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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

UTEPSA – Guía MAAP

CALCULO III

Edición: 1 Año: 2019

Modalidad Presencial

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Misión de UTEPSA:

“Lograr que cada estudiante desarrolle una

experiencia académica de calidad, excelencia,

con valores, responsabilidad social, innovación,

competitividad, y habilidades emprendedoras

durante su formación integral para satisfacer las

demandas de un mercado globalizado.”

Esto se sintetiza en:

“Educar para emprender y servir”

Visión de UTEPSA: “Ser una universidad referente y reconocida por su calidad académica, investigación y compromiso con la comunidad, en la formación de profesionales íntegros, emprendedores e innovadores, según parámetros y normativas nacionales e internacionales”.”

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Comportamiento en clases

Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna

circunstancia comen o beben dentro

el aula y tampoco organizan festejos

u otro tipo de agasajos en estos espacios,

para este fin está el Patio de Comidas.

Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los

espacios identificados para fumadores.

También se debe evitar la desconcentración o

interrupciones molestas por el uso indebido de

equipos electrónicos como teléfonos y tablets.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al

docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será sancionada de acuerdo al

Reglamento de la Universidad.

¿Qué es la Guía MAAP? Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos,

orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento.

Esta herramienta, otorga independencia en el aprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras

actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar

diferentes competencias.

I. Recordatorios y Recomendaciones

A su servicio Aunque las normas generales están claramente

establecidas, si a usted se le presenta una situación

particular o si tiene algún problema en el aula, o en

otra instancia de la Universidad, el Gabinete

Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para

ayudarlo.

Asistencia y puntualidad

Su asistencia es importante en TODAS las clases.

Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el

Reglamento de la Universidad se contemplan tres

faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del

Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted

sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA

ASIGNATURA.

Se considera “asistencia” estar al inicio, durante

y al final de la clase. Si llega más de 10 minutos

tarde o si se retira de la clase antes de que esta

termine, no se considera que haya asistido a

clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y

la puntualidad los días de evaluación.

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II. Orientaciones para el aprendizaje

La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con algunos

símbolos.

La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:

Símbolo Actividad Descripción

Preguntas A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas.

Prácticos y/o Laboratorios

Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales, según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.

Casos de Estudio y ABP

Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.

Investigación Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.

Innovación y/o Emprendimiento

A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.

Aplicación

Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.

Ética Responsabilidad

Social Formación

Internacional Idioma Ingles

Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.


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III. Datos Generales

ASIGNATURA: CALCULO III SIGLA: BMS-304 PRERREQUISITO: BMS-302 CALCULO II

APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL: Las ecuaciones diferenciales tienen su aplicación en los circuitos eléctricos aplicándolas en las leyes de Ohm y Kirchhoff, además de permitir resolver circuitos de CA, sin importar que tan complicados sean estos, también ayudan a determinar el valor de un fasor, una fuente, potencia de un elemento, etc. Se involucran ecuaciones diferenciales que dependen del tiempo (para capacitores e inductores). Finalmente, las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real, aportando en la formación del Ingeniero una visión muy amplia, orientada a diferentes áreas y sectores productivos OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA: Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: 1. Resolución de ecuaciones diferenciales de movimiento en sistemas mecánicos de traslación

condicionadas por determinados amortiguadores aplicando transformadas de Laplace. 2. Resolución de ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos utilizando Transformadas de Laplace. 3. Utilizar los diagramas de bloques para representar el control de sistemas físicos (o reales)

mediante un modelo matemático, en el cual, intervienen gran cantidad de variables que se relacionan en todo el proceso de producción.

ESTRUCTURA TEMÁTICA

Unidad 1 Tema: Series. Objetivo de aprendizaje:

Interpretar las definiciones básicas de convergencia de sucesiones y series. Contenido: 1.1 Introducción a las series. Criterio de A’lembert Criterio de Cauchy. Teorema de Leibniz.

1.2 Formula de Euler. Serie binomial. Series de Fourier. Unidad 2 Tema: Funciones de variable compleja Objetivos de aprendizaje:

Analizar una función compleja, para su aplicación a las matemáticas puras y aplicadas.

Interpretar integrales en el plano complejo Contenido: 2.1 Números complejos

2.1.1 Conceptos básicos 2.1.2 Sistema numéricos real

https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico

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2.1.3 Representación gráfica de los números reales 2.1.4 Sistema de los números complejos 2.1.5 Definición, algebra, igualdad, conjugado complejo 2.1.6 Representación geométrica Cartesiana, polar. 2.1.7 Complejo Conjugado, valor absoluto 2.1.8 OPERACIONES

2.1.8.1 Suma y resta, multiplicación y división 2.1.8.2Formula de Moivre 2.1.8.3 Formula de Euler

2.1.9 APLICACIONES 2.1.9.1 Raíces de la unidad de un número complejo. 2.1.9.2 Ecuaciones polinómicas 2.1.9.3 Conjunto de puntos (regiones del plano z) 2.1.9.4 Ejercicio, problema del reloj. 2.1.9.5 Desigualdades, cónicas

2.2 Funciones elementales complejas 2.2.1 Funciones polinomiales.

2.2.2 Funciones exponenciales. 2.2.3 Funciones trigonométricas circulares. 2.2.4 Funciones (trigonométricas) hiperbólicas. 2.2.5 Funciones logarítmicas 2.2.6 Funciones trigonométricas Inversas. 2.2.7 Funciones hiperbólicas Inversas 2.2.8 Funciones analíticas

2.3 Ecuaciones de CAUCHY-RIEMANN 2.3.1 Ecuaciones de Cauchy-Reimann, Cartesiana, polar 2.3.2 Funciones armónicas 2.3.3 Relación con las funciones Analíticas. 2.3.4 Interpretación geométrica de la derivada. Teoremas. (Propiedades de las derivadas) 2.3.5 Diferenciales. Aplicaciones lineales, especiales, conformes. 2. 4 Singularidades

2.4.1Singularidad aislada 2.4.2 Polos 2.4.3 Puntos de ramificación 2.4.4 Singularidad removible 2.4.5 Singularidad esencial 2.4.6 Singularidad en el infinito

2.5 Integrales complejas 2.5.1 Integral compleja de línea 2.5.2 Conexión de la integral compleja de línea con la integral real de línea. 2.5.3 Propiedades de las integrales. Regiones simples y múltiples y múltiplemente conexas. 2.5.4 Teorema de la Curva de Jordán. Convención relativa a la orientación de caminos cerrados 2.5.5. Teoremas:

2.5.5.1 Existencia y Cálculo.

7



2.5.5.2 Teorema Integral de Cauchy . Teorema de Morera 2.5.5.3 Integral indefinida Consecuencia del teorema de Cauchy 2.5.6 Integración de funciones analíticas 2.5.6.1 Formula integral de Cauchy 2.5.6.2Desigualdad de Cauchy 2.5.6.3 Teorema del valor medio de Gauss Unidad 3 Tema: Transformada de La-place Objetivos de aprendizaje:

Obtener las transformadas y las transformadas inversas de Laplace de funciones de mayor uso.

Aplicar los conceptos y propiedades de la transformada de LAPLACE, para la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales con valores iníciales.

Contenido: 3.1 Introducción 3.2 Definición de la Transformada de Laplace 3.3 Cálculo de transformada de Laplace por definición 3.4 Cálculo de transformada de Laplace mediante tablas. 3.5 Transformada inversa de Laplace. 3.5. Descomposición en fracciones simples 3.6 Aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales 3.7 Resolución de Ecuaciones Diferenciales por transformadas de Laplace

Unidad 4 Tema: Transformadas de Fourier Objetivo de aprendizaje:

Comprender la definición y las propiedades de las series de Fourier Contenido: 4.1 Conceptos básicos de la teoría de Series de Fourier 4.2 Introducción: sinusoides 4.3 Polinomios trigonométricos y coeficientes de Fourier. 4.4 Series de Fourier seno y coseno. Convergencia de las series de Fourier 4.5 Integral de Fourier y espectro continuo. Transformada de Fourier: Discreta, rápida, en tiempo discreto. 4.6 Propiedades y Transformadas de Fourier habituales

Unidad 5 Tema: Transformadas Z Objetivos de aprendizaje:

Calcular transformadas z, transformadas z inversa aplicándolas a la obtención de la función de transferencia y al análisis y control de sistemas en tiempo discreto.

Contenido: 5.1 Definición de transformada Z. 5.2 Teorema de la serie de Laurent. Campo o región convergente (ROC). 5.3 Notación.

8



5.4 Reducción a la transformada finita de Fourier. 5.5 Aplicaciones de transformada Z.

BIBLIOGRAFÍA

BÁSICA

A. Simon & Schuster Company, Ecuaciones Diferenciales, Octava Edición.

Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de modelado, Décima Edición.

Dennis G.Zill, Matemáticas Avanzadas para ingeniería Vol.1 Ecuaciones Diferenciales.

Murray R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Tercera Edición. COMPLEMENTARIA

Edwards, C. H. (2016). Ecuaciones Diferenciales Elmentales (3ª Ed.). Londres, Inglaterra: Brander

Ayres, F. R. (2015). Ecuaciones Diferenciales, Teoría y 560 problemas resueltos (2ª Ed.). Massachusetts, EEUU: Freedom

PÁGINAS WEB:

NIJ, E. F. (2015, 10 MAYO). [Ejercicios Resueltos]. Recuperado Nov, 2018, de:

https://www.monografias.com/trabajos33/laplace-ejercicios/laplace-ejercicios.shtml

http://www.manfredohurtado.jimdo.com

Guzman, M. (2015, 13 Septiembre). Transformada y antitransformada de Laplace L. Agosto, 2016,

de Scribd Sitio web:

https://es.scribd.com/document/6164997/Transform-Ada-y-Anti-Transformada-de-Laplace

Compleja: Demostración de Ecuaciones Cauchy-Riemann. (2015, julio 5). luz-wiki, . Consultado el

22:10, febrero 4, 2019 en

https://luz.izt.uam.mx/wiki/index.php?title=Compleja:Demostracion_de_Ecuaciones_Cauchy-

Riemann&oldid=21097.

IV. Sistema de Evaluación

A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:

NÚM. TIPO DE

EVALUACIÓN UNIDADES A EVALUAR

PUNTOS SOBRE 100

1 PRUEBA PARCIAL Unidades 1 a 2 15

2 PRUEBA PARCIAL Unidades 3,4 15

3 TRABAJOS PRÁCTICOS (PROBLEMAS ABP-EJERCICIOS)

Ejercicios propuestos en la guía MAAP, Problemas ABP. Realizados en clases y en su domicilio.

20

4 EVALUACIÓN FINAL Todos los temas de forma integral desde la Unidades 1 a 5

50

https://www.monografias.com/trabajos33/laplace-ejercicios/laplace-ejercicios.shtml

https://es.scribd.com/document/6164997/Transform-Ada-y-Anti-Transformada-de-Laplace

https://luz.izt.uam.mx/wiki/index.php?title=Compleja:Demostracion_de_Ecuaciones_Cauchy-Riemann&oldid=21097

https://luz.izt.uam.mx/wiki/index.php?title=Compleja:Demostracion_de_Ecuaciones_Cauchy-Riemann&oldid=21097

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Descripción de las características generales de las evaluaciones:

PRUEBA PARCIAL 1

La primera evaluación está referida a ejercicios y problemas de series, Operaciones con números complejos, Ecuaciones diferenciales de orden superior.

PRUEBA PARCIAL 2

La segunda evaluación está referida a ejercicios y problemas ABP de uso de las Transformadas de L Place y de la serie de Fourier y solución de ecuaciones diferenciales a través de L place.

TRABAJOS PRÁCTICOS

Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje que los estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.

EVALUACIÓN FINAL

a) Evaluación final escrita: Consiste en una evaluación de todas las unidades, tomando en cuenta ejercicios y problemas ABP, con mayor preferencia las aplicaciones a las diferentes carreras. ( 30 a 40 %).

b) Trabajo final: El trabajo tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos aprendidos en clases. ( 10 a 20 %). (Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 3 estudiantes).

Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la materia. Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20 del módulo.

V. Guía para el Trabajo Final

INSTRUCCIONES

Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.

El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características:

Hoja de papel boom tamaño carta.

Margen superior de 2.5 cm. Inferior de 2.5 cm. derecho de 3 cm. e izquierdo 2.5 cm.

Letra Arial 11, Interlineado de 1,5.

OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL: Llevar a la práctica los conocimientos adquiridos en la materia de CÁLCULO III referente a la aplicación real en la práctica de todas las unidades (Series, Funciones de variable compleja, Transformada de La-place, Transformadas de Fourier, Transformadas Z) en un caso real. ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:

i) CARÁTULA

Nombre de la Universidad

Nombre de la Facultad a la que pertenece

Nombre de la Carrera

Nombre de la Materia

Nombre del Docente

Nombre de los Integrantes del grupo

Fecha y año

10



ii) CONTENIDO INTERNO

ÍNDICE

I. INTRODUCCIÓN

Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio.

II. OBJETIVOS

2.1. Objetivo general

Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo

2.2. Objetivos específicos

Pasos a seguir para llegar al objetivo general

III. FUNDAMENTOS TEORICOS

Realizar mínimo 15 conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo.

IV. TABULACION DE DATOS

4.1. Formulas, Cálculos

4.2. Gráficos e interpretaciones Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos

en el trabajo.

V. CONCLUSIONES

VI. Objetivos y Actividades de cada Unidad

UNIDAD 1 SERIES Objetivos de aprendizaje: El estudiante adquirirá la habilidad para: Aplicar el método de series de potencias para resolver

ecuaciones diferenciales en puntos ordinarios.

