modelación – graficación, una categoría para la matemática ...320relime, vol. 13 (4-ii),...

319

Modelación – graficación, una categoría para la matemática escolar

Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010

Modelación – graficación, una categoría para la matemática escolar. Resultados de un estudio socioepistemológicoModeling-graphing, a category for scholastic mathematics.Results of a socioepistemological study

Liliana Suárez Téllez, Francisco Cordero Osorio

RESUMENSe estableció el concepto de uso de las gráficas en la modelación como parte del marco teórico de la investigación a partir del cual se plantean hipótesis sobre la naturaleza dela construcción social de conocimiento del Cálculo asociadoa la variación y el cambio. El resultado de esta investigación es elplanteamiento de una epistemología para la modelación escolarcaracterizada a través de un uso de las gráficas. El estudio,desde la perspectiva del Tratado de Oresme sobre la Figuración de las Cualidades, proporciona una explicación de la transformación de uso de las matemáticas de la época para abordar la problemática de las situaciones de cambio y variación. Esta transformación, caracterizada en este trabajo a partir del debate entre el funcionamiento y la forma del uso delas figuras geométricas, aporta los principales elementos de lahipótesis epistemológica sobre el uso de las gráficas en situaciones de modelación del movimiento para resignificar el cambio y la variación.

ABSTRACTWe established the concept “Modeling-Use of graphs” aspart of the theoretical frame of the research. Through this concept we are able to propose hypotheses about the nature of the social construction of knowledge about Calculus associated to variation and change. The result of this researchis the assumption of an epistemology to characterize mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s work, about the figuration of qualities, provides an explanation of the transformation of the use of mathematical knowledge in our times to deal with undergoing problems when working with change and variation situations. The transformation characterized in this work, from the debate between functioning and form of the use of geometric figures, highlights key elements to the epistemological assumption about the use of graphs in situations of modeling movement to redefine change and variation.

Relime (2010) 13 (4-II): 319-333. Recepción: Junio 3, 2009 / Aceptación: Junio 23, 2010.

�of the social construction of knowledge about Calculus

�of the social construction of knowledge about Calculus associated to variation and change. The result of this research

�associated to variation and change. The result of this researchis the assumption of an epistemology to characterize

�is the assumption of an epistemology to characterize mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s �mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s work, about the figuration of qualities, provides an �work, about the figuration of qualities, provides an explanation of the transformation of the use of mathematical �explanation of the transformation of the use of mathematical knowledge in our times to deal with undergoing problems �knowledge in our times to deal with undergoing problems

��

para abordar la problemática de las situaciones de cambio y

��

para abordar la problemática de las situaciones de cambio y variación. Esta transformación, caracterizada en este trabajo a

��

variación. Esta transformación, caracterizada en este trabajo a partir del debate entre el funcionamiento y la forma del uso de

��partir del debate entre el funcionamiento y la forma del uso de

las figuras geométricas, aporta los principales elementos de la

��las figuras geométricas, aporta los principales elementos de la

hipótesis epistemológica sobre el uso de las gráficas en

��hipótesis epistemológica sobre el uso de las gráficas en

situaciones de modelación del movimiento para resignificar

��situaciones de modelación del movimiento para resignificar

We established the concept “

��

We established the concept “Modeling-Use of graphs

��

Modeling-Use of graphsWe established the concept “Modeling-Use of graphsWe established the concept “

��

We established the concept “Modeling-Use of graphsWe established the concept “part of the theoretical frame of the research. Through this

��

part of the theoretical frame of the research. Through this

��

concept we are able to propose hypotheses about the nature

��

concept we are able to propose hypotheses about the nature of the social construction of knowledge about Calculus ��

��of the social construction of knowledge about Calculus associated to variation and change. The result of this research��

��associated to variation and change. The result of this researchis the assumption of an epistemology to characterize ��

��is the assumption of an epistemology to characterize mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s ��

��mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s ��

��

�of the social construction of knowledge about Calculus

�of the social construction of knowledge about Calculus ��

��of the social construction of knowledge about Calculus

�of the social construction of knowledge about Calculus associated to variation and change. The result of this research

�associated to variation and change. The result of this research��

��associated to variation and change. The result of this research

�associated to variation and change. The result of this researchis the assumption of an epistemology to characterize

�is the assumption of an epistemology to characterize ��

��is the assumption of an epistemology to characterize

�is the assumption of an epistemology to characterize mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s �mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s ��

��mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s �mathematical modeling through the use of graphs. Oresme’s

�caracterizada a través de un uso de las gráficas. El estudio,

�caracterizada a través de un uso de las gráficas. El estudio,desde la perspectiva del Tratado de Oresme sobre la

�desde la perspectiva del Tratado de Oresme sobre la Figuración de las Cualidades, proporciona una explicación �Figuración de las Cualidades, proporciona una explicación de la transformación de uso de las matemáticas de la época �de la transformación de uso de las matemáticas de la época para abordar la problemática de las situaciones de cambio y �para abordar la problemática de las situaciones de cambio y variación. Esta transformación, caracterizada en este trabajo a �variación. Esta transformación, caracterizada en este trabajo a

��

a la variación y el cambio. El resultado de esta investigación es el

��

a la variación y el cambio. El resultado de esta investigación es elplanteamiento de una epistemología para la modelación escolar ��

�planteamiento de una epistemología para la modelación escolarcaracterizada a través de un uso de las gráficas. El estudio, ��

�caracterizada a través de un uso de las gráficas. El estudio,

PALABRAS CLAVE:

- Modelación- Uso de las gráficas- Cambio y variación- Ambiente tecnológico

KEY WORDS:

- Modelation- Use of graphs- Change and variation- Technological environment



321



RESUMOO conceito do uso dos gráficos na modelação foi estabelecido como parte do marco teórico da pesquisa, e partindo delesão apresentadas as hipóteses sobre a natureza da construção social do conhecimento do Cálculo associado com a variação ea mudança. O resultado desta pesquisa é a apresentaçãoduma epistemologia pra modelação escolar caracterizada a través dum uso dos gráficos. O estudo, desde a perspectiva doTractatus de Oresme sobre a Figuração das Qualidades, fornece uma explicação da transformação do uso da matemática da época pra abordar a problemática das situaçõesde mudança e variação. Esta transformação, caracterizada neste trabalho partindo do debate entre o funcionamento e a forma do uso das figuras geométricas, aporta os principais elementos da hipótese epistemológica sobre o usodos gráficos em situações de modelação do movimento pra re significar a mudança e a variação.

RÉSUMÉCet article stipulé le concept de l’utilisation des graphiques dans la modélisation qui est une pièce du cadre référentiel dela recherche à partir de laquelle se formule hypothèses sur lanature de la construction sociale de la connaissance du Calcul associée à la variation et le changement. Le résultat de cette recherche, du l’approche du Tractatus de Oresme surla Représentation des Qualités, fournit une explication de la transformation de l’utilisation des mathématiques de l’époque pour aborder la problématique des situations de changement et de variation. Cette transformation, caractérisée en ce travail à partir du débat entre le fonctionnement et la forme de l’utilisation des figures géométriques, fournit les principaux éléments des hypothèses épistémologiques sur l’utilisation des graphiques en situations de modélisation du mouvement par le redéfinition du changement et de la variation.

1 Introducción

Dentro de nuestra investigación se adopta a la modelación como una iconstrucción teórica (Cordero, 2006) que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en juego sus conocimientos. Y como

características propias de esta construcción, la modelación posee su propia estructura, está constituida por un sistema dinámico, la simulación puede llevar a cabo realizaciones múltiples y hacer ajustes en su estructura para producir un

��1 �1 Introducción� Introducción Introducción� Introducción

D�Dentro de nuestra investigación se adopta a la modelación como una �entro de nuestra investigación se adopta a la modelación como una

��

nature de la construction sociale de la connaissance du

��

nature de la construction sociale de la connaissance du Calcul associée à la variation et le changement. Le résultat

��

Calcul associée à la variation et le changement. Le résultat de cette recherche, du l’approche du Tractatus de Oresme sur

��

de cette recherche, du l’approche du Tractatus de Oresme surla Représentation des Qualités, fournit une explication de la

��la Représentation des Qualités, fournit une explication de la

transformation de l’utilisation des mathématiques de l’époque

��transformation de l’utilisation des mathématiques de l’époque

pour aborder la problématique des situations de changement

��pour aborder la problématique des situations de changement

et de variation. Cette transformation, caractérisée en ce travail

��et de variation. Cette transformation, caractérisée en ce travail

à partir du débat entre le fonctionnement et la forme de

��

à partir du débat entre le fonctionnement et la forme de l’utilisation des figures géométriques, fournit les principaux

��

l’utilisation des figures géométriques, fournit les principaux éléments des hypothèses épistémologiques sur l’utilisation des

��

éléments des hypothèses épistémologiques sur l’utilisation des graphiques en situations de modélisation du mouvement par le

��

graphiques en situations de modélisation du mouvement par le

��

redéfinition du changement et de la variation

��

redéfinition du changement et de la variation

Introducción��

Introducción��

� Introducción� Introducción��

Introducción� Introducción

�Cet article stipulé le concept de l’utilisation des graphiques

�Cet article stipulé le concept de l’utilisation des graphiques dans la modélisation qui est une pièce du cadre référentiel de�dans la modélisation qui est une pièce du cadre référentiel dela recherche à partir de laquelle se formule hypothèses sur la�la recherche à partir de laquelle se formule hypothèses sur lanature de la construction sociale de la connaissance du �nature de la construction sociale de la connaissance du Calcul associée à la variation et le changement. Le résultat �Calcul associée à la variation et le changement. Le résultat

��

MOTS CLÉS:

- Modélisation- Utilisation des graphiques- Changement et variation- Environnement

technologique

PALAVRAS CHAVE:

- Modelação- Uso dos gráficos- Mudança e variação- Ambiente tecnológico



321



resultado deseable, es un medio que propicia el desarrollo del razonamiento y de la argumentación, busca explicaciones a un rango y enfatiza invariantes, traeuna idea en una realización para satisfacer un conjunto de condiciones. Contodas estas características, la modelación selecciona el lenguaje de las herramientas (Arrieta, 2003 y Arrieta, Buendía, Ferrari, Martínez, & Suárez, 2004) sobre el lenguaje de los objetos.

