mode los invent a rio version 3 2007

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[MODELOS DE INVENTARIO] 12 de marzo de 2007

MODELOS DE INVENTARIO

Profesor:Roberto Jiménez Ramírez

Magister en Ingeniería Industrial

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2007

MODELOS DE INVENTARIO

DEMANDA DETERMINISTICA

INTRODUCCION

A diferencia de los tópicos anteriores, que se orientaron a la técnica, este se dedica a áreas de aplicación. El tópico de este capitulo tiene que ver con modelos de inventario bajo demanda determinística.

Una de las primeras aplicaciones de los métodos cuantitativos a la toma de decisiones gerenciales han sido los modelos de inventarios. Esto no es sorpresa, pues los inventarios generalmente representan un porcentaje considerable del capital total invertido en una organización de negocios, a menudo un 25%.

Además, los inventarios proporcionan la flexibilidad de operación que asegura que las operaciones de una organización se realicen sin obstáculos y eficientemente.

Con tantos miles de millones de dólares invertidos en inventarios hoy día, el control adecuado y la administración de ellos puede traer ahorros considerables a una compañía o en forma más global a la economía mundial.

El desarrollo del primer modelo de inventario se le acredita a Harris(1915). Raymond(1931) extendió el trabajo de Harris a comienzos de los años 1930. Desde allí, particularmente desde la segunda guerra mundial, el desarrollo de la teoría y modelos de inventarios ha proliferado a un punto de alto desarrollo. Los modelos de inventarío cubren prácticamente cualquier situación imaginable de negocios.

Las decisiones básicas de inventario comprenden:

¿Cuántas unidades se deben pedir?¿Cuándo se debe pedir?

En este capitulo veremos cómo se pueden desarrollar y utilizar modelos cuantitativos para la toma de decisiones.

LA FUNCIÓN DE INVENTARIOS

Los inventarios pueden definirse ampliamente como la cantidad de artículos, mercancías y otros recursos económicos que son almacenados o se mantienen inactivos en un instante de tiempo dado.

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Los recursos económicos varían en cantidad con el tiempo en respuesta al proceso de demanda que opera para reducir el nivel de inventario y el proceso de abastecimiento que opera para elevarlo.

Normalmente la demanda es una variable no controlable, pero la magnitud y frecuencia del abastecimiento es controlable.

Los inventarios por ejemplo, pueden comprender:

1) Inventarios de materias primas: son materias que esperan para ser utilizadas en la producción de artículos.

2) Inventario de trabajo en proceso: productos semi terminados o productos en proceso almacenados temporalmente durante el proceso de producción.

3) Inventario de productos terminados: productos terminados que esperan embarque desde la fabrica, distribuidores al por mayor o detallistas.

Para ilustrar las funciones del inventario, consideremos el sistema producción-distribución. Aquí, los inventarios existen continuamente en el sistema completo, llenando algunas de las siguientes funciones básicas.

1. Inventarios en Tránsito o de Conducto.

Estos inventarios están formados por suministros para cubrir retardos en el manejo y el tránsito.

2. Inventario Ciclo o de Tamaño de Lote.

Estos son inventarios que pedimos en tamaño de lote porque es más económico hacerlo así que pedirlo cuando sea necesario satisfacer la demanda.

3. Inventarios de Amortiguación (material de seguridad)

Estos son inventarios para prevenir faltantes debido a fluctuaciones inciertas de la demanda.

4. Inventarios de Desacople.

Estos inventarios tienen como función desacoplar operaciones, por ejemplo, en el sistema completo producción-distribución. Esto permite que las diversas actividades de producción operen más independientemente, sin tener que confiar completamente en la programación de salida de actividades previas en el proceso de producción.

5. Inventarios Estacionales.

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Los inventarios utilizados con este fin se diseñan para cumplir más económicamente la demanda estacional variando los niveles de producción para satisfacer fluctuaciones en la demanda.

Los inventarios también se pueden utilizar con otros fines. Por ejemplo, los inventarios en vitrina sirven como instrumento promocional. Los inventarios de materias primas y productos terminados se acumulan frecuentemente para prevenir incrementos de precios, inflación y huelgas. Los inventarios sirven para suavizar irregularidades en la demanda.

El solo hecho de que estos inventarios cumplen esas funciones implica que son de gran valor para la administración. Necesariamente no necesitan minimizarse. Las organizaciones que mantienen niveles de inventario mínimos, pueden incurrir en costos de producción y distribución extremadamente altos.

