el que mayor costo computacional tiene es OAD, y para niveles mayores a quince, se torna demasiado lento. El crecimiento de los datos necesarios para el modelo, tiene crecimiento exponencial de factor k, determinado por el número de transformaciones afines que posee. 5.1 Algoritmo determinista: Para la obtención de una aproximación del atractor de un PIFS, con el algoritmo OAD, se calcula y grafica nivel por nivel. El bosquejo del fractal (Fig14), es un ejemplo de los resultados. El algoritmo OAD se puede resumir en el siguiente pseudocódigo:

Inicio ()

Partir de un subconjunto compacto XK ⊆0 del plano,

Asignar 00 KN ←

Para i = 1 hasta k

Dibujar 0N

Asignar )( 01 NFN ←

Asignar 10 NN ←

Fin de ciclo i Fin ()

Una ligera modificación del algoritmo anterior genera el algoritmo AD. Inicio ()

Partir de un subconjunto compacto XK ⊆0 del plano,

Asignar 00 KN ←

Para i = 1 hasta k

Asignar )( 01 NFN ←

Asignar 10 NN ←

Fin de ciclo i

Dibujar 0N

Fin ()

Fig12: Dos modelos fractales IFS, con la misma Estructura

Fig13: Las familias de fractales autosemjantes, experimentando con sus coeficientes Fractales de Sierpinski_Koch

En realidad cuando termina el ciclo determinado por el índice i, en la memoria del ordenador están los parámetros del nivel

kN , que es el único nivel que se dibuja.

5.2 Algoritmo Estocástico (AE) Este algoritmo también llamado el juego del caos obtiene aproximaciones a atractores, por medio de puntos que son dibujados de manera aleatoria y progresiva hasta obtener una imagen final llamada atractor y su nitidez depende del número de iteraciones (Fig15). Está dado por el siguiente algoritmo: Inicio() Elegir un punto arbitrario x del cuadrado unitario del espacio. Para i = 1 hasta k

Elegir j aleatoriamente entre {1, 2,. . . ,n} con

probabilidades { }nppp ,...,, 11

Asignar )(xfy j←

Asignar yx ←

Si i > 50, entonces representar x Fin de i Fin () El número de iteraciones en este algoritmo debe ser

suficientemente grande ( 610≥k ), para que los resultados sean realistas. Es bueno notar que, para el caso del plano (2D), x es una pareja ordenada y en el espacio 3D, x es una tripla. Si se asocia una distribución discreta de probabilidad, se está dibujando una aproximación del atractor de un PIFS.

6. RESULTADOS: Los algoritmos se implementaron en lenguaje de programación Visual Basic 6.0, y algunas aplicaciones relativas, en un programa denominado inicialmente IFS’s-UPTC. Por razones de brevedad, se omiten en este artículo, los elementos característicos de la representación de objetos 2D y 3D propias de la computación grafica y solo se describen los algoritmos y métodos numéricos relativos a la representación aproximada de atractores de IFS’s. La representación se hizo inicialmente en el plano (2D) y se enfatizó posteriormente la representación tradicional (3D). El propósito para la creación de nuestro propio software de graficación de fractales, es el de profundizar en el estudio, análisis y comparación de los algoritmos, e implementarlos para crear ambientes virtuales de experimentación de los modelos, con el fin caracterizarlos. Se pretende crear una base de datos con los modelos que representan los objetos de la naturaleza comunes en nuestro medio ambiente. 6.1. Fractales en 3D: Al mencionar el hecho de dibujar fractales, no se está perdiendo de vista el carácter discreto de las representaciones del ordenador y el carácter continuo e infinito de los modelos y estructuras matemáticas que los sustentan; una vez evidenciadas estas diferencias, no es necesario ser tan explicito, y por ello son usados estos términos en adelante. Para generar fractales en 3D (Fig16) se pueden utilizar los mismos algoritmos ya descritos, con la diferencia que se tiene en cuenta una variable mas, lo que hace un poco mas complejo el cálculo de los coeficientes del sistema de funciones iteradas. Los algoritmos no cambian, solamente lo hacen los elementos que hacen la diferencia en estar en el plano o en el espacio tridimensional, y el número de coeficientes que determinan las transformaciones afines contractivas, o los movimientos de rotación reflexión o simetría, homotecia y traslación, cuando se trabaje desde el punto de vista geométrico.