4.1. INTRODUCCIÓN Una serie numérica es un desarrollo de sumandos donde cada término se obtiene del resultado de relacionar un número natural con su imagen an es decir, dado el conjunto de números naturales como partida se obtiene una relación funcional que precisamente forma lo que es llamado serie numérica:

1

32110 exp.......i

nn acomodamentesimplificaresarpuedeseaaaaa .

Las series entonces no son más que sumas de términos que se obtienen de la transformación de una expresión algebraica a través de números. Como cada término se relaciona con un número natural, el número de término de la serie está determinado por todo el conjunto de números naturales el cual es infinito, determinándose así que la serie sea infinita. El signo de los términos de la serie determina su carácter de convergencia que no es más que la posibilidad de que exista la suma de todos los términos de la serie, si no existe la suma entonces la serie diverge.

11



4.2. SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma:

...)xx(a...)xx(aaxxan

0n010

0n

n0n

[1]

donde los an son constantes.

- La serie [1] converge en el punto x = a , si converge la serie numérica :

0

0

n

n

n xaa , es decir, si

existe y es finito el límite :

N

n

n

nN

xaa0

0lim , que se designa suma de la serie en x = a.

- En otro caso se dice que la serie diverge en x = a. - La serie [1] puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x = xo

, siendo ao su suma en dicho punto. Teorema

Una serie de potencias

0n

n0n xxa converge siempre para todo valor de x de un cierto

intervalo abierto I = (x0-R , x0+R) y diverge sí Rxx 0 . En los extremos del intervalo puede

converger o no.

Además en I la convergencia es absoluta, es decir, que converge en I la serie

0n

n0n xxa

El intervalo I = (x0-R , x0+R) citado en el teorema anterior recibe el nombre de intervalo de convergencia de la serie y el nº R es el radio de convergencia de la misma. Si en particular es R = 0 , se entiende que la serie converge únicamente para x = x0.

¿Cómo obtener el radio de convergencia R? Criterio:

Si existe

nn

nalim , entonces R =

1

Si existe

n

1n

n a

alim , entonces

nn

nalim y R =

1

(Se entiende que si = 0 es R = y si = , es R = 0 )

12



Ejemplo

¿Dónde converge la serie

0n

nn

3x1n

2 ?

Es

1

2

na

n

n . Luego

2

)2(

)1(2limlim 1

n

n

a

a

nn

n

n

Luego R = 2

1 y por tanto la serie converge y además absolutamente en

2

13,

2

13 , es decir I =

2

7,

2

5

En x = 2

5, la serie es

0 1

1

n n que diverge por ser la armónica.

En x = 2

7, es

0 1

1

n

n

n que converge (armónica alternada)

Como la serie [1] converge para los puntos x I , su suma al variar x en I , será una función S(x) que se llama suma de la serie en I. 4.2.1 Desarrollo de una función en serie de potencias Se dice que una función f (x) es analítica en x0 (o desarrollable en serie de potencias en un entorno

de x0) si existe una serie de potencias

0

0

n

n

n xxa cuya suma es f (x) en un intervalo abierto

centrado en x0.

Teorema: Si f (x) es analítica en x0, entonces es:

...)xx(!2

)x(f)xx(

!1

)x(f)x(f)xx(

!n

)x(f)x(f

20

00

00

0n

n0

0)n(

[2] en un cierto intervalo abierto centrado en x0. Esta serie se llama serie de Taylor de f (x) en torno a x0. Cuando x0 = 0 , la serie suele denominarse serie de MacLaurin de f (x)

13



EJEMPLOS

Por simplicidad se van a hacer desarrollos en torno a x0 = 0. En el caso de tomar x0 0 , bastaría hacer el cambio x - x0 = t y desarrollar en torno a t0 = 0. a) Utilizando el desarrollo de MacLaurin :

R!n

x...

n!

x...

!2

x

!1

x1

0n

nn2xe

Como consecuencia es:

0 !

)1(e

n

nnx

n

x R =

0

3

!

3e

n

nnx

n

x R =

0

2

!

2

en

nx

n

x R =

b) Utilizando también el desarrollo de MacLaurin se obtiene:

sen x =

0n

1n2n53

)!1n2(

x)1(...

!5

x

!3

xx R =

cos x =

0n

n2n42

)!n2(

x)1(...

!4

x

!2

x1 R =

c) En el estudio de las series geométricas

0

0an

nr se vio que éstas son convergentes si y sólo si el

valor absoluto de la razón r es r < 1, siendo entonces su suma r1

a 0 . Por tanto, dado que es

único, si existe, el desarrollo de una función en serie de potencias en torno a un punto, se verifica:

0n

n2x...xx1

x1

1 R = 1

Luego también, por ejemplo:

0

32 )1(...11

1

n

nn xxxxx

R = 1

14



0

2642

2)1(...1

1

1

n

nn xxxxx

R = 1

0n

2n2

n242

2

91

2 3

x...

3

x

3

x1

9

1

3

x1

x9

1 , R = 3

d) Hallar la suma S(x) de la serie:

0

1

)!1(

2)1(

n

nnn

n

x

)S(xx

011

1

0

11

!

)2(1

!

)2(

!

)2()1(

)!1(

2)1(

n

n

n

n

n

nn

n

nnn

n

x

n

x

n

x

n

x

xxx 2e1)S( . Luego: S(x) = x

x2e1

SERIES DE TAYLOR

∑𝑓𝑛

(𝜋)

𝑛!(𝑥 − 𝜋)𝑛 (𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂)

∞

𝑛=0

El desarrollo de la función G(x) alrededor de x0 en la serie de Taylor es la siguiente:

y = 𝐆(𝐱) + 𝐆(𝐱)

𝟏! (𝐱 − 𝐱0) +

𝐆´(𝐱)

𝟐!(𝐱 – 𝐱0)2 +

𝐆´´(𝐱)

𝟑! (𝐱 – 𝐱0)3…….

Ejemplo 1.

𝐟(𝐱) = 𝐬𝐢𝐧 (𝐱) en 𝑥 = 𝜋

𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓(𝜋) = 0

𝑓𝑙𝑥

= 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⇒ 𝑓𝑙(𝜋) = −1 𝑛 = 0

𝑓𝑙𝑙𝑥

= −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓𝑙𝑙(𝜋)

= 0

𝑓𝑙𝑙𝑙𝑥

= −cos (𝑥) ⇒ 𝑓𝑙𝑙𝑙(𝜋) = 1 𝑛 = 1

𝑓𝑙𝑣𝑥

= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑓𝑙𝑣(𝜋) = 0

𝑓𝑛

(𝜋)= (−1)𝑛 𝑒𝑛 (−1)𝑛+1

= 𝑓(𝜋) +𝑓𝑙

(𝜋)(𝑥 − 𝜋)1

1!+

𝑓𝑙𝑙(𝜋)

(𝑥 − 𝜋)2

2!+

𝑓𝑙𝑙𝑙(𝜋)

(𝑥 − 𝜋)3

3!+

𝑓𝑣𝑙(𝜋)

(𝑥 − 𝜋)4

4!

15



2𝑛 ⇒ 𝑝𝑎𝑟

2𝑛 + 1 ⇒ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

∑𝑓𝑛

(𝜋)

𝑛!(𝑥 − 𝜋)𝑛 ⇒

∞

𝑛=0

∑(−1)𝑛+1

(2𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝜋)2𝑛+1

∞

𝑛=0

Ejemplo 2. Se resuelve una Ecuación Diferencial por el Método de Taylor:

𝐝𝐲

𝐝𝐱= 𝟐𝐱 + 𝐲 𝐏𝟎 (𝟎, 𝟏) ; 𝐱 = 𝟏

y̅ = 𝐆(𝐱) + 𝐆(𝐱)

𝟏! (𝐱 − 𝐱0) +

𝐆´´(𝐱)

𝟐!(𝐱 – 𝐱0)2 +

𝐆´´´(𝐱)

𝟑! +(𝐱 – 𝐱𝟎)3

G(x)= y G(x)= y0 + 1

G´(x) = y´ = 2x + y G´(x) = 2 ∙ 0 +1 = 1

G´´(x)=y´´ = 2 +y´ G´´(x)= 2 +1 = 3

G´´´(x)=y´´´= y´´ G´´´(x)= 2 +1 = 3

y̅ = 1 + 𝟏

𝟏! (1 − 0) +

𝟑

𝟐! (1 – 0)2 +

𝟑

𝟑! (1 – 0)3

y̅ = 1 + 𝟏

𝟏 (1) +

𝟑

𝟐∙1(1)2 +

𝟑

𝟑∙𝟐∙𝟏 (1)3

y̅ = 1 + 1 + 3

2 +

3

6 y̅ = 1 + 1 +

3

2 +

1

2

y̅ = 1 + 1 + 3+1

2 y̅ = 1 + 1 + 2

y̅ = 4

Ejemplo 2

Se resuelve una Ecuación Diferencial por el Método de Taylor:

𝒚′ = 𝟑𝒙 + 𝒚𝟐 𝑷𝟎 = (𝟎, 𝟏) 𝒙 = 𝟎. 𝟏

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓′(𝑐)

1! (𝑥 − 𝑐) +

𝑓′′(𝑐)

2! (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯

𝑔𝑥 = 𝑦 → 𝒈𝒙𝟎= 𝑦0 = 𝟏

𝑔𝑥′ = 𝑦′ = 3𝑥 + 𝑦2 → 𝒈𝒙𝟎

′ = 𝑦0′ = 3 ∗ 0 + 12 = 𝟏

16



𝑔𝑥′′ = 𝑦′′ = 3 + 2𝑦 → 𝒈𝒙𝟎

′′ = 𝑦0′′ = 3 + 2 ∗ 1 = 𝟓

𝑔𝑥′′′ = 𝑦′′′ = 2𝑦′ → 𝒈𝒙𝟎

′′′ = 𝑦0′′′ = 2 ∗ 1 = 𝟐

𝑔𝑥′𝑣 = 𝑦′𝑣 = 2𝑦′′ → 𝒈𝒙𝟎

′𝒗 = 𝑦0′𝑣 = 2 ∗ 5 = 𝟏𝟎

𝑔𝑥𝑣 = 𝑦𝑣 = 2𝑦′′′ → 𝒈𝒙𝟎

𝒗 = 𝑦0𝑣 = 2 ∗ 2 = 𝟒

Reemplazar los datos en la formula general

𝑦 = 1 + 1

1! (0.1 − 0) +

5

2!(0.1 − 0)2 +

2

3!(0.1 − 0)3 +

10

4!(0.1 − 0)4 +

4

5!(0.1 − 0)5

SERIE DE MACLAURIN

𝑓𝑥 = ∑𝑓𝑛

(0)

𝑛!𝑥𝑛 (𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂)

∞

𝑛=0

Ejemplo 1 Determina la serie de Maclaurin de la ecuación diferencial:

𝐹𝑥 = 𝑒3𝑥

Derivando la Función 𝑓𝑥 = 𝑒3𝑥 | 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑥 = 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 1 𝑓𝑙

𝑥= 3𝑒3𝑥 | 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑥 = 3 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 2

𝑓𝑙𝑙𝑥

= 9𝑒3𝑥 | 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑥 = 9 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 2

𝑓𝑙𝑙𝑙𝑥

= 27𝑒3𝑥 | 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑥 = 27 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 3

Sustituyendo en la Serie

𝑓𝑥 =𝑎0

1+

𝑎1

31!

𝑥 +

𝑎2

92!

𝑥2 +

𝑎3

273!

𝑥3 + ⋯

Solución

𝒇𝒏(𝟎) = 𝟑𝒏

17



Aplicando la formula se tiene:

∑𝒇𝒏(𝟎)𝒙𝒏

𝒏!

∞

𝒏=𝟎

= 𝒆𝟑𝒙 = ∑𝟑𝒏𝒙𝒏

𝒏!

∞

𝒏=𝟎

= ∑(𝟑𝒙)𝒏

𝒏!

∞

𝒏=𝟎

Ejemplo 2 . Determina la serie de Maclaurin hasta el término en x2 de la ecuación diferencial:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 + 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Con la condición inicial y (0)=1

Solución:

𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 cos 𝑥 𝑦′(0) = 0 + 1 cos(0) = 1

𝑦′′ = 1 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 + 𝑦′ cos 𝑥 𝑦′′(0) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(1) + 1(1) = 2

𝑦′′′ = 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦′𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦′(−𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑦′′𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦′′′(0) = 1 cos(𝑥) + 1𝑠𝑒𝑛(0) + 1(−𝑠𝑒𝑛0) + 2𝑐𝑜𝑠0

𝑦′′′(0) = 1 + 0 − 0 + 2 = 3

𝑦(0) = 1 𝑦′(0) = 1

𝑦′′(0) = 2 𝑦′′′(0) = 3

Entonces

𝑓(𝑥) = 1 +1∗𝑥

1!+

2∗𝑥2

2!+

3∗𝑥3

3!+ ⋯

Solución: 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 +𝒙𝟑

𝟐+ ⋯

Práctico Nro. 1:

Hallar la expresión de la suma de los n primeros términos de las siguientes series:

...8

1

4

1

2

112) a

18



1 !4

31)

n n

nnb

Series Numéricas

1) Desarrollar los primeros cinco términos de:

a)

1

)

1 !1

2)

n

nsennb

n n

na

Hallar la expresión de la suma de los n primeros términos de las siguientes series:

2) ...128

81

32

27

8

9

2

32

3) ...8

1

4

1

2

112

4)

1 1

3

n n

n

5)

1 1

1

n nn

6) Determine el carácter de las series alternadas:

1 !4

31)

1 3

41)

n n

nnb

n

n

n

na

Preguntas 1. Responda con claridad: a) ¿Cómo se expresa matemáticamente una señal que varía con el tiempo? b) Representa la gráfica de v(t)=sin(2000𝜋)? c) Explica, frecuencia, periodo si: eje x tiempo en segundos, eje y voltaje. Y=sen x

2. Representar la sucesión de Fibonacci na definida por a1 = a 2 = 1, , an=a n-1+an-2

19



UNIDAD 2 Funciones de variable compleja

Objetivos de aprendizaje: Analizar una función compleja, para su aplicación a las matemáticas puras y aplicadas.