Se requiere determinar niveles óptimos de inventario en una situación dada. Esto requiere balancear un conjunto de costos que suben con los niveles altos de inventarios contra un conjunto de costos, que bajan con niveles altos de inventarios.

DECISIONES BÁSICAS EN INVENTARIOS

Las decisiones básicas en inventarios (variables de decisión) de cada problema de inventario son las siguientes:

1. ¿Qué cantidad se debe pedir?2. ¿Cuándo se debe pedir?

El gerente se enfrenta a un compromiso, él desearía producir en grandes lotes para minimizar el costo de producción y por otro le gustaría tener el menor inventario para minimizar costos.

CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO

Aquí describimos las características de un sistema de inventarios.

Costos de Inventario

El criterio usual considerado en un análisis de inventarios (es decir, cuánto y cuándo pedir es la minimización de una función de costo que balancea los costos de (1) pedido (2) mantenimiento y (3) quedarse corto de inventario.

Costo de Pedir (o alistar)

Los costos de pedir (o alistar si se produce en casa) son todos los costos incrementales asociados con el reabastecimiento del inventario. Estos costos varían con el número de pedidos colocados. Estos costos típicos que ocurren

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cada vez que se coloca un pedido comprenden los costos de requisición, los costos de emitir y seguir la orden de compras, los costos de inspección al recibir y colocar los artículos en inventario, pago al proveedor, costos contables y costos administrativos tales como suministros y papelerías, etc.

Los salarios de los individuos involucrados en tales actividades constituyen la mayor parte de los costos de pedir.

Costos de Mantenimiento

Estos costos son los asociados con mantener un nivel dado de inventario disponible y varía con el nivel y periodo de tiempo que se mantiene el inventario.

Los costos de mantenimientos comprenden:

1. Costos de oportunidad en la inversión comprometida en el inventario (basados en costo de capital).

2. Costos de almacenamientos (arriendo, calefacción, refrigeración, vigilancia, etc.)

3. Deterioro del producto u obsolecencia4. Impuestos, depreciación y seguros.

Los costos de mantenimiento se expresan como el costo en dólares de mantener 1 unidad en inventario por unidad de tiempo (usualmente 1 año).

Otra forma es como porcentaje del valor del inventario promedio (es decir, 10% del valor del inventario medio).

Costos de quedarse Corto (agotado).

Estos son los costos de penalización en que se incurre cuando se queda sin la mercadería cuando ésta se necesita. Generalmente comprende costos debido a perdida de clientes, prestigio y perdida potencial de utilidad debido a pérdidas en ventas. En el caso en donde la demanda insatisfecha puede satisfacerse en una fecha posterior (por medio de pedidos pospuestos), estos costos generalmente varían directamente con la cantidad faltante y el retardo de tiempo.

Precio de Compra

Este parámetro es de interés especial cuando se puede asegurar descuentos en cantidades o intervalos de precios, o cuando la producción en grandes lotes se traduce en la reducción de costos de producción. Bajo estas condiciones, la cantidad pedida debe ajustarse para aprovechar estos intervalos de precios.

DEMANDA

El patrón de demanda de una mercadería puede ser determinístico o probabilístico. Por determinístico entendemos que las cantidades pedidas

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sobre los periodos subsiguientes se conocen con certeza. La demanda sobre periodos iguales de tiempo puede ser constante o puede variar así, como también ser determinística. Estos dos casos se denominan demanda estática y dinámica, respectivamente.

La demanda probabilística ocurre cuando la demanda sobre un periodo dado de tiempo es incierta, pero puede describirse en términos de una distribución de probabilidad. Análogas a las demandas estáticas y dinámicas en el caso determinístico, la distribución de probabilidad puede ser estacionaria o no estacionaria sobre el tiempo.

La demanda para un periodo de tiempo dado puede satisfacerse instantáneamente al principio del periodo o uniformemente durante el periodo. Como ustedes lo verán las demandas instantáneas y uniformes afectan los niveles de inventarios y los costos de mantenimiento del inventario.

Ciclo de Pedido

Un ciclo de pedido se identifica por el periodo de tiempo entre la colocación de dos pedidos sucesivos. Este puede iniciarse como sigue:

1. Revisión Continua.

El registro de nivel de inventario se monitorea continuamente hasta que se alcanza un punto de disparo (o de nuevo pedido) especificado en donde se coloca un nuevo pedido. A esto se le conoce como el “sistemas de dos cajones”.Este nombre se deriva del hecho de que el monitoreo continuo puede efectuarse utilizando dos cajones para el inventario. Los artículos se retiran solamente de uno de ellos y cuando éste queda vacío, se coloca un nuevo pedido.