La socioepistemología de la Modelación-Graficación, M-G, representa un eje para desarrollar acciones en el sistema didáctico a través el diseñode Situaciones de Modelación del Movimiento. Los elementos constitutivos de la categoría de modelación-grafi cación se traducen en los elementos de un Diseño de Situación con una hipótesis específi ca: La variación se resignifi ca a través de la modelación-grafi cación. Es decir, una situación de aprendizaje que genera en los estudiantes un interés por estudiar un fenómeno de cambio a través de gráfi cas de las funciones que ahí intervienen contribuye a establecerrelaciones entre gráfi cas y situaciones de cambio donde la variación tiene un sentido específi co que no depende necesariamente de las propiedades analíticas de la función. De esta manera se establece un ‘uso de las gráfi cas’ asociado a la función orgánica de la Figuración de las Cualidades donde se establecen formas de uso de las gráfi cas, se construyen argumentos y se ponen en funcionamiento avanzando hacia justifi caciones funcionales.

2 Antecedentes Antecedentes

El estudio del uso de las gráfi cas se está consolidando como una línea de investigación en la que se estudian las prácticas de referencia asociadas a la grafi cación en el discurso matemático escolar. Flores (2005), Cen (2006) y Torres (2004) han aportado información sobre el tipo de gráfi cas que se encuentra actualmente en la educación básica y en el bachillerato, proporcionando evidencias de que el uso de las gráfi cas tiene un desarrollo que sustenta una construcción de conocimiento matemático. Estos trabajos tienen una orientación hacia la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en un ambiente tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero & Flores, 2007) existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimientocon estructura propia y susceptible de desarrollo.

3 La investigación La investigación

En el estado del conocimiento sobre la modelación y la grafi cación se percibeuna orientación hacia considerar que estos conceptos tienen un estatus de ‘medio’en el aprendizaje de las matemáticas (Leinhardt, Stein & Zaslavsky, 1990;

�tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero

�tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimiento

�existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimientocon estructura propia y susceptible de desarrollo.�con estructura propia y susceptible de desarrollo.��

��El estudio del uso de las gráfi cas se está consolidando como una línea de

��El estudio del uso de las gráfi cas se está consolidando como una línea de

investigación en la que se estudian las prácticas de referencia asociadas a la

��investigación en la que se estudian las prácticas de referencia asociadas a la

grafi cación en el discurso matemático escolar. Flores (2005), Cen (2006) y Torres

��

grafi cación en el discurso matemático escolar. Flores (2005), Cen (2006) y Torres (2004) han aportado información sobre el tipo de gráfi cas que se encuentra

��

(2004) han aportado información sobre el tipo de gráfi cas que se encuentra actualmente en la educación básica y en el bachillerato, proporcionando

��

actualmente en la educación básica y en el bachillerato, proporcionando evidencias de que el uso de las gráfi cas tiene un desarrollo que sustenta una

��

evidencias de que el uso de las gráfi cas tiene un desarrollo que sustenta una

��

construcción de conocimiento matemático. Estos trabajos tienen una orientación

��

construcción de conocimiento matemático. Estos trabajos tienen una orientación hacia la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en un ambiente ��

��hacia la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en un ambiente tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero ��

��tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimiento��

��existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimientocon estructura propia y susceptible de desarrollo.��

��

con estructura propia y susceptible de desarrollo.��

�tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero

�tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero ��

��tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero

�tecnológico. En estos estudios de uso de las gráfi cas (Cordero existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimiento

�existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimiento��

��existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimiento

�existe una intención de caracterizar a la grafi cación como un conocimientocon estructura propia y susceptible de desarrollo.�con estructura propia y susceptible de desarrollo.��

��

con estructura propia y susceptible de desarrollo.�con estructura propia y susceptible de desarrollo.

�función orgánica de la Figuración de las Cualidades donde se establecen formas

�función orgánica de la Figuración de las Cualidades donde se establecen formas de uso de las gráfi cas, se construyen argumentos y se ponen en funcionamiento

�de uso de las gráfi cas, se construyen argumentos y se ponen en funcionamiento avanzando hacia justifi caciones funcionales. �avanzando hacia justifi caciones funcionales. ��

�un eje para desarrollar acciones en el sistema didáctico a través el diseño

��

un eje para desarrollar acciones en el sistema didáctico a través el diseñode Situaciones de Modelación del Movimiento. Los elementos constitutivos de

��

de Situaciones de Modelación del Movimiento. Los elementos constitutivos de la categoría de modelación-grafi cación se traducen en los elementos de un

��la categoría de modelación-grafi cación se traducen en los elementos de un

La variación se resignifi ca a

��La variación se resignifi ca a

Es decir, una situación de aprendizaje

��Es decir, una situación de aprendizaje

que genera en los estudiantes un interés por estudiar un fenómeno de cambio a

��que genera en los estudiantes un interés por estudiar un fenómeno de cambio a

través de gráfi cas de las funciones que ahí intervienen contribuye a establecer

��

través de gráfi cas de las funciones que ahí intervienen contribuye a establecerrelaciones entre gráfi cas y situaciones de cambio donde la variación tiene un

��

relaciones entre gráfi cas y situaciones de cambio donde la variación tiene un sentido específi co que no depende necesariamente de las propiedades analíticas

��

sentido específi co que no depende necesariamente de las propiedades analíticas de la función. De esta manera se establece un ‘uso de las gráfi cas’ asociado a la

��

de la función. De esta manera se establece un ‘uso de las gráfi cas’ asociado a la función orgánica de la Figuración de las Cualidades donde se establecen formas ��

�función orgánica de la Figuración de las Cualidades donde se establecen formas de uso de las gráfi cas, se construyen argumentos y se ponen en funcionamiento ��

�de uso de las gráfi cas, se construyen argumentos y se ponen en funcionamiento



323



Ruiz, L. 1998), es decir se consideran actividades que pueden servir para un fi n determinado como el aprendizaje de las funciones o la aplicación de los conocimientos, en ambos casos teniendo una centración hacia la construcción de objetos matemáticos. Sin embargo, en esta investigación se consideran como formas de conocimiento en sí mismos a la modelación (Bosch, Garcia, Gascón, &Ruiz, 2007) y a la grafi cación (Confrey, 1999). En el programa de investigación que introduce la aproximación sociocultural al estudio del conocimiento matemático en el nivel superior en México (Cordero, 1999; Buendía y Cordero, 2005; Cordero, 2008; Farfán, Ferrari, 2008; Cantoral, Farfán, Lezama, Martínez-Sierra, 2006; Farfán, Crespo, Lezama, 2009) se vislumbra la aportación de nuevos elementos para el diseño y la experimentación de las acciones didácticas orientados hacia la modelación y el uso de las matemáticas en lugar de la construcción de objetos matemáticos

Desde una perspectiva socioepistemológica formulamos un marco de referencia que de cuenta de la articulación de las características de lamodelación y de la grafi cación para la construcción de las ideas del cambio y la variación. Este marco de referencia estará centrado en las características que se identifi can en el estudio epistemológico como aquellas que permitan la constitución social de tales conceptos, “en ‘aquello’ que hace que el conocimiento sea así y no de otra manera. El ‘aquello’ es de naturaleza social que reconoce al grupo humano con su organización, su historia, su cultura y su institución que lo lleva a proceder de una manera y no de otra, es su práctica social generatriz de su conocimiento” (Farfán, Cantoral, 2003 y 2004; Flores, 2005).

4 Socioepistemología de la modelación–grafi cación Socioepistemología de la modelación–grafi cación

Para la sociopistemología no sólo es importante el planteamiento de preguntas sobre el conocimiento sino también sobre su construcción. Para hablar de la construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar los cambios en las cantidades físicas, lo que, en términos de Crombie, se constituye en la física matemática al fi nal de la edad media (Crombie, 1983, p.82). La idea central del Tratado de Oresme es que las fi guras geométricas y las proporciones matemáticas ayudan a ‘comprender fenómenos’ en los que seproducen cambios de la realidad física que pueden estudiarse como cambios en las cantidades (Boyer, 1959).

�construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se

�construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades

�ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de �de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de �modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar �modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar los cambios en las cantidades físicas, lo que, en términos de Crombie, se �los cambios en las cantidades físicas, lo que, en términos de Crombie, se constituye en la física matemática al fi nal de la edad media (Crombie, 1983, �constituye en la física matemática al fi nal de la edad media (Crombie, 1983,

��

grupo humano con su organización, su historia, su cultura y su institución que lo

��

grupo humano con su organización, su historia, su cultura y su institución que lo lleva a proceder de una manera y no de otra, es su

��

lleva a proceder de una manera y no de otra, es su su conocimiento” (Farfán, Cantoral, 2003 y 2004; Flores, 2005).

��su conocimiento” (Farfán, Cantoral, 2003 y 2004; Flores, 2005).

Socioepistemología de la modelación–grafi cación

��

Socioepistemología de la modelación–grafi cación

Para la sociopistemología no sólo es importante el planteamiento de preguntas

��

Para la sociopistemología no sólo es importante el planteamiento de preguntas sobre el conocimiento sino también sobre su construcción. Para hablar de la

��

sobre el conocimiento sino también sobre su construcción. Para hablar de la construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se ��

��construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades ��

��ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de ��

��de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar ��

��

modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar ��

�construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se

�construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se ��

��construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se

�construcción del uso de las gráfi cas en la modelación, en esta investigación se ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades

�ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades ��

��ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades

�ha decidido estudiar el uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de �de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de ��

��de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de �de Oresme (Clagett, 1968) porque se ha identifi cado en este uso evidencias de modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar �modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar ��

��

modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar �modelación, en el sentido de aplicar la matemática de la época para explicar

�la variación. Este marco de referencia estará centrado en las características

�la variación. Este marco de referencia estará centrado en las características que se identifi can en el estudio epistemológico como aquellas que permitan la

�que se identifi can en el estudio epistemológico como aquellas que permitan la constitución social de tales conceptos, “en ‘aquello’ que hace que el conocimiento �constitución social de tales conceptos, “en ‘aquello’ que hace que el conocimiento sea así y no de otra manera. El ‘aquello’ es de naturaleza social que reconoce al �sea así y no de otra manera. El ‘aquello’ es de naturaleza social que reconoce al grupo humano con su organización, su historia, su cultura y su institución que lo �grupo humano con su organización, su historia, su cultura y su institución que lo lleva a proceder de una manera y no de otra, es su �lleva a proceder de una manera y no de otra, es su práctica social�práctica social

��

en el nivel superior en México (Cordero, 1999; Buendía y Cordero, 2005; Cordero,

��

en el nivel superior en México (Cordero, 1999; Buendía y Cordero, 2005; Cordero, 2008; Farfán, Ferrari, 2008; Cantoral, Farfán, Lezama, Martínez-Sierra, 2006;