Fig15: Representación brócoli con el algoritmo aleatorio en 2D

Fig14: Representación de cebada con el algoritmo determinista AD en 2D

A partir de la revisión teórica y exploratoria sobre la relación existente entre IFS y fractales, se logra crear un programa (Fig17) que busca evidenciar la modelación de estructuras fractales por medio de IFS’s y PIFS’s. Este programa contiene algunos fractales generados por el algoritmo determinista en 2D y por el algoritmo estocástico en 2D y 3D. A continuación se muestran algunos fractales con su respectiva representación algorítmica (estocástica, determinística) generadas por el programa.

En la siguiente gráfica (Fig17), muestra el triángulo de Sierpinski, en la parte izquierda construido de forma deterministica considerando 5 niveles, y en la parte derecha construido con el algoritmo estocástico con 10000 iteraciones (igualmente para todos los fractales contenidos en el programa). Para esta representación se hallaron los coeficientes mostrados en la tabla1.

IFS-2D Transformaciones afines

Coeficientes K=1 K=2 K=3

)(11

ka 0.5 0.5 0.5

)(12

ka 0.0 0.0 0.0

)(21

ka 0.0 0.0 0.0

)(22

ka 0.5 0.5 0.5

)(1 kb 0.0 0.0 0.5

)(2 kb 0.0 0.5 0.0 Tabla1: coeficientes para el triangulo de Sierpinsky

La figura anterior (Fig18) muestra una pirámide construida a partir de triángulos de Sierpinski obtenidos con el algoritmo aleatorio y con los siguientes coeficientes (tabla2):

IFS-3D Transformaciones afines

Coeficientes K=1 K=2 K=3 K=4

)(11

ka 0.5 0.5 0.5 0.5

)(12 ka 0.0 0.0 0.0 0.0

)(13

ka 0.0 0.0 0.0 0.0

)(21 ka 0.0 0.0 0.0 0.0

)(22 ka 0.5 0.5 0.5 0.5

)(23 ka 0.0 0.0 0.0 0.0

Fig16: Triangulo de Sierpinski en 3D con el algoritmo aleatorio (AE)

Fig17: Programa IFS’s.-UPTC

Fig17: Triangulo de Sierpinski, izq. determinístico (AD), der. estocástico (AE)

Fig18: Triangulo de Sierpinski aleatorio en 3D

)(31 ka 0.0 0.0 0.0 0.0

)(32 ka 0.0 0.0 0.0 0.0

)(33 ka 0.5 0.5 0.5 0.5

)(1 kb 0.0 0.0 0.0 0.5

)(2 kb 0.0 0.5 0.0 0.0

)(3 kb 0.0 0.0 0.5 0.0 Tabla2: Coeficientes de pirámide

construida a partir de triángulos de Sierpinski

Otro fractal que muestra el programa es la carpeta de Sierpinski (Fig19).

Los coeficientes que muestra la tabla3 corresponden a la Fig19.

IFS-2D Transformaciones afines

COEF. K=1 K=2 K=3 K=4 K=5

)(11

ka 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33

)(12

ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(21

ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(22

ka 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33

)(1 kb 0.0 0.66 0.0 0.66 0.33

)(2 kb 0.0 0.0 0.66 0.66 0.33

Tabla3: coeficientes para la carpeta de Sierpinski La grafica (Fig20) muestra un hexaedro construido a partir de la carpeta de Sierpinski, obtenida con el algoritmo estocástico con los siguientes coeficientes (Tabla4):

IFS-3D Transformaciones afines COEF. K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7 K=8 K=9

)(11

ka 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

)(12 ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(13

ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(21 ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(22 ka 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

)(23 ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(31 ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(32 ka 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

)(33 ka 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

)(1 kb 0.66 0.0 0.0 0.66 0.66 0.0 0.66 0.33 0.0

)(2 kb 0.0 0.66 0.0 0.66 0.0 0.66 0.66 0.33 0.0

)(3 kb 0.0 0.0 0.66 0.0 0.66 0.66 0.66 0.33 0.0 Tabla4: Coeficientes de un hexaedro construido a partir de la

carpeta de Sierpinski

Al tratar de modelar árboles (Fig21) se muestran algunos resultados, en la parte izquierda en 2D y sus coeficientes (tabla5), y en la parte derecha un pino en 3D con sus respectivos coeficientes (en la tabla6).