2. Revisión Periódica

Los pedidos se colocan a intervalos regulares de tiempo.

Tiempos de Anticipación

Cuando se coloca un pedido, puede que se reciba inmediatamente o puede que tome algún tiempo antes de que se reciba. El tiempo entre la colocación y la recepción se conoce como el tiempo de anticipación.

Reabastecimiento del Inventario

El reabastecimiento actual de la mercadería puede ocurrir instantáneamente o uniformemente sobre le tiempo. El reabastecimiento instantáneo resulta cuando los artículos se compran a fuentes externas. El reabastecimiento uniforme, usualmente ocurre cuando el artículo es producido localmente dentro de la organización.

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Horizonte de Tiempo

El horizonte de tiempo define el periodo sobre el cual el nivel de inventario debe ser controlado. El horizonte puede ser finito o infinito dependiendo de la naturaleza de la demanda.

Numero de Artículos

Un sistema de inventario usualmente comprende muchas mercaderías diferentes. Generalmente estas mercaderías compiten por recursos tan limitados como espacio o capital. Cuando esto sucede, existe interacción entre los artículos diferentes y los modelos de inventario deben desarrollarse para esta clase de situación.

Los atributos discutidos antes representan los elementos básicos que se necesitan considerar al modelar situaciones de inventario, siendo la demanda quizás el más importante.

También es virtualmente imposible formular un modelo de inventario general que tenga en cuenta todas las variaciones que se encuentran en un sistema real de inventarios.

Por consiguiente, intentaremos presentar un conjunto de modelos que se han encontrado útiles e ilustrativos de algunos de los diversos tipos de sistemas de inventarios.

Los modelos siguientes se discutirán, procediendo del caso más simple al más complejo.

1. Modelo clásico CEP (no se permiten faltantes).2. Modelo CEP (se permiten faltantes).3. Modelo CEP con descuentos por cantidad.4. Modelo CEP para lotes de producción: un solo producto.5. Modelo CEP para lotes de producción: productos múltiples.6. Modelo CEP con restricción de recursos.

CEP: CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO O TAMAÑO ECONÓMICO DEL LOTE.

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MODELO CLASICO DE CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO (CEP).

Definición de términos usados:

Variable Significado Otra Notación

a Tasa de extracción de artículos, de tipo continua; [unidades/tiempo] D

Q Pedido o (producto) de artículos y todos los artículos llegan a la vez; [unidades]

Y

K Costos de preparación y son los únicos que se consideran en este modelo, los cuales se cargan al hacer el pedido (o al momento de producir). [$/pedido]

Cp

C Costo de compra (o de producción) por articulo; [$ / unidad]h Costo de mantener el inventario; [$ / unidad/tiempo]

El problema del inventario es determinar la frecuencia con la que debe hacerse una serie de producción y cual debe ser el tamaño del lote, de modo que el costo por unidad de tiempo sea mínimo.

Nivel deInventario

Q

Q - at

0 Q/a 2Q/a 3Q/atiempo, t

El costo por unidad de tiempo se obtiene como sigue:

1. Costo de producción por ciclo.

0 , sí Q = 0

K + cQ , sí Q > 0

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2. Costo de almacenamiento por ciclo.

El nivel promedio de inventario durante un ciclo es

(Q + 0)/2 = Q/2; artículos/tiempo

y el costo correspondiente es

h (Q/2); $/tiempo

Y como la longitud de ciclo es Q / a, el costo de almacenamiento por ciclo es:

h (Q/2) x (Q/a)

Por lo tanto, el costo total por ciclo es

costo total por ciclo = K + cQ + (hQ2 / 2a)

Y el costo total por unidad de tiempo es:

T = (K + cQ + hQ2 / 2a) / (Q / a)

¿Cuál es el valor de Q que minimiza el costo total por unidad de tiempo?

T/Q = - aKQ-2 + h/2 = 0

Q* =

¿Cuál es el valor del tiempo que se requiere para obtener este valor óptimo de Q*?

t* = Q*/a =

N=1/t* Nro. de Ciclos para el periodo

¿Cuál es el costo total por unidad de tiempo para Q*?