��

2008; Farfán, Ferrari, 2008; Cantoral, Farfán, Lezama, Martínez-Sierra, 2006; Farfán, Crespo, Lezama, 2009) se vislumbra la aportación de nuevos elementos

��Farfán, Crespo, Lezama, 2009) se vislumbra la aportación de nuevos elementos

para el diseño y la experimentación de las acciones didácticas orientados hacia

��para el diseño y la experimentación de las acciones didácticas orientados hacia

la modelación y el uso de las matemáticas en lugar de la construcción de objetos

��la modelación y el uso de las matemáticas en lugar de la construcción de objetos

Desde una perspectiva socioepistemológica formulamos un marco

��

Desde una perspectiva socioepistemológica formulamos un marco de referencia que de cuenta de la articulación de las características de la

��

de referencia que de cuenta de la articulación de las características de lamodelación y de la grafi cación para la construcción de las ideas del cambio y

��

modelación y de la grafi cación para la construcción de las ideas del cambio y la variación. Este marco de referencia estará centrado en las características ��

�la variación. Este marco de referencia estará centrado en las características que se identifi can en el estudio epistemológico como aquellas que permitan la ��

�que se identifi can en el estudio epistemológico como aquellas que permitan la constitución social de tales conceptos, “en ‘aquello’ que hace que el conocimiento ��

�constitución social de tales conceptos, “en ‘aquello’ que hace que el conocimiento sea así y no de otra manera. El ‘aquello’ es de naturaleza social que reconoce al ��

�sea así y no de otra manera. El ‘aquello’ es de naturaleza social que reconoce al



323



4.1. Pertinencia didáctica del uso de las gráficas en la modelación. Tres datos epistemológicos

En los siguientes incisos presentamos tres datos epistemológicos de la Figuración de las Cualidades en Oresme que proporcionan argumentos sobrela conveniencia didáctica de desarrollar un uso de las gráfi cas en una situación de modelación del movimiento.

4.1.1. La gráfica antecede a la función

En la Figuración de las Cualidades se establecen relaciones entre figuras geométricas y situaciones específi cas de variación. Se ha mencionado que un rectángulo se usa para representar una situación en la que la intensidad de la cualidad no varía, en cambio un triángulo rectángulo (véase la Ilustración 1)representa una situación de cambio en el que la intensidad aumenta proporcionalmente a lo largo de una extensión de tiempo. El contorno de estas fi guras geométricas guarda parecido con las curvas que actualmente ensistemas de ejes coordenados representan funciones analíticas. Hay una estrecha relación entre la Figuración de las Cualidades y una etapa histórica del desarrollo del concepto matemático de función.

. Dato epistemológico: La gráfica antecede a la función.

Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemáticade función, ubica la Figuración de las Cualidades en la etapa del surgimiento de la “geometría de las relaciones funcionales” (Youschkevitch, 1976/1996, p.112). En su análisis, afi rma que los desarrollos de Oresme incluyen el manejo dela idea de función como una relación entre variables y que aunque no haya una defi nición explícita sí se observa un uso de la idea matemática de función.Esta concepción de hacer un uso de facto de la idea matemática de función pormedio de una representación gráfica es un elemento importante a tomar en

� La gráfica antecede a la función.

En la Figuración de las Cualidades se establecen relaciones entre figuras geométricas y situaciones específicas de variación. Se ha mencionado que un rectángulo se usa para representar una situación en la que la intensidad de la cualidad no varía, en cambio un triángulo rectángulo (véase la Ilustración 1) representa una situación de cambio en el que la intensidad aumenta proporcionalmente a lo largo de una extensión de tiempo. El contorno de estas figuras geométricas guarda parecido con las curvas que actualmente en sistemas de ejes coordenados representan funciones analíticas. Hay una estrecha relación entre la Figuración de las Cualidades y una etapa histórica del desarrollo del concepto matemático de función.

Ilustración 1. Dato epistemológico: La gráfica antecede a la función.

Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática de función, ubica la Figuración de las Cualidades en la etapa del surgimiento de la “geometría de las relaciones funcionales” (Youschkevitch, 1976/1996, p.112). En su análisis, afirma que los desarrollos de Oresme incluyen el manejo de la idea de función como una relación entre variables y que aunque no haya una definición explícita sí se observa un uso de la idea matemática de función. Esta concepción de hacer un uso de facto de la idea matemática de función por medio de una representación gráfica es un elemento importante a tomar en cuenta en la matemática escolar. Son importantes, sin lugar a dudas, la definición formal dentro de la estructura actual de matemáticas y su manejo analítico, sin embargo la Figuración de las Cualidades es una obra donde se puede lograr una concepción amplia de la idea matemática de función a partir de un cierto uso de sus gráficas. Con esto, la graficación conforma elementos importantes de construcción para las ideas de la variación y que se desarrollan de manera independiente o de forma paralela al desarrollo analítico del concepto de función.

� La gráfica es argumentativa.

Una vez establecida una nueva forma de mirar las figuras geométricas se configura un nuevo funcionamiento al seno de la nueva concepción de la forma. Es decir hay un uso argumentativo ya que la gráfica pasa a ser un elemento central en explicaciones.

�Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas


observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática�observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemáticade función, ubica la Figuración de las Cualidades en la etapa del surgimiento de �de función, ubica la Figuración de las Cualidades en la etapa del surgimiento de la “geometría de las relaciones funcionales” (Youschkevitch, 1976/1996, p.112). �la “geometría de las relaciones funcionales” (Youschkevitch, 1976/1996, p.112). En su análisis, afi rma que los desarrollos de Oresme incluyen el manejo de�En su análisis, afi rma que los desarrollos de Oresme incluyen el manejo de

��

Ilustración 1��

Ilustración 1. Dato epistemológico: La gráfica antecede a la función.��

. Dato epistemológico: La gráfica antecede a la función.

Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas ��

Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática��

��

observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


�Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas ��

��Youschkevitch (1976/1996), en el panorama histórico donde presenta algunas


observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática�observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática��

observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática�observaciones sobre las etapas principales del desarrollo de la idea matemática

�estas fi guras geométricas guarda parecido con las curvas que actualmente en

�estas fi guras geométricas guarda parecido con las curvas que actualmente ensistemas de ejes coordenados representan funciones analíticas. Hay una estrecha

�sistemas de ejes coordenados representan funciones analíticas. Hay una estrecha relación entre la Figuración de las Cualidades y una etapa histórica del desarrollo �relación entre la Figuración de las Cualidades y una etapa histórica del desarrollo ��

�En la Figuración de las Cualidades se establecen relaciones entre figuras

��En la Figuración de las Cualidades se establecen relaciones entre figuras

geométricas y situaciones específi cas de variación. Se ha mencionado que un

��geométricas y situaciones específi cas de variación. Se ha mencionado que un

rectángulo se usa para representar una situación en la que la intensidad de

��rectángulo se usa para representar una situación en la que la intensidad de

la cualidad no varía, en cambio un triángulo rectángulo (véase la Ilustración 1)

��

la cualidad no varía, en cambio un triángulo rectángulo (véase la Ilustración 1)representa una situación de cambio en el que la intensidad aumenta

��

representa una situación de cambio en el que la intensidad aumenta proporcionalmente a lo largo de una extensión de tiempo. El contorno de

��

proporcionalmente a lo largo de una extensión de tiempo. El contorno de estas fi guras geométricas guarda parecido con las curvas que actualmente en��

�estas fi guras geométricas guarda parecido con las curvas que actualmente ensistemas de ejes coordenados representan funciones analíticas. Hay una estrecha ��

�sistemas de ejes coordenados representan funciones analíticas. Hay una estrecha relación entre la Figuración de las Cualidades y una etapa histórica del desarrollo ��

�relación entre la Figuración de las Cualidades y una etapa histórica del desarrollo



325



cuenta en la matemática escolar. Son importantes, sin lugar a dudas, la defi nición formal dentro de la estructura actual de matemáticas y su manejo analítico, sin embargo la Figuración de las Cualidades es una obra donde se puede lograr una concepción amplia de la idea matemática de función a partir de un cierto uso de sus gráfi cas. Con esto, la grafi cación conforma elementos importantes de construcción para las ideas de la variación y que se desarrollan de manera independiente o de forma paralela al desarrollo analítico del concepto de función.

4.1.2. La gráfica es argumentativa

Una vez establecida una nueva forma de mirar las figuras geométricas seconfi gura un nuevo funcionamiento al seno de la nueva concepción de la forma. Es decir hay un uso argumentativo ya que la gráfi ca pasa a ser un elemento central en explicaciones.

. Dato epistemológico: La gráfica es argumentativa

Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para ‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación que no fue explícita en el trabajo de Oresme: que el área de una fi gura que representase la velocidad coincidía con la distancia recorrida con dicha velocidad. La gráfi ca de la izquierda en la Ilustración 2 sirve de apoyo para hablar de las características de un punto extremo en la fi gura en relación con la disminución del cambio en las intensidades al acercarse al punto E.

Ilustración 2. Dato epistemológico: La gráfica es argumentativa

Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para ‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo, la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación que no fue explícita en el trabajo de Oresme: que el área de una figura que representase la velocidad coincidía con la distancia recorrida con dicha velocidad. La gráfica de la izquierda en la Ilustración 2 sirve de apoyo para hablar de las características de un punto extremo en la figura en relación con la disminución del cambio en las intensidades al acercarse al punto E.

� El uso de las gráficas tiene un desarrollo.

Las figuras geométricas adquieren significado a la luz de su uso al modelar situaciones de variación. El tiempo se privilegia como la variable sobre la cual se extienden (en línea horizontal) las diferentes intensidades de una cualidad. La Figuración de las Cualidades se representa por figuras planas o por cuerpos en el espacio. Estos elementos configuran un desarrollo del uso de la Figuración de las Cualidades.

Ilustración 3. Dato epistemológico: El uso de las gráficas tiene un desarrollo

Estos datos epistemológicos caracterizan un uso de las gráficas que depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones) que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfica diferentes a las asociadas a la representación gráfica de la idea matemática de función.

�Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para


‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,�‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación �la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación que no fue explícita en el trabajo de Oresme: que el área de una fi gura que �que no fue explícita en el trabajo de Oresme: que el área de una fi gura que representase la velocidad coincidía con la distancia recorrida con dicha velocidad. �representase la velocidad coincidía con la distancia recorrida con dicha velocidad. La gráfi ca de la izquierda en la Ilustración 2 sirve de apoyo para hablar de las

�La gráfi ca de la izquierda en la Ilustración 2 sirve de apoyo para hablar de las

��

Ilustración 2

��


��

. Dato epistemológico: La gráfica es argumentativa

Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para ��

Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para ‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,��

��‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación ��

��

la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


�Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para ��

��Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para


‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,�‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,��

‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,�‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo,la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación �la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación ��

��

la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación �la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación

��Una vez establecida una nueva forma de mirar las figuras geométricas se

��Una vez establecida una nueva forma de mirar las figuras geométricas se

confi gura un nuevo funcionamiento al seno de la nueva concepción de la forma.

��confi gura un nuevo funcionamiento al seno de la nueva concepción de la forma.

Es decir hay un uso argumentativo ya que la gráfi ca pasa a ser un elemento

��

Es decir hay un uso argumentativo ya que la gráfi ca pasa a ser un elemento

��

��



325



4.1.2. El uso de las gráficas tiene un desarrollo

Las fi guras geométricas adquieren signifi cado a la luz de su uso al modelar situaciones de variación. El tiempo se privilegia como la variable sobre la cual seextienden (en línea horizontal) las diferentes intensidades de una cualidad. La Figuración de las Cualidades se representa por fi guras planas o por cuerposen el espacio. Estos elementos confi guran un desarrollo del uso de la Figuración de las Cualidades.


Estos datos epistemológicos caracterizan un uso de las gráficas que depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones) que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfi ca diferentes a las asociadas a la representación gráfi ca de la idea matemática de función.

4.2. Epistemología del desarrollo del uso de las gráficas en la modelación

En nuestra perspectiva teórica el ‘uso de las gráfi cas’ se estudia a partir de la identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras geométricas en tanto que los elementos de forma son las clases de tareas.Estas tareas quedan determinadas por el funcionamiento y éste, a su vez, determina nuevas formas y nuevos funcionamientos. De tal manera que caractericemos el uso de las gráfi cas a partir del debate entre el funcionamiento y la forma de la Figuración de las Cualidades, los nuevos funcionamientos y formas se desarrollan en espiral, una representación de esta idea se encuentra en la Ilustración 4.


Las gráficas de la derecha sirven como un argumento gráfico para ‘demostrar’ relaciones numéricas que eran conocidas como, por ejemplo, la regla de Merton. El elemento central de la ‘demostración’ era una relación que no fue explícita en el trabajo de Oresme: que el área de una figura que representase la velocidad coincidía con la distancia recorrida con dicha velocidad. La gráfica de la izquierda en la Ilustración 2 sirve de apoyo para hablar de las características de un punto extremo en la figura en relación con la disminución del cambio en las intensidades al acercarse al punto E.

� El uso de las gráficas tiene un desarrollo.

Las figuras geométricas adquieren significado a la luz de su uso al modelar situaciones de variación. El tiempo se privilegia como la variable sobre la cual se extienden (en línea horizontal) las diferentes intensidades de una cualidad. La Figuración de las Cualidades se representa por figuras planas o por cuerpos en el espacio. Estos elementos configuran un desarrollo del uso de la Figuración de las Cualidades.


Estos datos epistemológicos caracterizan un uso de las gráficas que depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones) que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfica diferentes a las asociadas a la representación gráfica de la idea matemática de función.

�identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del

�identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008).

�uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que

�Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras �hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras geométricas en tanto que los elementos de forma son las clases de tareas.�geométricas en tanto que los elementos de forma son las clases de tareas.Estas tareas quedan determinadas por el funcionamiento y éste, a su vez, �Estas tareas quedan determinadas por el funcionamiento y éste, a su vez, determina nuevas formas y nuevos funcionamientos. De tal manera que

�determina nuevas formas y nuevos funcionamientos. De tal manera que

��

. Dato epistemológico: El uso de las gráficas tiene un desarrollo

��

. Dato epistemológico: El uso de las gráficas tiene un desarrollo

Estos datos epistemológicos caracterizan un uso de las gráficas que

��Estos datos epistemológicos caracterizan un uso de las gráficas que

depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones)

��depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones)

que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfi ca diferentes a las

��que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfi ca diferentes a las

asociadas a la representación gráfi ca de la idea matemática de función.

��asociadas a la representación gráfi ca de la idea matemática de función.

Epistemología del desarrollo del uso de las gráficas en la modelación

��

Epistemología del desarrollo del uso de las gráficas en la modelación

En nuestra perspectiva teórica el ‘uso de las gráfi cas’ se estudia a partir de la

��

En nuestra perspectiva teórica el ‘uso de las gráfi cas’ se estudia a partir de la identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del ��

��identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). ��

��uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que ��

��Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras ��

��

hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras ��

�identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del

�identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del ��

��identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del

�identifi cación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008).

�uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). ��

��uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008).

�uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que

�Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que ��

��Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que

�Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras �hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras ��

��

hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras �hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de fi guras

�. Dato epistemológico: El uso de las gráficas tiene un desarrollo�. Dato epistemológico: El uso de las gráficas tiene un desarrollo��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��



327



Ilustración 4. Uso de las gráficas. Debate entre funcionamiento y forma.

El desarrollo mostrado en el diagrama es posible a través del debate entre el funcionamiento y la forma. De acuerdo a la explicación anterior esbozamos eldesarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades en tres momentos.

Momento I. Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento del uso de las gráficas

El uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades instaura un nuevo funcionamiento de las fi guras geométricas, de la matemática de las proporcionesy de la forma de abordar problemas del movimiento determinando nuevas formas.A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos tipos de tareas quedan determinados por una nueva forma (Forma 2) que secaracteriza por la asignación de medida a las variables físicas por mediode segmentos. Hay que destacar que es el interés por ‘comprender’ fenómenos devariación a través de fi guras lo que obliga a generar una funcionalidad de los conocimientos matemáticos, relacionados con las proporciones y la geometría, logrando una resignifi cación en un nuevo conocimiento, funcional.

4.2 Epistemología del desarrollo del uso de las gráficas en la modelación.

En nuestra perspectiva teórica el ‘uso de las gráficas’ se estudia a partir de la identificación del debate entre los elementos de funcionamiento y de forma del uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades (Suárez y Cordero, 2008). Más precisamente, los elementos de funcionamiento son las circunstancias que hicieron posible la modelación de fenómenos de variación a través de figuras geométricas en tanto que los elementos de forma son las clases de tareas. Estas tareas quedan determinadas por el funcionamiento y éste, a su vez, determina nuevas formas y nuevos funcionamientos. De tal manera que caractericemos el uso de las gráficas a partir del debate entre el funcionamiento y la forma de la Figuración de las Cualidades, los nuevos funcionamientos y formas se desarrollan en espiral, una representación de esta idea se encuentra en la Ilustración 4.

Ilustración 4. Uso de las gráficas. Debate entre funcionamiento y forma.

El desarrollo mostrado en el diagrama es posible a través del debate entre el funcionamiento y la forma. De acuerdo a la explicación anterior esbozamos el desarrollo del uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades en tres momentos.

� Momento I. Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento del uso de las gráficas.

El uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades instaura un nuevo funcionamiento de las figuras geométricas, de la matemática de las proporciones y de la forma de abordar problemas del movimiento determinando nuevas formas. A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro desarrollo del uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades determina una nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos tipos de tareas quedan determinados por una nueva forma (Forma 2) que se caracteriza por la asignación de medida a las variables físicas por medio de segmentos. Hay que destacar que es el interés por ‘comprender’ fenómenos de variación a través de figuras lo que obliga a generar una funcionalidad de los conocimientos matemáticos, relacionados con las proporciones y la geometría, logrando una resignificación en un nuevo conocimiento, funcional.

� Momento II. Construcción de argumentos en el uso de las gráficas.

Una vez establecido este nuevo uso (Funcionalidad 1) a través de esta nueva relación (Forma 2), se usan las figuras y se da lugar, a su vez, a un nuevo uso (Funcionalidad 2) al establecer relaciones �

A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la

�A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro

�geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una �desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos �nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos tipos de tareas quedan determinados por una nueva forma (Forma 2) que se�tipos de tareas quedan determinados por una nueva forma (Forma 2) que secaracteriza por la asignación de medida a las variables físicas por medio�caracteriza por la asignación de medida a las variables físicas por medio

��

El desarrollo mostrado en el diagrama es posible a través del debate entre

��

El desarrollo mostrado en el diagrama es posible a través del debate entre el funcionamiento y la forma. De acuerdo a la explicación anterior esbozamos el

��

el funcionamiento y la forma. De acuerdo a la explicación anterior esbozamos eldesarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades en tres

��desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades en tres

Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento del uso

��Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento del uso

de las gráficas

��

de las gráficas

El uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades instaura un nuevo

��

El uso de las gráficas en la Figuración de las Cualidades instaura un nuevo funcionamiento de las fi guras geométricas, de la matemática de las proporciones

��

funcionamiento de las fi guras geométricas, de la matemática de las proporcionesy de la forma de abordar problemas del movimiento determinando nuevas formas.

��

y de la forma de abordar problemas del movimiento determinando nuevas formas.A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la ��

��A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro ��

��geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una ��

��desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos ��

��

nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos ��

�A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la

�A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la ��

��A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la

�A partir de la forma inicial (Forma-1) de los cuerpos de conocimiento de la geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro

�geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro ��

��geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro

�geometría, las proporciones y la teoría del movimiento por separados, nuestro desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una �desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una ��

��desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una �desarrollo del uso de las gráfi cas en la Figuración de las Cualidades determina una nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos �nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos ��

��

nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos �nueva funcionalidad (Funcionalidad-1) de ‘comprender’ fenómenos. Los nuevos

� Uso de las gráficas. Debate entre funcionamiento y forma.� Uso de las gráficas. Debate entre funcionamiento y forma.

El desarrollo mostrado en el diagrama es posible a través del debate entre �El desarrollo mostrado en el diagrama es posible a través del debate entre el funcionamiento y la forma. De acuerdo a la explicación anterior esbozamos el�el funcionamiento y la forma. De acuerdo a la explicación anterior esbozamos el��

� Uso de las gráficas. Debate entre funcionamiento y forma.��

� Uso de las gráficas. Debate entre funcionamiento y forma.��

��

��

�



327



Momento II. Construcción de argumentos en el uso de las gráficas

Una vez establecido este nuevo uso (Funcionalidad 1) a través de esta nueva relación (Forma 2), se usan las fi guras y se da lugar, a su vez, a un nuevo uso (Funcionalidad 2) al establecer relaciones entre las fi guras geométricas y las situaciones de variación que representan. De esta manera se conforma una notación gráfi ca que permite discriminar las fi guras que representan y las fi gurasque no representan situaciones de cambio y variación (Forma 3).