Fig19: Carpeta de Sierpinski, izq. determinístico, der. estocástico

Fig20: Carpeta de Sierpinski estocástico en 3D

Fig21: Árbol aleatorio izq. 2D der. 3D

IFS-2D Transformaciones afines

COEF. K=1 K=2 K=3 K=4 K=5

)(11

ka 0.195 0,462 -0,058 -0,035 -0,637

)(12

ka -0,488 0,414 -0,07 0,07 0

)(21

ka 0,344 -0,252 0,453 -0,469 0

)(22

ka 0,443 0,361 -0,111 -0,022 0,501

)(1 kb 0,4431 0,2511 0,5976 0,4884 0,8562

)(2 kb 0,2452 0,5692 0,0969 0,5069 0,2513

Tabla5: coeficientes del árbol en 2D

La siguiente representación (Fig22), es una aproximación del helecho en 2D construido con el algoritmo del juego del caos (AE) y sus respectivos coeficientes en la tabla7.

IFS-2D Transformaciones afines COEF. K=1 K=2 K=3 K=4

)(11

ka 0.0 -0,139 0,17 0,781

)(12

ka 0.0 0,263 -0,215 0,034

)(21

ka 0.0 0,246 0,222 -0,032

)(22

ka 0.27 0,224 0,176 0,739

)(1 kb 0.5 0,57 0,408 0,1075

)(2 kb 0.0 -0,036 0,0893 0,27 Tabla7: coeficientes del helecho en 2D

7. FUTURO TRABAJO Se contempla la posibilidad de implementar nuevos algoritmos que permitan modelar sistemas y estructura fractales de familias de IFS’s. Adicionalmente se pretende estudiar, comparar y analizar la complejidad de los algoritmos trabajados. Es primordial experimentar los modelos en el programa creado, para encontrar las estructuras matemáticas y geométricas de los objetos de la naturaleza seleccionados en las prácticas de campo, en la etapa de exploración. Se hace igualmente necesario enfatizar la representación tridimensional de fractales (3D), para crear una base de datos con los modelos que representen objetos naturales, experimentados y mejorados con las técnicas implementadas en el programa elaborado. Finalmente, se buscará validar el programa con estudiantes de la licenciatura en matemáticas, especialmente diseñado para usarse en la etapa de representación-modelación, dentro de la estrategia para el aprendizaje de los fractales en el nivel universitario.

8. BIBLIOGRAFIA

[1] MANDELBROT, BENOIT. Los Objetos Fractales, 3ª edición. Barcelona. Tusquets Editores. 1993. [2] MONROY, CESAR. Curvas Fractales. México. Alfaomega. 2002. [3] GUZMÁN, M. MARTÍN, M. MÓRAN, M. REYES, M. Estructuras Fractales y sus Aplicaciones. Barcelona. Labor. 1993. [4] PEREZ, JUAN. Codificación Fractal de Imágenes. 1998. [5] OLIVER, D. HOVISS, D. Fractal Graphics for Windows. Indianapolis. SAMS Publishing. 1994. [6] BARNSLEY, M., Fractals Everywhere. Georgia. Academic Press, INC. 1988. [7] PEITGEN, H. JÜRGENS, H. SAUPE, D. Fractals for the Classroom. New York. Springer – Verlag. 1992. [8] ANGEL, E. Interactive Computer Graphics. United States. Addison-Wesley. 2000

i Estudiante de Licenciatura en Matemáticas, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), Tunja ii Estudiante de Licenciatura en Matemáticas, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), Tunja iii Profesor Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), Tunja. Profesor Catedrático de Matemáticas, Universidad Santo Tomas de Aquino, Sede Tunja.

IFS-3D Transformaciones afines COEF. K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7

)(11

ka 0.746 0,0 0,15 0,212 0,0 0,0 0,0

)(12 ka -0.073 0,0 -0,344 0,353 0,353 -0,344 -0,073

)(13

ka 0.0 0.0 0.0 0,0 0,212 0,15 0,746

)(21 ka 0.073 0,0 0,258 -0,212 0,0 0,0 0,0

)(22 ka 0.746 0,25 0,2 0,353 0,353 0,2 0,746

)(23 ka 0.0 0.0 0,0 0,0 -0,212 0,258 0,073

)(31 ka -0.746 0,0 -0,15 -0,212 0,0 0,0 0,0

)(32 ka 0.073 0,0 0,344 -0,353 0,353 -0,344 0,073

)(33 ka 0.0 0,0 0,0 0,0 -0,212 0,15 0,746

)(1 kb 0.0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

)(2 kb 0.25 0,0 0,125 0,125 0,125 0,125 0,25

)(3 kb 0.0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tabla6: Coeficientes de árbol 3D

Fig22:Helecho aleatorio en 2D