T = + ac

T = aK/Q + ac + hQ / 2

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MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES (DEFICIT PERMITIDO)

Puede que resulte beneficioso permitir que ocurra algún déficit porque puede incrementarse la longitud del ciclo con un ahorro resultante en los costos de preparación. Sin embargo, este beneficio puede ser neutralizado por el costo en el que se incurre cuando se presenta algún déficit y, por consiguiente, se requiere un análisis detallado.

Si se permite un déficit y se establece su precio a un costo de p $ por cada unidad demanda no satisfecha para cada unidad de tiempo, se pueden obtener resultados semejantes al caso en el que no se permite déficit.

Denotemos por S la existencia con la que se cuenta al principio de un ciclo.

Nivel deInventario

S

S - at SQ

0 Q/a

S/a tiempo, t

El costo por unidad de tiempo se obtiene como sigue:

1. Costo de Producción por Ciclo

0 , sí Q = 0

K + cQ , sí Q > 0

2. Costo de Almacenamiento

Nótese que el nivel de inventario es positivo para un tiempo S/a y el nivel promedio de inventario durante este tiempo es

(S + 0)/2 = S/2; artículos / tiempo

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y el costo de almacenamiento

h (S/2); $/tiempo

Por lo tanto, el costo total de almacenamiento en el que se incurre durante el tiempo en que el inventario es positivo es;

(hS / 2) (S/a) = (hS2/2a)

Análogamente, los déficit se presentan para un tiempo

(Q – S)/a

El monto promedio de déficit durante este tiempo es

[0 + (Q – S)] / 2; artículos/tiempo.

Y el costo correspondiente es

p (Q – S)/2; $/tiempo

Y el costo total del déficit es

(p(Q – S) /2) ((Q – S)/a) = p(Q – S)2/2a

Por lo tanto, el costo total por ciclo es

K + cQ + hS2/2a + p(Q – S)2/2a

Y el costo total por unidad de tiempo

T = K + cQ + hS 2 /2a + (p(Q-S) 2 / 2a) (Q / a)

Este modelo tiene dos variables de decisión S y Q, de modo que se encuentran los valores óptimos S* y Q* igualando a cero las derivadas parciales T/S y T/Q

Q* =

S* =

T = aK/Q + ac + hS2/2Q + p(Q – S)2/2Q

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La longitud optima del periodo, t*

t* = Q*/a

t* =

El déficit máximo

Q* - S* =

Fracción de tiempo en la que no existe déficit

(S*/a) / (Q*/a) = p / (p + h)

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DESCUENTO POR CANTIDADES NO SE PERMITE DEFICIT

En los modelos considerados se ha supuesto que el costo unitario de un artículo era el mismo, independiente de la cantidad producida. Esto condujo a las soluciones óptimas que son independientes de este costo unitario.

Supongamos, que existen costos diferenciados, es decir, el costo unitario varia con la cantidad pedida (o producida).

Desarrollemos esto a través de un ejemplo.

Supongamos que el costo unitario de producir un altoparlante es c1 = $11, si se producen menos de 10.000 altoparlantes, c2 = $10, si la producción cae entre 10.000 y 80.000 altoparlantes y c3 = $ 9,5, si la producción es mayor que 80.000 altoparlantes ¿Cuál es la política óptima en este caso?

Retomemos el resultado del modelo del tamaño económico del lote, considerado con anterioridad (no se permite déficit), el costo total por unidad de tiempo, si el costo de producción es cj, está dado por:

Tj = aK/Q + a cj + hQ/2 para j = 1, 2, 3.

Los valores de K = 12000 [$] h = 0,3 [$/unidad/tiempo] y a = 8000 [unidad/tiempo]

Tj = (96 x 106/Q) + 8000cj + 0,15Q [$/tiempo]

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Costo totalpor unidadde tiempo

Tj

110

105 T1 (c1 = 11)

100

95 T2(c2= 10)

90 T3(c3= 9,5)

85 T4(c4=9,0)

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q x104

Para cada curva, se encuentra que el valor de Q que minimiza a Tj es:

Q* = 25.298 unid.

Si evaluamos Tj en Q* = 25.298 unid.

T1 = $95.589

T2 = 87.589 Único valor factible

T3 = $83.589

Si evaluamos T3 en Q = 80.000 se tiene:

T3 = $89.200

Es evidente que es mejor producir lote de 25.298 (a un costo de $87.589).

Analicemos el caso en que C3 = $9 (en lugar de $9,5), cuando la producción es mayor que 80.000 unid. Se tiene:

T3 = $85.200

Por supuesto que ahora la cantidad óptima es 80.000 unid. (En vez de los 25.298 unid. (A un costo total de 85.200)).