Interpretar integrales en el plano complejo

2.1 NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son aquellos que están formado por una parte real y otra imaginaria y se representan de la forma:

biaZ

Ejemplo: 3i4Z1

2.2 REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO

Un numero complejo se representa de las siguientes formas: binómica, polar, trigonométrica y exponencial

a) Representación Binómico o rectangular

Son de la forma: biaZ

Ejemplos:

i Z i ; - Zi ; Z 5332 834 321

Para representar el número complejo biaZ gráficamente se utiliza el sistema de coordenadas XY

b) Representación Polar

Se representan según: rZ

Dónde: r indica el modulo del vector y el ángulo

representa el argumento.

Para obtener estos valores se utilizan las siguientes

formulas, en base a biaZ

20



De la gráfica se obtienen las siguientes expresiones:

z de módulo,bar 22

z de argumento,a

b arctg

Ejemplo:

El número complejo de forma rectangular iZ 52 , transformar a forma polar.

2925452bar2222 el modulo es 29

,,,5411685.22

5

a

b arctg

arctgarctg

el argumento es ,,,541168

Representando en forma polar:,,,54116829 Z

Cambio De Representación Polar a Binómico BP

Para transformar de la forma polar a binomica se utilizan las siguientes expresiones:

senr b

cosr a

Ejemplo:

Transformar el número complejo polar 4524,4Z a la forma binómica

999.2707,024,445cos24,4 0 a por tanto el valor de 3a

999.2707.024,44524,4 0 senb por tanto el valor de 3b

Expresando en forma binómica: i33Z

c) Representación Trigonométrica

Son de la forma:

senirZ cos

21



Ejemplo:

Representar el número complejo polar 6024.5z en forma trigonométrica

De acuerdo a la formula se tiene: 00 6060cos24.5 seniZ

d) Representación exponencial

Son de la forma:

ierZ

Donde se expresa en radianes:

Para transformar de grados a radianes se utiliza: 0

0

180

rad

Ejemplo:

Expresar en su forma exponencial el número complejo 6024.5Z

ii eZeZ

3

1

60 24,524,50

2.3 OPERACIONES ARITMETICAS FUNDAMENTALES

Suma y resta

Si 5i1 Z2i,3Z 21 efectuar 21 ZZ .

En forma rectangular:

iii

i-ii-iZZ

72ZZ 5213

51 235123

21

21

Multiplicación

Siendo iZiZ 23 ,3 21 Multiplicar 21 ZZ


iiiiiiiiiZZ 2323332333233 21

299126392639 2 iiiiii

iZZ 9721

22



En forma polar:

Siendo 0

1 69.3313Z y 0

2 368 Z

Aplicando formula: 211111 rrZZ

18.28444.28

3669.33813

11

11

ZZ

ZZ

División

Si iZiZ 43,32 21 Dividir 21 ZZ


25

18

)16(9

12986

43

12986

43

43

43

32

43

3222

2

21

iii

i

iii

i

i

i

i

i

iZZ

2525

1821

iZZ

En forma polar:

Siendo 0

1 69.3313Z y 0

2 368 Z

Aplicando formula: 21

2

111

r

rZZ

69.694507.0

3669.334507.03669.338

13

11

11

ZZ

ZZ

2.4. POTENCIA DE UN NUMERO COMPLEJO (TEOREMA DE MOIVRE)

Se expresa de las siguientes formas:

nn biaZ

nseninrZ nn cos Donde n

23



Ejemplo:

Siendo 04582,2 Z encontrar ?4 Z

Aplicando teorema Moivre: 0044 454454cos82.2 seniZ

004 180180cos663,2406657 seniZ

2.5 RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO

De la forma:

k

nrZ

kk

360

Dando a k los valores 1,...,3,2,1,0 k se deducen las k raíces distintas que posee un número

complejo.

2.6. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA

Recordemos que una función real f de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real x ∈D otro número real y = f(x).

Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:

Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z ∈D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D→ℂ.

El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f. Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

24



𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑧 𝑧 = 𝑖 + 1 → 𝑓(𝑧) = 𝑖 + 1

𝑤 = 𝑔(𝑧) = 𝑧2 𝑧 = (𝑖) → 𝑔(𝑧) = 𝑖2 = −1

𝑧 ≠ 0 𝑤 = ℎ(𝑧) =1

𝑧

𝑧 = 1 + 𝑖 → ℎ(𝑧) =1

1 + 𝑖=

1 − 𝑖

2=

1

2−

𝑖

2

Definir en qué conjunto se determinan estas funciones

𝑓: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠

𝑔: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠

ℎ: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑜 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠

I) EXPRESAR CADA NUMERO COMPLEJO DE FORMA BINOMICO, EN FORMA POLAR

a) i22 b) i43 c) i83 d) i1110

e) i79 f) i5.015 g) i23 h) i1013

II) EXPRESAR CADA NUMERO COMPLEJO DE FORMA POLAR A FORMA BINOMICO

a) 0305 b) 016053 c) 06025 d) 02005.0

e) 0805.0 f) 034510 g) 013010

III) EFECTUAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON LOS SIGUIENTES NUMEROS COMPLEJOS

a) ii 6432 b) ii 224

c)) ii 2931 d) ii 6987

e) ii 4231 f) ii 5373

IV) EFECTUAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON LOS SIGUIENTES NUMEROS COMPLEJOS

Multiplicar y/o dividir, y expresar los resultados en coordenadas trigonométricas y en coordenadas exponenciales:

a) iz 531 y iz 282 b) iz 321 y iz 672

25



c) 0

1 4512z y 0

2 2518z d) 0

1 9572z y 0

2 15512z

e) iz 221 y 0

2 6015z f) 0

1 3525z y iz 62

MODELOS DE FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS

La representación gráfica de las funciones de valor complejo, de una variable compleja, es un tema de mucho interés dado que la gráfica de una función de este tipo tendría que ser dibujada en un espacio tetra dimensional.

Funciones Elementales Polinómicas

Los polinomios complejos son funciones de la forma:

f(z) = an⋅zn + an-1⋅zn-1 + ... + a1⋅z + a0, aj pertenece a los complejos para j = 0,..., n.

fffffi

26



Las partes real e imaginaria de una función polinómica compleja son funciones polinómicas de dos variables reales. Así, por ejemplo:

f(z) = 2z2+ 3

= 2(x +i⋅y)2 + 3

= (2(x2 – y2) + 3) + i⋅(4 x⋅y)

= u(x, y) + i⋅v(x, y)

Es importante resaltar que una función polinómica compleja es aquélla que se puede expresar como

una combinación lineal de potencias de exponente natural de z, ya que puede ocurrir que u(x, y) y v(x,

y) sean funciones polinómicas en ℜ2 y sin embargo f(z) = u(x, y) + i⋅v(x, y) no sea un polinomio

complejo. Un ejemplo es la función f(z) = (x2 + y2) + i⋅(x2 – y2), que no se puede expresar de la forma a

z2+ b⋅z + c, y por tanto no es un polinomio complejo.

Las funciones polinómicas complejas están definidas en todo el plano complejo.

Funciones Elementales Exponenciales

Dado el número complejo z = x + iy, la función exponencial compleja se define a través de la fórmula

de Euler:

𝒇(𝒛) = 𝐞𝐱𝐩(𝒛) = 𝒆𝒛 = 𝒆𝒙+𝒊𝒚 = 𝒆𝒙(𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒊 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒚)

La función así definida es una extensión de la función exponencial real, puesto que si z es un número

real se tiene que y = 0 y entonces 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥.

Observaciones: Las propiedades indican que la función exponencial compleja mantiene en general las

propiedades de la función exponencial real. Existen sin embargo dos diferencias importantes entre

ellas que se presentan a continuación..

La primera diferencia es que la función exponencial real es una función inyectiva, que está definida en

todos los puntos de la recta real y toma todos los valores comprendidos en el intervalo (0, ∞). La

función exponencial compleja está definida para todo punto del plano complejo C pero no es una

función inyectiva, puesto que para todo z se tiene que 𝒆𝒛+𝟐𝛑𝐢 = 𝒆𝒛. Es por tanto una función

periódica, de periodo 2πi, que se repite en bandas horizontales del plano complejo, de amplitud 2π.

Esto es algo que es necesario tener en cuenta si se quiere estudiar la existencia de la función inversa.

La segunda diferencia entre las funciones exponencial real y compleja es que la función exponencial

compleja puede tomar valores reales negativos, en contra de lo que sucede en el caso real. De hecho

se puede demostrar a través de la definición de logaritmo complejo que puede tomar cualquier valor

complejo salvo el 0. Esto es razonable si se tiene en cuenta que el módulo de 𝒆𝒛 𝒆𝒔 𝒆𝒙, |𝒆𝒛| = 𝒆𝒙 ,

27



que toma todos los posibles valores reales positivos, salvo el valor cero, y el argumento de ez es la

parte imaginaria de z. Se comprobará este hecho de manera formal cuando se haya definido el

logaritmo complejo

Función elemental trigonométrica

Las fórmulas de Euler permiten asegurar que, para todo x ∈ ℜ,

𝒆𝒊𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒊 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒆−𝒊𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒊 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒙

Se tiene entonces que si x ∈ℜ

𝒄𝒐𝒔 𝒛 = 𝒆𝒊𝒛 + 𝒆−𝒊𝒛

𝟐 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒛 =

𝒆𝒊𝒛 − 𝒆−𝒊𝒛

𝟐𝒊

Las funciones sen z y cos z se diferencian de las correspondientes funciones reales en que pueden

tomar valores complejos cuyo módulo no esté acotado, al contrario del seno y el coseno reales, cuyos

valores están acotados entre –1 y 1. En efecto, basta tener en cuenta que para todo x ∈ ℜ:

𝒄𝒐𝒔 (𝒊 ∗ 𝒙) = 𝒆−𝒙 + 𝒆𝒙

𝟐 𝒚 𝒔𝒆𝒏 (𝒊 ∗ 𝒙) =

𝒆−𝒙 − 𝒆𝒙

𝟐𝒊

De manera que para valores de x suficientemente grandes los módulos de los complejos asociados

son mayores o iguales que cualquier valor real que fijemos.

Ceros de las funciones sen (z) y cos (z).

Las funciones sen z y cos z sólo toman el valor cero en puntos de la recta real; es decir, los ceros de

las funciones complejas sen z y cos z coinciden con los ceros de sus correspondientes reales. Esto se

puede comprobar fácilmente expresando sen z y cos z en forma binómica: si 𝒛 = 𝒙 + 𝒊 ∗ 𝒚,

Las restantes funciones trigonométricas se definen de la misma forma que en el caso real. Así, por

ejemplo, la tangente es

𝒕𝒈(𝒛) =𝒔𝒆𝒏(𝒛)

𝒄𝒐𝒔 𝒛

y está definida en todos aquellos valores complejos en los que no se anula el denominador, es decir

para 𝒛 ≠ (𝟐𝒌 + 𝟏)𝝅

𝟐, 𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝒁

28



Unidad 3 Ecuaciones diferenciales de orden superior - Transformadas de La place Objetivos de aprendizaje:

Realizar ecuaciones diferenciales de orden superior

Reconocer los diferentes tipos Transformadas de Laplace

Realizar operaciones Transformadas de Laplace

Aplicar Transformadas de Laplace para la solución de problemas prácticos.

Ecuaciones diferenciales de orden superior 3.1. Introducción Las E.D de orden n tiene la forma general:

)(... 1

1

10 xfyAyAyAyA nn

nn

Si f(x) = 0 La E.D. se llama Homogénea, caso contrario, es llamada No Homogénea

Ejemplos:

a) La ecuación diferencial: 023 yyy Es una E.D. de segundo orden Homogénea.

b) La ecuación diferencial: xyy sin5 Es una E.D. de tercer orden No Homogénea.

3.2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

Para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes, de la forma:

0... 1

1

10

yAyAyAyA nn

nn

Los pasos son:

1. Expresar la E.D. como una combinación lineal del operador diferencial dx

dD , quedando la

ecuación en la forma: 0... 1

1

10

nn

nn ADADADA A esta ecuación se le llama

Ecuación Característica de la E.D. 2. Al resolver la ecuación característica, ésta queda expresada como un producto de factores de la

forma:

0.....321 nmDmDmDmD

29



Donde los mi son las Raíces Características de la ecuación, estas raíces pueden ser Reales o Complejas, y Simples o Múltiples.

3. Según el tipo de raíces características, la ecuación diferencial puede tener las siguientes

soluciones:

SOLUCIÓN PARA ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES DE ORDEN “N”

CASO 1: (NÚMEROS ENTEROS PERO DIFERENTES) SOL.

𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒎𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒆𝒎𝟐𝒙+. . . . . . +𝑪𝒏𝒆𝒎𝒏𝒙 CASO 2: (NÚMEROS ENTEROS PERO IGUALES) SOL.

𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒎𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆𝒎𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒙𝟐𝒆𝒎𝟑𝒙+. . . . . . . +𝑪𝒏𝒙𝒏𝒆𝒎𝒏𝒙 CASO 3: (NÚMEROS IMAGINARIOS) 𝑚 = ±𝑏𝑖 Sol.

𝒚 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔(𝒃𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙) CASO 4: (NÚMEROS COMPLEJOS) 𝑚 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 ) SOL.

𝒚 = 𝒆𝒂𝒙[𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔(𝒃𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)] 3.2.1 Primer Caso: Raíces reales diferentes

La solución es de la forma:

xm

n

xmxm

gneCeCeCy .....21

21

Ejemplo

Resolver: 023 yyy

Solución: Su expresión a través del operador D quedaría:

0)23023 22 yDDyDyyD

O también se puede escribir: 0232 mm Factorizando: (m - 2) (m - 1) = 0 Las raíces son 1 y 2 (raíces reales), por tanto, la solución de la E.D. será:

xx eCeCy 2

21

3.2.2 Segundo Caso: Raíces reales repetidas La solución es de la forma:

xmn

n

xmxm nexCxeCeCy .....21

21

30



Ejemplo

Resolver: 03633102

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

Solución: Llevando a la forma del operador D:

0433

0363310 23

yDDD

yDDD

Se hallan dos raíces repetidas (m = 3) y una diferente (m = 4) La solución de la E.D. será:

xxx eCxeCeCy 4

3

3

2

3

1

3.2.3 Tercer Caso: Raíces imaginarias

Si la ecuación es de orden 2, y las raíces son imaginarias de la forma bim , la solución es de la forma:

bxCbxCy sincos 21

Ejemplo

Resolver: 04 yy

Solución:

La ecuación característica es: 042 yD

042 D

La raíz es imaginaria: im 2

Por tanto, la solución es: xCxCy 2sin2cos 21

3.2.4 Cuarto Caso: Raíces complejas

Si la ecuación es de orden 2, y las raíces son complejas de la forma biam , entonces la solución es de la forma:

bxCbxCey ax sincos 21

Ejemplo

Resolver: 0294 yyy

Solución:

La ecuación característica es: 02942 DD

Al resolver esta ecuación, se tiene que las raíces son: im 521 y im 521

Por tanto, la solución es:

xCxCey x 5sin5cos 21

2

31



3.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS, CON COEFICIENTES CONSTANTES. CON CONDICIONES INICIALES

Ejemplo

Resolver: 2𝑦′′ + 3𝑦′ = 0 Con las condiciones iniciales: 𝑦 = 1 cuando x= 0

𝑦′ = 1 Solución: La ecuación característica es: 𝐷2 + 3𝐷 = 0

Al resolver esta ecuación, se tiene que las raíces son: 𝑚1 = 0 𝑦 𝑚2 = −3

2

Por tanto, la solución es:

𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥2

Aplicación de las condiciones iniciales Aplicando la primera condición

𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥

2 𝑦 = 1; 𝑥 = 0

1 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3(0)

2

1 = 𝑐1 + 𝑐2

Aplicando la segunda condición

𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥

2 𝑦′ = 1; 𝑥 = 0

𝑦′ = 0 −3

2𝑐2𝑒

−3(0)

2

1 =3

2𝑐2

𝑐2 = −2

3

Reemplazando en : 1 = 𝑐1 + 𝑐2

𝑐1 = 5

3

32



Reemplazando para obtener la solución final:

𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−32

𝒚 =𝟓

𝟑−

𝟐

𝟑𝒆−

𝟑𝒙𝟐

3.4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS

Si en la E.D. la función 0)( xf , esta E.D. de orden n es No Homogénea y para obtener su solución

general se requiere obtener la solución general de la E.D. homogénea asociada y una solución particular de la E.D. no homogénea. La suma de estas dos soluciones dará la solución general de la E.D. no homogénea.

Es decir: p

yh

yg

Y

Existen diferentes métodos de resolución de E.D. no homogéneas, como ser: Variación de Parámetros, Coeficientes Indeterminados, Fracciones Parciales, etc. 3.4.1. Método de los Coeficientes Indeterminados Para obtener una solución particular de la E.D. no homogénea se requiere asociarle un formato adecuado a la yp que se corresponde con la forma de la función del segundo miembro de la E.D. Los siguientes ejemplos nos permiten establecer el formato correspondiente que tendrán la solución particular que se propone:

SOLUCIÓN PARA ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES DE ORDEN “N” (Método de coeficientes indeterminados)

SOLUCIÓN: 𝒚𝑻 = 𝒚𝑯 + 𝒚𝒑

Función (ejemplo) Solución (Particular Modelo)

1 8 𝑦 = 𝐴

2 5𝑥 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐶

3 3𝑥2 𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 4 2𝑒5𝑥 𝑦 = 𝐴𝑒𝑝𝑥

5 3𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑥)

6 5𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑥)

7 5𝑥𝑒7𝑥 𝑦 = 𝐴𝑥𝑒𝑝𝑥 + 𝐵𝑒𝑝𝑥

8 8𝑥2𝑒𝑝𝑥 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑒𝑝𝑥 + 𝐵𝑥𝑒𝑝𝑥 + 𝐶𝑒𝑝𝑥 9 3𝑒7𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑦 = 𝑒𝑝𝑥(𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑥))

10 (𝑥 + 1)𝑒4𝑥 𝑦 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒𝑝𝑥

11 (3𝑥 + 4) cos(2𝑥) 𝑦 = (𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑥))(𝐶𝑥 + 𝐷)

33



Ejemplo:

Hallar la solución general de la E.D. senxyy 4

Solución: 1- Hallar la solución general de la E.D. asociada.

xx

hx

x

x eCeCyey

eyey

mmm

myDyy

2

2

2

12

2

2

12

1

2

22

244

040)4(04

2- Proponer una solución particular de la E.D. No homogénea.

xBAsenxysenxxf p cos)(

3- Hallar los valores de los coeficientes indeterminados. Para ello reemplazamos en la E.D. a la

solución yp junto con sus derivadas:

senxxBAsenxxBAsenx

xBAsenxy

BsenxxAy

xBAsenxy

p

p

p

cos4cos

cos

cos

cos

4- Se forma el sistema de ecuaciones para obtener las incógnitas A y B

senxp

yBA5

10

5

1

5- Hallar la solución general de la E.D. no homogénea:

senxxeCxeCg

Yp

yh

yg

Y5

122

21

PRÁCTICO Nro. 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTE Hallar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes:

1) 04 yy

2) 04 yy

3) 04 yy

4) 04 yy

5) 032 yyy

34



6) 032 yyy

7) 056 yyy R. xx ececy 5

21

8) 022 yyy

9) 0134 yyy R. xcxcey x 3sin3cos 21

2

10) 02 yyy

11) 0823 yyy R. xx

ececy 2

23

4

1

12) 06116 yyyy R. xxx ecececy 3

3

2

21

13) 023 yyy R. xxx ecxececy 2

321

14) 01243 yyyy R. xxx ecececy 3

3

2

2

2

1

15) 05242 yyyyy iv R. xxxceececy xxx 2sin2cos 4321

16) 022)2

0823)1

2

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

yyy

17) 2𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 + 6𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 − 8 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 24𝑦 = 0

18) 6 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 36 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 30y = 0

19) 3 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 − 2 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 8y = 0

RESOLVER LAS SIGUIENTES ED Y HALLAR LAS SOLUCIONES PARTICULARES QUE SATISFAGAN LAS CONDICIONES INÍCIALES DADAS: 1. 032 yy con y = 1, y´ = 1 cuando x = 0

2. 025 yy con y = -1, y´ = 0 cuando x = 3

3. 054 yyy con y = 2, y´ = -1 cuando x = 1

4. 054 yyy con y = 2, y´ = 0 cuando x = 0

5. 056 yyy y(0) = 3,y´(0) = -1 R. xx eey 5

2

1

2

7

6. 032 yyy y(0) = 1,y´(0) = 3 R. xxey x 2sin2cos

2𝑦′′ + 8𝑦′ + 10𝑦 = 0 𝑦0 = 2 𝑦′0

= 0

7. 3𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 0 𝑦0 = 1 𝑦′

0= 3

8. 𝑦 ′′ + 25𝑦 = 0 con y = -1 y´ = 0 cuando x = 3

35



ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Resolver, utilizando el método que le indique el profesor, las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. xexyyy 2144 R. xxx

G exxxeCeCy 2232

2

2

12

1

6

1

2. xeyy x sin

3. xeyy x 5sin4 3

4. xeyyy x sin22 2

5. xe

yyy

1

123

6. xeyy x sin

7. 𝑦′′ − 16𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑥

8. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 5𝑒2𝑡

9. 𝑦′′ + 7𝑦′ − 30𝑦 = 3𝑥 − 2

10. 𝑦 ′′ 8 y sen (3x)

11. 𝑦′′ − 𝑦 = 2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

12. 𝑦′′ + 4𝑦′ − 30𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥

13. 2𝑦′′ + 8𝑦′ + 6𝑦 = 7𝑒3𝑥

14. 4𝑦 ′′ 12 y sen (8x)

15. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

36



TRANSFORMADAS DE LAPLACE INTRODUCCIÓN Las transformadas de Laplace fueron desarrolladas por Pierre Simón de Laplace (1749 – 1827). Es un ingenioso método utilizado para resolver Ecuaciones Diferenciales, sustituyendo la función incógnita F(t) por otra función algebraica en la variable s, F(s) Se resuelve esa ecuación algebraica y luego, mediante la Transformada Inversa de Laplace, se encuentra la función F(t). E.D L E. Algebraica L-1 E. Original y´= F(t) y = F(s) y = F(t) 1.2 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea una función f(t), su transformada de Laplace tfLsF )( se define de la siguiente manera:

dttfetfL st

0

Es decir, la Transformada de Laplace se define como una integral impropia. Si la integral es convergente para algún valor de s, entonces la Transformada de la función existe.

1.3 CÁLCULO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE POR DEFINICIÓN

Ejemplo 1: Haciendo uso de la definición, hallar la Transformada de Laplace de F(t) = 8.

37



Ejemplo 2: Hallar por definición, la transformada de Laplace de:

t

t eF 6

)(

6

1

6

1

0*00)66(6

)(6

1

6

.

.

0).6().6(

0

)6(

0

)6(

0

66

ss

SSi

s

s

dt

dtL

ee

e

e

eee

ss

ts

ts

tstt

1.3.1 Teorema de la Linealidad de la transformada Si existen las transformadas sFtfL y sGtgL , entonces

sGcsFtgLctfLtgctfL

Para cualquier constante real .

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LA’PLACE

𝑳[𝑭(𝒕)] 𝒇(𝒔) 𝑳−𝟏[𝑭(𝒔)] 𝒇(𝒕)

1 𝑎 𝑎

𝑠 𝑎

𝑠 𝑎

2 𝑡 1

𝑠2

1

𝑠2

𝑡

3 𝑡𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ 𝑛!

𝑠𝑛+1

𝑛!

𝑠𝑛+1

𝑡𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ

4 𝑎𝑡 ; 𝑎 > 0 1

𝑠 − Ln 𝑎

1

𝑠 − Ln 𝑎

𝑎𝑡 ; 𝑎 > 0

5 𝑒𝑎𝑡 1

𝑠 − 𝑎

1

𝑠 − 𝑎

𝑒𝑎𝑡

6 𝑆𝑒𝑛 (𝑎𝑡) 𝑎

𝑠2 + 𝑎2 𝑎

𝑠2 + 𝑎2 𝑆𝑒𝑛 (𝑎𝑡)

38



7 𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑡) 𝑠

𝑠2 + 𝑎2 𝑠

𝑠2 + 𝑎2 𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑡)

8 𝑒𝑏𝑡𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑡) 𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2

𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2

𝑒𝑏𝑡𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑡)

9 𝑒𝑏𝑡𝑆𝑒𝑛 (𝑎𝑡) 𝑎

(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2 𝑎

(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2 𝑒𝑏𝑡𝑆𝑒𝑛 (𝑎𝑡)

10 𝑒𝑏𝑡𝑆𝑒𝑛ℎ (𝑎𝑡) 𝑎

(𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2 𝑎

(𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2 𝑒𝑏𝑡𝑆𝑒𝑛ℎ (𝑎𝑡)

11 𝑡𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑡) 𝑠2 − 𝑎2

(𝑠2 + 𝑎2)2

𝑠2 − 𝑎2

(𝑠2 + 𝑎2)2

𝑡𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑡)

12 𝑡𝑛𝑒𝑎𝑡 ; 𝑛 ∈ ℕ 𝑛!

(𝑠 − 𝑎)𝑛+1

𝑛!