Momento III. Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la modelación

Se observa un avance en distinguir entre cantidad y calidad de movimiento (Funcionamiento 3) lo que permite varias generalizaciones del uso de las gráficas (Forma 4), estas generalizaciones permiten la caracterización delos puntos extremos de variación o la asignación de áreas a relaciones numéricas o analíticas (Funcionamiento 4) o la suma continua de áreas para cuantifi carel movimiento a partir de la fi gura de la velocidad (Funcionamiento 5)1.

Ilustración 5 Aspectos epistemológicos del uso de las gráficas para modelar el movimiento

La Ilustración 5 muestra la espiral que representa el desarrollo del uso de las gráfi cas vista desde arriba. El soporte, ilustrado en el diagrama por líneas transversales a la espiral, está constituido por los elementos de pertinencia de los datos epistemológicos.

entre las figuras geométricas y las situaciones de variación que representan. De esta manera se conforma una notación gráfica que permite discriminar las figuras que representan y las figuras que no representan situaciones de cambio y variación (Forma 3).

� Momento III. Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la modelación.

Se observa un avance en distinguir entre cantidad y calidad de movimiento (Funcionamiento 3) lo que permite varias generalizaciones del uso de las gráficas (Forma 4), estas generalizaciones permiten la caracterización de los puntos extremos de variación o la asignación de áreas a relaciones numéricas o analíticas (Funcionamiento 4) o la suma continua de áreas para cuantificar el movimiento a partir de la figura de la velocidad (Funcionamiento 5)1.

Ilustración 5. Aspectos epistemológicos del uso de las gráficas para modelar el movimiento

La Ilustración 5 muestra la espiral que representa el desarrollo del uso de las gráficas vista desde arriba. El soporte, ilustrado en el diagrama por líneas transversales a la espiral, está constituido por los elementos de pertinencia de los datos epistemológicos.

5. SITUACIÓN DE MODELACIÓN DEL MOVIMIENTO. ASPECTOS METODOLÓGICOS.

La información que permite dar cuenta del problema de investigación se obtiene mediante un diseño de investigación con orientación cualitativa en una experiencia de laboratorio (véase algunos experimentos previos en Suárez, Carrillo & López, (2005) con una fuerte base epistemológica. De la confrontación entre las hipótesis de construcción específicas a partir de la Categoría Modelación-Graficación, C(M-G), y el desempeño de los estudiantes en una Situación de Modelación del Movimiento, SMM, se obtiene la caracterización del uso de las gráficas en la modelación que proporciona elementos para una reorganización en la matemática escolar de las ideas del cambio y la variación.

1 El funcionamiento correspondiente a la suma continua de áreas para cuantificar el movimiento a partir de la figura de la velocidad (Funcionamiento 5) no fue objeto de estudio en esta investigación.

�Ilustración 5

�Ilustración 5

La Ilustración 5 muestra la espiral que representa el desarrollo del uso de �La Ilustración 5 muestra la espiral que representa el desarrollo del uso de las gráfi cas vista desde arriba. El soporte, ilustrado en el diagrama por líneas �las gráfi cas vista desde arriba. El soporte, ilustrado en el diagrama por líneas

��

Ilustración 5��

Ilustración 5.��

. Aspectos epistemológicos del uso de las gráficas para��

Aspectos epistemológicos del uso de las gráficas para modelar el movimiento��

�� modelar el movimiento��

��

��

�Ilustración 5

�Ilustración 5��

��Ilustración 5

�Ilustración 5

�o analíticas (Funcionamiento 4) o la suma continua de áreas para cuantifi car

�o analíticas (Funcionamiento 4) o la suma continua de áreas para cuantifi carel movimiento a partir de la fi gura de la velocidad (Funcionamiento 5)

�el movimiento a partir de la fi gura de la velocidad (Funcionamiento 5)

��Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la

��Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la

Se observa un avance en distinguir entre cantidad y calidad de movimiento

��Se observa un avance en distinguir entre cantidad y calidad de movimiento

(Funcionamiento 3) lo que permite varias generalizaciones del uso de las

��

(Funcionamiento 3) lo que permite varias generalizaciones del uso de las gráficas (Forma 4), estas generalizaciones permiten la caracterización de

��

gráficas (Forma 4), estas generalizaciones permiten la caracterización delos puntos extremos de variación o la asignación de áreas a relaciones numéricas

��

los puntos extremos de variación o la asignación de áreas a relaciones numéricas o analíticas (Funcionamiento 4) o la suma continua de áreas para cuantifi car��

�o analíticas (Funcionamiento 4) o la suma continua de áreas para cuantifi carel movimiento a partir de la fi gura de la velocidad (Funcionamiento 5)��

�el movimiento a partir de la fi gura de la velocidad (Funcionamiento 5)��

�

1 El funcionamiento correspondiente a la suma continua de áreas para cuantificar el movimiento a partir de la figura de la velocidad (Funcionamiento 5) no fue objeto de estudio en esta investigación.



329



5 Situación de Modelación del Movimiento. Aspectos Metodológicos

La información que permite dar cuenta del problema de investigación se obtiene mediante un diseño de investigación con orientación cualitativa en una experiencia de laboratorio (véase algunos experimentos previos en Suárez, Carrillo & López, (2005) con una fuerte base epistemológica. De la confrontación entre las hipótesis de construcción específi cas a partir de la Categoría Modelación-Grafi cación, C(M-G), y el desempeño de los estudiantes en una Situación de Modelación del Movimiento, SMM, se obtiene la caracterización del uso de las gráfi cas en la modelación que proporciona elementos para una reorganización en la matemática escolar de las ideas del cambio y la variación.

5.1. Diseño de una Situación de Modelación del Movimiento

Como una consecuencia de los supuestos teóricos y con la fi nalidad de observar el ‘uso de las gráfi cas en la modelación’ el diseño de las secuencias de enseñanza se encuentra soportado por la epistemología proporciona y se centra enuna situación que incluye un conjunto de tareas que determinan los siguientes tipos de actividades, acciones y alternancias de dominios en los estudiantes.

Momento I. Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento de las gráficas en la modelación. (SMM-MI)

Momento II. Construcción de argumentos en el uso de las gráficas en la modelación. (SMM-MII)

Momento III. Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la (SMM-MIII)

5.2. Análisis de resultados

Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración presenta una de las gráfi cas posibles del problema en estudio. Se destacan los intervalos donde se observan cambios en el crecimiento o concavidad o se transita desde un tipo de trazo curvo a uno recto o viceversa, sobre los cuales deberían focalizarse los argumentos de los estudiantes para el paso de una gráfi ca de posición a una gráfi ca de velocidad.

�5.2.

�5.2.

�Análisis de resultados


Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración �Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración presenta una de las gráfi cas posibles del problema en estudio. Se destacan �presenta una de las gráfi cas posibles del problema en estudio. Se destacan los intervalos donde se observan cambios en el crecimiento o concavidad o se �los intervalos donde se observan cambios en el crecimiento o concavidad o se

��Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento de las

��Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento de las

gráficas en la modelación.

��gráficas en la modelación. (SMM-MI)

��(SMM-MI)

Construcción de argumentos en el uso de las gráficas en la

��Construcción de argumentos en el uso de las gráficas en la

modelación.

��

modelación. (SMM-MII)

��

(SMM-MII)

Momento III.

��

Momento III. Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la

��

Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la modelación

��

modelación (SMM-MIII)

��

(SMM-MIII)

��

Análisis de resultados��

Análisis de resultados

Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración ��

Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración ��


�Análisis de resultados��

��Análisis de resultados


Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración �Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración ��

Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración �Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráfi cas. La siguiente ilustración

�el ‘uso de las gráfi cas en la modelación’ el diseño de las secuencias de enseñanza

�el ‘uso de las gráfi cas en la modelación’ el diseño de las secuencias de enseñanza se encuentra soportado por la epistemología proporciona y se centra en

�se encuentra soportado por la epistemología proporciona y se centra enuna situación que incluye un conjunto de tareas que determinan los siguientes �una situación que incluye un conjunto de tareas que determinan los siguientes tipos de actividades, acciones y alternancias de dominios en los estudiantes.�tipos de actividades, acciones y alternancias de dominios en los estudiantes.��

�Grafi cación, C(M-G), y el desempeño de los estudiantes en una Situación de

��

Grafi cación, C(M-G), y el desempeño de los estudiantes en una Situación de Modelación del Movimiento, SMM, se obtiene la caracterización del uso de las

��

Modelación del Movimiento, SMM, se obtiene la caracterización del uso de las gráfi cas en la modelación que proporciona elementos para una reorganización en

��gráfi cas en la modelación que proporciona elementos para una reorganización en

Diseño de una Situación de Modelación del Movimiento

��

Diseño de una Situación de Modelación del Movimiento

Como una consecuencia de los supuestos teóricos y con la fi nalidad de observar

��

Como una consecuencia de los supuestos teóricos y con la fi nalidad de observar el ‘uso de las gráfi cas en la modelación’ el diseño de las secuencias de enseñanza ��

�el ‘uso de las gráfi cas en la modelación’ el diseño de las secuencias de enseñanza se encuentra soportado por la epistemología proporciona y se centra en��

�se encuentra soportado por la epistemología proporciona y se centra enuna situación que incluye un conjunto de tareas que determinan los siguientes ��

�una situación que incluye un conjunto de tareas que determinan los siguientes



329



Ilustración 6. Evidencias de las formas básicas de graficación.

En la gráfica se observa que un trazo de forma global incluyedecisiones sobre la elección de las variables a representar por cada uno de losejes coordenados, la elección de un punto de referencia, la elección delos cuadrantes y la percepción de aspectos característicos de la gráfi ca como puntos iniciales y fi nales, así como puntos extremos. A este momento se le caracteriza por las tareas del establecimiento de la forma, MI-SMM. Sin embargo, es la problematización sobre la variación a partir de la modelación-grafi cación lo que permiten observar la formulación de procedimientos y procedimientos que al intentar validar o justifi carlos propicia que emerjan relaciones que se establecen como argumentos. Se notó una ausencia, la de funciones algebraicas para determinar la relación analítica que podría defi nir la situación de variación. A este momento se le caracteriza por la construcción de argumentos, M2-SMM. En el contraste realizado en el análisis se observan tres procedimientos para establecer intervalos donde la velocidad es mayor o menor: a) por medio del uso de la fórmula de la velocidad constante, el uso de esta fórmula también sirvió para hacer afi rmaciones sobre los intervalos de velocidad constante o intervalos con velocidad nula, b) por medio de trazos curvos que denotaban cambios de velocidades y c) comparación de la pendiente en diversos puntosde la gráfica, nuevamente no se registraron intentos de determinar analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del momento de funcionalidad, M3-SMM se muestran en las Ilustraciones 7 y 8 donde se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las formas básicas de grafi cación.