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INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIÓN CONTINUA Y CADA ITEM CONSIDERADO INDIVIDUALMENTE.

La función de costo se puede obtener a partir del costo total para un solo producto (sin desagregación). c

T = aK/Q + hQ/2

Para varios ítems se tiene

Ti = aiKi / Qi + hiQi/2 con i= 1,...., n

Por lo tanto, el tamaño del lote económico es:

Q*i =

Y el costo total por unidad de tiempo queda de la siguiente manera.

Ti =

Y el tiempo del ciclo de cada uno de los ítems es:

t* = Q*i / ai

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INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIÓN CONTINUA Y LAS ORDENES INCLUYEN A TODOS LOS ITEMS.

n

T = (aiki/Qi + hiQi/2) i =1

t = Qi/ai = t

n

T = (Ki/t + ½ hiai t) i =1

n n

T = 1/t Ki + ½ t hiai i =1 i =1

pero como es una sola orden que incluye a todos los ítems se tiene: n

K = ki i = 1

n

T = 1/t K + ½ t hiai i=1

Calculemos los valores que hacen mínimo el valor de T. n

T/ t = - (1/t2) K + ½ hiai = 0 i =1

n

½ hiai = (1 / t2) K i=1

n

t2 = 2K / hiai i=1

ti* =

Y el costo mínimo es el siguiente.

T(t*) =

La cantidad económica es:

Q* = t*ai

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Q*i = ai

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INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISION CONTINUA Y LIMITACION DE ESPACIO DE ALMACENAMIENTO

(RESTRICCION).

Para este modelo se consideran n productos (n > 1), cuya demanda es constante y que compiten por un espacio limitado de almacenamiento de capacidad A.

Sean estos n productos Q1, Q2,....,Qn.

Cada producto tiene un costo fijo Ki (i = 1,...,n), un costo de almacenamiento hi(i = 1, ...., n) y una demanda constante ai(i = , ....,n).

Además se supone que la producción o el pedido es instantáneo, que no existen descuentos en los precios y que no se permiten demandas diferidas.

La función de costo total puede obtenerse a partir del costo total para un solo producto.

No vamos a considerar T = hQ/2 + Ka/Q desagregación de

costos de producción.

Ahora bien, para n productos Qi = 1,...., n la función anterior se transforma en

T =

Si cada producto Qi tiene un volumen Vi (i = 1,...., n), y sabiendo que el espacio de almacenamiento tiene una capacidad finita A, se tienen las siguientes restricciones:

Qi ≥ 0 i = 1,...., n

El problema se reduce a calcular los valores de Qi, i = 1,....n de modo que

Función Objetivo Min T =

Sujeta a

Qi ≥ 0 i = 1,...., n

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Podemos resolver este problema, por el método de Lagrange. De este modo se tiene:

L(Qi,) = ½ + -

Podemos encontrar los Qi y que minimizan la ecuación anterior, resolviendo el siguiente sistema

L(Qi, )/ = A - = 0 (1)

L(Qi, )/Qj = ½ hj – ajKj / Qj2 - Vj = 0 (2)

j = 1,...., n

De la ecuación (2) podemos obtener Q*j

½ hj - Vj = ajKj/Qj2

Q*j = (3)

El valor de , que debe ser menor a cero se encuentra por iteración.

Forma de operar:

1. Se da un valor de (negativo)2. Se calcula un valor Q*j de la ecuación (3) con j = 1,...., n3. Se calcula la ecuación (1) y se ve si cumple la igualdad, si no es así (no

satisface) se modifica el valor de por otro valor y se repite el procedimiento, hasta lograr una aproximación de la igualdad (1).

Ver Ejemplo Nº 1

Si = 0 se tiene el lote económico

Q*j =

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MODELO DEL TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCION

Se tiene una tasa de producción = bb > a

Se tiene una tasa de consumo = a

Q A (b – a) = pendiente de la recta

Q1 N

- a = pendiente de la recta

0 C B

t1

t

t1 : tiempo en que se producen las Q unidades.t : tiempo en que se consumen las Q unidades.Q1: representan las unidades que quedan en inventario.

Función de costo

T = Costo fijo + costo variable

T = K + h (cantidad a mantener en inventario)

Sí b = a; consumo igual a producción nohay inventario.