(𝑠 − 𝑎)𝑛+1

𝑡𝑛𝑒𝑎𝑡 ; 𝑛 ∈ ℕ

13 𝑆𝑒𝑛ℎ (𝑎𝑡) 𝑎

𝑠2 − 𝑎2 𝑎

𝑠2 − 𝑎2 𝑆𝑒𝑛ℎ (𝑎𝑡)

14 𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎𝑡) 𝑠

𝑠2 − 𝑎2 𝑠

𝑠2 − 𝑎2 𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎𝑡)

15 𝑒𝑏𝑡𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎𝑡) 𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2

𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2

𝑒𝑏𝑡𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎𝑡)

16 𝑡𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎𝑡) 𝑠2 + 𝑎2

(𝑠2 − 𝑎2)2

𝑠2 + 𝑎2

(𝑠2 − 𝑎2)2

𝑡𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎𝑡)

PROPIEDADES (Funcionan también para las Transformadas inversas)

1 𝑳[𝒌𝑭(𝒕)] 𝒌𝑳[𝑭(𝒕)]

2 𝑳[𝑭(𝒕) + 𝑮(𝒕)] 𝑳[𝑭(𝒕)] + 𝑳[𝑮(𝒕)]

TRANSFORMADAS DE LA PLACE CON DERIVADAS

L [y′′′] = S3y(s) − S2y(0) − Sy(0)′ − y(0)

′′

L [y′′] = S2y(s) − Sy(0) − y(0)′

L [y′] = Sy(s) − y(0)

L [y] = y(s)

1.4 CÁLCULO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE MEDIANTE TABLA. Se pueden hallar las transformadas de Laplace de funciones más complejas, haciendo uso de tablas, como en los siguientes ejemplos:

39



Ejemplo 1.

Hallar la transformada de Laplace de f(t) = 4t2 - 3 cos 2t + 5e-t

= teLtLtL 52cos34 2

=1

15

43

!24

212

ss

s

s

Ejemplo 2.

Hallar L{4 e5t + 6t3 – 3 sen4t + 2 cos2t}

F(s) = 4

216

43

!36

5

14

224

s

s

sss

1.5 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para F(s). Ahora, como sFtfL , si pudiéramos devolvernos

obtendríamos la solución f(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa

sFL 1 , para hallar la función f(t).

Si la transformada de Laplace de )()( st fesF ; entonces la Transformada Inversa de Laplace (o Anti

transformada) de )(sf es )(tF .El operador Anti transformada de Laplace es L-1.

)()( 1 sFLtF

El cálculo de la transformada inversa se realiza mediante tablas.

Ejemplo:

Hallar la transformada inversa de: 9

53)(

2

s

ssF

40



)3((3

5)3cos(3

3

3*15

93

9

5

9

3

)(

22

1

2

1

)(

22)(

tsentf

sL

s

sLf

ss

sf

t

t

t

1.5.1 Descomposición en fracciones simples

Veamos algunos casos en los que es fácil encontrar la transformada inversa de Laplace. Consideremos funciones de la forma

donde q(s) y p(s) son polinomios. Es condición necesaria para que exista transformada inversa que el grado del polinomio del denominador sea mayor que el del numerador. Para calcular la transformada inversa encontremos las raíces si de p(s), si todas son distintas, p(s) se factoriza del siguiente modo

y F(s) puede descomponerse en la suma de fracciones simples

y dado que la transformación es lineal, la transformada inversa de F(s) es la suma de las transformadas inversas de las fracciones simples. Recordando que

Al invertir la función queda expresada como una suma de exponenciales. En la descomposición en fracciones simples pueden ocurrir los siguientes casos: Primer Caso: Raíces Reales Diferentes

nx

N

cx

C

bx

B

ax

A

nxcxbxax

P

Q

P

QgradoPgradoQ

P

x

x

x

xxx

x

.......)...)()((

;

)(

)(

)(

)()()(

)(

41



Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace de:

9

82)(

s

F s

3

4

68

)33()33(8

3

)3()3(8

)3)(3(

)3()3(

)3)(3(

8

33

)3)(3(

8

3

822

B

B

BA

S

menteArbitrariaValorDando

sBsA

ss

sBsA

ss

s

B

s

A

ss

s

Si s=3

3

4

68

)33()33(8

A

A

BA

Por tanto:

eett

t

st

F

sL

sLFLF

33

)(

11

)(

1

)(

3

4

3

4

3

3

4

3

3

4

42



Segundo Caso: Raíces Reales Repetidas

2

2

2

11

3

1

2

11)(

)(

)(

)()()(......

)()()()()( bx

B

bx

A

ax

M

Cx

C

bx

B

ax

A

bxax

P

Q

Pmnm

x

x

x

Ejemplo: Hallar la transformada inversa L-1 de:

64

1

4

3641

0)4(003)4(0001

)1()3()3)(1()3()1(2

)3()1(

)1()3()3)(1()3()1(

)3()1(

2

)3()1()1()1()3()1(

2

)3()1(

2

3

32

3

32

3

323

3)(

D

CD

CD

sDsCssBssAs

ss

sDsCssBssA

ss

s

s

D

s

C

s

B

s

A

ss

s

ss

sF s

Haciendo y luego:

56464)64(3

153

3

3

64

143332

)1(64

1)3(

4

3)3)(1(32

0

3

BAs

BA

BA

BA

S

33264

)2(8

348

8

1

4

648

64

1)2(

4

3)2()2)(4(1

1

BA

BA

BA

BA

S

Tendremos que 16

1B

64

1A

Completar el desarrollo en clases.

43



Tercer Caso: Raíces Complejas.

Ejemplo: Hallar la transformada inversa de:

)22

52cos3()(

)2(2

5)2cos(3

2)3(

2

2

5

2)3(

33)(

:

2)3(

5

2)3(

33

)3(

)3

143(3

)3(

)3(3

2)3(

)3

14(

3

3

2)3(

)143(3

3

4)96(

143

136

143)(

22

1

22

1

1

222222

2222

tsenttf

tsent

sL

s

sLtf

Laplicando

ss

s

ss

s

s

s

s

s

ss

s

ss

ssF

e

ee

st

stst

Preguntas

3. Responda con claridad:

d) ¿Qué son las Transformadas de Laplace? e) ¿Definición de Transformada Inversa? f) ¿Cuál es su aplicación?

4. ¿Qué tablas se usan para resolver la Transformada de Laplace?

Calcular las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas utilizando la transformada de La Place

Ejemplo 1 Calcule:

𝓛−𝟏 {𝟒𝒔

(𝒔 − 𝟐)(𝒔𝟐 + 𝟒)}

44



Para aplicar la propiedad debemos expandir en fracciones parciales:

=4𝑠

(𝑠 − 2)(𝑠2 + 4)

=1

𝑠 − 2−

𝑠

𝑠2 + 4+

2

𝑠2 + 4

ℒ−1 {4𝑠

(𝑠 − 2)(𝑠2 + 4)} = ℒ−1 {

1

𝑠 − 2} − ℒ−1 {

𝑠

𝑠2 + 4} + ℒ−1 {

2

𝑠2 + 4}

Aplicando teoremas:

= 𝑒2𝑡 + cos 2𝑡 + sin 2𝑡

Ejemplo 2 Realizar la siguiente transformada de la place

𝒚" − 𝟑 𝒚´ + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒆𝟐𝒕 = 𝟎 𝒚(𝟎) = −𝟑 𝒚´(𝟎) = 𝟓

𝐿 { 𝑦"} − 3 𝐿 { 𝑦´} + 2 𝐿 { 𝑦} = 4𝑒2𝑡

𝑆2𝑦(𝑠) − 𝑆 𝑦(0) − 𝑦´(0) − 3[𝑆 𝑦(𝑠) − 𝑦(0)] + 2[𝑦(𝑠)] = 4 1

𝑆 − 2

𝑆2𝑦(𝑠) − 𝑆 (−3) − (5) − 3[𝑆 𝑦(𝑠) − (−3)] + 2[𝑦(𝑠)] =4

𝑆 − 2

𝑆2𝑦(𝑠) + 3𝑆 − 5 − 3𝑆 𝑦(𝑠) − 9 + 2𝑦(𝑠) =4

𝑆 − 2

𝑦(𝑠)[𝑆2 − 3𝑆 + 2] + 3𝑆 − 5 − 9 =4

𝑆 − 2

𝑦(𝑠)[𝑆2 − 3𝑆 + 2] =4

𝑆 − 2− 3𝑆 + 14

𝑦(𝑠)[𝑆2 − 3𝑆 + 2] =4

𝑠 − 2− 3𝑆 + 14

𝑦(𝑠)[(S − 2)(S − 1)] =4 − 3𝑆(𝑆 − 2) + 14(𝑆 − 2)

𝑆 − 2

𝑦(𝑠) =4 − 3𝑆2 + 6𝑆 + 14𝑆 − 28

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)

45



𝑦(𝑠) =3𝑆2 + 20𝑆 − 24

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)

3𝑆2 + 20𝑆 − 24

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)=

𝐴

(𝑆 − 2)2 +𝐵

(𝑆 − 2)+

𝐶

(𝑆 − 1)

3𝑆2 + 20𝑆 − 24

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)=

𝐴(𝑆 − 1) + 𝐵(𝑆 − 2)(𝑆 − 1) + 𝐶(𝑆 − 2)2

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)

3𝑆2 + 20𝑆 − 24

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)=

𝐴𝑆 − 𝐴 + 𝐵(𝑆2 − 3𝑆 + 2) + 𝐶(𝑆2 − 4𝑆 + 4)

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)

3𝑆2 + 20𝑆 − 24

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)=

𝐴𝑆 − 𝐴 + 𝐵𝑆2 − 3𝐵𝑆 + 2𝐵 + 𝐶𝑆2 − 4𝐶𝑆 + 4𝐶

(𝑆 − 2)2(𝑆 − 1)

3𝑆2 + 20𝑆 − 24 = 𝐴𝑆 − 𝐴 + 𝐵𝑆2 − 3𝐵𝑆 + 2𝐵 + 𝐶𝑆2 − 4𝐶𝑆 + 4𝐶

3𝑆2 + 20𝑆 − 24 = 𝑆2(𝐵 + 𝐶) + 𝑆(𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶) + (−𝐴 + 2𝐵 + 4𝐶)

𝐵 + 𝐶 = −3 1 𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶 = 20 2 −𝐴 + 2𝐵 + 4𝐶 = −24 3 Combinando 2 y 3 Combinando 1 y 2 𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶 = 20 𝐵 + 𝐶 = −3 / +4 −𝐴 + 2𝐵 + 4𝐶 = −24 𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶 = 20 −𝐵 = −4 /−1 4𝐵 + 4𝐶 = −12 𝐵 = 4 𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶 = 20 𝐴 + 𝐵 = 8 𝐴 = 8 − 𝐵 𝐴 = 8 − 4 𝐴 = 4 Encontrando C en 1 𝐵 + 𝐶 = −3 𝐶 = −3 − 𝐵 𝐶 = −3 − (4) 𝐶 = −3 − (4) 𝐶 = −7

𝑦(𝑠) =𝐴

(𝑆 − 2)2+

𝐵

(𝑆 − 2)+

𝐶

(𝑆 − 1)

46



𝑦(𝑠) =4

(𝑆 − 2)2+

4

(𝑆 − 2)+

−7

(𝑆 − 1)

Ejemplo 3 Calcular la siguiente ecuación diferencial utilizando transformada de la place

𝟐𝒙" + 𝟖𝒙´ + 𝟔𝒙 = 𝟎 𝒙(𝟎) = 𝟔 𝒙´(𝟎) = 𝟎

2 𝐿 { 𝑥"} + 8 𝐿 {𝑥´} + 6 𝐿 { 𝑥} = 0

2[𝑆2𝑥(𝑠) − 𝑆 𝑥(0) − 𝑥´(0)] + 8[𝑆 𝑥(𝑠) − 𝑥(0)] + 6 [𝑥(𝑠)] = 0

2[𝑆2𝑥(𝑠) − 𝑆(6) − (0)] + 8[𝑆 𝑥(𝑠) − (6)] + 6 𝑥(𝑠) = 0

2[𝑆2𝑥(𝑠) − 6𝑆] + 8[𝑆 𝑥(𝑠) − 6] + 6 𝑥(𝑠) = 0

2𝑆2𝑥(𝑠) − 12𝑆 + 8𝑆 𝑥(𝑠) − 48 + 6 𝑥(𝑠) = 0

𝑥(𝑠)[2𝑆2 + 8𝑆 + 6] − 12𝑆 − 48 = 0

𝑥(𝑠)[2𝑆2 + 8𝑆 + 6] = 12𝑆 + 48

2 𝑥(𝑠)[𝑆2 + 4𝑆 + 3] = 2 [6𝑆 + 24]

𝑥(𝑠)[𝑆2 + 4𝑆 + 3] = 6𝑆 + 24

𝑥(𝑠)[(S + 3)(S + 1)] = 6𝑆 + 24

𝑥(𝑠) =6𝑆 + 24

(S + 3)(S + 1)

6𝑆 + 24

(S + 3)(S + 1)=

𝐴

(𝑆 + 3)+

𝐵

(𝑆 + 1)

6𝑆 + 24

(S + 3)(S + 1)=

𝐴(𝑆 + 1) + 𝐵(𝑆 + 3)

(𝑆 + 3)(𝑆 + 1)

6𝑆 + 24

(S + 3)(S + 1)=

𝐴𝑆 + 𝐴 + 𝐵𝑆 + 3𝐵

(𝑆 + 3)(𝑆 + 1)

47



6𝑆 + 24 = 𝐴𝑆 + 𝐴 + 𝐵𝑆 + 3𝐵

6𝑆 + 24 = 𝑆(𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 3𝐵)

𝐴 + 𝐵 = 6

𝐴 + 3𝐵 = 24 Combinando 1 y 2 Encontrando A en 1 𝐴 + 𝐵 = 6 /-1 𝐴 + 𝐵 = 6 𝐴 + 3𝐵 = 24 𝐴 = 6 − 𝐵 𝐴 = 6 − 9 −𝐴 − 𝐵 = −6 𝐴 = −3 𝐴 + 3𝐵 = 24 2𝐵 = 18

𝐵 =18

2

𝐵 = 9 𝑦(𝑠) = 𝑥(𝑡)