La Situación de Modelación del Movimiento diseñada a través de los momentos de 1) establecimiento de las formas gráfi cas, 2) construcción de argumentos y 3) funcionalidad, tiene como resultado la resignifi cación de la variación estableciendo relaciones entre gráfi cas y situaciones de cambio donde la variación tiene un sentido específi co que no depende necesariamente de las propiedades analíticas de la función.

5.1 Diseño de una Situación de Modelación del Movimiento

Como una consecuencia de los supuestos teóricos y con la finalidad de observar el ‘uso de las gráficas en la modelación’ el diseño de las secuencias de enseñanza se encuentra soportado por la epistemología proporciona y se centra en una situación que incluye un conjunto de tareas que determinan los siguientes tipos de actividades, acciones y alternancias de dominios en los estudiantes.

Momento I. Establecimiento de la forma del nuevo funcionamiento de las gráficas en la modelación. (SMM-MI)

Momento II. Construcción de argumentos en el uso de las gráficas en la modelación. (SMM-MII)

Momento III. Puesta en funcionamiento del uso de las gráficas en la modelación (SMM-MIII)

5.2 Análisis de resultados

Tenemos evidencias del desarrollo del uso de las gráficas. La siguiente ilustración presenta una de las gráficas posibles del problema en estudio. Se destacan los intervalos donde se observan cambios en el crecimiento o concavidad o se transita desde un tipo de trazo curvo a uno recto o viceversa, sobre los cuales deberían focalizarse los argumentos de los estudiantes para el paso de una gráfica de posición a una gráfica de velocidad.

Ilustración 6. Evidencias de las formas básicas de graficación.

En la gráfica se observa que un trazo de forma global incluye decisiones sobre la elección de las variables a representar por cada uno de los ejes coordenados, la elección de un punto de referencia, la elección de los cuadrantes y la percepción de aspectos característicos de la gráfica como puntos iniciales y finales, así como puntos extremos. A este momento se le caracteriza por las tareas del establecimiento de la forma, MI-SMM. Sin embargo, es la problematización sobre la variación a partir de la modelación-graficación lo que permiten observar la formulación de procedimientos y procedimientos que al intentar validar o justificarlos propicia que emerjan relaciones que se establecen como argumentos. Se notó una ausencia, la de funciones algebraicas para determinar la relación analítica que podría definir la situación de variación. A este momento se le caracteriza por la construcción de argumentos, M2-SMM. En el contraste realizado en el análisis se observan tres procedimientos para establecer intervalos donde la velocidad es mayor o menor: a) por medio del uso de la fórmula de la velocidad constante, el uso de esta fórmula también sirvió para hacer afirmaciones sobre los intervalos de velocidad constante o intervalos con velocidad nula, b) por medio de trazos curvos que denotaban cambios de velocidades y c) comparación de la pendiente en diversos puntos de la gráfica, nuevamente no se registraron intentos de determinar analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del momento de funcionalidad, M3-SMM

�analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del

�analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del momento de

�momento de se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las �se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las formas básicas de grafi cación.�formas básicas de grafi cación.

La Situación de Modelación del Movimiento diseñada a través de los �La Situación de Modelación del Movimiento diseñada a través de los momentos de 1) establecimiento de las formas gráfi cas, 2) construcción de �momentos de 1) establecimiento de las formas gráfi cas, 2) construcción de

��

que al intentar validar o justifi carlos propicia que emerjan relaciones que se

��

que al intentar validar o justifi carlos propicia que emerjan relaciones que se establecen como argumentos. Se notó una ausencia, la de funciones algebraicas

��

establecen como argumentos. Se notó una ausencia, la de funciones algebraicas para determinar la relación analítica que podría defi nir la situación de variación.

��para determinar la relación analítica que podría defi nir la situación de variación.

A este momento se le caracteriza por

��A este momento se le caracteriza por la construcción de argumentos, M2-SMM.

��la construcción de argumentos, M2-SMM.

En el contraste realizado en el análisis se observan tres procedimientos para

��En el contraste realizado en el análisis se observan tres procedimientos para

establecer intervalos donde la velocidad es mayor o menor: a) por medio del

��establecer intervalos donde la velocidad es mayor o menor: a) por medio del

uso de la fórmula de la velocidad constante, el uso de esta fórmula también

��

uso de la fórmula de la velocidad constante, el uso de esta fórmula también sirvió para hacer afi rmaciones sobre los intervalos de velocidad constante o

��

sirvió para hacer afi rmaciones sobre los intervalos de velocidad constante o intervalos con velocidad nula, b) por medio de trazos curvos que denotaban

��

intervalos con velocidad nula, b) por medio de trazos curvos que denotaban cambios de velocidades y c) comparación de la pendiente en diversos puntos

��

cambios de velocidades y c) comparación de la pendiente en diversos puntosde la gráfica, nuevamente no se registraron intentos de determinar

��

de la gráfica, nuevamente no se registraron intentos de determinar analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del ��

��analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del momento de ��

��momento de funcionalidad, M3-SMM��

��funcionalidad, M3-SMM

se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las ��

se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las formas básicas de grafi cación.��

��

formas básicas de grafi cación.��

�analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del

�analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del ��

��analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del

�analíticamente las funciones de posición o de velocidad. Las evidencias del momento de

�momento de ��

��momento de

�momento de se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las �se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las ��

��se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las �se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las formas básicas de grafi cación.�formas básicas de grafi cación.��

��

formas básicas de grafi cación.�formas básicas de grafi cación.

�puntos iniciales y fi nales, así como puntos extremos. A este momento se le


las tareas del establecimiento de la forma, MI-SMM.

�las tareas del establecimiento de la forma, MI-SMM.

es la problematización sobre la variación a partir de la modelación-grafi cación �es la problematización sobre la variación a partir de la modelación-grafi cación lo que permiten observar la formulación de procedimientos y procedimientos �lo que permiten observar la formulación de procedimientos y procedimientos que al intentar validar o justifi carlos propicia que emerjan relaciones que se �que al intentar validar o justifi carlos propicia que emerjan relaciones que se establecen como argumentos. Se notó una ausencia, la de funciones algebraicas �establecen como argumentos. Se notó una ausencia, la de funciones algebraicas

�� Evidencias de las formas básicas de graficación.

�� Evidencias de las formas básicas de graficación.

En la gráfica se observa que un trazo de forma global incluye

��En la gráfica se observa que un trazo de forma global incluye

decisiones sobre la elección de las variables a representar por cada uno de los

��

decisiones sobre la elección de las variables a representar por cada uno de losejes coordenados, la elección de un punto de referencia, la elección de

��

ejes coordenados, la elección de un punto de referencia, la elección delos cuadrantes y la percepción de aspectos característicos de la gráfi ca como

��

los cuadrantes y la percepción de aspectos característicos de la gráfi ca como puntos iniciales y fi nales, así como puntos extremos. A este momento se le ��


las tareas del establecimiento de la forma, MI-SMM.��

las tareas del establecimiento de la forma, MI-SMM.es la problematización sobre la variación a partir de la modelación-grafi cación ��

�es la problematización sobre la variación a partir de la modelación-grafi cación



331



Se observa un elemento de debate en la construcción de argumentosdel cambio y la variación. Se observa en las relaciones que construyen entre las características de la gráfi ca (crecimientos, puntos extremos, concavidades) y las características de la situación. Hay un desarrollo en el uso que logra la incorporación de los trazos curvos para describir el cambio y la variación.

Ilustración 7. Trazos rectos vs trazos curvos.

Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos órdenes de variación a partir de las gráfi cas de posición y de velocidad de una misma situación de movimiento.

Ilustración 8. Análisis simultáneo de dos órdenes de variación.

Con este análisis se aportan evidencias de las relaciones que se establecen entre las características situación de cambio y variación y la forma de lagráfi ca que se quiera obtener. Se refi ere a un nivel de discernimiento entrela información que proporciona una gráfi ca sobre una variable con respecto al tiempo, por ejemplo en el caso del movimiento la posición, y la información

se muestran en las Ilustraciones 7 y 8 donde se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las formas básicas de graficación.

La Situación de Modelación del Movimiento diseñada a través de los momentos de 1) establecimiento de las formas gráficas, 2) construcción de argumentos y 3) funcionalidad, tiene como resultado la resignificación de la variación estableciendo relaciones entre gráficas y situaciones de cambio donde la variación tiene un sentido específico que no depende necesariamente de las propiedades analíticas de la función.

Se observa un elemento de debate en la construcción de argumentos del cambio y la variación. Se observa en las relaciones que construyen entre las características de la gráfica (crecimientos, puntos extremos, concavidades) y las características de la situación. Hay un desarrollo en el uso que logra

vs

Ilustración 7. Trazos rectos vs trazos curvos

Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos órdenes de variación a partir de las gráficas de posición y de velocidad de una misma situación de movimiento.

Ilustración 8.Análisis simultáneo de dos órdenes de variación.

Con este análisis se aportan evidencias de las relaciones que se establecen entre las características situación de cambio y variación y la forma de la gráfica que se quiera obtener. Se refiere a un nivel de discernimiento entre la información que proporciona una gráfica sobre una variable con respecto al tiempo, por ejemplo en el caso del movimiento la posición, y la información que proporciona la misma gráfica sobre las variaciones de primer y de segundo órdenes, la velocidad y la aceleración, respectivamente, en el caso del movimiento.

6. A MANERA DE CONCLUSIÓN

Una Situación de Modelación del Movimiento que se sustenta en la socioepistemología de Modelación-graficación, propicia una resignificación de la variación. Tenemos evidencia de la

se muestran en las Ilustraciones 7 y 8 donde se hacen explícitas las relaciones que los estudiantes logran establecer para las formas básicas de graficación.

La Situación de Modelación del Movimiento diseñada a través de los momentos de 1) establecimiento de las formas gráficas, 2) construcción de argumentos y 3) funcionalidad, tiene como resultado la resignificación de la variación estableciendo relaciones entre gráficas y situaciones de cambio donde la variación tiene un sentido específico que no depende necesariamente de las propiedades analíticas de la función.