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Del gráfico:

__AC: representa la cantidad máxima producida.__NC: representa la máxima cantidad que se mantiene en inventario.

__(Cantidad a mantener en inventario) = área bajo la curva = ½ NC * t

Por lo tanto __

T = K + h (½ NC * t)

Pero __NC = Q1

La ecuación de la recta ON es en general y = a` + b`t

Reemplazamos valores (t1, Q1) y (0,0) se tiene

(Q1 – 0) = 0 + (b – a) (t1 – 0)

Q1 = 0 + (b – a) t1

Como t1 = Q/b __

NC = Q1 = (b – a) Q / b

Reemplazamos en T:

T = K + h (1/2 (b – a/b) Q) t /: t

Costo por unidad de tiempo

T`= K/t + h(1/2 (1 – a/b) Q)

t = Q/a

T` = aK/Q + ½ h (1 – a/b) Q

Derivando para obtener el valor del lote económico de producción se tiene:

T`/ Q = -aK/Q2 + ½ h (1 – a/b) = 0

Q*=

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Como

Q1 = (b - a)Q/b

Reemplazamos el valor Q*

Q1 = (b - a)/b

Q1 =

Q1 =

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EJEMPLO Nº 1(Limitación de espacio de almacenamiento)

Espacio de almacenamiento A = 25 m3

ITEM ki ai hi Vi(m3)1 10 2 0,3 12 5 4 0,1 13 15 3 0,2 1

SOLUCIÓN

ITERACION

Q*i ViQi

= - 0,1 8.944 11.547 = 15.000

35.491 25

= - 0,4 6.030

6.667 = 9.487

22.184 25

= - 0,3 6.667

7.559 = 10.607

24.833 25

Por lo tanto, los lotes óptimos son:

Q*1 = 6.667 unid.Q*2 = 7.559 unid.Q*3 = 10.607 unid.

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EJEMPLO Nº 2

Un contratista tiene que proveer de 10.000 cojinetes por día a un fabricante de automóviles. Encuentra que iniciar un lote de producción, puede producir 25.000 cojinetes por día. El costo de mantener un cojinete en el almacén por un año es de 2 centavos, y el costo de arranque de un lote de producción es de $18. ¿Qué tan frecuentemente deben fabricarse los lotes de producción?

SOLUCION

a: Número de cojinetes requeridos por día.b: Número de cojinetes producidos por día.h: Costo de mantener un cojinete en inventarío por día.K: Costo de arranque de un lote de producción.Q: Número de cojinetes producidos por lote de producción.t: Intervalos entre periodos de producción.

Para este caso en que existe producción y consumo simultáneamente, la representación del costo total por unidad de tiempo es:

CT = aK/Q + ½ h (1 - a/b)Q

cT/Q = - aK/Q2 + ½ h (1-a/b) = 0

Q2 = 2aK/h(1 - a/b)

Q* =

t* = Q*/a =

Valores para el problema.

a = 10.000 coj./díab = 25.000 coj./díah = 2 c/año /100 x 365 = 0,0000547 $/díaK = $18

Q* =

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Q* = 104.732 cojinetes.

t* = 104.732 cojinetes/10.000 coj./dia = 10,47 días.

N=1/(10,47 días x Año/365días) aprox 35 ciclos en el año

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EJEMPLO Nº 3

(INVENTARIO CON DÉFICIT).

Un contratista se compromete a surtir motores Diesel a un fabricante de camiones, a razón de 25 por día. Hay una cláusula en el contrato que lo multa con $10 por motor, por día en que no cumpla con la fecha predeterminada de entrega. El contratista encuentra que el costo de mantener un motor completo en su almacén es de $16 por mes. Su proceso de producción es tal que cada mes (30 días) inicia la producción un grupo de motores en los talleres, y todos estos motores quedan disponibles para entrega en cualquier ocasión después del final del mes. ¿Cuál debería ser su nivel de inventario al principio de cada mes (i,e, inmediatamente después de haber llevado al almacén los motores hechos en el mes anterior, y luego de surtir los motores para cubrir la demanda no satisfecha del mes anterior)?