𝑥(𝑠) =𝐴

(𝑆 + 3)+

𝐵

(𝑆 + 1)

𝑥(𝑠) =−3

(𝑆 + 3)+

9

(𝑆 + 1)

𝐿−1 { x(s) } = −3 𝐿−1 { 1

𝑠 − (−3)} + 9 𝐿−1 {

1

𝑠 − (−1)}

x(t) = −3𝑒−3𝑡 + 9𝑒−1𝑡

𝐿−1 = 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑳 {𝒆𝒂𝒕} =𝟏

𝒔−𝒂

Ejemplo 4 Realizar la siguiente transformada de la place

𝒚´= y + 𝒆−𝟐𝒕 y (0) = 1

L {y’} = - L {y} + L { 𝑒−2𝑡}

s y (s) – y (s) = -y (s) + 1

s-(-2)

1

2

48



s y (s) + y (s) = 1

(s + 2)

s y (s) + y (s) 1

(s + 2) + 1

y (s) (s + 1) = 1 + ( s + 2 )

(s + 2)

y (s) = s + 3

(s + 2) ( s + 1 )

s + 3

(s + 2) ( s + 1 ) =

A

(s + 2) +

3

(s + 1)

s + 3

(s + 2) ( s + 1 ) =

𝐀 (𝐬+𝟏 )+𝐁(𝐬+𝟐 )

(𝐬+𝟐 )(𝐬+𝟏 )

S + 3 = A (s + 1) + B (s + 2)

S + 3 = As + A + Bs + 2B

S + 3= (A + B) s (A + 2B)

{𝐴 + 𝐵 = −1𝐴 + 2𝐵 = 3

X-1

-A –B =-1

A + 2B = 3

B= 2⫽ A + B = 1 A = -B + 1

A = -2 +1 => A = -1⫽

y(s) = 𝐴

𝑆+2 +

𝐵

𝑆+1

y(s) = 𝐴

𝑆+2 +

𝐵

𝑆+1

L { y(s) = -L{1

𝑆+2} + 2L{

1

𝑆+1}

= -L 1

𝑆−(−2) + 2

1

𝑆−(−1)

Y (t) = 𝑒−2𝑡 + 2 𝑒−𝑡⫽

49



PRACTICO N° 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Por definición, calcular la transformada de Laplace de la función dada:

1. 4tf

1. tetf 3)(

2. ttf

3. ttf 2sin

4. ttf 4cos

Utilizando tablas, calcular la transformada de Laplace de:

1. 23)( ttf

2. tt eetf 64)( 3

3. ttf 6sin5)(

4. tttf 7cos53sin4)(

5. 3)( ttf

6. 236 623)( ttttf

7. tetf t 4sin)( 3

8. 4)( 453 ttetf t

9. 𝑓(𝑡) = 𝑒7𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝑒−8𝑡𝑡5

10. 𝑓(𝑡) = −5𝑡2 [2𝑡𝑒−4𝑡

7+

2𝑡−3𝑡2

3]

11. 𝑓(𝑡) = 3𝑒−2𝑡[6 cos(4𝑡) + 2𝑒−3𝑡] − 5𝑡

12. f (t) 2 sin( 6t) +3t8 -

3 t4

13. f (t) tt2

14. f (t) e 2t cos (4t) + 2e t

15. f (t) 2(3 sin 2t cos 5t) - 8 t3

16. 𝐹(𝑡) = [3𝐶𝑜𝑠(2𝑡) + 4𝑒8𝑡 − 6𝑡3]

50



17. 𝐹(𝑡) = [4sin( √3t) + 3t−6 − 3 t3]

TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA Utilizando las tablas de transformada de Laplace, hallar f(t):

1. 3

25

sssF

2. 3

4

3

3

sssF

3. 𝐹(𝑠) =11

𝑆2+15+

1

𝑆2+9

4. 𝐹(𝑠) =7𝑠+1

𝑆2+4+

1+𝑠

𝑆3 +8

(𝑠−5)2

5. 𝐹(𝑠) =5𝑠+4

𝑆2+16+

−𝑠+11

3𝑆2+11+

5

(𝑠+3)4

6. 𝐹(𝑠) =𝑠+6

(𝑠+6)2+4+

7

(𝑠−7)2+16

7. 𝐹(𝑠) =8

(𝑠+4)2+25+

𝑠+3

(𝑠+3)2+5−

6

(𝑠−2)2+3

8. 𝐹(𝑠) = [3+𝑠

𝑠3+2𝑠2−𝑠−2+

2

3(𝑠+15)4]

9. 𝐹(𝑠) = [2𝑠−3

𝑠2+5𝑠+6−

3𝑠+2𝑠

(𝑠−7)(𝑠+1)]

10. 𝐹(𝑠) [3𝑠+6

𝑠2−4𝑠+8−

4

2(3𝑠2+6)]

11. 𝐹(𝑠) = [2

3𝑠−12+

7

3𝑠2 −2

9𝑠]

12. 𝐹(𝑠) = [2

2𝑠2+10−

7

2𝑠+6+

4

(𝑠−2)4]

13. 𝐹(𝑠) = [5

3(𝑠+2)6 +9

(3𝑠2+3)−

3

4𝑠2]

51



14. 𝐹(𝑠) = [2

4(𝑠+7)6 +2

(3𝑠2+15)−

3𝑠

2𝑠2+8]

15. 4

32

s

sF R. tt eetf 22

4

3

4

3

16. sss

ssF

23

1223

R. tt eetf 2

2

53

2

1

17. 51

3

2

ss

ssF R. tttt eteetetf

64

25

16

9

8

1

64

25 25

18. 136

1732

ss

ssF R. tetetf tt 2sin42cos3 33

19. 525

82

sss

ssF

20. 𝐹(𝑠) =𝑠3

(𝑠2+9)2 +6𝑠+7

(𝑠2++6𝑠+25)2 −2

𝑠2−16

21. 𝐹(𝑠) =7𝑠−3

𝑠2+5+

3

𝑠2−𝑠−

𝑠−2

𝑠3+2𝑠

22. 𝐹(𝑠) =5

𝑠2+5𝑠+6+

2

(𝑠−3)5

23. 65

52

ss

sF

24. 158

1322

ss

ssF

25. 4213

22

ss

sF

26. sss

sssF

54 23

2

27. sss

ssF

2610

2323

28.

98

52

ss

ssF

52



29.

2623

52

sss

ssF

30. 𝐹(𝑠) = [2+𝑠

𝑠3+2𝑠2−𝑠−2−

7

3𝑠2+15]

31. 𝐹(𝑠) = [2𝑠−3

𝑠2+5𝑠+6−

5

3𝑠2]

32. 𝐹(𝑠) = [3𝑠+2𝑠

(𝑠−7)(𝑠+1)+

4

2(𝑠2+3)]

RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS APLICANDO TRANSFORMADAS DE LA PLACE CON CONDICIONES INICIALES INDICADAS

1. 0 yy y(0) = 0; y´(0) = 1 R. ty sin

2. 𝑦" + 4𝑦 = 0 y(0)=5 y’(0)= 0

3. 2𝑦′′ − 2𝑦′ − 12𝑦 = 0 𝑦0 = 2 𝑦′0

= −1

4. 2𝑦′′ − 6𝑦′ − 8𝑦 = 0 𝑦0 = 3 𝑦′0

= −1

5. 2𝑦′′ − 2𝑦′ − 12𝑦 = 0 𝑦0 = 1 𝑦′0

= 3

6. 2𝑦′′ + 6𝑦′ − 20𝑦 = 0 𝑦0 = −1 𝑦′0

= 2

7. 2𝑦′′ − 2𝑦′ − 12𝑦 = 0 𝑦0 = 2 𝑦′0

= −1

8. 3𝑦′′ − 18𝑦′ + 24𝑦 = 0 𝑦0 = 3 𝑦′0

= −1

RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS APLICANDO TRANSFORMADAS DE LA PLACE CON CONDICIONES INICIALES INDICADAS

1. 𝑦" − 7 𝑦´ + 12𝑦 = 𝑒2𝑥 𝑦(0) = 0 𝑦′(0) = 0

2. 𝑦" + 𝑦´ = 𝑡 𝑦(0) = −1 𝑦´(0) = 0

3. 𝑦" + 9𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 y(0)=1 y’(0)= 2

4. 𝑦" + 4𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 y(0)=0 y’(0)= 0

5. 𝑦" + 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 𝑦(0) = 0 𝑦´(0) = 0

53



6. 𝑦" + 4𝑦´ + 3𝑦 = 1 𝑦(0) = 0 𝑦´(0)= 0

7. tydt

dy t = 0, y = -2 R ttty sin3cos

8. tey

dt

dy

dt

yd 2

2

2

423 y(0) = 0; y´(0) = 0 R ttt teeey 22 447

9. tteyyy 32 y(0) = 4; 20 y R.

3

2

164 ttey

10. 134 yyy 2)0(,3)0( yy R yt eey 3

3

23

3

1

11. 122 yyy 0)0(;2

1)0( yy

12. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 6𝑒2𝑡 𝑦0 = 0 𝑦′0

= 3

13. 𝑦′′ − 8𝑦′ − 20𝑦 = 8 𝑦0 = 0 𝑦′0

= 1

14. 2𝑦′′ + 8𝑦′ + 6𝑦 = 7𝑒−2𝑡 𝑦0 = 0 ∶ 𝑦′0

= 4

15. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 1 𝑦0 = 2 𝑦′0

= −1

16. 2𝑦′′ − 4𝑦′ − 16𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦0 = 0 𝑦′0

= 2

17. 2𝑦′′ + 8𝑦′ + 6𝑦 = 2 𝑦0 = 3 𝑦′0

= −2

MODELOS MATEMATICOS CON ECUACIONES DIFERENCIALES

1. La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt

o a = d2 x/dt 2

La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton tenemos:

mgdt

dvm g

dt

dv Puesto, que la masa cae desde el reposo, vemos que v=0 cuando

t=0 o en otras palabras v(0) = 0

mgdt

xdm

2

2

gdt

xd

2

2

54



Ecuación diferencia de segundo orden y su condición requerida 2. Determina la ecuación de la carga en función del tiempo del circuito RLC, con los

siguientes datos para las condiciones iniciales: 𝑞0 = 0 ∶ 𝑞′0 = 0

𝑅 = 270 𝑂ℎ𝑚. ; 𝐶 = 0,001 𝐹. ; 𝐿 = 5 𝐻. ; 𝐸 = 500 𝑉.

Unidad 4 Tema: Transformadas de Fourier Objetivo de aprendizaje:

Comprender la definición y las propiedades de las series de Fourier

Análisis el espectro de frecuencias de una función.

Comprender la definición y las propiedades de la serie de Fourier Definición. La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Sea 𝑓(𝑥) una función integrable Lebesgue:

𝑓 ∈ 𝐿1(ℝ) 𝑜 𝑓 ∈ 𝐿1(ℂ)

Se define la transformada de Fourier de 𝑓 como la función:

ℱ{𝑓} ∶ 𝜉 → (𝜉)𝑓: = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒−2𝜋𝑖𝜉𝑥

∞

−∞

𝑑𝑥 ,

Observemos que esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una

estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier 𝑓 es una función acotada. Además

por medio del teorema de la convergencia dominada puede demostrarse fácilmente que 𝑓 es

continua.

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_convergencia_dominada

55



La transformada de Fourier inversa de una función integrable 𝑓 está definida por:

ℱ−1{^𝑓} = 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒2𝜋𝑖𝜉𝑥 ∞

−∞

𝑑𝜉

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

Series de Fourier. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y comprensión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

La serie de Fourier de una función periódica 𝑓(𝑥) de periodo 𝑇, también conocida como señal, definida en un intervalo de longitud 𝑇 está dada por:

𝑓(𝑥) =𝑎0

2+ ∑(

∞

𝑛=1

𝑎𝑛 cos(n𝜔0𝑥) + 𝑏𝑛 sin(n𝜔0𝑥))

Dónde:

𝜔0 = 2𝜋

𝑇 la frecuencia fundamental

𝑎0 = 1

𝑇/2∫ 𝑓(𝑥)

𝑇

𝑑𝑥

𝑎𝑛 = 1

𝑇/2∫ 𝑓(𝑥)

𝑇

cos(𝑛𝜔0𝑥) 𝑑𝑥

𝑏𝑛 = 1

𝑇/2∫ 𝑓(𝑥)

𝑇

sin(𝑛𝜔0𝑥) 𝑑𝑥

https://es.wikipedia.org/wiki/Varianza

56



Donde a0 a1 ...ak ... y b1 b2 .... bk .... Son los denominados coeficientes de Fourier.