Se observa un elemento de debate en la construcción de argumentos del cambio y la variación. Se observa en las relaciones que construyen entre las características de la gráfica (crecimientos, puntos extremos, concavidades) y las características de la situación. Hay un desarrollo en el uso que logra la incorporación de los trazos curvos para describir el cambio y la variación.

vs

Ilustración 7. Trazos rectos vs trazos curvos

Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos órdenes de variación a partir de las gráficas de posición y de velocidad de una misma situación de movimiento.

Ilustración 8.Análisis simultáneo de dos órdenes de variación.

Con este análisis se aportan evidencias de las relaciones que se establecen entre las características situación de cambio y variación y la forma de la gráfica que se quiera obtener. Se refiere a un nivel de discernimiento entre la información que proporciona una gráfica sobre una variable con respecto al tiempo, por ejemplo en el caso del movimiento la posición, y la información que proporciona la misma gráfica sobre las variaciones de primer y de segundo órdenes, la velocidad y la aceleración, respectivamente, en el caso del movimiento.

6. A MANERA DE CONCLUSIÓN

Una Situación de Modelación del Movimiento que se sustenta en la socioepistemología de Modelación-graficación, propicia una resignificación de la variación. Tenemos evidencia de la

�Ilustración 8�Ilustración 8

Con este análisis se aportan evidencias de las relaciones que se establecen �

Con este análisis se aportan evidencias de las relaciones que se establecen

��

��

��

��

��

�

� Trazos rectos vs trazos curvos.


Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos �Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos órdenes de variación a partir de las gráfi cas de posición y de velocidad de una �órdenes de variación a partir de las gráfi cas de posición y de velocidad de una ��

� Trazos rectos vs trazos curvos.��


Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos ��

Se observa otro elemento de debate al analizar de manera simultánea dos ��

��

��



331



que proporciona la misma gráfi ca sobre las variaciones de primer y de segundo órdenes, la velocidad y la aceleración, respectivamente, en el caso del movimiento.

5 A manera de conclusión A manera de conclusión

Una Situación de Modelación del Movimiento que se sustenta en la socioepistemología de Modelación-grafi cación, propicia una resignifi cación de la variación. Tenemos evidencia de la existencia de un ‘uso de las gráfi cas’ que está determinado por una problematización que promueve el interés porel estudio del cambio. Las gráfi cas de las funciones son herramientas para modelar el cambio intrínseco a las funciones de posición, velocidad y aceleración donde podrían intervenir conceptos como la razón de cambio, la relación de una función con su derivada, manejo simultáneo de dos o más órdenes de variación, máximos o mínimos o la acumulación de una función. Pero también, y más importante para las hipótesis de trabajo de nuestra investigación, las gráfi cas delas funciones son el conocimiento mismo que se desarrolla y que hoy aportan datos epistemológicos que propician nuevas hipótesis para trabajar lavariación en la matemática escolar. Por un lado, tenemos explicaciones sobre cómo la grafi cación conforma elementos importantes de construcción para las ideas de la variación y que se desarrollan de manera independiente, en este caso anterior al desarrollo analítico del concepto de función. También tenemos explicaciones sobre un uso argumentativo ya que la gráfi ca pasa a ser un elemento central en explicaciones como el de la caracterización de los puntos extremoso en el establecimiento de la veracidad de relaciones físicas o numéricas conocidas.Con esta investigación se avanzó en dos direcciones. Por un lado, desde el punto de vista del contenido matemático, contribuye en la explicación de una epistemología del Cálculo basada en prácticas sociales, al identifi cara la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que conforma una epistemología a través del diseño de una Situación de Modelación del Movimiento. Estas aportaciones dan explicaciones sobre un nuevo estatus de la modelación dentro de la matemática escolar. De esta manera, los resultados de la investigación están estructurados en dos aspectos: lo epistemológico, lo científi co. El primero refl eja la matemática que se ha logrado reorganizar según los resultados de esta investigación y el segundo aspecto consiste en el conocimiento que se construye en la disciplina.

�a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la

�a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los

�resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que �aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que conforma una epistemología a través del diseño de una Situación de Modelación �conforma una epistemología a través del diseño de una Situación de Modelación del Movimiento. Estas aportaciones dan explicaciones sobre un nuevo estatus de �del Movimiento. Estas aportaciones dan explicaciones sobre un nuevo estatus de la modelación dentro de la matemática escolar. De esta manera, los resultados �la modelación dentro de la matemática escolar. De esta manera, los resultados

��

datos epistemológicos que propician nuevas hipótesis para trabajar la

��

datos epistemológicos que propician nuevas hipótesis para trabajar lavariación en la matemática escolar. Por un lado, tenemos explicaciones sobre

��

variación en la matemática escolar. Por un lado, tenemos explicaciones sobre cómo la grafi cación conforma elementos importantes de construcción para las

��cómo la grafi cación conforma elementos importantes de construcción para las

ideas de la variación y que se desarrollan de manera independiente, en este

��ideas de la variación y que se desarrollan de manera independiente, en este

caso anterior al desarrollo analítico del concepto de función. También tenemos

��caso anterior al desarrollo analítico del concepto de función. También tenemos

explicaciones sobre un uso argumentativo ya que la gráfi ca pasa a ser un elemento

��explicaciones sobre un uso argumentativo ya que la gráfi ca pasa a ser un elemento

central en explicaciones como el de la caracterización de los puntos extremos

��

central en explicaciones como el de la caracterización de los puntos extremoso en el establecimiento de la veracidad de relaciones físicas o numéricas conocidas.

��

o en el establecimiento de la veracidad de relaciones físicas o numéricas conocidas.Con esta investigación se avanzó en dos direcciones. Por un lado, desde el

��

Con esta investigación se avanzó en dos direcciones. Por un lado, desde el punto de vista del contenido matemático, contribuye en la explicación de

��

punto de vista del contenido matemático, contribuye en la explicación de una epistemología del Cálculo basada en prácticas sociales, al identifi car

��

una epistemología del Cálculo basada en prácticas sociales, al identifi cara la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la ��

��a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los ��

��resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que ��

��

aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que ��

�a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la

�a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la ��

��a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la

�a la categoría de modelación-grafi cación como un elemento necesario para la resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los

�resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los ��

��resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los

�resignifi cación de la variación. Por otro lado, desde un punto de vista de los aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que �aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que ��

��

aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que �aportes a nuestra disciplina formula una categoría de Modelación-Grafi cación que

�función con su derivada, manejo simultáneo de dos o más órdenes de variación,

�función con su derivada, manejo simultáneo de dos o más órdenes de variación, máximos o mínimos o la acumulación de una función. Pero también, y más

�máximos o mínimos o la acumulación de una función. Pero también, y más importante para las hipótesis de trabajo de nuestra investigación, las gráfi cas de�importante para las hipótesis de trabajo de nuestra investigación, las gráfi cas delas funciones son el conocimiento mismo que se desarrolla y que hoy aportan �las funciones son el conocimiento mismo que se desarrolla y que hoy aportan datos epistemológicos que propician nuevas hipótesis para trabajar la�datos epistemológicos que propician nuevas hipótesis para trabajar lavariación en la matemática escolar. Por un lado, tenemos explicaciones sobre �variación en la matemática escolar. Por un lado, tenemos explicaciones sobre

��Una Situación de Modelación del Movimiento que se sustenta en la

��Una Situación de Modelación del Movimiento que se sustenta en la

socioepistemología de Modelación-grafi cación, propicia una resignifi cación de

��socioepistemología de Modelación-grafi cación, propicia una resignifi cación de

la variación. Tenemos evidencia de la existencia de un ‘uso de las gráfi cas’

��la variación. Tenemos evidencia de la existencia de un ‘uso de las gráfi cas’

que está determinado por una problematización que promueve el interés por

��

que está determinado por una problematización que promueve el interés porel estudio del cambio. Las gráfi cas de las funciones son herramientas para

��

el estudio del cambio. Las gráfi cas de las funciones son herramientas para modelar el cambio intrínseco a las funciones de posición, velocidad y aceleración

��

modelar el cambio intrínseco a las funciones de posición, velocidad y aceleración donde podrían intervenir conceptos como la razón de cambio, la relación de una ��

�donde podrían intervenir conceptos como la razón de cambio, la relación de una función con su derivada, manejo simultáneo de dos o más órdenes de variación, ��

�función con su derivada, manejo simultáneo de dos o más órdenes de variación, máximos o mínimos o la acumulación de una función. Pero también, y más ��

�máximos o mínimos o la acumulación de una función. Pero también, y más importante para las hipótesis de trabajo de nuestra investigación, las gráfi cas de��

�importante para las hipótesis de trabajo de nuestra investigación, las gráfi cas de



333



Referencias Bibliográfi cas

Arrieta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula. (Tesis inédita de doctorado). Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav–IPN.

Arrieta, J., Buendía, G., Ferrari, M., Martínez, G., Suárez, L. (2004). Las Prácticas Sociales como Generadoras del Conocimiento Matemático. En L. Díaz. (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 17 (pp. 418-422). Comité Latinoamericano de Matemática 17 (pp. 418-422). Comité Latinoamericano de Matemática 17Educativa A. C.

Bosch, M., Garcia, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2007). La modelización matemática y el problema de la articulación de la matemática escolar. Educación Matemática, 18(2), 37-74.

Boyer, C. (1959). The history of the calculus and its conceptual development. Dover publications ISBN: 0486605094

Buendia, G. y Cordero, F. (2005). Prediction and the Periodical Aspect as Generators of Knowledge in a Social Practice Framework: A Socioepistemological Study. Educational Studies in Mathematics, 58(3), 299-333.

Cantoral, R., Farfán, R. M., Lezama, J., Martínez-Sierra, G. (2006). Socioepistemología y representación: algunos ejemplos. En L. Radford & D’Amore, B. (Eds.), Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Edición especial: Semiotica, Cultura y Pensamiento Matemático, 27-46.

Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una práctica institucional en el bachillerato. (Tesis inédita de Maestría). Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN.

Clagett, M. (1968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press.

Confrey, J. (1999). Generative Domain Knowledge: Redefining Theachers’ Content Knowledge for a Changing Technological World. Memorias del VII Simposio Internacional en Educación Matemática Elfriede Wenzelburger UNAM-UPN, (pp. 7-13). México: Grupo Educación Matemática Elfriede Wenzelburger UNAM-UPN, (pp. 7-13). México: Grupo Educación Matemática Elfriede Wenzelburger UNAM-UPNEditorial Iberoamérica.