SOLUCION

En el caso de inventario con déficit el costo total por unidad de tiempo es

CT = aK/Q + ac + hS2/2Q + p(Q-S)2/2Q

Nivel deInventario

S -

S S/aS-at

Q

0 –t

Q/a

30 dias

t = 30 = Q/a => Q = 30aEl costo total por ciclo (sin considerar costos fijos y variables)

CT = hS2/2a + p(Q – S)2/2a

CT = hS2/2a + p(30a - S)2/2a

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CT/S = hS/a - p(30a - S)/a = 0

S* = 30a p/(h + p)

DATOS:

a = 25 motores / díah = 16 $ / motores / 30 = 0,533 $ / motor díap = 10 $ / motor día

S* = 30 día x 25 (motor / día) x 10 ($ /motor día)(0,533 ($/motor día) + 10 ($/motor día))

S* = 712 motores

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EJEMPLO Nº 4

Tómese el problema anterior, suponga que la producción se lleva cabo por lotes, y cada vez que se inicia un lote hay costos de arranque de $ 10.000. ¿Que tan frecuentemente deben iniciarse los lotes de producción, y cual debe ser el nivel inicial de inventario al tiempo en que se completa cada lote?

Ahora el costo total por unidad de tiempo es:

CT = aK/Q + ac + hS2/2Q + p(Q – S)2/2Q

De donde se obtiene que

S* =

Q* = /

t* = Q*/a

Calculando de tiene:

S* =

S* = 968,276 x 0,9743 = 943,44

Q* = 968,276 / 0,9743 = 993,817

t* = 993,817 motores / 25 (motores/día) = 39,75 días

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OBSERVACIONES

Se puede hacer varias observaciones sobre los modelos de lote económico:

1. Si se supone que el costo de producción (o de compra) de un articulo es constante a través del tiempo, no aparece en la solución optima.

2. Se supuso antes que Q, el número de unidades producidas, era constante de un ciclo a otro. Un poco de reflexión sobre esto revelará que en realidad esta suposición es mas bien un resultado.

3. Estos modelos se pueden ver como un caso especial de una política (s,S). Casi siempre se usa una política (s,S) en el contexto de una política de revisión periódica en donde, en el momento de la revisión, se coloca una orden para hacer que el nivel de inventario llegue a S si el nivel actual es menor o igual a s. De otra manera se ordena. El símbolo S denota el nivel de orden y s denota el punto de reorden.

En los modelos de lote económico, s significa el nivel del inventario en el que se ordena, de manera que cuando no se permiten faltantes, s es igual al negativo del máximo faltante; es decir,

S = -

Como los modelos del lote económico son modelos de revisión continua, cuando el nivel de inventario es igual a s se coloca una orden para reabastecerlo hasta el nivel de reorden S. La cantidad a ordenar es Q = S – s.

4. A partir del análisis presentado, resulta obvio que el punto de reorden nunca será positivo. Una política que requiera s > 0 no puede ser optima porque está dominada por una política que pide que se ordene la misma cantidad Q, pero solo cuando el punto de reorden llega a cero. Está dominada en el sentido de que esta última política tiene los mismos costos fijos y de compra pero un costo más pequeño de mantener el inventario.

5. Se puede incluir con facilidad un costo de entrega fijo y conocido. Denótese por el tiempo que transcurre en entre colocar y recibir una orden. Se supone que es constante en el tiempo e independiente del tamaño de la orden. Es evidente que si se desea que la orden llegue en le momento en que el nivel de inventarios llega a s, entonces debe colocarse periodos antes. Así, el punto de reorden es

S + a

en donde s se determina para la situación que no incluye tiempos de entrega

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Nivelinventario

Q - atS + a

S

Tiempo

Q / a

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PROBLEMAS PARA RESOLVER

Problema Nº 1

Una compañía que fabrica televisores produce sus propios parlantes para usarlos en la fabricación de los aparatos. Los televisores se ensamblan en una línea de producción continua a una tasa de 8.000 al mes. Los parlantes se producen por lotes, pues no justifican toda una línea de producción y se pueden producir cantidades relativamente grandes en un tiempo corto. La compañía está interesada en determinar cuando y cuantos parlantes debe producir. Deben tomarse en cuenta varios costos:

1. Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12.000. Este costo incluye el costo de preparar las maquinas y herramientas, los costos administrativos, los de registro, etc.

2. La producción de lotes grandes de parlantes conduce a inventarios grandes. El costo estimado de mantener un parlante en almacén es de 30 centavos / mes. Este costo incluye el costo de capital invertido, el espacio de almacenamiento, seguros, impuestos, protección, etc. La existencia de un costo de mantener el inventario es un motivo para producir lotes pequeños.