Ejemplo Calcular la serie de Fourier de la función:

𝑓(𝑥) = { 0, 𝑠𝑖 − 𝜋 < 𝑥 < −

𝜋

2

1, 𝑠𝑖 −𝜋

2< 𝑥 < 𝜋

De acuerdo con la definición de los coeficientes de Fourier

𝑎0 =1

𝜋∫ 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋2

=3

2

𝑎𝑛 =1

𝜋∫ cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋2

=𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛𝜋]

−𝜋2

𝜋

=𝑠𝑒𝑛 (

𝑛𝜋2

)

𝑛𝜋

= {(−1)

𝑛−12

𝑛𝜋 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

0, 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟,

𝑏𝑛 =1

𝜋∫ sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋2

=−𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛𝜋]

−𝜋2

𝜋

=−𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋2

)

𝑛𝜋+

𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋2

)

𝑛𝜋

= {

1

𝑛𝜋 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

1

𝑛𝜋[1 − (−1)

𝑛2] , 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

Por tanto

𝑓(𝑥) =3

4+

1

𝜋(cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −

1

3cos(3𝑥) +

1

3𝑠𝑒𝑛 (3𝑥) + ⋯ )

57



=3

4+

1

𝜋∑

1

2𝑛 − 1

∞

𝑛=1

[(−1)𝑛−1cos((2𝑛 − 1)𝑥) + 𝑠𝑒𝑛((2𝑛 − 1)𝑥) − 𝑠𝑒𝑛((4𝑛 − 2)𝑥)]

Suma Parciales: Para la serie de Fourier de una función 𝑓(𝑥) periódica definida en un intervalo de longitud 𝑇 la k-ésima suma parcial, representada por 𝑆𝑘(𝑥) está dada por:

𝑆𝑘(𝑥) =𝑎0

2+ ∑[𝑎𝑛 cos(n𝜔0𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔0𝑥)]

∞

𝑛=1

Ejemplo 1 Expanda en una Serie de Fourier la función:

𝑓(𝑥) = { 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝜋 < 𝑥 < 0𝜋 − 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 < 0

Aquí 𝜔0 =2𝜋

2𝜋= 1.

𝑎0 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)

𝜋

−𝜋

𝑑𝑥 =1

𝜋 (∫ 0

0

−𝜋

𝑑𝑥 + ∫ (𝜋 − 𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥)

=1

𝜋[𝜋𝑥 −

𝑥2

2]

0

𝜋

𝑎0 =𝜋

2

58



𝑎𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥) cos(𝜔0𝑛𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑒 𝜔0 = 1.

=1

𝜋(∫ 0

𝜋

−𝜋

𝑑𝑥 + ∫ (𝜋 − 𝑥)𝜋

0

cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥)

=1

𝜋𝑛2[(𝜋 sin(𝑛𝑥) − cos(𝑛𝑥) − 𝑛𝑥 sin(𝑛𝑥))]0

𝜋

𝒂𝒏 =𝟏 − (−𝟏)𝒏

𝝅𝒏𝟐

𝑏𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)

𝜋

−𝜋

sin(𝜔0𝑛𝑥) 𝑑𝑥 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑒 𝜔0 = 1.

=1

𝜋(∫ 0

0

−𝜋

𝑑𝑥 + ∫ (𝜋 − 𝑥) sin(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋

0

)

=1

𝜋𝑛2[(−𝜋 𝑛 cos(𝑛𝑥) − sin(𝑛𝑥) + cos(𝑛𝑥))]0

𝜋

𝒃𝒏 =𝟏

𝒏

Integral de Fourier.

Las series de Fourier son una herramienta poderosa parar tratar problemas relacionados con funciones periódicas. Luego, es conveniente generalizar este método parar incluir funciones no periódicas. Definición. - Si 𝑓(𝑥) definida en (−∞; ∞) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y

tiene derivadas por la derecha e izquierda en todo punto y tal que ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∞

−∞converge,

entonces la integral de Fourier de 𝑓 se define como:

1

𝑛∫ [𝐴(𝑤) cos 𝑤𝑥 + 𝐵(𝑤) sin 𝑤𝑥] 𝑑𝑤

∞

0

Dónde:

𝐴(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

𝐵(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

𝐴(𝑤) y 𝐵(𝑤) se llaman los coeficientes de la integral de Fourier de 𝑓(𝑥).

59



Ejemplo: Encontrar la representación por medio de la integral de Fourier de la función:

𝑓(𝑥) = {1 , |𝑥| < 10 , |𝑥| > 1

Solución: Primeramente determinemos los coeficientes de la Integral de Fourier

𝐴(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑢) cos 𝑤𝑢𝑑𝑢 = ∫ cos 𝑤𝑢𝑑𝑢 =

∞

−∞

[sin 𝑤𝑢

𝑤]

∞

−∞

|1

−1= 2

sin 𝑤

𝑤

𝐵(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑤𝑢𝑑𝑢 = ∫ sin 𝑤𝑢𝑑𝑢 = 0

∞

−∞

∞

−∞

Por lo tanto, la integral de Fourier de 𝑓(𝑥) es:

1

𝑛∫ [

2

𝑤sin 𝑤 cos 𝑤𝑥] 𝑑𝑤

∞

0

Criterio de Convergencia de la Integral de Fourier:

Si 𝑓(𝑥) es seccionalmente continua en [−L; L] ∀ L > 0 y tal que ∫ |𝑓 (𝑡)|𝑑𝑡∞

0 existe, entonces

la integral de Fourier converge a 1

2[f(𝑥+) + f(𝑥− )] (Promedio de los límites izquierdo y

derecho de 𝑓(𝑥), ∀ x donde f 𝑙(𝑥+) + f 𝑙(𝑥− ) existen.

Ejemplo:

Estudie la convergencia de la Integral de Fourier del ejemplo anterior.

Sea 𝑓(𝑥) definida en el ejemplo anterior, debido a que 𝑓(𝑥) es seccionalmente suave, la integral

de Fourier de 𝑓(𝑥) converge a 1

2[f(𝑥+) + f(𝑥− )]∀x. De acuerdo con el criterio de convergencia

se tiene:

= {

1 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 11

2 𝑠𝑖 𝑥 = ±1

0 𝑠𝑖 |𝑥| > 1

En particular, una situación interesante se da cuando x = 0.

2

𝜋∫ [

sin 𝑤

𝑤 cos 𝑤𝑥] 𝑑𝑤 = 1

∞

0

⇒ ∫ [sin 𝑤

𝑤 cos 𝑤𝑥] 𝑑𝑤 =

𝜋

2

∞

0

Integrales de Fourier en Cosenos y Senos: Sea 𝑓(𝑥) una función definida en (0, ∞) podemos extender esta función a una función par o impar en (−∞, ∞) y calcular la integral de Fourier de esta ultima, que resulta ser de coseno y

60



seno respectivamente, lo cual es completamente análoga a los desarrollos en cosenos y senos de una función definida en un intervalo [0, L] para el caso de las series de Fourier.

Definición:

Sea f definida en (0, ∞) y sea ∫ |𝑓(𝑢)|𝑑𝑢 ∞

0 convergente, la integral de Fourier en cosenos de 𝑓

es:

∫

∞

0

A (w) cos(wx)dw, donde A(w) = 2

𝜋 ∫

∞

0

f(u) cos(wu)du

Y la integral de Fourier en senos de 𝑓 es:

∫

∞

0

B (w) cos(wx)dw, donde B(w) = 2

𝜋 ∫

∞

0

f(u) sin(wu)du

En lo que tiene que ver con la convergencia de la integral de Fourier en este caso, si 𝑓 es seccionalmente suave en todo intervalo [0; L], entonces esta integral converge a

1

2[f(𝑥+) + f(𝑥− )]𝑒𝑛(0, ∞)

Ejemplo:

Encontrar la integral de Fourier de 𝑓(𝑥) = {𝑥2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 𝑠𝑖 𝑥 > 10

Si: a) se considera una extensión par de 𝑓(𝑥).

b) se considera una extensión impar de 𝑓(𝑥); y luego

c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales.

Solución: a) Para obtener la integral de Fourier de cosenos, extendemos f como una función par

𝑓𝑃 definida en toda la recta real, luego:

𝐴𝑤 =2

𝜋∫ 𝑓(𝑢) cos (𝑤𝑢) 𝑑𝑢 =

2

𝜋∫ 𝑢2cos(𝑤𝑢) 𝑑𝑢

∞

0

∞

0

=2

𝜋[𝑢2

𝑤sin(𝑤𝑢) |

10

0−

𝑢2

𝑤∫ 𝑢 sin(𝑤𝑢)𝑑𝑢

10

0

]

=2

𝜋[𝑢2

𝑤sin(𝑤𝑢) −

2

𝑤(

2

𝑤2 sin(𝑤𝑢) −u

𝑤cos(𝑤𝑢))]

10

0

61



=1

𝜋(

200

𝑤−

4

𝑤3) sin 10𝑤 + 40

𝜋𝑤2 cos 10𝑤

Por lo tanto, la integral de Fourier de cosenos es:

=1

𝜋∫ [(

200

𝑤−

4

𝑤3) sin 10𝑤 +40

𝜋𝑤2 cos 10𝑤] cos 𝑤𝑥𝑑𝑤

∞

0

Al aplicar criterio de convergencia obtenemos:

=1

𝜋∫ [(

200

𝑤−

4

𝑤3) sin 10𝑤 +40

𝜋𝑤2 cos 10𝑤] cos 𝑤𝑥𝑑𝑤

∞

0

= {

𝑥2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 100 𝑠𝑖 𝑥 > 100 𝑠𝑖 𝑥 = 0

50 𝑠𝑖 𝑥 = 10

b) Para obtener la integral de Fourier de senos, extendemos f como una función impar

𝑓𝑡 definida en toda la recta real.

𝐵(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡) sin 𝑤𝑡𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑢2 sin 𝑤𝑢𝑑𝑢

10

0

∞

−∞

= 2 [−𝑢2

𝑤cos 𝑤𝑢 |

100

+2

𝑤∫ 𝑢 cos 𝑤𝑢𝑑𝑢

10

0

]

= 2 [−𝑢2

𝑤cos 𝑤𝑢 +

2

𝑤(

1

𝑤2 cos 𝑤𝑢 +𝑢

𝑤sin 𝑤𝑢)]

0

10

= 2 [−102

𝑤cos 10𝑤 +

2

𝑤3 cos 10𝑤 +20

𝑤2 sin 10𝑤 −2

𝑤3]

Entonces la integral de Fourier de senos es:

1

∞∫ [(

200

𝑤−

4

𝑤3) cos 10𝑤 +40

𝑤2 sin 10𝑤 − 4

𝑤3 ∫ 𝑤𝑥𝑑𝑤

∞

0

]

∞

0

c) Finalmente, al aplicar criterio de convergencia obtenemos:

=1

𝜋∫ [(

200

𝑤−

4

𝑤3) cos 10𝑤 +40

𝑤2 sin 10𝑤 −4

𝑤3] sin 𝑤𝑥𝑑𝑤

∞

0

62



= {

𝑥2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 100 𝑠𝑖 𝑥 > 100 𝑠𝑖 𝑥 = 0

50 𝑠𝑖 𝑥 = 10

Espectro continúo El espectro continuo está asociado con "vectores propios aproximados" o "vectores cuasi propios". Un valor complejo pertenece al espectro continuo si el operador resolvente existe y está definido sobre un dominio denso, pero no es acotado. El espectro continuo, también llamado "espectro puntual aproximado" prestándose a malas interpretaciones. La razón de este otro nombre se debe a que cuando 𝜆 𝜖 ℂ pertenece al espectro continuo 𝜎𝐶 = 𝐶𝜎 aunque no puede encontrarse un vector propio (propiamente dicho) puede construirse una sucesión de vectores casipropios tal que:

lim𝑛→∞‖𝐵𝑢𝑛 − 𝜆𝑢𝑛‖ = 0

Ejemplo:

Considérese el operador T sobre ℓ2(ℤ) definido por:

𝐵(… , 𝑎−1, â0, 𝑎1, … ) = (… , â−1, 𝑎0, 𝑎1, … ) Donde ˆ denota la posición cero. Un cálculo directo muestra que B no posee valores propios, por lo que su espectro puntual es vacío, pero cada λ, con |λ| = 1, tiene un vector aproximadamente propio; siendo un el vector.

𝑢𝑛 =1

√𝑛(… ,0,1, λ, λ2, … , λ𝑛−1, 0, … )

Entonces: ||un|| = 1 para toda n pero:

‖𝐵𝑢𝑛 − λ𝑢𝑛‖ = √2

𝑛→ 0

De esto se sigue que B es un operador unitario cuyo espectro cae en el círculo unidad. Por tanto, el espectro continuo coincide con todo su espectro. Esto también es cierto para una clase muy general de operadores. Transformadas de Fourier Discretas. Es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de Fourier. Transforma una función matemática en otra, obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del tiempo. Pero la DFP requiere que la función de la entrada sea una secuencia discreta y de duración finita. Dichas secuencias se suelen generar a partir del muestreo de una función continua como puede ser la voz humana.

63



Aplicaciones de las transformadas de Fourier Discretas: En particular, la DFT se utiliza comúnmente en procesado digital de señal y otro campo relacionado dedicado a analizar las frecuencias que contiene una señal muestreada, también para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y para llevar a cabo operaciones como multiplicaciones de grandes números enteros.

Encontrar la DFT de la señal con N=8.

𝑥(𝑛) = 4 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥(𝜋𝑛

2)

Primero escribimos x(n) con Euler

𝑥(𝑛) = 4 + 3 [𝑒𝑗𝜋𝑛/2−𝑒−𝑗𝜋𝑛/2

2𝑗]=4-

3

2𝑗𝑒𝑗𝜋𝑛/2 +

3

2𝑗𝑒−𝑗𝜋𝑛/2

Y notemos ahora que la suma para x(k) puede ser escrita como la suma de 3 términos.

𝑥(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗(2𝜋8 )𝑘𝑚

7

𝑛=0

, 0 ≤ 𝑘 ≤ 7

Transformadas de Fourier Discretas en tiempo real. Esta transformación únicamente evalúa suficientes componentes frecuenciales para reconstruir el segmento finito que analiza. Utilizar la DFT implica que el segmento que se analiza es un único periodo de una señal periódica que se extiende de forma finita; si esto no se cumple se debe utilizar una ventana para reducir los espurios del espectro. Por la misma razón la DFT es una transformada de Fourier para análisis de señales de tiempo discreto y dominio finito. Las funciones sinusoidales base que surgen de la descomposición tienen las mismas propiedades.