Cordero, F. (1999). La matemática educativa en una aproximación sociocultural a la mente. Memorias del VII Simposio Internacional en Educación Matemática Elfriede Wenzelburger,(pp. 106-112), UNAM-UPN. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Cordero, F. (2006). La modellazione e la rappresentazione grafica nella matematica scolastica. La Matemática e la sua Didattica, 20(1), 59-79.

Cordero, F. (2008). El uso de las gráficas en el discurso del cálculo escolar. Una visión socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo

Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte Iberoamericano (pp. 265-286). Reverté-Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. A. C.

Cordero, F. y Flores, R. (2007). El uso de las gráficas en el discurso matemático escolar. Un estudio socioepistemológico en el nivel básico a través de los libros de texto. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 10 (1), 7-38.

Crombie, A. (1983) Historia de la Ciencia: De San Agustín a Galileo. Alianza Editorial.Farfán, R., Cantoral, R. (2003). Mathematics Education: A Vision of its Evolution. Educational

Studies in Mathematics 53(3), 255-270.

�socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo

�socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo (Eds.)

�(Eds.) Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte

�Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte

Iberoamericano�IberoamericanoEducativa. A. C.�Educativa. A. C.

Cordero, F. y Flores, R. (2007). El uso de las gráficas en el discurso matemático escolar. Un �Cordero, F. y Flores, R. (2007). El uso de las gráficas en el discurso matemático escolar. Un estudio socioepistemológico en el nivel básico a través de los libros de texto. �estudio socioepistemológico en el nivel básico a través de los libros de texto.

��

Clagett, M. (1968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions.

��

Clagett, M. (1968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press.

��

Madison: University of Wisconsin Press.Confrey, J. (1999). Generative Domain Knowledge: Redefining Theachers’ Content Knowledge

��Confrey, J. (1999). Generative Domain Knowledge: Redefining Theachers’ Content Knowledge

for a Changing Technological World.

��for a Changing Technological World. Memorias del VII Simposio Internacional en

��Memorias del VII Simposio Internacional en

Educación Matemática Elfriede Wenzelburger UNAM-UPN

��Educación Matemática Elfriede Wenzelburger UNAM-UPN

Editorial Iberoamérica.

��Editorial Iberoamérica.

Cordero, F. (1999). La matemática educativa en una aproximación sociocultural a la

��

Cordero, F. (1999). La matemática educativa en una aproximación sociocultural a la Memorias del VII Simposio Internacional en Educación Matemática

��

Memorias del VII Simposio Internacional en Educación MatemáticaWenzelburger

��

Wenzelburger,(pp. 106-112), UNAM-UPN. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

��

,(pp. 106-112), UNAM-UPN. México: Grupo Editorial Iberoamérica.Cordero, F. (2006). La modellazione e la rappresentazione grafica nella matematica scolastica.

��

Cordero, F. (2006). La modellazione e la rappresentazione grafica nella matematica scolastica. La Matemática e la sua Didattica

��

La Matemática e la sua DidatticaCordero, F. (2008). El uso de las gráficas en el discurso del cálculo escolar. Una visión ��

��Cordero, F. (2008). El uso de las gráficas en el discurso del cálculo escolar. Una visión

socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo ��

socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo (Eds.) ��

��(Eds.) Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte ��

��Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte

Iberoamericano��

IberoamericanoEducativa. A. C.��

��

Educativa. A. C.��

�socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo

�socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo ��

��socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo

�socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R.M Farfán, J. Lezama, y V. Romo (Eds.)

�(Eds.) ��

��(Eds.)

�(Eds.) Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte

�Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte ��

��Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte

�Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte

Iberoamericano�Iberoamericano��

Iberoamericano�IberoamericanoEducativa. A. C.�Educativa. A. C.��

��

Educativa. A. C.�Educativa. A. C.

�Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,

�Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,

Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una práctica

�Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una práctica

institucional en el bachillerato. (Tesis inédita de Maestría). Departamento de Matemática �institucional en el bachillerato. (Tesis inédita de Maestría). Departamento de Matemática

Clagett, M. (1968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. �Clagett, M. (1968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions.

��

Bosch, M., Garcia, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2007). La modelización matemática y el problema

��

Bosch, M., Garcia, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2007). La modelización matemática y el problema 37-74.

��37-74.

Boyer, C. (1959). The history of the calculus and its conceptual development. Dover publications

��Boyer, C. (1959). The history of the calculus and its conceptual development. Dover publications

Buendia, G. y Cordero, F. (2005). Prediction and the Periodical Aspect as Generators of

��Buendia, G. y Cordero, F. (2005). Prediction and the Periodical Aspect as Generators of

Knowledge in a Social Practice Framework: A Socioepistemological Study.

��Knowledge in a Social Practice Framework: A Socioepistemological Study. Educational

��Educational

Cantoral, R., Farfán, R. M., Lezama, J., Martínez-Sierra, G. (2006). Socioepistemología

��

Cantoral, R., Farfán, R. M., Lezama, J., Martínez-Sierra, G. (2006). Socioepistemología y representación: algunos ejemplos. En L. Radford & D’Amore, B. (Eds.),

��

y representación: algunos ejemplos. En L. Radford & D’Amore, B. (Eds.), Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,��

�Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Edición especial: Semiotica, ��

� Edición especial: Semiotica,

Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una práctica ��

Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una práctica institucional en el bachillerato. (Tesis inédita de Maestría). Departamento de Matemática ��

�institucional en el bachillerato. (Tesis inédita de Maestría). Departamento de Matemática



333



Farfán, R., Cantoral, R. (2004). La sensibilité à la contradiction: logarithmes de nombres négatifs et origine de la variable complexe. Recherches en didactique des mathématiques 24 (2.3), 137-168.

Farfán R., Ferrari M. (2008). Un estudio socioepistemológico de lo logarítmico: La construcción de una red de modelos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 11(3), 309 – 354.

Flores, R. (2005). El uso de las gráficas en el discurso matemático escolar. Un estudio socioepistemológico en el nivel básico a través de los libros de texto. (Tesis inédita de Maestría). Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN.

Leinhardt, G., Stein, M. & Zaslavsky, O. (1990). Functions, Graphs, and Graphing: Tasks, Learning, and Teaching. Review of Educational Research, 60(1), 1–64.

Ruiz, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén.

Suárez, L. y Cordero, F. (2008). Elementos teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la modelación del cambio y de la variación en un ambiente tecnológico. Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, 3(1), 51-58. ISSN 1850-6666.

Suárez, L. y Cordero, F. (2008). Modelación del movimiento en un ambiente tecnológico: Una categoría de modelación-graficación para el cálculo. En P. Lestón. (Ed.) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa: 21 (pp. 1046-1056) Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Suárez, L., Carrillo C., y López, J. (2005). Diseño de gráficas a partir de actividades de modelación. En J. Lezama, M. Sánchez y J. Molina. (Eds.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 18 (pp. 405-410). Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Torres, A. (2004). La modelación y las gráficas en situaciones de movimiento con tecnología. (Tesis inédita de maestría). CICATA-IPN.

Youschkevitch, A.P. (1996). El concepto de function hasta la primera mitad del siglo XIX. (Farfán, R.M, trasd.). Serie: Antologías, 1, 81-98. Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV – IPN, México. (Trabajooriginal publicado en 1976)

Autores:

Liliana Suárez Téllez.Centro de Formación e Innovación Educativa del IPN, [email protected]

Francisco Cordero Osorio.Cinvestav-IPN, [email protected]

��Autores:�Autores:

Liliana Suárez Téllez.�Liliana Suárez Téllez.Centro de Formación e Innovación Educativa del IPN, �Centro de Formación e Innovación Educativa del IPN,

��

��

18 (pp. 405-410). Comité Latinoamericano de Matemática

��

18 (pp. 405-410). Comité Latinoamericano de Matemática

La modelación y las gráficas en situaciones de movimiento con tecnología

��La modelación y las gráficas en situaciones de movimiento con tecnología

(Tesis inédita de maestría). CICATA-IPN.

��(Tesis inédita de maestría). CICATA-IPN.

Youschkevitch, A.P. (1996). El concepto de function hasta la primera mitad del siglo XIX.

��Youschkevitch, A.P. (1996). El concepto de function hasta la primera mitad del siglo XIX.

(Farfán, R.M, trasd.). Serie:

��(Farfán, R.M, trasd.). Serie: Antologías

��Antologías

del Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV – IPN, México. (Trabajo

��

del Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV – IPN, México. (Trabajooriginal publicado en 1976)

��

original publicado en 1976)

��

��

�

�(pp. 1046-1056)

�(pp. 1046-1056)

Suárez, L., Carrillo C., y López, J. (2005). Diseño de gráficas a partir de actividades de �Suárez, L., Carrillo C., y López, J. (2005). Diseño de gráficas a partir de actividades de modelación. En J. Lezama, M. Sánchez y J. Molina. (Eds.), �modelación. En J. Lezama, M. Sánchez y J. Molina. (Eds.),

18 (pp. 405-410). Comité Latinoamericano de Matemática �18 (pp. 405-410). Comité Latinoamericano de Matemática

��

Leinhardt, G., Stein, M. & Zaslavsky, O. (1990). Functions, Graphs, and Graphing: Tasks,

��

Leinhardt, G., Stein, M. & Zaslavsky, O. (1990). Functions, Graphs, and Graphing: Tasks,

Ruiz, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de

��Ruiz, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de

Suárez, L. y Cordero, F. (2008). Elementos teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la

��Suárez, L. y Cordero, F. (2008). Elementos teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la

modelación del cambio y de la variación en un ambiente tecnológico.

��

modelación del cambio y de la variación en un ambiente tecnológico. Revista Electrónica

��

Revista Electrónica ISSN 1850-6666.

��

ISSN 1850-6666.Suárez, L. y Cordero, F. (2008). Modelación del movimiento en un ambiente tecnológico:

��

Suárez, L. y Cordero, F. (2008). Modelación del movimiento en un ambiente tecnológico: Una categoría de modelación-graficación para el cálculo. En P. Lestón. (Ed.) ��

�Una categoría de modelación-graficación para el cálculo. En P. Lestón. (Ed.)

(pp. 1046-1056)��

(pp. 1046-1056). ��

. Comité Latinoamericano ��

Comité Latinoamericano

Suárez, L., Carrillo C., y López, J. (2005). Diseño de gráficas a partir de actividades de ��

Suárez, L., Carrillo C., y López, J. (2005). Diseño de gráficas a partir de actividades de

modelación – graficación, una categoría para la matemática ...320relime, vol. 13 (4-ii),...

Documents