3. El costo de producción de un solo parlante (excluyendo el costo de preparación) es de $10 y puede suponerse que es un costo unitario independiente del tamaño del lote fabricado. (En general, el costo unitario de producción no necesita ser constante y puede decrecer con el tamaño del lote)

4. La política de la compañía prohibe la planeación deliberada de faltantes de cualquiera de sus componentes. Sin embargo, en ocasiones ocurre un faltante de parlantes y se ha estimado que cada parlante que falta cuando se necesita cuesta $1.10 / mes. Este costo incluye el costo de instalar los parlantes una vez que el televisor está totalmente ensamblado, el espacio de almacén, el ingreso retrasado, los registros, etc.

Problema Nº 2

Una compañía manufacturera de aviones utiliza remache a razón de 5.000 libras al año, aproximadamente constante. Los remaches cuestan $2 por libra, y el personal de la empresa estima que cuesta $20 hacer un pedido de estos remaches, y que el costo de llevar inventario es de 10% por año.

a) ¿Qué tan frecuentemente deben hacerse pedidos de remaches y qué cantidades deben ordenarse?

b) Si los costos reales son $50 por hacer un pedido y 15% del costo de inventario, el óptimo cambia ¿Cuánto está perdiendo la compañía anualmente debido a una información incorrecta sobre costos?

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Problema Nº 3

Un fabricante recibe un pedido por 6.890 artículos que deben surtirse en un periodo de un año como sigue:

Al terminar la semana 1: 5 artículos.Al terminar la semana 2: 10 artículos.Al terminar la semana 3: 15 artículos.Etc.

El costo de mantener inventario es de $2,6 por elemento por año, y el costo de arranque es de $450 por lote de producción.

Problema Nº 4

Don Ricodulce produce chocolates caseros con una velocidad de 4.000 unidades de diferentes modelos, el ritmo de consumo de chocolates por parte de los clientes Ricodulce es de 2.850 unidades por semana, Don Ricodulce estima que producir cada lote tiene un valor de $250, con un costo unitario de 7 pesos; Don Ricodulce paga por almacenaje la suma de 8 pesos por unidad por mes.

Don Ricodulce lo (la) ha contratado a Ud. para que le indique cuanto es el tiempo que tiene que producir para obtener el costo mínimo y calcule este costo.

Problema Nº 5

Demuestre que el lote económico queda representado por

Q* =

Cuando existe una tasa de producción b y una tasa de consumo a, donde b > a.

Calcule los costos de las siguientes políticas:

1) Fabricar todos los 6890 artículos al principio del año.2) Fabricar 3445 ahora y 3445 en 6 meses.3) Fabricar 1/12 del pedido cada mes.4) Fabricar 1/52 del pedido cada semana.

Problema Nº 6

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Una empresa manufacturera tiene una demanda cíclica fija, con un periodo de una semana, como sigue:

Lunes 9Martes 17Miércoles 2Jueves 0Viernes 19Sábado 9Domingo 14

Una política de la compañía es mantener constante la producción diaria. Los departamentos de producción y de embarque trabajan siete días a la semana, y la producción de un día queda disponible para su embarque al día siguiente.

Si un déficit cuesta cuatro veces mas que un exceso de la misma magnitud por día. ¿Qué tanta existencia debe estar disponible al iniciarse las operaciones el lunes?

Problema Nº 7

Una industria de detergentes tiene un conjunto de cinco productos químicos que utiliza en la casi totalidad de los productos que fabrica. La demanda anual ai y el costo por unidad ci son los siguientes

Producto ai ci

1 600 32 900 103 2400 54 12000 55 18000 1

El costo fijo de ordenar es de $10 y es igual para todos los productos. El costo anual de inventario para cada producto es igual al 12% del costo unitario.

Suponga que la industria tiene una limitación en el capital de trabajo y puede mantener a lo más $ 3000 como inventario promedio en el periodo (por producto).

Calcule la cantidad a ordenar en $ y el número de órdenes al año para cada producto.

Problema Nº 8

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Los siguientes datos se refieren a la compra de un artículo con una lista de descuentos:

Cantidad Precio/Unidad0 – 99 100

100 – 999 851000 – 9999 75

10000 - + 65

Los costos fijos por pedidos son de $100 y el costo de conservación de los inventarios está medido como una fracción del valor del inventario, es de un 20%. Los requerimientos anuales podrían variar ampliamente según se obtenga a no ciertos contratos. La dirección desea conocer la Q optima de compra bajo tres condiciones diferentes de contrato: 24, 1000 y 60000 unidades por año.

¿Cuales son la Q óptima de compra para los tres valores alternativos de la demanda?

mode los invent a rio version 3 2007

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