Transformada de Fourier Rápida. Es la inversa de la DFT, se puede decir que la FFT es de

gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en general a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales o los algoritmos de multiplicación rapida de grandes enteros. La transformada rápida de Fourier es de importancia fundamental en el análisis matemático y ha

sido objeto de numerosos estudios. La aparición de un algoritmo eficaz para esta operación fue

un hito en la historia de la informática.

Las aplicaciones de la transformada rapida de fourier son multiples es la base de muchas

operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde amplia utilización. Además

proporciona un medio oportuno para mejorar el rendimiento de los algoritmos para un conjunto

de problemas aritmético comunes.

Propiedades de las Transformadas de Fourier. Algunas propiedades de la transformada de Fourier y sus demostraciones. Observe que las Series de Fourier comparten la mayoría de las

64



propiedades de la Transformada de Fourier y que es fácil extrapolar las propiedades de las Series a partir de las de las transformadas.

𝑭(𝒘) = ∫ 𝒇(𝒕)∞

−∞

𝒆−𝒊𝒘𝒕𝒅𝒕 = 𝑭[𝒇(𝒕)] (𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟)

1. Propiedades elementales

𝐹[𝑒−𝑎|𝑡|] =2𝑎

𝑎2+𝑤2

𝐹[𝑒−𝑎𝑡2] = √

𝜋

𝑎𝑒−

𝑤

4𝑎 para 𝑎 > 0

2. Desplazamiento en el tiempo:

𝐹[𝑓(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑒−𝑖𝑤𝑡0𝐹(𝑤) 4. Simetría

𝐹[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) → 𝐹[𝐹(𝑡)] = 2𝜋 𝑓(𝑤) 5. Modulación:

𝐹[𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)] =1

2𝑖[𝐹(𝑤 − 𝑎) − 𝐹(𝑤 + 𝑎)]

𝐹[𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)] =1

2[𝐹(𝑤 − 𝑎) + 𝐹(𝑤 + 𝑎)]

6. Generales ( se pueden utilizar para la directa como así también para la inversa)

𝐹[𝐾𝑓(𝑡)] = 𝐾𝐹[𝑓(𝑡)]

𝐹[𝑓(𝑡) + 𝑓(𝑔)] = 𝐹[𝑓(𝑡)] + 𝐹[𝑔(𝑡)]

Inversa de las transformadas de Fourier (𝑭−𝟏)

𝑭(𝒕) = 𝑭−𝟏[𝒇(𝒘)] Para determinar las transformadas inversa de Fourier, se utilizan las mismas tablas de propiedades utilizadas en la directa considerándose si al contrario ejemplo:

𝐹−1 [2𝑎

𝑎2 + 𝑤2] = 𝑒−𝑎|𝑡|

65



Calcular las transformadas de Fourier utilizando las propiedades

Ejemplo 1

𝐹(𝑡) = [4𝑒−2𝑡

5]

=4

5𝐹[𝑒−2𝑡]

=4

5(

2 ∗ 2

22 + 𝑤2)

=4

5(

4

4 + 𝑤2)

Ejemplo 2

𝐹(𝑡) = [7𝑒−6𝑡2]

= 7𝐹[7𝑒−6𝑡2]

= 7 √𝜋

6𝑒−

𝑤24

Ejemplo 3

𝐹(𝑡) = [𝑒−2(𝑡−4)

3]

= 1

3𝐹[𝑒−2(𝑡−4)]

Se resuelve primero la elemental

= 1

3𝐹[𝑒−2𝑡] =

1

3 (

4

4 + 𝑤2)

66



Se resuelve el desplazamiento respecto al tiempo

=1

3𝐹 [

𝑒−2(𝑡−4)

3] =

1

3 (

4

4 + 𝑤2∗ 𝑒−𝑖𝑤4)

Calculo de la transformada inversa de Fourier

Ejemplo 1

𝐹(𝜔) = [15

25 + 𝜔2]

= 15

10[

2 ∗ 5

52 + 𝜔2]

= 15 𝑒−5(𝑡)

10=

3 𝑒−5(𝑡)

2

Practico 1

1. Resolver las siguientes Transformada de Fourier utilizando propiedades

1) 𝐹(𝑡) = [2 𝑒−3𝑡

3]

2) 𝐹(𝑡) = [𝑒−5𝑡

7+ 5 𝑒−6𝑡 −

2 𝑒−3𝑡

3+ 2 𝑒8𝑡]

3) 𝐹(𝑡) = [3𝑒−2𝑡2−

5𝑒−9𝑡2

3+

4

5𝑒−𝑡2

]

4) 𝐹(𝑡) = [3𝑒−2𝑡2−

4𝑒−5𝑡2

9]

5) 𝐹(𝑡) = [𝑒−3(𝑡−4)

8]

6) 𝐹(𝑡) = [5𝑒−(𝑡−5)

2+

7𝑒−6(𝑡−5)2

4]

67



7) 𝐹(𝑡) = [𝑒−3(𝑡−7)2

2]

8) 𝐹(𝑡) = [𝑒−(𝑡−3)2

5+ 2 𝑒−3𝑡]

9) 𝐹(𝑡) = [4𝑒−2𝑡𝑠𝑒𝑛(3𝑡) − 𝑒−5𝑡2

8]

10) 𝐹(𝑡) = [3𝑒−4𝑡2𝑐𝑜𝑠(8𝑡) +

2𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛(6𝑡)

5]

11) 𝐹(𝑡) = [6𝑒−5𝑡2

𝑐𝑜𝑠(6𝑡)

7 − 𝑒−7𝑡2

]

12) 𝐹(𝑡) = [3𝑒−4(𝑡−3)𝑠𝑒𝑛(4𝑡)

2+

𝑒−5𝑡

2]

13) 𝐹(𝑡) = [6𝑒−5(𝑡+4)2

𝑐𝑜𝑠(2𝑡)

7]

14) 𝐹(𝑡) = [7 𝑒−3(𝑡−5)2

6+ 𝑒−5𝑡]

15) 𝐹(𝑡) = [2 𝑒−4(𝑡−7)

3+ 𝑒−2𝑡2

]

16) 𝐹(𝑡) = [7 𝑒−8(𝑡−2)

2𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 5𝑒−6𝑡2

]

17) 𝐹(𝑡) = [2 𝑒−𝑡

9𝑐𝑜𝑠(8𝑡) +

𝑒−4𝑡2

3]

18) 𝐹(𝑡) = [5 (2 𝑒−4(𝑡−7)

3+

4𝑒−2𝑡2

2)]

19) 𝐹(𝑡) = [2

3(

7 𝑒−3(𝑡+5)2

6 −

2𝑒5(𝑡−2)

3)]

68



20) 𝐹(𝑡) = [4 𝑒−4(𝑡+2)2

cos (2𝑡)

5 −

6𝑒5(𝑡+2)

3]

21) 𝐹(𝑡) = [4 (2 𝑒−4𝑡2

𝑠𝑒𝑛 (5𝑡)

3+

5𝑒3𝑡cos (3𝑡)

4)]

2. Resolver las siguientes transformadas de Fourier inversas

1) 𝐹(𝜔) = [8

25+𝜔2]

2) 𝐹(𝑤) = [7 √𝜋

2𝑒−

𝜔2

8 ]

3) 𝐹(𝑤) = [4

3 √

𝜋

6𝑒−

𝜔2

12 ]

4) 𝐹(𝜔) = [6

9+𝜔2 − √𝜋

5𝑒−

𝜔2

20 ]

5) 𝐹(𝜔) = [6

5+𝜔2 +2𝑒

18+2𝑤2 ]

6) 𝐹(𝜔) = [6

4+𝜔2 + √𝜋

4𝑒−

𝜔2

16 ]

7) 𝐹(𝜔) = [10

9+𝜔2 − 3

12+3𝑤2]

8) 𝐹(𝑤) = [2 (3

16+𝜔2 + √𝜋

2𝑒−

𝜔2

20 ) ]

9) 𝐹(𝑤) = [7

27+3𝑤2 −2𝑒

−𝑤2

20

6]

10) 𝐹(𝜔) = [5

2(

2

9+𝜔2 − 8

16+4𝑤2)]

69



11) 𝐹(𝑤) = [8π 𝑒

(− 𝑤2

24 +2𝑖𝑤)

5]

12) 𝐹(𝑤) = [4π 𝑒

(− 𝑤2

24 +3𝑖𝑤)

3 −

4𝜋𝑒

18+2𝑤2]

13) 𝐹(𝑤) = [2 𝑒

−𝑤2

12

3𝜋+

8𝑒− 5𝑖𝑤

36+𝑤2]

14) 𝐹(𝑤) = [2π 𝑒

(− 𝑤2

24 +4𝑖𝑤)

3 −

4𝜋

12+3𝑤2]

UNIDAD 5 Transformada Z

Objetivos de aprendizaje: Calcular transformada Z, transformada Z inversa aplicadas a la obtención de la función de

transferencia y al análisis y control de sistemas de tiempo discreto.

Definición de transformada Z: Basada en La serie de Laurent. La transformada Z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace en tiempo continuo. La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n]. Es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis de circuitos Digitales. los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de control de Procesos por computadoras. La transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformación es unitaria o sea cuando Z, =1. Teorema de la serie de Laurent: Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar dentro de una región donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto C es una serie de la forma:

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa

70



Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:

La sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la fórmula integral de Cauchy.

Región de convergencia (ROC): La región de convergencia (ROC), define la zona donde la TZ existe. En tal sentido es una región en el plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. Lo que quiere decir que es la suma de una serie geométrica (suma de series de potencias negativas de z) y esta transformada solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que dicha suma de serie de potencias converge. Por lo tanto, la ROC viene dada por:

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy

71



Aparte de lo que supone en si la ROC de una TZ, se da el caso de que dicha transformada no determina de forma única una señal en el dominio del tiempo. Esta ambigüedad solo se resuelve si, además de las TZ, se especifica la ROC.

Finalmente, luego de realizar diversas evaluaciones y aplicar ciertas propiedades como la de linealidad de las TZ, se puede decir que la ROC de este tipo de transformadas será una combinación de ella misma y según esto se pueden presentar las siguientes situaciones:

Señal estrictamente no causal (vale 0 para tiempos positivos): En este caso la región de convergencia va a ser un círculo.

Señal estrictamente causal (vale 0 para tiempos negativos): En este caso la región de convergencia va a ser el exterior de una determinada circunferencia.

Señal no causal (mezcla de las anteriores): En este caso se pueden dar dos situaciones:

La ROC es un anillo. Para que se origine esta situación el mayor módulo de los polos de la TZ, correspondiente a la parte no causal, debe ser mayor que los correspondientes causales.

No existe ROC. Este caso es opuesto, al contrario.

Aplicaciones Generadores de Señales mediante ecuaciones diferenciales. La función de un generador de

señal es producir una señal dependiente del tiempo con unas características determinadas

de frecuencia, amplitud y forma.

72



Uno de los sistemas de procesado digital de señales más utilizados es el promediador móvil.

Se puede demostrar que este sistema es el óptimo cuando queremos recuperar una señal

de valor constante que se se afectada por una serie de interferencias variables con el

tiempo. Ruido. Se tiene en cuenta que DPS (Digital Signal Processing) es la manipulación

matemática de una señal de información para modificarla o me5orarla enalg6n sentido. Este

está caracterizado por la representación en el dominio del tiempo discreto.

Procesamiento de imágenes digitales, como por ejemplo los televisores de alta definición y

las cámaras digitales. Se entiende por procesamiento digital de imágenes al conjunto de

técnicas que se aplican a las imágenes digitales con el objeto de mejorar la calidad o facilitar

la búsqueda de información, ya sea filtrando la imagen la cual suaviza, elimina ruidos, realza

bordes o detecta bordes.

El tratamiento de señales acústica, se utiliza la transformada, en el almacenamiento y

transmisión eficiente del sonido digital, como por e5empl, el manejo de señales de

ultrasonido para la elaboración de imágenes médicas. La máquina de ultrasonido crea

imágenes que permiten examinar varios órganos en el cuerpo. Esta máquina envía ondas

sonoras de alta frecuencia qué hacen eco en las estructuras corporales y un computador

recibe estas ondas y mediante la aplicación de transformadas de Z se utilizan estas ondas

reflejadas para crear una imagen. Las frecuencias típicas utilizas en abdomen pueden ir

desde 2 MHz a 5 MHZ mientras que, para regiones como mama, musculo esquelético,

tiroides, etc. las frecuencias pueden oscilar entre 8 MHz a 16 MHz.

En la parte automotriz se encuentra: El sistema antibloqueo, análisis de vibración, control de

motor. Todo esto a través de procesamiento de señales. Por ejemplo, en el sistema

antibloqueo o ABS al recibir una señal de los sensores de giro de las ruedas y electroválvulas,

reduce la presión del l0quido de frenos, para evitar que las llantas del vehículo se bloqueen.

VII. Aplicabilidad de la Guía

La presente Guía MAAP se desarrolló en función del (los) documento(s):

Detalle Programa(s) Analítico(s) BMS-304 CALCULO III 30P2E1

BMS-304 CALCULO III 08P3E1

BMS-304 CALCULO III 54P1E1

modalidad presencial · 2019. 10. 31. · dennis g. zill, ecuaciones diferenciales con aplicaciones...

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